.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fazni prijelazi« Fizika čvrstog stanja »

Ivo Batistić

Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu

predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 11. ožujka 2015.)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Pregled predavanja

Fluktuacije oko faznog prijelaza

Landauova teorija faznih prijelaza

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

Ginzburg-Landauova teorija

Spinski modeli

Isingov model u 1d

Ekvivalencija/sličnost između GL modela i Isingovog modela utransverzalnom polju

Aproksimacija srednjeg polja

Topološki fazni prijelaz

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fazni prijelazi

▶ Promjenom vanjskih uvjeta (npr. temperatura, tlak, magnetskopolje) tvari mijenjaju stanje u kojem se nalaze.

▶ Promjena stanja podrazumijeva promjenu simetrije:Na višim temperaturama sustav ima veću simetriju i većuentropiju od one na nižim temperaturama. (postoje izuzetci!)

▶ Postoje dva različita pristupa proučavanju faznih transformacija:• Pristup blizak fizici kondenzirane tvari:Istražuje se mikroskopska priroda fazne promjene - zašto dofaznog prijelaza dolazi?

• Pristup bliži statističkoj fizici:Istražuje se kompleksnost pojave faznog prijelaza.

Fazni prijelazi su složeni procesi. Međutim, složenost procesa je vrloslična u svim sustavima u kojima se događaju.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Stanje razbijene simetrije

Uređena faza na niskim temperaturama predstavlja jedno odmogućih stanja sustava.

Na temperaturama ispod faznog prijelaza:▶ …postoji konačno ili beskonačno potpuno ekvivalentnihmogućih stanja u kojima se sustav može nalaziti.

▶ Sustav se opredjelio da bude u samo jednom od tih stanja.

▶ Simetrija sustava mogla bi se povratiti ako bi sustav nekimprocesom vremenski evoluirao iz jednog mogućeg stanja udrugo.

▶ Međutim, vrijeme potrebno da bi se takav proces dogodio jebeskonačno veliko.

▶ Kažemo da je to stanje razbijene simetrije.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fluktuacije oko faznogprijelaza

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Područje temperatura oko faznog prijelazaU području temperatura oko faznog prijelaza pojavljuju se jakefluktuacije oko ravnotežne faze.

▶ Fluktuacije se pobuđena stanja sustava.▶ Pobuđenja mogu biti mali poremećaji oko ravnotežne faze.(uvijek postoje za T > 0)

▶ Fluktuacije mogu biti i male domene novog ravnotežnog stanjakoje se pojavljuje s druge strane faznog prijelaza.

▶ Fluktuacija može biti i pojava druge energijski ekvivalentne fazerazbijene simetrije.

▶ Fazni prijelazi su karakteristični u tome da fluktuacije više nisumali poremećaji.

▶ Te domene nisu statičke, nego se pojavljuju i nestaju.▶ Prosječna veličina domena ovisi o blizini faznog prijelaza.▶ Što je sustav bliži faznom prijelazu to je veličina fluktuacijskihdomena veća.

Ovakvo prostorno nehomogeno stanje ima povišenu energiju zboggraničnog područja između različitih faza.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Rast fluktuacijskih domena s približavanjem faznomprijelazu

Prikaz pojave fluktuacijskih do-mena u blizini prijelaza. Do-mene nisu statičke nego se mi-jenjaju u vremenu: nastaju inestaju, te mijenjaju oblik, di-menziju i položaj. Što je sus-tav bliži faznom prijelazu veli-čina domena raste.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Smanjivanje fluktuacijskih domena s udaljavanjem odfaznog prijelaza

S druge strane faznog prije-laza imamo sličnu zrcalno si-metričnu situaciju. Veličina do-mena može se opisati karak-terističnom korelacijskom duži-nom, ξ(T) koja divergira nafaznom prijelazu.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Područje temperatura oko faznog prijelaza

▶ Veličinu fluktuacijskih domena možemo opisati karakterističnomkorelacijskom dužinom, ξ(T).

