Financial Mo Deling in a Fast Mean-Reverting Sto Chastic Volatility Environment

7/27/2019 Financial Mo Deling in a Fast Mean-Reverting Sto Chastic Volatility Environment

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F i n a n c i a l M o d e l i n g i n a F a s t M e a n - R e v e r t i n g S t o c h a s t i c

V o l a t i l i t y E n v i r o n m e n t

J e a n - P i e r r e F o u q u e

G e o r g e P a p a n i c o l a o u

y

K . R o n n i e S i r c a r

z

F e b r u a r y 1 9 9 9 ; u p d a t e d F e b r u a r y 2 0 0 0 .

A b s t r a c t

W e p r e s e n t a d e r i v a t i v e p r i c i n g a n d e s t i m a t i o n m e t h o d o l o g y f o r a c l a s s o f s t o c h a s t i c

v o l a t i l i t y m o d e l s t h a t e x p l o i t s t h e o b s e r v e d " b u r s t y " o r p e r s i s t e n t n a t u r e o f s t o c k

p r i c e v o l a t i l i t y . E m p i r i c a l a n a l y s i s o f h i g h - f r e q u e n c y S & P 5 0 0 i n d e x d a t a c o n r m s

t h a t v o l a t i l i t y r e v e r t s s l o w l y t o i t s m e a n i n c o m p a r i s o n t o t h e t i c k - b y - t i c k u c t u a t i o n s

o f t h e i n d e x v a l u e , b u t i t i s f a s t m e a n - r e v e r t i n g w h e n l o o k e d a t o v e r t h e t i m e s c a l e

o f a d e r i v a t i v e c o n t r a c t m a n y m o n t h s . T h i s m o t i v a t e s a n a s y m p t o t i c a n a l y s i s o f

t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a t i s e d b y d e r i v a t i v e p r i c e s , u t i l i z i n g t h e d i s t i n c t i o n

b e t w e e n t h e s e t i m e s c a l e s .

T h e a n a l y s i s y i e l d s p r i c i n g a n d i m p l i e d v o l a t i l i t y f o r m u l a s , a n d t h e l a t t e r p r o -

v i d e s a s i m p l e p r o c e d u r e t o " t t h e s k e w " f r o m E u r o p e a n i n d e x o p t i o n p r i c e s . T h e

t h e o r y i d e n t i e s t h e i m p o r t a n t g r o u p p a r a m e t e r s t h a t a r e n e e d e d f o r t h e d e r i v a t i v e

p r i c i n g a n d h e d g i n g p r o b l e m f o r E u r o p e a n - s t y l e s e c u r i t i e s , n a m e l y t h e a v e r a g e v o l a t i l -

i t y a n d t h e s l o p e a n d i n t e r c e p t o f t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y l i n e , p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f

t h e l o g - m o n e y n e s s - t o - m a t u r i t y - r a t i o . T h e r e s u l t s c o n s i d e r a b l y s i m p l i f y t h e e s t i m a t i o n

p r o c e d u r e .

T h e r e m a i n i n g p a r a m e t e r s , i n c l u d i n g t h e g r o w t h r a t e o f t h e u n d e r l y i n g , t h e c o r -

r e l a t i o n b e t w e e n a s s e t p r i c e a n d v o l a t i l i t y s h o c k s , t h e r a t e o f m e a n - r e v e r s i o n o f t h e

v o l a t i l i t y a n d t h e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k a r e n o t n e e d e d f o r t h e a s y m p t o t i c

p r i c i n g f o r m u l a s f o r E u r o p e a n d e r i v a t i v e s , a n d w e d e r i v e t h e f o r m u l a f o r a k n o c k - o u t

b a r r i e r o p t i o n a s a n e x a m p l e . T h e e x t e n s i o n t o A m e r i c a n a n d p a t h - d e p e n d e n t c o n t i n -

g e n t c l a i m s i s t h e s u b j e c t o f f u t u r e w o r k .

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 2

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , N o r t h C a r o l i n a S t a t e U n i v e r s i t y , R a l e i g h N C 2 7 6 9 5 - 8 2 0 5 ,

f o u q u e @ m a t h . n c s u . e d u .

y

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d C A 9 4 3 0 5 , p a p a n i c o @ m a t h . s t a n f o r d . e d u

z

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n , A n n A r b o r M I 4 8 1 0 9 - 1 1 0 9 , s i r c a r @ u m i c h . e d u .

W o r k s u p p o r t e d b y N S F g r a n t D M S - 9 8 0 3 1 6 9 .

1



1 . 1 M o t i v a t i o n f o r S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 M e a n - R e v e r t i n g D i u s i o n M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 3 M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 4 F a s t m e a n r e v e r s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 5 D e r i v a t i v e P r i c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 M a i n R e s u l t 6

2 . 1 E m p i r i c a l v a l i d a t i o n o f f a s t m e a n - r e v e r s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 R e s u l t s o f t t i n g t h e s k e w 8

4 E x a m p l e : P r i c i n g a B a r r i e r O p t i o n 9

5 F u t u r e d i r e c t i o n s 1 0

1 I n t r o d u c t i o n

T h i s a r t i c l e s u m m a r i z e s a e x i b l e m e t h o d o l o g y f o r s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l i n g w h i c h h a s

t h e f o l l o w i n g f e a t u r e s .

I t a p p l i e s t o a l a r g e c l a s s o f v o l a t i l i t y p r o c e s s e s t h a t a r e d r i v e n b y a n e r g o d i c p r o c e s s

t h a t i s t e n d i n g r a p i d l y i n a s e n s e t o b e e x p l a i n e d b e l o w t o i t s i n v a r i a n t m e a s u r e .

I t i n c o r p o r a t e s a n o n z e r o v o l a t i l i t y r i s k p r e m i u m t h a t m o d e l s t h e m a r k e t ' s c r a s h -

o - p h o b i a " , a n d a n o n z e r o c o r r e l a t i o n b e t w e e n v o l a t i l i t y a n d a s s e t p r i c e s h o c k s t h a t

e x p l a i n s t h e m u c h - o b s e r v e d s k e w o r l e v e r a g e e e c t .

