Física aula 10 - mecânica - impulso e quantidade de movimento
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Física 1Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Cinemática - 3D
(Vetores) Física 1 1 / 63
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Outline
1 Grandezas da Cinemática 3D
2 Lançamento de Projéteis
3 Movimento Circular
4 Movimento Relativo
(Vetores) Física 1 2 / 63
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Cinemática 3D
Estudamos os conceitos de posição, velocidade, aceleração,deslocamento em 1 dimensão.Vamos estender esses conceitos para o caso mais comum que sãoos movimentos em 2 e 3 dimensões.
Trajetória da partícula
Atenção: Não confunda ográfico da trajetória (y x ) como gráfico da função horária(x t ou y t)
r1 e r2 são os vetores posição nos instantes t1 e t2O movimento da partícula será dado pelo vetor posição emqualquer instante de tempo, ou seja, r t .
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Vimos que um vetor pode ser escrito em termos das suascomponentes:
r t x t y t z t k
Alguns problemas de 3 dimensões podem ser “reduzidos” aotratamento de 3 movimentos unidimensionais independentes.
Ex: x t 10 t y t 20 5 t2 e z t 0Esse movimento é do tipo chamado parabólico, pois suatrajetória é uma parábola.
r t 10t 20 5t2
Ex: x t 5 2t y t 5sen 2t e z t 4 tEsse movimento é do tipo chamado helicoidal, pois sua trajetóriaé uma hélice.
r t 5 2t 5sen 2t 4 t k
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Velocidade Média
Definimos o vetor deslocamento da partícula para ir do pontoP1 até o ponto P2:
r r t2 r t1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 k
Definimos o vetor velocidade média
vm t1 t2rt
r2 r1
t2 t1xt
vmx
yt
vmy
Note que a direção do vetor velocidade média é a mesma do vetordeslocamento.
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Velocidade Instantânea
Ao considerarmos o limite da vm quando t 0 obtemos o
vetor velocidade instantânea:
v tt 0
rt t 0
r t t r tt
drdt
o vetor velocidade instantânea é sempre tangente à
trajetória na posição em que está a partícula e no sentido
do movimento
Escrevendo em termos de suas componentes:
v tdrdt
dxdtvx
dydtvy
dzdtvz
k
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ExemploDada uma partícula que realiza um movimento parabólico deacordo com a função:
r t 10 tx t
20 5t2
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t 10 10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
x 10 t tx10
y 20 5x 2
10020 0 05x 2 parbola
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ExemploDada uma partícula que realiza um movimento parabólico deacordo com a função:
r t 10 tx t
20 5t2
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t 10 10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
x 10 t tx10
y 20 5x 2
10020 0 05x 2 parbola
(Vetores) Física 1 7 / 63
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ExemploDada uma partícula que realiza um movimento parabólico deacordo com a função:
r t 10 tx t
20 5t2
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t 10 10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
x 10 t tx10
y 20 5x 2
10020 0 05x 2 parbola
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Aceleração Média
O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definidocomo a variação da velocidade neste intervalo.
amvt
v2 v1
t2 t1Qual a direção do vetor am ?
Por definição, o vetor am tem a mesma direção da variação davelocidade:
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Aceleração Média
O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definidocomo a variação da velocidade neste intervalo.
amvt
v2 v1
t2 t1Por definição, o vetor am tem a mesma direção da variação davelocidade:
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Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea é definida como
a tdvdt
dvx
dtdvy
dtdvz
dtk
a td2rdt2
d2xdt2
d2ydt2
d2zdt2 k
a t ax t ay t az t k
A aceleração instantânea aponta sempre para a
concavidade da trajetória, ou é tangente à ela no casoparticular da trajetória ser retilínea.
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Aceleração Instantânea
Em um movimento retilíneo, a velocidade pode mudar apenas emmódulo e sentido, e nesse caso a aceleração tem sempre a mesmadireção do vetor velocidade.Se o movimento é curvo, a velocidade necessariamente muda dedireção e a aceleração nunca pode ser nula. Podemosdecompor o vetor aceleração em duas componentes, umatangente à trajetória e outra perpendicular a esta. Se o móduloda velocidade for constante, só teremos a componente que apontapara o centro.