▶ Korelacijska dužina je temperaturno ovisna.▶ Na samom faznom prijelazu kada domene postaju makroskopskivelike, korelacijska dužina divergira:

ξ(T → Tc) ∼ |T− Tc|−ν → ∞

▶ Područje temperatura oko faznog prijelaza nazivamofluktuacijsko ili kritično područje.

▶ Fluktuacijsko područje ovisi o sustavu koji se promatra, može bititemperaturno jako usko (eksperimentalno se ne može opaziti) ilimože biti jako široko.

▶ Fluktuacije u blizini faznog prijelaza mogu potisnuti fazni prijelazna niže temperature.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznihprijelaza

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznih prijelaza

▶ Nisko-temperaturna faza slomljene simetrije karakterizirana jeveličinom koju zovemo parametar uređenja.

• U feromagnetskim sustavima parametar uređenja jemagnetizacija.

• U feroelektričnim sustavima to je polarizacija.• U strukturnim faznim prijelazima to je deformacija rešetke.• U supravodičima to je valna funkcija parova elektrona.

▶ Na temperaturama iznad faznog prijelaza parametar uređenja jejednak nuli, a na temperaturama ispod faznog prijelazaparametar uređenja je različit od nule.

▶ U Landauovoj teoriji parametar uređenja ne ovisi o prostoru: istije u cijelom sustava.

▶ Fluktuacije u blizini faznog prijelaza se zanemaruju.

Postoji poopćena Ginzburg-Landauova (GL) teorija, u kojoj sefluktuacije oko faznog prijelaza se uzimaju u obzir. U GL teorijiparametar uređenja je prostorno ovisna veličina.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Parametar uređenja

▶ Parametar uređenja može biti skalar (broj), kompleksni broj,vektor ili višedimenzionalni vektor.

▶ Broj komponenti parametra uređenja (dimenzionalnostparametra uređenja) označavamo s n.Za supravodiče valna funkcija je kompleksni broj pa je n = 2. Uferomagnetskim i feroelektričnim sustavima parametar uređenja jevektor, dakle n = 3.

▶ Sam sustav koji se promatra ima svoju dimenzionalnost kojuoznačavamo s d.Za 3d sustav d = 3. U lančastim 1d sustavima d = 1, a za površined = 2.

Fluktuacijsko područje ovisno je o dimenzionalnosti sustava idimenzionalnosti parametra uređenja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Slobodna energija u Landauovoj teoriji

Stanje sustava pri danoj temperaturi i volumenu dano je sminimumom slobodne energije F(T,V)(ili Gibbsove energije ako su temperatura i tlak zadani).

▶ Slobodna energija (ili Gibbsova energijom) ovise o parametruuređenja.

▶ Za temperatura oko faznog prijelaza može se pretpostaviti da jeparametar uređenja mali.

▶ Ako je parametar uređenja mali, slobodnu energija možemorazviti u Taylorov red po parametru uređenja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Slobodna energija u Landauovoj teoriji

Npr. u feroelektričnom kristalu slobodna energija se razvija popolarizaciji P:

F(T,V) = F0 + g1 |P|+1

2g2 |P|2 + . . .

Koeficijenti u razvoju ovise o simetriji kristala.▶ Linearni član je jednak nuli ako nema vanjskog polja, arazličit od nule ako električno polje postoji.

▶ I svi neparni članovi u razvoju jednaki nuli ako je kristalsimetričan na inverziju koordinata (r → −r).

Slobodna energija razvijena po parametru uređenja:

F(T,V) = F0 +1

2g2 P2 +

1

4g4 P4 +

1

6g6 P6 + . . .

