Άσκηση 2.41

Ένα σωματίδιο κινείται σε ένα πεδίο δυνάμεων και η ορμή του για τυχόν δίνεται από τη σχέση . Βρείτε την .

Λύση

Είναι

.

Άσκηση 2.42

Ένα σωματίδιο με μάζα κινείται κάτω από την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων κατά μήκος της έλλειψης . Αν είναι η ορμή, δείξτε ότι (α)

, (β) .

Λύση

(α)

Η ταχύτητα του σωματιδίου είναι . Άρα

.

(β)

.

Άσκηση 2.49

Η δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα σωματίδιο μάζα δίνεται ως συνάρτηση του χρόνου από την . Αν το σωματίδιο βρίσκεται αρχικά στην αρχή των αξόνων και ηρεμεί, βρείτε (α) τη θέση του και (β) την ταχύτητά του για οποιαδήποτε άλλη στιγμή.

Λύση

(β)

Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα είναι

και

επειδή προκύπτει τελικά .

(α)

Είναι

και επειδή προκύπτει τελικά

.

**Άσκηση 2.55**

Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται κάτω από την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων . Αν το σωματίδιο αρχικά είναι στην αρχή των αξόνων και

ηρεμεί, δείξτε ότι το έργο που παράγεται πάνω στο σωματίδιο μέχρι το χρόνο είναι

.

Λύση

Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε

. Επειδή όμως

άρα . Συνεπώς το

στοιχειώδες έργο γράφεται

άρα το ολικό έργο που παράγεται στο σωματίδιο μέχρι το χρόνο

είναι .

Άσκηση 2.56

Δείξτε ότι η στιγμιαία ισχύς που δίνεται στο σωμάτιο του Προβλ. 2.55 είναι

.

Λύση

Η στιγμιαία ισχύς είναι .

**Άσκηση 2.60**

(α) Βρείτε τις σταθερές ώστε το πεδίο δυνάμεων

να είναι συντηρητικό. (β) Ποιο είναι το δυναμικό που αντιστοιχεί σε αυτό το πεδίο δυνάμεων;

Λύση

(α)Για να είναι διατηρητικό το πεδίο , πρέπει ο στροβιλισμός του να ισούται με το μηδέν. Άρα

και επειδή τα μοναδιαία διανύσματα συνιστούν βάση και είναι γραμμικά ανεξάρτητα, για να ισχύει η προηγούμενη σχέση πρέπει οι

αντίστοιχοι συντελεστές τους να είναι ίσοι με το μηδέν. Άρα .

(β)Επειδή το πεδίο δυνάμεων είναι διατηρητικό, υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού τέτοια ώστε

. Άρα

. Παραγωγίζοντας τη σχέση μερικώς ως προς έχουμε και επειδή

προκύπτει ότι . Έτσι η

γίνεται . Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή

μερικώς ως προς έχουμε και επειδή

προκύπτει ότι . Έτσι τελικά έχουμε ότι

. Η σταθερά αφορά τη στάθμη μηδενικής

δυναμικής ενέργειας και μπορεί να οριστεί αυθαίρετα.

**Άσκηση 2.65**

(α) Δείξτε ότι το πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό.

(β) Γράψτε τη δυναμική ενέργεια ενός σωματιδίου που κινείται μέσα στο πεδίο δυνάμεων του μέρους (α).

(γ) Αν ένα σωματίδιο με μάζα κινείται με ταχύτητα μέσα σε αυτό το πεδίο,

δείξτε ότι , όπου είναι η σταθερή ολική ενέργεια. Ποια

σπουδαία φυσική αρχή μας εξηγεί αυτό;

Λύση

(α) Αρκεί να δείξουμε ότι .Κάνουμε χρήση της διανυσματικής ταυτότητας , όπου βαθμωτή και διανυσματική συνάρτηση, θέτοντας και .Είναι λοιπόν . (1)Κάνοντας τις πράξεις έχουμε .Χρησιμοποιούμε επίσης τη διανυσματική ταυτότητα . Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι και , άρα .Τότε η (1)

,άρα το πεδίο είναι συντηρητικό.

(β) Είναι , όπου η δυναμική ενέργεια του συστήματος. Έχουμε λοιπόν

. Επομένως

Άρα η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι

, όπου .