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Exercício
A função horária vetorial de uma partícula é
r t 5 t2 2t3 3t2k
Determine a velocidade e a aceleração da partícula(i) em um instante arbitrário;(ii) no instante t 0;(iii) no instante t 1 0 s .
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[P1-2012-2] Considere as seguintes afirmações sobre os vetoresvelocidade e aceleração de um corpo em movimento: I) Avelocidade pode ser zero e a aceleração ser diferente de zero. II)O módulo do vetor velocidade pode ser constante, com o vetorvelocidade mudando com o tempo. III) O vetor velocidade podeser constante mas seu módulo variar com o tempo. IV) O vetorvelocidade pode mudar de sentido com o tempo mesmo que ovetor aceleração permaneça constante. São verdadeiras asafirmações:(a) I, II e III(b) I, II e IV(c) II e III(d) Todas as afirmações(e) Nenhuma das afirmações anteriores.
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Lançamento de Projéteis
Um tipo de movimento bem comum na natureza é o chamadolançamento de projéteis. Ele é caracterizado por lançarmosum objeto perto da superfície da Terra, de forma que podemosconsiderar a Terra plana, desprezar a resistência do ar e termos ovetor aceleração constante, apontando para baixo e de módulog 9 8 m/s2.
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Uma partícula é lançada das coordenadas iniciais x0 y0 , comvelocidade inicial v0 que faz um ângulo com a direção horizontal
r0 x0 y0
v0 v0x v0y v0cos v0sen(1)
Queremos determinar o vetor posição e o vetor velocidade emqualquer instante de tempo.
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g
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Independência dos movimentos
https://www.youtube.com/watch?v=z24_ihikEqQ
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Independência dos movimentos
https://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y etratá-las independentemente:Como a g , temos:No eixo x :ax 0 ‹
MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :ay g ‹
MUV ‹ y y0 v0y t 12g t2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo ovetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt12gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:
v t vx0 vy0 gt v t v0 gtEquações fundamentais do lançamento de projéteis
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y etratá-las independentemente:Como a g , temos:No eixo x :ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :ay g ‹
MUV ‹ y y0 v0y t 12g t2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo ovetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt12gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:
v t vx0 vy0 gt v t v0 gtEquações fundamentais do lançamento de projéteis
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y etratá-las independentemente:Como a g , temos:No eixo x :ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :ay g ‹ MUV ‹ y y0 v0y t 1
2g t2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo ovetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt12gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:
v t vx0 vy0 gt v t v0 gtEquações fundamentais do lançamento de projéteis
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y etratá-las independentemente:Como a g , temos:No eixo x :ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y :ay g ‹ MUV ‹ y y0 v0y t 1
2g t2 , vy v0y g tVoltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo ovetor posição :
r t x0 v0x t y0 v0yt12gt2
r t r0 v0t 12gt
2
e o vetor velocidade:
v t vx0 vy0 gt v t v0 gtEquações fundamentais do lançamento de projéteis
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Trajetória de projéteis
Qual a trajetória da partícula?
x x0 v0x t tx x0
v0x
y y0v0y
v0xx x0
g2v 2
0xx x0
2
que é a equação de uma parábola
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H v2
0 sen2
2g
Qual o alcance A do projétil?
A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen
g 2tH ‹ A v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa peloponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componentevertical, o que vale para qualquer plano
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H v2
0 sen2
2g
Qual o alcance A do projétil?
A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen
g 2tH ‹ A v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa peloponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componentevertical, o que vale para qualquer plano
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H v2
0 sen2
2g
Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen
g 2tH ‹ A v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa peloponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componentevertical, o que vale para qualquer plano
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
Neste ponto vy 0 ‹ tH v0seng ‹ H v2
0 sen2
2g
Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quandoo projétil volta à altura de lançamento.Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0sen
g 2tH ‹ A v20 sen2
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa peloponto de altura máxima. Amax ocorre quando 45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0sen gtA v0sen vx v0cos ‹ v v0x v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componentevertical, o que vale para qualquer plano
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Exercícios
Halliday. Um pacote de suprimentos é solto por um avião queestá a 100m acima do solo e que voa a uma velocidade de 40 m/s.