(P = |P|)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Osnovno stanje u Landauovoj teoriji

Ravnotežna vrijednost polarizacije izlazi iz minimuma slobodneenergije:

∂F∂P

= 0 ⇒ P · (g2 + g4 P2 + g6 P4 + . . . ) = 0

⇒ g2 + g4 P2 + g6 P4 + · · · = 0 ili/i P = 0

▶ U blizini faznog prijelaza viši članovi u razvoju se moguzanemariti. (P je mali ili je jednak nuli)

▶ Neka je član g4 pozitivan!Da bi jednadžba imala rješenje različito od nule za T < Tc i jednakonuli za T > Tc, kvadratni član u razvoju treba mijenjati predznak natemperaturi prijelaza:

g2 = |a| · (T− Tc) =

{> 0 za T > Tc< 0 za T < Tc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Osnovno stanje u Landauovoj teoriji

Zanemarujući više članove u razvoju po P, dobiva se:

P =

0 za T > Tc

±√

|g2|g4 za T < Tc

odnosno za T < Tc:

P ∼

√|a|g4

(Tc − T) ∼ (Tc − T)β

U Landauovom modelu parametar uređenja ide u nulu na faznomprijelazu s kritičnim eksponentom β = 0.5.

Fluktuacije oko faznog prijelaza mogu modificirati vrijednost kritičnogeksponenta β!

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznih prijelaza

TC

Parametar uredjenja kao funkcija temperature Slobodna energija kao funkcija parametra uredjenjaT=T1 >Tc

T=Tc

T=T2 <Tc

T=T3 <T2 <Tc

Parametar uređenja kao funkcija tem-perature. Za temperature manje odTc, parametar uređenja je različit odnule. Kontinuirano se mijenja odP(T = Tc) = 0 prema nižim tempe-raturama.

Slobodna energija kao funkcija para-metra uređenja za četiri različite tem-perature. Na temperaturama većimili jednakom Tc slobodna energija imaminimum na P = 0, dok na tempe-raturama T < Tc, slobodna energijaimam minimum za P = 0. Minimumse kontinuirano pomiče od P = 0prema višim vrijednostima.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fazni prijelazi 2. reda

▶ Postoji uvijek samo jedan lokalni minimum u slobodnoj energiji.(Ili je P = 0 ili je P = 0).

▶ Parametar uređenja se kontinuirano mijenja od P = 0 na T = Tcna konačne vrijednosti za T < Tc.

▶ Ovo su karakteristike faznih prijelaza 2. reda.

▶ Za fazne prijelaze 2. reda, slobodna energija u razvoju poparametru uređenja

• ima kvadratični član koji mijenja predznak na temperaturi faznogprijelaza: g2 = a(T− Tc).

• te ima pozitivni kvartični član: g4 > 0.

▶ Slobodna energija ima skok u drugoj derivaciji po temperaturi.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Feromagnetizam u niklu

Landauova teorija se možeprimijeniti i na feromagne-tizam, supravodljivost, od-nosno ostale vrste faznih pri-jelaza.

Na slici je prikazana mag-netizacija u niklu kao funk-cija temperature. Puna li-nija predstavlja teorijsko pre-dviđanje (aproksimacija sred-njeg polja i Landauova te-orija), a kružići su izmjereneveličine. Iz rada P. Weiss iR. Forrer, Ann.Phys. (Paris)5 (1926) 153.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Procijep u elektronskom spektru u supravodičima

Supravodljivi (reducirani) procijep u elektronskom spektru kao funkcijareducirane temperature (T/TC) za In, Sn i Pb.

Posuđeno iz I. Giaever i K. Megerle, Phys. Rev. 122 (1961) 1101.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Polarizabilnost (linearni odgovor)

Ako se na sustav nametne vanjsko električno polje, slobodnu energijutreba nadopuniti dodatnim članom - vezanjem električnog polja ipolarizacije:

F(T,V) = F0 − EP+1

2g2 P2 +

1

4g4 P4 + . . .

U prisustvu električnog polja, polarizacija je različita od nule iproporcionalna polju:

P = αE

i na temperatura većim od Tc.Faktor proporcionalnosti, α, je polarizabilnost sustava.

Budući da je polarizacija, P, mala u razvoju slobodne energijemožemo zadržati samo članove najnižeg reda (linearni i kvadratični):

F(T,V) ≈ F0 − EP+1

2g2 P2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Polarizabilnost

Slobodna energija (za T ≥ Tc):

F(T,V) ≈ F0 − EP+1

2g2 P2

Iz uvjeta da slobodna energija ima minimum izlazi da je:

P =1

g2E ⇒ α(T) =

1

g2∼ (T− Tc)

−1 = (T− Tc)−γ

Polarizabilnost sustava divergira na temperaturi prijelaza. Eksponentdivergencije je jednak γ = 1. Slični izraz za polarizabilnost se dobiva iza T < Tc.