A n a s y m p t o t i c a n a l y s i s t h a t e x p l o i t s v o l a t i l i t y c l u s t e r i n g y i e l d s a s i m p l e p r i c i n g a n d

h e d g i n g t h e o r y f o r E u r o p e a n - s t y l e a n d s o m e p a t h - d e p e n d e n t c o n t i n g e n t c l a i m s w h o s e

i m p l e m e n t a t i o n r e q u i r e s s o l u t i o n o f a P D E p r o b l e m t h a t i s a m i n o r e x t e n s i o n o f t h e

c o r r e s p o n d i n g c l a s s i c a l B l a c k - S c h o l e s P D E p r o b l e m f o r t h a t s e c u r i t y . I n p a r t i c u l a r ,

w h e r e t h e B l a c k - S c h o l e s t h e o r y p r o d u c e s a n e x p l i c i t f o r m u l a , s o d o e s t h e n e w t h e o r y .

T h e p a r a m e t e r s n e e d e d f o r t h e t h e o r y a r e e a s i l y r e a d f r o m t h e s k e w " . T h a t i s ,

c a l i b r a t i o n f r o m n e a r - t h e - m o n e y E u r o p e a n o p t i o n i m p l i e d v o l a t i l i t i e s i s s i m p l e a n d

d i r e c t . T h e d i c u l t - t o - e s t i m a t e v o l a t i l i t y r i s k p r e m i u m , c o r r e l a t i o n p a r a m e t e r , a n d

p e r s i s t e n c e - t i m e o f t h e v o l a t i l i t y a r e n o t e x p l i c i t l y n e e d e d . F u r t h e r , t h e t h e o r y d o e s

n o t n e e d e s t i m a t i o n o f t o d a y ' s v o l a t i l i t y l e v e l .

T h e t h e o r y c a n b e e x t e n d e d t o g i v e a g o o d a p p r o x i m a t i o n o f t h e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y

c o r r e c t e d l a w o f t h e r i s k - n e u t r a l a s s e t p r i c e p r o c e s s t h a t c a n b e u s e d t o s i m u l a t e , f o r

e x a m p l e t o p r i c e p a t h - d e p e n d e n t a n d , i n p r i n c i p l e , A m e r i c a n s e c u r i t i e s .

W e o u t l i n e t h e m a i n r e s u l t s o f t h i s a p p r o a c h a n d c i t e r e f e r e n c e s f o r t h e m a t h e m a t i c a l

d e t a i l s a n d e m p i r i c a l m o t i v a t i o n . W e a l s o p r e s e n t t h e p r i c i n g f o r m u l a f o r a k n o c k - o u t b a r r i e r

o p t i o n t h a t c a n b e u s e d d i r e c t l y a f t e r c a l i b r a t i o n f r o m t h e o b s e r v e d E u r o p e a n - o p t i o n s k e w .

W e c o n c l u d e w i t h a s u m m a r y o f o n g o i n g a n d f u t u r e w o r k .

2



1 . 1 M o t i v a t i o n f o r S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y

S t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s h a v e b e c o m e p o p u l a r f o r d e r i v a t i v e p r i c i n g a n d h e d g i n g i n t h e

l a s t t e n y e a r s a s t h e e x i s t e n c e o f a n o n a t i m p l i e d v o l a t i l i t y s u r f a c e o r t e r m - s t r u c t u r e h a s

b e e n n o t i c e d a n d b e c o m e m o r e p r o n o u n c e d , e s p e c i a l l y s i n c e t h e 1 9 8 7 c r a s h . T h i s p h e n o m -

e n o n , w h i c h i s w e l l - d o c u m e n t e d i n , f o r e x a m p l e , 6 , 9 , s t a n d s i n e m p i r i c a l c o n t r a d i c t i o n t o

t h e c o n s i s t e n t u s e o f a c l a s s i c a l B l a c k - S c h o l e s c o n s t a n t v o l a t i l i t y a p p r o a c h t o p r i c i n g o p t i o n s

a n d s i m i l a r s e c u r i t i e s . H o w e v e r , i t i s c l e a r l y d e s i r a b l e t o m a i n t a i n a s m a n y o f t h e f e a t u r e s

a s p o s s i b l e t h a t h a v e c o n t r i b u t e d t o t h i s m o d e l ' s p o p u l a r i t y a n d l o n g e v i t y , a n d t h e n a t u r a l

e x t e n s i o n p u r s u e d i n t h e l i t e r a t u r e a n d i n p r a c t i c e h a s b e e n t o m o d i f y t h e s p e c i c a t i o n o f

v o l a t i l i t y i n t h e s t o c h a s t i c d y n a m i c s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e m o d e l .

A n y e x t e n d e d m o d e l m u s t a l s o s p e c i f y w h a t d a t a i t i s t o b e c a l i b r a t e d f r o m . T h e p u r e

B l a c k - S c h o l e s p r o c e d u r e o f e s t i m a t i n g f r o m h i s t o r i c a l s t o c k d a t a o n l y i s n o t p o s s i b l e i n a n

i n c o m p l e t e m a r k e t i f o n e t a k e s t h e v i e w a s w e s h a l l t h a t t h e m a r k e t s e l e c t s a u n i q u e r i s k

n e u t r a l d e r i v a t i v e p r i c i n g m e a s u r e , f r o m a f a m i l y o f p o s s i b l e m e a s u r e s , w h i c h r e e c t s i t s

d e g r e e o f " c r a s h - o - p h o b i a " . T h u s a t l e a s t s o m e d e r i v a t i v e d a t a h a s t o b e u s e d t o p r i c e

o t h e r d e r i v a t i v e s , a n d m u c h r e c e n t w o r k u s e s o n l y d e r i v a t i v e d a t a t o e s t i m a t e a l l t h e m o d e l

p a r a m e t e r s s o t h a t t h e a s s u m e d r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d y n a m i c s o f d e r i v a t i v e p r i c e s a n d

t h e d y n a m i c s o f t h e u n d e r l y i n g i s n o t e x p l o i t e d a t a l l .

W e a l s o r e f e r t h e r e a d e r t o r e c e n t s u r v e y s o f t h e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y l i t e r a t u r e s u c h a s

4 , 5 .