(a) Por quanto tempo o pacote ficou noar?R: 4.52s(b) A que distância horizontal a partir daorigem o pacote atingiu o solo?R: 181m(c) qual a velocidade do pacote ao atingiro solo?R: v 40m s 44 3m s(d) em que posição está o avião quando opacote atinge o solo?
(Vetores) Física 1 21 / 63
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Halliday. Uma pedra é lançada do topo de um prédio, com umângulo de 30 acima da horizontal com uma velocidade demódulo 20m/s. A altura do prédio é de 45m.
(a) Quanto tempo a pedra levou paraatingir o solo?R: 4.22s(b) A que distância horizontal a partir daorigem a pedra atinge o solo?R: 73m(c) qual a velocidade da pedra ao atingir osolo?R: v 17 3m s 31 4m s
(Vetores) Física 1 23 / 63
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Exercícios
[PF-2013-1] Um pequeno corpo é lançado a partir da origem comvelocidade v0 segundo um ângulo com a horizontal. Outrocorpo é lançado (não simultaneamente) horizontalmente de umaaltura h com uma velocidade v1 de mesmo módulo de v0, comomostra a figura. Qual deve ser o valor de h tal que eles atinjam omesmo ponto x no eixo OX?
(a) v0sen 2 g(b) 2 v0sen 2 g(c) v0sen2 2 2g(d) v0sen 2 2g(e) v 2
0 sen 2g
(Vetores) Física 1 25 / 63
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Movimento Circular
Movimento Circular (MC) de uma partícula é caracterizado porsua trajetória ser um círculo (ou arco de círculo). Queremoscaracterizar as velocidades e acelerações possíveis nessemovimento.
Um caso particular de MC é o movimento circular uniforme(MCU) em que a partícula percorre arcos iguais em intervalosde tempos iguais.Exemplos: ponteiros de um relógio, movimento da lua, um pontoem um disco girando
Atenção: o nome uniforme pode levar à uma interpretaçãoerrada: O que é constante é o módulo da velocidade, mascomo a trajetória é curva, sua direção varia, e portanto aaceleração nunca é nula.
(Vetores) Física 1 27 / 63
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Movimento Circular Uniforme
Como o módulo de v não muda, aT 0 e temos apenas acomponente radial (ou centrípeta).
Como os dois triângulos são semelhantes (isósceles e de mesmoângulo):
vv
sr
v vs
r
(Vetores) Física 1 28 / 63
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Movimento Circular Uniforme
O módulo da aceleração média é
amvt
vr
st
A aceleração instantânea é
at 0
vr
st
vr t 0
st
portanto, no MCU a aceleração é centrípeta, de módulo:
acv 2
re na forma vetorial:
av 2
rr
onde r é o vetor unitário na direção radial, apontando para forada circunferência.
(Vetores) Física 1 29 / 63
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Período
Uma outra definição importante é o período T do movimento,que é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa.No caso em que a trajetória é um círculo completo:
T2 rv
v2 rT
e podemos expressar a aceleração centrípeta como
ac 4 2R T 2
(Vetores) Física 1 30 / 63
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Movimento Circular Geral
No movimento circular mais geral (sem ser uniforme) temostambém uma componente tangencial da aceleração, que estáligada à variação do módulo da velocidade.
aradv 2
Ratan
dvdt
MC
(Vetores) Física 1 31 / 63
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Relação entre velocidade e aceleração
Não existe uma relação fixa entre velocidade e aceleração
(Vetores) Física 1 32 / 63
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Exercícios
Halliday 68. Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual aaceleração de um passageiro no ponto mais alto? e no ponto maisbaixo?
Halliday 72. Um menino gira uma pedra em uma circunferênciade 1,5 m de raio, localizada em um plano horizontal a 2m acimado solo por meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e apedra seja atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m dedistância. Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estavaem movimento circular uniforme?
Moysés 19. Com que velocidade linear estamos nos movendodevido à rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos naLinha do Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta?Exprima essa aceleração como um percentual de g . Raio daTerra = 6.37 106m.
(Vetores) Física 1 33 / 63
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Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5 voltas emtorno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a aceleração deum passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais baixo?
