TD2 · Title: Microsoft Word - TD2.doc Created Date: 11/7/2015 3:41:21 PM
FICM2A–Probabilités...
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École des Mines de Nancy Année 2017-2018Denis Villemonais, [email protected]
FICM 2A – Probabilités
TD 2. Lois conditionnelles – Corrigé
Dans tous les exercices, (Ω,F ,P) est un espace de probabilité sur lequel sontdéfinies les variables aléatoires considérées. Ces variables aléatoires sont doncen particulier F -mesurables.
Exercice 1. Soient (Yi )i∈N et N des variables aléatoires indépendantes. On sup-pose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ> 0 et que Yi (i ∈N) suit uneloi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[, c’est-à-dire
∀n ∈N, P(N = n) = e−λλn
n!et ∀i ∈N, P(Yi = 1) = 1−P(Yi = 0) = p.
Déterminer la loi conditionnelle de X =N+1∑i=1
Yi sachant N .
Solution. Nous avons, pour tout k ∈N,
P(X = k | N = n) =P(
N+1∑i=1
Yi = k | N = n
)
=P(
n+1∑i=1
Yi = k | N = n
)
=P(
n+1∑i=1
Yi = k
)par indépendance de (Yi ) et de N
=C kn+1pk (1−p)n+1−k .
Ainsi,
P(X = k | N ) =C kN+1pk (1−p)N+1−k .
1
Exercice 2. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Supposonsque X (respectivement Y ) suit une loi binomiale de paramètre (m, p) (respec-tivement (n, p)).
1. Calculer la loi du couple (X , X +Y ).
2. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant X +Y .
Solution. 1. Pour tout k, l ∈N,
P((X , X +Y ) = (k, l )) =P(X = k et Y = l −k)
=P(X = k)P(Y = l −k).
Ainsi,
P((X , X +Y ) = (k, l )) =
0 si k ∉ 0,m ou l ∉ k,k +n,
C kmC l−k
n p l (1−p)m+n−l sinon.
2. D’après la proposition 3.13, nous avons, pour tout k ∈ 0,m et l ∈ k,k +n,
P(X = k | X +Y = l ) = P((X , X +Y ) = (k, l ))
P(X +Y = l )= C k
mC l−kn p l (1−p)m+n−l
C ln+m p l (1−p)n+m−l
,
soit
P(X = k | X +Y = l ) =
0 si k ∉ 0,m ou l ∉ k,k +n,
C kmC l−k
n /C ln+m sinon.
Exercice 3. Soit (X ,Y )′ un vecteur aléatoire de loi uniforme sur le triangle T =(x, y) ∈R2 /0 ≤ y ≤ x ≤ 1, c’est-à-dire de densité
f(X ,Y )(x, y) = 210≤y≤x≤1, ∀(x, y) ∈R2.
1. (a) Donner la loi de Y sachant X .
(b) En déduire E(Y | X ).
(c) Calculer E(Y ) et E(X Y ).
2. Montrer que Z = YX est bien définie presque sûrement et donner la condi-
tionnelle de Z sachant X . Montrer que Z est indépendant de X et donnersa loi.
2
Solution. 1. (a) La loi de Y sachant X est une loi à densité donnée, d’aprèsla Proposition 3.13, par
fY |X (y) = f(X ,Y )(X , y)
fX (X ), ∀y ∈R,
où
fX (X ) =∫R
f(X ,Y )(X , y)d y = 2X 10≤X≤1 = 2X p.s.
En définitive,
fY |X (y) = 1
X10≤y≤X .
En d’autres termes, conditionnellement à X , la loi de Y est une dis-tribution uniforme sur [0, X ].
(b) En utilisant le théorème du transport conditionnel (Y est uniformé-ment bornée donc intégrable),
E(Y | X ) =∫R
y fY |X (y)d y = 1
X
∫[0,X ]
y d y.
En définitive,
E(Y | X ) =∫R
y fY |X (y)d y = X
2.
(c) Nous avons
E(Y ) = E(E(Y | X )) = E(X /2) = 1
3.
De plus, X étant σ(X )-mesurable et X Y intégrable (car uniformé-ment borné),
E(X Y ) = E(XE(Y | X )) = E(X 2/2) = 1
4.
2. X est différent de 0 presque sûrement, donc Z = Y /X est bien définiepresque sûrement. Nous avons, pour toute fonction mesurable bornéeϕ,
E(ϕ(Z ) | X ) =∫R2ϕ(y/X ) fY |X (y)d y
=∫
[0,X ]ϕ(y/X )
X
2d y
=∫
[0,1]ϕ(z)d y cd v z = y/X .
3
Nous en déduisons que la loi de Z sachant X est à densité donnée par
fZ |X (z) = 1[0,1](z), ∀z ∈R.