1 . 2 M e a n - R e v e r t i n g D i u s i o n M o d e l

W h i l e t h e g e n e r a l a s y m p t o t i c t h e o r y 2 c a n b e g i v e n f o r v o l a t i l i t y p r o c e s s e s d r i v e n b y

a n y e r g o d i c s t o c h a s t i c p r o c e s s w i t h a u n i q u e i n v a r i a n t m e a s u r e e g . M a r k o v c h a i n s , j u m p

p r o c e s s e s , i t i s c o n v e n i e n t t o p r e s e n t t h e a n a l y s i s f o r a d i u s i o n d r i v i n g p r o c e s s , a s i s d o n e

i n 1 , 3 . T h e a n a l y s i s i n 1 0 i s i n d e p e n d e n t o f s p e c i c m o d e l i n g o f t h e v o l a t i l i t y p r o c e s s ,

b u t r e s u l t s i n b a n d s f o r o p t i o n p r i c e s t h a t d e s c r i b e p o t e n t i a l v o l a t i l i t y r i s k w h i l e o b v i a t i n g

t h e n e e d t o e s t i m a t e t h e r i s k p r e m i u m . H o w e v e r , t h e m a r k e t i n a t - a n d n e a r - t h e - m o n e y

E u r o p e a n o p t i o n s i s l i q u i d a n d i t s h i s t o r i c a l d a t a c a n b e u s e d t o e s t i m a t e t h i s p r e m i u m .

W e a t t e m p t t h i s w i t h a p a r s i m o n i o u s m o d e l t h a t i s c o m p l e x e n o u g h t o r e e c t a n i m p o r t a n t

n u m b e r o f o b s e r v e d v o l a t i l i t y f e a t u r e s :

1 . v o l a t i l i t y i s p o s i t i v e ;

2 . v o l a t i l i t y i s m e a n - r e v e r t i n g , b u t p e r s i s t s ;

3 . v o l a t i l i t y s h o c k s a r e n e g a t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h a s s e t p r i c e s h o c k s . T h a t i s , w h e n v o l a t i l -

i t y g o e s u p , s t o c k p r i c e s t e n d t o g o d o w n a n d v i c e - v e r s a . T h i s i s o f t e n r e f e r r e d t o a s

l e v e r a g e , a n d i t a t l e a s t p a r t i a l l y a c c o u n t s f o r a s k e w e d d i s t r i b u t i o n f o r t h e a s s e t p r i c e

t h a t l o g n o r m a l o r z e r o - c o r r e l a t i o n s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s d o n o t e x h i b i t .

1 . 3 M o d e l

W e p r e s e n t t h e r e s u l t s f o r m o d e l s i n w h i c h s t o c k p r i c e s a r e c o n d i t i o n a l l y l o g n o r m a l , a n d t h e

v o l a t i l i t y p r o c e s s i s a p o s i t i v e i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f a m e a n - r e v e r t i n g O r n s t e i n - U h l e n b e c k

3



O U p r o c e s s . T h a t i s ,

d X

t

X

t

= d t + f Y

t

d W

t

; 1

d Y

t

= m , Y

t

d t + d

̂

Z

t

; 2

̂

Z

t

: = W

t

+

q

1 ,

2

Z

t

;

w h e r e W a n d Z a r e i n d e p e n d e n t B r o w n i a n m o t i o n s , a n d i s t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n p r i c e

a n d v o l a t i l i t y s h o c k s , w i t h j j 1 .

T h e s o l u t i o n t o 2 i s

Y

t

= m + Y

0

, m e

, t

+

Z

t

0

e

, t , s

d

̂

Z

s

; 3

a n d , g i v e n Y

0

, Y

t

i s G a u s s i a n ,

Y

t

, Y

0

: e

, t

N

m

1 , e

, t

;

2

1 , e

, 2 t

; 4

w h e r e

2

: =

2

= 2 . T h u s Y h a s a u n i q u e i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o n , n a m e l y N m ;

2

, a n d i s

a s i m p l e b u i l d i n g - b l o c k f o r a l a r g e c l a s s o f s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s d e s c r i b e d b y c h o i c e o f

f . W e c a l l t h e s e m o d e l s m e a n - r e v e r t i n g b e c a u s e t h e v o l a t i l i t y i s a m o n o t o n i c f u n c t i o n o f

a p r o c e s s Y w h o s e d r i f t p u l l s i t t o w a r d s t h e m e a n v a l u e m . T h e v o l a t i l i t y i s c o r r e s p o n d i n g l y

p u l l e d t o w a r d s f m a p p r o x i m a t e l y .

1 . 4 F a s t m e a n r e v e r s i o n

I t i s o f t e n n o t e d i n e m p i r i c a l s t u d i e s o f s t o c k p r i c e s t h a t v o l a t i l i t y i s p e r s i s t e n t o r b u r s t y - f o r

d a y s a t a t i m e i t i s h i g h a n d t h e n , f o r a s i m i l a r l e n g t h o f t i m e , i t i s l o w . H o w e v e r , o v e r t h e

l i f e t i m e o f a d e r i v a t i v e c o n t r a c t a f e w m o n t h s , t h e r e a r e m a n y s u c h p e r i o d s , a n d l o o k e d a t

o n t h i s t i m e s c a l e , v o l a t i l i t y i s u c t u a t i n g f a s t , b u t n o t a s f a s t a s t h e r a p i d l y c h a n g i n g s t o c k

p r i c e .

I n t e r m s o f o u r m o d e l , w e s a y t h a t t h e v o l a t i l i t y p r o c e s s i s f a s t m e a n - r e v e r t i n g r e l a t i v e t o

t h e y e a r l y t i m e s c a l e , b u t s l o w m e a n - r e v e r t i n g b y t h e t i c k - t i c k t i m e s c a l e . S i n c e t h e d e r i v a t i v e

p r i c i n g a n d h e d g i n g p r o b l e m s w e s t u d y a r e p o s e d o v e r t h e f o r m e r p e r i o d , w e s h a l l s a y t h a t

v o l a t i l i t y e x h i b i t s f a s t m e a n - r e v e r s i o n w i t h o u t e x p l i c i t l y m e n t i o n i n g t h e l o n g e r t i m e s c a l e o f

r e f e r e n c e .

T h e r a t e o f m e a n - r e v e r s i o n i s g o v e r n e d b y t h e p a r a m e t e r , i n a n n u a l i z e d u n i t s o f y e a r s

, 1

.

I n 3 , w e p r e s e n t e m p i r i c a l e v i d e n c e f r o m S & P 5 0 0 d a t a t h a t i s i n f a c t l a r g e a n d t h a t

2

i s a s t a b l e O 1 c o n s t a n t , s o t h a t o u r l a r g e - o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a s o f S e c t i o n 2 c a n b e

u s e d .

