მზევინარ კეკენაძე

არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენი

წარმოდგენილია დოქტორის აკადემიური ხარისხის

მოსაპოვებლად

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი

თბილისი, 0175, საქართველო

თებერვალი, 2016 წელი

საავტორო უფლება © კეკენაძე მზევინარ 2016 წელი,

i

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი

სამშენებლო ფაკულტეტი

ჩვენ, ქვემორე ხელისმომწერნი ვადასტურებთ, რომ გავეცანით

კეკენაძე მზევინარის მიერ შესრულებულ სადოქტორო ნაშრომს

დასახელებით: „არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენი“ და ვაძლევთ

რეკომენდაციას საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამშენებლო

ფაკულტეტის სადისერტაციო საბჭოში მის განხილვას დოქტორის

აკადემიური ხარისხის მოსაპოვებლად.

თარიღი

ხელმძღვანელები: ფ.მ.მ.დ.,პროფესორი ჯონდო შარიქაძე

ფ.მ.მ.კ.,აკადემიური დოქტორი,პროფესორი

ზურაბ ციცქიშვილი

რეცენზენტები:

ფ.მ.მ.კ.,აკადემიური

დოქტორი, პროფესორი ლევან ჯიქიძე

ფ.მ.მ.კ.,აკადემიური დოქტორი, პროფესორი

ბადრი ცუცქირიძე

ხარისხის უზრუნველყოფის სამსახურის უფროსი, პროფესორი: მარინა ჯავახიშვილი

ii

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი

2016 წელი

ავტორი: მზევინარ კეკენაძე

დასახელება: „არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენი

ფაკულტეტი: სამშენებლო

ხარისხი: დოქტორი

სხდომა ჩატარდა:

ინდივიდუალური პიროვნებების ან ინსტიტუტების მიერ

ზემომოყვანილი დასახელების დისერტაციის გაცნობის მიზნით მოთხოვნის

შემთხვევაში მისი არაკომერციული მიზნებით კოპირებისა და გავრცელების

უფლება მინიჭებული აქვს საქართველოს ტექნიკურ უნივერსიტეტს.

მზევინარ კეკენაძე

ავტორის ხელმოწერა

ავტორი ინარჩუნებს დანარჩენ საგამომცემლო უფლებებს და არც

მთლიანი ნაშრომის და არც მისი ცალკეული კომპონენტების გადაბეჭდვა ან

სხვა რაიმე მეთოდით რეპროდუქცია დაუშვებელია ავტორის წერილობითი

ნებართვის გარეშე.

ავტორი ირწმუნება, რომ ნაშრომში გამოყენებული საავტორო

უფლებებით დაცულ მასალებზე მიღებულია შესაბამისი ნებართვა (გარდა

იმ მცირე ზომის ციტატებისა, რომლებიც მოითხოვენ მხოლოდ სპეციფიურ

მიმართებას ლიტერატურის ციტირებაში, როგორც ეს მიღებულია

სამეცნიერო ნაშრომების შესრულებისას) და ყველა მათგანზე იღებს

პასუხისმგებლობას.

iii

მიძღვნა

ნაშრომს ვუძღვნი ჩემს საყვარელ ოჯახს. მათი თანადგომა და სრული

გაგება მუდამ მამხნევებდა დისერტაციის მისაყვანად ლოგიკურ

დასასრულამდე.

iv

რეზიუმე

თითქმის ას წელზე მეტია, რაც არანიუტონური სითხეები გახდა მეცნიერული კვლევის საგანი. მაგრამ მხოლოდ ამ ბოლო დროს დაიწყო მისი ინტენსიური შესწავლა, რაც გამოწვეულია მათი ფართო გამოყენებით მრეწველობაში, საყოფაცხოვრებო ტექნიკაში, საავიაციო მშენებლობაში და სხვა.

ამის დამადასტურებლად საკმარისია დავასახელოთ ყველა ის პოლიმერული სითხეები, რომელთა დენადობის თვისებების თეორიულ–ექსპერიმენტულმა შესწავლამ საშუალება მოგვცა შექმნილიყო ინჟინრული საფუძვლები პოლიმერული მასალებიდან სხვადასხვა ნაკეთობის დამზადებისათვის.

არანიუტონური სითხეების შესწავლასა და გამოკვლევას მიეძღვნა ისეთი ცნობილი მეცნიერების შრომები, როგორებიცაა: ასტარიტა დ.ჟ., მარუჩი დ.ჟ., რეინერი მ., შელმანი ზ.პ., უილკინსონი უ.ლ., შლიხტინგი გ., სებისი ტ., ბრედშოუ პ., ბენეტ რ.ო., მაიერსი დჟ.ე., მაზო ა.ბ., ლოიციანსკი ლ.გ., მეიზ დ.ჟ., პრანდტლი, ი. ნიკურაძე და სხვები.

საქართველოში ამ და მის მონათესავე საკითხებზე გამოქვეყნებულია დ. დოლიძის, ნ. ჯორბენაძის, გ. აბესაძის, ზ. კერესელიძის, ჯ. შარიქაძის, ლ. აზმაიფარაშვილის, ლ. ჯიქიძის და ბ. ცუცქირიძის შრომები.

არანიუტონური სითხეების ქვეშ იგულისხმება საკმარისად ფართო ჯგუფი სხვადასხვა მასალისა. პოლიმერების გამოყენება სამშენებლო მასალების (ლინონიუმი, მოსაპირკეთებელი ფილები და ა.შ.), საავტომობილო საბურავების, ქიმიურ და რადიოელექტრო წარმოებაში უზარმაზარია. ძნელად წარმოსადგენია წარმოების რომელიმე დარგი, რომელშიც არ გამოიყენება სინთეტიკური ან არამეტალური მასალები.

არანიუტონისეული სითხეების დინების შესწავლის რამდენიმე მიდგომა არსებობს, ნაშრომში გამოყენებულია მათემატიკურ–რეოლოგიური მოდელი. ამ მიდგომით იქმნება შედარებით რთული, მაგრამ რეალობასთან მიახლოვებული მათემატიკური მოდელი, რომელიც ეყრდნობა ჰიდროდინამიკის ძირითად პრინციპებსა და მიდგომებს; ამის შემდეგ შეისწავლება და ხასიათდება არსებული სითხის ქცევის თავისებურებები.

არანიუტონისეული სითხეების დინების შესწავლისას, მათი სიბლანტისა და პლასტიკურობის ბუნებიდან გამომდინარე განსაკუთრებით საინტერესოა სასაზღვრო ფენაში, თავისუფალი კონვექციის არსებობის პირობებში, როდესაც სითხის ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი იცვლება სიჩქარის მიხედვით, როგორც სტაციონარული ისე არასტაციონარული დინებისათვის დინამიკური და სითბური სისქის ურთიერთკავშირის განსაზღვრა. ასევე საინტერესოა სასაზღვრო ფენის სისქის განსაზღვრა, რომელიც პირდაპირ კავშირშია ძვრის სიჩქარესთან.

სადისერტაციო ნაშრომის თეორიულ და მეთოდოლოგიურ საფუძვლად გამოყენებულია ბლანტი უკუმში სითხის მოდელი, როცა სასაზღვრო ფენაში სითხის მოძრაობა ლამინარულია. სასაზღვრო ფენის გარეთ სითხის

v

მოძრაობაზე სიბლანტის გავლენა უგულებელყოფილია და სითხე ითვლება იდეალურად. ასეთი მოდელისათვის შექმნილი მაგნიტური ჰიდროდინამიკის კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებათა არაწრფივი სისტემა საკმაოდ რთული ამოსახსნელია. უგანზომილებო სიდიდეებზე გადასვლით მიღებული განტოლებათა სისტემა შესაბამის სასაზღვრო პირობებთან ერთად იხსნება თანდათანობით მიახლოების მეთოდით.

ნაშრომში დასმულია და ამოხსნილია შემდეგი ამოცანები: • სხეულის სტაციონარული გარსდენა ხარისხოვანი ბლანტი უკუმში

გამტარი სითხით. • სხეულების გარსდენა არასტაციონარული ელექტროგამტარი ბლანტი

უკუმში სითხით, თბოგადაცემის გათვალისწინებით. • სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია განივ

მაგნიტურ ველში.

vi

Abstract

Almost a hundred years ago as the object of scientific investigation are the non-Newtonian liquids. But only recently has begun its intense study that is caused due their wide application in industry, household equipment, aircraft engineering and so on.

To prove this is enough to mention all polymer fluids, the theoretical and experimental study of flow properties of that gives the possibility to create engineering basis for manufacture different products from polymeric materials.

To studies and research of non-Newtonian liquids are devoted works of such famous scientists as: Astarita D.J., Marucci D.J., Rainer M., Shelmann Z.P., Wilkinson U.L., Schlichting G., Sebis T., Bradshaw P., Bennett R.O., Myers J.E., Mazo A.B., Loitsianski L.G., Meiz D.J., Prandtl, Nikuradze I. and others.

In Georgia on this and related issues are published works of D. Dolidze, N. Jorbenadze, G. Abesadze, Z. Kereselidze, J. Sharikadze, L. Azmaiparashvili, L. Jikia and B. Tsutskiridze.

Non-Newtonian liquids means sufficiently broad group of different materials. Polymers application in production of construction materials (linonium, facing tiles, etc.), automobile tires, chemical and radio electronics industries is huge. Is hard to imagine any type of production, in that is not used the synthetic or non-metal materials.

There are several approaches in study of the non-Newtonian liquids flow, in the work is applied the mathematical and rheological model. By this approach is created relatively complex, but close to the reality mathematical model, which is based on fundamental hydrodynamic principles and approaches; after this is studied and characterized the singularities of behavior of fluid.

At study on non-Newtonian liquids flow, due the nature of their viscosity and plasticity particularly interesting is in boundary layer, in the conditions of existing of free convection, when the fluid coefficient of electroconductivity varies according to the rate at stationary as well as in non-stationary flow. It is also interesting to determine the thickness of boundary layer that is directly related to the shear rate.

As theoretical and methodological basis of the dissertation work is applied viscous in vacuum fluid model, when in boundary layer of motion is laminar. Outside the boundary layer of fluid the influence of viscosity on motion is neglected and fluid is considered as ideal. For such model created a system of nonlinear differential equations with magnetic hydrodynamic partial is quite complex for solution. Obtained due the transition on dimensionless values corresponding simultaneous equations with the boundary conditions is solved by method of gradual approximation.

vii

In the work are set and solved the following tasks: • The stationary flow of body in qualitatively viscous in infinity conducting

fluid. • The flow of body by non-stationary electricity electrically conducting viscous

in infinity fluid with taking into account the heat transfer. • Free convection of weakly conducting qualitatively fluid in transverse

magnetic field.

viii

შინაარსი

ნახაზების ნუსხა ................................................................................................. 10

მადლობის გზავნილი ....................................................................................... 11

შესავალი ............................................................................................................. 12

1. ლიტერატურის მიმოხილვა

§ 1. არანიუტონისეული სითხეები ................................................................ 14

§ 2. ხარისხოვანი სითხეების სასაზღვრო ფენი ........................................... 16

§ 3. ხარისხოვანი არანიუტონისეული სითხის თავისუფალი კონვექციის გადატანის განტოლებები .................................................. 25

§ 4. საწყისი და სასაზღვრო პირობები .......................................................... 31

2. შედეგები და მათი განსჯა

თავი 1. არანიუტონისეული გამტარი სითხის სტაციონარული სასაზღვრო ფენის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდი ცვლადი ელექტროგამტარებლობისას ............................................ 35

თავი 2. არანიუტონისეული სითხის არასტაციონარული მაგნიტოჰიდროდინამიკური დინება ............................................ 51

§ 2.1. მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდი არანიუტონისეული გამტარი სითხის არასტაციონარული სასაზღვრო ფენისათვის .................... 54

§ 2.2. ფირფიტის არასტაციონარული გარსდენა გამტარი ხარისხოვანი სითხით ელექტროგამტარებლობის ცვლადი კოეფიციენტით და თბოგადაცემით ....................................................................................... 67

§ 2.3. არანიუტონისეული გამტარი სითხის ავტომოდელური ამოცანების შესახებ სითბოგადაცემის გათვალისწინებით ........... 79

თავი 3. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია განივ მაგნიტურ ველში ................................................. 85

§ 3.1. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექციის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნა ........ 87

§ 3.2. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხის თავისუფალი კონვექციის ამოცანის ამოხსნის ინტეგრალური მეთოდი .............. 97

3. ძირითადი შედეგები და დასკვნები ......................................................... 109

გამოყენებული ლიტერატურა ....................................................................... 111

ix

ნახაზების ნუსხა

ნახაზი 1. არანიუტონისეული და ნიუტონისეული სითხეების კლასიფიკაცია ................................................................................. 15

ნახაზი 2. სასაზღვრო ფენის არსი ................................................................ 19

ნახაზი 3. სასაზღვრო ფენის სისქის კავშირი შეჟონვისა და გაჟონვის სიჩქარესთან ................................................................. 47

ნახაზი 4. სიჩქარის პროფილი მაგნიტური ველის გაზრდისას ............. 48

ნახაზი 5. დილატანტური და ფსევდოპლასტიკური სითხეებისათვის მაგნიტური ველის დამოკიდებულება სიბლანტის კოეფიციენტზე ................................................................................ 49

ნახაზი 6. ძვრის ძაბვის დამოკიდებულება მაგნიტურ ველზე ............... 50

ნახაზი 7. მუდმივი მხები ძაბვის დროს სასაზღვრო ფენის სისქის დამოკიდებულება ველის მაგნიტურ რიცხვზე და სიმკვრივეზე ................................................................................... 66

ნახაზი 8. ცვლადი ელექტრული გამტარებლობის ხასიათის გავლენა სასაზღვრო ფენის სისქეზე .......................................................... 67

ნახაზი 9. ფსევდოპლასტიკური სითხის ტემპერატურის დაცემის კავშირი ტემპერატურაზე დამოკიდებულ სიბლანტის კოეფიციენტთან ............................................................................. 78

ნახაზი 10. დილატანტური სითხისათვის ტემპერატურის დაცემის კავშირის ტემპერატურაზე დამოკიდებულ სიბლანტის კოეფიციენტთან ............................................................................. 78

ნახაზი 11. სითხის სიჩქარის განაწილება მსრბოლი ტალღის შემთხვევაში .................................................................................. 84

ნახაზი 12. სითბური და დინამიკური სასაზღვრო ფენის ფარდობის დამოკიდებულება პრანდტლის რიცხვზე ............................... 87

x

მადლობის გზავნილი

ამ ნაშრომის მომზადებაში მრავალ პირს აქვს მიღებული მონაწილეობა

ინტელექტუალური, მეცნიერული, მორალური თუ ტექნიკური

თვალსაზრისით. მათი მეგობრული განწყობა და უანგარო დახმარება

უდიდესი პატივია ჩემთვის.

განსაკუთრებულ მადლიერებას გამოვხატავ ჩემი სამეცნიერო

ხელმძღვანელების პროფესორების ჯონდო შარიქაძის და ზურაბ

ციცქიშვილის მიმართ, რომელთა ყოველდღიური ყურადღების,

მზრუნველობისა და ფასდაუდებელი შენიშვნების, ასევე ხანგრძლივი

საუბრების საფუძველზე შესაძლებელი გახდა ნაშრომის საბოლოო

სტრუქტურისა და შინაარსის ჩამოყალიბება.

სასიამოვნო მოვალეობად მიმაჩნია გულწრფელი მადლობა

გადავუხადო საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამშენებლო

ფაკულტეტის პროფესორ–მასწავლებლებს გულწრფელი ყურადღებისა და

მუდმივი ინტერესის გამო.

xi

შესავალი

არანიუტონისეული სითხეების დინებათა კანონზომიერების

გამოკვლევა დიდ მნიშვნელობას იძენს მშენებლობაში, მრეწველობასა და

ტექნიკაში ახალი მასალების შექმნისა და ფართო გამოყენებისათვის, ასევე

სხვადასხვა ბიოლოგიური გარემოს შესწავლისას, როგორებიცაა სისხლი,

ლიმფის დინება.

სადისერტაციო ნაშრომში გამოკვლეულია როგორც სტაციონარული,

ასევე არასტაციონარული დინებები და ელექტროგამტარი არანიუტონისეული

სითხის თავისუფალი კონვექცია, როდესაც ელექტროგამტარებლობის

კოეფიციენტი იცვლება სიჩქარის მიხედვით.

ნაშრომი შეიცავს შესავალს და სამ თავს.

ნაშრომში დასაბუთებულია განხილული ამოცანების აქტუალობა,

მიღებულია მაგნიტური ჰიდროდინამიკის, მაგნიტოჰიდროდინამიკური

სასაზღვრო ფენისა და თავისუფალი კონვექციის ძირითადი განტოლებები

და დებულებები. პირველ თავში მიახლოებითი მეთოდით ამოხსნილია

ცვლადი ელექტროგამტარებლობის მქონე სუსტადგამტარი არაკუმშვადი

ხარისხოვანი არანიუტონისეული სითხის მოძრაობის სტაციონარული

ამოცანები, ხოლო მეორე თავში გამოკვლეულია არაკუმშვადი

სუსტადგამტარი არანიუტონისეული სითხის არასტაციონარული მოძრაობის

ამოცანები. ამ თავის პირველ პარაგრაფში შესწავლილია არანიუტონისეული

ხარისხოვანი სითხის სასაზღვრო ფენის არასტაციონარული ამოცანა,

როდესაც სითხის ელექტროგამტარებლობა m

UU

−=

∞

10σσ სასაზღვრო

ფენაში სითხის სიჩქარის ცვლადია და მისი ამონახსნი მიღებულია

მიახლოებითი მეთოდით. მეორე პარაგრაფში შესწავლილია სითბოგადაცემის

გათვალისწინებით სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხით

ფირფიტის არასტაციონარული გარსდენა, როდესაც სითხის

ელექტროგამტარებლობა m

UU

−=

∞

10σσ ცვლადია. მესამე პარაგრაფში

12

ნაპოვნია რამოდენიმე ავტომოდელური ამონახსნი ამოცანის, რომელიც

ეხება არაგამტარ ფირფიტაში სითხის გაჟონვის გათვალისწინებით

არანიუტონისეული სითხის დინებას, რომელიც ემორჩილება რეოლოგიის

ხარისხოვან კანონს, ამავე დროს გათვალისწინებულია სითბოგადაცემა და

მიიჩნევა, რომ ელექტროგამტარებლობა 10

−= mUσσ –სახისაა. ამ ამონახსნებს

აქვთ მოძრავი ტალღების სახე, რომელთა ფრონტი ვრცელდება გარემოს

მოძრაობის სიჩქარის, გაჟონვის მიმართულებით.

მესამე თავში განიხილება ელექტროგამტარი არანიუტონისეული

ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექციური დინების ამოცანა,

როდესაც σ ელექტოგამტარებლობის ცვლილება დამოკიდებულია

სასაზღვრო ფენაში სითხის სიჩქარეზე. ამ თავის პირველ პარაგრაფში

შესწავლილია არასტაციონარული კონვექციური დინება იმ შემთხვევაში,

როცა mU0σσ = , 0≥m და მიღებულია ამონახსნი მიახლოებითი მეთოდით,

ხოლო მეორე პარაგრაფში სტაციონარული კონვექციური დინება

შეისწავლება ინტეგრალური მეთოდით, როდესაც ασσ U0= 0≥α .

13

1. ლიტერატურის მიმოხილვა

§ 1. არანიუტონისეული სითხეები

ნიუტონისეული სითხის დინამიკური სიბლანტე µ დამოკიდებულია

მხოლოდ ტემპერატურაზე და წნევაზე და არაა დამოკიდებული მოძრაობის

სიჩქარეზე, ხოლო ძაბვისა და სიჩქარის დამოკიდებულების გრაფიკი ე.წ.

დინების მრუდი წარმოადგენს სწორ ხაზს დახრის კუთხის ტანგესით µ, და

ეს ერთადერთი მუდმივი სრულად ახასიათებს სითხეს. არანიუტონისეული

სითხეებისთვის „დინების მრუდი“ უკვე აღარაა წრფივი, ე.წ. სიბლანტე

არანიუტონისეული სითხეებისა დამოკიდებულია არა მხოლოდ

ტემპერატურასა და წნევაზე, არამედ ისეთ ფაქტორებზე, როგორებიცაა:

მოძრაობის დეფორმაციის სიჩქარე, გარემოს კონსტრუქციული

თავისებურებები, რომელშიც იმყოფება სითხე და სითხის დინების

წინაისტორია [1, 2, 3].

დინების არაწრფივი მრუდის მქონე რეალური სითხეების სისტემები,

რომელთა მოძრაობის სიჩქარე ყოველ წერტილში წარმოადგენს ამავე

წერტილში მხოლოდ ძვრის მოძრაობის ძაბვის რაიმე ფუნქციას და არაა

დამოკიდებული დროზე, შეიძლება აღიწეროს რეოლოგიური განტოლებით:

)(τγ f= . (0.1.1)

საიდანაც გამომდინარეობს, რომ სითხის ყოველ წერტილში ძვრის

მოძრაობის სიჩქარე წარმოადგენს ამავე წერტილში ძაბვის წრფივ ფუნქციას.

ასეთი ნივთიერებები იწოდებიან არანიუტონისეულ ბლანტ სითხეებად.

მათ ყოფენ სამ ჯგუფად (0.1.1) ფუნქციის (ნახ. 1) გამოსახულების მიხედვით:

ა) ბინგამისეული პლასტიკური სითხე;

ბ) ფსევდოპლასტიკური სითხეები;

გ) დილატანტური სითხეები.

ბინგამისეული გარემოს დინების მრუდი წარმოადგენს წრფეს,

რომელიც კვეთს ძაბვის ღერძს მისი სათავიდან yτ დაშორებით.

რეოლოგიური განტოლება ბინგამისეული გარემოსთვის ჩაიწერება შემდეგი

სახით

14

ნახ. 1. არანიუტონისეული და ნიუტონისეული სითხეების კლასიფიკაცია

I – ბინგამისეული პლასტიკური (ბლანტპლასტიკური) II – ფსევდოპლასტიკური )1( <n III – ნიუტონისეული IV – დილატანტური )1( >n .

jy pµττ =− )( yττ > , (0.1.2)

სადაც pµ არის პლასტიკური სიბლანტე, ანუ სიმტკიცის კოეფიციენტი

ძვრისას, იგი რიცხობრივად ტოლია დინების მრუდის დახრის კუთხის

ტანგესის.

ფსევდოპლასტიკურ გარემოს არ გააჩნია გადინების ზღვარი და

ამიტომ დინების მრუდი გვიჩვენებს ძვრის ძაბვასა და ძვრის სიჩქარეს

შორის დამოკიდებულებას, ე.ი. მიმხები სიბლანტე µ ძვრის სიჩქარის

ზრდისას თანდათან მცირდება. დინების მრუდი წრფივი ხდება მხოლოდ

ძვრის სიჩქარის სიდიდის ძალიან დიდი მნიშვნელობებისას.

ძვრის ძაბვასა და მის სიჩქარეს შორის დამოკიდებულება პირველად

წარმოგვიდგინა ოსტვალდმა [1], შემდეგ კი გააუმჯობესა რეინერმა [2]. მას

აქვს სახე: nk γτ ⋅= , (0.1.3)

I

II III

IV

j

τ

τy

(ძვრის) მოძრაობის სიჩქარე

•

15

სადაც k და n მუდმივებია )1( <n მოცემული გარემოსათვის: k - სითხის

კონსისტენციის ზომაა, რაც დიდია სითხის სიბლანტე, მით მეტია k, n -

ახასიათებს მასალის არანიუტონისეულობის ხარისხს და რაც უფრო მეტად

განსხვავდება n ერთისგან, მით უფრო მკაფიოდ ვლინდება მისი

არანიუტონისეული ხასიათი.

დილატანტური გარემო იმით ჰგავს ფსევდოპლასტიკურს, რომ არც

მას გააჩნია გადინების ზღვარი, მხოლოდ მათი მიმხები სიბლანტე იზრდება

ძვრის სიჩქარის გაზრდისას. ამ შემთხვევაში ხარისხოვანი კანონი ხანდახან

გამოსადეგია, მაგრამ ხარისხის მაჩვენებელი n როცა აჭარბებს ერთს )1( >n

დინების ასეთი ტიპი პირველად აღმოაჩინა რეინოლდსმა მყარი ფაზის

დიდი შემცველობისას.

კლასიკური ჰიდროდინამიკის საფუძველზე ბლანტი არაკუმშვადი

იზოტროპული სითხისთვის სამართლიანია კანონი:

ijikij ep µδτ 2+−= . (0.1.4)

ძაბვის ijτ ტენზორსა და დეფორმაციის სიჩქარის ije ტენზორს შორის

არის წრფივი დამოკიდებულება.

ნივთიერებანი, რომელთა დინება ემორჩილება (0.1.4) კანონს

იწოდებიან ნიუტონისეულად და ითვლებიან ნორმალურად.

არანიუტონისეული სითხეებისთვის კავშირი ძაბვის ije ტენზორსა და

დეფორმაციის სიჩქარის ijτ ტენზორს შორის უფრო რთული ხასიათისაა და

აქვს სახე:

ij

n

emmeikij eeekp 2

1

21

−

+−= δτ , (0.1.5)

სადაც ijδ არის კრონეკერის სიმბოლო.

§ 2. ხარისხოვანი სითხეების სასაზღვრო ფენი

განვიხილოთ არანიუტონისეულ სითხეებში სასაზღვრო ფენის იდეის

გამოყენების შესაძლებლობანი. ცნობილია, რომ ნიუტონისეულ ბლანტი

16

სითხის დინამიკურ სასაზღვრო ფენში მოიაზრება დინების ის არე,

რომელშიც დიდ როლს თამაშობს შინაგანი ხახუნის ძალები. სიბლანტის

ძალების შინაგანი ინტენსივობა ნიუტონის კანონის მიხედვით წრფივ

კავშირშია ძვრის სიჩქარესთან, ხოლო რეინოლდსის რიცხვის დიდი

მნიშვნელობებისას ძალიან სწრაფად ეცემა გარსმოდენადი ზედაპირიდან

მოშორებით.

მახასიათებელ ზომებთან შედარებით თხელი არე, რომელშიც

ხახუნის ძაბვა ეცემა კედელზე მაქსიმალური სიდიდიდან გარე საზღვარზე

უსასრულო მცირემდე იწოდება ბლანტ სასაზღვრო ფენად.

განასხვავებენ ლამინარულ და ტურბულენტურ სასაზღვრო ფენს

იმის მიხედვით, თუ როგორია მათში დინების ლამინარული თუ

ტურბულენტური რეჟიმი. ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ლამინარულ

სასაზღვრო ფენს [ 3].

ცხადია, რომ ანომალური–ბლანტი სითხეების დინებაში, რომელიც

ნიუტონისეულისგან განსხვავდება მხოლოდ სიბლანტის ძალებსა და ძვრის

სიჩქარეს შორის განსხვავებული დამოკიდებულებით, შეიძლება ასევე

იარსებოს არემ, რომელშიც შეინიშნება შინაგანი ხახუნის ძალების

მოქმედება ინერციულთან შედარებით, ე.ი. ბლანტმა სასაზღვრო ფენამ.