Fluktuacije oko faznog prijelaza mogu modificirati vrijednost kritičnogeksponenta γ!

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dielektrična funkcija u paraelektričnoj fazi

Dielektrična konstanta kao funkcija (T − Tc)−1 u paraelektričnoj fazi, T > Tc,

za nekoliko perovskitnih kristala u kojima postoji feroelektrični prijelaz.Iz rada G. Rupprecht i R.O. Bell, Phys.Rev. 135 (1964) A748.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dielektrična funkcija i fononska frekvencija

Do faznog prijelaza dolazikada frekvencija infracrvenoaktivnog fononskog pobuđe-nja ide u nulu.

Na slici su prikazani kvadrat ω2T za SrTiO3 dobiven iz neutronskih mjerenja

(posuđeno iz rada R.A. Cowley Phys.Rev. 134 (1964) A981) i dielektričnakonstanta iz mjerenja T. Mitsui i W.B. Westphal, Phys.Rev. 124 (1961) 1354.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Magnetska susceptibilnost nikla

Recipročna vrijednost mag-netske susceptibilnosti niklau području oko feromagnet-skog uređenja na T = 358oC.Crtkana linija je ekstrapolacijasusceptibilnosti iz područja vi-sokih temperatura. Iz rada P.Weiss i R. Forrer, Ann.Phys.(Paris) 5 (1926) 153.

Temperatura pravog faznog prijelaza je nešto manja od one koje predviđateorija srednjeg polja odnosno Landauova teorija. To se može pripisatifluktuacijama magnetizacije u području oko faznog prijelaza.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet

Entropija:

S = −(∂F∂T

)V= S0−P2

(∂g2∂T

)=

S0 za T > Tc

S0 − a2g4 (T− Tc) za T < Tc

Toplinski kapacitet:

Cp = T(∂S∂T

)p=

Cp0 za T > Tc

Cp0 +a2g4 T za T < Tc

Na temperaturi faznog prijelaza Cp ima skok u vrijednosti:

Cp(Tc + 0)− Cp(Tc − 0) = −a2

g4Tc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet

Tc

Toplinski kapacitet kao funkcija temperature

Na temperaturno ponašanje toplin-skog kapaciteta superponiran je diokoji dolazi zbog faznog prijelaza i kojiima skok na temperaturi prijelaza.

Fluktuacije oko faznog prijelaza modificiraju ponašanje toplinskog kapacitetapa se pojavljuje jedan dodatni divergentni član. Ovu je divergenciju čestoteško uočiti eksperimentalno.

CV ∼ |T− Tc|−α

U Landauovoj teoriji (i teorijama srednjeg polja) kritični eksponent α = 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet feromagneta

Toplinski kapacitet Pr0.6Sr0.4MnO3. Sustav prelazi u feromagnetsku fazu natemperaturama ispod 297 K.

Posuđeno iz rada Rößler at al., Phys. Rev. B 84 (2011) 184422.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Toplinski kapacitet tekućeg helija

Specifična toplina tekućeg helija oko λ-točke. Točka faznog prijelaza nazivase λ-točka zbog izgleda specifične topline u blizini prijelaza.

Posuđeno iz rada M.J. Buckingham i W.M. Fairbank, ”The Nature of theLambda Transition”, in Progress in Low Temperature Physics III, 1961.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznogprijelaza 1. reda

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. vrste

U razvoju slobodne energije po parametru uređenja pretpostavitćemo da je:

▶ kvartični član negativan!▶ Da bi sustav bio stabilan potrebno je uzeti u obzir i član 6-togreda. Uvjet stabilnosti zahtijeva da je g6 > 0.