(γ) Αρκεί να δείξουμε ότι η παράγωγος του αριστερού μέλους είναι μηδέν.Έχουμε λοιπόν

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε την παράσταση με ,οπότε έχουμε:

Όμως

από το 2ο νόμο του Newton και από τα δεδομένα της

άσκησης.

Επομένως .

Άρα τελικά ,όπου σταθερά.

Παρατηρούμε ότι η παράσταση ισούται με την κινητική ενέργεια του

συστήματος σε κάποια χρονική στιγμή, ενώ η παράσταση ισούται με τη

δυναμική του ενέργεια, όπως προέκυψε στο ερώτημα (β) ,επιλέγοντας αυθαίρετα τη σταθερά ίση με το 0.Αποδεικνύοντας ότι το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας κάθε χρονική στιγμή είναι σταθερό, αποδείξαμε την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας σε διατηρητικά πεδία.

Άσκηση 2.66

Ένα σωματίδιο μάζας 4m κινείται μέσα στο πεδίο δυνάμεων . (α)

Δείξτε ότι το πεδίο είναι συντηρητικό και βρείτε τη δυναμική ενέργεια. (β) Αν το σωματίδιο αρχίζει από το με ταχύτητα , ποια είναι η ταχύτητά του στο

;

Λύση

(α)Με τη βοήθεια της ταυτότητας όπου διανυσματική και βαθμωτή συνάρτηση αντίστοιχα, υπολογίζουμε το στροβιλισμό του

πεδίου . Είναι . Όμως

και σύμφωνα με ταυτότητα του διανυσματικού λογισμού είναι οπότε έχουμε ότι , άρα το πεδίο είναι διατηρητικό. Υπάρχει λοιπόν βαθμωτή συνάρτηση τέτοια ώστε . Το πεδίο δυνάμεων

γράφεται οπότε

. Θέτοντας το

ολοκλήρωμα γράφεται

από όπου προκύπτει .

Εργαζόμενοι ανάλογα και για τις σχέσεις , καταλήγουμε στο

ότι οπότε .

(β)Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για τα σημεία και

έχουμε .

Άσκηση 2.67

Ένα σωματίδιο με μάζα ίση με τη μονάδα κινείται μέσα στο πεδίο δυνάμεων , όπου είναι ο χρόνος. (α) Βρείτε τη

μεταβολή στην ορμή του σωματιδίου από τη στιγμή έως την . (β) Αν η ταχύτητα του σωματιδίου για είναι , ποια είναι η ταχύτητά του για ;

Λύση

(α)Η μεταβολή της ορμής του σωματιδίου ισούται με την ώθηση της δύναμης κατά το χρονικό διάστημα . Είναι δηλαδή

.

(β)Είναι

.

Άσκηση 2.69

Ένα σωματίδιο κινείται σε ένα πεδίο δυνάμεων που δίνεται από την . Δείξτε ότι η στροφορμή του σωματιδίου ως προς την αρχή των αξόνων είναι σταθερή.

Λύση

Η ροπή της δύναμης είναι , όπου είναι το διάνυσμα

θέσης. Άρα εφόσον , η στροφορμή του σωματιδίου ως προς την αρχή των

αξόνων είναι σταθερή.

Άσκηση 2.75

Το δυναμικό ενός σωματιδίου που κινείται στο επίπεδο είναι . (α) Δείξτε ότι υπάρχει ένα και μόνο ένα σημείο όπου

το σωματίδιο μπορεί να είναι σε ισορροπία και (β) βρείτε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου.

Λύση

(α)

Η συνθήκη ισορροπίας είναι η και επειδή τα

μοναδιαία διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα πρέπει . Η

ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων αυτού του γραμμικού συστήματος είναι

που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μία και μοναδική λύση.

Άρα υπάρχει ένα και μόνο ένα σημείο όπου το σωματίδιο μπορεί να ισορροπήσει.

(β)Ο κανόνας του δίνει για τη λύση του συστήματος

και . Άρα το μοναδικό σημείο

ισορροπίας είναι το .

Άσκηση 2.76

Δείξτε ότι ένα σωματίδιο που κινείται μέσα στο πεδίο δυνάμεων με δυναμικό μπορεί να παραμένει σε ισορροπία

σε άπειρα σημεία και βρείτε αυτά τα σημεία.