ამავე დროს ანომალურ–ბლანტ სითხეებში სასაზღვრო ფენის იდეის

გავრცობისას ფრთხილად უნდა ვიყოთ. ანომალურ–ბლანტ სითხედ

წარმოვიდგინოთ ისეთი სითხე, რომლისთვისაც ხახუნის ძაბვა სუსტად ან

ძალიან სუსტადაა დამოკიდებული ძვრის სიჩქარეზე (ხარისხოვან კანონში

მცირე მნიშვნელობები). მაშინ, ცხადია სიბლანტის ძალების შემცველი არე

არ იარსებებს და სასაზღვრო ფენის თეორია კარგავს აზრს. სასაზღვრო ფენი

გადაიწევს დინების მთელ არეზე [3].

ცხადია, რომ რეინოლდსის რიცხვის დიდი მნიშვნელობისას

მოსალოდნელია, რომ სიბლანტის მოქმედება წარმოიქმნება იმ თხელი

ფენის საზღვრებზე, რომელიც გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე

მდებარეობს. ამ თხელ სასაზღვრო ფენაში სხეულის ზედაპირის მხების

17

გასწვრივ სიჩქარის მდგენელი იცვლება ნულიდან (სხეულის ზედაპირზე)

გარკვეულ მნიშვნელობამდე (ფენის გარე საზღვარზე).

იმის მიუხედავად, რომ რეინოლდსის რიცხვის მნიშვნელობა დიდია,

სასაზღვრო ფენის საზღვრებზე, ნავიე–სტოქსის განტოლებებში სიბლანტისა

და ინერციის წევრების სიდიდეების მნიშვნელობები დიდია.

გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე რაც უფრო დიდია

რეინოლდსის რიცხვის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია სიჩქარის

გრადიენტი და მით მეტად მცირეა იმ არის ზომები, რომლის საზღვრებშიც

სიბლანტის მოქმედება არსებითია, ე.ი. იგულისხმება სასაზღვრო ფენის

ზომები. როგორც ქვემოთ იქნება ნაჩვენები, დინების მახასიათებელ გრძივ

ზომებთან შედარებით სასაზღვრო ფენის სისქის სიმცირე საშუალებას

გვაძლევს გავამარტივოთ სასაზღვრო ფენის საზღვრებზე ბლანტი სითხის

მოძრაობის განტოლება.

სასაზღვრო ფენის გარეთ სითხის მოძრაობაზე სიბლანტის გავლენა

შეგვიძლია უგულვებელვყოთ და სითხე ჩავთვალოთ იდეალურად,

ამგვარად, რეინოლდსის რიცხვის დიდი მნიშვნელობებისთვის

სითხის მოძრაობის მთელი არე შეგვიძლია გავყოთ ორ არედ:

ა) თხელი სასაზღვრო ფენი, რომელშიც ინერციისა და სიბლანტის წევრები

სიდიდით ტოლია.

ბ) არე, რომელშიც სიბლანტის გავლენა უგულვებელყოფილია, ეგრეთ

წოდებული გარე ნაკადი [4].

საჭიროა აგრეთვე მივუთითოთ ხარისხოვანი კანონის წმინდა

მათემატიკურ ნაკლზე, რომელიც ზღუდავს მის გამოყენებას სასაზღვრო

ფენის თეორიაში.

ეფექტური სიბლანტე

21

21

−

=

n

meemeek efµ

ძვრის მცირე სიჩქარის დროს მიისწრაფვის ნულისაკენ ყველა

დილატანტური სითხისათვის )1( >n და უსასრულობისკენ ყველა

18

ფსევდოპლასტიკურთათვის )1( <n . გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი

უკიდურესობები არ შეიმჩნევა. ამიტომ, ცხადია, კრიტიკულ წერტილის

უშუალო მახლობლობაში სასაზღვრო ფენის გარე საზღვრის ახლოს

მიღებული შედეგები არასაიმედოა. ასეთ კრიტიკულ წერტილებში 0≈ije .

ანალოგიური სირთულე წარმოიქმნება ასევე ძვრის ძალიან დიდი

სიჩქარეებისთვისაც.

მივაქციოთ ყურადღება იმას, რომ სასაზღვრო ფენის სისქის შეფასებას

ვახდენთ, იმ შემთხვევაში, როდესაც სხეულის გარსდენა უწყვეტია.

საგულისხმოა, რომ სასაზღვრო ფენის სისქის ცნება პირობითია, რადგან

სასაზღვრო ფენში სითხის სიჩქარე ასიმპტოტურად უახლოვდება გარე

ნაკადის სიჩქარეს, იმისთვის, რათა ამ ცნებას მივცეთ განმარტება,

სასაზღვრო ფენის სისქე ვუწოდოთ გარსმოდენადი ზედაპირიდან ისეთ

დაშორებას, რომელშიც სითხის სიჩქარე განსხვავდება გარე ნაკადის

სიჩქარისაგან რაიმე მოცემული სიდიდით, მაგალითად 1%–ით (ნახ. 2).

ნახ. 2. სასაზღვრო ფენის არსი

გამოვიყენოთ ელექტროგამტარი არანიუტონისეული სითხის

სასაზღვრო ფენის განტოლება [5, 6]. ამისათვის განვიხილოთ არაკუმშვადი

ელექტროგამტარი ხარისხოვანი სითხის დინება იზოლირებულ ზედაპირზე

ელექტრომაგნიტური ველის არსებობისას. ამ შემთხვევაში

ელექტრომაგნიტურ ძალებს აქვთ შემდეგი სახე:

x

U∞

U∞

y

δ(x)

δ(x)→U

x როცა ∞≅ UU 99,0 δ=y

y

19

][1 BJf

ρ= , (0.2.1)

სადაც J

დენის სიმკვრივეა, ომის კანონი გვაძლევს:

)][( BUEJ

+=σ , (0.2.2)

სადაც ),,( zyx EEEE

არის ელექტრული ველის დაძაბულობის ვექტორი,

),,( zyx BBBB

კი მაგნიტური ინდუქციის ვექტორი, ხოლო −σ გარემოს

გამტარებლობა [5].

ითვლება, რომ გარემოს ფიზიკური მახასიათებლები არიან

ერთგვაროვნები, იზოტროპულები და სიმკვრივის გარდა არ არიან

დამოკიდებულები ტემპერატურაზე და დანარჩენ ფაქტორებზე.

ამგვარი დაშვებით მაგნიტური ჰიდროდინამიკის განტოლებათა

სისტემა მოიცემა შემდეგი განტოლებებით:

იმპულსის გადატანის

][ BJDtUD

i

+∇= τρ . (0.2.3)

ენერგიის განტოლება:

σλρ

22 |||| JkT

DtDTC p +Φ+∇= . (0.2.4)

უწყვეტობის

0=Udiv

, (0.2.5)

მაქსველის განტოლებები

0=Bdiv

, (0.2.6)

BrotJ

0

1µ

= , (0.2.7)

ErottB

−=∂∂ , (0.2.8)

0EEdiv eρ=

, (0.2.9)

ij

n

emmeijij eeekp 2

1

21

−

+−= δτ .

20

თუ მხედველობაში მივიღოთ (0.2.1), (0.2.2)–ს, განტოლება (0.2.3)

მიიღებს სახეს:

[ ]( )ij

iji BBUBExDt

DU ][][1

⋅++∂

∂=

ρστ

ρ. (0.2.10)

(0.2.4) განტოლებისთვის გვექნება:

σρρ ppjj CJ

Ck

xT

xa

DtDT

2

+Φ+

∂∂

∂∂

= , (0.2.11)

სადაც

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=Φ2222

222xV

yU

zW

yV

xU

21

22+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+

n

xW

zU

zV

yW , (0.2.12)

i

i xU

tDtD

∂∂

+∂∂

= , )3,2,1,( =ji ,

jii

j

j

iij e

xU

xUe =

∂

∂+

∂∂

= ,

xUkIpxx ∂∂

+−= 2τ ,

∂∂

+∂∂

=xV

yUkIxyτ ,

yVkIpyy ∂∂

+−= 2τ ,

∂∂

+∂∂

=yW

zVkIyzτ , (0.2.13)

z

WkIpzz ∂∂

+−= 2τ ,

∂∂

+∂∂

=zU

xWkIxzτ .

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=2222

222xV

yU

zW

yV

xUI

21

22−

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+

n

xW

zU

yW

zV . (0.2.14)

შემოვიტანოთ უგანზომილებო სიდიდეები:

Lxx =′ ,

Lzz =′ , t

Lt ⋅=′ 0 ,

21

0

UU =′ , 0

WW =′ , 0T

TT =′ ,

+=′ 11

0

neRVV

,

+=′ 11

neR

LyY , 2

0ρPP =′ ,

0JJJ

=′ ,

0BBB

=′ ,

0EEE

=′ , (0.2.15)

სადაც L, 0 არიან კოორდინატისა და სიჩქარის გრძივი მასშტაბები,

−0T ტემპერატურის მასშტაბი, −0J დენის მასშტაბი, −0B მაგნიტური

ინდუქციის მასშტაბი, −0E ელექტრონული ველის მასშტაბი.

შევადგინოთ სასაზღვრო ფენის განტოლებები, ამისათვის

შემოვიღოთ უგანზომილებო კომპლექსები:

e

nn

n RkL

yu

yk

xUU

=

∂∂

∂∂

∂∂

≈−

ρ

ρ 20~

Zala xaxunis

Zala inerciis. (0.2.16)

rFLgg

xUU

=∂∂

≈20~

ρ

ρ

Zala simZimis

Zala inerciis,

neeг

ne RPPR

aL +

−+

−⋅==

1

21

20 , (0.2.17)

−=0

20

ρσ LBM მჰდ – მაგნიტური ურთიერთქმედების კოეფიციენტია,

n

pc LTC

kE

= 0

0

ρ ეკერტის რიცხვია,

0020 TCLJQ p σρ= პარამეტრი განსაზღვრავს ჯოულის სითბოგამოყოფის

ფარდობით სიმძლავრეს, 00

0

BEk = არის დატვირთვის პარამეტრი.

ამოვწეროთ მიღებული უგანზომილებო სისტემა:

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−= −

xuI

xR

xpU

DtD

e12

−

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

+ −+−

++−

zU

xWI

zR

xVR

yuRI

yR e

ne

ne

nn

e11

11

11

22

( ) ( )yzzyzn

eyxzy BEBEMkWBVRBMBUBBM −+

+−+− +

−1

122 , (0.2.18)

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂ −+

−

yVI

yR

yP

tVR e

ne

112

2 +

∂∂

+∂∂

=∂∂ +

−++

+−

xVR

yURI

xR n

en

enn

e1

11

112

+

∂∂

+∂∂

∂∂

+ +−

+++

−

zVR

yWRI

zR n

en

enn

e1

11

112

( ) ( ) )(11

22 WBUBMBVRBBMBEBEkM zxyn

ezxzxxz +−+−−+ +−

, (0.2.19)

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−= −

zWI

zR

zP

DtDW

e12

+

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

+ −+−

++−

zU

xWI

xR

zVR

yWRI

yR e

ne

ne

nn

e11

11

11

( ) ( )

+−+−−+ +

−n

eyxzyxxyyx VRBUBMBWBBMBEBEkM 11

22 , (0.2.20)

22

2

2

21

2

2

21 JQEzT

xTR

yT

PDtDT

cn

er

+Φ+

∂∂

+∂∂

+∂∂

= +−

, (0.2.21)

(უგანზომილებო სიდიდეების შტრიხები მოცილებულია), სადაც

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

= +−

+

2

12

12222

222zVR

yUR

zW

yV

xUI n

en

e

21

22

12

12

−

+−

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+

n

ne

ne x

WzU

zVR

yWR , (0.2.22)

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

=Φ +−

+

2

12

12222

222zVR

yUR

zW

yV

xU n

en

e

21

22

12

12

+

+−

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+

n

ne

ne x

WzU

zVR

yWR . (0.2.23)

(0.2.18)–(0.2.21) სისტემას რეინოლდსის დიდი რიცხვებისთვის

გააჩნია მცირე პარამეტრი (წევრი), რომლისთვისაც მოსახერხებელია

23

ავიღოთ n

eR +−

11

. ამიტომ რეინოლდსის რიცხვის დიდი მნიშვნელობებისათვის

ამონახსნი ვეძებოთ შემდეგი სახით:

++++= +−

+−

12

211

1

0n

en

e RUURUU ,

++++= +−

+−

ne

ne RVVRVV 1

2

211

1

0 (0.2.24)

++++= +−

+−

ne

ne RWWRWW 1

2

211

1

0

++++= +−

+−

ne

ne RPPRPP 1

2

211

1

0 .

(0.2.24) ჩავსვათ (0.2.18)–(0.2.21)–ში და გავუტოლოთ ნულს მცირე

პარამეტრის ხარისხები, ამოვწეროთ ნულოვანი მიახლოების განტოლებები:

−

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

−

yU

yW

yU

yxP

tU

n2

122

( ) ( )yzzyzxzy BEBEMKWBMBUBBM −+−+− 22 , (0.2.25)

)()( WBUBMBBEBEKMyP

zxyzxxz +−−=∂∂ , (0.2.26)

−

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

−

yW

yU

yW

yzP

tW

n2

122

( ) ( )xyyxzxzy BEBEMKUBMBWBBM −+−+− 22 (0.2.27)

22

122

2

21 JQy

WyUE

yT

PDtDT

n

cr

+

∂∂

+

∂∂

+∂∂

=

+

(0.2.28)

როდესაც y, V ძალიან მცირეა (0.2.21)–(0.2.28) აღწერს დენის ნულოვანი

წირის მახლობლობაში მდებარე თხელ არეში სითხის მოძრაობას. სწორედ

ამ არეს ვუწოდებთ სასაზღვრო ფენს, ხოლო (0.2.25)–(0.2.28) განტოლებებს –

სითხის სასაზღვრო ფენის განტოლებებს.

განვიხილოთ არანიუტონისეული არაკუმშვადი ელექტროგამტარი

სითხის დინება ბრტყელ სასაზღვრო ფენში ელექტრომაგნიტური ველის

24

არსებობისას, როდესაც მაგნიტური ინდუქციის ვექტორი B

მართობულია

ზედაპირის, რომელზეც არის სასაზღვრო ფენი, ელექტრული ველის

დაძაბულობა E

მართობულია B

ვექტორის და სასაზღვრო ფენის

გასწვრივი სიჩქარის მიმართულების. თუ x კოორდინატი მიმართულია

გარსმოდენადი ზედაპირის გასწვრივ, y − ზედაპირის მართობულად, ხოლო

z − დინების სიბრტყის მართობულად, მაშინ ),0,0( EE ≡

, )0,,0( BB ≡

.

ხარისხოვანი სითხის სასაზღვრო ფენის განტოლებათა სისტემა უინდუქციო

მიახლოებაში მიიღებს სახეს:

EBUBxP

yU

yU

yk

yUV

xUU

tU

n

ρσ

ρσ

ρρ−−

∂∂

−

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

− 211 , (0.2.29)

0=∂∂

yP , 0=

∂∂

+∂∂

yV

xU ,

221

2

2

UByU

Ck

yTa

yTV

xTU

tT

n

p

σρ

+

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+

, (0.2.30)

აქ U და V არიან სასაზღვრო ფენში სიჩქარის მდგენელები.

§ 3. ხარისხოვანი არანიუტონისეული სითხის თავისუფალი კონვექციის გადატანის განტოლებები

ერთგვაროვანი სითბოგამტარი და ელექტროგამტარი სითხის

მაკროსკოპული მოძრაობა ელექტრომაგნიტური ველის ურთიერთქმედების

გათვალისწინებით აღიწერება განტოლებებით [7, 8]:

უწყვეტობის

0)( =∂∂

+∂∂

ii

Uxt

ρρ . (0.3.1)

იმპულსის მუდმივობის

iiijji

i BJgxx

PDt

DU ][

++∂∂

+∂∂

−= ρτρ ,

სადაც ( ))[ BUEJ

+=σ ,

ე.ი.

25

∑+−++∂∂

+∂∂

−=kj

jkiieeiijji

i BEUBBUBgxx

PDt

DU,

2 σσσρτρ Єijk, (0.3.2)

და ენერგიის მუდმივობის

∑=

+

∂∂∂

=3

1iijij

jjp e

xT

xDtDTC τλρ , (0.3.3)

მოძრაობის რაოდენობის შენახვის განტოლება სითხისათვის, რომელიც

შიგა ძალების მომენტების განაწილება არ გვაქვს, დაიყვანება ძაბვის

ტენზორის სიმეტრიულობის პირობაზე

jiij ττ = . (0.3.4)

სითბოგამტარობის კოეფიციენტი λ მივიჩნიოთ ცნობილად და

დავამატოთ გარემოს მდგომარეობის განტოლება

),( pTρρ = , (0.3.5)

მივიღებთ 14 უცნობიან, 8 განტოლებიან სისტემას.

(0.3.1)–(0.3.5) განტოლებები მდგომარეობის რეოლოგიურ

განტოლებებთან ერთად აღწერს სითხეების დინებისა და თბოცვლის

ამოცანების უფრო ფართო კლასს. თავისუფალი კონვექციის კერძო

შემთხვევაში ეს განტოლებები შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს, თუ

გამოვიყენებთ ბუსინესკის მიახლოებას. წარმოვადგინოთ თერმოდინამიკური

ცვლადები – ტემპერატურა T, წნევა P შემდეგი სახით:

TTT ′+= , PPP ′+= .

ჩავთვალოთ, რომ დამატებანი T ′ და P′ არიან შედარებით მცირენი,

ვიდრე T და P , შესაბამისად ρ<<′P , თუ ρ-ს გავშლით ტეილორის

მწკრივად, მივიღებთ

( )PTPp

TT

PT pTTP

′+′−=′

∂∂

+′

∂∂

+= ββρρρρρ 1),( 0 , (0.3.6)

P

T T

∂∂

−=ρ

ρβ 1 ,

TP P

∂∂

−=ρ

ρβ

0

1 , ( )PT ,0 ρρ = .

თუ მივიჩევთ, რომ სითხე იკუმშება მხოლოდ თერმულად, ე.ი.

ტემპერატურის ველის გრადიენტით განპირობებული სიმკვრივის

26

არაერთგვაროვნება უფრო დიდია, ვიდრე წნევის ცვლილებით გამოწვეული,

მივიღებთ:

TP TP ′<<′ ββ .

შედეგად მდგომარეობის განტოლება მიიღებს სახეს:

( )TT ′−== βρρ 10 . (0.3.7)

ამის გარდა უგულებელვყოთ დანარჩენი ფიზიკური მუდმივების

დამოკიდებულება ტემპერატურაზე, წნევაზე.

დაშვება 0ρρ <<′ საშუალებას გვაძლევს უწყვეტობის (0.3.1)

განტოლება ჩავწეროთ ფორმით:

0=∂∂

i

i

xU , (0.3.8)

ხოლო იმპულსის მუდმივობის კანონი (0.3.2)

+∂

∂+′−

∂′∂

−=

∂∂

+∂∂

j

ijTi

ik

ik

i

xTg

xP

xUU

tU τ

βρρ 00

∑+3

,kjjk BEσ Єijk ii BUBUB )(2

σσ +− . (0.3.9)

ენერგიის შენახვის (0.3.3) განტოლებას აქვს წინანდებური სახე,

მხოლოდ ბუსინესკის მიახლოების თანახმად მათში ρ შეცვლილია 0ρ -ით.

შევნიშნოთ, რომ ბუსინესკის მიახლოების მნიშვნელოვან მომენტს

წარმოადგენს ის, რომ განიხილება შედარებით სუსტი კონვექცია:

სიმკვრივის საშუალო მნიშვნელობიდან გადახრა, რომელიც გამოწვეულია

ტემპერატურის არაერთგვაროვნებით ითვლება, რომ საკმაოდ მცირეა. ასე

რომ, შეგვიძლია ის ყველა განტოლებაში უკუვაგდოთ, გარდა მოძრაობის

განტოლებისა, სადაც ეს გადახრა გათვალისწინებულია ამომგდები ძალის

შემცველ წევრში. ბუსინესკის მიახლოებით განტოლებათა ამონახსნის

მრავალრიცხოვან ექსპერიმენტულ მონაცემების შედეგებთან შედარებამ

აჩვენა, რომ ეს განტოლებები საკმაოდ კარგად გამოსახავენ თავისუფალი

კონვექციის ყველა მნიშვნელოვან განსაკუთრებულობას [9].

(0.3.3), (0.3.8), (0.3.9) განტოლებათა სისტემა (0.1.5)–ის გათვალისწინებით

სათანადო სასაზღვრო პირობებით სრულყოფილად აღწერს „ხარისხოვანი“

27

არანიუტონისეული ელექტროგამტარი სითხის ბინარული ნარევის

თავისუფალ კონვექციას. თუმცა ამოცანის ამოხსნა წარმოადგენს

სერიოზულ მათემატიკურ სირთულეს. ამავე დროს სასაზღვრო ფენის

შედარებით მნიშვნელოვნად მარტივი განტოლებები, რომლებიც მიიღებიან

გამოსავალი განტოლებებიდან, როგორც ცნობილია საკმაოდ ზუსტად

აღწერენ თავისუფალი კონვექციის ამოცანებს [7, 9].

გამოვიყვანოთ მოძრაობისა და სითბოგადაცემის განტოლებები

„ხარისხოვანი“ სითხის სასაზღვრო ფენისათვის ნებისმიერ ზედაპირზე.

ამისთვის შემოვიღოთ უგანზომილებო კომპლექსები:

≡

2

Zalebi xaxunis siblantis

gradientiT istemperatur uliaganpirobeb romlebic Zalebi, amomgdebi

( )[ ]−=

−=

−+≡

−∞

+

−∞

r

nT

n

nnT

GK

TTgLLK

LTTg2

20

222

2

30 )( βρρβ

გრასჰოფის განზოგადებული თერმული რიცხვი:

rP ( )[ ] )1(2)1(3

0111

2

+−

∞+−+

−

= n

n

Tnnnp TTgLLKC

βρν

ρ

არის პრანდტლის მოდიფიცირებული რიცხვი. ამ კომპლექსების

გამოყვანისას მახასიათებელი სიჩქარის თვისებად შეირჩა შესაბამისად

( )[ ]21

0 ∞−= TTLg TT β , ∞> TT0 .

გადავიდეთ ახალ ცვლადებზე (0.3.3), (0.3.8), (0.3.9) (0.1.5)

განტოლებებში

xLx =′ , yLx =2 , zLx =3 , TUU =1 ,

TVU =2 , TWU =3 , TLtt ′= ,

∞

∞

−−

=TTTT

0

θ , nnT LKPP −′= , (0.3.10)

EEE ′=

0 , BBB ′⋅=

0 .

მაშინ მივიღებთ

28

( ) −+∂∂

−+∂∂

= −i

i

iij

n

j

ir BUBM

xP

ggeh

xDtDUG )(12

1 θ

∑=

+−3

1,kjjki BEMKMU Єijk, (0.3.11)

11 ++

∂∂

∂∂

= nr

jjr

hBxxPDt

D θθ , (0.3.12)

სადაც

xx =1 , yx =2 , zx =3 , UU =1 , VU =2 ,

WU =3 , tt ′= , PP ′= ,

2n

Tr L

gKB

=

β ( ) 22

0

−

∞−n

TT ,

−=T

LBMρ

σ 20 მჰდ-ის ურთიერთქმედების კოეფიციენტი;

−=TB

EK0

0 დატვირთვის კოეფიციენტი

21

21

emme eeh ⋅= . (0.3.13)

Єijk – III რიგის ერთეულოვანი ტენზორი (0.3.11), (0.3.12)-ში x, y, z, U,

V, W ცვლადებიდან გადავიდეთ ახალ ცვლადებზე 1xx = , 1yy = , =z Є 1z ,

1UU = , 1VV = , =W Є 1W . მაშინ

22

∂∂

+

∂∂

=zV

zUh , ანუ

∈1~h .

იმისათვის, რომ გამოვიყვანოთ სასაზღვრო ფენის განტოლება

(0.3.11)-სა და (0.3.12)-ში შევასრულოთ ზღვარზე გადასვლა Є→0, მიღებული

დამოკიდებულებების გათვალისწინებით Є გავაიგივოთ )1(21

nrG +−

-თან,

მივიღებთ „ხარისხოვანი“ არანიუტონისეული ელექტროგამტარი სითხის

სასაზღვრო ფენში თავისუფალი კონვექციის განტოლებას.

+

∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

−=∂∂ −−

22

2

2

2

232

1

)1(zV

zUn

zU

zV

zV

zUnhG

tU n

r

29

( ) )( yzzyxx BEBEMKMUBUBM

xP

gg

−+−+∂∂

−+

θ ,

+

∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

−=∂∂ −−

22

2

2

2

232

1

)1(zU

zVn

zV

zU

zU

zVnhG

tV n

r

( ) )( zzxzyy BEBEMKMVBVBM

yP

yg

−+−+∂∂

−+

θ , (0.3.15)

)()(0 xyyxzz BEBEMKMWBUBM

zP

gg

−+−+∂∂

−=

θ , (0.3.16)

12

21 ++∂∂

= nr

r

hBzPDt

D θθ . (0.3.17)

(0.3.14)– (0.3.17) სისტემის სასაზღვრო პირობები იქნება

0=== WVU , 0=θ , როცა 0=t , (0.3.18)

0=== WVU , ),,( yxtf=θ , როცა 0=z , (0.3.19)

0→U , 0→V , 0→θ ; როცა ∞→z . (0.3.20)

თავისუფალი კონვექციის ამოცანებში მექანიკური ენერგიის

დისიპაცია შეგვიძლია არ გავითვალისწინოთ )10~( 3−TB .

განვიხილოთ არანიუტონისეული არაკუმშვადი ელექტროგამტარი

სითხის თავისუფალი კონვექცია, როდესაც სასაზღვრო ფენში არსებობს

ელექტრომაგნიტური ველი, ხოლო მაგნიტური ინდუქციის ვექტორია

)0,,0( BB =

, ელექტრული ველის დაძაბულობაა ),0,0( EE =

, მივიღებთ:

MKEBMUxP

yU

yU

yyUV

xUU

tU

n

−−+∂∂

−

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

−

θ1

,

2

21yPy

Vx

Ut r ∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂ θθθθ .

აქ

Lxx′

= , T

UU

′= ,

)1(21

nrG

Lyy +′

= , )1(21

nr

T

GVV +′=

.

30

§ 4. საწყისი და სასაზღვრო პირობები

გავარკვიოთ როგორ საწყის და სასაზღვრო პირობებში უნდა

ვაინტეგროთ ხარისხოვანი რეოლოგიური სითხის სასაზღვრო ფენის

განტოლებანი. სასაზღვრო ფენი განიხილება როგორც ასიმპტოტური.