A s a n i l l u s t r a t i o n , F i g u r e 1 s h o w s s a m p l e s t o c k p r i c e p a t h s f o r t h e m o d e l 1 - 2 i n w h i c h

= 1 a n d = 5 0 . S i n c e , f r o m 4 ,

1

l o g 2 i s t h e t i m e f o r t h e e x p e c t e d d i s t a n c e t o t h e m e a n

t o h a l v e , = 1 c o r r e s p o n d s t o 0 : 7 o f a y e a r r o u g h l y 8 m o n t h s , a n d = 5 0 c o r r e s p o n d s t o

a b o u t h a l f a w e e k . A l t e r n a t i v e l y , u n d e r t h e i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o n N m ;

2

, t h e c o v a r i a n c e

o f Y

s

a n d Y

s + t

i s

2

e

, t

a n d

, 1

i s t h e c o r r e l a t i o n t i m e o f t h e O U p r o c e s s . F o r = 1 t h i s

c o r r e l a t i o n t i m e i s a y e a r w h i l e f o r = 5 0 i t i s a b o u t a w e e k .

4



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

= 1

T i m e y e a r s

V

o

l

a

t

i

l

i

t

y

V

o

l

a

t

i

l

i

t

y

= 5 0

F i g u r e 1 : T h e t o p g u r e s h o w s a s i m u l a t e d p a t h o f f Y

t

= e

Y

t

w i t h = 1 , a n d t h e b o t t o m

o n e s h o w s a p a t h w i t h = 5 0 . I n b o t h c a s e s ,

2

= 0 : 2 5 ; E

f e

2 Y

t

g

1

2

= 0 : 1 . N o t e h o w

v o l a t i l i t y " c l u s t e r s " i n t h e l a t t e r c a s e .

1 . 5 D e r i v a t i v e P r i c i n g

W e a r e i n t e r e s t e d i n p r i c i n g E u r o p e a n - s t y l e d e r i v a t i v e c o n t r a c t s o n t h e u n d e r l y i n g s t o c k .

W h e n v o l a t i l i t y i s s u p p o s e d c o n s t a n t , t h e c l a s s i c a l B l a c k - S c h o l e s t h e o r y a p p l i e s ; w h e n i t i s

m o d e l l e d a s a s t o c h a s t i c p r o c e s s a s h e r e , t h e d e r i v a t i v e p r i c e C t ; x ; y i s g i v e n b y

C t ; x ; y = E

Q

t ; x ; y

f h X

T

g ; 5

w h e r e E

Q

t ; x ; y

d e n o t e s t h e e x p e c t a t i o n g i v e n t h a t X

t

= x , Y

t

= y , a n d u n d e r a n E q u i v a l e n t

M a r t i n g a l e M e a s u r e E M M Q . T h e p a y o f u n c t i o n o f t h e d e r i v a t i v e i s h x . U n d e r s u c h

a n E M M t h e d i s c o u n t e d s t o c k p r i c e i s a m a r t i n g a l e . B y s t a n d a r d n o - a r b i t r a g e p r i c i n g t h e o r y

s e e f o r e x a m p l e 7 , t h e r e i s m o r e t h a n o n e p o s s i b l e E M M b e c a u s e t h e m a r k e t i s i n c o m p l e t e

t h e v o l a t i l i t y i s n o t a t r a d e d a s s e t ; t h e n o n u n i q u e n e s s i s d e n o t e d b y t h e d e p e n d e n c e o f Q

o n , t h e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k .

W e s h a l l a s s u m e t h a t i s c o n s t a n t b e c a u s e i t h a s t o b e e s t i m a t e d f r o m m a r k e t d a t a , a t -

a n d n e a r - t h e - m o n e y c a l l o p t i o n p r i c e s i n 3 . M o s t s t u d i e s t a k e = 0 f o r s i m p l i c i t y , b u t w e

t a k e t h e v i e w t h a t t h e m a r k e t s e l e c t s a p r i c i n g m e a s u r e i d e n t i e d b y a p a r t i c u l a r w h i c h

w i l l b e s h o w n t o o c c u r i n a s i m p l e m a n n e r i n o u r p r i c i n g a n d i m p l i e d v o l a t i l i t y f o r m u l a s ,

h e n c e c o n s i d e r a b l y s i m p l i f y i n g e s t i m a t i o n o f i t s c o n t r i b u t i o n t o t h e o b s e r v e d s k e w . T h i s c a n

t h e n b e u s e d t o p r i c e m o r e c o m p l i c a t e d d e r i v a t i v e s i n a c o n s i s t e n t m a n n e r .

I n 3 , w e a n a l y z e t h e P D E c o r r e s p o n d i n g t o 5 i n t h e p r e s e n c e o f f a s t m e a n - r e v e r s i o n :

C

t

+

1

2

f y

2

x

2

C

x x

+ x f y C

x y

+

1

2

2

C

y y

+

r x C

x

, C + m

, y

, y C

y

= 0 ; 6

C T ; x ; y = h x 7

5



w h e r e

y : =

, r

f y

+

q

1 ,

2

: 8

T h e r e i s a l s o a l e f t b o u n d a r y c o n d i t i o n

C t ; L ; y = g t 9

w h i c h d o e s n o t , i n g e n e r a l , d e p e n d o n y . F o r e x a m p l e , f o r a E u r o p e a n c a l l , L = 0 ; g = 0 . W e

a l s o r e q u i r e t h a t t h e s o l u t i o n n o t b e t o o s i n g u l a r " a s x ! 1 ; f o r e x a m p l e , l i n e a r g r o w t h i s

p e r m i s s i b l e . T h i s i s s u c i e n t t o i d e n t i f y a u n i q u e s o l u t i o n s e e 1 1 f o r d e t a i l s . A b a r r i e r

o p t i o n i s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 .

T o s u m m a r i z e , t h e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s t u d i e d h e r e i s d e s c r i b e d b y t h e v e p a r a -

m e t e r s m ; ; ; ; w h i c h a r e , r e s p e c t i v e l y , t h e m e a n m a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e

i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o n o f t h e d r i v i n g O U p r o c e s s , t h e r a t e o f m e a n r e v e r s i o n , t h e s k e w n e s s

, a n d t h e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k

1

. T h e l a s t p a r a m e t e r c a n n o t b e e s t i m a t e d f r o m

h i s t o r i c a l a s s e t p r i c e d a t a . A s w e s h a l l s e e i n t h e n e x t s e c t i o n , n o t a l l o f t h e s e a r e n e e d e d

f o r t h e p r i c i n g t h e o r y .

