FI-0 9 Mechanika tekutin II.
description
Transcript of FI-0 9 Mechanika tekutin II.
15. 3. 2006 2
Hlavní body
• Úvod do mechaniky kapalin a plynů
• Hydrodynamika ideálních kapalin• Bernoulliho rovnice a její použití
• Hydrodynamika viskózních kapalin• Vlastnosti Newtonovských kapalin
• Zákony: Newtonův, Poiseuillův a Stokesův
• Hydrodynamika krevního oběhu
15. 3. 2006 3
Zachování energie I
• Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování (hustoty) energie :
• V praxi se vyjadřuje několika způsoby, například v rozměrech délkových :
.2
2
konstV
Epgh
v
.2
2
konstg
ph
g
v
15. 3. 2006 4
Odvození Bernoulliho rovnice I• Uvažujme dvě různá místa, ohraničující určitý
úsek jednéné proudové trubice, která jsou popsána rychlostí vi, tlakem pi a výškou hi.
• Působením tlakových sil se určitý objem V se přemístí za čas t z prvního místa do druhého.
• Na oba objemy působí z vnějšku úseku tlakové síly opačné orientace Fi = Si pi.
• Práce, kterou vykonají tyto síly za t se musí rovnat přírůstku celkové energie daného objemu.
15. 3. 2006 5
Odvození Bernoulliho rovnice II
• Tedy :
• Po dosazení :
• Aplikujme rovnici kontinuity :
)()( 11222211 pkpk EEEEvFvFt
)(2
)()( 12
21
22
222111 hhmgvvm
vSpvSpt
)(2
)()( 12
21
22
21 hhmgvvm
ppV
15. 3. 2006 6
Odvození Bernoulliho rovnice III• Tento vztah, vyjadřující zachování energie, bývá
zvykem vydělit V a přeskupit podle uvažovaných míst :
• Daniel Bernoulli 1700-1783, Švýcar
• Celková energie proudící kapaliny má tedy tři složky : tlakovou, kinetickou a potenciální.
2
22
21
21
1 22gh
vpgh
vp
15. 3. 2006 7
Použití Bernoulliho rovnice I
• Bernoulliho rovnice lze použít jako prvního přiblížení při řešení řady praktických problémů.
• Uvažujme například výtok kapaliny ze široké (nebo doplňované) nádoby malým otvorem umístěným v hloubce h pod hladinou. V Bernoulliho rovnici můžeme udělat několik úprav a zanedbání :
15. 3. 2006 8
Použití Bernoulliho rovnice II
• Oba tlaky jsou atmosférické : p1= p2.
• Vyjádříme hloubku: h = z1 – z2
• Rychlost v1 můžeme zanedbat.
• Po zkrácení a úpravě :Tento tzv. Torrichellio vzorec byl znám sto let
před Bernoullim.
2
22
21
21
1 22gz
vpgz
vp
ghv 22
15. 3. 2006 9
Použití Bernoulliho rovnice III• Není-li možné rychlost v1 zanedbat,
použijeme rovnici kontinuity v1 = v2S2/S1 :
• Po zkrácení , zavedení hloubky a úpravě :
(výraz má zjevně smysl jen pro S1 > S2)
2
22
121
22
22
22gz
vgz
S
Sv
22
21
12
2
SS
ghSv
15. 3. 2006 10
Použití Bernoulliho rovnice IV• Uvažujeme-li místa o stejné výšce je z Bernoulliho
rovnice patrná zajímavá vlastnost proudících tekutin a to, že v místech s větší rychlostí je nižší tlak. Na tomto principu je založena řada jevů od bouchání dveří v průvanu, přes střílení rohového kopu ve fotbale, po létání letadel. Protože jsou důsledky na první pohled překvapivé, je tento jev znám jako hydrodynamický paradoxon.
• Významné je jeho využití při měření rychlosti.
15. 3. 2006 11
Použití Bernoulliho rovnice V
• Pitotova trubice (potřebuje fajfku) :• do měřené kapaliny jsou vnořeny dvě trubice,
ústí jedné je kolmo, ústí druhé rovnoběžně s jejím proudem (fajfka) v2 = 0.
• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí
)(22 1212
21
1 zzgvgzv
gz
15. 3. 2006 12
Použití Bernoulliho rovnice VI
• Venturiho trubice (potřebuje zúžení) :• do měřené kapaliny jsou kolmo vnořeny dvě
trubice, jedna v místě s průřezem S1, druhá S2.
• v každé trubici vystoupí kapalina do výšky zi podle odpovídající tlaku pi = gzi při jejím ústí
2211
22
2
21
1 22vSvS
vgz
vgz
15. 3. 2006 13
Použití Bernoulliho rovnice VII
• Z obou rovnic :
• Pro rychlost v1 a průtok Q platí po úpravě :
22
21
2121
)(2
SS
zzgSv
22
21
21
21
21 22)(
S
Svvzzg
22
21
212111
)(2
SS
zzgSSvSQ
15. 3. 2006 14
Viskózní kapaliny I• Při proudění reálných tekutin se sousední vrstvy
ovlivňují tečným napětím, které závisí na vzájemné rychlosti vrstev a viskozitě tekutiny.
• Mějme tekutinu proudící ve směru osy x. Potom pro tečné napětí, čili napětí působící ve směru proudění, platí Newtonův zákon:
dy
dv
15. 3. 2006 15
Viskózní kapaliny II (éta) je tzv. dynamická viskozita
• [] = kg m-1s-1 = Nm-2s = Pa s
• Starší jednotka Poise [P]=gcm-1s-1=0.1 Pas
• Převrácená hodnota se nazývá tekutost:
= 1/• Často se používá viskozita vztažená na
hustotu, tzv. kinematická viskozita = /
15. 3. 2006 16
Viskózní kapaliny III• Dynamická a kinematická viskozita
některých kapalin: [Pa s] [m2/s]
• ETOH 1.2 10-3 1.51 10-6
• benzín 2.9 10-4 4.27 10-7
• rtuť 1.5 10-3 1.16 10-7
• olej 0.26 2.79 10-4
• voda 1.005 10-3 0.804 10-6
15. 3. 2006 17
Viskózní kapaliny IV
• Viskozita : • snižuje průtok kapaliny (za daných podmínek)
• způsobuje, že rychlost v protékaném průřezu není konstantní, ale má určité rozložení, u krajů je minimální (nulová) a uprostřed maximální.
• Zkusíme ukázat, že v proudovém vlákně kruhového průžezu je rozložení rychlosti na vzdálenosti od osy parabolické.
15. 3. 2006 18
Viskózní kapaliny V
• Mysleme si v laminárně a rovnoměrně proudící kapalině váleček o poloměru y. Na• podstavy působí tlakové síly (p1 > 0, p2 < 0)
• plášť síla způsobená třením okolních vrstev.
• Pohybuje-li se válec rovnoměrně, musí být všechny síly na něj působící v rovnováze :
02)( 212
dy
dvlyppy
15. 3. 2006 19
Viskózní kapaliny VI• Předpokládejme, že p1 > p2 a kapalina se
pohybuje ve směru růstu souřadnice x.
• Znaménko + znamená, že třecí sílu bychom považovali (jako obvykle) za kladnou, kdyby měla směr rychlosti.
• Protože první člen je kladný, musí být třecí síla záporná, čili brzdící a rychlost klesá směrem od osy.
15. 3. 2006 20
Viskózní kapaliny VII• Po zavedení p = p1 – p2 a úpravě :
• Po integraci :
dyyl
pdv
2
1
kyl
pyv
2
4
1)(
15. 3. 2006 21
Viskózní kapaliny VIII• Uvažujeme-li trubici o poloměru r. Obdržíme
hodnotu integrační konstanty k z okrajové podmínky v(r) = 0 :
• a celkově dostáváme parabolickou závislost :
2
4
1r
l
pk
)(4
1)( 22 yr
l
pyv
15. 3. 2006 22
Viskózní kapaliny IX• Důležitou a snadněji měřitelnou veličinou je průtok. Celkový
průřez musíme rozdělit na mezikruží o poloměru y, v nichž je vždy rychlost konstantní:
• Celkový průtok obdržíme integrací :
• To je známá Hagen-Poiseuillova rovnice.