უძრავ გაუმტარ მყარ 0=y საზღვარზე დინამიკური ამოცანისთვის,

როგორც ექსპერიმენტებმა აჩვენა მრავალ ერთფაზიან არანიუტონისეულ

სითხეებთან, სამართლიანი რჩება ზედაპირზე მიკვრის კლასიკური

პირობები

0),,0,(),,0,(),,0,( === tzxWtzxVtzxU . (0.4.1)

საქმე იმაშია, რომ მყარ ზედაპირს შეუძლია ხელი შეუწყოს მის

მახლობელ მოლეკულებისა და სითხის ნაწილაკების მნიშვნელოვან

ორიენტირებას. ამასთან ზედაპირის გასწვრივ წარმოიქმნება გასრიალების

მახასიათებელი ქმედება. ასეთი მოვლენები განსაკუთრებით კარგად

დაიკვირვება მრავალფაზიან სისტემებში [4, 6, 10, 11].

ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ასეთ სითხეებს, რომელთათვის მყარი

ზედაპირის მახლობლობაში სრიალი შეიძლება უგულებელყოფილი იქნეს.

საზოგადოდ მოძრავ გამჭოლ ზედაპირზე სასაზღვრო პირობები

მოიცემა შემდეგი სახით:

),,(0 tzxUU = , ),,(0 tzxVV = , ),,(0 tzxWW = . (0.4.2)

გადავიდეთ სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე არსებულ სასაზღვრო

პირობებზე.

ფიზიკურად სასაზღვრო ფენის იდეა ეფუძნება იმას, რომ სიბლანტის

ძალების გავლენა აისახება მხოლოდ გამყოფი (მყარი, თხევადი) ზედაპირის

სიახლოვეს თხელ არეში. მის გარეთ მოძრავი სითხე შეიძლება ჩაითვალოს

იდეალურად. სხვა სიტყვებით, სასაზღვრო ფენის სხეულის ზედაპირის

მართობული კვეთის ყველა წერტილში წნევას გააჩნია ერთი და იგივე

მნიშვნელობა. ამასთან სასაზღვრო ფენი არსებობს, თუ სიჩქარის ზედაპირის

მართობული მდგენელი ფენის ნებისმიერ წერტილში არის მხებ

მდგენელთან შედარებით მცირე, ე.ი. სასაზღვრო ფენის არეში სიჩქარეს

31

გააჩნია იგივე ფარდობითი რიგი, როგორიც ფენის სისქეს. ამიტომ

სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე სამართლიანია იდეალური სითხის

განტოლებები, რომლებშიც yVV∂∂ ,

yWV∂∂ წევრები შეგვიძლია

უგულვებელვყოთ:

−−∂∂

−=∂∂

+∂

+∂∂ WBMB

xP

zWW

xdVV

tV

zx

( ) )(22yzzyzy BEBEMKUBBM −++− , (0.4.3)

−−∂∂

−=∂∂

+∂

+∂∂ VBMB

xP

zWW

xdWV

tW

zx

( ) )(22xyyxyx BEBEMKWBBM −++− ,

)()( WBVBMBBEBEMKyP

zxyzxxz +−−=∂∂ ,

∞→=

yUU lim ,

∞→=

yWW lim . (0.4.4)

თუ ჩვენ გვეცოდინება წნევის განაწილება გარე საზღვარზე, მაშინ

(0.4.3)-ის ამოხსნით ვიპოვით საჭირო სიდიდეებს U, W-ს. მაშასადამე,

საკმარისია ექსპერიმენტალურად გავზომოთ წნევის განაწილება

გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე, რომ ვიცოდეთ იგი სასაზღვრო ფენის

ნებისმიერ წერტილში, მათ შორის გარე საზღვარზე.

ამგვარად, სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე საძიებელი სასაზღვრო

პირობები მოიძებნება (0.4.3) განტოლების ამონახსნებიდან, (0.4.3)

განტოლებაში xP∂∂ ,

zP∂∂ და

yP∂∂ დაითვლება ექსპერიმენტულად ცნობილი

გაზომილი წნევის განაწილების მიხედვით გარსმოდენადი სხეულის

ზედაპირზე.

დინამიკური სასაზღვრო ფენის სასაზღვრო ამოცანის უფრო

კონკრეტულად დასმისთვის, აუცილებელია ასევე საწყის კვეთებში

მოცემული იყოს სიჩქარის მხები და ტრანსვერსიალური მდგენელები

0xx = , 0zz =

).,,,( ),,,,(),,,( ),,,,(

0202

0101

tzyxWWtzyxUUtzyxWWtzyxUU

====

(0.4.5)

32

მიღებული განტოლებათა სისტემაში სიჩქარის ნორმალური

მდგენელისათვის გვაქვს მხოლოდ ერთი სასაზღვრო პირობა, რომლის

როლშიც საზოგადოდ იღებენ სასაზღვრო პირობას გარსმოდენადი სხეულის

ზედაპირზე.

დაუდგენელი არამდგრადი მოძრაობისას მოცემული უნდა იყოს

კიდევ დროის საწყის მომენტში სიჩქარის მხები და ტრანსვერსიალური

მდგენელები

).,,,( ),,,,( 0303 tzyxWWtzyxUU == (0.4.6)

სითბური სასაზღვრო ფენის განტოლებისათვის განვიხილოთ

საწყისი და სასაზღვრო პირობები. გარსმოდენილი სხეულის ზედაპირზე

შეიძლება მოცემული იყოს არა მხოლოდ მუდმივი და ცვლადი

ტემპერატურა, არამედ სითბოს ნაკადი:

).,,0,( ),,,0,( 00 tzxqqtzxTT == (0.4.7)

სითბური სასაზღვრო ფენის გარე საზღვარზე ტემპერატურა

შეიძლება იყოს მუდმივი ან მოცემული იყოს რაიმე კანონით:

),,(lim tzxTTy ∞∞→

= . (0.4.8)

და ბოლოს, აუცილებელია მივუთითოთ ტემპერატურის პროფილი

საწყის კვეთებში

0xx = , 0zz = :

).,,,( );,,,( 0201 tzyxTTtzyxTT == (0.4.9)

არასტაციონარულ ამოცანებში, ამას გარდა მხედველობაში უნდა

მივიღოთ საწყისი პირობები, რომლებიც გვაძლევს დროის საწყის მომენტში

ტემპერატურის განაწილებას 0tt = :

).,,,( 03 tzyxTT = (0.4.10)

ამასთანავე სასაზღვრო პირობებიც შეიძლება დამოკიდებული იყოს

დროზე.

თუ განიხილება სასრული სისქის სასაზღვრო ფენი, მაშინ

უსასრულობაში სასაზღვრო პირობის ნაცვლად ავიღებთ პირობას:

33

),,(lim),,(

tzxUUtzxy ∞→=

δ, ),,(lim

),,(tzxWW

tzxy ∞→=

δ, (0.4.11)

ხოლო უცნობი ),,( tzxδ სისქის განსასაზღვრავად მოვითხოვოთ სასაზღვრო

ფენიდან გარე ნაკადში სიჩქარის კომპონენტების უწყვეტად გადასვლის

პირობა:

0lim),,(

=∂∂

→ yU

tzxy δ, 0lim

),,(=

∂∂

→ yW

tzxy δ. (0.4.12)

34

2. შედეგები და მათი განსჯა

თავი 1

არანიუტონისეული გამტარი სითხის სტაციონარული სასაზღვრო ფენის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნის

მეთოდი ცვლადი ელექტროგამტარებლობისას

ამ თავში განვიხილავთ სხეულების სტაციონარულ გარსდენას

ხარისხოვანი ბლანტი გამტარი სითხით, ჩავთვალოთ, რომ

ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი m

UU

−=

∞

10σσ , 0≥m .

[12, 13, 14] შრომებში განიხილებოდა მაგნიტურ ჰიდროდინამიკაში

არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენის ავტომოდელური

ამონახსნები, როდესაც ფენის გარე საზღვრის გასწვრივ სიჩქარე ვრცელდება

ხარისხობრივად და ელექტროგამტარებლობა მუდმივია ყველა დინებაში.

თუმცა მაგნიტოჰიდროდინამიკური დინება ბევრი გამტარი გარემოსი,

როგორებიცაა ნარევები ან გამდნარი ლითონები, არ აღიწერება

ნიუტონისეული სითხეების მაგნიტური ჰიდროდინამიკის განტოლებებით.

არანიუტონისეული სითხის სასაზღვრო ფენის ავტომოდელური

ამონახსნები ელექტრომაგნიტური ველის მოქმედების გაუთვალისწინებლად

შესწავლილია [14]-ში.

[15, 16] შრომებში ამონახსნები მიღებულია მცირე პარამეტრით

გაშლის ასიმპტოტური მეთოდის გამოყენებით, ხოლო კერძო შემთხვევაში

[17]-ში განსაზღვრული პარამეტრის სპეციალური მოცემით შესაძლებელი

გახდა რამდენიმე ზუსტი ანალიზური ამონახსნის მიღება. ორივე შრომაში

არაა ნახსენები აგებული ამონახსნების ფიზიკური ინტერპრეტაცია და

ხარისხოვანი სითხეების მაგნიტოჰიდროდინამიკური სასაზღვრო ფენის

სტრუქტურის საერთო პრინციპული თავისებურება.

[4, 18, 19]-ში დამტკიცებულია, რომ დილატანტური სითხეების

შემთხვევაში სასაზღვრო ფენი სივრცულად უნდა იქნეს ლოკალიზებული.

35

ამასთანავე აღნიშნული იყო დილატანტური სითხის რეოლოგიურ კანონში

მუდმივას მნიშვნელობის განსაზღვრული დიაპაზონისთვის სასაზღვრო

ფენის სივრცული ლოკალიზაციის არსებითი ანომალიები. [20]-ში

მიღებულია ამ ამოცანის განსაკუთრებული ამონახსნები. ნაშრომში [21]

განხილულია ავტომოდელურ შემთხვევაში სიჩქარის გასწვრივი მდგენელის

ცვლილების არის ლოკალიზაციის საკითხი და სიჩქარის ლოკალიზაცია

გამართლებულია იმით, რომ მაგნიტური ველი შედის განტოლებაში

მხოლოდ წრფივ წევრში და არ შეუძლია პრინციპულად შეცვალოს

შეშფოთების გავრცელების ხასიათი. გავრცელების სასაზღვრო სიჩქარე

განპირობებულია მხოლოდ გარემო რეოლოგიური თვისებებით. მიღებული

შედეგებიდან გამომდინარეობს ასევე, რომ შეშფოთების გავრცელების

სიჩქარე მცირდება სიდიდით

rcBnN

ρσ 2)1( +

= ,

სადაც 01)12( ≥+−= mnr .

ნაშრომში [22] დამტკიცებულია მაგნიტურ ველში გამტარი

ფსევდოპლასტიკური სითხის )1( <n სასაზღვრო ფენის განტოლებათა

სისტემის ამონახსნის არსებობა და ერთადერთობა.

მაგნიტურ ჰიდროდინამიკაში ხარისხოვანი რეოლოგიური კანონის

ქვემდებარე სითხეების დინების შესწავლამ აჩვენა თვისებრივი განსხვავება

დილატანტურ და ფსევდოპლასტიკურ გარემოთა დინებებისთვის. ეს

განსხვავება შეიმჩნევა უკვე სტაციონარულ დინებებშიც, როდესაც

დილატანტური სითხის მოძრაობისას განივ მაგნიტურ ველში შეიძლება

წარმოიქმნას ზონები, რომლებშიც გარემო იმოძრავებს მუდმივი სიჩქარით.

კვაზიმყარი ზონების წარმოშობის ეფექტი მჰდ-ში გამტარი დილატანტური

სითხეების დინებებში ბუნებრივია იწოდება მაგნიტური პლასტიკურობის

ეფექტად [19]. ფსევდოპლასტიკური და ნიუტონისეული სითხეებისთვის ამ

ეფექტს არ აქვს ადგილი. მაგნიტური პლასტიკურობის ეფექტი საინტერესოა

შედეგის ანალიზური ბუნების თვალსაზრისით, როდესაც არაწრფივი

36

დიფერენციალური განტოლების ამონახსნს გააჩნია სხვადასხვა აღწერილობა

განსხვავებულ არეებში. ფაქტიურად ამ შემთხვევებში ამოცანის ამონახსნი

არის დიფერენციალური განტოლების განზოგადებული ამონახსნი, ამასთან

განზოგადებული ამონახსნის ინტეგრალური მრუდი შედგება კერძო და

განსაკუთრებული ამონახსნებისაგან [4], რომლებიც მიკერებულნი არიან

კვაზიმყარი ზონის საზღვარზე, თუ უწყვეტად ჩავთვლით შესაბამისად

სიჩქარეს და დაძაბულობას. ამასთან კვაზიმყარი მოძრაობის ზონა

ეთანადება განსაკუთრებულ ამონახსნს.

მჰდ-ში არხებში ხარისხოვანი სითხის დინების განმსაზღვრელ

უგანზომილები პარამეტრს წარმოადგენს ჰარტმანის განზოგადებული

რიცხვი anH . ამასთან

nnan L

KBH −+≡ 11

202

σ .

შევნიშნოთ, რომ როცა 1→n , ეს პარამეტრი გადადის ჰარტმანის

ჩვეულებრივ რიცხვში, 220

1 LKBH a

σ= , ხოლო როდესაც 1≠n , დამოკიდებულია

ნაკადის მახასიათებელ სიჩქარეზე.

ხარისხოვანი რეოლოგიური კანონის მქონე გარემოთათვის

სტაციონარული მჰდ დინებებისთვის ცნობილია ჰარტმანის და კუეტის

ამონახსნები ბრტყელ არხში [24] და განივი მაგნიტური ველითურთ

სასაზღვრო ფენში დინებისთვის [25]. როგორც [24]-ში იყო ნაჩვენები,

დილატანტური სითხის დინებისათვის კვაზიმყარი მოძრაობის ზონები

არხში წარმოიქმნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა ჰარტმანის

განზოგადებული რიცხვი გადასცილდება რაიმე კრიტიკულ მნიშვნელობას.

[25]-ში შესწავლილ იქნა ხარისხოვანი სითხის სითბოცვლა სტაციონარულ

ბრტყელ გრადიენტულ მჰდ-ურ დინებებში. აღსანიშნავია, რომ ზოგ

შემთხვევაში სტაციონარული განაწილებანი შეიძლება მიღებული იქნეს

როგორც არასტაციონარულ ამოცანების ზღვრული ამონახსნები [26].

37

ჩამოთვლილი გამოკვლევებისგან განსხვავებით ჩვენ შევისწავლით

ხარისხოვანი გამტარი სითხის სასაზღვრო ფენს ელექტროგამტარებლობის

ცვლადი კოეფიციენტით m

UU

−=

∞

10σσ

სასაზღვრო ფენის ყველა მახასიათებლის საძიებლად ვისარგებლოთ ფენის

სასრული სისქის ცნებით.

განვიხილოთ სხეულის სტაციონარული გარსდენა სუსტადგამტარი

ხარისხოვანი ბლანტი სითხით, რომლის სიჩქარე უსასრულობაში არის

)(xU∞ .

გარე მაგნიტურ ველში არსებული ხარისხოვანი ბლანტი სითხის

სასაზღვრო ფენის ძირითად განტოლებებს აქვთ სახე:

.0 ,0

,1 2

2

21

=∂∂

+∂∂

=∂∂

−−∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

−

yV

xU

yP

EBUBxP

yU

yUnK

yUV

xUU

n

ρσ

ρσ

ρρ (1.0.1)

ჩავთვალოთ, რომ 0=E

, თუ ვიხელმძღვანელებთ შემდეგი

დამოკიდებულებით:

EBUBxP

xdUU

ρσ

ρσ

ρ∞∞∞∞

∞ −−∂∂

−=∂

21 ,

მაშინ (1.0.1) განტოლება მიიღებს სახეს:

+−∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ ∞

∞

−

dxdUU

yU

yUnK

yUV

xUU

n

2

21

ρ

[ ] ][2

σσρ

σσρ

−+−+ ∞∞∞BEUUB . (1.0.2)

ჩავთვალოთ, რომ სითხის ელექტროგამტარებლობა ცვლადია და

წარმოადგენს სიჩქარის ხარისხოვან ფუნქციას: m

UU

−=

∞

10σσ , 0≥m . (1.0.3)

ამგვარად (1.0.2) განტოლება მიიღებს სახეს:

38

+−∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ ∞

∞

−

dxdUU

yU

yUnK

yUV

xUU

n

2

21

ρ

mm

UUBE

UUB

−−

−+

∞∞

112

0

ρρσ . (1.0.4)

უწყვეტობისა და (1.0.4) განტოლებაში გადავიდეთ ახალ ცვლადებზე

Lxx =′ , n

eRLyy +=′ 1

1

, neR

UVV +=′ 1

1

VUU =′ ,

UU∞=Φ , n

eRUVV +=′ 1

10

0 ,

neR

L+=′ 11δδ , n

n

en

n RLKU

+−

=′ 1ττ ,

მაშინ მივიღებთ:

0=∂∂

+∂∂

yV

xU ,

=

Φ−−

∂∂

∂∂

+Φ

Φ=∂∂

+∂∂

− mnUMU

yU

yUn

dxd

yVV

xUU 1

1

2

2

mmmnUMKUUM

yU

yUn

dxd

Φ−−

Φ−−

Φ−Φ+

∂∂

∂∂

+Φ

Φ=+−

11111

2

2

, (1.0.5)

სადაც V

LBMρ

σ 20= არის მჰდ ურთიერთქმედების კოეფიციენტი

(უგანზომილებო სიდიდეებს შტრიხები მოცილებული აქვს).

ამასთან სასაზღვრო პირობებს აქვთ სახე

0)0,( =xU , )()0,( 0 xVxV = ,

)()0,( xxU Φ= . (1.0.6)

თუ შემოვიტანთ დენის ფუნქციას ),( yxΨ ფორმულებით:

yU

∂Ψ∂

= , x

V∂Ψ∂

−= .

(1.0.5) სისტემიდან და (1.0.6) სასაზღვრო პირობებიდან ),( yxΨ დენის

ფუნქციისთვის მივიღებთ განტოლებას

−∂Ψ∂

⋅∂Ψ∂

−∂∂Ψ∂

∂Ψ∂

=∂Ψ∂

∂Ψ∂

−

2

22

3

31

2

2

yxyxyyyn

n

39

∂Ψ∂

Φ−−

∂Ψ∂

Φ−Φ+

ΦΦ−

+11111

mm

yyM

dxd , (1.0.7)

სასაზღვრო პირობებით:

0),(

0

=∂

Ψ∂

=yyyx , )(0

0

xVx y

−=∂Ψ∂

=

,

)(xy y

Φ=∂Ψ∂

∞=

. (1.0.8)

(1.0.7), (1.0.8) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი

მიახლოების მეთოდით [28]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის

სასრული სისქე )(xδ , იგი განვსაზღვროთ სასაზღვრო ფენის გასწვრივი

სიჩქარის გარე ნაკადის სიჩქარეში მდორედ გადასვლის პირობიდან. ეს

პირობა ჩაიწერება ასეთი სახით:

0)(

2

2

=∂Ψ∂

=∂∂

= xyyyU

δ

. (1.0.9)

ფენის სასრული სისქის შემოტანით (1.0.8) პირობა უსასრულობაში

შეიცვლება პირობით )(xδ -ზე, ე.ი.

)()(

xy xy

Φ=∂Ψ∂

=δ

. (1.0.10)

ვიპოვოთ ორი მიახლოება დასმული ამოცანის

),(),(),( 21 yxyxyx Ψ+Ψ≈Ψ , (1.0.11)

სადაც ),(1 yxΨ -ის ქვეშ აღებულია ამონახსნი განტოლებისა

031

3

=∂Ψ∂y

, (1.0.12)

რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ სასაზღვრო პირობებს:

00

1 =∂Ψ∂

=yy, )(0

0

1 xVx y

−=∂Ψ∂

=

, )()(

1 xy xy

Φ=∂Ψ∂

=δ

. (1.0.13)

ამ ამონახსნს აქვს სახე:

∫−

Φ=Ψ

x

dVyxxyx

00

21 )(

)(2)(),( ξξ

δ. (1.0.14)

40

ამონახსნი ),(2 yxΨ არის ამონახსნი განტოლებისა:

+

ΦΦ−

∂Ψ∂

⋅∂Ψ∂

−∂∂Ψ∂

⋅∂Ψ∂

∂Ψ∂

=∂Ψ∂

−

dxd

yxyxyyny

n

21

211

21

1

22

3

22

3 1

∂Ψ∂

Φ−−

∂Ψ∂

Φ−Φ+

+111 1111

mm

yyM ,

და აკმაყოფილებს (1.0.13) სასაზღვრო პირობებს. ამაში (1.0.14) განტოლების

ჩასმით, 3-ჯერ ინტეგრებით, ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობების

დაკმაყოფილებით, მივიღებთ:

( )

+Φ′−+

Φ⋅

Φ+

Φ=Ψ −

−

δδ

δδδ

δ 61202),(

3

0

5

2

12 yV

dxdy

nyyx n

n

+−−

−

Φ+

Φ+

δδδδ yH

yMyVdxd

dxd 2

4484811 2

20

∫−

−+−

−++

++

++ xmm

dVymymHm

M0

0

343

)(1)4(1)1(3)4(

ξξδδ

δ ,

ამგვარად სიჩქარისათვის მივიღებთ:

( )

+Φ′−+

Φ⋅

Φ+Φ= −

−

δδ

δδδ

δ 224),(

2

0

4

2

1 yVdxdy

nyyxU n

n

+

−

−+−

−++−−+

++

δδδδ yymym

HM mm

11)1(1)3(2212

−

Φ+

Φ+ yV

dxd

dxd

4242411 0δδ . (1.0.16)

ანალოგიურად შეიძლება განისაზღვროს ),( yxV .

ზედაპირული τ ხახუნისათვის გვაქვს გამოსახულება:

n

nn

en

nn

y yUR

LUK

yUL

∂∂

=∂∂

= +

=

1

01τ ,

n

yU∂∂

=τ ,

სადაც

nn

en

nn

n

w

n

n RL

LR

LK

+−

+−

⋅=

= 1111

τττ ,

41

×

Φ+

Φ=

∂Ψ∂

=∂∂

=−−

== nyyU nnn

y

n

u

12

02

2

0

δδ

τ

n

mmMV

++

−′Φ

+Φ′+−±)2)(3(2424

1120 δδδ . (1.0.17)

სასაზღვრო ფენის უცნობი სიგანე )(xδ განვსაზღვროთ (1.0.9)

პირობიდან. )(xδ -ის განსასაზღვრავად გვექნება განტოლება

20

11

)1(8)()1(4163)1( −++

Φ++Φ+

=

Φ−

ΦΦ′

++ nnnn

nnxVnHMn

dxd δδδ . (1.0.18)

მიღებული განტოლება )(xδ -ის მიმართ არაწრფივია ცვლადი

კოეფიციენტებით და მისი ამოხსნა ზოგად შეთხვევაში დაკავშირებულია

დიდ მათემატიკურ სირთულეებთან.

განვიხილოთ რამდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც (1.0.18)-ის

ამონახსნი შეიძლება მიღებულ იქნეს ცხადი სახით.

(I) სიჩქარე იყოს )()(0 xxV αδ= , მაშინ )(xδ -ისათვის მივიღებთ

განტოლებას

211 )1(844ln3)1( −++ Φ+=

+

Φ−Φ++ nnn nn

HM

dxdn

dxd δαδ

ამ განტოლების ამონახსნს 0)0( =δ პირობისას აქვს სახე:

Φ

−Φ∫

Φ+= ∫ ∫+Φ+−+x

n

dNnn ddNennx

x

0 0

14)()1(31

)()exp()1(8)( 0ξξ

ξ

ξθθδ .

თუ აქ const=Φ , მაშინ

−⋅

Φ+= Φ

−−+ 1)1(8)(

11

Nxnn e

Nnnxδ , (1.0.19)

სადაც

++=

HMnN 4)1(4 α .

როდესაც 1=n მივიღებთ სუსტადგამტარი სითხის სასაზღვრო ფენის

სისქეს [15]

−⋅= Φ 116)(

1

1

2xN

eN

xδ , (1.0.20)

42

სადაც

+=

HMN 481 α .

როდესაც Φ

xN1 მცირეა,

Φ=

x4δ . (1.0.21)

ზედაპირული ხახუნი (1.0.17)-დან მიიღებს სახეს

+

+Φ′+Φ

−⋅

Φ= +

−1

1 )31(33

4 nnn

HMn

nδα

δτ .

თუ აქ const=Φ , მაშინ n

nnn

HMn

n

+

+Φ

−

Φ

= +−

11 )31(

41

34 δαδ

τ .

თუ აქ ჩავსვამთ (1.0.19)-ს, მივიღებთ

[ ]nNx

nn

Nx

nnn

eANn

Benn

−

+−⋅

Φ+

= Φ

+−

−Φ

+−− 1)1(21)1(8

34

11

12τ ,

HMnA )31( ++=α .

მცირე ΦNx სიდიდისთვის ის გვაძლევს

[ ]

+

Φ+++

−Φ+

−⋅Φ+

= +

−− xH

mnnMnnxnn nnn )31)(1(4[2)2(21)1(8

34

13τ .

(II) სიჩქარე იყოს )()(0 xxV nδβ= , მაშინ )(xδ -ისთვის მივიღებთ

განტოლებას

211 )1(8)1(416ln3)1( −++ Φ++Φ+

=

−Φ++ nnn nnn

HM

dxdn

dxd βδδ ,

რომლის ამონახსნი იქნება:

+

Φ

−Φ⋅Φ

Φ+= ∫ ∫∫ ++−+x

nx

nn ddKdKnx0 0

23

0

)1(31

)(exp

)(exp)1(4)( ξ

θθβ

ξξδ

ξ

Φ

−Φ+ ∫∫ + ξθθξ

ddKnx

n

00

14

)(exp2 .

43

თუ აქ const=Φ , მაშინ

[ ]

−Φ+

+= Φ−+ 1214)( 11

xKnn en

Knx βδ .

სადაც

H

MnK )1(16 += .

როდესაც ΦKx მცირეა, გვექნება

( ) 11

11

12)1(4)( ++−

Φ+

Φ+

= nnn xnnx βδ . (1.0.23)

ხახუნის დაძაბულობა ამ დროს გამოისახება ფორმულით:

( ) nnn

n

HMm

nn

+

−Φ′Φ

+Φ−

Φ= +− 11 31

365

34 δβ

δτ .

როდესაც const=Φ და 0=m მივიღებთ:

=

Φ−Φ−

Φ

= +−−n

nnnn

nM

n111

24851

34 δβδ

τ

( )[ ] ×Φ++

Φ= +

−−++

1112

2)1(434

nn

n

n

nn

xnn β

n

nnn xnn

nMn

Φ+Φ

+−Φ−× −−− )2(

6)1(

851 11 ββ ,

n

nnn Mxnxnn

Φ+

−

Φ+

=

+−

= 311)1(8

34][

1

30βτ ,

++

Φ−

Φ==

Mxxn 222,0333,0][

3

1τ . (1.0.24)

(III) სიჩქარე იყოს )(3)(0 xHMxV δ−= , მაშინ სასაზღვრო ფენის სისქე

არაა დამოკიდებული მაგნიტურ ველზე და ტოლია:

ξξδ dnnxx

nnn )()1(8)(0

14)1(31 ∫ ++−+ ΦΦ+= .