Λύση

Από τη συνθήκη ισορροπίας και

επειδή τα μοναδιαία διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα πρέπει

. Το σύστημα είναι αόριστο και οι άπειρες λύσεις του

αντιπροσωπεύουν τα σημεία του επιπέδου .

Άσκηση 2.77

Ένα σωματίδιο κινείται πάνω στον άξονα μέσα σε ένα πεδίο δυνάμεων που έχει δυναμικό . (α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και (β) εξετάστε αν είναι σημεία ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας.

(α) Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη

είναι τα σημεία ισορροπίας του σωματιδίου πάνω στον άξονα .

(β) Κατασκευάζοντας τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι στο σημείο έχουμε τοπικό μέγιστο και στο σημείο τοπικό ελάχιστο. Άρα το είναι σημείο ασταθούς ισορροπίας και το είναι σημείο

ευσταθούς ισορροπίας. Διαφορετικά μπορούμε να εξετάσουμε τα σημεία κάνοντας χρήση του κριτηρίου της 2ας παραγώγου.

Άσκηση 2.81

(α) Δείξτε ότι η είναι ένα συντηρητικό πεδίο δυνάμεων. (β) Βρείτε το δυναμικό που αντιστοιχεί στην . (γ) Βρείτε το έργο που παράγεται κατά τη μετακίνηση ενός σωματιδίου από το σημείο

στο .

Λύση

(α)

Υπολογίζουμε το στροβιλισμό του πεδίου δυνάμεων. Είναι

άρα το πεδίο δυνάμεων είναι

συντηρητικό.

(β)Εφόσον το πεδίο είναι συντηρητικό, υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση τέτοια ώστε . Άρα

.

Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή ως προς έχουμε και επειδή

προκύπτει ότι και έτσι έχουμε ότι

και παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή ως προς

έχουμε και επειδή προκύπτει ότι

. Είναι λοιπόν τελικά .

(γ) Το έργο για το συντηρητικό πεδίο μπορεί να γραφεί

.

Άσκηση 2.87

Η ισχύς που εφαρμόζεται σε ένα σωματίδιο από ένα πεδίο δυνάμεων ως συνάρτηση του χρόνου είναι . Βρείτε το έργο που παράγεται κατά την κίνηση του σωματιδίου από το σημείο όπου στο σημείο όπου .

Λύση

Είναι .

** Άσκηση 2.88 **

Μπορεί η ροπή της δύναμης που ασκείται πάνω σε ένα σωματίδιο να είναι μηδέν χωρίς η δύναμη να είναι μηδέν;

ΛύσηΓνωρίζουμε ότι η ροπή δύναμης που βρίσκεται σε απόσταση από τον άξονα περιστροφής είναι .Όταν, επομένως, η ροπή είναι μηδέν, έχουμε ή ή , παράλληλα. Άρα δεν είναι απαραίτητο η δύναμη να είναι μηδέν.

**Άσκηση 2.92**

Η στροφορμή ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου είναι

Βρείτε τη ροπή της δύναμης τη στιγμή .

Λύση

Γνωρίζοντας πως , με τη ροπή δυνάμεως, έχουμε πως

. Την θα είναι .

Άσκηση 2.93

Βρείτε τη σταθερή δύναμη που χρειάζεται για να δώσει σε ένα αντικείμενο μάζας

ταχύτητα σε μετά την εκκίνηση από την ηρεμία.

Λύση

Εφόσον η δύναμη είναι σταθερή, επίσης σταθερή είναι και η επιτάχυνση του

σώματος, άρα μπορούμε να γράψουμε το 2ο νόμο του Νεύτωνα

.

Άσκηση 2.100

Ένα σωματίδιο με μάζα ίση προς τη μονάδα κινείται πάνω στον άξονα κάτω από την επίδραση ενός πεδίου δυνάμεων που έχει δυναμικό . (α) Δείξτε ότι το είναι ένα σημείο ευσταθούς ισορροπίας. (β) Δείξτε ότι, αν η μάζα μετατοπιστεί λίγο από τη θέση ισορροπίας, θα ταλαντεύεται γύρω από αυτή με

περίοδο ίση προς .

