21. 5. 2003 1

FII–9 Indukčnost. Energie magnetického pole. Střídavé

proudy.

21. 5. 2003 2

Hlavní body

• Přenos energie.• Překonávání momentu síly a

elektromotorického napětí,• Foucaultovy proudy.• Vlastní indukčnost.• Střídavé proudy. Střední hodnoty• Popis obvodů RLC pomocí komplexního

aparátu.

21. 5. 2003 3

Přenos energie

• Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie.

• Výhoda je, že elektrická energie je výráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno.

• Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

21. 5. 2003 4

Pohyblivá vodivá tyč VIII

• Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí , neteče proud.

• Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali :

F = BIL.

21. 5. 2003 5

Pohyblivá vodivá tyč IX

• Když tyčkou pohybujeme a propojíme kolejnice rezistorem R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I = /R.

• V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BILv = I, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.

21. 5. 2003 6

Překonávání momentu síly I

• Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly.

• Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační :

P = Fv = T

21. 5. 2003 7

*Překonávání momentu síly II

• Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly.

• Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.

21. 5. 2003 8

*Překonávání momentu síly III

• Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = /R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí musíme dodat výkon : P = T = BIL2/2 = I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

21. 5. 2003 9

Elektromotorické napětí I

• Z výše uvedeného vidíme, že rotační pohyb vede k obdobným závěrům jako translační. Proto se můžeme bez újmy na obecnosti vrátit k vodivé tyčce, pohybující se přímočaře po kolejnicích.

• Připojme nyní ke kolejnicím vnější zdroj. Poteče proud, daný napětím tohoto zdroje a rezistancí obvodu a na něm bude závislé síla, která bude na tyčku působit.

21. 5. 2003 10

Elektromotorické napětí II

• Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako když tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho elektromotorické proti napětí.

• Výsledný proud je superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti napětím.

21. 5. 2003 11

Elektromotorické napětí III

• Než se dá tyčka do pohybu, bude (rozběhový) proud největší I0 = U/R.

• Za pohybu bude proud podle Kirchhoffova zákona dán :

I = (U - )/R = (U – vBL)/R

• Proud tedy zjevně závisí na rychlosti tyčky.

21. 5. 2003 12

Elektromotorické napětí IV

• Kdyby tyčka nebyla nijak zatížena, zrychlovala by až do rovnováhy indukovaného napětí s napětím zdroje. V tomto momentě mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně.

• Nyní také snadno rozumíme tomu, proč se přetížený motor, když se příliš zpomalí, může spálit, příliš velkým proudem.

21. 5. 2003 13

*Foucaultovy proudy I

• Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole.

• Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně ponořen nebo pole není homogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy proudy.

21. 5. 2003 14

*Foucaultovy proudy II

• Novým jvem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odpor pohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho udržení.

• Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulému brždění některých pohybů.

21. 5. 2003 15

*Foucaultovy proudy III

• Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrát výkonu. Proto mosí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.

21. 5. 2003 16

Vlastní indukčnost I

• Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, se objevuje elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící.

• Dokonce i kousek vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně.

21. 5. 2003 17

Vlastní indukčnost II

• Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud, je vlastně ponořen ponořen do magnetického pole generovaného tímto proudem.

• Chceme-li v tomo okamžiku změnit proud, musíme změnit magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně.

21. 5. 2003 18

Vlastní indukčnost III

• Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na:• geometrii vodiče a vlastnostech okolního

prostoru

• rychlosti změny proudu

• Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost L.

21. 5. 2003 19

Vlastní indukčnost IV

• Potom můžeme zákon indukce jednoduše psát :

= - L dI/dt

• Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické.

• Cívky maji obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

21. 5. 2003 20

Vlastní indukčnost V

• Máme-li solenoid s N závity, jimiž prochází magnetický tok , můžeme popsat indukčnost a elektromotorické napětí jako:

L = N/I

= - N d/dt = - L dI/dt

• Jednotkou indukčnosti je 1 henry

1H = Vs/A = Tm2/A (Tm2 = 1 Wb)

21. 5. 2003 21

Vlastní indukčnost VI

• Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí:

L = r0N2S /l• V elektronice a elektrotechnice se používají

součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost – cívky.

21. 5. 2003 22

Transformátor I

• Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí dvě nebo více cívek stejný magetický tok. Cívka, ke ktreré je připojeno vstupní napětí a která tedy tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární.

• Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a k přizpůsobení vnitřního odporu.

21. 5. 2003 23

Transformátor II

• Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, majícími N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud.

• Každým závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se na něm elektromotorické napětí 1 :

1 = - d/dt

21. 5. 2003 24

Transformátor III

• Připojíme-li k primární cívce napětí U, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu:

U1 = N11

• Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů:

U2 = N21

21. 5. 2003 25

Transformátor IV

• Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů :

U1/N1 = U2/N2

• Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 1.