თუ აქ const=Φ , მივიღებთ

11

11

2 ])1(8[)( ++−Φ+= nnn xnnxδ , (1.0.25)

44

რომელიც ემთხვევა [23] შედეგს.

τ დაძაბულობისთვის გვექნება

( ) nn

nn

HMm

n

−

+Φ′Φ

+

Φ= +

−1

1 133

4 δδ

τ .

როდესაც const=Φ , (1.0.25)-ის გათვალისწინებით, გვექნება

nnn

nn

HMxmnxnn

Φ−+

+Φ+

= +

−− )1)(1(61])1(8[34 13τ .

როდესაც 1=n ხახუნის დაძაბულობას განსხვავებული m-ებისთვის ექნება

სახე:

Φ+

Φ==

Mxxm 666,0333,0][

3

0τ ,

xm

3

1 333,0][ Φ==τ ,

Φ−

Φ==

Mxxm 166,0333,0][

3

2τ .

ეს ნიშნავს, რომ m-ის გაზრდით ხახუნი შემცირდება.

(IV) სიჩქარისთვის გვექნება =Φ )(

)(0

xxV Є<<1, მაშინ (1.0.18) განტოლება

სასაზღვრო ფენის სისქისთვის მიიღებს სახეს:

4)1(81631 211 =Φ+−

−Φ′

Φ+ −++ nnn nn

HMn

dxd δδ Є nn δ)1( + . (1.0.26)

ამ განტოლების ამონახსნი ვეძებოთ ხარისხოვანი მწკრივის სახით:

∑∞

==

0)(

sxδ Є +≈ 0δδ s

s Є 1δ . (1.0.27)

(1.0.27)-ის ჩასმით (1.0.26)-ში და Є-ს ერთნაირი ხარისხის მქონე

წევრების გატოლებით 0δ და 1δ -ისთვის მივიღებთ შემდეგ განტოლებებს:

2110 )1(816ln3)1( −++ Φ+=

Φ−Φ+ nnn nn

HM

dxdn

dxd δδ ,

416ln3)1(ln 101 =

Φ−Φ+++ δδδ

HM

dxdn

dxd

dxd n .

ამ განტოლებათა ამონახსნებს აქვთ სახეს:

45

∫Φ

ΦΦ+= ∫ ∫

Φ−

++−+x

dDxnnn dedxDnnx

0

)(

0

14)1(310

0)(exp)1(8)( ξξδ

ξ

αα

,

∫⋅Φ

∫Φ= ∫

Φ−

+Φ+−−x

dDnn

dDnn deexx

x

0

)(

0)1(3)()1(3

0100 )()()(4)( ξξδξδδ

ξ

αα

αα

,

როდესაც const=Φ , მივიღებთ:

−Φ

+= Φ−+ 1)1(8)( 1)1(

0

Dxnn e

Dnnxδ ,

= ∫ Φ

−Φ−

x Dn

Dxn deex

0001 )(4)( ξξδδδ

ξ

, (1.0.28)

სადაც HMnD )1(16 += .

(V) სიჩქარე იყოს

HMn

nnxV nn δβδδδ 42

)1(423)( 11

0 −+Φ−Φ′++

= −−− ,

მაშინ სასაზღვრო ფენის სისქე გამოისახება მარტივი ფორმულით

11

11

)1(4)( ++

Φ+

= nn

xnx βδ ,

სადაც β რაიმე მუდმივია, ხოლო ხახუნის დაძაბულობა იქნება

=

−+Φ′

++Φ

+

Φ= +

−n

nnn

MH

mn

nn

11 )1(

)1(1222 δ

δτ

n

nnn

HMm

n

−

+Φ

+

Φ= +

−1

1 )1(6

2 δβδ

.

როდესაც const=Φ , 1=n , მივიღებთ:

Φ−

++Φ

= xH

Mmx

)1(481212

1213 ββ

τ .

თუ 8=β გვექნება:

Φ−

+Φ

= xH

Mmx

)1(8416,03

τ ,

46

Φ+

Φ==

=Mx

xmn 333,1416,0][

30

1τ ,

x

mn

311 416,0][ Φ==

=τ ,

Φ+

Φ==

=Mx

xmn 333,1416,0][

311τ .

(VI) თუ constV =0

∫+−

ΦΦ′

−Φ

+Φ+Φ

=120 31684 nn

n

n

HMnV

dxδ

δδδ .

როცა 0=M , 00 =V , 1=n , const=Φ , გვექნება

Φ=

x4δ ,

რომელიც ემთხვევა იმ შედეგს, რომელიც გვხვდება ჰიდროდინამიკაში [5].

როცა 1=n , 00 =V , const=Φ გვექნება

−

Φ= 132exp

2)(2

HMx

MHxδ .

ნახ. 3. სასაზღვრო ფენის სისქის კავშირი შეჟონვისა და გაჟონვის სიჩქარესთან

U∞

x

y

)1(10 ~

axnn

x−

+−

τ

nn

x +1~δ

10 ~ +−

nn

xV

47

შევნიშნოთ, რომ ხარისხოვანი ბლანტი სითხის სასაზღვრო ფენის

სისქის პოვნა შეიძლება მხოლოდ შეჟონვის ან გამოჟონვის განსაზღვრული

სიჩქარისთვის, როცა

−

Φ1exp~)(0 H

MxxV ,

და როცა

11

0 ~)( +nxxV ,

ე.ი. როდესაც შეჟონვის ან გამოჟონვის ინტენსივობა კედლის გასწვრივ

იზრდება. ამის საწინააღმდეგოდ ამოცანის ავტომოდელური ამონახსნი

იარსებებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც შეჟონვის ან გამოჟონვის

განაწილების ინტენსივობა მცირდება კედლის გასწვრივ კანონით:

11

0 ~)( +−

nxxV

ნახ. 4. სიჩქარის პროფილი მაგნიტური ველის გაზრდისას

1

0,6 V

1

0,3

0,1

0,4

0,2

0,8

0,5

0,7

0,9

0,2 0,6 0,2

III

II

IV

I

η

ΦU n m

I 0 0 II 0 0,5 III 0 1,5 IV 1 0,5 V 1 1,5

48

ზღვარში ფსევდოპლასტიკურ სითხეებში, ე.ი. როცა 0=n , გვაქვს:

−Φ 1~0

Mx

eV , xV ~0 და constV =0

ხოლო ავტომოდელური ამონახსნი არსებობს მხოლოდ მაშინ, როდესაც

constV =0 .

ნახ. 4, 5-ზე გამოსახულია ΦU შეფარდების η-ზე დამოკიდებულების

მრუდები, როცა 00 =V და 00 ≠V . ისინი გვიჩვენებენ, რომ ეს ფარდობები

ნახ. 5. დილატანტური და ფსევდოპლასტიკური სითხეებისათვის მაგნიტური ველის დამოკიდებულება სიბლანტის კოეფიციენტზე

იზრდება ფირფიტიდან მოშორებისას მაგნიტური ველის გაზრდისას. ნახ. 6-

ზე გამოსახულია 0τ

τ m შეფარდების გრაფიკი. ისინი გვიჩვენებენ, რომ

VI

1

0,6

VII

1

0,3

0,1

0,4

0,2

0,8

0,5

0,7

0,9

0,4 0,2 0,6 0,2

IX

X

VIII

η

ΦU

n m VI 0 0,5 VII 0 1,5 VIII 1 0,5 IX 1 1,5 X m 0,5

49

ესშეფარდებები იზრდებიან ΦMx კომპლექსის გაზრდისას დილატანტური

სითხეებისთვის )1( >n უფრო ჩქარა, ვიდრე ფსევდოპლასტიკური

სითხეებისთვის )1( <n , როდესაც const=σ )1( =m . ცვლადი σ-ებისათვის

)0( ±m ეს გაზრდა უფრო ნელია.

ნახ. 6. ძვრის ძაბვის დამოკიდებულება მაგნიტურ ველზე

τ

1,6

1

0,4

0,8

1,2

0,4 0,2 0,6 ΦMx

2

4

6

I IV

III

n m

I 0 21

II 0 23

III 21

21

IV 21

23

50

თავი 2

არანიუტონისეული სითხის არასტაციონარული მაგნიტოჰიდროდინამიკური დინება

ამ თავში განიხილება არანიუტონისეული ხარისხოვანი სითხის

არასტაციონარული სასაზღვრო ფენი; ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი

წარმოიდგინება შემდეგი სახით: m

UU

−=

∞

10σσ , 0≥m (2.0.1)

სადაც U არის სასაზღვრო ფენში სითხის სიჩქარე, ხოლო ∞U მონაწყდომი

ნაკადის სიჩქარე.

შევნიშნოთ, რომ ხარისხოვანი სითხის უბრალო არასტაციონარული

ამოცანების ამოხსნაც კი მაგნიტურ ჰიდროდინამიკაში წარმოადგენს

მნიშვნელოვან მათემატიკურ სირთულეს. ამიტომ ზუსტი ამონახსნების

მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იშვიათ შემთხვევებში თუ დინება

ავტომოდელურია. საზოგადოდ მათი ამოხსნისათვის აუცილებელია

გამოვიყენოთ მიახლოებითი ან რიცხვითი მეთოდები.

[28] ნაშრომში განხილულია ბრტყელი ფირფიტის ბლანტი

არაკუმშვადი გამტარი სითხით არასტაციონარული გარსდენა მიახლოებითი

მეთოდით, როდესაც გარემოს ელექტროგამტარებლობა წარმოადგენს

ხარისხოვან ფუნქციას (2.0.1), აქვე მოტანილია მაგალითები, როდესაც

შესაძლებელია სასაზღვრო ფენის სისქის გამოსახულება, მივიღოთ ცხადად,

და ნაჩვენებია, რომ მაგნიტური ველის მოქმედებისას ზედაპირული

ხახუნის მაქსიმალური შემცირება ხდება, როდესაც 0=m , ე.ი. იმ

შემთხვევაში, როცა სითხის ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი

მუდმივია სასაზღვრო ფენის შიგნით და ტოლია ნულის ფენის გარეთ. როცა

1=m ხახუნის კოეფიციენტი განსხვავებულია 6%-ით. როსის [22] მიერ იმავე

გზით ადრე მიღებული ხახუნის კოეციენტისაგან.

51

ამ თავის პირველ პარაგრაფში შეისწავლება ანალოგიური ამოცანა

არანიუტონისეული სითხეებისთვის. ელექტროგამტარებლობის მუდმივი

კოეფიციენტის შემთხვევაში ამოცანა განხილულია [29]-ში.

მჰდ არასტაციონარული დინების განსაკუთრებულობების

გამოკვლევამ ხარისხოვანი სითხეებისთვის საშუალება მოგვცა ნათლად

წარმოგვედგინა განხილული მაგნიტური პლასტიკურობის ეფექტის

ფიზიკური ინტერპრეტაცია. აღმოჩნდა, რომ ეს ეფექტი მჭიდროდაა

დაკავშირებული დილატანტური გარემოს განსაკუთრებულობებთან, რაც

იმაში მდგომარეობს, რომ ასეთ გარემოში ძვრითი შეშფოთებები

ვრცელდება სასრული სიჩქარით. განსხვავებით ნიუტონისეული და

ფსევდოპლასტიკური სითხეებისგან, რომელთათვის მსრბოლი შეშფოთების

გავრცელების სიჩქარე უსასრულოა.

დილატანტურ სითხეებში მსრბოლი შეშფოთების გავრცელების

სიჩქარის სასრულობის ეფექტს ადგილი აქვს აგრეთვე მაგნიტური ველის

არარსებობისას, თუმცა მაგნიტური ველის არარსებობისას გამტარ გარემოში

წარმოიქმნება დარტყმითი ტალღის ფრონტის მოძრაობის სიჩქარის

შენელება და ზოგიერთ შემთხვევაში ფრონტის გაჩერება, რომელიც

ვრცელდება დამაგნიტებულ სითხეში შეშფოთების წყაროდან (როგორებიცაა

ფირფიტა, კედელი, არხი და ა.შ.) მხოლოდ სასრულ მანძილზე.

ზუსტი ანალიზური ამონახსნი რიგი ამოცანებისა უინდუქციო

მიახლოებაში გამტარი, ხარისხოვანი რეოლოგიური კანონის მქონე

სითხისათვის არასტაციონარული მსრბოლი დინებისას, როდესაც სითხეს

უჭირავს არაგამტარი ფირფიტით შემოსაზღვრული ნახევარსიბრტყე და

როდესაც ფირფიტის მოძრაობა წარმოშობს სითხის დინებას განივ

მაგნიტურ ველში, მიღებულია ნაშრომში [30].

[31]-ში განხილულია მუდმივ მაგნიტურ ველში ავტომოდელური

დინებანი ფირფიტის მოძრაობის კანონის რამოდენიმე სპეციალურ

შემთხვევაში. [32]-ში განზოგადებულია ერთ-ერთი ასეთი ამოცანა სითხის

მოძრაობისა, ფირფიტაზე დროის საწყის მომენტში იმპულსის

52

მოქმედებისას, იმ შემთხვევაში, როდესაც მაგნიტური ველი დროში

იცვლება ნებისმიერად. სტაციონარული და არასტაციონარული მსრბოლი

დინება გამტარი არანიუტონისეული სითხისა ხარისხოვანი რეოლოგიური

კანონით განივ მაგნიტურ ველში განხილულია ნაშრომში [33];

დილატანტური სითხეებისათვის კერძო შემთხვევაში მიღებული ამონახსნები

ხასიათდებიან ისეთი ზედაპირების არსებობით, რომლებიც

ერთმანეთისაგან გამოყოფენ მხები ძვრითი დაძაბულობის ნულოვან

არეებსა და ნულისაგან განსხვავებულ არეებს.

[34] და [35] შრომებში განხილულია არასტაციონარული მსრბოლი

დინებანი, როდესაც 21

~ tB ამასთან [34]-ში 0>t -ისთვის ფირფიტის

მოძრაობის სიჩქარე ითვლებოდა მუდმივად, ხოლო [35]-ში განიხილებოდა

ფირფიტის სიჩქარის დროზე ნებისმიერი ხარისხოვანი დამოკიდებულების

შემთხვევა. [34]-ში ამონახსნი აგებულია მჰდ ურთიერთქმედების

კოეფიციენტით, როგორც პარამეტრით გაშლის სახით, ხოლო [35]-ში

ავტომოდელური ცვლადის ხარისხოვანი მწკრივის სახით.

[36]-ის გამოკვლევებმა გვიჩვენა, რომ განივი შეჟონვა დილიტანტური

სითხეების მსრბოლ ჰიდროდინამიკურ დინებებში გავლენას ახდენს

მსრბოლი ტალღის ფრონტის მოძრაობის სიჩქარეზე, ზოგიერთ შემთხვევაში

იწვევს ფრონტის გაჩერებას ძვრითი შეშფოთების წყაროდან სასრულ

მანძილზე.

[37] და [38]-ში შესწავლილია დილატანტური სითხის

არასტაციონარული დინებებზე განივი წყვეტის გავლენა როდესაც

შეინიშნება იმავდროული გავლენა მაგნიტური ველისა და ფოროვან

ფირფიტაში სითხის შეჟონვისა (გამოჟონვისა) მსრბოლი ტალღის ფრონტის

მოძრაობის სიჩქარეზე $ 3-ში განხილულია ასეთივე ამოცანა სითბოგადაცემის

გათვალისწინებით და მიღებულია მხედველობაში ელექტროგამტარებლობის

ცვლადობა

10

−= mUσσ , 1≥m . (2.0.2)

53

შრომაში [39] გადმოცემულია ფსევდოპლასტიკური სითხის

სასაზღვრო ფენის მჰდ არასტაციონარული სისტემისთვის რამოდენიმე

შედეგი. ამიტომ შესწავლა სასაზღვრო ფენისა, რომელიც წარმოიშობა

დროში ცვლადი შეჟონვის (გამოჟონვის) საშუალებით მოდებული

მაგნიტური ველის ინტენსივობისას, გარე დინების სიჩქარეს გააჩნია დიდი

თეორიული და პრაქტიკული მნიშვნელობა. ამასთან სითხის დინების

პირობები იცვლებიან ისეთ საზღვრებში რომ გამართლებულია სასაზღვრო

ფენის მიახლოების შემოღება. ნაჩვენებია პირობები, რომელთა დროსაც

არსებობს სისტემის ერთადერთი ამონახსნი სიმეტრიული დინების დროს.

ეს პირობები გვაძლევენ ამონახსნის არსებობის გარანტიას პირდაპირი

კრიტიკული წერტილის რაიმე მიდამოში დროის უსასრულო შუალედში,

ასევე გვიჩვენებენ, რომ განივი მაგნიტური ველის ძალის მოქმედება

გამორიცხავს სასაზღვრო ფენის წყვეტას.

დასახრულს მიღებულია გარსმოდენადი სხეულის ზედაპირზე

ბლანტი ხახუნის დაძაბულობის მხები მდგენელის ასიმპტოტის პირველი

წევრი. არაკუმშვადი გამტარი სითხის არასტაციონარული სასაზღვრო ფენის

ამოცანებისთვის მიმდევრობითი მიახლოების მეთოდი გამოყენებულია

შრომებში [40, 41, 42].

§ 2.1. მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდი არანიუტონისეული გამტარი სითხის არასტაციონარული სასაზღვრო ფენისთვის

განიხილება არასტაციონარული სასაზღვრო ფენი არანიუტონისეული

ხარისხოვანი სითხისა, რომლის ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტი

შეიძლება წარმოვადგინოთ შემდეგი სახით [43]: m

UU

−=

∞

10σσ , 0≥m (2.1.1)

სადაც U არის სასაზღვრო ფენში სითხის სიჩქარე, ხოლო ∞U არის ნაკადის

სიჩქარე გარე მაგნიტურ ველში 1<<emR მყოფი. ხარისხოვანი ბლანტი

სითხის სასაზღვრო ფენის ძირითადი განტოლებებია:

54

ρσ

ρρUB

yU

yUnk

xP

yUV

xUU

tU

n 21

2

21−

∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

−

, (2.1.2)

∞∞∞

∞∞ −

∂∂

−=∂∂

+∂∂ UB

xP

xUU

tU

ρσ

ρ

21 , (2.1.3)

0=∂∂

+∂∂

yU

xU . (2.1.4)

(2.1.1)-ის ჩასმით (2.1.2), (2.1.3)-ში მივიღებთ:

+

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

−1

2

2 n

yU

yUnk

yUV

xUU

tU

ρ

m

UUNUU

tU

−−+

∂∂

∞∞

∞ 1 . (2.1.5)

აქ ρ

σ 20 BN = .

უცნობმა U და V ფუნქციებმა უნდა დააკმაყოფილონ შემდეგი

პირობები:

0),0,( =txU , ),(),0,( 0 txVtxV = ,

),(),,( txUtxU ∞=∞ . (2.1.6)

დენის ფუნქციის ),,( tyxΨ -ის შემოტანით

yU

∂Ψ∂

= , x

V∂Ψ∂

−= ,

(2.1.4), (2.1.5) განტოლებებიდან დენის ფუნქციისათვის მივიღებთ

განტოლებას

−∂Ψ∂

∂Ψ∂

−∂∂Ψ∂

∂Ψ∂

+∂∂Ψ∂

=∂Ψ∂

∂Ψ∂

2

222

3

3

2

2

yxyxytyyynkρ

11111

+

∞∞∞

∞∞

∞

∂Ψ∂

−−

∂Ψ∂

−+∂∂

−∂∂

−mm

yUyUNU

yUU

tU (2.1.7)

და სასაზღვრო პირობებს:

00

=∂Ψ∂

=yy, ),(0

0

txVx y

−=∂Ψ∂

=

, ),( txUy y

∞∞=

=∂Ψ∂ . (2.1.8)

(2.1.7), (2.1.8) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი მიახლოების

მეთოდით [28]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის „სასრული

სისქე“ ),( txδ , რომელიც ჯერჯერობით უცნობი ფუნქციაა და მოვითხოვოთ

55

პირობების შესრულება არა უსასრულობაში, არამედ ),( txδ მანძილზე. მაშინ

გვექნება სასაზღვრო პირობები:

),(),(

txUy txy

∞=

=∂Ψ∂

δ

. (2.1.9)

მოვძებნოთ ამონახსნი (2.1.7)-(2.1.8) შემდეგი სახით:

),,(),,(),,( 21 tyxtyxtyx Ψ+Ψ≈Ψ , (2.1.10)

სადაც ),,(1 tyxΨ არის ამონახსნი განტოლებისა:

03

3

=∂Ψ∂

y, (2.1.11)

რომელიც აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს:

00

1 =∂Ψ∂

=yy, ),(0

0

1 txVx y

−=∂Ψ∂

=

, ),(),(

1 txUy txy

∞=

=∂Ψ∂

δ

. (2.1.12)

ამ ამონახსნს აქვს სახე:

∫−=Ψ ∞x

dtVytxtxUyx

00

21 ),(

),(2),(),( ξξ

δ. (2.1.13)

შემდეგი მიახლოებისთვის ავიღოთ ამონახსნი განტოლებისა:

−

∂Ψ∂

⋅∂Ψ∂

−∂∂Ψ∂

⋅∂Ψ∂

+∂∂Ψ∂

∂Ψ∂

=∂Ψ∂

−

21

211

211

21

21

2

32

3

yxyxyzyynky

nρ

∂Ψ∂

−−

∂Ψ∂

−+∂∂

−+

∞∞∞

∞∞

1

11 1111mm

yUyUNU

xUU .

თუ აქ ჩავსვამთ (2.1.13) განტოლებას და ვაინტეგრებთ 3-ჯერ,

ერთგვაროვანი საწყისი პირობების დაკმაყოფილებით, მივიღებთ:

( ) +−

−

−+

′−′=Ψ ∞∞∞∞

∞∞ 20

2

4

3

2

2

2

2 231224120

),( yyUVUUyUUUyAyx δδδ

δδ

δδδ

( )++′+

−

′+

−+ ∞∞

∞∞∞ δδδδ

δ

448

81148

16

22 UUyyUVyyU

−+

++−

+++

++

++∞

2

2343 21)4(1)1(3)4( δδδδδ yyymym

HmNU mm

,

სადაც t

UU∂∂

= ∞∞ ,

x∂∂

=′δδ .

56

საბოლოოდ ორი მიახლოება დენის ფუნქციისთვის გვაძლევს:

−

∂∂

+

∂∂

+

=Ψ ∞∞∞

δδδU

tyU

xyAyUtyx

2421

1202),,(

4252

+

−

∂∂

+∂∂

−+−− ∞∞∞∞

δδ

δδδ

δy

xUyU

tUyyyyUV 811

481

6)23(

122

220

−

−++

++

∂∂

+∂

++

∞∞

∞432

1)1(3)4(

448

mymHm

MUtx

yUyUδ

δδδ

∫−

−+−+−

+ xm

dtVyyym0

0

3

2

2

),(12)4( ξξδδδ

, (2.1.14)

სადაც 1−

∞

⋅

=

n

UnkA δρ . (2.1.15)

სიჩქარის კომპონენტებისთვის გვექნება:

+

∂∂

−+

∂∂

−+=∂Ψ∂

= ∞∞∞ δ

ηηδδ

ηηδη Ut

Ux

AUy

U )(62

1)(24

332

44

+−−

∂∂

+∂∂

−+ ∞∞∞

∞ )1(2

)1(2

02

ηηδηηδ UVx

UUt

U

( )

−−+−−++−+ ++∞ )1()1)(1()1)(3(2 21

2

ηηηδ mm mmH

MU ,

სადაც δ

η y= .

+−+−=∂Ψ∂

−= 43

32

210 ),(),(),(),(),,( ytxfytxfyyxftxV

xtyxV

+

−−++++

+4

82

7655

4 1),(),(),(),(),(mytxfytxfytxfytxfNytxf

δ

−−

−+

++ 2

20

3

9 1),(1),(mm ytxfytxf

δδ, (2.1.16)

აღნიშვნები if , 10 ,1=i .

ცხადია (2.1.14)-დან ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისთვის

გვექნება:

57

+

∂∂

+∂∂

+

=

∂Ψ∂

=∂∂

= ∞∞

∞

∞

== tU

tU

nkUUK

yK

yUK n

nn

y

n

y

δδρδδ

τ63

10

2

2

0

nVV

mmNU

xU

xUU

−

++−

∂∂

+∂∂

+ ∞∞∞∞∞ 2)3)(2(2424

11 02 δδδ . (2.1.17)

სასაზღვრო ფენის უცნობი სისქე ),( txδ განვსაზღვროთ პირობიდან

02

2

=∂Ψ∂

=∂∂

yyU , როცა ),( txy δ= . ის გვაძლევს განტოლებას სასაზღვრო ფენის

სისქის განსაზღვრისათვის:

=

−

∂∂

+∂∂

++∂

∂+

∂∂ +∞

∞

+∞

+1

11

163ln

121)1(

1661 n

nn

HN

xUU

tn

xU

tδδδ

nn txVnUKnn δρ

),(4

12

)1(0

1

+

++

= −∞ . (2.1.18)

განვიხილოთ რამოდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც შეიძლება

მივიღოთ ამონახსნი (2.1.18) ცხადი სახით:

ა) ავიღოთ ),(),(0 txtxV αδ= , α ნებისმიერი რიცხვია, მაშინ ),( txδ -

სთვის მივიღებთ განტოლებას:

=

−−

∂∂

+∂

∂++

∂∂

+∂

∂ +∞∞+

∞+

111

4163ln

121)1(

1661 n

nn

HN

xU

tUn

xU

tδαδδ

1

2)1( −

∞+

= nKUnnρ

. (2.1.19)

შემოვიტანოთ 1+∞=Φ nU δ და (2.1.19) ჩავწეროთ ასე:

+

∂∂⋅

−−

+=

∂Φ∂

+∂Φ∂

⋅ ∞

∞

−∞

∞ tU

UnKUnn

xtUn ln

121

2)1(

161

61 1

ρ

Φ

+

+−

∂∂+

+∞

∞

41ln

1623 α

HN

Un

xUn ,

რომლის მახასიათებლები განისაზღვრებიან სისტემიდან:

+

∂∂⋅

−−

+== ∞

∞

−∞∞ t

UU

nKUnndxdtU n ln12

12

)1(16 1

ρσ

Φ

Φ

+⋅

+−

∂∂

+−

∞

+∞ d

HN

Un

xU n 123

41ln

161 α . (2.1.20)

58

(2.1.20)-ის ზოგად ამონახსნს აქვს სახე:

+

∂∂−

−

+−Φ ∫ ∞

∞

+∞

xn dU

tUnKnnU

0

23 ln13

)1(4exp)1(8 ξρ

−

∂∂−

⋅

+ ∫∫∫ ∞

∞

+∞

∞

ξ

ξξξξ

00

14

0

ln13

)1(4exp),(),(

dUtU

ntUtU

dMx

nx

−=

− ∫∫ ∞

∞

t

dxUxfdUdM

01

0

),(381

ηηξξξ

, (2.1.21)

სადაც )(zf არის თავისი არგუმენტის ნებისმიერი ფუნქცია

++=

HNnM 4)1(4 α . (2.1.22)

განვიხილოთ ორი შემთხვევა )(zf ნებისმიერი ფუნქციის

განსასაზღვრავად.