dyyyrl
pyydyvdQv )(
2
1)(2 22
l
prdyyyr
l
pQ
r
v
8)(
2
1 4
0
22
15. 3. 2006 23
Viskózní kapaliny X
• Stokesův zákon:• Na kuličku o poloměru r, která se pohybuje
malou rychlostí v v kapalině působí brzdící síla
F = 6rv• Kulička o hustotě bude po ustálení rovnováhy
padat v kapalině 0 konstantní rychlostí vt :
)(9
20
2
gr
vt
15. 3. 2006 24
Viskózní kapaliny XI• Laminární proudění
• brzdící síla je úměrná rychlosti• rychlost je úměrná r2
• střední rychlost vyplývající z H-P rovnice <v>=Qv/S je také úměrná r2 a tlakovému spádu
• Za mezí Stokesova zákona :• Často je brzdící síla úměrná v2 : Fd = CdSv2
• Cd je parametr, který závisí na tvaru
15. 3. 2006 25
Viskózní kapaliny XII• Pro posouzení, zda je proudění ještě laminární se
používá tzv. Reynoldsovo číslo. • pro kuličku o poloměru r, pohybující se rychlostí v• pro kapalinu pohybující se střední rychlostí <v> v trubici
o poloměru r platí :
• Pro R >1000 se považuje proudění za turbulentní(ve jmenovateli posledního výrazu je řecké (ný), tedy kinematická viskozita!)
vrvr
R
15. 3. 2006 26
Dynamika krevního oběhu I• Krevní oběh je udržován srdcem. Levá část síň ->
komora pumpuje krev do velkého (tělního) oběhu a pravá část do malého oběhu (plic).
• Krev v aortě :• <v> = 0.3 ms-1
• r = 0.01 m = 1060 kg m-3
= 3.3 10-3 Pa s
• R 970 proudění je těsně ještě laminární.
15. 3. 2006 27
Dynamika krevního oběhu II
• Ve velkých žilách proudí krev pomaleji, jen rychlostí <v> = 0.1 ms-1 a ve vlásečnicích dokonce jen rychlostí <v> = 0.001 ms-1. Pomocí rovnice kontinuity můžeme odhadnout, že celkový průřez• vlásečnic je 300 krát větší než průřez aorty
• velkých žil je 3 krát větší než průřez aorty
15. 3. 2006 28
Dynamika krevního oběhu III
• Podle H-P zákona je tlakový spád nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice. K největšímu spádu tedy musí docházet v arteriální sekci :• aorta plicnice
• systola 16 kPa (120 torr) 3.3 kPa
• diastola 10.5 kPa (80 torr) 1.3 kPa
15. 3. 2006 29
Dynamika krevního oběhu IV
• Práce srdce bývá vyjadřována jako součet • statické – objemové dodávající tlakovou energii
• kinetické – dodávající kinetickou energii odpovídající příslušné střední rychlosti :
• Pro střední hodnoty V = 70 ml a p = 13.3 kPa je Wo= 0.93 J a Wk= 0.003 J, tedy W = 0.94 J
VvVpWWW ko 221
15. 3. 2006 30
Dynamika krevního oběhu V• Práce pravé komory je asi jedna pětina práce
komory levé. Celková mechanická práce srdce při jedné systole je tedy asi 1.13 J.
• Při tepové frekvenci 70 min-1 je výkon srdce přibližně 1.3 W.
• Tato hodnota představuje jen asi jednu desetinu celkového mechanického výkonu srdce. Převažující část se spotřebuje na udržování stálého napětí (tonusu) srdeční svaloviny.
15. 3. 2006 31
Dynamika krevního oběhu VI
• Celkový srdeční výkon je tedy 13 W, což představuje přibližně 13% celkového klidového výkonu organismu.
• Srdce ale funguje nepřetržitě řadu let. Za 60 let života vykoná práci 2.5 GJ, což je :• 3 s výkonu Chvaletické elektrárny
• Vyzdvižení 30 t břemene na Mt. Everest