2 M a i n R e s u l t

1 . W h e n t h e r a t e o f m e a n - r e v e r s i o n i s l a r g e v o l a t i l i t y p e r s i s t e n c e , t h e i m p l i e d v o l a t i l -

i t y c u r v e f r o m E u r o p e a n c a l l o p t i o n s i s w e l l - a p p r o x i m a t e d b y a s t r a i g h t l i n e i n t h e

c o m p o s i t e v a r i a b l e l a b e l l e d t h e l o g - m o n e y n e s s - t o - m a t u r i t y - r a t i o L M M R

L M M R : =

l o g

S t r i k e P r i c e

S t o c k P r i c e

T i m e t o M a t u r i t y

:

T h a t i s , i f C

c a l l

i s t h e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y c a l l o p t i o n p r i c e s a t i s f y i n g 6 - 7 w i t h h x =

x , K

+

, t h e n I d e n e d b y

C

c a l l

= C

B S

I ;

w h e r e C

B S

i s t h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a , i s g i v e n b y

I = a

l o g K = x

T

, t

+ b + O

, 1

:

T h e p a r a m e t e r s a a n d b a r e e a s i l y e s t i m a t e d a s t h e s l o p e a n d i n t e r c e p t o f t h e l i n e t .

2 . T h e p r i c e C

h

o f a n y o t h e r d e r i v a t i v e s a t i s f y i n g a p r o b l e m o f t y p e 6 , 7 , 9 , f o r e x a m p l e

b i n a r y o p t i o n s , b a r r i e r o p t i o n s , i s g i v e n b y

C

h

= C

0

+ C

1

+ O

, 1

;

1

A d e t a i l e d s t u d y o f p o s s i b l e w a y s t o d e n e t h i s c o n c e p t , a l o n g w i t h o t h e r r e s u l t s , i s g i v e n i n 8 .

6



w h e r e C

0

i s t h e s o l u t i o n t o t h e c o r r e s p o n d i n g B l a c k - S c h o l e s p r o b l e m w i t h c o n s t a n t

v o l a t i l i t y , a n d C

1

t ; x s o l v e s

L

B S

C

1

= V

3

x

3

@

3

C

0

@ x

3

+ V

2

x

2

@

2

C

0

@ x

2

;

w i t h

L

B S

: =

@

@ t

+

1

2

2

x

2

@

2

@ x

2

+ r

x

@

@ x

,

!

; 1 0

V

3

: = , a

3

; 1 1

V

2

: =

, b , a r +

3

2

2

; 1 2

a n d i s t h e l o n g - r u n h i s t o r i c a l a s s e t p r i c e v o l a t i l i t y . T h e t e r m i n a l c o n d i t i o n i s C

1

T ; x =

0 a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i s z e r o a l s o : C

1

t ; L = 0 .

T h e t a b l e b e l o w t h e n d i s t i n g u i s h e s t h e m o d e l p a r a m e t e r s f r o m t h e p a r a m e t e r s t h a t a r e

a c t u a l l y n e e d e d f o r t h e t h e o r y . T h e l a t t e r c a n b e w r i t t e n a s g r o u p i n g s o f t h e f o r m e r b y t h e

f o r m u l a s g i v e n i n 3 , b u t f o r p r a c t i c a l p u r p o s e s , t h e r e i s n o n e e d t o d o s o . W e p u r s u e t h i s

i n 3 f o r e m p i r i c a l c o m p l e t e n e s s .

M o d e l P a r a m e t e r s P a r a m e t e r s t h a t a r e n e e d e d

G r o w t h r a t e o f s t o c k

M e a n h i s t o r i c a l v o l a t i l i t y o f s t o c k

L o n g - r u n m e a n v o l a t i l i t y m

R a t e o f m e a n - r e v e r s i o n o f v o l a t i l i t y

S l o p e o f i m p l i e d v o l a t i l i t y l i n e t a

V o l a t i l i t y o f v o l a t i l i t y

C o r r e l a t i o n b e t w e e n s h o c k s

I n t e r c e p t o f i m p l i e d v o l a t i l i t y l i n e t b

V o l a t i l i t y r i s k p r e m i u m

T h e t h r e e p a r a m e t e r s o n t h e r i g h t - s i d e o f t h e t a b l e a r e e a s i l y e s t i m a t e d a n d f o u n d t o b e

q u i t e s t a b l e f r o m S & P 5 0 0 d a t a i n 3 .

2 . 1 E m p i r i c a l v a l i d a t i o n o f f a s t m e a n - r e v e r s i o n

W e h a v e u n d e r t a k e n i n 3 a n e x t e n s i v e e m p i r i c a l s t u d y o f h i g h - f r e q u e n c y S & P 5 0 0 i n d e x

d a t a t o e s t a b l i s h t h a t v o l a t i l i t y r e v e r t s s l o w l y t o i t s m e a n c o m p a r e d t o t h e t i c k - b y - t i c k s c a l e

u c t u a t i o n s , b u t i t r e v e r t s f a s t w h e n l o o k e d a t o v e r t h e l o n g e r t i m e s c a l e o f m o n t h s . T h e

k e y c o n c l u s i o n o f t h i s s t u d y i s t h a t w h i l e t h e r a t e o f m e a n - r e v e r s i o n i n u n i t s y e a r s

, 1

i s

l a r g e , i t i s a n e x t r e m l y d i c u l t p a r a m e t e r t o e s t i m a t e p r e c i s e l y , b e i n g t h e r e c i p r o c a l o f t h e

c o r r e l a t i o n t i m e o f a h i d d e n M a r k o v p r o c e s s . H o w e v e r , t h e a s y m p t o t i c d e r i v a t i v e s t h e o r y

d o e s n o t n e e d t h e v a l u e o f , o n l y t h a t i t b e l a r g e .

A b r i e f d e s c r i p t i o n o f o u r v a l i d a t i o n p r o c e d u r e i s a s f o l l o w s .

7



W e i d e n t i f y a n d u s e s e g m e n t s w h e r e t h e v o l a t i l i t y p r o c e s s c a n b e c o n s i d e r e d s t a t i o n a r y .