(Vetores) Física 1 34 / 63
R = 15 M
V = 5×-25 R=
7,
8 mls
60
I oil = v£ = };I= 4. 1mW
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Um menino gira uma pedra em uma circunferência de 1,5 m deraio, localizada em um plano horizontal a 2m acima do solo pormeio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a pedra sejaatirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de distância.Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava emmovimento circular uniforme?
(Vetores) Física 1 35 / 63
x = xo + T.at
r=nsm
{ Y = Yo + v. ytzqt
'
i. . .
2
am -
.
O = 2 - £ gt:
t£=
2x2_ = 0
.
64 s
9.8
10 = To a ×
O.
69
Voa = 15.
6 in 11
210 m
a = Is = 45¥= 163 m1s2
R
45/ 73
Com que velocidade linear estamos nos movendo devido àrotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na Linha doEquador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta? Exprima essaaceleração como um percentual de g . RT = 6.37 106m.
(Vetores) Física 1 36 / 63
V = 2 I R
FT = 24×36 oo
V = 2T 6,37 ×106
-
= 463 mls
24 × 3600
A = V÷ = 3.3×152-1^2
a
g-= 3q÷×152 = 0.003g = 0.37 . g
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[P1-2014-1] Um carro, considerável como uma partícula, sobeuma lombada circular de centro de curvatura em O , como indicaa figura. O módulo da velocidade do carro vai diminuindo amedida que ele sobe a lombada. Dadas as setas identificadaspelos números 1, 2, 3, 4 e 5 da figura, a que pode representar aaceleração do carro no ponto P da subida indicado é a número
(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4(e) 5
(Vetores) Física 1 37 / 63
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[PF-2015-2] Uma partícula executa um movimento pendular numplano vertical xy , oscilando entre duas posições extremas A e B,como mostra a figura. Considerando o trajeto A B pode-seafirmar que
x
y
A B
(a) o vetor velocidade média entre A e B tem a direção e osentido do eixo x positivo
(b) o vetor velocidade média entre A e B tem a direção e osentido do eixo x negativo
(c) nos pontos A e B a aceleração é nula(d) o vetor velocidade média entre A e B é nulo(e) o vetor aceleração média entre A e B tem a direção e sentido
do eixo y positivo(Vetores) Física 1 38 / 63
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Movimento Relativo
Pergunta: Uma pessoa se move com velocidade v = 1 m/s aolongo do corredor de um trem, o qual se move com v = 3 m/s.Qual a velocidade da pessoa? R: Depende...
Para descrever um movimento precisamos definir um referencial.
Neste caso o referencial mais simples é o que se move junto com otrem, e podemos descrever o movimento do trem em relação àTerra e compor os dois movimentos.
(Vetores) Física 1 39 / 63
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Movimento Relativo
Temos um objeto P que se move em relação a um referencial B equeremos descrever seu movimento em relação a um referencialA, supondo que B se move com velocidade constante emrelação a A
rP A rP B rB A
(Vetores) Física 1 40 / 63
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rP A rP B rB A
Essa equação vetorial é equivalente às três equações escalares:xP A xP B xB A, yP A yP B yB A e zP A zP B zB A
Sendo vP A a velocidade de P em relação a A, vP B a velocidadede P em relação a B , e vB A a velocidade do referencial Brelativa ao referencial A, obtemos
vP A vP B vB A
aP A aP B
Essa equação é equivalente às três equações escalares:v P A x
v P B xv B A x
v P A yv P B y
v B A y
v P A zv P B z
v B A z
(Vetores) Física 1 41 / 63
cte
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Exercícios
Halliday 2.73 Um barco está navegando rio acima, a 14km/h emrelação à água do rio. A velocidade da água em relação ao solo é9km/h. (a) Qual a velocidade do barco em relação ao solo? (b)uma criança no barco caminha da proa para a popa a 6km/h emrelação ao barco. Qual a velocidade da criança em relação aosolo?
(Vetores) Física 1 42 / 63
fate tnas
52/ 73(Vetores) Física 1 43 / 63
- > → - >
A) VB,
= VBR + URT To scolhendo 0 eixo ze
apron ton - para no
IBN= 14km/h =
acima .