Cette loi ne dépend pas de X , donc
Z est indépendant de X et Z est de loi uniforme sur [0,1].
Exercice 4. Soient X1 et X2 des variables aléatoires indépendantes de loi expo-nentielle de paramètre respectif λ > 0 et µ > 0. Considérons les variables aléa-toires
Y = 1X2≥1 et Z =
1 si X2 ∈]0,1[
2X1 +1 si X2 ∈ [1,+∞[.
1. Montrer que, pour toute fonction mesurable bornée ϕ,
E(ϕ(Z ) | Y = 0) =∫Rϕ(z)δ1(d z) et E(ϕ(Z ) | Y = 1) =
∫[1,+∞[
ϕ(z)e2/λ
2λe−z/2λd z.
2. Déterminer la loi conditionnelle de Z sachant Y .
3. Déterminer la loi de Z .
Solution. 1. Remarquons que les expressions suivantes sont bien définies,car P(Y = 0) = 1− e−µ > 0 et P(Y = 1) = e−µ > 0. Nous avons, par défi-nition de l’espérance conditionnellement à un événement de probabilitéstrictement positive,
E(ϕ(Z ) | Y = 0) = E(ϕ(1) | Y = 0) =ϕ(1) =∫Rϕ(z)δ1(d z)
et
E(ϕ(Z ) | Y = 1) = E(ϕ(2X1 +1) | Y = 1) = E(ϕ(2X1 +1))
=∫
[0,+∞[ϕ(2x1 +1)
1
λe−x1/λd x1
=∫
[1,+∞[ϕ(z)
e2/λ
2λe−z/2λd z cd v z = 2x1 +1.
4
2. La variable aléatoire Y est une variable aléatoire discrète à valeurs dans0,1, donc, pour toute fonction mesurable bornée ϕ,
E(ϕ(Z ) | Y ) = E(ϕ(Z ) | Y = 0)1Y =0 +E(ϕ(Z ) | Y = 1)1Y =1
=∫Rϕ(z)δ1(d z)1Y =0 +
∫[1,+∞[
ϕ(z)e2/λ
2λe−z/2λd z1Y =1.
Par conséquent,
PZ (d z | Y ) = δ1(d z)1Y =0 +1z≥1e2/λ
2λe−z/2λd z1Y =1.
3. Pour toute fonction mesurable bornée ϕ,
E(ϕ(Z )) = E(E(ϕ(Z ) | Y ))
= E(ϕ(1)1Y =0 +
∫[1,+∞[
ϕ(z)e−z/2λd z1Y =1
)= (
1−e−1/µ)ϕ(1)+e−1/µ∫
[1,+∞[ϕ(z)e−z/2λd z.
La loi de Z est donc donné par
PZ (d z) = (1−e−1/µ) δ1(d z)+e−1/µ1z≥1e−z/2λd z.
Exercice 5. Soit (X ,Y ) un couple gaussien centré de matrice de covariance
Γ=(
a cc b
), où a,b > 0 et a +b +2c 6= 0.
Exprimer la loi de X sachant X +Y = u en fonction des paramètres a,b,c.
Solution. Soit Z = (Z1, Z2)′ le vecteur aléatoire défini par
Z =(
XX +Y
)=
(1 01 1
) (XY
).
D’après la proposition 1.10 page 9, Z est également un vecteur gaussien, demoyenne nulle (car (X ,Y ) est de moyenne nulle) et de matrice de covariance
ΓZ =(
1 01 1
)(a cc b
)(1 10 1
)=
(a a + c
a + c a +b +2c
).
5
Nous appliquons à présent le corollaire 3.18 page 69 pour calculer la loi de Z1 =X sachant Z2 = X +Y . Nous avons
ΓZ1 = 1ΓZ1,Z2 = a + c et ΓZ2 = a +b +2c 6= 0,
donc Z2 est non-dégénéré et, par conséquent,
PZ1 (d x | Z2) =N
(a + c
a +b +2cZ2, a − (a + c)2
a +b +2c
).
En d’autres termes,
PX (d x | X +Y ) =N
(a + c
a +b +2c(X +Y ), a − (a + c)2
a +b +2c
).
Exercice 6. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi expo-nentielle de paramètre respectif λ> 0 et µ> 0. Posons
U = min(X ,Y ) et V = max(X ,Y ).
1. (a) Montrer que, pour toute fonction mesurable bornée ϕ,
E(ϕ(V ) | X ) = (1−e−X /µ)ϕ(X )+
∫[X ,+∞[
ϕ(v)e−v/µ
µdλ1(v).
(b) Donner la loi de V sachant X .
(c) Montrer que
E(V | X ) = X +µe−X /µ presque sûrement.
(d) Calculer E(V ).