21. 5. 2003 26

Transformátor V

• Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízkou 1.

• Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci.

P = U1I1 = U2N1I1/N2 = U2I2

I1N1 = I2N2

R1/N12 = R2/N2

2

21. 5. 2003 27

Energie magnetického pole I

• Indukčnost klade odpor změnám protékajícího proudu. Znamená to, že k dosažení určitého proudu, je potřeba vykonat jistou práci. Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole, které nám ji vrací, když proud snižujeme.

• Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

21. 5. 2003 28

Energie magnetického pole II

• Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunavat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí :

P = I = ILdI/dt dW = Pdt = LIdI

• Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat :

W = LI2/2

21. 5. 2003 29

Hustota energie magnetického pole I

• Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém.

• Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu :

• Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L = 0N2S/l

B = 0NI/l I = Bl/0N

21. 5. 2003 30

Hustota energie magnetického pole II

• Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat rozprostřenou většinu energie, můžeme ½ B2/0 přiřadit hustotě energie magnetického pole.

• Tento výraz platí i obecně.

SlB

N

Bl

l

SNW

2)(

22

2

21. 5. 2003 31

*RC, RL, LC and RLC Circuits

• Často je nutné najít, jak závisí hodnoty veličin při změnách na čase. Například při nabíjení a vybíjení kondenzátoru nebo cívky.

• U obvodů LC se objevuje nový jev oscilace.

21. 5. 2003 32

Obvod RC I

• Mějme kondenzátor C nabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjer v čase t = 0 přes rezistor R.

• V každém okamžiku je kondenzátor zdrojem v obvodu a platí Ohmův zákon :

I(t) = Uc(t)/R • To vede na diferenciální rovnici.

21. 5. 2003 33

Obvod RC II

• Všechny veličiny Q, U a I exponenciálně klesají s časovou konstantou .

• *Připojme stejný kondenzátor a rezistor ke zdroji s napětím V0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona:

I(t)R + Vc(t) = V0

což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.

21. 5. 2003 34

Obvod RC III

• Nyní Q a U rostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jako v předchozím případě. Vše probíhá s časovou konstantnou .

21. 5. 2003 35

Harmonický střídavý proud

• Prakticky důležitý je střídavý proud harmonického průběhu. Jeho proud a napětí lze vyjádřit jako goniometricou nebo-li harmonickou [sin(), cos() exp(i)] funkci času :

U(t)=U0sin(t + )

I(t)=I0sin(t + )

21. 5. 2003 36

Střední hodnota I

• Střední hodnota <f> časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má během jistého času stejné integrální účinky jako časově proměnná funkce.

• Například střední proud je stejnosměrný proud, který by přenesl za dobu stejný náboj jako proud střídavý.

21. 5. 2003 37

Efektivní hodnoty I

• Při studiu obvodů střídavého proudu je potřeba ještě jeden druh středních hodnot: protéká-li střídavý proud rezistorem, dochází k tepelným ztrátám bez ohledu na jeho směr, protože tyto jsou úměrné čtverci proudu.

21. 5. 2003 38

Efektivní hodnoty II

• Efektivní hodnota frms časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za jistou dobu stejné tepelné účinky jako časově proměnná funkce.

• Budeme například napájet žárovku jistým časově proměnným proudem I(t). Potom, když teče žárovkou stejnosměrný proud o efektivní hodnotě Irms, bude žárovka zářit se stejným jasem.

21. 5. 2003 39

Obecné střídavé obvody I

• Komplexní aparát :• Popisuje napětí U, proudy I, impedance Z a

admitance Y = 1/Z pomocí komplexních čísel.

• Pootm platí obecný komplexní tvar Ohmova zákona :

U = ZI

• Seriová kombinace : Zs = Z1 + Z2 + …

• Paralelní kombinace : Yp = Y1 + Y2 + …

21. 5. 2003 40

Obecné střídavé obvody II

• Tabulka komplexních impedancí a admitancí. j je imaginární jednotka j2 = -1:• R: ZR = R YR = 1/R

• L: ZL = jL YL = -j/L

• C: ZC = -j/C YC = jC

21. 5. 2003 41

RC seriově

• Ilustrujme použití aparátu na seriové kombinaci RC :

• Proud I, společný pro oba R a C, považujeme za reálný.

Z = ZR + ZC = R – j/C

|Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2

tg = –1/RC < 0 … kapacitní

21. 5. 2003 42

RLC seriově I

• Mějme R, L a C zapojené do serie:• Proud I, společný všem R , L, C opět považujme

za reálný.

Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C)|Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2

• Obvod bude mít buď charakter indukčnosti :L > 1/C … > 0

• nebo kapacity :L < 1/C … < 0

21. 5. 2003 43

RLC seriově II

• Nový jev resonance nastává když :

L = 1/C 2 = 1/LC

• Při této podmínce totiž mizí imaginární část a obvod se chová jako čistá rezistance :• Z, U mají minimum, I maximum

• Rezonanci lze naladit změnou L, C nebo f !