Irt = - 9km/h i
JBT = 14 - 9 = 5 km/h i
←
b) -2 →
Is
÷a
= Ers + Jia + Jat
Jet = - 6 + 5 = - l i
1 km/h - rented de des ada do no ,
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Exercícios
Halliday 2.80 A chuva cai verticalmente com velocidade constantede 8,0 m/s. O motorista de um carro, viajando em linha retanuma estrada com a velocidade de 50km/h, vê os pingos caíremformando um ângulo com a vertical. Qual é este ângulo?
(Vetores) Física 1 44 / 63
ers
54/ 73(Vetores) Física 1 45 / 63
→^
To, = I. + Tat Vat = 8 mlsj
• f,
→ . TI Jat = 13.8 - Isi
so f
en se'
.
0 = Tax + 13.8= > Tax = - 13.8
in y :
8 = Yay + °
- >
VAT¥
a =
- 13.8 I + 8 j m/s
-,
tg°= 13.8 =p . z
It # ¥,
-K 1
.
8
O I 600
55/ 73
Exercícios
Halliday 2.83 Um trem viaja para o sul a 30 m/s em relação aosolo sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetóriade cada pingo de chuva forma um ângulo de 21,6 com a verticalquando medido por um observador parado na Terra. Umpassageiro sentado no trem vê, no entanto, traços verticais.Determine a velocidade da chuva em relação à Terra.
(Vetores) Física 1 46 / 63
58/ 73
[PF-2013-1] Num dia chuvoso uma pessoa está parada numa estação de trem eobserva a chuva caindo inclinada de um ângulo em relação a direção vertical.Um passageiro sentado no interior do trem que se move horizontalmente comvelocidade de módulo vT em relação a estação observa a chuva caindoverticalmente. O módulo da velocidade da chuva vC em relação a pessoa daestação é igual a:
(a) vT cos ;
(b) vTsen ;
(c) vT tan ;
(d) vTcot ;
(e) vT sen ;(Vetores) Física 1 49 / 63
:
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[P1-2015-2] Um passageiro atrasado que se encontra a uma certadistância do portão de embarque em um aeroporto precisa chegara ele o mais rapidamente possível. Para tal intento ele consideraduas rotas alternativas indicadas na figura por A e B. Naprimeira delas (A) ele corre diretamente para uma esteira rolantee continua correndo ao longo dela. A velocidade da esteira emrelação ao solo é de 2 m/s. Na segunda (B) ele corre diretamentepara o portão. Sabe-se que o comprimento da esteira é 42 m, eque o passageiro, que consegue correr a uma velocidade de 4 m/s,se encontra a 16 metros da esteira. Dentre estas duasalternativas, aquela que levará o passageiro o mais rapidamenteao portão e o tempo necessário para isto será
(a) a rota (A) com t 11 0 s(b) g a rota (B) com t 12 5 s(c) g a rota (A) com t 9 7 s(d) g a rota (B) com t 8 3 s(e) g a rota (A) com t 14 5 s
P42 m
16 m
Ev
50 m
AB
(Vetores) Física 1 49 / 63
9.
B.
60/ 73
Exercícios
Um barco parte de uma margem de um rio, direcionando o barcona direção Norte. Sua velocidade em relação à água é de10 km/h, e o rio tem uma velocidade de 5 km/h em relação àTerra. Determine a velocidade do barco relativa a um observadorparado em uma das margens. Se a largura do rio é de 3 km,quanto tempo ele leva para atravessá-lo?
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Exercícios
Se agora este barco, com a mesma velocidade de 10 km/h emrelação à água quiser atingir o lado diretamente oposto do rio,qual deve ser a direção da sua velocidade em relação ao rio? Eem quanto tempo ele atravessa o rio?
(Vetores) Física 1 52 / 63
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ExercíciosUm problema de navegação:Suponha que o navegador de um avião deseja ir de uma cidade Ca uma outra D distante 900km de C na direção Norte. Ometeorologista informa que há um vento soprando na direçãoNordeste com velocidade de 50 km/h . Ele sabe que o pilotoplaneja manter uma velocidade de 240 km/h em relação ao ar.a) O problema do navegador é informar ao piloto em que direcãoo avião deve ser dirigido.b) Quanto tempo ele leva para chegar?
(Vetores) Física 1 55 / 63
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Avian- >
TerraTa't =
Jar + vvt
Vmto
f za .¥50950e-
em n : 0 = 240 seen O - 50 sin 45
son O = 5052/2= 0.147 O = 8.50
.
