Física 1 Mecânica - IF - Instituto de Física /...

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Física 1

Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Rotação de uma partícula

(Rotação de uma partícula) Física 1 1 / 28

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Outline

1 Produto Vetorial

2 Rotação em Torno de um Eixo Fixo


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Produto Vetorial

Dados dois vetores A e B , o produto vetorial entre eles é

definido como o vetor

C A B

seu módulo é C A B sen

sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B

seu sentido é dado pela regra da mão direita.


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Propriedades do Produto Vetorial

seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo

definido por A e B

A B B A ‹ não é comutativo.

Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) ‹ A B 0

consequentemente A A 0

Obedece a propriedade distributiva:

A B C A B A C

tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B :

d

dtA B A

dB

dt

dA

dtB


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Propriedades do Produto Vetorial

k k 0

k

k k

k k

Se temos as componentes dos vetores

A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk

A B AyBz AzBy AxBz AzBx AxBy AyBx k


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Exercícios

Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde

1 a 3 k e b 6 2 2 k ;

2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga

os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura.


A B

C

O

an ,

•

Bp

7/ 30(Rotação de uma partícula) Física 1 7 / 28

a-'

= 3 i - j th

5'

= -6 it If -

2h

i j k

|-

}zlya/ = ( 2 - 4a+1-6+6 ) j + ( 6- 6) ti=o

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Exercícios

1 Mostre que o módulo do produto triplo

a b c

é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos

vetores a , b e c .

2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo.

3 Considere a , b e c 2 k . Calcule a área

da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes

vetores. Considere as unidades dadas no S.I.


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Cinemática de Corpo Rígido

Vamos começar o estudo do movimento mais geral (translação e

rotação) de objetos extensos, nos restringindo a corpos rígidos:

objeto cujas distâncias entre dois pontos quaisquer não mudam

(boa aproximação).

Translação Pura

Rotação Pura

Translação Rotação


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Translação Pura

A direção de qualquer segmento que une dois de seus pontos não

se altera. ‹ todos os pontos descrevem curvas paralelas.

Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento no mesmo t ‹todos tem, em qquer instante, a mesma velocidade e

aceleração de translação.

Podemos escolher um ponto, p.ex., o CM, para descrever o

movimento de translação de um corpo rígido.


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Rotação Pura em torno de Eixo Fixo

Vamos fixar dois pontos A e B , equivale a fixar todos os pontos

da reta AB , pois todos os pontos devem manter a mesma

distância.

Qualquer partícula situada fora dessa reta mantém a mesma

distância à reta ‹ Todos os pontos descrevem um círculo em

torno do eixo AB e giram de um mesmo ângulo no mesmo t .

O estudo do movimento se reduz ao estudo do movimento

circular de um ponto ‹ Rotação em torno de um eixo fixo, que

pode ser descrita em termos de uma única coordenada: O ângulo

de rotação.


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Rotação Pura em torno de Ponto Fixo

Se fixarmos um ponto O do corpo, qualquer outro ponto

descreverá uma esfera centrada em O ‹ Rotação em torno de

um Ponto Fixo.

O deslocamento do ponto P é descrito por duas coordenadas, p.

ex., os ângulos de latitude e longitude


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Movimento Geral

Chasles 1930: “O movimento mais geral de um corpo rígido se

compõe de uma translação e uma rotação”

O é o ponto para onde se desloca O .

Primeiro realizamos uma translação pura de O para O ,

registrando dois pontos quaisquer A e B .

Os pontos A B correspondentes na posição final são tais que os

dois triângulos são iguais pois o corpo é rígido.

‹ Os dois triângulos podem ser superpostos por uma rotação em

torno de O .


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Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo

Sendo a rotação em torno de um eixo

fixo (z ), basta descrevermos o

movimento circular de um ponto

qualquer através das coordenadas

polares r (constante) e .

Definimos o sentido anti-horário como

sendo o positivo de e temos

s r

onde tem que ser dado em radianos

para que essa definição seja válida.

360 corresponde a 2 rad:

rad180

graus


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i e f são as posições angulares nos instantes ti e tf

Chamamos de deslocamento angular

f i

e definimos velocidade angular média

t

e velocidade angular instantânea

limt 0 t

d

dt

Como todas as linhas radiais giram do mesmo ângulo durante o

mesmo t , todos os pontos têm a mesma velocidade

angular

unidade no SI: rad/s, rotações/s ou simplesmente s1


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Se varia de i para f no intervalo t , teremos a aceleração

angular média

t

e a aceleração angular instantânea

limt 0 t

d

dt

Como é o mesmo para todos os pontos do corpo, também

será a mesma.