Daljnje članove u razvoju zanemarujemo. Dakle:

F(T,V) = F0 +1

2g2 P2 +

1

4g4 P4 +

1

6g6 P6

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

S obzirom na veći broj članova u razvoju, slobodna energija energijamože imati složeno ponašanja kao funkcija parametra uređenja.

Slobodna energija kao funkcija parametra uredjenjaT=T1

T=Tc1

T=T2

T=Tc

T=Tc2

T=T3

▶ za T > Tc1 postoji samo jedanlokalni minimum: P = 0

▶ za Tc1 > T > Tc2 postoje dvalokalna minimuma, P = 0 i P = 0.P = 0 je globalni minimum.

▶ P = 0 postaje globalni minimumza T < Tc.

▶ Za T < Tc2 < Tc postoji samo jedanlokalni minimum P = 0.

Temperatura prijelaza je ona na kojoj oba lokalna minimuma imajuistu slobodnu energiju:

F(P = 0,Tc) = F(P = 0,Tc)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

Tc2 Tc Tc1

Parametar uredjenja kao funkcija temperature

▶ Postojanje dvaju minimuma u slobodnoj energiji implicira na mogućnostpostojanja dvaju prostorno razdvojenih faza.

▶ Temperaturni tretman sustava može dovesti do pojave histereze.Sustav se može naći u lokalnom minimumu (metastabilno stanje) kojinije globalni minimum (pothlađeno-pregrijano stanje).

▶ Parametar uređenja skokovito mijenja vrijednost.▶ Ove fazne prijelaze nazivamo faznim prijelazima 1. reda.▶ Slobodna energija ima skok u prvoj derivaciji.▶ Postoji latentna toplina

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Landauova teorija faznog prijelaza 1. reda

Primjeri:▶ Plin-tekućina je fazni prijelaz 1. reda.

▶ Tekućina-krutnina je fazni prijelaz 1. reda.(postoje neparni članovi u Landauovom razvoju!).

Misterij BCC: analizom prijelaza tekućine u različite kristalnerešetke, izlazi da prijelaz u BCC rešetku je najpovoljniji (imanajnižu temperaturu prijelaza).

▶ Tekući kristali: izotropno stanje-nematsko stanje prijelaz.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauova teorija

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauova teorijaU Ginzburg-Landauovoj teoriji se uzimaju u obzir prostorne varijacijeparametra uređenja. Uvodimo Ginzburg-Landauov funkcional:

f[P(r)] =1

V

∫dr

{g22P2(r) +

g44P4(r) + · · ·+ gr

2|∇rP|2

}Particijska funkcija:

Z =∑

različita stanja

e−βf[P(r)] =

∫DP e−βf[P(r)] = e−βF

DP označava integraciju po putovima (path integral), multidimenzionalnuintegraciju po polarizacijama u različitim prostornim točkama:∫

DP →∫

dP(r1) dP(r2)dP(r3) . . . dP(rN−1) dP(rN)

pri čemu je volumni integral u eksponentu diskretiziran:∫dr f(r) →

∑r=r1 ,r2,...,rN

∆V f(ri)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Teorija harmoničkih fluktuacija

Najveći doprinos integralu po putovima dolazi od onog stanja kojeminimizira funkcional slobodne energije:

δfδP(r)

= 0 ⇒ g2 P0 + g4 P30 + . . .︸ ︷︷ ︸

Landauova teorija

−∇2P0 = 0

U GL-teoriji uzimaju se u obzir i fluktuacije oko minimuma funkcionalaslobodne energije.Harmonička (Gaussova) aproksimacija:

▶ Promatraju se male fluktuacije oko minimuma: P(r) ≈ P0 + δP(r)▶ Funkcional slobodne energije se razvije do članova drugog redau fluktuacijama δP(r).

▶ Dobiveni funkcional je kvadratičan i jednostavno ga je izračunati.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Renormalizacijska grupa

Aproksimacija harmoničkih fluktuacija ne daje dobre rezultate usustavima male dimenzionalnosti (d < 4). Bolji rezultati se dobivaju izteorije renormalizacijske grupe.