240
tempo :
dt=-
vAT
emy :
VAT = Va ✓cos o + 50 cos 45 t = got =3 .
27k
275Vat = 275 km/h
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Encontro de dois objetosUm outro exemplo em que é vantajoso mudar de referencial é oproblema de evitar colisões no mar e no ar. Considere dois navioscom velocidades v1 e v2 em relação à água, constantes. Astrajetórias dos navios estendidas ao longo das direções domovimento a partir dos pontos iniciais A e B interceptam-se emum ponto P. Eles irão colidir? Responder a essa questão noreferencial do navio é muito mais fácil do que no referencial dooceano, pois assim estaremos parados (em um navio) observandoo movimento de apenas um objeto ( o outro navio).
(Vetores) Física 1 57 / 63
nikita II:III
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Exercícios
Vamos nos colocar no navio A. A velocidade do navio B emrelação a A é v21 v2 v1
se v21 tiver a mesma direção que r21 eles irão bater. Senão qual éa distância de menor aproximação entre eles? É quandor21 v21, ou seja é a distância AN e o tempo para atingirem essamenor separação é BN
v21
(Vetores) Física 1 58 / 63
→
in¥4 ,a£¥IsF-
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Exercícios
2.8 lista. Duas partículas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos xe y com velocidades constantes v1 2 cm/s e v2 3 cm/s. Noinstante t 0 elas estão nas posições dadas por x1 3cm,y1 0, x2 0 e y2 3cm. Obtenha o vetor r2 r1 querepresenta a posição da partícula 2 em relação à partícula 1,como função do tempo. Determine em que instante de tempoelas estarão com a menor separação possível, e qual é essadistância de máxima aproximação.
(Vetores) Física 1 59 / 63
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^Y
- 3 Znys' ¥.me
. - 3
a) iz , ( t ) = Ii I t ) - i.
>
It )
Ti( H = To.
+ if t = ( x. ,
+ v,
t ) i = f-3 + 2 t ) i
Iz ( t ) = To 2 + I .t
= ( yz + at 1 I = f3 + 3 t ) I
Jiz ,( t 1 = ( 3 - 2 t ) I + ( - 3 + 3 t ) I
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A minor distomcia e. qdo 5'z,
L 52'
, ⇒
##i iii. Ji,
=o
^ is,
= it . it = zj .
zi = -2i +3J
21 • 2
Ii,
= ( z . zt ) i + ( 3 t - 3)I→
5>21. Vz , = - z ( z . zt ) + 3 ( 3 t - 3) = 0
4t - 6 + qt - 9=0 ⇒ t = 1,15 s
e a distance nine instant e- :
I'z ,( t.n.is 's ) = (-2×1.15+3) it ( 3×1,15 - DI
/ I'z ,I = O.fto.li# = 0 . 83 m
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Exercícios
Um rio de 1km de largura tem uma correnteza de velocidade1,5 km/h. Um homem atravessa o rio de barco, remando a umavelocidade de 2,5 km/h em relação à água. (a) Qual é o tempomínimo que leva para atravessar o rio? Onde desembarca nestecaso? (b) Suponha agora que ele quer chegar a um pontodiametralmente oposto na outra margem, e tem duas opções:remar de forma a atingi-lo diretamente, ou remar numa direçãoperpendicular à margem sendo arrastado pela correnteza atéalém do ponto onde quer chegar, e depois caminhar de volta atélá. Se ele caminha a 6km/h, qual das duas opções leva menostempo? qual é esse tempo?
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Tnt = 1.5km/h I - qj
l5fr-1=2.5 bmlhj ] '
-z
- ) - ) - >
VI,= Jar + Vrt Try# r
g → =3✓
RT
VI ,= DTI any :
y3+y=L_⇒ At =
LDt BE Vbty
Do dumb memos que VBTY e- - xiwo qdo
ItIvVB , for L a VRT-
BR => VBRa
= 0
VRT
t.tn = 0.44=24 - n
2. 5km/h 4
y°link : Du = VB
,zDt = ( Yµa+ Yzt ) Dt = 1.5×0.4
= O . 6km = Goon