FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost
description
Transcript of FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost
![Page 1: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/1.jpg)
28. 3. 2007 1
FI-07 Mechanika – pružnost a pevnost
![Page 2: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/2.jpg)
28. 3. 2007 2
Hlavní body• Úvod do nauky o pružnosti a pevnosti• Charakter meziatomových sil.• Napětí a deformace. Hookův zákon.
• Namáhání normálové• Příčná deformace• Namáhání ve smyku
• Tenzory napětí a deformace.
![Page 3: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/3.jpg)
28. 3. 2007 3
Úvod do pružnosti a pevnosti• Další přiblížení se realitě spočívá v tom, že
nebudeme pokládat tělesa za dokonale tuhá: V souladu s realitou ale připustíme jejich deformace, naučíme se je popisovat a pochopíme, jakými se řídí zákony a jak je lze vysvětlit na mikroskopické úrovni.
• Budeme se zabývat pevnými látkami, ale naše úvahy později rozšíříme i na kapaliny.
![Page 4: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/4.jpg)
28. 3. 2007 4
Charakter meziatomových sil I• Makroskopické chování reálných látek je
určeno silami, kterými na sebe působí jejich mikroskopické součásti.
• U pevných látek to jsou zpravidla přímo atomy, které tvoří krystaly nebo amorfní látky.
• U kapalin plynů se jedná spíše o molekuly • Existují ale molekulární i kapalné krystaly
![Page 5: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/5.jpg)
28. 3. 2007 5
Charakter meziatomových sil II• Nejsilnější (a nejdůležitější v anorg. ch.)
druhy vazeb kovalentní a iontová, jsou založeny na sdílení valenčních elektronů vázanými atomy.• U kovalentních vazeb je sdílení téměř
rovnoměrné. Vazby jsou směrové a saturují se.• U iontových strhává elektronegativnější atom
elektrony k sobě a přitažlivost lze popsat jako elektrostatické působení.
![Page 6: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/6.jpg)
28. 3. 2007 6
Charakter meziatomových sil III• Krystaly mají uspořádání na dlouhou
(makroskopickou-srůsty dvojčat) vzdálenost a motiv elementární buňky se pravidelně opakuje. Valenční elektrony jsou sdíleny celým krystalem a za určitých podmínek mohou být nosiči elektrického náboje.
• Amorfní látky jsou uspořádané jen lokálně.
![Page 7: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/7.jpg)
28. 3. 2007 7
Charakter meziatomových sil IV• Aby se látky nezhroutily do sebe, musí
existovat krátkodosahové odpudivé síly.• Interakce je výhodné popisovat pomocí
potenciálu, například Lennard-Jonesova:(r)={(r0/r)12-2(r0/r)6}
• V závislosti energie na vzdálenosti atomů existuje jedno nebo několik minim. To jsou pravděpodobné rovnovážné vzdálenosti.
![Page 8: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/8.jpg)
28. 3. 2007 8
Pružnost I• Z předchozího je patrné, že tělesa nemohou
být dokonale tuhá, ale jejich tvar odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil.
• Změnou působení vnějších sil vznikají uvnitř síly, které se snaží vyrovnat účinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti.
• Pro malé deformace se při návratu vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy.
![Page 9: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/9.jpg)
28. 3. 2007 9
Napětí I• Ukazuje se, že pro deformační účinek je
rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí: napětí
• Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2
SF
dSFd
![Page 10: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/10.jpg)
28. 3. 2007 10
Napětí II• Odezva látek může být komplikovaná, ale i
ta nejjednodušší u látek izotropních a homogenních je rozdílná alespoň v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí na normálové a tečné:
dSdFn
n dSdFt
t
![Page 11: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/11.jpg)
28. 3. 2007 11
*Hookův zákon I• Mějme tyčku délky l a průřezu S o
zanedbatelné vlastní hmotnosti, zatíženou silou Fn. Potom v každém průřezu tyčky bude stejné napětí n = Fn/S.
• Přesný Hookův zákon: Nekonečně malá deformace je úměrná nekonečně malému napětí a původní délce:
dl = k.l dn
![Page 12: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/12.jpg)
28. 3. 2007 12
*Hookův zákon II• Pro konečné napětí Hookův zákon bohužel
obecně neplatí. Konečné prodloužení musíme získat integrací:
tedy :
llk
ldl
n
l
l
,
ln,
...]2
)(1[2
, nn
k kkllel n
![Page 13: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/13.jpg)
28. 3. 2007 13
Hookův zákon III• U mnoha látek je k velmi malé (např. ocel
k=5.10-12 m2N2). Potom můžeme v rozvoji zanedbat členy od kvadratického výše a Hookův zákon platí i pro konečná napětí:
l = l,-l = k.l n
• Pro deformaci, vyjádřenou jako relativní prodloužení , platí :
nn Ek
ll 1
![Page 14: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/14.jpg)
28. 3. 2007 14
Hookův zákon IV• Napětí je tedy úměrné deformaci.• E se nazývá Youngův modul pružnosti
(v podélném prodloužení) :
a popisuje schopnost látky vzdorovat deformaci.
• Naopak reciproké k znamená “poddajnost”, přesně: prodloužení na jednotku napětí.