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Relação entre cinemática angular e linear

O movimento de uma partícula em movimento circular pode ser

descrito tanto pelas grandezas angulares, , e , quanto pelas

lineares s v at . (Vantagem??)

se é dado em rad, s r . Derivando:

ds

dt

d

dtr ‹ v r . Derivando:

dv

dt

d

dtr ‹ aT r

Atenção: estas relações são entre os módulos


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Relação entre cinemática angular e linear

s r v r aT r

Linear

a constante:

v v0 a t

x x0 v0 t 1 2 a t2

v2

v20 2a x

Angular

constante:

0 t

0 0 t 1 2 t2

2 20 2


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Grandezas vetoriais na rotação

Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma

para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas

vetoriais r v a .

Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos

definir vetores ?


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Grandezas vetoriais na rotação

Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma

para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas

vetoriais r v a .

Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos

definir vetores ?


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Para que uma grandeza seja um vetor ela deve obedecer a

algumas propriedades, p. ex., comutatividade da adição:

1 2 2 1

O deslocamento angular não é um vetor


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Porém as rotações infinitesimais d são comutativas:

ds r d

Como o deslocamento é infinitesimal

dS pode ser considerado como sendo

tangente ao arco e podemos escrever

ds d r

Considerando dois deslocamentos

infinitesimais, o vetor r é o mesmo

para os dois:

ds1 d 1 r ds2 d 2 r

ds ds1 ds2 d 1 r d 2 r d 1 d 2 r

A rotação infinitesimal resultante é a soma d 1 d 2 d 2 d 1‹ d é vetor!!


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Relação entre cinemática angular e linear - Vetorial

Relação entre cinemática angular e linear - Forma Vetorial

Podemos escrever: s r v r ?

NÃO!! ERRADO!!

ds d r

ds

dt

d

dtr

v r

Note que não há movimento na direção do vetor , o movimento

é na direção perpendicular a ele.


BEE-

→ → →

→

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Relação entre cinemática angular e linear - Vetorial

Relação entre cinemática angular e linear - Forma Vetorial

Podemos escrever: s r v r ? NÃO!! ERRADO!!

ds d r

ds

dt

d

dtr

v r

Note que não há movimento na direção do vetor , o movimento

é na direção perpendicular a ele.


-

- → →

-

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Exercícios

Um motor que move um moinho é desligado quando este último

gira a 240 rpm. Após 10 s, a velocidade angular é 180 rpm. Se a

desaceleração angular permanecer constante, quantas rotações

adicionais ele faz até parar? R: 45 voltas

O volante de uma máquina a vapor desenvolve uma velocidade

angular constante de 150 rpm. Quando o motor é desligado, o

atrito dos mancais e do ar fazem com que a roda pare em 2,2

horas. (a) Qual é a aceleração angular média da roda? (b)

Quantas rotações fará a roda antes de parar? (c) Qual é a

aceleração tangencial de uma partícula distante 50 cm do eixo de

rotação, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual é o

módulo da aceleração total da partícula no instante do item (c)?

R: a) 2 103rad/s b) 10

4voltas c) at 1 10

3m/s

2d)

a 30 8m/s2


2


Wo = 240 rpm = 4 MM f = 150 rpmW = 180 rpm =3 rpt Wo = zrf = 2511 = 15.7 radls

60× cte : W = Wo t X £

W = O

1 = - 10 x ⇒ X = - 0,1 Ups?

t = 2,

2h = 79 Is

FET.?E.TK#?t:ittEtIi:I::::I"

4w£

= Wd - 2 x DO me voltas = D- = 102T

0 = 32 - 2×0.1 DO e) at = xr = - 2 153×50×152=-1 ooxio- ]

DO = 9 × 5 = 45 rotaries at = - 1×10 - Is 2

] d) let =oi+#AR = I f= 75 rpm

^W = 7.85 rad A v= W R = 3.9 mm

2

an = 3.9*2 = 30 . 8 in /s2

1 oh I = ze . 8 m1s2

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Exercícios

As duas polias de uma máquina estão ligadas por uma correia

que não desliza, conforme mostra a figura. Se os raios das duas

polias são R1 e R2, determine a razão entre as velocidades

angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente?



se a correia moio desk .k V, e VZ soi igneous

:÷=÷÷=E÷We > WZ

a


a) 5 b) 25 c) 10 d) 2,5 e) 15

#

No-

= wo t x tI

Wox =

--

2 t2

O = wot + text

¢0 = wot - lz West2¥

0 = 3- W .t

4

1 bolton = 2T mad

n 2T = 3-

wot

m = 3- Not8 IT

-

s"

oo 2

outW =

WE + 2×0

0 = w ? + 2×0

2

X =- = senao O= I volta

2 O

& = - wo42

disco 2 :

W ? = 4.2 +

2×0 ,

0 = ( 5W.)2 -2 WI O

,

25 at= ufo?

0 , = 25 voltas .


a)

b )

c )

d)

e)

for wiga : awl :

Of = ZI

Oa =

6T

was

GIE W

wf = I =

I At

At R

At = GI2 I R W

at :

= - c

zinc = 6¥ = >v=

31


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aaeaaqos relative ( @ paedo ) X,

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t = 244€

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