Renormalizacijska grupa:▶ Služeći se izrazom za particijsku funkciju izintegriraju se

fluktuacije male valne dužine.▶ Kao rezultat se dobiva novi GL funkcional koji ima strukturu kaopočetni ali s renormaliziranim (promijenjenim) koeficijentima:

g⋆2 = g⋆2(g2, g3, gr, . . . )g⋆4 = g⋆4(g2, g3, gr, . . . )g⋆r = g⋆r (g2, g3, gr, . . . )

koji su funkcije starih koeficijenata.Istražujući svojstva dobivene transformacije dobivaju se rezultati boljiod onih u harmoničkoj aproksimaciji.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Nobelova nagrada 1982

Kenneth G. Wilson - Nobelova nagrada1982 za teoriju renormalizacijske grupei kritičnih pojava.

Renormalizacijska grupa služi i za is-traživanje jako koreliranih sustava u ko-jima račun smetnje nije dobar.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Spinski modeli

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Spinski modeli

Magnetsko uređenje prirodno je opisivati pomoću rešetke spinova.Smjer magnetizacije na nekom čvorištu zadan je sa spinskimoperatorom u toj točci prostora.

▶ Radi se o kvantnomehaničkom problemu u kojem postoje samospinski stupnjevi slobode.

▶ Spinsko/magnetsko uređenje nastaje kao rezultatmeđudjelovanja susjednih spinova.

▶ Postoji nekoliko različitih modela mađudjelovanja:

• Heisenbergov (izotropni) model: V12 = J12 S1 · S2

• Isingov model: V12 = J12 Sz1 · Sz

2

• XY-model: V12 = J12 (Sx1 · Sx

2 + Sy1 · S

y2)

• …

▶ Hamiltonijam može sadržavati i član s magnetskim poljem:

• Magnetsko polje: Hh = h · S = hz Sz

• Magnetsko polje u transverzalnom polju: Hh = hx Sx

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Spinski modeli

Spinski modeli su zanimljivi jer za neke od njih postoje egzaktnarješenja.

▶ Heisenbergov model u d=1: valna funkcija može se konstruiratipomoću Bethe ansatza.

▶ Isingov model u d=1 može se riješiti na više različitih načina.

▶ Isingov model u d=2 može se točno riješiti (L. Onsager,Phys.Rev. 65 (1944) 117)

▶ XY-model u d=1 može se riješiti pomoću Jordan–Wignerovetransformacije.

▶ …Postoje transformacije/procedure pomoću kojih se može pokazati dasu neki modeli međusobno ekvivalentni.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1d

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model

Promatra se sustav spinova (s = 12 ) na rešetci. Susjedni spinovi

međudjeluju:

E12 = 4Jσz,1σz,2 =

{+J za σz,1 = σz,2 = ± 1

2−J za σz,1 = −σz,2 = ± 1

2

gdje je σz z-projekcija spinskog operatora.

Hamiltonijan sustava spinova:

H = 2J∑i,δ

σi σi+δ

Particijska funkcija:

Z =∑

σ1=± 12

∑σ2=± 1

2

∑σ3=± 1

2

. . . e−β H = e−β F

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1dParticijska funkcija može se napisati:

Z = Tr[TN] (za periodične rubne uvjete)

gdje je

T(σ1, σ2) = e−4β Jσ1σ2 =

(e−βJ e+βJ

e+βJ e−βJ

)Pretpostavljamo da je J < 0. ⇒ Osnovno stanje je kada su svi spinovi uistom smjeru.Pobuđena stanja su stanja u kojima je dio spinova preokrenut. Neka je M brojveza koje razdvajaju dvije različite spinske faze.

▶ Energija takvog pobuđenja je E(M) = -N J + 2 MJ▶ Broj takvih pobuđenih stanja je:

g(M) =N!

M!(N−M)!

Tada je particijska funkcija:

Z =∑

M=0...N

g(M)e−βE(M) = [2 coshβJ]N

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1d

Ne postoji uređena faza u 1d Isingovom modelu na konačnojtemperaturi!.