T h e s e t u r n o u t t o b e b e t w e e n o n e a n d a h a l f t o s i x m o n t h s i n l e n g t h f o r t h e 1 9 9 4 a n d

1 9 9 5 d a t a s e t s w e h a v e l o o k e d a t , a n d a c r o s s t h e s e s e g m e n t s , n o n s t a t i o n a r y e e c t s w o u l d

h a v e t o b e t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n . I n f a c t s t u d i e s o f d a i l y c l o s i n g d a t a , t h a t i s l o w

f r e q u e n c y p r i c e s , o f t e n i d e n t i f y t h i s t i m e s c a l e a s c h a r a c t e r i s t i c o f v o l a t i l i t y p e r s i s t e n c e .

H o w e v e r t h e i n t r a d a y d a t a h i g h l i g h t s a s h o r t e r t i m e s c a l e o f l o c a l v o l a t i l i t y u c t u a t i o n s .

W e e x t r a c t t h e r a t e o f m e a n - r e v e r s i o n f r o m t h e L o r e n z p a r t o f t h e s p e c t r u m o f t h e

l o g a r i t h m o f t h e s q u a r e d d e - m e a n e d r e t u r n s p r o c e s s . S u c h a s p e c t r a l a n a l y s i s i s s u i t e d

t o t h e h i g h - f r e q u e n c y d a t a t h a t w e h a v e , a n d p r o v i d e s a c o n v e n i e n t g r a p h i c a l t o o l f o r

p i c k i n g o a n o r d e r e s t i m a t e f o r . W e n d t h a t t h e c o r r e l a t i o n t i m e o f t h e p r o c e s s

i s o n t h e o r d e r o f o n e t o t w o d a y s . T h u s m e a n - r e v e r s i o n i s f a s t o v e r t h e t i m e s c a l e o f

m o n t h s .

W e v a l i d a t e b o t h t h e O U m e a n - r e v e r t i n g m o d e l a n d t h e e s t i m a t i o n o f t h e f a s t r a t e o f

m e a n - r e v e r s i o n b y b o o t s t r a p , t h a t i s , c o m p a r i s o n w i t h s p e c t r a o f s i m u l a t e d d a t a . T h e

m e t h o d s e p a r a t e s t h e i n t r i n s i c v a r i a b i l i t y o v e r s e g m e n t s o f t h e m o d e l p a r a m e t e r s f r o m

t h e i r s t a t i s t i c a l v a r i a b i l i t y . N o t e t h a t w e d o n o t e x p e c t p a r a m e t e r s o f t h e v o l a t i l i t y

p r o c e s s t o b e c o n s t a n t a c r o s s t h e s e g m e n t s o f s t a t i o n a r i t y .

3 R e s u l t s o f t t i n g t h e s k e w

T o t e s t t h e f e a s i b i l i t y o f t h e t h e o r y - p r e d i c t e d L M M R l i n e t f o r a c t u a l i m p l i e d v o l a t i l i t y d a t a ,

w e e s t i m a t e i n 3 t h e s l o p e a n d i n t e r c e p t c o e c i e n t s ^ a a n d

̂

b f r o m t t i n g B l a c k - S c h o l e s

i m p l i e d v o l a t i l i t i e s f r o m o b s e r v e d S & P 5 0 0 E u r o p e a n c a l l o p t i o n p r i c e s :

I

o b s

t ; x ; K ; T = ̂a

l o g K = x

T , t

!

+

̂

b : 1 3

W e o b s e r v e f r o m t h e r e s u l t s t h a t t h e s l o p e c o e c i e n t s ^ a a r e s m a l l . T h i s s t r o n g l y s u p p o r t s

t h e f a s t m e a n - r e v e r t i n g h y p o t h e s i s a n d v a l i d a t e s u s e o f t h e a s y m p t o t i c f o r m u l a a s t h e f u l l

s k e w f o r m u l a i n 3 s h o w s t h a t a i s a t e r m o f o r d e r 1 =

p

. W e a l s o n d t h a t t h e e s t i m a t e s ^ a

a n d

̂

b w i t h i n t h e s e g m e n t s o f s t a t i o n a r i t y a r e r e l a t i v e l y s t a b l e .

T h e f o l l o w i n g t a b l e s e p a r a t e s t h e n e e d e d p a r a m e t e r s , w h o s e e s t i m a t e s a r e f a i r l y s t a -

b l e , f r o m t h e o n e s p r e s e n t e d o n l y f o r c o m p l e t e n e s s , w h o s e e s t i m a t e s h a v e a h i g h d e g r e e o f

u n c e r t a i n t y . T h e g u r e s a r e f o r t h e 1 9 9 4 S & P 5 0 0 .

S e g m e n t

̂

̂a

̂

b

̂

2

̂ ̂ ̂ ̂

l e n g t h

1 6 m o n t h s 0 . 1 0 1 5 - 0 . 1 0 0 9 0 . 1 4 1 0 0 . 9 1 5 3 - 0 . 1 4 2 8 1 5 5 - 0 . 1 1 - 4 . 9 7

2 1

1

2

m o n t h s 0 . 0 9 9 4 - 0 . 1 2 7 0 0 . 1 2 8 6 0 . 7 8 3 5 0 . 4 1 7 0 1 5 5 - 0 . 2 0 2 . 3 6

4 3 m o n t h s 0 . 1 0 3 0 - 0 . 0 8 8 8 0 . 1 4 5 7 1 . 0 7 9 4 - 0 . 0 6 9 5 1 5 5 - 0 . 0 6 5 - 4 . 0 7

N o t i c e t h a t t h e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k e s t m a t e ^ i n h e r i t s t h e v a r i a b i l i t y o f t h e

g r o w t h r a t e e s t i m a t e ^ , b u t t h a t , j u s t a s t h e B l a c k - S c h o l e s t h e o r y d i d n o t d e p e n d o n , t h e

f a s t m e a n - r e v e r t i n g s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y t h e o r y o n l y d e p e n d s u p o n a s t a b l e g r o u p i n g o f t h e

a n d o t h e r p a r a m e t e r s .

8



4 E x a m p l e : P r i c i n g a B a r r i e r O p t i o n

W e b r i e y s k e t c h , f o r i l l u s t r a t i v e p u r p o s e s , t h e e x t e n s i o n o f t h e p r i c i n g t h e o r y t o m o r e

e x o t i c s e c u r i t i e s b y o u t l i n i n g t h e c a l c u l a t i o n f o r a k n o c k - o u t b a r r i e r c a l l o p t i o n w h i c h g i v e s

t h e h o l d e r t h e r i g h t t o b u y t h e u n d e r l y i n g a s s e t o n e x p i r a t i o n d a t e T f o r s t r i k e p r i c e K

u n l e s s t h e a s s e t p r i c e h a s h i t t h e b a r r i e r H a t a n y t i m e b e f o r e T , i n w h i c h c a s e t h e c o n t r a c t

e x p i r e s w o r t h l e s s . I n w h a t f o l l o w s , w e s h a l l a s s u m e H K .