(I). ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=x . ეს ნიშნავს, რომ 0≡f , ხოლო

(2.1.21)-დან სასაზღვრო ფენის სისქისათვის გვექნება:

+

∂∂

−−+

= ∫ ∞∞

+∞

+x

nn dU

tUn

UKnntx

033

1 ln1)1(43exp)1(8),( ξ

ρδ

ξξξξξ ξ ξ

dUdMU

tUntU

UdM

xn

x

−∂

∂∂

−

+ ∫ ∫∫∫

∞∞

∞

+∞

∞ 0 0

11

0

14

0

ln1)1(34exp),( . (2.1.23)

თუ გარე ნაკადის სიჩქარე წარმოიდგინება )()(),( 21 xftftxU ⋅=∞

სახით, როდესაც სტაციონარული შემთხვევისთვის ავიღებთ 1)(1 =tf და

(2.1.23)-დან მივიღებთ:

∫ ∫∫

−

+= +

+xx

nn d

fdMf

fdM

fKnnx

0 0 12

12

0 233

2

1

)(exp)(

)(exp)1(8)( ξ

ξξξ

ξξ

ρδ

ξ

. (2.1.24)

ნიუტონისეული სითხეებისთვის 1=n , მივიღებთ ბრტყელი

ფირფიტის გარსდენისას სასაზღვრო ფენის სისქეს.

მიღებული განტოლება როცა 0=m , 0=α გამოისახება შემდეგნაირად

[44].

ξξξξδ

ξ

dfdNfN

fvx

x

−

= ∫∫

0 12

1

0

526

2

2

)(316exp)(

316exp16)( .

59

თუ == constxf )(2 (2.1.24) მოგვცემს სასაზღვრო ფენის სისქეს

ფირფიტის სტაციონარული გარსდენისას:

−

+= −+ 1exp)1(8),( 11

MxM

Knntx nn

ρδ . (2.1.25)

ზედაპირული ხახუნისთვის (2.1.17)-დან გვექნება:

−−

′++

⋅= ∞

∞

∞−

∞

∞

22411

31 1

αρδ

τ UUU

nKUUK n

n

n

nn

n

KnnU

mmN

+

+

++

− +−

∞+ 112

1 )()1(24)3)(2(

δρδ . (2.1.26)

როცა 1)(1 =tf , constxf ==)(2 მაშინ:

( )n

nn

nnn

mmN

nKx

KnnK

++

+−+

+

= +

−+

−1

111

2

)3)(2(2)(

)1(241 δαρδρ

δτ .

ამ შემთხვევაში ხახუნის კოეფიციენტი მოიცემა გამოსახულებით:

×

−

+

⋅

==

+−+

− 111

2

1))1(8(

2

21

nn

mxn

n

n

f Me

nn

UK

C

ρ

ρ

τ

nMxMx

emM

MMne

−

++

++

−+× 1)3)(22

)1(8311 α ,

მცირე

Mx -ებისათვის განსხვავებული m-ებისთვის ის გადავა:

+

+++

−+

−⋅

+=

+

+

+

HNxmnndxnn

RnnC

n

exnn

n

f)31)(1(4(2)2(21

3)1(2 1

1

)1(

12 2

+

+−

+−⋅

+

= +−+

+

+=

3)5()2(21

3)1(2 1

111

)1(

1210 NxnnxnnR

RnnC n

ex

n

exnn

nmf

α ,

+

+−

+−⋅

+= +

−+

+

++

NxnnxnnR

nnC n

ex

n

nn

nmf 3

)2()2(213)1(

2 111

1

)1(

211

2α , (2.1.27)

[ ]

++−−=

−

==

xNxRC exnmf

α4332,1666,021

10 ;

60

[ ]

++−−=

−

==

xNxRC exnmf

α482.728,2589,031

20 ,

სადაც ρK

xRn

ex

−

=22 .

ეს ნიშნავს, რომ m-ის გაზრდით იზრდება fC -იც.

(II). ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=t , მაშინ axxf +=1)(2 (2.1.21)-დან

მივიღებთ:

×−−+

+= + nxna

tKfntx 331

1

]1][24[)()1(8),(ααρ

δ

−

−−⋅+×

+

+ ∫24

02

24 )(8

311)1(nt

n dfax ττα

−−+− ∫

1

1

01 )(

8311)1(

α

α ττt

dfaax , (2.1.28)

სადაც

+−

+++

= 11

1 ln)1(3)1(4

)()1(4 f

dtd

nna

HN

tafn αα .

t-ს მცირე მნიშვნელობისათვის სასაზღვრო ფენის სისქისთვის:

×

+−++

= ∫+

−+

t

n

nn df

axntKfnntx

0133

1

211 )(

]1][24[)()1(3),( ττ

αρδ

][ 1)1()1)(24( 124 αα axaxn n +−++× + , (2.1.29)

რომელიც 1=n და 01 =α მნიშვნელობებისათვის გვაძლევს

∫=t

dftfvt

01

1

2 )()(

6)( ττδ (2.1.30)

რომელიც ემთხვევა [45]-ის შედეგს.

ბ) ავიღოთ ),()1(3

12),(0 txUltn

ntxV n δ

∂∂

+−

−= ∞ .

მაშინ (2.1.18) განტოლება მიიღებს სახეს:

Φ

+−

∂∂

−+

=∂Φ∂

+∂Φ∂

∞

+∞

−∞

∞ HUNnU

xRUnn

xtUnn )1(ln

161

2)1(

161

61 231

ρ, (2.1.31)

61

რომლის მახასიათებლები განისაზღვრება სისტემიდან

Φ

+−

∂∂

−+

Φ==

∞

+∞

−∞

∞

HUNnU

xRUnn

ddxdtUnn )1(ln

161

2)1(

166231

ρ

. (2.1.32)

(2.1.32)-ის ზოგად ამონახსნს აქვს სახე:

×

+

+−Φ ∫

∞

+∞

xn

tUd

HNnRnnU

0

23

),()1(16exp)1(8

ξξ

ρ

≡

+−× ∫∫

∞

+∞ ξ

ξξξ

ξ

dtU

dH

NntUx

n

0

1

0

14

),()1(16exp),(

−≡ ∫ ∞

t

dxUxf0

),(38 ττ . (2.1.33)

განვიხილოთ )(zf ნებისმიერი ფუნქციის განსაზღვრისათვის ორი

შემთხვევა:

1) ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=x . ეს ნიშნავს 0≡f . (2.1.33)-დან

სასაზღვრო ფენის სისქისთვის გვექნება:

×

+

+= ∫

∞+

∞

+x

nn

tUd

HNn

URnntx

033

1

),()1(16exp)1(8),(

ξξ

ρδ

ξξξξ

ξ

dtU

dH

NntUx

n

+−× ∫∫

∞

+∞

0

1

0

14

),()1(16exp),( . (2.1.34)

თუ გარე ნაკადის სიჩქარე წარმოდგენილია ნამრავლის სახით

)()(),( 21 xgtgtxU =∞ , მაშინ )(1 tg შემთხვევისთვის მივიღებთ ბრტყელი

ფირფიტის გარსდენისას სასაზღვრო ფენის სისქეს.

ამ შემთხვევაში მიღებული გამოსახულება:

×

+

+= ∫+

+x

nn

gd

HNnR

xgnnx

0 233

2

1

)()1(16exp

)()1(8)(

ξξ

ρδ

∫ ∫

+−× +

xn d

gd

HNng

0 0 2

142 )(

)1(16exp)( ξααξ

ξ

. (2.1.35)

როდესაც 0=m , 1=n გადავა გამოსახულებაში [ ]

ξααξ

ξξδ

ξ

dg

dNgg

dNxg

vxxx

⋅

−

= ∫∫∫

0 20

52

0 26

2

2

)(316exp)(

)(316exp

)]([)( .

62

როდესაც Vconstg ==2 ის გვაძლევს საშუალებას სასაზღვრო ფენის

სისქის განსაზღვრისა ფირფიტის სტაციონარული გარსდენისას მუდმივი

სიჩქარით.

−

+

=−

+ 1)1(16exp2

)(1

1

HVNxn

NHRVx

nn

ρδ . (2.1.36)

2) ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=t , მაშინ )1()(2 axxg += სასაზღვრო

ფენის სისქისათვის გვექნება:

×+−+

+= +

−+

n

nn

axjnaRgnntx 33

211

]1][24[)1(8),(

ρδ

−

−−+×

+

+ ∫nnt

n dgaax4

01

42 )(8

311)1( ττ

−−+− ∫

jtj dgaaxa ττ

01 )(

8311)( . (2.1.37)

t-ს მცირე მნიშვნელობებისთვის (2.1.37) მიიღებს სახეს:

[ ]jnt

n

nn axjaxndg

axjntRgnntx )1()1)(42()(]1][24[)()1(3),( 24

0133

211 +−++

+−++

= ++

−+ ∫ ττ

ρδ ,

სადაც )()1(16 1 tHagNnj += .

3) ვთქვათ ),(4),(0 txHNtxV δ−= , მაშინ სასაზღვრო ფენის სისქე არაა

დამოკიდებული მაგნიტურ ველზე. ამასთან (2.1.18)-დან მივიღებთ

სისტემას, რომლის ზოგად ამონახსნს აქვს სახე:

×

−−

+−Φ ∫

∞

∞+∞

xn d

UUnRnnU

02

23 )1(34exp )1(8 ξ

ρ

∫ ∫∫

−=

−× ∞

∞

∞+∞

x tn dxUxFdd

UUntU

0 002

14 ),(38)1(

34exp),( ττξαξ

ξ . (2.1.39)

(I) ვთქვათ 0),( =Φ tx , მაშინ როცა ⇒= 0x 0≡F , ხოლო (2.1.39)-დან

სასაზღვრო ფენის სისქისთვის გვექნება

×

−−

+= ∫

∞

∞+

∞

+x

nn d

UUnR

Unntx

0233

1 )1(34exp )1(8),( ξ

ρδ

63

∫ ∫

−×

∞

∞+∞

xn dd

UUntU

0 02

14 )1(34exp),( ξαξ

ξ . (2.1.40)

თუ UconsttxU ==∞ ),( , მივიღებთ:

nn

n xURnnx ++

− ⋅

+= 1

111

2)1(8)(ρ

δ . (2.1.41)

რომელიც ემთხვევა [45]-ის რეზულტატს.

(2.1.7)-დან ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისათვის, როცა

)()(),( 1 tUxUtxU =∞ , 1)(1 =tU მივიღებთ:

+

++

= +

−1

2

)1(241 n

n

dxd

RnnUUR δρ

δτ

nnn

nRU

HmN

dxdU

−

++− 11)1(

2411 δρ ,

რომელიც თავის მხრივ, როცა constU = (2.1.41)-ის გათვალისწინებით

გვაძლევს:

−++

+

= +

−+

−

HUNxmnRnnU n

exnnn )1)(1(61)1(8

34 1

112ρτ , (2.1.42)

სადაც ρR

UxRnn

ex

−

=2

არის რეინოლდსის განზოგადებული რიცხვი. ამ დროს

ხახუნის კოეფიციენტი.

[ ]n

nnn

f HUNxmnnn

UC

−++⋅+

== +

− )1)(1(61)1(8342

21

12ρ

τ . (2.1.43)

მცირე UNx -ებისათვის, (2.1.43)-ს ექნება სახე:

[ ]

++

−++⋅+

= +

−+

−

HUNxmnRnnC n

n

exnnn

f)1)(1(61)1(8

342 11 ,

[ ]

++++⋅+

= +

−+

−= UNxnnRnnC n

n

exnnn

mf )1(1)1(8

342][ 11

0 ,

[ ] nn

exnnn

mf RnnC +

−+

−= ⋅+

= 11

1 )1(8342][ ,

[ ]

++

+−⋅+

= +

−+

−= UNxnnRnnC n

n

exnnn

mf 10

)1(1)1(8342][ 11

2 .

64

ეს ნიშნავს, რომ m-ის გაზრდით fC შემცირდება სხვადასხვა n-ებისათვის

მივიღებთ:

+++=

−==

UNxRC ex

mnf 333,1666,0][ 2

10

1 ,

+++=

−==

UNxRC ex

mnf 615,1269,0][ 2

102 .

ეს ნიშნავს, რომ n-ისა და N-ის გაზრდით fC გაიზრდება.

(II) ვთქვათ 0),( =Φ tx , როცა 0=t . მაშინ, როდესაც )1()( axxU += ,

(2.1.39)-დან მივიღებთ:

×

+−+

+= +

−+

n

nn

axnatRUnntx 33

211

]1][24[)()1(8),(

ρρδ

−

−−+

+

+ ∫24

01

24 )(8

311)1(nt

n dUaax ττ

−−+− ∫

β

β ττt

dUaax0

1 )(8

311)1( ,

ხოლო მცირე t-ებისთვის.

×

+−+

+≡ ∫+

−+

t

n

nn dU

axnRUnntx

0133

211 )(

]1[]24[)1(3),( ττρβ

δ

[ ]ββ )1()1)(24( 24 axaxn n +−++× + ,

სადაც dt

dUUn 1

21

134

−=β .

ანალოგიურად შეგვიძლია განვიხილოთ მაგალითები, რომელიც

სასაზღვრო ფენისთვის გვაძლევს ცხად გამოსახულებას და ვიპოვოთ მათი

ყველა მახასიათებელი.

(1)-ში 1=n , 01 =α -სთვის მიღებული გამოსახულებანი, ხოლო (2)-ში

1=n , 0=j (3)–ში 1=n -ისთვის გადავლენ [45]-ის გამოსახულებაში.

65

ნახ. 7-ზე 0δ

δ N სისქეთა ფარდობა გვიჩვენებს, რომ როცა const=σ -ის

იზრდება უფრო სწრაფად დილატანტური სითხეებისთვის, ვიდრე

ფსევდოპლასტიკურთათვის მაგნიტური ველის გაზრდისას, ხოლო ცვლადი

σ-ებისთვის გაზრდა არ ხდება.

ნახ. 7. მუდმივი მხები ძაბვის დროს სასაზღვრო ფენის სისქის დამოკიდებულება ველის მაგნიტურ რიცხვზე და სიმკვრივეზე

ნახ. 8-ზე ნაჩვენებია ცვლადი ელექტრული გამტარებლობის

გავლენის ეფექტი ნახევრადუსასრულო ბრტყელ ფირფიტის დინამიკური

სასაზღვრო ფენის სისქეზე. ერთგვაროვანი წირები (1.2.3) ეთანადებიან

სითხეებს, რომელთათვის ხარისხის მაჩვენებელია 2,5,0,1=n მუდმივი

ელექტროგამტარებლობისას, პუნქტირები (I, II, III) ცვლადი გამტარებლობის

სითხეებს

−=

∞UU10σσ . ცხადია, რომ მცირე X-ებისთვის ცვლადი ელ.

გამტარებლობის გავლენა δ-ზე არის უმნიშვნელო. X-ის ზრდისას ეფექტი

უფრო შესამჩნევი ხდება. ამასთანავე სითხის ხარისხოვანი დამოკიდებულების

ხასიათი არ ახდენს არსებით გავლენას სასაზღვრო ფენის სისქეზე.

n m I 0,5 0 II 1 0 III 2 0 IV 0,5 1 V 1 1 VI 2 1

II

III

I

1

2

3

4

5

6

7 7.2

0,2

0δδ N

V VI

0,4 0,6 0,8 1 N

66

ნახ. 8. ცვლადი ელექტრული გამტარებლობის ხასიათის გავლენა სასაზღვრო ფენის სისქეზე

§ 2.2. ფირფიტის არასტაციონარული გარსდენა გამტარი

ხარისხოვანი სითხით ელექტროგამტარებლობის ცვლადი კოეფიციენტით და თბოგადაცემით

სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხის სხეულის

არასტაციონარული გარსდენის ამოცანის შესწავლას თბოგადაცემის

გათვალისწინებით გააჩნია დიდი პრაქტიკული და თეორიული ინტერესი.

როგორც ზემოთ იყო ნახსენები განიხილება ამოცანა სუსტადგამტარი

სითხით ფირფიტის გარსდენისა ცვლადი ელექტროგამტარებლობით [ 7, 8,

9, 46, 47] m

UU

−=

∞

10σσ , 0≥m , (2.2.1)

სადაც U წარმოადგენს სასაზღვრო ფენაში სითხის სიჩქარეს, ხოლო ∞U -

დამცემი ნაკადის სიჩქარეს.

δ

2,5 1 1,5 2

1

4

6

I

II

III

3

5

2

8

7

2

3

1

3

x

67

ბლანტი ხარისხოვანი სითხით ფირფიტის გარსდენის

არასტაციორული ამოცანა გარე მაგნიტური ველისა და თბოგადაცემის

გათვალისწინებით, რეინოლდსის მაგნიტური რიცხვის მცირე

მნიშვნელობებისათვის აღიწერება შემდეგი ძირითადი განტოლებებით [48]

UBxP

yU

yUnR

yUtV

tU

n

ρσ

ρρ

212

01)( −∂∂

−

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

−

, (2.2.2)

0=∂∂

yP , (2.2.3)

∞∞ −

∂∂

−=∂∂ UB

xP

tU

ρσ

ρ

201 , (2.2.4)

1

2

2

0 )(+

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

n

p yU

CR

yTa

yTtV

tT

ρ. (2.2.5)

(2.2.1) შევიტანოთ (2.2.2)-ში და (2.2.4)-ში, მივიღებთ:

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂ ∞

−

tU

yUtV

tU

yU

yUnR

n

)(0

21

ρ

−−

−+

+

∞∞∞

1

11mm

UU

UUNU , (2.2.6)

სადაც ρσ 20 BN = .

უცნობებია სიჩქარე ),( tyU და ტემპერატურა ),( tyT . სითხის ნაკადი

აკმაყოფილებს შემდეგ სასაზღვრო პირობებს:

==

==

∞ )(),( 0),( 0

tUtyUytyUy

δ roca

roca (2.2.7)

==

===

∞ . , 0 0

TTyconstTTy

Tδ roca

roca (2.2.8)

(2.2.6) და (2.2.7) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი

მიახლოების მეთოდით [27, 28]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის

სასრული სისქე )(tδ , რომელიც განისაზღვრება პირობიდან:

0=∂∂

yU , როცა )(ty δ= . (2.2.9)

68

ანალოგიურად შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის სასრული სითბური

სისქე )(tTδ , რომელიც განისაზღვრება პირობიდან:

0=∂∂

yT , როდესაც )(ty Tδ= . (2.2.10)

ვიპოვოთ დასმული ამოცანის ორი მიახლოება

),(),(),( 21 tyUtyUtyU +≈ ,

სადაც ),(1 tyU -ს ქვეშ იგულისხმება ამონახსნი განტოლებისა:

02

2

=∂∂

yU ,

რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ სასაზღვრო პირობებს:

0),(01 =

=ytyU , )(),(1 tUtyU

y ∞==

δ.

ამ ამონახსნს აქვს სახე:

[ ]yttUtyU )()(),(1 δ∞= .

),(2 tyU არის ამონახსნი განტოლებისა:

+

∂∂

−∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ ∞

−

tU

yUtV

tU

yU

nRyU

n1

01

11

22

2

)(ρ

−−

−+

+

∞∞∞

1

11mm

UU

UUNU ,

შემდეგ პირობებში:

002 =

=yU , 02 =

=δyU .

მასში (2.2.11) განტოლების ჩასმით, მივიღებთ:

+

−+

−

=

∂∂

∞∞∞∞

−

∞

UUVyUUUnRy

Un

δδ

δδδρ 0

2

1

22

2

−−

−+

+

∞

1

11mm yyNU

δδ.

ინტეგრებითა და სასაზღვრო პირობების დაკმაყოფილებით

მივიღებთ:

69

+

−+

= ∞∞∞

−∞

−

dtUdUVyU

dtdy

nRUtyU n

n

δδρδ 0

23

1

1

2 26),(

+

−++ ∞∞∞

2630UV

dtdU

dtdUy δδ

−+−

−++−

−+

++∞

212

1)1(1)3(21mm ymymy

HNU

δδδδ .

საბოლოოდ ორი მიახლოება მოგვცემს:

[ ]

+

+= ∞

−∞

−

∞ δρδδ U

dtdy

nRUyttUtyU n

n

6)()(),(

3

1

1

+

−++

−+ ∞∞∞∞∞ yUV

dtdU

dtdU

dtdUUVy

263200

2 δδδ

−+−

−++−

−+

++∞

212

1)1(1)3(21mm ymymy

HNU

δδδδ . (2.2.12)

ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისთვის გვექნება:

+

+=

∂∂

= ∞−

∞

−∞

= dtdU

nRUUR

yUR n

nn

y 31

1

0

δρδδ

τ

++

−−+ ∞∞∞

)3)(2(260

mmNUUV

dtdU δδ . (2.2.13)

სასაზღვრო ფენის უცნობ )(tδ სისქეს განვსაზღვრავთ (2.2.9)

პირობიდან. სასაზღვრო ფენის სისქის განსასაზღვრავად ის გვაძლევს

განტოლებას:

=

−

++ +

∞+ 11 12

21 n

nn

HNUl

dtdn

dtd δδ 1

0 )1(3)(2

)1(3 −∞++

+ nn UnvtVn δ . (2.2.14)

მიღებული განტოლება )(tδ -ს მიმართ არის არაწრფივი ცვლადი

კოეფიციენტებით და მისი ამოხსნა ზოგად შემთხვევაში წარმოადგენს დიდ

მათემატიკურ სირთულეს.

განვიხილოთ რამდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც შესაძლებელი

იქნება (2.2.14)-ის ამონახსნი მოიძებნოს ცხადი სახით.

ა) ვთქვათ გაჟონვის სიჩქარეა )()( 10 tCtV δ= , მაშინ )(tδ -სთვის

მივიღებთ განტოლებას:

70

11

11

1 )1(343ln2

1 −∞

+∞

+ +=

+−

++ nnn Unv

HNCU

dtdn

dtd δδ .

ამ განტოლების ამონახსნს 0)( =oδ -ისთვის აქვს სახე

∫ −+=−

∞

+−

∞+

t nnn dUtUnvt

0

213

21

11 )exp()()exp()1(3)( τµττµδ . (2.2.15)

თუ აქ consttU =∞ )( , მაშინ

[ ]1)1(3)( 11

1 −+

= −∞

+ tnn eUnvt µ

µδ , (2.2.16)

სადაც

+

+=

µµ NCn 4

2)1(3

1 , ρ

nRv =1 , ამგვარად [ ]1)1(3)( 1110 −+= −

∞tn eInCvtV µ

µ;

ეს ნიშნავს, რომ როცა 01 >C გვექნება კედელში გაჟონვა. ასეთ შემთხვევაში

×−

++−−+= ∞

∞ )1()1(3)1()1(2

),( mtenUUtyUµ

ηηηη

−+−−++−+−× ++ ))1)(1()1)(3(2(2 21

1mm mm

HNC ηηη , (2.2.17)

სადაც δ

η y= .

ზედაპირული ხახუნის დაძაბულობისთვის გვექნება:

n

nnn

nn

VHmNUl

dtd

nRUUR

−

−+

= +

∞

−∞∞ δδρ

δτ 0

11 4

423 ,

როცა consttU =∞ )( , δ10 CV = მივიღებთ:

ntn

ntn

nn e

HmNCne

UnnR

−

+

+−

−

+

=

+−

+−

∞ µµρτ

µµ 142

111)1(323

1

11

2 .

ხახუნის კოეფიციენტი მცირე tµ -სთვის იქნება

−

+−

+

==

+

∞∞

ntcnnnU

RU

Cn

n

n

f 1

11

22 4521

))1(3(2322

ρρτ

1)1(23 +−

++

++

− nn

tnNtH

nm . (2.2.18)

−

+−

+

=

+

∞

= ntcnnnU

RCn

n

nn

f 1

11

20

4521

)]1(3[232][

ρ1

2+

−

+ n

n

tnNt

71

[ ]++−−=∞

== tNtc

tUvC m

nf 613,0143,2229,1][ 120

1 ,

[ ]++−−=∞

== tNtc

tUkC m

nf 779,2505,12779,2][ 13 202 ρ

,

[ ]++−−=∞

== tNtc

tUvC m

nf 357,0143,2225,1][ 1211 ,

[ ]++−−=∞

== tNtc

tUvC m

nf 224,0143,2225,1][ 122

1 ,

11

1

11

20 4521

))1(3(232][ +

−+

∞=

+−⋅

+

= n

n

n

n

Nf ttncnnnU

RCρ

,

21 ][][ == > nfnf CC , 10 ][][ == < mfnf CC ,

00 ][][ ≠= > NfNf CC .

აქედან ჩანს, რომ (2.2.1) ელექტროგამტარებლობის კოეფიციენტის

მქონე სითხით ბრტყელი ფირფიტის გარსდენისას ხახუნის კოეფიციენტი

მცირდება როგორც მაგნიტური ველის გაზრდით, ასევე n -ის გაზრდით,

ხოლო )(

)(0 ttV nδ

α= -ის გაზრდით იზრდება.

ბ) ავიღოთ )(

)(0 ttV nδ

α= , მაშინ

×+

=+

−

∞+ ),exp(

2)1(3)( 2

11 tMUnt

nnδ

−+−× ∫ ∫

+

∞

−

∞

t t nn

dMUdMUv0 0

21

213

1 ),exp()()exp(2 ττταττ .

თუ constU =∞ . ეს გვაძლევს

[ ][ ]tnn eUvNJt ,1

11 12

4)( µαδ −−

∞+ −+= , (2.2.19)

HNnM )1(61 += .

გ) როდესაც )(4)(0 tHNtV δ−= , მაშინ სისქე )(tδ არაა დამოკიდებული

მაგნიტურ ველზე და აკმაყოფილებს განტოლებას:

72

)()1(3ln2

1)( 11

11 tUnvUdtdnt

dtd nnn −

∞+

∞+ +=

+

+ δδ .

ამ განტოლების ამონახსნი 0)( =oδ -თვის იქნება

∫−

∞

+−

∞+ +=

t nnn dUUnvt

0

213

21

11 )()1(3)( ττδ .

როდესაც consttU =∞ )(

111

1

21

1 )1(3)( ++−

∞

+= n

nn

tUnvtδ . (2.2.20)

დ) თუ )()(2)( 110 ttUvtV nn δ−

∞−= მივიღებთ, რომ

tn

n eAUt ,21

1 )( µδ+

−

∞+ = , constS = . (2.2.20′)

ანალოგიურად შეიძლება განვიხილოთ სხვა შემთხვევები, რომლებიც

გვაძლევენ სასაზღვრო ფენის სისქის ცხად გამოსახულებებს.