Razlog tome su pobuđenja koja razbijaju dugodosežno uređenje.Proizvoljno mala koncentracija pobuđenja u jednoj dimenziji dovoljnaje da se dugodosežno uređenje uništi.

Korelacijska funkcijaKorelacijska funkcija dvaju spinova udaljenih za n konstanti rešetke:

⟨σiσi+n⟩ = 0.25 ⟨(−1)m⟩

gdje je m broj pobuđenja unutar područja između spina i i i+ n.

Korelacijsku funkciju (srednja vrijednost) može se izračunati služećise istom logikom kojom smo izračunali particijsku funkciju. Pri tometreba imati u vidu da je najveći broj pobuđenja unutar područjaizmeđu dvaju spinova jednak n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Isingov model u 1d

Dakle:

⟨σiσi+n⟩ = 0.25⟨(−1)m⟩ = 0.25

∑m=0...n

n!(n−m)!m! p

m(−1)m∑m=0...n

n!(n−m)!m! pm

= 0.25

(1− p1 + p

)n

= 0.25 e−n/ξ(T)

gdje je:p = e−2βJ

Odavde izlazi da je korelacijska dužina:

ξ(T) =[ln(1 + p1− p

)]−1

≈ 0.5 e2βJ −→ ∞ za T → 0.

divergira tek na apsolutnoj nuli.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2d Isingov model

Rezultati dobiveni točnim rješavanjem Isingovog modela za d=2.

Na temperaturama T < Tc dolazi do spinskog uređenja, gdje je:

Tc =2

ln(1 +√2)

JkB

= 2.269JkB

Kritični eksponenti:

α = 0 (logaritamska divergencija!)

β =1

8

γ =7

4ν = 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2d Isingov model

Specifična toplina Rb2CoF4, slojas-tog antiferomagnetskog sustava. Po-suđeno iz rada P. Nordblad at al.,Phys.Rev. B 28 (1983) 278.

Specifična toplina Isingovog modela.Isprekidana linija s točkama odgo-vara izotropnom 2d Isingovom mo-delu, puna linija je anizotropni Isingovmodel u kojem je J1 = 100J2, Crt-kana linija odgovara 1d Isingovommo-delu. Posuđeno iz rada L. Onsager,Phys.Rev. 65 (1944) 117.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ekvivalencija/sličnost između GL modela iIsingovog modela u transverzalnom polju

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d

GL funkcional slobodne energije:

F =

∫dx

[g2

2u2 +

g4

4u4 +

gx2

(dudx

)2]

▶ Ako se parametar uređenja u promatra kao klasična veličina, onda će ubiti konstantan u cijelom prostoru te će tako minimizirati i Landauovpotencijal i gradijentni član u funkcionalu F.

▶ Ako je u kvantnomehanička varijabla (pomak atoma npr.) tada jeenergijski povoljnije stanje u kojem parametar u oscilira između dvajujama.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d▶ Energijski spektar i valne funkcije

mogu se dobiti rješavanjemSchrödingerove jednadžbe upotencijalu s dvije jame kakav jeLandauov.

▶ Kao osnovno stanje dobiva sesimetrična kombinacija valnihfunkcija kada je parametar ulokaliziran u jednoj odnosnodrugoj jami.

Ako zanemarimo viša kvantna stanja, te se zadržimo samo na prva dva,kvantnomehanički problem gibanja čestice u dvostrukoj potencijalnoj jamimože se aproksimirati spinskim hamiltonijanom s dva stanja:

H =∆E2

(0 11 0

)=

∆E2

σx

gdje je ∆E = E1 − E0 cijepanje energija između pobuđenog i osnovnogstanja.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d

▶ Dobiveni hamiltonijan opisuje gibanje čestice (atoma) na jednomčvorištu (ili jednoj jediničnoj ćeliji).