I n t h e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y e n v i r o n m e n t , t h e p r i c e B t ; x ; y o f t h e b a r r i e r o p t i o n s a t i s e s

6 , 7 , 9 w i t h h x = x , K

+

, a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n B t ; H = 0 . O u r f a s t m e a n - r e v e r t i n g

a p p r o x i m a t i o n i s

B = B

0

t ; x + B

1

t ; x + O

, 1

;

w h e r e B

0

i s t h e B l a c k - S c h o l e s b a r r i e r p r i c e w i t h c o n s t a n t v o l a t i l i t y p a r a m e t e r . T h e

s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y c o r r e c t i o n B

1

s a t i s e s t h e P D E p r o b l e m

L

B S

B

1

= V

3

x

3

B

0

x x x

+ V

2

x

2

B

0

x x

; i n x H ; t T 1 4

w i t h z e r o t e r m i n a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e o p e r a t o r

L

B S

i s d e n e d i n 1 0 , a n d

t h e c o e c i e n t s V a n d W a r e e s t i m a t e d f r o m t h e h i s t o r i c a l v o l a t i l i t y a n d t h e s l o p e a n d

i n t e r c e p t o f t h e s k e w t t h r o u g h t h e e x p r e s s i o n s 1 1 a n d 1 2 .

F o l l o w i n g t h e e x p o s i t i o n i n 1 1 , B

0

t ; x i s o b t a i n e d b y t h e m e t h o d o f i m a g e s a n d g i v e n

b y

B

0

t ; x = C

B S

t ; x ,

x

H

1 , k

C

B S

t ; H

2

= x ;

w h e r e C

B S

t ; x i s t h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a f o r a v a n i l l a c a l l o p t i o n , w i t h t h e v o l a t i l i t y

p a r a m e t e r , a n d k : = 2 r =

2

. T h e r i g h t - h a n d s i d e o f 1 4 i s t h e n g i v e n b y

F t ; x : = V

3

x

3

C

B S

x x x

t ; x + V

2

x

2

C

B S

x x

t ; x ,

x

H

1 , k

V

2

H

4

x

2

C

B S

x x

t ; H

2

= x 1 5

, V

3

H

6

x

3

C

B S

x x x

t ; H

2

= x + q t ; H

2

= x

!

;

w i t h

q t ; x : = C

B S

t ; x + x C

B S

x

t ; x + x

2

C

B S

x x

t ; x ;

: = k k , 1 V

2

, V

3

k + 1 ;

: = 2 k V

2

, 3 k k + 1 V

3

;

: = , 3 k + 1 V

3

:

M o t i v a t e d b y t h e t r a n s l a t i o n a n d r e e c t i o n i n v a r i a n c e o f t h e s p a t i a l p a r t o f t h e B l a c k -

S c h o l e s o p e r a t o r L

B S

i n l o g a r i t h m i c c o - o r d i n a t e s m o v i n g a t t h e d r i f t r a t e r , w e d e n e t h e

m i r r o r o p e r a t o r M b y

M g t ; x =

x

H

1 , k

g t ; H

2

= x :

T h e n t h e m e t h o d o f i m a g e s s a y s t h a t t h e s o l u t i o n t o L

B S

B

1

= F t ; x i n x H i s g i v e n

b y s o l v i n g

L

B S

v t ; x = F t ; x , M F t ; x ;

9



i n x 0 a n d r e s t r i c t i n g t h e s o l u t i o n t o x H .

F r o m 1 5 , w e t h e n o n l y h a v e t o s o l v e

L

B S

v t ; x = 2 V

2

x

2

C

B S

x x

t ; x , M x

2

C

B S

x x

t ; x + q t ; x , M q t ; x ;

o n t h e f u l l d o m a i n x 0 ; t T . S i n c e t h e r i g h t - h a n d s i d e i s a f u n c t i o n m i n u s i t s m i r r o r ,

i t c a n b e s h o w n t h a t w e c a n i g n o r e t h e m i r r o r t e r m s , s o l v e a n d t h e n s u b t r a c t t h e m i r r o r o f

t h e s o l u t i o n . T h u s w e n e e d t o s o l v e

L

B S

u t ; x = 2 V

2

x

2

C

B S

x x

t ; x + q t ; x ;

w i t h z e r o t e r m i n a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

A c o n v e n i e n t e x p r e s s i o n f o r t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e s o l u t i o n f r o m t h e r s t f o r c i n g t e r m i s

o b t a i n e d b y e x p l i c i t c o m p u t a t i o n f r o m t h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a a n d t h e G r e e n ' s f u n c t i o n

f o r L

B S

. T h i s c o m p u t a t i o n a p p e a r s i n 1 o r 3 s i n c e i t i s p a r t o f t h e s o l u t i o n f o r t h e r e g u l a r

c a l l o p t i o n . T h e s e c o n d p a r t o f t h e s o l u t i o n c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f d e r i v a t i v e s o f t h e

B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a w i t h r e s p e c t t o r a n d , b y n o t i c i n g t h a t

L

B S

T , t C

B S

t ; x = , C

B S

t ; x ;

L

B S

C

B S

r

t ; x = C

B S

t ; x , x C

B S

x

t ; x ;

L

B S

C

B S

t ; x =

, x

2

C

B S

x x

t ; x :

U s i n g t h e s e , w e n d

u = , 2 V

2

x e

, d

2

1

= 2

p

2

p

T , t , + T , t C

B S

, C

B S

r

,

C

B S

;

w h e r e d

1

i s i n s t a n d a r d B l a c k - S c h o l e s n o t a t i o n

d

1

=

l o g x = K + r +

1

2

2

T , t

p

T , t

:

F i n a l l y , v t ; x = u t ; x , M u t ; x a n d B

1

t ; x i s t h e r e s t r i c t i o n o f v t o x H :

B

1

t ; x = u t ; x ,

x

H

1 , k

u t ; H

2

= x :

T h e s e p a r a t e c o m p o n e n t s o f t h e f o r m u l a a r e e a s i l y c o m p u t e d i n c l o s e d f o r m a n d t h e s k e w -

c a l i b r a t e d p a r a m e t e r s a a n d b i n s e r t e d t h r o u g h V

2

a n d V

3

. T h e r e i s o f c o u r s e n o d e p e n d e n c e

o n t h e u n s e e n v a l u e o f t o d a y ' s v o l a t i l i t y f y .