21. 5. 2003 44

*RLC in Parallel I

• Let’s have a R, L and C in parallel:

• Let now V, common for all R , L, C be real.

Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L)

|Y| = (1/R2 + (C - 1/L)2)1/2

• The circuit can be either inductance-like if:

L > 1/C … > 0

• or capacitance-like:

L < 1/C … < 0

21. 5. 2003 45

*RLC in Parallel II

• Again the effect of resonance takes place when the same condition is fulfilled:

L = 1/C 2 = 1/LC

• Then the imaginary parts cancel and the whole circuit behaves as a pure resistance:• Y, I have minimum, Z,V have maximum

• It can be reached by tuning L, C or f !

21. 5. 2003 46

Resonance

• General description of the resonance:• If we need to feed some system capable of

oscillating on its frequency 0 then we do it most effectively if our frequency matches the 0 and we are in phase.

• Good mechanical example a swing.• The principle is used in e.g. in tuning

circuits of receivers.

Rotating Conductive Rod• Torque on a piece dr which is in a distance

r from the center of rotation of a conductive rod L with a current I in magnetic field B is:

BIrdrrdFdT

^

• The total torque is:

2

2

0

BILIrdrBT

L

RC Circuit I• We use definition of the current I = dQ/dt

and relation of the charge and voltage on a capacitor Vc = Q(t)/C:

RC

tQ

dt

dQ

R

tVtI c )()()(

• The minus sign reflects the fact that the capacitor is being discharged. This homogeneous differential equation can be easily solved by separating the variables.

RC Circuit II

• We have defined a time-constant = RC. We can integrate both sides of the equation:

dt

Q

dQ

• The integration constant can be found from the boundary conditions Q0 = CVc0 :

)exp()()ln( 0 t

QtQkt

Q

RC Circuit III

• By dividing this by C and then by R we get the time dependence of the voltage on the capacitor and the current in the circuit.:

)exp()( 0 t

CVtQ c

^

R

VtI

tVtV

tc

cc

)exp()(

)exp()(

0

0

RC Circuit IV• We again substitute for the current and the

voltage and reorganize a little:

0

)(V

C

tQ

dt

dQR

• We get a similar equation for the charge on the capacitor but it doesn’t have zero on the right side. We can solve it by solving first a homogeneous equation and then adding one particular solution e.g. Qk = CV0 (final Q)

RC Circuit V• Since we have already solved the

homogeneous equation in the previous case, we can write:

00 )exp()( CVt

QtQ

The integration constant we again get from the initial condition Q(0) = 0 Q0 = -CV0.

RC Circuit VI

• By dividing this by C we get the time dependence of the voltage on the capacitor:

)]exp(1[)( 0 t

CVtQ

)]exp(1[)( 0 t

VtVc

RC Circuit VII

• To get the current we have to calculate the time derivative of the charge:

^

R

V

dt

dQtI

t )exp()( 0

The Mean Value I• <f> has the same integral as f(t) over some

time interval:

^

Often we are interested in mean of a periodic function over a long time. Then we choose as representative time the period = T.

0

)(1

dttff

The Mean Value II• <I> would transport the same charge as I(t)

over some time :

^

0

)(1

dttII

• The result of the integration is, of course, a charge since I = dQ/dt. When divided by it gives a mean current over :

The Root Mean Square I• frms has the same thermal effect as f(t) over

some time interval:

^

For a long-time rms, we again choose a representative time interval = T (or T/2) .

0

2

0

22

)(1

)(1

dttff

dttff

rms

rms

The Root Mean Square II• Irms has the same thermal effect as I(t) over

some time interval:

^

Brightness of a bulb corresponds to the temperature i.e. thermal losses.

0

2

0

22

)(1

)(1

dttII

dttRIRI

rms

rms

The Mean Value III• Let I(t) = I0sin(t) and representative = T:

Since the value of cos for the boundaries is the same.

0)][cos()sin( 00

0

0

TT

tT

Idtt

T

II

The Mean Value IV• If I(t) was rectified it would be I(t) = I0sin(t) for

0 < t < T/2 and I(t) = 0 for T/2 < t < T:

^

Since now cos(T/2) – cos(0) = -2 !

02/0

0

2/

0

0

)][cos(

)sin(

It

T

I

dttT

II

T

T

The Root Mean Square III• Let I(t) = I0sin(t) and representative = T:

22

))2cos(1(2

)(sin

0

0

20

0

20

0

220

Idt

T

I

dttT

I

dttT

II

T

T

T

rms

^

The Mean Value V

^

Since now cos(T/2) – cos(0) = -2 !

02/0

0

0

00

)][cos(

)sin()sin(

It

T

I

dtttT

VIP

T

T