▶ Hamiltonijan za cijelu rešetku je:

∆E2

∑i

σx,i (sumira se po čvorištima rešetke)

▶ U ovom hamiltonijanu nedostaje gradijentni član.Gradijentni član podiže energiju ako se čestice na susjednimčvorištima nalaze u različitim potencijalnim jamama, a ima minimalnuvrijednost ako su u istim potencijalnim jamama. Takav efekt uspinskom hamiltonijanu se postiže vezanjem kakvo postoji uIsingovom modelu u kojem je J < 0. Ono preferira da su svi spinovi uistom smjeru, u našem slučaju, sve čestice na rešetci u istoj jami.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ginzburg-Landauov model u 1d

Konačni spinski hamiltonijan:

H =

hx︷︸︸︷∆E2

∑i

σx,i + 2J∑i,δ

σz,iσz,i+δ

Postoji preslikavanje između kvantnomehaničkog GL funkcionala iIsingovog modela u transverzalnom polju.

Može se također pokazati da postoji preslikavanje između 1dIsingovog modela u transverzalnom polju i 2d klasičnog Isingovogmodela.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjegpolja

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjeg polja

▶ Međudjelovanje spinova ima efekt kao da se spin na nekomčvorištu nalazi u efektivnom polju koje stvaraju susjedni spinovi.

▶ U aproksimaciji srednjeg polja međudjelovanje spinovazamjenjuje se efektivnim srednjim poljem koji susjedni spinovistvaraju:

σiσj −→ σi σ + σ σj − σ σ + (σi − σ)(σj − σ)︸ ︷︷ ︸zanemaruje se

Dakle:

2J∑i,δ

σiσi+δ −→ HMFA = zJσ︸︷︷︸heff

∑i

σi −N2zJσ2

gdje je z broj prvih susjeda.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjeg poljaParticijska funkcija:

ZMFA = e−N βzJσ2/2 [2 coshβzJσ]N

Slobodna energija po čvorištu:

f =FN

=1

2zJσ2 − kBT ln [2 coshβzJσ]

Minimum slobodne energije (ravnotežno stanje):

∂f∂σ

= 0 ⇒ σ = tanhβzJσ

Dobivena je samosuglasna jednadžba za prosječnu vrijednostspina. Jednadžba ima rješenje:

σ =

≡ 0 za T > zJ/kB = Tc

= 0 za T < zJ/kB = Tc

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Aproksimacija srednjeg polja

Za temperature oko Tc, prosječna vrijednost spina, σ, je mala pa sefunkcija tanh može razviti u Taylorov red. Za T ≤ Tc:

σ =

(Tc

T

)σ − 1

3

(Tc

T

)3

σ3 + . . . ⇒

σ ≈ TTc

√3

(1− T

Tc

)∼

√Tc − T

Aproksimacija srednjeg polja ekvivalentna je Landauovoj teoriji.Fluktuacije su zanemarene.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Topološki fazni prijelaz

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Kosterlitz–Thoulessov prijelaz

▶ Radi se XY-model u 2d sustavu.▶ Ne postoji dugodosežno uređenjeza T > 0.

▶ ali postoji prijelaz na konačnojtemperaturi.

▶ To nije prijelaz koji razbija simetriju.▶ Topološki fazni prijelaz.

▶ Postoje dvije vrste virova/vrtloga koji se ponašaju kao nabijenečestice različitog naboja.

▶ Na temperaturama ispod faznog prijelaza dolazi do sparivanjavirova suprotnog naboja te njihove kondenzacije.

J.M. Kosterlitz & D.J. Thouless, J.Phys.C (Solid State Phys.) 6 (1973) 1181

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Kosterlitz–Thoulessov prijelaz

Na slici je prikazan skok u gustoći mase kao funkcija temperature prijelaza za2d He4 film na podlozi. Puna linija je predviđanje Kosterlitz–Thoulessoveteorije. Iz rada D.J. Bishop i J.D. Reppy, Phys.Rev.Lett. 40 (1978) 1727.

Na temperaturi prijelaza do-lazi skokovite promjene ugustoći mase supratekućihčestica pri čemu je:

ρs(na Tc) = 8πkB(mh

)2

︸ ︷︷ ︸ Tc

Faktor proporcionalnosti jeuniverzalna konstanta! Tem-peratura prijelaza je funkcijadebljine filma.