ტემპერატურის ),( tyT განსასაზღვრავად ვეძებოთ (2.2.5)–(2.2.8)

ამოცანის ამონახსნი შემდეგი სახით:

),(),(),( 21 tyTtyTtyT +≈ ,

ამასთან ),(1 tyT იყოს ამონახსნი განტოლებისა:

021

2

=∂∂

yT ,

რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:

constTtyTy

=== 001 ),( , ∞=

= TtyTTy δ

),(1 ,

აქედან გამომდინარეობს, რომ 1T იქნება

)()(),( 001 tyTTTtyT Tδ−+= ∞ . (2.2.21)

მეორე მიახლოებად ვეძებოთ ამონახსნი განტოლები:

∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂

+111

01

22

2

)(1n

yU

cR

yTtV

tT

ayT

ρ.

თუ აქ ჩავსვამთ (2.2.11) და (2.2.21) განტოლებებს, შემდეგ

ვაინტეგრებთ და გავითვალისწინებთ ერთგვაროვან სასაზღვრო პირობებს,

მივიღებთ:

73

++= TytTtyT δθ )(),( 0

,3)(3)(6

10

−

−+−+

+∞

n

TT

TT

UcR

dtdyVy

ay

δρδθδθ

δδ

0)()( TtTt −= ∞θ .

ამგვარად (2.2.10) პირობიდან მივიღებთ განტოლებას სითბური

სასასაზღვრო ფენის Tδ სისქის განსასაზღვრავად.

aVdtdU

CR

dtd

TT

n

pT 63ln23

02

12 +=

−

+

+∞ δδθδθρ

δ . (2.2.23)

განვიხილოთ რამდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც შესაძლებელია

(2.2.23)-ის ამონახსნი მოვძებნოთ ცხადი სახით:

ა) თუ T

n

p

UCRtV δ

δθρ

=

+∞

1

0 )( მივიღებთ:

21

0

22 ))()(6()( ∫=t

T dtat ττθθδ .

ვთქვათ βθ tTtTt 6)()( 0 =−= ∞ , 0≥β მაშინ:

tatT βδ

216)(−

= ,

ხოლო როცა const=θ , 0=β და

tatT 6)( =δ . (2.2.24)

თუ შევადარებთ გამოჟონვის ან შეჟონვის სიჩქარეებს დინამიკური და

სითბური სასაზღვრო ფენებისა, მივიღებთ კავშირს δ-სა და Tδ -ს შორის:

T

n

pn

UCRtV δ

δθρδα 1

0 )(+

∞

== ,

ე.ი.

)(1

tfC

RU

p

n

T

==+

∞

θαρδδ .

თუ პრანდტლის განზოგადებულ რიცხვს შევარჩევთ შემდეგნაირად:

θαρ pn CRU 1Pr +∞= ,

74

და ჩავთვლით, რომ consttf =)( , მაშინ მივიღებთ:

Tt δδ Pr)( = , n

p

n

pCRUtV δ

θ

=

+∞

Pr)(

1

0 .

თუ 1=n გვექნება:

[ ]2111)2(4

)( tevN

Ht µαδ −−+= ,

ხოლო (2.2.24)-დან 0=m -სთვის მივიღებთ:

( )[ ]212 212

Pr Ntea

Nt

T

−−

+=

αδδ ,

თუ კვადრატულ ფრჩხილებში მყოფ გამოსახულებას გავშლით მცირე

tN -ებისთვის მწკრივად, გვექნება:

)1(2

Pr NtaT

−

+=

αδδ ,

საიდანაც ჩანს, რომ Tδδ მცირდება მაგნიტური ველის გაზრდით.

ბ) თუ T

atVδ2)(0 −= , constT =∞ , მაშინ

( ) τδθρ

δδ dUC

Rnt

pTT

1

00 2

3exp+

∞

−= ∫ ,

სადაც TT δδ =0 .

როცა 0=t .

ამ შემთხვევაში nn

t

UnRaV δρδ

10

22 −∞=

−= , ე.ი. T

nn Ua

nR δρ

δ

= −

∞1 . თუ

მხედველობაში მივიღებთ (2.2.20′)-ს, გვექნება:

=

−

∞ HnNtU

nRaA

n

T6exp2

31

1ρδ .

გ) თუ TtV γδ=)(0 , γ არის ნებისმიერი მუდმივი, constTT =−= ∞ 0θ ,

მაშინ Tδ -სთვის განტოლებას ექნება სახე:

aUCR

dtd

T

n

pT 633 2

12 =

−

+

+∞ δγδθρ

δ ,

რომელსაც გააჩნია ამონახსნი

75

×

−= ∫

+∞

t n

pT dU

CRta

0

12 33exp6)6( τ

δθργδ

τξδθρ

γττ

ddUCRt n

p

+−× ∫ ∫

+∞

0 0

133exp . (2.2.25)

როდესაც constU =∞ , გვექნება

[ ]∫ −∞+

∞ −+

=

tM

n

env

UdtU 1ln)1(3 1

21

δ.

(2.2.25)-ში ჩასმით მივიღებთ:

[ ] [ ] τδγτβτγβ deeeat

tMtMt

T ∫−−−− −−=

0

332 116)( .

თუ ჩვენ შევარჩევთ γ-ს ასეთნაირად:

+

+==

HNCnM 4

2)1(33 1γ ,

მაშინ ტემპერატურული სასაზღვრო ფენის სისქისთვის გვექნება:

[ ]1)1(

6)(2 −+

= tMT e

Matβ

δ .

თუ აქ შევიტანთ )1()1(

2

+−=

+= ∞

nnE

nnCU c

pθβ , მივიღებთ

[ ]tM

cT e

EnnMnant

])1([)1(6)(2

−++

=δ . (2.2.26)

სადაც )( 0

2

∞

∞

−=

TTCUE

pc ეკერტის რიცხვია [49].

აუცილებელია მხედველობაში მივიღოთ, რომ შეჟონვის (გაჟონვის)

სიჩქარეს აქვს ერთი მნიშვნელობა, ამიტომ უნდა არსებობდეს კავშირი δ და

Tδ სისქეებს შორის:

δδ 10 3CMV T == ,

10 3C

MTt

=δδ .

თუ შევადარებთ (2.2.16) და (2.2.26)-ს 1=n -ისთვის, გვექნება:

−=

21Pr c

T

Eδδ . (2.2.27)

76

ეს დამოკიდებულება განსაზღვრავს 1C კოეფიციენტს. დასასრულ 0V

სიჩქარისთვის გვექნება:

δδ

−

−

==

12

1Pr

410

cEH

NCV . (2.2.28)

ზოგად შემთხვევაში ნებისმიერი n-ისთვის კავშირი δ და Tδ

სიდიდეებს შორის იქნება:

[ ] )1(212

11

1

1 1)1(6

)1(()1(3)()(

nn

tMcn

n

T

enan

EnnMUM

Rnntt

+−+

−∞ −

+−+

+=

ρδδ . (2.2.29)

სითბოგადაცემის )(tα კოეფიციენტისთვის გვექნება:

=−∂∂

−=−

= ∞=∞

)()( 000

TTyT

TTqt

y

W λα

+−=

+∞

T

n

pT

UaCR

aV

δδθρδ

λ1

0

4423 ,

at

tT 8

)21(323)( βδλα −

==

როდესაც

T

n

p

UCRtV δ

δθρ

1

0 )(+

∞

=

და

[ ] 21

1)1((4)1(1

)1(3)1([2)( −

−⋅

−+

+−

+−+

= tM

c

tMc e

Ennenn

nanEnnMt λα ,

როცა TMV δ30 = .

ნახ. 9, 10–ზე გამოსახულია θ-ს Tη -ზე დამოკიდებილების მრუდები

ფსევდოპლასტიკური და დილატანტური სითხეებისათვის. ისინი გვიჩვენებენ,

რომ სითხის ტემპერატურა მცირდება მაგნიტური ველის გაზრდისას

როგორც const=σ -სთვის, ასევე მაშინაც, როცა σ არის ცვლადი.

77

ნახ. 9. ფსევდოპლასტიკური სითხისათვის ტემპერატურის დაცემის კავშირი ტემპერატურაზე დამოკიდებული სიბლანტის კოეფიციენტთან

T

Tyδ

η =

ნახ. 10. დილატანტური სითხისათვის ტემპერატურის დაცემის კავშირი ტემპერატურაზე დამოკიდებულ სიბლანტის კოეფიციენტთან

N m n

I 0 m 23

II 0,2 0 23

III 0,2 1 23

IV 1 1 23

0,3

0,1

0,2

0,7

0,9

θ

0,6

0,4

0,8

0,5

1 0,4 0,2 0,6 0,8

1

ηT

IV

II

I

III

0,3

0,1

0,7

0,9

θ

0,5

1

1 0,4 0,2 0,6 0,8 ηT

N n m I 0 m 0,5 II 0,2 0 0,5 III 2,2 1 0,5 IV 1 1 0,5

78

§ 2.3. არანიუტონისეული გამტარი სითხის ავტომოდელური ამოცანების შესახებ სითბოგადაცემის გათვალისწინებით

ამ პარაგრაფში განიხილება გამტარი არაკუმშვადი არანიუტონისეული

სითხის მოძრაობა. სითხის რეოლოგიური კანონი ხარისხოვანია და კავშირი

ძვრის τ დაძაბულობასა და სიჩქარის yU∂∂ გრადიენტს შორის ბრტყელი

მოძრაობის შემთხვევაში არის [19, 45, 50] სახის.

yU

yUk

n

∂∂

∂∂

=−1

τ , 0>n . (2.3.1)

აქ k და n არის გარემოს რეოლოგიური მუდმივები. მჰდ-ის

სტაციონარული დინებები ნაჩვენები გარემოსი, გამოკვლეულია შრომებში

[51, 52, 53, 54]. ამასთან, როგორც ამ ნაშრომებშია შენიშნული,

დილატანტური )1( >n სითხის დინების ხასიათი არსებითად განსხვავდება

ფსევდოპლასტიკური )1( <b სითხის დინების ხასიათისაგან.

კერძოდ, გამტარი დილატანტური სითხეების არხებში დინებისას ამ

კონკრეტული გარემოთათვის ჰარტმანის განზოგადებული რიცხვებისათვის,

რომლებიც აჭარბებენ რაიმე კრიტიკულ მნიშვნელობას, წარმოიქმნება

დინების კვაზიმყარი ზონები, რომლებშიც სითხე მოძრაობს არხის კვეთაში

მუდმივი სიჩქარით (მაგნიტური პლასტიკურობის ეფექტი) [55, 56, 57]. ეს

საშუალებას გვაძლევს, რომ ველოდეთ ასეთ გარემოთათვის

არასტაციონარულ მჰდ დინებებში ისეთ განსაკუთრებულობებს, რომელნიც

კავშირშია სითხის არანიუტონისეულ თვისებებთან.

განვიხილოთ არასტაციონარული მსრბოლი მჰდ დინება ხარისხოვანი

რეოლოგიური კანონის მქონე (2.3.1) სითხისა, როდესაც არსებობს სიჩქარის

განივი მდგენელი, რომელიც წარმოიქმნება სასაზღვრო ზედაპირში

გამოჟონვის შედეგად, როდესაც გარე მაგნიტური ველი ერთგვაროვანი და

მუდმივია. ჩავთვალოთ, რომ გარემოს ელექტროგამტარებლობის

კოეფიციენტი წარმოიდგინება [45] სახით:

10

−= mUσσ , 1≥m . (2.3.2)

79

ვთქვათ სითხეს უჭირავს ნახევარსიბრტყე 0>y . ამასთან

იგულისხმება, რომ გარე მაგნიტური ველი y ინდუქციით მიმართულია 0B

ღერძის გასწვრივ, ხოლო ელექტრული ველი განსახილველ შემთხვევაში არ

არსებობს 0=E

. არაგამტარ ფირფიტაში, რომელიც სითხეში ძევს 0=y

სიბრტყეზე ხორციელდება სითხის გაჟონვა )(tVVy = სიჩქარით.

ფირფიტის მოძრაობისას სითხეში წარმოიქმნება სითხის

არასტაციონარული დინება, ამასთან დროის ნებისმიერ მომენტში 0>∂∂

yU .

რეინოლდსის მცირე რიცხვებისთვის, ე.ი. 1Re <<m განტოლებები,

რომლებიც აღწერენ არასტაციონარულ დინებას და თბოცვლას განივ

მაგნიტურ ველში, დისიპაციური სითბოგამოყოფის გათვალისწინებით.

უგრადიენტო მჰდ დინების შემთხვევაში, ჩაიწერება სახით:

UByU

yU

ya

yUtV

tU

n

ρσ 2

01

)( −

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

−

, (2.3.3)

1

2

2

)(+

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

n

pp yU

Ca

yT

Cv

yTtV

tT

ρ, (2.3.4)

სადაც ρka = , ),( tyU არის სითხის დინების სიჩქარე, ),( tyT ტემპერატურა.

(2.3.2)-ის ჩასმით (2.3.3)-ში მივიღებთ:

mn

NUyU

yU

ya

yUtV

tU

−

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

−1

)( , (2.3.5)

სადაც ρ

σ 200 BN = .

ნულოვანი საწყისი პირობებით და შემდეგი სასაზღვრო პირობებით:

)(),( ttyU = , როცა 0=y ,

0)0,( =yU , როცა 0=t , (2.3.6)

0),( =tyU , როცა ∞→y .

)(tTT W= , როცა 0=y , 0→= ∞TT როცა ∞→y შემოვიფარგლოთ ისეთ

გარემოთა განხილვით, რომელთათვისაც რეოლოგიური კონსტანტა 1>n ,

80

ე.ი. mn > . თუ გავითვალისწინებთ [58, 59] ნაშრომების შედეგებს,

რომელშიც განხილულ ავტომოდელურ ამოცანებში, ზუსტი ამოხსნის

შემთხვევაში გათვალისწინებული იყო მაგნიტურ ველში გამტარი

დილატანტური სითხის არასტაციონარული მსრბოლი დინებისას ტალღის

ფრონტის გავრცელების სიჩქარის სასრულობის და ძვრითი შეშფოთებების

სივრცითი ლოკალიზაციის ეფექტი, მაშინ ზემოთ დასმული ამოცანის

ამონახსნი უნდა ვეძებოთ შემდეგი სახით:

<>>Φ

=Φ, ,0

,0 ),,(),(

0

0

yyyyty

ty ii (2.3.7)

2,1=i , სადაც ),(),(1 tyUty =Φ .

ამგვარად სასაზღვრო (2.3.6), (2.3.7) პირობების გათვალისწინებით

უნდა მოიძებნოს (2.3.4) (2.3.6) განტოლებების ამონახსნი ),( tyΦ , როდესაც

00 >> yy და ძვრითი შეშფოთების ტალღის ფრონტის მოძრაობის კანონი,

როცა 0yy = .

)(tV და )(t დამოკიდებულების ნებისმიერობის შემთხვევაში (2.3.3)

და (2.3.6) არაწრფივი ამოცანის ანალიზური ამონახსნი არ მოიძებნება.

მხოლოდ რამოდენიმე სპეციალურ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს

განსაზღვრული კავშირი გაჟონვის )(tV სიჩქარესა და ფირფიტის მოძრაობის

)(t სიჩქარეს შორის, შესაძლებელი ხდება პოვნა (2.3.3)–(2.3.7) ამოცანის

ავტომოდელური ამონახსნისა, თუ ავტომოდელურ ცვლადად ავიღებთ:

ydVt

−= ∫0

)( ττη .

ვთქვათ

mnn

t

dVAtU−+

= ∫

1

0

)()( ττ , (2.3.8)

სადაც mn

nnmnamnmnNA

−

++−⋅−

=

1

)1)(1()()( .

ამგვარად, (2.3.5) განტოლებას ექნება სახე:

81

mn

NUddU

dda =

ηη

,

მაშინ ამოცანას (2.3.5), (2.3.6) გააჩნია ავტომოდელური ამონახსნი:

≤>==

−+

.0 ,0,0 ,)(),(

1

ηηηη mn

n

AUtyU (2.3.9)

ასეთი ამონახსნი ერთანადება იმას, რომ დილატანტურ 0>t

სითხეებში დროის ნებისმიერ )1( >n მომენტში ფირფიტის მოძრაობით

გამოწვეული დაძაბულობები ასწრებენ გავრცელებას მხოლოდ სასრული

სისქის 00 yy << სითხის ფენაში, ამ ფენის გარეთ მხები დაძაბულობები

ნულის ტოლია და სითხე არაა შეშფოთებული ანუ უძრავია.

სხვა სიტყვებით, ამონახსნი (2.3.9) ეთანადება მსრბოლ ტალღას,

რომლის ფრონტი გადაადგილდება )(tV გარემოს სიჩქარით y ღერძის

მიმართულებით.

მსრბოლ ტალღაში ფრონტის მდებარეობა )(0 ty დროის ნებისმიერ

მომენტში შეიძლება მოიძებნოს 0=η პირობიდან, რომელიც (2.3.8)-ის

გათვალისწინებით განსაზღვრავს გამოსახულებას:

∫=t

dVY0

0 )( ττ . (2.3.10)

წერტილი )(0 tyy = წარმოადგენს მსუბუქი წყვეტის წერტილს. ამ

წერტილში ),( tyU და yU∂∂ უწყვეტნი არიან. ეს უზრუნველყოფს სიჩქარისა

და τ მხები დაძაბულობის უწყვეტობის ფიზიკური მოთხოვნის შესრულებას

ნებისმიერ წერტილში, სადაც:

11

1

0

)(1 ++−

+

=

⋅⋅

−+

=∂∂

=nn

mmnnn

y

tAmn

nkyUk τ . (2.3.11)

გამთბარი სხეულისთვის მიზანშეწონილია ავიღოთ:

mnt

W dVBtT−

= ∫

α

ττ0

)()( , (2.3.12)

82

სადაც )]1()3([ mmn −++=α ,

−+

⋅+++−

= +111)2([)1)(( n

n

Amn

nmnv

nnmaBαρ .

ამგვარად ამოცანას (2.3.4), (2.3.7) გააჩნია განზოგადებული

ავტომოდელური ამონახსნი

≤>==

−

.0 ,0,0 ,)(),(

ηηηη

αmnBTtyT (2.3.14)

ეს ამონახსნი ასევე ეთანადება მსრბოლ ტალღაც, რომლის ფრონტი

გადაადგილდება სიჩქარით )(tV .

განვიხილოთ გაჟონვის სიჩქარისა და ფირფიტის მოძრაობის

სიჩქარის დროზე ხარისხოვანი დამოკიდებულების კერძო შემთხვევა:

1)( −= eCttV , mnne

tUt −+

=)1(

0)( , 1≥e , (2.3.15)

mne

W ttT −=α

θ0)( , სადაც mn

n

ecAU

−+

=

1

0 , mn

ecB

−

=

α

θ0 .

(2.3.9) ამონახსნს აქვს სახე:

=≥

<

−

=

−+

. ,0

, ,),(

0

0

1

ectyy

yyytecA

tyUe

mnn

e

როდესაც 1=m (2.3.9) ამონახსნი ემთხვევა ამონახსნს [50].

ნახ. 11–ზე ნაჩვენებია სითხის სიჩქარის განაწილება დროის

განსხვავებული მომენტებში, როცა 3=n და 1==== ecNa , როცა

მსრბოლი ტალღის ფრონტი ვრცელდება მუდმივი სიჩქარით და როცა 1=m ,

ე.ი. const=σ ; 2=m , ე.ი. 0σσ = და ნაჩვენებია, რომ m-ის გაზრდით

სიჩქარე მცირდება.

83

ნახ. 11. სითხის სიჩქარის განაწილება მსრბოლი ტალღის შემთხვევაში

1

2

3

4

5

6

7

1

8

9

10

11

12

13

2 3 4 5 6 7 8

m = 2

t = 8

t = 6 t = 4

t = 2

84

თავი 3

სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია განივ მაგნიტურ ველში

ამ თავში განიხილება ელექტროგამტარი არანიუტონისეული

ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექციის ამოცანები, როდესაც σ

ელექტროგამტარებლობის ცვლილება დამოკიდებულია სიჩქარეზე. $ 1–ში

შესწავლილია არასტაციონარული შემთხვევა, როდესაც mU0σσ = , 0≥m , (3.1)

ხოლო $ 2-ში სტაციონარული შემთხვევა, როდესაც ელექტროგამტარებლობის

კოეფიციენტს აქვს სახე: ασσ U0= , 0≥α . (3.2)

ბლანტი სითხეების წრფივი ბუნებრივი კონვექციის გამოკვლევების

დაწყებას სათავე დაედო 60-იანი წლების დასაწყისში, თუმცა ინტენსიურად

ეს ამოცანები განვითარდა 80-იან წლებში. ხარისხოვანი სითხისათვის

ბუსინესკის მიერ დასმულ ავტომოდელური ამოცანების მიახლოებით

ამონახსნების მიღების შესაძლებლობას ანალიზი გაუკეთდეს

საუნდელგეკარმა [61] ინტეგრალური მეთოდებით, ხოლო ჰანსენმა [15] და

ლი აბესმა [62] ჯგუფთა თეორიის გამოყენებით მოიძებნა, რომ

ავტომოდელობა (წრფივი ჯგუფისათვის) შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ,

როდესაც ზედაპირის ტემპერატურა იცვლება 31

−x კანონით. სპირალური

ჯგუფის შემთხვევისათვის ავტომოდელობა შეუძლებელია [63].

ხარისხოვან სითხეთათვის თავისუფალი კონვექციური დინების

გამოკვლევების განვითარებისათვის დიდი მნიშვნელობა ჰქონდა

აკრივოსის ნაშრომს [64]. მასში პირველად გადმოიცა ასიმპტოტური

სასაზღვრო ფენის იდეა იმ სითხეთათვის, რომელთაც გააჩნდათ

პრანდტლის დიდი რიცხვი; იდეამ ჰპოვა განვითარება რიგ ნაშრომებში და

სხვადასხვა სხეულთა მახლობლობაში იზოთერმული ზედაპირებისთვის

ჩატარდა თავისუფალი კონვენციის ამოცანათა ანალიზი. ამ გამოკვლევების

85

რეზულტატები შემდეგ დადასტურებული იქნა ექსპერიმენტულად.

ხარისხოვანი სითხის თავისუფალი კონვექცია ბრტყელ ვერტიკალურ

ფენებში ექსპერიმენტულად გამოიკვლია ემერმა, ცზიმ [65] და დეილომმა.

მათ მოახდინეს მეორე რიგის სასაზღვრო პირობების რეალიზება, თუმცა

შედეგები გადამუშავდა კომპლექსებში, გამომდინარე კრიტერიალური

დამოკიდებულებიდან, რომელიც წარმოადგინა აკრივოსმა [64].

აუცილებელია იმის აღნიშვნა, რომ [66] ნაშრომში ჩატარდა

კომპლექსური გამოკვლევა ტიპიური ტექნოლოგიური სითხეების (ნატრიუმ

კარბოქსიმეტილ ცელულოზის წყალხსნარები და კარბოლიპოლიმეთილების

(პოლუფისი, წყალხსნარები). ნაჩვენები იქნა, რიმ ძვრის სიჩქარის

დიაპაზონში თავისუფალი კონვექციის პირობებში, ეს გარემოებები ახდენენ

რეოლოგიური ქცევის შესამჩნევ ანომალიას.

ნაშრომში [ ] გამოკვლეულია მეორე რიგის სასაზღვრო პირობებში

თავისუფალი კონვექცია. ბადეთა სასრულ-სხვაობითი მეთოდით

ჩატარებულ გამოთვლებში, გამოყენებული იქნა სითხის შემადგენელი

მოდელი, ძვრის მცირე სიჩქარეებისათვის – ნიუტონისეული, ძვრის

სიჩქარის დანარჩენ დიაპაზონში – ხარისხოვანი.

მიღებული თეორიული შედეგები დაუპირისპირდნენ ავტორის

საკუთარ ექსპერიმენტებს, რიცხვითი გამოთვლების შეთანხმება

ექსპერიმენტის მონაცემებთან იყო კარგი. ვერტიკალური ფირფიტის

მახლობლობაში კონვექციას მუდმივი სითბური ნაკადის შემთხვევაში

ანალიზი ჩაუტარდა აკრივოსის დაშვებებში, ნაშრომში [68] განხილულია

გარე ამოცანა, ძირითადი ნაკადის შეშფოთების პარამეტრად შერჩეულია

22

Re −=Φ nGr .

რიცხვითი გამოთვლები ჩატარებულია კედლის მუდმივი

ტემპერატურის შემთხვევაში როგორც თანამიმართული იძულებითი და

თავისუფალი კონვექციური ნაკადების შემთხვევისათვის )0( >Φ , ასევე

ურთიერთსაპირისპირო ნაკადებისთვის )0( <Φ . თუმცა პარამეტრი Φ 1≠n

86

შემთხვევისთვის ცხადადაა დამოკიდებული განივ კოორდინატზე, ე.ი.

ამოცანა ლოკალურად ავტომოდელურია.

არანიუტონისეული ბუნებრივი კონვექციის ამოცანების ამოხსნა

წარმოადგენს მნიშვნელოვან მათემატიკურ სირთულეს.

ნაშრომში [69] შესწავლილია ამოცანა, როდესაც გამტარებლობის

ტემპერატურაზე დამოკიდებულება განსაზღვრულია ემპირიული

გამოსახულებით n

TT

=

∞0σσ .

ამოცანის ამოხსნისთვის გამოყენებულია არაცხადი სხვაობითი სქემა.

[65]-ში გამოკვლეულია თავისუფალი კონვექციის ამოცანები და ამ

ამოცანებისთვის მიღებული სხვაობითი განტოლებების სისტემა ამოიხსნა

პროგონკის მეთოდით. შრომებში [70, 71] ამოხსნილია არაავტომოდელური

ამოცანა ბლანტი სითბოგამტარი და ელექტროგამტარი სითხის

ფირფიტასთან ბუნებრივი კონვექციის შესახებ, ფირფიტის ტემპერატურის

ნებისმიერი განაწილებისას. ამონახსნი მიღებულია ძლიერი მაგნიტური

ველის შემთხვევაში გარე და შიგა გაშლის მეთოდით. ნაშრომში [72]

ელექტროგამტარი არანიუტონისეული სითხის შემთხვევაში განხილულ

იქნა დინება პრანდტლის განზოგადებული რიცხვის დიდი

მნიშვნელობებისათვის. )1(Pr >> იმ პირობით, რომ ლორენცის ძალა

ფარდობითია ამომგდები ძალისა და სიბლანტის ძალებისა.

§ 3.1. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექციის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნა

განიხილება ბლანტი სითბოგამტარი და სუსტადელექტროგამტარი

ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექცია,

რომელიც გამოწვეულია თავის სიბრტყეში ბრტყელი ვერტიკალური

უსასრულო ფირფიტის გადაადგილებით.

87

ვთქვათ ფირფიტის ტემპერატურაა 0T , ფირფიტის სიჩქარეა )(0 tY ′ ,

სითხის ტემპერატურა ფირფიტიდან მოშორებით – constT =∞ , ფირფიტაში

სითხის გაჟონვა – )(tVVy = .