5 F u t u r e d i r e c t i o n s

1 . T h e e s t i m a t i o n t o o l s o u t l i n e d h e r e c a n n o w b e u s e d t o v a l i d a t e a f a s t m e a n - r e v e r t i n g

m o d e l f o r o t h e r h i g h - f r e q u e n c y d a t a s e t s . W e a r e p r e s e n t l y p r e p a r i n g a n e m p i r i c a l

s t u d y o f S & P 5 0 0 i n d e x d a t a f r o m o t h e r y e a r s , a s w e l l a s f o r e i g n e x c h a n g e r a t e d a t a .

1 0



2 . T h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e p r i c e s c a n b e i m p r o v e d t o g i v e a

p r o b a b i l i t y l a w t h a t a p p r o x i m a t e s t h e f u l l r i s k - n e u t r a l p r i c i n g l a w . T h e f u l l t h e o r y

2 w i l l d e p e n d o n m o r e g l o b a l f e a t u r e s o f t h e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l t h a n j u s t t h e

p a r a m e t e r s a a n d b , b u t i t w i l l b e a p p l i c a b l e t o s h o r t - m a t u r i t y a n d f a r - f r o m - t h e - m o n e y

c o n t r a c t s w h i c h a r e o u t s i d e t h e r e g i o n o f v a l i d i t y o f t h e p r e s e n t t h e o r y .

3 . W e a r e w o r k i n g o n a n a s y m p t o t i c s i m p l i c a t i o n o f t h e A m e r i c a n o p t i o n p r i c i n g p r o b l e m

u n d e r s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y , w h i c h c u r r e n t l y m u s t b e s o l v e d n u m e r i c a l l y .

4 . T h e p r o b l e m o f c o m p u t i n g o p t i m a l h e d g i n g s t r a t e g i e s u n d e r c o n s t r a i n t s w h e n v o l a t i l i t y

i s r a n d o m i s u n s o l v e d . F o r e x a m p l e , t o o p t i m i z e t h e p r o b a b i l i t y o f a s u c c e s s f u l h e d g e

w i t h j u s t t h e u n d e r l y i n g g i v e n a n i n i t i a l c a s h i n p u t w o u l d r e q u i r e s o l v i n g a d e g e n e r a t e

H a m i l t o n - J a c o b i - B e l l m a n e q u a t i o n . W e a r e l o o k i n g a t s i m p l i f y i n g t h i s p r o b l e m w i t h

s e p a r a t i o n o f s c a l e s a s y m p t o t i c s .

R e f e r e n c e s

1 J . - P . F o u q u e , G . P a p a n i c o l a o u , a n d K . R . S i r c a r . A s y m p t o t i c s o f a t w o - s c a l e s t o c h a s t i c

v o l a t i l i t y m o d e l . I n E q u a t i o n s a u x d e r i v e e s p a r t i e l l e s e t a p p l i c a t i o n s , i n h o n o u r o f

J a c q u e s - L o u i s L i o n s , p a g e s 5 1 7 5 2 5 . G a u t h i e r - V i l l a r s , M a y 1 9 9 8 .

2 J . - P . F o u q u e , G . P a p a n i c o l a o u , a n d K . R . S i r c a r . G e n e r a l t h e o r y o f f a s t m e a n - r e v e r t i n g

s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y . I n p r e p a r a t i o n , 1 9 9 8 .

3 J . - P . F o u q u e , G . P a p a n i c o l a o u , a n d K . R . S i r c a r . M e a n - R e v e r t i n g S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y .

P r e p r i n t , N o v e m b e r 1 9 9 8 .

4 R . F r e y . D e r i v a t i v e a s s e t a n a l y s i s i n m o d e l s w i t h l e v e l - d e p e n d e n t a n d s t o c h a s t i c v o l a t i l -

i t y . T e c h n i c a l r e p o r t , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , E T H Z u r i c h , N o v e m b e r 1 9 9 6 .

5 E . G h y s e l s , A . H a r v e y , a n d E . R e n a u l t . S t o c h a s t i c v o l a t i l i t y . I n G . M a d d a l a a n d C . R a o ,

e d i t o r s , S t a t i s t i c a l M e t h o d s i n F i n a n c e , v o l u m e 1 4 o f H a n d b o o k o f S t a t i s t i c s , c h a p t e r 5 ,

p a g e s 1 1 9 1 9 1 . N o r t h H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 9 9 6 .

6 J . J a c k w e r t h a n d M . R u b i n s t e i n . R e c o v e r i n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s f r o m c o n t e m p o -

r a n e o u s s e c u r i t y p r i c e s . J . F i n . , 5 1 5 : 1 6 1 1 1 6 3 1 , 1 9 9 6 .

7 I . K a r a t z a s . L e c t u r e s o n t h e M a t h e m a t i c s o f F i n a n c e . C R M M o n o g r a p h S e r i e s , A m e r i c a n

M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 1 9 9 6 .

8 R . L e e . L o c a l v o l a t i l i t i e s i n s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s . P r e p r i n t , N o v e m b e r 1 9 9 8 .

9 M . R u b i n s t e i n . N o n p a r a m e t r i c T e s t s o f A l t e r n a t i v e O p t i o n P r i c i n g M o d e l s . J . F i n a n c e ,

X L 2 : 4 5 5 4 8 0 , J u n e 1 9 8 5 .

1 0 K . R . S i r c a r a n d G . C . P a p a n i c o l a o u . S t o c h a s t i c v o l a t i l i t y , s m i l e a n d a s y m p t o t i c s . A p p l i e d

M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , t o a p p e a r , 1 9 9 8 .

1 1



1 1 P . W i l m o t t , J . D e w y n n e , a n d S . H o w i s o n . M a t h e m a t i c s o f F i n a n c i a l D e r i v a t i v e s : A

S t u d e n t I n t r o d u c t i o n . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 6 .

1 2

Financial Mo Deling in a Fast Mean-Reverting Sto Chastic Volatility Environment

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