2. Supposons λ=µ.
(a) Montrer que la loi du couple (U ,V ) admet une densité f(U ,V ) parrapport à λ2, donnée par
f(U ,V )(u, v) = 210≤u<ve−(u+v)/λ
λ2.
(b) Calculer la loi de U sachant V .
(c) Déterminer E(U |V ).
6
Solution. 1. (a) D’après le théorème du transport conditionnel, on a, pourtoute fonction ϕ mesurable bornée,
E(ϕ(V ) | X ) = E(ϕ(max(X ,Y )) | X )
=∫Rϕ(max(X , y))PY (d y | X )
=∫Rϕ(max(X , y))PY (d y)
par indépendance de X et Y . Or Y est de loi exponentielle de para-
mètre µ > 0, donc de densité e−y/µ
µ 1y≥0 par rapport à la mesure deLebesgue. En somme,
E(ϕ(V ) | X ) =∫R+ϕ(max(X , y))
e−y/µ
µdλ1(y)
=∫
[0,X ]ϕ(X )
e−y/µ
µdλ1(y)+
∫[X ,+∞[
ϕ(y)e−y/µ
µdλ1(y)
= (1−e−X /µ)ϕ(X )+
∫[X ,+∞[
ϕ(v)e−v/µ
µdλ1(v)
(b) Nous déduisons de la question précédente que
E(ϕ(V ) | X ) =∫Rϕ(v) N (X ,d v)
où N (X ,d v) := (1−e−X /µ
)δX (d v)+ e−v/µ
µ1v≥X λ1(d v) est une proba-
bilité de transition. Cette relation étant vraie pour toute fonctionmesurable bornéeϕ, nous en déduisons, par définition de la loi condi-tionnelle, que
PV (d v | X ) = (1−e−X /µ)δX (d v)+ e−v/µ
µ1v≥X λ1(d v).
(c) La variable aléatoire V étant positive, nous déduisons du théorèmedu transport conditionnel que
E(V | X ) =∫R
v PV (d v | X )
= X(1−e−X /µ)+∫
[X ,+∞[v
e−v/µ
µλ1(d v).
Finalement, E(V | X ) = X +µe−X /µ presque sûrement.
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(d) En applicant le théorème du transport dans la deuxième égalité ci-dessous, nous obtenons
E(V ) = E(E(V | X )) = E(X +µe−X /µ)
=∫R+
(x +µe−x/µ) e−x/λ
λλ1(d x).
En définitive, E(V ) =λ+ µ2
λ+µ .
2. (a) Par indépendance de X et Y , nous déduisons que la loi du couple
(X ,Y ) est donnée par e−(x+y)/λ
λ2 dλ2(x, y). Pour toute fonction mesu-rable bornée ϕ, nous avons, d’après le théorème du transport,
E(ϕ(U ,V )) = E(ϕ(min(X ,Y ),max(X ,Y )))
=∫R2+ϕ(min(x, y),max(x, y))
e−(x+y)/λ
λ2dλ2(x, y)
=∫R2+ϕ(x, y)1x<y
e−(x+y)/λ
λ2dλ2(x, y)
+∫R2+ϕ(y, x)1y<x
e−(x+y)/λ
λ2dλ2(x, y).
Donc
E(ϕ(U ,V )) =∫R2+ϕ(u, v)1u<v
e−(u+v)/λ
λ2dλ2(u, v)
+∫R2+ϕ(u, v)1u<v
e−(u+v)/λ
λ2dλ2(v,u)
= 2∫R2+ϕ(u, v)1u<v
e−(u+v)/λ
λ2dλ2(u, v)
donc la loi de (U ,V ) est la loi sur R2 à densité f(U ,V ) par rapport à lamesure de Lebesgue, donnée par
f(U ,V )(u, v) = 210≤u<ve−(u+v)/λ
λ2.
(b) On en déduit que V possède une loi sur R à densité fV par rapport àla mesure de Lebesgue, donnée par
fV (v) =∫R
f(U ,V )(u, v)du = 2e−v/λ
λ
(1−e−v/λ
).
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Nous déduisons ainsi de la propriété 3.13 que, presque sûrement,
PU (du |V ) = f(U ,V )(u,V )
fV (V )= e−u/λ
λ(1−e−V /λ)10≤u≤V du.
(c) La variable aléatoire U étant positive, nous déduisons enfin l’espé-rance de U sachant V de la question précédente et du théorème dutransport conditionnel :
E(U |V ) =∫
[0,V ]u
e−u/λ
λ(1−e−V /λ)λ1(du)
= 1
1−e−V /λ
([−u e−u/λ
]V
0+
∫[0,V ]
e−u/λλ1(du)
)= 1
1−e−V /λ
(−V e−V /λ+λ(1−e−V /λ)
).
En conséquence,
E(U |V ) =λ− V e−V /λ
1−e−V /λ.
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