გარე მაგნიტურ ველში ნებისმიერ ზედაპირზე ხარისხოვანი სითხის

სასაზღვრო ფენის ძირითადი განტოლებანი მოძრაობისა და სითბოცვლისა

იქნება შემდეგი სახის [42]:

1

2

21

121

1

1

1

11

1

1 )()( UBTTgyU

yUnk

yUtV

tU

n

ρσβ

ρ−−+

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

∞

−

, (3.1.1)

21

2

11

1

)(dy

TayTtV

tT ∂

=∂∂

+∂∂ , (3.1.2)

აქ 1U არის სიჩქარე −z ის მიმართულებით, −g თავისუფალი ვარდნის

აჩქარება, −β სითბური გაფართოების კოეფიციენტი, −σ ელექტრო–

გამტარებლობა, −B მაგნიტური ინდუქციის ვექტორის მდგენელი y ღერძის

გასწვრივ.

ჩავთვალოთ, რომ სითხის ელექტროგამტარებლობა ცვლადია და

არის შემდეგი სახის ხარისხოვანი ფუნქცია [42] mU10σσ = , 0≥m (3.1.3)

შედეგად მივიღებთ განტოლებათა (3.1.1), (3.1.2) სისტემის შემდეგი სახით:

∂=

∂∂

+∂∂

−−+∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ +

∞

−

.)(

,)()(

21

2

11

1

11

20

21

121

1

1

1

11

1

1

dyTa

yTtV

tT

UBTTgyU

yUnk

yUtV

tU m

n

ρσ

βρ (3.1.4)

(3.1.4) განტოლებათა სისტემის ამონახსნი უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ

სასაზღვრო პირობებს:

, ,0),(,0 ),(),(

11111

10111

δ==

=′=

ytyUytUtyU

roca

roca (3.1.5)

constTT == 0 , როცა 01 =y ; ∞= TT როცა Ty 11 δ= .

ვთქვათ n

nVkY

1

2

= −

ρ არის მიმართულების მახასიათებელი ზომა,

−−=∆ ∞TTT 0 ტემპერატურის მახასიათებელი სხვაობა. მაშინ შეიძლება

88

შემოვიტანოთ პრანდტლის განზოგადებული რიცხვი, გრასჰოფის და

გარსდენის მახასიათებელი სიჩქარე:

)1(2)1(3

32)1(2

15

1 +−

−+−

∆

=

nn

nnnn

n

r VTgka

P βρ

,

n

n

nr VkTgG

−

+

∆=

21

2

ρβ , [ ]21

TYg ∆= β .

ამგვარად, უგანზომილებო სიდიდეები, y, U, V0, U0 t, θ, δ და Tδ

შემოტანილია ფორმულებით:

)1(21

1 += nrGYyy ,

1UU = , )1(2

11

0+= n

rGVV

.

00

aU′

= , Ttt 1= , TTT ∆+= ∞ θ ,

)1(21

1 += nrG

Yδδ , )1(2

11 += n

rT

T GYδδ . (3.1.7)

მაშინ (3.1.4) განტოლებებს და (3.1.5) სასაზღვრო პირობებს

უგანზომილებო ცვლადებში აქვთ სახე:

2

2

0 1)(yPy

tVt r ∂

∂=

∂∂

+∂∂ θθθ , (3.1.8)

121

121

01

)( +−

−+∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ m

n

MUyU

yUn

yUtV

tU θ , (3.1.9)

1=θ , როცა 0=y ; 0=θ , როცა Ty δ= ; (3.1.10)

0UU = , როცა 0=y ; + 0=U , როცა δ=y . (3.1.11)

აქ mYBM −= 120 ρσ არის მპდ-ის ურთიერთქმედების კოეფიციენტი.

(3.1.8)–(3.1.10) ამოცანის ამონახსნი ვეძებოთ მიმდევრობითი

მიახლოებით [27, 74, 75, 76, 77]. ამისათვის შემოვიტანოთ სასაზღვრო ფენის

სასრული სისქე )(tδ , რომელსაც განვსაზღვრავთ სასაზღვრო ფენის

სიჩქარის გარე ნაკადის სიჩქარეში უწყვეტად გადასვლის პირობიდან; ეს

პირობა ჩაიწერება სახით:

0=∂∂

yU , როცა )(ty δ= . (3.1.12)

89

ანალოგიურად შემოვიტანოთ სასრული სითბური სისქე )(tTδ ,

რომელიც განისაზღვრება პირობიდან

0=∂∂

yθ , როცა )(ty Tδ= . (3.1.13)

ვიპოვოთ დასმული (3.1.8), (3.1.10) ამოცანის ორი მიახლოება, ე.ი.

),(),(),( 21 tytyty θθθ +≈ ,

რომელშიც ),(1 tyθ -ს ქვეშ აიღება ამონახსნი განტოლებისა:

021

2

=∂∂

yθ ,

და აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს

11 =θ , როცა 0=y ; 01 =θ , როცა Ty δ= .

ამ ამონახსნს აქვს სახე:

( )Tyty δθ −=1),(1 . (3.1.14)

ამონახსნი ),(2 tyθ არის ამონახსნი განტოლებისა

ytV

tyPr ∂∂

+∂∂

=∂∂ 1

01

22

2

)( 1 θθθ .

თუ უკანასკნელ განტოლებაში შევიტანთ (3.1.14) განტოლებას,

ვაინტეგრებთ 2-ჯერ და დავაკმაყოფილებთ ერთგვაროვან სასაზღვრო

პირობებს, მივიღებთ:

( )

+−

−+−=

TT

TrT

ytVyyPytyδ

δδ

δθ 1)(3 16

1),( 0 ,

სადაც dtd

≡•)( .

უცნობი )(tTδ სისქე განვსაზღვროთ (3.1.13) პირობიდან. ამისათვის

გვექნება განტოლება

rTT P

tVdtd 6)(3 0

2 =− δδ . (3.1.16)

(ა) თუ )(30 tcV Tδ= , მაშინ )(tTδ -სთვის მივიღებთ განტოლებას

rTT P

cdtd 622 =− δδ ,

90

რომლის ამონახსნი 0)0( =Tδ -სას იქნება

[ ]2116)( −= ct

rT e

cPtδ . (3.1.17)

მცირე −ct ებისთვის, tPt rT 6)( =δ .

ამგვარად

tP

ctV r 3

2)(0 = .

(ბ) თუ )()( 10 ttV Tδα= , სადაც 1α ნებისმიერია, მაშინ მივიღებთ

tP

tr

T 63)( 1

+= αδ . (3.1.18)

(გ) თუ 10 γ== constV , −)(tTδ სთვის მივიღებთ განტოლებას

+=

rTTT Pdt

d1

1 22

3γ

δγδδ .

ამ განტოლების ამონახსნი, როცა 0)0( =Tδ იქნება:

−=

−

+ tPPP

rTrr

T 43exp

2exp

21

2111 γδγγδ ,

როცა 01 =r , tP

tr

T 6)( =δ .

ეხლა (3.1.14)-ის გათვალისწინებით, ამოვხსნათ (3.1.9) განტოლება.

ვიპოვოთ ორი მიახლოება ამოცანისა (3.1.9), (3.1.11), ე.ი.

),(),(),( 21 tyUtyUtyU +≈ ,

სადაც ),(1 tyU არის ამონახსნი განტოლებისა

021

2

=∂∂

yU ,

რომელსაც აქვს სახე:

−=

)(1)(),( 01 t

ytUtyUδ

. (3.1.19)

ის აკმაყოფილებს პირობებს:

01 UU = , როცა 0=y , 0),(1 =tyU , როცა )(ty δ= .

91

ამონახსნი ),(2 tyU არის ამონახსნი განტილებისა

+−

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ +

−1

111

01

11

22

2

)( mn

MUy

UtVt

Uy

UyUn θ .

თუ აქ შევიტანთ (3.1.14), (3.1.19) ტოლობებს, ვაინტეგრებთ მიღებულ

განტოლებას და დავაკმაყოფილებთ სასაზღვრო პირობებს:

02 =U , როცა 0=y ; 02 =U , როცა δ=y .

მივიღებთ

( ) −−−

+−+−= ++

−

+

1]1[)1(]1[]1)[(),( 1101

0

1

0nn

n

n

UH

MmnU

tUtyU ηηδξ

−++

−−−

δδηδ

δη 000

01)1(13

6UVUU

T

, (3.1.20)

სადაც δ

η y= .

სასაზღვრო ფენის სისქე განისაზღვრება (3.1.12) პირობებიდან. ის

გვაძლევს დინამიკური სასაზღვრო ფენის სისქის განსაზღვრისათვის

შემდეგ განტოლებებს:

+

++−

++ +

+1

00

0

1 )1(63ln2

1 nmn

UHmM

UU

dtdn

dtd δδ

100

2

0

)1(32

)1(31 −+

+≡+

−⋅+

+ nn

T

n

UnnVnUn δ

δδ . (3.1.21)

განვიხილოთ რამოდენიმე კერძო შემთხვევა, როდესაც (3.1.21)-ის

ამონახსნი მიიღება ცხადი სახით:

(I) ვთქვათ ( )TUtV δδ 2

00 3

2== , მაშინ )(tδ -სთვის მივიღებთ

განტოლებას:

10

10

00

1 )1(3)1(63ln2

1 −++ +≡

++−

++ nn

mn Unn

HMUm

UU

dtdn

dtd δδ .

ამ განტოლების ამონახსნს, როცა 0)0( =δ აქვს სახე:

×

+−

+

+= ∫ ∫

+

−+

t tm

nn dUM

Hm

UdnUnnt

0 00

0

21

01 )1(2

2)1(3exp)1(3)( ττδ

92

τξξτ

ddUMH

mUdnU

tm

t n

++−

+

× ∫ ∫∫+

0 00

00

213

0)1(2

2)1(3exp , (3.1.22)

ხოლო, როდესაც constU =0 .

[ ]tAnn eUAnnt −−+ −+

= 1)1(3)( 10

1δ , (3.1.23)

სადაც

−

++= + 1)1(2

2)1(3 1

00

mMUH

mUnA .

მცირე −tA თათვის გვექნება

[ ] 11

11

10)1(3)( ++−+≈ nnn tUnntδ , (3.1.24)

რომელიც როცა 1=n ნიუტონისეული სითხის სისქისათვის მოგვცემს

t6=δ ,

შედეგად (3.1.17)-დან მივიღებთ:

TrP δδ = ,

ეს ნიშნავს, რომ როცა 1=rP , Tδδ = .

რადგან ფირფიტაში გაჟონვის სიჩქარე უნდა იყოს ერთნაირი,

როგორც დინამიკური, ისე სითბური სასაზღვრო ფენისათვის, ამიტომ უნდა

არსებობდეს ფუნქციონალური დამოკიდებულება )(tδ -სა და )(tTδ -ს შორის.

ის მოიცემა ფორმულით

==

TT U

ctVδδδ

2

00 3

23

)( ,

საიდანაც გამომდინარეობს, რომ

TcU δδ 20= , 0

2UPc r= ,

ხოლო გაჟონვის სიჩქარისათვის გვექნება

tUPtV r

38)( 2

00 = .

(II) ვთქვათ αδδ =T , βδ=0V , მაშინ )(tδ -სთვის მივიღებთ

განტოლებას

93

=

++

−−−

+

+ ++ 10

00

1 )1(6233ln2

1 nm

n

HMUm

UU

dtdn

dtd δαβδ

10)1(3 −+= nUnn .

ამონახსნი ამ განტოლებისა, როცა 0)0( =δ იქნება:

×

+−

−

+

+

+= ∫ ∫+

−+t t

mn

n dUH

MmUdtnUnnt

0 00

0

21

01 )1(2

323

2)1(3exp)1(3)( τταβδ

τξξαβττ τ

ddUH

MmUdnU m

t n

++

−

−−

+

× ∫ ∫∫−

0 00

00

213

0)1(2

323

2)1(3exp .

თუ აქ constU =0 , მაშინ

[ ]tNnn eUNnnt −−+ −+

= 1)1(3)( 10

1δ , (3.1.25)

−−−

++=

0

0

323)1(2

2)1(3

UM

HUmnN

m αβ .

მცირე tN -თათვის

tUnnt nn

n ][ 11 )1(3)( −+ +=δ .

ნიუტონისეული სითხეებისათვის 1=n და გვექნება

( )16 1

1

2 −= tNeN

δ , )1(62 −= tc

rT e

cPδ .

აქედან, თუ 1Nc = , სადაც

0

01

23)1(23UH

MUmNm αβ −

+

+−= .

მიიღება, რომ

TrP δδ = ,

და

Tr

m

r

r

UP

MH

UmP

PtV δ

−−

+−

=0

00 3

23()1(21

)( .

(III) ვთქვათ naVδ

=0 , Tγδδ = , მაშინ (3.1.21)-დან მივიღებთ

=

++

−−

+

+ ++ 10

00

1 )1(623ln2

1 nm

n

HMUm

UU

dtdn

dtd δγδ

94

++= −

2)1(3 1

0anUnn n .

რომლის ამონახსნს აქვს სახე:

×

+−

−

+

+= ∫ ∫+

−+t t

mn

n dUHmM

UdnUnt

0 00

21

01 )1(2

323

2)1(3exp)1(3)( τταδ

+

−

−++

× ∫ ∫∫−

τξγξτττ

dUddU

HmMnUn

tm

n

0 0 000

213

0 323)1(2

2)1(3exp)(

τξγξττ

dUddU

HmMnUa m

t n

−

−+

+

+ ∫∫∫+

0 000

0

21

0 323)1(2

2)1(3exp

2.

როდესაც constU =0 მივიღებთ

( )Atnn eanUA

nt −−+ −

+

+= 1

2)1(3)( 1

01δ , (3.1.26)

სადაც

−−

++=

0

0

323)1(2

2)1(3

UM

HUmnA

m γ .

როცა 1=n მცირე tA -თათვის გვექნება

tat )2(3)(2 +=δ , tPP r

rT )2(3

12 αδ += .

მაშასადამე

TrPaaB

aa δδ

1

2

)2(11)2(2−

+++

+= ,

TrPaa

aaatV δ

δ

+++

+== 2

2

0)2(811

)2(2)( .

პირველი როცა 1=rP , a=1α მოგვცემს Tδδ = .

ზედაპირული ხახუნისათვის ზემოთმიღებული გამოსახულებიდან

მივიღებთ n

yyUk

01

11

1=∂∂

=τ , n

yyU

0=∂∂

=τ ,

სადაც

95

)1(21

)(+

−

= nn

rn GYk

ττ ,

საიდანაც n

n

nm

n

nn

nUV

mmMUmU

nUU

−

++

++−+

= −

++

10

01

00

0

10

4)3)(2()32(1

423 δδ

δτ . (3.1.27)

როდესაც βδ=0V და constU =0 (3.1.25)-დან მივიღებთ

×

−

+

=

+−−+

−11

20

1)1(323 n

ntNn

nn

Ne

Unnτ

ntNm

NeM

mmUmU

Un

−

++

++−−

++×

−+ 1)3)(2(

)32(12

111

00

0

β . (3.1.28)

მცირე tN -თათვის ხახუნისათვის (3.1.28)-დან მივიღებთ

]1[ )1(323

11

1

20

++−

+

= +

−+−

tAtUnn n

nnn

n

τ ,

სადაც

)3)(2(2)]1)(32(3[]5)(2[

4)52(

40

01 ++

+++−+−++=

mmMnmnUn

UnnnA

n

αβ .

აქედან ცხადია, რომ

++−

−−==

= MtttUt

Umn 459,0072,127153,0612,0][

0

001 βατ ,

++−

−−==

= tMUttUt

Umn 0

0

001 33,0072,127153,0612,0][ βατ ,

+++−

−−

==

= MtttUt

UUmn 626,047,129164,0328,0][

0

31

20

002 βατ ,

+++−

−−

==

= tMUttUt

UUmn 0

0

31

20

012 49,047,129164,0328,0][ βατ .

ზემოთ მიღებული ფორმულები გვიჩვენებენ, რომ მაგნიტური ველის

თანაარსებობა, როდესაც ელექტროგამტარებლობა mU10σσ = , ზრდის

სითხის ხახუნის ძალას ფირფიტაზე.

სითბური ნაკადის სიმკვრივისათვის გვექნება გამოსახულება

96

−=

∂∂

−== 2

321 0

0

r

Ty

PVy

qδ

θ ,

რომელიც, როცა 30

TcV δ= მოგვცემს

21

22

0

1432

00

−

−

−=

tU

PtU

Pr

rr

eeU

Pq

ნახ. 12–ზე ნაჩვენებია Tδδ შეფარდების დამოკიდებულება rP

პრანდტლის რიცხვზე. ეს შეფარდება იზრდება rP -ს გაზრდით, მცირდება

გაჟონვის სიჩქარის გაზრდით, ხოლო როცა 1=rP , Tδδ = გაჟონვის

ნებისმიერი სიჩქარისათვის.

ნახ. 12. სითბური და დინამიკური სასაზღვრო ფენის ფარდობის დამოკიდებულება პრანდტლის რიცხვზე

§ 3.2. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი ბლანტი სითხის

თავისუფალი კონვექციის ამოცანის ამოხსნის ინტეგრალური მეთოდი

ვთქვათ ელექტროგამტარ არანიუტონისეულ ხარისხოვან სითხეში

მოთავსებულია ბრტყელი კედელი, რომლის ზედაპირის ტემპერატურაა WT ,

სითხის ტემპერატურა კედლიდან მოშორებით ∞T . სითხის დინება

a=1

2 3 4 5

10

2,2

7 8 6 1

1,2

0,4

1,6

0,8

1

9

a=2

a=3

PΓ

97

გამოწვეულია გაცხელებული სხეულის ახლოს თავისუფალი კონვექციით,

როდესაც მართობულად მოქმედებს გარე მაგნიტური ველი. რეინოლდსის

მაგნიტური რიცხვი ითვლება მცირედ, ე.ი. 1<<emR .

თუ კედლის ტემპერატურა იცვლება ნებისმიერი კანონით, მაშინ

ასიმპტოტური ავტომოდელური ამოცანების მეთოდი არაა გამოსადეგი. ამ

მიზეზის გამო გამოიყენება ნიუტონისეული სითხისათვის საკმაოდ

ეფექტური ინტეგრალური მეთოდები სასრული სისქის სასაზღვრო ფენის

თეორიისა [68].

მაშასადამე, განვიხილოთ მათი გამოყენება სამი ტიპისათვის

თერმული სასაზღვრო პირობებში, როდესაც ელექტროგამტარებლობის

კოეფიციენტი ცვალებადია და წარმოადგენს სიჩქარის ფუნქციას სახით [42] ασσ U0= , (3.2.1)

სადაც 0≥α ნებისმიერი რიცხვია.

ა) იზოთერმული კედელი

ტემპერატურულ და ელექტროგამტარ სასაზღვრო ფენში სითხის

ბრტყელი დინება აღიწერება განტოლებებით:

0=∂∂

+∂∂

yU

xU , (3.2.2)

UBTTgyU

yR

yUV

xUU

n

ρσβ

ρ

2

)( −−+

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

∞ , (3.2.3)

2

2

yTa

yTV

xTU

∂∂

=∂∂

+∂∂ . (3.2.4)

(3.2.2)–(3.2.4) განტოლებათა სისტემის ამონახსნმა უნდა

დააკმაყოფილოს შემდეგი სასაზღვრო პირობები:

როცა 0=y , მაშინ 0=U , 0=V , WTT =

როცა ∞→y , მაშინ 0→U , ∞→TT .

ამგვარად, (3.2.3) -ში და (3.2.1) -ის ჩასმით ის მიიღებს სახეს:

12

0 )()( +∞ −−+

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ α

ρσ

βρ

UxBTTgyU

yR

yUV

xUU

n

. (3.2.6)

(3.2.5)

98

ფენის სიგანით თუ ვაინტეგრებთ განტოლებებს (3.2.4), (3.2.6) და

გამოვიყენებთ (3.2.2) განტოლებას და (3.2.5) სასაზღვრო პირობებს,

მივიღებთ ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემას:

0

0

1

0

20

0

2 )(

=

∞+

∞∞

∂∂

−−∆= ∫∫∫y

n

yURdyUxBdyTgdyU

dxd

ρρσ

θβ α , (3.2.7)

00 =

∞

∂∂

−=∫y

yadyU

dxd θθ , (3.2.8)

სადაც TTT ∆−= ∞ )(θ უგანზომილებო ტემპერატურის დაცემაა,

∞−=∆ TTT W ტემპერატურული დაწოლა.

შემდგომ სასრული სისქის სასაზღვრო ფენად ტრადიციულად

მოიცემა ფენის კვეთში სიჩქარისა და ტემპერატურის ავტომოდელური

პროფილების ერთპარამეტრიანი ოჯახი:

)()( ηΦ= xU , (3.2.9)

)(ηθθ = , (3.2.10)

სადაც

)(xy

δη = . (3.2.11)

ავტომოდელური ცვლადია; −)(xδ სასაზღვრო ფენის სისქეა, −)(x

მახასიათებელი სიჩქარეა.

(3.2.8) განტოლება ახალი ცვლადების ჩასმით მიიღებს სახეს:

∫

=

ix

ii xdx

xDE

Lax

0 )()(1)(

δδ , (3.2.12)

სადაც

∫∞

Φ=0

)()( ηηθη dD , )(oR θ ′−= . (3.2.13)

უგანზომილებო სიდიდეებია

.

,

1

1

L

Lxx

δδ =

=

99

(3.2.7) განტოლებაში (3.2.9)–(3.2.11)-ის ჩასმით მივიღებთ:

( ) −∆= )()(1

21

xBLTgdx

dA iδβδ

)()(1

12

0

1

xFLxBLcR

inn

b

δρ

σδρ

α+− . (3.2.14)

თუ ამაში ჩავსვამთ (3.2.12) განტოლებას, მივიღებთ:

=

∫2

0 111

22 1 x dxdxd

La

DEA

δδ×

−∆

++ 1120

1)()(

αα

ρσ

δβDE

LaFLxBBLTg

nxn

ni

n

n

x

i

dxDEa

LcRdx

⋅⋅−

× ∫∫

+11

0 122

1

0 1

1δδρδδ

α

α , (3.2.15)

მიზანშეწონილია ავიღოთ n312 =+α , ე.ი. 2

13 −=

nα , იმისათვის, რომ

განვსაზღვროთ )(xδ ცხადი სახით. მაშასადამე (3.2.15) განტოლებას ექნება

სახე:

×

∆

−

−−

−

∫ n

n

x

n

n

LRL

Tgdxdxd

RL

a 2

22

2

0 11122

2

1 1

ρ

βδδ

ρ

×

⋅

−

⋅

×

+−

ρρ

σδ R

aLBDE

AF

ED

AB

nn 2

1200

)1(23

1

2 )(

nx

n

nnn

x dxDE

Acdxxb

−

× ∫∫

−−+

11

0 12

1

2231

1

213

0 11

2 1 )(δδ

δδ

. (3.2.16)

აქ აღნიშნულია

∫∞

Φ=0

2 )( ηη dA , ∫∞

=0

)( ηηθ dB , [ ]noc )(Φ′= ,

∫∫∞ +∞

+ Φ=Φ=0

213

0

1 ηη ddFn

n . (3.2.17)

)()( 0 xbBxB = , სადაც 0B არის მაგნიტური ინდუქციის მახასიათებელი

მნიშვნელობა.

შემოვიტანოთ პრანდტლის, გრასჰოფისა და მაგნიტური

ჰიდროდინამიკის ურთიერთქმედების კოეფიციენტის განზოგადება:

100

n

nLRa

−−

=

21

)1(21Prρ

,

n

n RLTgGr−

+

∆=

21

22

ρβ ,

RaLBMn2

1200 )(

+

= σ , (3.2.18)

მაშინ

[ ] −

=

∫ 1

22

0 11

Pr1Pr1 1

δδδ

GrED

ABdx

dxd x

−

−

−+

−−

∫ 231

11

212

0 1

11

21)1(

23

)()(Pr1 n

nx

nn

xdxxbDE

AFM δ

δ

nx

nn

n dxDE

Ac

− ∫−

− 1

0 12

1

12 1Pr

δδ. (3.2.19)

განვიხილოთ პრანტლის განზოგადებული როცხვის დიდი

მნიშვნელობებისათვის 1Pr >> დინება, იმ პირობით, რომ ლორენცის ძალა

ფარდობითია სიბლანტისა და ამომგდები ძალებისა. როცა ∞→Pr (3.2.19)

განტოლებაში მარცხენა მხარე შეგვიძლია გამოვრიცხოთ, რაც ნიშნავს

ინერციული წევრების იგნორირებას, მაშასადამე, მივიღებთ:

−

− ∫+

nx

n

nn dx

CrBC

DEx

1

0 11

121 Pr

1)(δ

δ

0)(Pr1 2

13

0 1

21

1122

131

=

⋅

−

++

+

∫

nxn

n

n

dxxbGrD

EBFM

δδ . (3.2.20)

თუ გავითვალისწინებთ შესაძლო პარაბოლურ და მონოტონურად

ზრდად ხასიათს სასაზღვრო ფენის გავრცელებისა ზედაპირის გასწვრივ,

რომელიც ეყრდნობა როგორც მათემატიკურ, ისე ფიზიკურ მოსაზრებებს,

უნდა დავუშვათ

1

1)(1

αδ Nxx = , α11)( xxb = . (3.2.21)

101

(3.2.21)-ის ჩასმით (3.2.20)-ში მივიღებთ 1α , j, N კონსტანტების

განსასაზღვრავად განტოლებებს:

−

−

− −++ n

n

nnn x

GrDE

BCxN )1(

11

)12(1

13 11

Pr1

)1(αα

α

0Pr1

)1(2

132

1

213

1

1=

−

−

++−

+nnj

n

n

xGrD

EBFM

α

α.

ეს განტოლება რომ დააკმაყოფილოს ნებისმიერმა 1x -მა, აუცილებელია

დავუშვათ:

2132)1()12( 111

++−=−=+

nbnn αγαα .

აქედან განისაზღვრება მუდმივები 1α და γ:

131 +=

nnα ,

41+

−=nγ .

ამგვარად

13111 )( += n

n

Nxxδ , (3.2.22)

41

101)(+

−=

n

xBxB , (3.2.23)

სადაც

nnnn

n DE

nn

CMF

DE

nn

BCrCN

311

21

311

21311

2131

Pr

+++

⋅++

+⋅

⋅++

= . (3.2.24)

აქედან ჩანს, რომ მჰდ ურთიერთქმედების პარამეტრის გაზრდისას

სასაზღვრო ფენის სისქე დამოკიდებულია M-ზე (3.2.24) ფორმულით.

ნუსელტის რიცხვის ლოკალური მნიშვნელობები ტოლია

1

)(δδ

θν

EoTLqN

i

xUx =

′−=

∆= ,

ე.ი.

[ ] 131

131

1 Pr),( +−

+= nn

nnUx xCrmnCN , (3.2.25)

სადაც:

×

⋅

++

=++ nn

nn

ED

CB

nnEnC

311

13

1 3121),( µ

102

⋅++

+×+

− 11

21311

n

DE

nn

CFM . (3.2.26)

ფირფიტის მთელ სიგრძეზე ნუსელტის რიცხვის საშუალო

მნიშვნელობა იქნება:

[ ] nnU GrmnCN 31

1

2 Pr).( +=saS

. (3.2.27) სადაც

),(2131),( 12 mnC

nnmnC

++

= . (3.2.28)

1C და 2C კოეფიციენტების გამოსათვლელად აუცილებელია U და θ

სიჩქარისა და ტემპერატურის პროფილების ოჯახი დავაკონკრეტოთ.

ამისათვის გამოვიყენოთ ფუნქციათა ნაკრები: ηηη mem −=Φ )( , ∞<≤η0 , (3.2.29)

∞<<<<−+

=,1 ,0

,10 ,)1)(1()(

3

ηηηη

ηθ

რომლებიც აკმაყოფილებენ (3.2.4) სასაზღვრო პირობებს კედელზე და

ფირფიტიდან მოშორებით. ამას გარდა სიჩქარის პროფილი ხდება ცნობილი

სიჩქარის mη -ში მაქსიმუმის მქონე არამონოტონური მრუდის სახით

გავრცელების ზუსტი გათვლებიდან. (3.2.13) და (3.2.17)-ის გამოთვლას

მივყავართ ტოლობებზე:

m

A41

= , 103

=B , nmC = , 2=E ,

+

Γ

+=

+

2)1(3

1321 )1(

23

nnm

Fn

, (3.2.30)

+++

−+−= −

543542

1061121204841mmm

emmmm

D m ,

სადაც Γ არის გამა ფუნქცია:

dttex xt 1

0

)( −∞

−∫=Γ .

კონსტანტა m გამოითვლება ფირფიტის კედელზე იმპულსების

ბალანსიდან, ე.ი. მოძრაობის განტოლებებიდან, როცა 0=y .

103

00

=

∂∂

∂∂

+∆=y

n

yU

yRTgρ

β . (3.2.31)

თუ (3.2.30), (3.2.11) და (3.2.12)-ს ჩავსვამთ (3.2.31)-ში და

მხედველობაში მივიღებთ

12Pr +=∆ nnn LGrRaTgρ

β ,

მივიღებთ:

21

1

21312

+

+

++

+=

n

n

DE

nnMFCBnm .

(3.2.30)-დან ვიპოვით

+Γ

+

⋅++

=

−

++

+ )1(23

1322

21311

23 )1(

23

21

1 nnDn

nMmnmnn

n . (3.2.32)

აქედან ჩანს, რომ როცა 0=M , მაშინ n

m35

= , მაშასადამე,

nn

nnnm

mDmnC

3121

1 3121)2(

22),(

+−

++

⋅= , (3.2.33)

),(2131),( 12 mnC

nnmnC

++

= . (3.2.34)

Φ ფუნქციაში სიჩქარესთან მდგომი m კოეფიციენტი დამოკიდებულია

როგორც n-ზე, ისევე M-ზე. თუ შევარჩევთ რეოლოგიური კანონის ხარისხს

და მაგნიტური ურთიერთქმედების კოეფიციენტს, ჩვენ მივიღებთ m

მუდმივის განსაზღვრულ მნიშვნელობას.

ბ) კედელზე სითბური ნაკადის მუდმივი სიმკვრივე

ამ შემთხვევისთვის სასაზღვრო ამოცანის გამომავალი ფორმულირება

ინახება ისეთივე, როგორიც განხილულ პირველ შემთხვევაში იზოთერმული

კედლის დროს, ხოლო იცვლება მხოლოდ ფირფიტის ზედაპირზე

თერმული სასაზღვრო პირობა. (3.2.5) პირობის ნაცვლად გვექნება:

Wy

qyT

=

∂∂

−=0

λ , როცა 0=y (3.2.35)

104

ითვლება, რომ TTT ∆−= ∞ )(θ (3.2.35) პირობა დაიყვანება

დამოკიდებულებაზე:

νδ

θνδ

Exq

oqT WW )(

)(=

′−=∆ . (3.2.36)

სითბური (3.2.8) ენერგიის ინტეგრალური პირობა სასაზღვრო ფენში

ჩაიწერება სახით:

( )δ

δ aEdxdD = , (3.2.37)

ხოლო (3.2.14) განტოლებას ექნება სახე:

( ) δρ

σδρν

δβδ 2

1320

22 )( +

−

−=

nnW FxBCR

EqBg

dxdD

. (3.2.38)

თუ (3.2.37)–დან )(x -ს შევიტანთ (3.2.38)-ში და შემოვიტანთ

გრასჰოფის განზოგადებულ რიცხვს:

nnW RLLqgGr

−−+

=

21

22

ρνβ , (3.2.39)

მივიღებთ:

−

=

∫ 2

13

22

0 111

Pr1Pr1 1

δδδ E

DABGrdx

xdxd x

−

−

+−

−−

∫2

13

0 1

1231

1121

)1(23

1

)(Pr

nxn

nn dxxb

DE

AFM

δδ

nxnn

n dxDE

AC

− ∫

−−− 1

0 1

21

11

Prδ

. (3.2.40)

როცა ∞→Pr ისევ მივალთ ასიმპტოტური სასაზღვრო ფენის

განტოლებამდე:

−

− ∫+

nxn

nn dx

DE

BGrEcx

1

0 11

221 Pr

)(δ

δ

0)()(Pr1

12

1

12

213

0 1

213

1

=⋅

⋅

−

+++

∫ xxbdxGrD

EB

EFMn

nx

n

n

δδ

. (3.2.41)

105

ანალოგიურად, როგორც პირველ შემთხვევაში, მივიღებთ:

nn

Kxx 32111 )( +=δ , (3.2.42)

41

101)(+

−=

n

xBxB , (3.2.43)

სადაც

×

++

⋅=+ nn

n nn

DE

BGrECK

321

132

2Pr

nn

nnE

CFM

321

21

132

201

++

++

⋅

+ . (3.2.44)

ნუსელტის ლოკალური რიცხვი მოიცემა გამოსახულებით:

nn

xUx x

KoE

oELN 32

11 )()(

+−

===θδθν

α ,

ე.ი.

nn

nnn

Uxx xGrNmnM 321

321

321 Pr),( ++

−+

−= , (3.2.45)

სადაც ),(1 mnM არის მახასიათებელი ადგილობრივი სითბოს ნაკადი,

×

++

⋅=+

−nn

nn

DE

BEc

oEMnM

321

1 132

2)(),(

θ

nn

nn

DE

CFm

321

21

132

21

+−+

++

⋅

+× . (3.2.46)

ეს კოეფიციენტი დამოკიდებულია არა მარტო რეოლოგიურ

ფაქტორზე, არამედ მაგნიტურ ველზე.

ფირფიტის სიგრძის გასწვრივ ნუსელტის საშუალო რიცხვი იქნება:

[ ] nnU GrMnMN 32

1

2 Pr),( +=saS , (3.2.47)

სადაც

),()1(2

32),( 12 MnMnnMnM

++

= . (3.2.48)

გ) კედლის ცვლადი ტემპერატურა

106

ამ შემთხვევაში სითბური სასაზღვრო ფენის (3.2.4) განტოლებაში

დაემატება ტემპერატურული დაწნევის გასწვრივი გრადიენტი, ე.ი.

[ ] tdxdTxT

dxd

W =− ∞)( . (3.2.49)

როგორც ადრე, ფენის კვეთში, ტემპერატურის დაცემის

უგანზომილებო პროფილის განსაზღვრა ხასიათდება სიდიდით:

)()( xtTT

TxTTT

W

∞

∞

∞ −=

−−

=θ , (3.2.50)

ხოლო მოძრაობის განტოლება ინარჩუნებს ძველ სახეს (3.2.6).

(3.2.3) განტოლებიდან (3.2.50)-ის გათვალისწინებით, მივიღებთ:

= ∫

1

0 1

1

1111 )(

)()(

1)(

)(x

xdxxt

xxLDtaEx

δδ . (3.2.51)

როგორც ადრე, თუ (3.2.19)-ში გადავალთ ზღვარზე ასიმპტოტური

სასაზღვრო ფენისკენ, როცა ∞→Pr , მივიღებთ ინტეგრალურ პირობებს:

−

⋅

− −+ ∫ n

nx

n

nn tdx

xxt

GrDE

BCxt 1

0 1

11

1211

1

)()(

Pr1)(

δδ

2

13

0 1

1213

1

Pr1

++

⋅= ∫

nx

n

n

dxtGrD

EBFM

δ.

სადაც )()()(1 ot

xtxt = , ხოლო )(ot არის მკვეთრი ვარდნა ფირფიტის წინა

ნაპირზე.

როგორც ზემოთ განხილულ შემთხვევაში, თუ გავითვალისწინებთ

შესაძლო პარაბოლურ და მონოტონურ ზრდად ხასიათს ზედაპირის

მახლობლად სასაზღვრო ფენის გავრცელებისა, ასევე მაგნიტური ველის

არსებობას, როდესაც pxxt 111 )( = , 0≥P , მაშინ )( 11 xδ სისქე და გარე

მაგნიტური ველი )( 1xB მიიღებს სახეს:

nPn

xx 31111 )( +−

∆=δ , (3.2.52)

41

101)(+

−=

n

xBxB , (3.2.53) სადაც

107

×

⋅

++++

=∆+ nn

n DE

Pnnn

BGrc 31

1

)32()21(31

Pr

nn

DE

Pnnn

CFM

311

21

)32()21(311

++

⋅

++++

+× . (3.2.54)

ამასთანავე ნუსელტის ლოკალურ რიცხვს ექნება სახე:

nnP

yxUx xEE

xt

LyT

LN 311

1

0

)(+−

=

∆==

∂∂

−==δν

α ,

ე.ი.

[ ] nnP

nnUx xGrQN 31

1311

Pr +−

+= , (3.2.55)

სადაც

×

⋅

++++

=+

−nn

DE

Pnnn

BCEQ

311

)32()21(31

nn

DE

Pnnn

CFM

311

21

)32()21(311

+−+

⋅

++++

+× . (3.2.56)

როგორც ვხედავთ კედლის არაიზოთერმულობამ არ იმოქმდება

ნუსელტის, პრანდტლის და გრასჰოფის კრიტერიუმებს შორის კავშირის

კანონზე, რომელიც დარჩა ისეთივე სახის, როგორც მუდმივი ტემპერატურის

მქონე კედლის ფირფიტისათვის. იმ შემთხვევაში როდესაც 0=P )1( 1 =t

მივალთ ადრე მიღებული (3.2.24)–(3.2.27) ფორმულებამდე.

საჭიროა შევნიშნოთ, რომ როდესაც 0=M , ე.ი. მაგნიტური ველის

არარსებობისას, მიღებული შედეგები ემთხვევა [65] ნაშრომის მონაცემებს,

როდესაც 1=n გამოთვლილი შედეგების შედარება გვიჩვენებს

შესაბამისობას [73] ნაშრომის მონაცემებთან პირველი შემთხვევისთვის, [72]–ს

მეორესთან [71]-ის მონაცემებთან მესამე შემთხვევისათვის. ჩანს, რომ ყველა

შემთხვევისათვის მაგნიტური ინდუქციის ვექტორის ნორმალური

მდგენელი არის ერთიდაიგივე ფორმის 41

10

+−

n

xB .

108

3. ძირითადი შედეგები და დასკვნები

ელექტროგამტარი არაკუმშვადი არანიუტონისეული ხარისხოვანი

სითხის სტაციონარული და არასტაციონარული ამოცანების

გამოკვლევებისთვის შერჩეულია ისეთი მოდელები, რომელა ამონახსნები

მიღებულია ან ზუსტად, ან მიახლოებით ანალიზურად:

1. გამოკვლეულია დინამიკური სტრუქტურა და სითბოგადაცემა

ცვალებადი გამტარებლობის არაკუმშვადი არანიუტონისეული ხარისხოვანი

სითხის, რომელიც იმყოფება გარე მაგნიტურ ველში. მჰდ განტოლებათა

სისტემის მიახლოებითი ანალიზური ამოხსნის საფუძველზე მიღებულია

დინამიკური და ტემპერატურული სასაზღვრო ფენების სისქეთა

განსასაზღვრავად გამოსახულებანი. სასაზღვრო ფენები წარმოიქმნება

ბრტყელი ნახევრადუსასრულო ფოროვან ფირფიტაზე, რომელშიც გაჟონვა

დამოკიდებულია სასაზღვრო ფენის პარამეტრებზე.

ნაჩვენებია, რომ პარამეტრების შერჩევის გზით, რომლებიც

განსაზღვრავენ არანიუტონისეული სითხის რეოლოგიას და მის

ელექტროგამტარებლობას, შესაძლებელია ვმართოთ ზედაპირული ხახუნი

და გარსმოდენად ზედაპირზე სითბური ნაკადი.

3. მიღებულია გარსმოდენად სხეულში გაჟონვის გათვალისწინებით

არანიუტონისეული ხარისხოვანი ცვალებადი გამტარებლობის სითხის

ბრტყელი დინების ამოცანის განზოგადებული ავტომოდელური ამონახსნი.

4. მიღებულია ბრტყელ ფოროვანი ვერტიკალური კედლის

მახლობლად ცვლადი გამტარებლობის არანიუტონისეული ხარისხოვანი

სითხის თავისუფალი კონვექციის ამოცანის მიახლოებითი ანალიზური

ამონახსნი. გამოკვლეულია გარე მაგნიტური ველისა და კედლის გაჟონვის

გავლენის ეფექტები თავისუფალი კონვექციის სასაზღვრო ფენის სისქეზე.

5. მიღებულია გარემოს სუსტადგამტარებლობისას პირობითად

ცვლადი გამტარებლობის არანიუტონისეული ხარისხოვანი სითხის

თავისუფალი კონვექციის ამოცანის ამონახსნი ინტეგრალური მეთოდით.

ასევე განზოგადებული ამონახსნი მიღებულია ისევე როგორც

ჰიდროდინამიკაში რეოლოგიური სითხეებისთვის. ნაჩვენებია, რომ კედლის

109

არაიზოთერმულობა არ ახდენს გავლენას ამოცანის მჰდ კრიტერიუმების

კავშირის კანონზე, რომელიც ინარჩუნებს ამ კავშირს მილებისა და არხების

შესასვლელ ადგილებში და ბრტყელ ჩაძირულ ჭავლში. ამავე დროს

სასაზღვრო ფენის გამოკვლევა გარსდენისა და სითბოცვლის ამოცანებში

მხოლოდ საწყის ეტაპზეა. არსებობს რამდენიმე ნაშრომი, რომელიც ეხება

დინამიკური სასაზღვრო ფენის ავტომოდელურ ამოცანებს. თუმცა აქამდე

არ დამდგარა და არ გამოკვლეულა საკითხი სტაციონარული და

არასტაციონარული არასასაზღვრო ფენის შესაძლო ავტომოდელური

ამოცანების შესახებ. იძულებითი, ერთობლივი (თავისუფალი და

იძულებითი), ასევე თავისუფალი კონვექციის შემთხვევებში.

აქამდე არ განხილულა არანიუტონისეული სითხეებით ფოროვანი

სხეულების გარსდენა, თუ არის განხილული ძალიან ცოტაა ზუსტი

ამონახსნები და თითქმის ყველა არ ასახავს ამოცანის არაწრფივობის

სპეციფიკას. ავტორმა ამ საკითხებს დაუთმო დიდი ყურადღება.

ნაშრომში დაწვრილებითაა გამოკვლეული სასაზღვრო ფენის

ავტომოდელური ამოცანების კლასი და ზოგიერთი მათგანი ამოხსნილია

ანალიზურად. ნაჩვენებია ზუსტი რიცხვითი ამოხსნები ფსევდოპლასტიკური

სითხის ორგანზომილებიანი სასაზღვრო ფენის რიგი ავტომოდელური

ამოცანებისა, რომლებიც მიღებული იქნა ადრე ცდის მეთოდით.

ნაპოვნი ზუსტი ამონახსნები, ჩვენი აზრით, წარმოადგენენ

დამოუკიდებელ თეორიული და გამოყენებით ინტერესს. მათი გამოყენება

შესაძლებელია ასევე გამოთვლის მიახლოებითი მეთოდების აგებისთვის და

მიღებული მათემატიკური და ფიზიკური დაშვებების შემოწმებისთვის.

ნაშრომში გადმოცემულია ასევე ხარისხოვანი სითხეების სასაზღვრო

ფენის დინამიკური და სითბური ამოცანების ამოხსნის ახალი მეთოდები.

დასკვნით თავში გაკეთებულია არანიუტონისეულ სითხეებში

სითბოგადატანის განტოლებათა სისტემის ზოგადი სახით აგების ცდა.

განხილულია სასაზღვრო ფენში კონვექციური სითბოცვლის

ავტომოდელური ამოცანა, სითბოგამტარებლობისა და სიბლანტის ძვრის

სიჩქარეზე დამოკიდებულების გათვალისწინებით.

110

გამოყენებული ლიტერატურა

1. Ostwald W. Kolloidzeirschriff, 38, 261, 1926. 2. Reiner M. Deformation and Flow. Lewis LTD. 1949. 3. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.-Л., Физматгиз. 1962. 4. Шлиятинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Изд-во иностранной

литературы. 1956. 528 с. 5. Астрита Д.Ж., Марруччи Д.Ж. Основы гидромеханики неньютоновских

жидкостей. Пер. с англ., М., 1978. 6. Грановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несдимаемых

сред. М.: Фитматгиз, 1970. 379 с. 7. Сибиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987. 592 с. 8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. И., Гостехиздат, 1957. 9. Беннет К.О., Майерс Дж.У. Гидродинамика, теплообмен и массобмен. М.:

Недра, 1966. 725 с. 10. Рейнер М. Реология. Пер. с англ. М., 1965. 11. Регирер С.А. Неустановившиеся течение электропроводной жидкости в

присутствии магнитного поля. Инж. физ. ж., 1959, т. 2, № 8. с. 43-50. 12. Боев А.Г. Автомодельные решения нестационарных уравнений плоского

ламинарного магнитогидродинамического пограничного слоя. ТМТФ, № 1. 1966. 15-20.

13. Карякин Ю.Е. Автомодельные задачи пространственного подраничного слоя. Труды ЛПИ, 1965, 248. 74-81.

14. Шарикадзе Д.В. О приближенном решении некоторых автомодельных задач гидродинамики. Совместное заседание семинара им. И.Г. Петровского и Моск. мат. оьщества. 18-21 января 1981.

15. Hansen A.G. Nrans. ASME. Octomber, 1553, 1958. 16. Шарикадзе Д.В. О решениях автомодельных задач пограничного слоя

проводящей жидкости. Доклады расширенных заседании семинара ИПМ им. И.Н. Векуа, Тбилисского ун-та, 1986. Инг. Н2, 131-134.

17. Шарикадзе Д.В., Еззат М.А. Об автомодельной задаче струйного течения проводящей степенной жидкости. Труды Тбилисского ун-та. Серия Математики, механики и астрономии. 1988, 278, 246-254.

18. Acrivos A., Shah M.J., Petefrsen E.E., Aiche J., 6, 332, 1960. 19. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. Перевод с англ. Изд-во

«Мир». 1964. 20. Китанин Э.Л. Пространственный пограничный слой проводящей жидкости

влоль линии пересечения двух поверхностей с электромагнитном поле. Магнитная гидродинамика. 1965, 1, 37-42.

21. Шульман З.П. ИФЖ. IV, № 8, 11. 1961. 22. Rossow V.J. ZAMP 96, Fasc 5/6. 1968. 23. Добрышман Е.М. ПММ, 20, 3. 1956.

111

24. Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. М.: Физматгиз. 1970. 379 с.

25. Бритов Н.А. Двухмерные МГД течения в сильных магнитных полях. Магнитная гидродинамика, 3, 1979, 10-16. 40.

26. Долидзе Д.Е. Некоторые вопросы нестационарного течения вязкой жидкости. Тбилиси. Изд. АН Гр. ССР. 1960, 332 с.

27. Швец М.Е. Прикладная математика и механика. XIII, № 3. 1949. 28. Хелми К.А. Приближенный метод решения нестационарного

пограничного слоя неньютоновской проводящей жидкости. Труды ТГУ 278. Серия Математика, Механика, Астрономия 24. 1988. с. 200-206.

29. Азмаипарашвили Л.Г., Шарикадзе Д.В. Очисленном решении одной нестациональной задачи магнитной гидродинамики. Труды ТГУ. Серия Математика, Механика, Астрономии. 1987, 270, 154-161.

30. Кереселидзе З.А., Шарикадзе Д.В. Расчет пограничного слоя у пористой пластины с переменным отсосом в магнитном поле. МГ, 1974, 2. 138-140.

31. Цинобер А.Б., Шербинин Э.В. О некоторых свойствах МГД пограничного слоя на пластинке. Магнитная гидродинамика, 1968, 3, 34-42.

32. Цуцкиридзе В.Н. Пульсационное течение вязкой несжимаемой проводящей жидкости в магнитном поле с учетом теплопередачи (на груз. языке). кандидатская диссертация. Тбилисский Гос. ун-тет. 1994.

33. Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитная гидродинамика. 3, 1966. 34. Цинобер А.Б. МГД Обтекание тел. Рига. Зинатне. 1970. 291 с. 35. Шарикадзе Д.В. Об одной нестационарной задаче магнитной

гидродинамики. ДАН СССР, 1961. 138. № 3. 568-571. 36. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. М., ГИТТЛ,

1951. 37. Шарикадзе Д.В. Магнитногидродинамическое обтекание плоской

пластины. Конф. по физике плазмы и ее применению. Будапешт, 1969. 38. Шарикадзе Д.В. Об одной решении уравнения нестационарного движения

слабопроводящей жидкости. Труды Тбилисского ун-та. 1(137), А, 1971. 131-135.

39. Шарикадзе Д.В. О некоторых решениях задач движения вязкой жидкости области критической точки. Труды Тбилисского ун-та. серия Математика, Механика, Астрономия. 218, 1981. 87-105.

40. შარიქაძე ჯ., ციცქიშვილი ზ., კეკენაძე მ. პარალელურ ფოროვან კედლებს შორის ბლანტი უკუმში სუსტადგამტარი სითხის არასტაციონარული მოძრაობა სითბოგადაცემის გათვალისწინებით. სამეც. ტექნ. ჟურნ. „მშენებლობა“. № 4(31). 2013. გვ. 12–20.

41. შარიქაძე ჯ., კეკენაძე მ. არანიუტონისეული გამტარი სითხის სასაზღვრო ფენაში მოძრაობის ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნის ინტეგრალური მეთოდი. სამეც. ტექნ. ჟურნ. „მშენებლობა“. № 2(33). 2014. გვ. 35–40.

42. შარიქაძე ჯ., ციცქიშვილი ზ., კეკენაძე მ. სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონალური თავისუფალი კონვექციის ამოცანის

112

მიახლოებითი ამოხსნა. სამეც. ტექნ. ჟურნ. „მშენებლობა“. № 4(35). 2014. გვ. 69–74.

43. Станюкович К.П. Неустановивщиеся движение сплошной среды. М.: ГИТТЛ. 1955.

44. Джумкулов Т. Магнитная гидродинамика. 1969. № 3. 134-137. 45. Шульман З.П., Берковский Б.М. Пограничный слой неньютоновских

жидкосткй. Минск, 1966. 46. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: «Наука». 1978. 47. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: «Мир». 1974. 320 с. 48. Джалурия Й. Естественная конвекция. Тепло и массообмен. М.: Мир, 1983.

399 с. 49. Эккерт Э.Р., Дрейк Р.М. Теоряи тепло-массообмена. М.-Л., Госэнергоиздат,

1961. 50. L. Jikidze, B. Tsutskiridze. Appriximate method for solving unsteady rotation

problem on porous plate in the conducting fluid with account heat transfer in case of variable electroconductivity. Several problems of applied mathematics and mechanics. Series: Mathematics Research Developments (e-book), New York, 2013, p. 157-164.

51. Рейнер М. Реология. Пер. с англ. М., 1965. 52. Шульман З.П. Беседы о реофизике. Минск, 1976. 53. კეკენაძე მ., ციცქიშვილი ზ. არანიუტონისეული გამტარი სითხის

ავტომოდელური ამოცანების შესახებ სითბოგადაცემის გათვალისწინებით. Georgian Engineering News. № 4. 2015.

54. Reiner M. Deformation and Flow. Lewis LTD, 1949. 55. Баренблатт Г.И. ПММ, 16, вып.6. 1952. 56. Баренблатт Г.И. ПММ, 17, вып. 4, 1954. 57. Oldroyd J.G. Rheology. Academie Press, New York-London. 1956. 58. Шарикадзе Д.В. Один класс точных решений уравнений магнитной

гидродинамики. ПММ, 1959, 23, № 5, 953. 59. Шарикадзе Д.В. О некоторых точных решениях нестационарных уравнений

вязкой проводящей жидкости. Труды Тбилисского ун-та. Серия Математика, Механика и Астрологии, 1982, 232-233, 272-279.

60. Шарикадзе Д.В. О некоторых автомодельных задачах вязкой несжимаемой жидкости. Труды Тбилисского ун-та. Серия Математика, Механика и Астрологии, 1984, 252, 204-221.

61. Саундалгекар В.М., Витнесам Н.В. Теплоперенос при МГД обтеканий полубесконечной пластины с осцелирующей температурной поверхности. Магнитная гидродинамика, 1983. 3. 36-40.

62. Ерошенко В.М., Зайчик А.И. Гидродинамика и тепломассообмен на проницаемых поверхностях. М.: Наука, 1984, 274 с.

63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплощных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

64. Acrivos J. Aerospace. Sci., 27, 314, 1960.

113

65. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. М., «Энергия», 1975. 352 с.

66. Торнер Р.В. Коллоидный журнал. 22, № 5, 1960. 67. Hansen A.G. Similazity Analysi’s of Boyndary – Velue Problems in Engineering

Prentice – Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964. 68. S.H. De Young, G.F. Sheele. AICHE Jorn. 16.5.1970. 69. C. Tien. Appl – Sci. Res. 233. 1967. 70. K. Sharmak, M. Adelman. Canad. Jorn. Chem. Eng. № 4.1966. 71. A.S. Gupta. ZAMP. 13, 324. 1962. 72. G. Wilks and R. Hunt. ZAMP. 35. 34. 1983. 73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., «Наука». 1986. 74. L. Jikidze, B. Tsutskiridze. Unsteady rotation problem on infinite porous plate

in the conducting fluid with account mahnetic field and heat transfer in case of variable electric conductivity and injection velocity. Technical University of Georgia. Transactions. 2014, № 3(493).

75. Шулман З.П., Байков В.И., Зальцгендлер Э.А. Тепло- и массообмен при свободной конвекции в неньютоновских жидкостях. Минск, 1975, 136 с.

76. შარიქაძე ჯ., ციცქიშვილი ზ., კეკენაძე მ. არანიუტონისეული სუსტად გამტარი სითხის დინება სასაზღვრო ფენაში. საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამეცნიერო შრომების კრებული № 3(497). 2015.

77. კეკენაძე მ. დინამიკური სასაზღვრო ფენის სისქის განსაზღვრის ზოგიერთი კერძო შემთხვევა სუსტადგამტარი ხარისხოვანი სითხის არასტაციონარული თავისუფალი კონვექციის დროს. საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სტუდენტთა 83–ე ღია საერთაშორისო სამეცნიერო კონფერენცია. თბილისი. 2015.

114