Λύση

(α)

Για τα σημεία ισορροπίας θα ισχύει από όπου έχουμε

. Επειδή , στο η συνάρτηση δυναμικής

ενέργειας παρουσιάζει ελάχιστο. Άρα το είναι σημείο ευσταθούς ισορροπίας.

(β)Αν η μάζα μετατοπιστεί λίγο από το , θα δεχθεί δύναμη επαναφοράς προς το σημείο αυτό (ευσταθής ισορροπία). Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα για την τυχαία θέση

έχουμε και επειδή

η προηγούμενη σχέση γράφεται . Η εξίσωση

αυτή περιγράφει απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από το σημείο με

. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι .

Το συμπέρασμα ότι η μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μπορεί να εξαχθεί και από το διάγραμμα της δυναμικής ενέργειας .

Για κάποια δεδομένη τιμή της ολικής ενέργειας που θα δοθεί αρχικά στο σύστημα, η μάζα μπορεί να κινηθεί μόνο ανάμεσα στα σημεία τομής της με τη (ακραία σημεία). Η κινητική ενέργεια

λαμβάνει αρνητικές τιμές έξω από τα σημεία αυτά και στα πλαίσια της κλασσικής μηχανικής η μάζα δε μπορεί να κινηθεί στις περιοχές αυτές. Στο σημείο ,όπου η συνάρτηση

παρουσιάζει ολικό ακρότατο, είναι . Το σημείο αυτό είναι η θέση ισορροπίας της κινούμενης μάζας. Σε κάθε άλλο σημείο της

καμπύλης η κλίση είναι μη μηδενική και έτσι με βάση την ασκείται στη μάζα μη μηδενική δύναμη, προς τη θέση ισορροπίας λόγω του σημείου . Στα ακραία σημεία όπου είναι , η μάζα ακινητοποιείται στιγμιαία και αντιστρέφεται η φορά κίνησής της. Έτσι η μάζα εκτελεί ταλάντωση μεταξύ των ακραίων σημείων.

Άσκηση 2.111

Ένα σωματίδιο με μάζα κινείται μέσα στο πεδίο δυνάμεων

. Αν αυτό έχει ταχύτητα στο σημείο

ποια είναι η ταχύτητά του στο ;

Λύση

Υπολογίζοντας τον στροβιλισμό του πεδίου , , ο τελευταίος

προκύπτει ίσος με το μηδέν. Συνεπώς το πεδίο είναι συντηρητικό και υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση τέτοια ώστε . Άρα

. Παραγωγίζοντας τη

σχέση αυτή ως προς έχουμε και επειδή

προκύπτει ότι και έτσι έχουμε ότι

και παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή ως προς έχουμε και επειδή

προκύπτει ότι . Είναι λοιπόν τελικά

.

Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχουμε

.

** Άσκηση 2.114 **

Αποδείξτε ότι σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι

όπου είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις κατευθύνσεις που αυξάνουν τα και αντίστοιχα.

Λύση

Έστω (1) όπου τα πρέπει να προσδιοριστούν. Επειδή και

, έχουμε .

Παραγωγίζοντάς την ως προς παίρνουμε, και , οπότε το μοναδιαίο

θα είναι

(2)

και , οπότε το μοναδιαίο θα είναι,

(3) (4)

Λύνοντας τις (2), (3) ως προς έχουμε,

Επειδή έχουμε,

(5)

Τώρα,

Από τις σχέσεις (1),(5) έχουμε,

Απ’ όπου

Άρα η (1) γίνεται, .

Άσκηση 2.115

Αποδείξτε ότι σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι

όπου είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις κατευθύνσεις που αυξάνουν τα και αντίστοιχα.

Λύση

Έστω (1) όπου τα πρέπει να προσδιοριστούν. Επειδή και

έχουμε,

Παραγωγίζοντάς την ως προς παίρνουμε, και ,

οπότε το μοναδιαίο θα είναι, (2)

και , οπότε το μοναδιαίο θα

είναι,

(3)

και

(4)Λύνοντας τις (2), (3), (4) ως προς έχουμε,

Επειδή έχουμε, (5)

Τώρα,

Από τις σχέσεις (1),(5) έχουμε,

Απ’ όπου

Άρα η (1) γίνεται, .