Ekn 1
![Page 15: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/15.jpg)
28. 3. 2007 15
Příčné zkrácení I• Podélné prodloužení je vždy doprovázeno
příčným zkrácením (a naopak). Popisujeme jej relativním příčným zkrácením , které je (za podobných podmínek jako výše, tj. malá k1) též úměrné podélnému napětí:
nka
aaa
a 1
,
![Page 16: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/16.jpg)
28. 3. 2007 16
Příčné zkrácení II• Míra změny v příčném směru musí být
charakterizována dalším materiálovým parametrem nebo m :
• Poissonova konstanta: m = /• Poissonovo číslo (poměr): = 1/m = /
nn mEmEkk 11
11
![Page 17: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/17.jpg)
28. 3. 2007 17
Příčné zkrácení III• Podélný a příčný rozměr po deformaci lze
vyjádřit :
• V případě tlaku by bylo možné a správnější uvažovat záporné parametry nebo změnit znaménka ve vztazích, což je bohužel historicky zděděný postup.
)1()1(,
Elll n
)1()1(,
mEaaa n
![Page 18: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/18.jpg)
28. 3. 2007 18
Tlaková deformace objemu I• Mějme krychli V=aaa, na kterou působí stejné
napětí n ze všech směrů – hydrostatický tlak p. U změny rozměrů každé strany se uvažují podélné i příčné změny např.:
a, = a(1-+2). Tedy V, = V(1-+2)3.Po zanedbání kvadratických a vyšších členů:
nmEm
VVV
VV
)2(3)2(3
))2(31(,
,
![Page 19: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/19.jpg)
28. 3. 2007 19
Tlaková deformace objemu II• Protože vlastně n = p, platí pro součinitel
objemové stlačitelnosti :
je to podíl relativního úbytku objemu dělený tlakem, který ji způsobil, tedy relativní úbytek objemu na jednotku tlaku.
EmEm
pVV )21(3)2(31
![Page 20: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/20.jpg)
28. 3. 2007 20
Tlaková deformace objemu III• Předchozí definice naznačuje, že objemová
stlačitelnost se řídí Hookovým zákonem a lze tedy opět definovat příslušný modul objemové pružnosti K :
• Z této definice lze ukázat, meze v nichž musí ležet Poissonovo číslo .
)21(3)2(31
EmmEK
![Page 21: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/21.jpg)
28. 3. 2007 21
*Tlaková deformace objemu IV• Z experimentu plyne, že K a E jsou kladné,
protože délka se napětím prodlužuje a objem tlakem zmenšuje. Současně > 0, protože protažení vyvolává zúžení a naopak. Potom tedy musí být jmenovatel větší než nula a platí :
0 < < 1/2.• Ve skutečnosti je obvykle 1/4 < < 1/2 . • Pro = ½ by se jednalo o nestlačitelné, tedy dokonale
tuhé těleso.
![Page 22: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/22.jpg)
28. 3. 2007 22
Deformace ve smyku I• Způsobí-li tečné napětí t = odchylku u ve
výšce b od pevné podložky, lze definovat relativní deformaci ve smyku jako :
• Pro malé deformace lze opět pozorovat platnost Hookova zákona :
G
kbu 1
3
bu
![Page 23: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/23.jpg)
28. 3. 2007 23
Deformace ve smyku II• V souladu s předchozími definicemi je
• k3 ... součinitelem smykového posunutí a má význam poddajnosti materiálu a
• G ... modul pružnosti ve smyku s významem odporu materiálu vůči deformaci ve smyku.
![Page 24: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/24.jpg)
28. 3. 2007 24
Deformace izotropních látek• Celkově je tedy možné charakterizovat
elastické chování izotropních látek pomocí tří parametrů: například modulů G a E a Poissonovy konstanty m.
• Ukazuje se, že z těchto parametrů jsou ale jen dva nezávislé. Platí totiž vztahy :
)1(2)1(2
EmmEG
![Page 25: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/25.jpg)
28. 3. 2007 25
*Deformace neizotropních látek I• V obecném případě neizotropních těles je
nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu a .ij je j-tá složka napětí působící na plošku
kolmou k ose i.pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru
osy q.
![Page 26: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/26.jpg)
28. 3. 2007 26
*Deformace neizotropních látek II
• Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako:ij = Cijpq pq
• Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů.• Každá symetrie znamená i symetrií v C, tedy nějakou
vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů.
• Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě.
• Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich dva parametry E a G.
![Page 27: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/27.jpg)
28. 3. 2007 27
Platnost Hookova zákona• Průběh namáhání látek se obvykle
zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze:• úměrnosti ... zde platí Hookův zákon• elasticity ... návrat do původního tvaru• plasticity ... zůstává trvalá deformace• kluzu ... velká změna chování• pevnosti ... porušení materiálu
![Page 28: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/28.jpg)
28. 3. 2007 28
Tekutiny I• Důležitá část fyziky se zabývá mechanikou
kapalin a plynů, které mají společné označení tekutiny. Z hlediska elastických vlastností je lze definovat následovně:• kapaliny ... E velké, G malé• plyny ... E malé, G malé
![Page 29: FI-0 7 Mechanika – pružnost a pevnost](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081722/56815656550346895dc3fae4/html5/thumbnails/29.jpg)
28. 3. 2007 29
Tekutiny II• Pro odhalení základních mechanických vlastností
kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující jemnější chování například viskozitu a stlačitelnost.
• Ideální kapalina má E nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace.