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Ilhéus . 2013

Física . Módulo 8 . Volume 2

Ana Paula Andrade

FÍSICA MODERNAPARTE II

Universidade Estadual de Santa Cruz

ReitoraProfª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro

Vice-reitorProf. Evandro Sena Freire

Pró-reitor de GraduaçãoProf. Elias Lins Guimarães

Diretor do Departamento de Ciências Exatas e TecnológicasProf. Roberto Carlos Felício

Ministério daEducação

Ficha Catalográfica

Projeto Gráfico e DiagramaçãoWaldir Serafim Cotias JúniorJoão Luiz Cardeal Craveiro

CapaSaul Edgardo Mendez Sanchez Filho

Impressão e acabamentoJM Gráfica e Editora

Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESCObra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA)

Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Jorge Amado, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia.www.nead.uesc.br | [email protected] | (73) 3680.5458

Física | Módulo 8 | Volume 2 - Física Moderna

1ª edição | Novembro de 2013 | 225 exemplaresCopyright by EAD-UAB/UESC

Coordenação UAB – UESCProfª. Drª. Maridalva de Souza Penteado

Coordenação Adjunta UAB – UESCProfª. Dr.ª Marta Magda Dornelles

Coordenação do Curso de Licenciatura em Física (EAD)Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna

Elaboração de Conteúdo

Profa. Dra. Ana Paula Andra

Instrucional DesignProfª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira

Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes

RevisãoProf. Me. Roberto Santos de Carvalho

Coordenação Fluxo EditorialMe. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho

EAD . UAB|UESC

DISCIPLINA

FÍSICA MODERNA

EMENTAIntrodução à relatividade especial, primórdios da teoria quântica, modelos atômicos de Thomson, Rutherford e Bohr, as séries espectroscópicas, bases da mecânica quântica, equação de Schrödinger e aplicações elementares.

Carga horária: 90 horas

Prof. Dra. Ana Paula Andrade

OS AUTORES

Ana Paula AndradeBacharel em Física pela UFMG – 1995Mestre em Ciências e Técnicas Nucleares pela UFMG - 1998Doutora em Astrofísica pelo INPE – 2003 Professora Adjunta da UESC desde 2007

EMAIL: [email protected]

O termo física moderna refere-se ao conjunto de teorias

desenvolvidas no século XX, tendo por base a teoria da relatividade

e a teoria quântica. Aterminologia “moderna” foi introduzida como

forma de distinguir as novas teorias das teorias antecessoras,

referenciadas pelo termo física clássica. Pode-se dizer que esta

distinção é bastante oportuna, uma vez que os conceitos da física

moderna trouxeram novas concepções a respeito da natureza, da

descrição da matéria e dos fenômenos observados, desafiando

o método determinístico da física clássica. Como veremos neste

Módulo, a partir das propostas apresentadas no início do século

XX, alterações profundas foramintroduzidas no entendimento de

conceitos como: espaço, tempo, posição, trajetória, simultaneidade,

medida e causalidade. Ao contrário do que se acreditava até

então, tempo não é uma grandeza absoluta, matéria não tem

comportamento único e imutável, enquanto a dinâmica de uma

partícula subatômica é regida pelas leis da probabilidade! Estas

são apenas algumas das novas concepções introduzidas pela física

moderna e que fizeram emergir um novo cenário científico no campo

da física.

Apesar das concepções e interpretações inovadoras,

ambas as teorias, da relatividade e quântica, representam uma

generalização da física clássica, sendo esta tratada como casos

especiais, não invalidando, de forma alguma, os conceitos já

estudados. Enquanto a teoria da relatividade estende o campo de

investigação da física clássica para a região de altas velocidades

e altas energias, a física quântica estende o campo de investigação

para regiões de pequenas dimensões. Inicialmente, pode-se pensar

que os fenômenos relativísticos ou quânticos sejam estranhos ou mesmo

bizarros, uma vez que estão muito além da realidade detectada por

nossos sentidos. De fato, nossa percepção da natureza é bastante

limitada, mas, ainda assim, não devemos nos furtar a discutir teorias

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

Elementos de Matemática Avançada

e conceitos revelados por meio das evidências experimentais. Este

foi o maior desafio vivido pelos físicos do século XX, grandes nomes

como Albert Einstein, Max Planck e Erwin Schrödinger, dentre outros

que iremos discutir nas próximas Unidades. Esperamos que você,

estudante, possa abrir a sua mente aos novos conceitos que serão

apresentados e, consequentemente, desfrutar desta nova janela de

conhecimento aberta pela física moderna.

Neste módulo, iremos apresentar e discutir as importantes

descobertas dos séculos XIX e XX, bem como as bases da física

moderna sob a ótica da relatividade restrita, a quantização de

energia e os postulados da mecânica quântica, enfatizando conceitos

e aplicações. Esperamos assim que, ao final deste módulo, você possa

compreender os argumentos que embasam a física moderna, que,

apesar de imperceptíveis, permeiam a nossa vida cotidiana.

12 EADFísica

SUMÁRIO

UNIDADE 3 - FÍSICA MODERNA - A FÍSICA DOS ÁTOMOS

1 Introdução .................................................................................. 19

2 Dalton e o átomo ........................................................................ 20

3 O modelo de Thomson .................................................................. 22

4 A descoberta de Rutherford .......................................................... 27

5 Rutherford e o núcleo atômico ....................................................... 29

6 Os espéctros atômicos ................................................................. 37

7 As ideias de Bohr ......................................................................... 39

8 O modelo de Bohr ........................................................................ 43

9 AS séries espectroscópicas ........................................................... 54

10 Regras de quantização ............................................................... 58

11 O modelo de Sommerfeld ............................................................ 63

RESUMINDO ................................................................................... 69

REFERÊNCIAS ................................................................................. 73

UNIDADE 4 - A MECÂNICA QUÂNTICA

1 Introdução ..................................................................................75

2 A interpretação de Schroedinger, Born e Heisenberg ......................... 78

3 A equação de Schroedinger ........................................................... 83

4 As funções de onda ...................................................................... 93

5 Os valores esperados da mecânica quântica ................................... 102

6 As autofunções .......................................................................... 115

7 Soluções da equação de Schroedinger ........................................... 122

RESUMINDO ................................................................................. 130

REFERÊNCIAS ............................................................................... 132

UNIDADE 2 - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA

UNIDADE 5 - APLICAÇÕES DA MECÂNICA QUÂNTICA

1 Introdução ................................................................................ 137

2 Potencial nulo e a partícula livre .................................................. 137

3 Potencial degrau e as possibilidades quânticas ............................... 143

4 Energia menor do que a altura do degrau ..................................... 145

5 Energia maior do que a altura do degrau ...................................... 154

6 Barreira de potencial e o efeito túnel ............................................ 161

7 Poço de potencial quadrado ......................................................... 167

8Poçodepotencialquadradoinfinito ............................................... 172

9 O potencial do oscilador harmônico simples ................................... 178

10Consideraçõesfinais ................................................................. 181

RESUMINDO ................................................................................. 182

REFERÊNCIAS ............................................................................... 184

A FÍSICA DOS ÁTOMOS

Nesta unidade serão discutidos a evolução dos modelos atômicos e

os princípios que regem a estrutura dos átomos. Serão apresentados:

• as considerações de Dalton;

• os modelos de: Thomson, Rutherford, Bohr e Sommerfeld;

• os diagramas de níveis de energia;

• as propriedades dos espectros atômicos;

Ao final desta etapa, o aluno será capaz de:

• compreender a estrutura atômica;

• conhecer os níveis de energia;

• identificar os tipos de espetros atômicos.

• compreender as bases da teoria quântica.

Prof. Dra. Ana Paula Andrade

3ªunidade

1 INTRODUÇÃO

Desde os tempos da Grécia antiga que os intelectuais da época, filósofos e pensadores, se questionavam a respeito da substância básica por detrás das transformações ocorridas na natureza. A corrente dos atomistas, a exemplo de Demócrito e Leucipo (cerca de 400.a.c), acreditava que a essência da natureza fosse material e imutável. Assim, a matéria seria constituída por uma infinidade de pequenas unidades indivisíveis, eternas e imutáveis, que denominaram átomos (palavra que em grego significa ‘indivisível’). Já Aristóteles acreditava que toda a matéria do universo seria composta por quatro substâncias básicas: terra, ar, fogo e água, sendo todas elas matéria contínua, ou seja, seria possível dividi-las infinitamente em porções menores, sem nunca chegar a uma unidade limite. Esta dúvida pairou sobre os cientistas durante muitos séculos, até que, em 1808, o químico e físico inglês, John Dalton, sugeriu que a maioria das observações químicas feitas no século XVIII poderia ser explicada simplesmente admitindo-se que a matéria fosse constituída de átomos! No entanto, uma das mais importantes evidências físicas desta ideia foi dada apenas em 1905, por Albert Einstein, ao mostrar que o chamado movimento browniano (movimento aleatório e irregular das partículas de poeira suspensas em líquido) poderia ser explicado como efeito dos átomos do líquido, colidindo com as partículas de poeira. Apesar desta constatação, pairavam ainda muitas dúvidas sobre a indivisibilidade dos átomos.

A noção de que os átomos pudessem ter uma estrutura interna e que pudessem ser compostos de partículas menores só foi percebida ao longo do século XX. No intuito de elucidar a estrutura do átomo e identificar as verdadeiras partículas elementares, novos e importantes experimentos se seguiram no campo da física atômica, consolidando gradualmente os modelos de estrutura atômica. Embora Demócrito e Leucipo tenham suposto corretamente a existência de átomos, a estrutura do átomo revelou-se muito mais sutil e intrigante. É sabido que os átomos não são apenas pequenas esferas homogêneas sem estrutura; mas, sim, constituídos de partículas menores, mais leves e mais fundamentais. Assim, o estudo da estrutura da matéria nos leva a

Módulo 4 I Volume 5 19UESC

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de


considerar a maneira pela qual estas partículas estão reunidas formando os chamados átomos e as propriedades oriundas desta organização. Nesta Unidade, iremos discutir a evolução dos modelos atômicos e os experimentos que embasaram suas concepções, bem como os princípios básicos que regem a estrutura dos átomos.

2 DALTON E O ÁTOMO

No início do século XIX, muito se sabia a respeito das reações químicas e de suas leis básicas, como a lei de conservação das massas e as leis das proporções definidas. Era sabido que as reações químicas ocorriam e que as mesmas podiam ser descritas como resultado do intercâmbio entre partículas em colisões, resultando em novos compostos, com propriedades bem distintas. Baseado nestas observações, em 1808, John Dalton, seguindo a tendência atomista de muitos cientistas da antiguidade e também da idade média, propôs:

1. Toda matéria é composta de partículas fundamentais, que podemos chamar de átomos.

2. Átomos são permanentes e indivisíveis e não podem ser criados nem destruídos espontaneamente.

3. Todos os átomos de certo elemento são idênticos em todas as suas propriedades e os átomos de elementos diferentes têm propriedades diferentes.

4. Uma alteração química consiste em uma combinação, separação ou rearranjo de átomos.

5. Os compostos são constituídos de átomos de elementos diferentes em proporções fixas.

Concebendo estas ideias simples, Dalton conseguiu fazer com que as observações químicas da época parecessem razoáveis, explicando porque a massa é conservada durante uma reação química e a lei da composição definida. Dalton salientou que esta lei é naturalmente verdade se cada composto é caracterizado por proporções fixas entre

20 EADFísica

Imagem 3.1: John DaltonFonte: http://www.biography.

com/people/john-dalton-9265201?page=1

os números de átomos dos seus elementos componentes diferentes. Assim, um composto de dióxido de carbono seria constituído de átomos de carbono e oxigênio na proporção de 1:2, respectivamente, e, como as massas dos átomos de carbono e oxigênio são fixas, segue-se que a composição do dióxido de carbono em massa também deve ser fixa, conforme observado.

Por certo que a aceitação destas ideias não se deu sem a oposição de muitos físicos e químicos resistentes, no entanto contou com defesa incansável de outros, como Ludwig Boltzmann, o mesmo cujos trabalhos contribuíram significativamente para a tória cinética dos gases e a mecânica estatística. Três anos mais tarde, o químico italiano Amedeo Avogrado, usando a mesma terminologia de Dalton, propôs: as partículas fundamentais de gases elementares não são necessariamente átomos, mas podem ser grupos de átomos reunidos para formar moléculas. E ainda formulou o que ficou conhecido como Lei de Avogrado: sob as mesmas condições de temperatura e pressão, volumes iguais do mesmo gás contêm número igual de moléculas.

Apesar do apelo empírico das considerações de Dalton, duas questões importantes permaneciam sem resposta: como e do que são constituídos os átomos. Apenas no final do século XIX foram realizadas importantes descobertas científicas que abriram novo caminho para a física atômica: as leis do eletromagnetismo de Maxwell, a identificação das diferentes frequências do espectro eletromagnético, a descoberta dos raios catódicos e do efeito fotoelétrico, seguidos pela descoberta dos raios X e, finalmente, a descoberta dos elétrons, em 1897, por J.J. Thomson.

Thomson, pesquisador neozelandês do famoso Laboratório Cavendish, em Cambridge, estava tentando provar que os raios catódicos (descargas elétricas que


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de


você sabia?

Quando Thomson desco-briu as tais “partículas ne-gativas”, em 1897, a unida-de de carga fundamental, o elétron, já era conhecida. Esta foi sugerida pelo físico e químico inglês, Michael Faraday, em 1833, quando este conduzia seus estu-dos sobre a eletrólise. Em 1874, o físico irlandês, Ge-orge Stoney, estimou pela primeira vez o valor de sua carga, cerca de 20 vezes menor do que o valor acei-to atualmente. Cinco anos mais tarde, 1879, o inglês William Crookes, ao reali-zar suas experiências com raios catódicos, descobriu que estes raios eram cons-tituídos de partículas indi-visíveis. O grande feito de J.J.Thomson foi mostrar que essas partículas eram carregadas negativamente e cuja carga era a unida-de fundamental, o elétron! Em 1937, seu filho, G.P. Thomson, ganhou o prêmio Nobel de Física por mostrar que os elétrons também se comportam como ondas.

Imagem 3.2: J.J.ThomsonFonte: http://www.britannica.com/EBchecked/media/151581/Sir-JJ-

Thomson-1910

passam por um gás rarefeito dentro de uma ampola de vidro) eram eletricamente carregados e supôs: como as cargas elétricas são afetadas por campos elétricos, os raios catódicos também deveriam ser, caso fossem constituídos de partículas eletricamente carregadas. Assim, combinando as deflexões causadas por campos elétricos e magnéticos, Thomson conseguiu mostrar que os raios catódicos eram constituídos por partículas elétricas de carga negativa. E mais, Thomson conseguiu mostrar que vários materiais diferentes exibiam esta mesma capacidade de emissão, ou seja, essas partículas deveriam fazer parte da matéria! Como se não bastasse, Thomson também mostrou que essas partículas eram pelo menos mil vezes mais leves que o átomo de hidrogênio. No dia 29 de abril de 1897, Thomson anunciou suas descobertas, um marco para a investigação dos constituintes fundamentais da matéria. Por esta descoberta, Thomson recebeu o prêmio Nobel em 1906 e foi batizado de “o pai do elétron”.

3 O MODELO DE THOMSON

Após os trabalhos de Thomson, acumularam-se inúmeras evidências experimentais da existência dos elétrons e da sua participação na estrutura atômica. Assim, não havia mais dúvida, os elétrons deveriam ser constituintes básicos dos átomos. Mas, se os elétrons faziam parte dos átomos e estes são eletricamente neutros, então deveria haver também uma componente de carga positiva em número suficiente para neutralizar a matéria. E, ainda, o fato de que a massa do elétron é muito pequena se comparada com a de qualquer átomo, mesmo com a do mais leve, implica que a maior parte da massa do átomo deve estar associada à componente de carga positiva. Essas considerações levaram naturalmente

22 EADFísica

ao problema de como seria a distribuição de cargas positivas e negativas dentro do átomo.

Em 1904, o japonês Hantaro Nagaoka propôs um modelo de átomo segundo o planeta “Saturno”, no qual os elétrons com carga negativa estariam orbitando em torno de uma grande esfera de carga positiva, similar aos anéis do planeta Saturno. Entretanto, de acordo com a teoria eletromagnética, os elétrons girando em círculos estariam constantemente acelerados em seu movimento e deveriam emitir continuamente energia. A energia emitida à custa da energia mecânica dos elétrons faria com que estes se movessem em espiral, terminando por cair no núcleo atômico. E, assim, ter-se-ia um átomo que rapidamente sofreria um colapso para dimensões nucleares. E mais, durante o seu movimento espiralado, a velocidade angular do elétron cresceria continuamente e, com ela, cresceria também a frequência da radiação emitida, o que, certamente, não era observado. Além disso, o espectro contínuo da radiação que seria emitida durante o processo de colapso não era compatível com os espectros discretos observados pela emissão dos átomos.

Também em 1904, J.J. Thomson propôs um modelo para descrição do átomo. Segundo Thomson, o átomo seria considerando como uma espécie de fluido com uma distribuição esférica contínua de carga positiva, onde estariam incrustados os elétrons com carga negativa. Devido à repulsão mútua, os elétrons estariam uniformemente distribuídos na esfera positiva com raio da ordem da grandeza conhecida de um átomo, cerca de 1010 .m− Este modelo, conhecido como “pudim de passas” é ilustrado na Imagem 3.1 Nesta configuração, os elétrons, tais quais pequenas passas decorando um pudim, seriam atraídos ao centro da distribuição de cargas positivas e repelidos entre si pela lei de Coulomb. O estado estável do átomo seria atingido quando as duas forças, de atração e repulsão, se equilibrassem.


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Imagem 3.1: Modelo atômico de Thomson – uma esfera de carga positiva entremeada com elétrons.Fonte:http://rabfis15.uco.es/Modelos%20at%C3%B3micos%20.NET/modelos/ModThomson.aspx

Entretanto o modelo de Thomson tinha como hipótese inicial a estabilidade da configuração dos elétrons, sendo que estes poderiam oscilar, mas sempre em torno de suas posições de equilíbrio, em caso de excitação do átomo (por exemplo, em virtude de altas temperaturas no material). No entanto a teoria clássica do eletromagnetismo não permite a existência de uma configuração estável num sistema de partículas carregadas se a única interação entre elas é de caráter eletromagnético. Mas, então, como justificar a estabilidade do átomo no modelo de Thomson?

Outro problema apontado para este modelo é que a teoria eletromagnética prevê que uma partícula com carga elétrica em movimento acelerado, como um elétron vibrando, deve emitir radiação eletromagnética, e, segundo a teoria, os modos normais de vibração das oscilações dos elétrons deveriam ter as mesmas frequências que os espectros atômicos observados. No entanto faltava uma concordância quantitativa no modelo de Thomson, ou seja, os espectros de emissão observados não concordavam com a previsão teórica para o modelo. Deste modo, o modelo de Thomson era capaz de permitir a emissão da radiação, mas a frequência da radiação emitida não concordava com os espectros observados, mostrando-se ineficaz na explicação das propriedades atômicas.

E assim, como no mundo da física, somente as verificações

24 EADFísica

experimentais podem comprovar se um modelo está de acordo com as leis da natureza ou não, era imprescindível comparar a previsão teórica com as observações. A inadequação conclusiva do modelo de Thomson foi obtida sete anos mais tarde, em 1911, com a experiência de um de seus ex-alunos, o também neozelandês, Ernest Rutherford.

Exercício Resolvido: Suponha a existência de um elétron de carga –e dentro de uma região esférica com densidade de carga positiva uniforme ,ρ tal qual o modelo do átomo de Thomson.

)a Mostre que seu movimento, se ele tem uma energia cinética, pode ser de oscilações harmônicas simples em torno do centro da esfera.

Solução: Vamos considerar um elétron a uma distância a do centro de uma esfera, sendo a menor que o raio da esfera. Da lei de Gauss, sabemos que podemos calcular a força que atua sobre o elétron, usando a lei de Coulomb:

32

0 0

1 44 3 3

e eaF aa

ρπ ρπ

= − = −

onde ( ) 343 aπ ρ corresponde à carga positiva contida na

esfera de raio a . Da lei de Gauss, sabemos que é esta a distribuição de carga responsável pela força elétrica no interior da esfera de raio a .

Podemos expressar a relação acima da forma: ,F ka= − onde k é uma constante que vale:

0,3

ek ρε= tal qual uma força

elástica! Portanto se o elétron, inicialmente em repouso em ,a é deixado livre, sem velocidade inicial, essa força irá produzir um movimento harmônico simples ao longo do diâmetro da esfera, visto que a força está sempre direcionada para o centro e tem módulo proporcional a distância ao centro.


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O parâmetro ρ é co-mumente utilizado para representar a densidade de carga, ou seja, a razão carga/volume. Já a lei de Gauss é uma das equa-ções de Maxwell e relacio-na o fluxo elétrico através de uma superfície fecha-da com a carga elétrica contida no interior dessa superfície. Sua formula-ção é::

)b Suponha que a carga positiva total tenha um valor igual em módulo à carga de um elétron, de forma que a carga total do átomo seja zero, e, suponhamos que esteja distribuída sobre uma esfera de raio ' 101, 10 .r x m−= − Ache a constante da força k e a frequência do movimento do elétron.

Solução: uma vez que a densidade de carga é uniforme, podemos considerar:

34 '3

e

rρ

π=

Substituindo na expressão de k , tem-se:

2

330 0 0

43 3 4 ''3

e e e ekrr

ρππ

= = =

Substituindo os valores, lembrando que: 9 2

0

1 9,0 10 / ,4 x Nm Cπ = tem-se:

( )29 2 192

10 3

9,0 10 / . 1,6 102,3 10 /

(1,0 10 )x Nm C x C

k x N mx m

−

−= =

A frequência do movimento harmônico sim-ples é então:

215 1

311 1 2,3 10 / 2,3 10

2 2 9,11 10k x N m x sm x kg

νπ π

−−= = =

lembrete

26 EADFísica

Assim, a radiação emitida por este elétron do átomo de Thomson terá esta frequência, analogamente à radiação emitida por elétrons oscilando em uma antena. O comprimento de onda correspondente será:

87

153,0 10 / 1,2 10 1200

2,5 10c x m s x m

x sλ

ν−= = = = 侌

correspondente à região do ultravioleta do espectro eletromagnético. Portanto esta é a radiação emitida por um átomo segundo o modelo de Thomson. Por certo que o comprimento de onda da radiação pode ser ajustado às observações, variando-se o raio de posição do elétron. Entretanto, segundo este modelo, somente uma frequência de radiação seria emitida, o que já se sabia, desde o final do século XIX, não é compatível com as linhas espectrais observadas.

4 A DESCOBERTA DE RUTHERFORD

Rutherford foi um cientista fortemente ligado aos estudos relativos ao decaimento dos elementos químicos e às substâncias radioativas. Foi o responsável pela descoberta dos raios α e β em 1899, tendo recebido o prêmio Nobel em 1908. Trabalhando em Cambridge, conheceu o físico alemão, Hans Geiger, o qual estava realizando um experimento com o bombardeio de um feixe bem colimado de partículas α em finas folhas de ouro e alumínio. Os resultados obtidos por Geiger e interpretados por Rutherford culminaram em uma das mais importantes descobertas da física atômica. Vejamos em detalhes a experiência realizada.


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você sabia?

Figura 3.2 – Arranjo de uma experiência de espalhamento de partículas α .

A Figura 3.2 ilustra um arranjo típico da experi-ência com partículas α realizado pelos cientistas: Geiger, Marsden e Rutherford. Partículas α são emitidas em alta velocidade por um processo de decaimento espontâneo em vários materiais radioativos. Uma vez colimadas por um par de diafragmas, as partículas α formam um feixe paralelo estreito e, por sua dimensão, ideal para investigar a estrutura atômica dos materiais. O feixe incide sobre uma folha de uma substância, normalmente um metal, suficientemente fina de modo que as partículas possam atravessá-la completamente com apenas uma pequena diminuição no módulo da velocidade. Entretanto, ao atravessar a folha, as partículas deveriam encontram os átomos, com cargas positivas e negativas, e, consequente-mente, sofrer o processo de deflexão em virtude da força coulombiana. Como a deflexão da partícula ao atraves-sar um único átomo depende da sua trajetória através do átomo, a deflexão total do feixe ao atravessar toda a fo-lha deve ser distinta para diferentes partículas do feixe. Consequentemente, o feixe emerge da folha não como um feixe paralelo, mas como um feixe divergente. Uma análise quantitativa desta divergência pode ser feita ao se medir o número de partículas espalhadas em cada direção angular. As partículas espalhadas eram então detectadas por um microscópio com uma tela de Sulfeto de Zinco (ZnS). Esta tela tem a capacidade de cintilar no local em que incide uma partícula ,α permitindo ao microscópio

Decaimentos radioativos são aqueles processos nos quais há um rearranjo da configuração dos núcle-os atômicos, podendo ser espontâneos ou induzi-dos. Ocorrem quando um núcleo radioativo emite uma partícula, se trans-formado em um nuclídeo diferente. O decaimento mais simples corresponde à emissão de raios gama (fóton de alta energia), e representa uma transição nuclear de um estado ex-citado para um estado de mais baixa energia. Ana-logamente à transição dos elétrons entre os diferen-tes níveis orbitais. Outros tipos de decaimento nu-clear possíveis são aque-les em que há emissão de uma partícula alfa (núcle-os de hélio, ou seja, dois prótons e dois nêutrons), ou uma partícula beta, β (estas podem ser um elétron ou um pósitron). Três grandes pesquisado-res que se dedicaram ao estudo e identificação dos decaimentos radioativos foram Marie Curie, seu marido Pierre Curie e Hen-ri Becquerel. Os três divi-diram o Prêmio Nobel de Física no ano de 1903. Em 1911, Marie Curie recebeu o segundo Prêmio Nobel de sua carreira, desta vez o de química!

Imagem 3.3: Marie CurieFonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1911/index.html

28 EADFísica

identificar individualmente a cintilação de cada partícula .α

Devido ao fato de os elétrons terem uma massa muito pequena quando comparada com a massa da partícula ,α eles podem em qualquer caso produzir apenas pequenas deflexões nas partículas .α No entanto, para o caso específico do modelo de Thomson, devido ao fato da carga positiva estar distribuída sobre todo o volume do átomo de raio 10 10 ,r m−≅ ela não pode causar uma repulsão coulombiana intensa o suficiente para produzir grande deflexão na partícula .α Rutherford e seus parceiros Geiger e Marsden testaram estas previsões.

Os resultados experimentais mostraram que o número de partículas α desviadas com ângulos de 90° ou mais era muito maior do que o esperado pelo modelo de Thomson. A existência de uma probabilidade pequena, porém não nula, para o espalhamento em grandes ângulos, não poderia absolutamente ser explicada em termos do espelhamento atômico segundo o modelo. Um número significativo de partículas foi espalhado em ângulos da ordem de 180 .° Segundo palavras do próprio Rutherford: “foi praticamente o acontecimento mais inacreditável que aconteceu em minha vida”. Esse resultado fez com que Rutherford propusesse, em 1911, um novo modelo para a estrutura atômica.

5 RUTHERFORD E O NÚCLEO ATÔMICO

Rutherford mostrou, em 1911, que os dados do experimento com partículas ,α realizado em colaboração com Geiger e Marsden, eram consistentes com um modelo atômico, no qual a carga positiva estaria concentrada em uma pequena região central, chamada núcleo. Essa região continha, além da carga positiva, praticamente toda a massa do átomo. Os elétrons, segundo este modelo,

Imagem 3.4: Ernest RutherfordFonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/

laureates/1908/rutherford-bio.html


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giravam ao redor do núcleo, da mesma forma que os planetas giram em torno do Sol, só que, neste caso, governados pela interação elestrostática e não gravitacional! Assim, tomando um referencial fixo no núcleo (com carga Ze ), para um elétron (carga e ) em órbita circular estável (raio R ), a força centrípeta deve ser igual à força eletrostática, ou seja:

2

20

1 ( ) ,4

mv e ZeR Rπε

=

(3.1)

e assim:2

2

04Zev

mRπε=

(3.2)

Qualquer órbita para a qual esta equação fosse satisfeita seria uma órbita estável para o elétron. Contudo este modelo encontrava um sério obstáculo para ser aceito, o mesmo encontrado pelo modelo do japonês Nagaoka. Elétrons girando em círculos, constantemente acelerados, deveriam emitir energia continuamente, terminando por cair no núcleo atômico. Mas, então, qual foi a grande contribuição do trabalho de Rutherford? Foi justamente a constatação da existência de um minúsculo núcleo atômico!

Rutherford considerou a hipótese da existência de um núcleo atômico, cujas dimensões fossem suficientemente pequenas, de modo que uma partícula α que passasse bem perto deste núcleo pudesse ser espalhada, devido à repulsão coulombiana, em um grande ângulo ao atravessar um único átomo. Rutherford fez os cálculos detalhados para a distribuição angular que era observada e chegou à dimensão do núcleo atômico. Se, ao invés de considerar um raio da ordem de 1010 m− para a distribuição das cargas positivas, fosse considerado um raio da ordem de 1410 ,m− o ângulo de espalhamento das partículas α seria compatível com o ângulo observado no experimento, cerca de 1 .rad Portanto, segundo o modelo de Rutherford, o espalhamento observado não era devido aos “elétrons atômicos”, mas, sim, devido à repulsão coulombiana que agia entre as partículas ,α carregadas positivamente, e o núcleo, também, positivo. Os cálculos consideraram também apenas

30 EADFísica

o espalhamento por átomos pesados, para que pudesse ser utilizada a hipótese de que a massa do núcleo é muito grande quando comparada à massa da partícula ,α de modo que o núcleo não recuasse apreciavelmente durante o processo de espalhamento.

Vejamos a análise realizada por Rutherford para justificar seu modelo e a existência do núcleo atômico. A Figura 3.3 ilustra o espalhamento de uma partícula ,α de carga ze+ e massa ,M ao passar perto de um núcleo de carga ,Ze+ enquanto este está fixo na origem do sistema de coordenadas. Estando a partícula α muito afastada do núcleo, a força coulombiana que atua sobre ela é praticamente desprezível e, assim, a partícula se aproxima do núcleo seguindo uma trajetória em linha reta e com velocidade constante que chamaremos de ’.v A posição da partícula em relação ao núcleo é especificada pela coordenada radial r e o ângulo polar

,ϕ sendo este medido a partir de um eixo paralelo à linha da trajetória inicial. A distância perpendicular desse eixo à linha do movimento inicial é denominada parâmetro de impacto .b O ângulo de espalhamento θ é o ângulo entre o eixo e uma linha que passa pela origem do sistema e paralela à linha do movimento final, sendo ’b a distância perpendicular entre essas duas linhas (vide Figura 3.2).

Figura 3.3 – Trajetória hiperbólica estimada por Rutherford nas coordenadas polares ,r ϕ e os parâmetros b e .D Sendo θ o ângulo de espalhamento e R a distância de maior aproximação. A carga pontual Ze está localizada sobre um foco da hipérbole.

A trajetória percorrida pela partícula α pode

Imagem 3.5: Modelo do átomo de Rutherford - os elétrons, que possuem carga negativa, orbitam em torno de um grande núcleo

carregado positivamente.Fonte: http://joaonunocfq.blogspot.com.br/2010/12/modelos-atomicos.

html

você sabia?

Se inflássemos um núcleo atômico até que ele atin-gisse o tamanho de uma bola de tênis, os elétrons seriam encontrados a cer-ca de 200m de distância! Em suma, o modelo de Rutherford prevê o movi-mento dos elétrons orbi-tando o núcleo a grandes distâncias, fazendo com que o átomo seja basica-mente um espaço vazio!


Álgebra Linear

1U

nida

de


obtida diretamente a partir dos cálculos, segundo a mecânica clássica, para a força de repulsão coulombiana, sendo:

22 2

2 204

zZe d r dMr dt dt

ϕπ

= −

(3.3)

O termo à esquerda na expressão acima corresponde à aplicação da força de Coulomb entre a partícula α e o núcleo, enquanto o termo à direita corresponde à aceleração radial devida à variação no módulo de ,r e o termo da derivada em ϕ corresponde à aceleração centrípeta devida à variação na direção de ,r estando também apontada na direção radial. Para obter a trajetória da partícula, é necessário resolver a equação acima, encontrando r em função de .ϕ Perfazendo este cálculo e aplicando as condições iniciais: 0,ϕ → quando r →∞ e ,dr v

dt→−

quando ,r →∞ encontra-se a solução final:

( )21 1 1 ,

2Dsen cos

r b bϕ ϕ= + −

(3.4)

Sendo D uma constante definida por:

2

20

14

2

zZeDMvπ

≡

(3.5)

A constante D é equivalente à distância de maior aproximação ao núcleo em uma colisão frontal (equivalente a 0b = ). Neste ponto, a partícula pararia e inverteria a direção de seu movimento. A constante D é facilmente obtida quando igualamos a energia potencial à energia cinética da partícula, ou seja:

2 2

0

14 2

zZe MvDπ

=

(3.6)

32 EADFísica

Repare que a solução obtida em (3.4) corresponde à equação de uma hipérbole em coordenadas polares, ou seja, a trajetória da partícula α é hiperbólica. O ângulo de espalhamento θ é obtido a partir de (3.4), achando o valor de ϕ para ,r →∞ quando .θ π ϕ= − Desta forma, obtém-se:

22

bcotgD

θ=

(3.7)

Da expressão acima, vemos que, no caso do espalhamento de uma partícula α por um único núcleo, se o parâmetro de impacto estiver entre b e ,b db+ então o ângulo de espalhamento estará entre θ e ,dθ θ+ sendo a relação entre b e θ dada por (3.7). Esta situação é ilustrada na Figura 3.4. Para encontrar o número de partículas ,α

(È ) È,N d espalhadas entre È È Èe d+ ao atravessar toda a folha é necessário calcular o número das que incidem sobre o núcleo na folha, como parâmetro de impacto entre b e .b db+ O resultado deste cálculo é dado por:

( ) ( )2 22

2 40

1 2 È ÈÈ ÈÈ4 2

2

zZe I t sen dN dMv sen

ρ ππ

=

(3.8)

Figura 3.4 – A relação entre o parâmetro de impacto b e o ângulo de espalhamento .θ À medida que b cresce (maior afastamento do núcleo), o ângulo de espalhamento decresce.


Álgebra Linear

1U

nida

de


A expressão acima (3.8) é denominada fórmula de espalhamento de Rutherford, onde I é o número de partículas α incidentes sobre a folha de espessura ,t cm contendo ρ núcleos por centímetro cúbico.

Perfazendo esta mesma análise para o modelo de Thomson obtém-se uma expressão da forma:

( )2

2È

È2

2ÈÈ È ÈÈIN d e d

−=

(3.9)

Imagem 3.6: Experiência de Rutherford – vista esquemática dos átomos que constituem a folha de ouro que funciona como uma rede de difração.

Fonte: http://estruturadoatomolic2013iqunesp.blogspot.com.br/p/home.html

Por meio de uma simples comparação entre as expressões (3.8) e (3.9) nota-se que a previsão para o modelo de Rutherford apresenta uma dependência bem mais complexa que o modelo de Thomson, haja vista que na expressão (3.8) aparecem fatores como a densidade e espessura da placa, número atômico e a energia cinética das partículas

.α Nota-se ainda que o espalhamento em ângulos grandes é muito mais

34 EADFísica

provável em um único espalhamento por um núcleo atômico do que em um espalhamento múltiplo em pequenos ângulos em um átomo do tipo pudim de passas.

Após análise apresentada por Rutherford, Geiger e Marsden fizeram exaustivos testes experimentais a respeito do ângulo de espalhamento das partículas e terminaram por concluir que a teoria do núcleo atômico e o modelo de Rutherford eram compatíveis com os resultados encontrados. No entanto, apesar do sucesso alcançado pelo modelo de Rutherford ao explicar o experimento com as partículas α, este novo modelo deixou espaço para outro questionamento: como explicar a estabilidade nuclear? Se no centro do átomo há um núcleo cuja massa é aproximadamente a massa do átomo, e cuja carga é igual ao número atômico do elemento multiplicado por ;e e em torno de núcleo existem Z elétrons, de modo a neutralizar o átomo, como justificar a estabilidade deste sistema? Na tentativa de responder esta questão, o físico dinamarquês, Niels Bohr, propôs em 1913 uma nova formulação para o modelo atômico, esta nova foi baseada na experiência de Rutherford e na interpretação dos espectros atômicos.

Exercício resolvido:1. Mostre que, para a experiência com as partículas α descrita

na Figura 3.3, ’v v= e ’ .b b=

Solução: a força que atua sobre a partícula é do tipo coulombiana e está sempre dirigida radialmente. Assim, o momento angular da partícula em torno da origem tem um valor constante,

.L Ou seja, o momento angular inicial é igual ao momento angular final, de modo que:

' 'Mvb Mv b L= =

Assim, ' 'vb v b=

E ainda, é certo que a energia cinética da partícula não permanece constante durante o espalhamento, mas a energia cinética inicial deve


Álgebra Linear

1U

nida

de


ser igual à energia cinética final, uma vez que o núcleo permanece estacionário. Portanto:

2 21 1 '2 2

Mv Mv=

Então, ’v v= e, da equação anterior, ’,b b= como se queria demonstrar.

2. Calcule ,R a distância de maior aproximação da partícula ao centro do núcleo, ou se, a origem do sistema ilustrado na Figura 3.3.

Solução: a coordenada radial r será igual a R quando o ân-gulo polar for ( ) / 2.ϕ π θ= − Substituindo este ângulo na expressão (3.4), obtém-se:

21 1 1

2 2 2Dsen cos

R b bπ θ π θ − − = + −

2 2 2 2D Db cotg tgθ π θ− = =

Substituindo a expressão para o parâmetro b na primeira expressão e perfazendo as devidas manipulações algébricas, tem-se:

112

2

DRcos π θ

= +

−

36 EADFísica

Por fim:

( )11

22

DRsen θ

= +

Note que, quando ,θ π→ o que corresponde a 0,b = isso é, colisão frontal, ,R D→ a distância de maior aproximação. Também quando 0,θ → o que corresponde a não haver nenhuma deflexão, tanto b quanto R tendem a infinito, como seria esperado. Estas previsões são confirmadas experimentalmente.

6 OS ESPECTROS ATÔMICOS

No auge das investigações a respeito da estrutura atômica, a capacidade de emissão térmica dos materiais já era bem conhecida. Ao contrário de um espectro contínuo de radiação eletromagnética emitida, por exemplo, pela superfície de sólidos a altas temperaturas, a radiação emitida por átomos livres está concentrada em um conjunto de comprimentos de onda discretos, denominadas linhas.

Ainda no início do século XIX, Joseph Fraunhoffer havia descoberto que o espectro de emissão solar exibia uma série de linhas escuras superpostas às cores do arco-íris. Anos mais tarde, por volta de 1853, as linhas espectrais do hidrogênio foram identificadas pela primeira vez pelo físico sueco Anders Angstrom. No entanto, Angstrom não conseguiu identificar as frequências da radiação detectada. A identificação das quatro linhas brilhantes na região visível foi possível apenas em 1860, por meio da técnica de espectroscopia analítica, proposta pelos alemães Gustav Kirchhoff e Robert Bunsen. Estes desenvolveram uma metodologia simples e eficaz para análise espectral: fazer a luz emitida por um elemento químico aquecido passar por um


Álgebra Linear

1U

nida

de


prisma, onde a luz é decomposta e posteriormente impressa em uma chapa fotográfica, resultando no registro das linhas espectrais em foto. Por meio desta técnica, os parceiros alemães conseguiram identificar as linhas espectrais de diversos elementos químicos e foram os primeiros a apontar a relação unívoca entre os elementos e seus respectivos espectros. Cada tipo de átomo tem seu espectro característico próprio, isto é, um conjunto de comprimentos de onda nos quais as linhas do espectro são encontradas. Na prática, a técnica de espectroscopia analítica veio se juntar à técnica de análise química, reunindo esforços para identificação dos diferentes elementos químicos e a obtenção de medidas precisas de suas respectivas linhas espectrais.

Os trabalhos de Kirchhoff e Bunsen revelaram ainda a capacidade dos materiais em emitir e absorver luz em específicos comprimentos de onda, definindo um padrão próprio de radiação, sendo este denominado o “seu espectro”, um traço característico do elemento, como se fosse sua própria impressão digital. Em 1861, após uma análise detalhada do espectro solar, Kirchhoff identificou linhas características do espectro de absorção de vários elementos químicos como: sódio, cálcio, magnésio e ferro. É sabido que todos estes elementos encontram-se nas camadas mais externas (e mais frias) do Sol, e são os responsáveis pela absorção da luz do espectro contínuo, resultando nas linhas escuras observadas originalmente por Fraunhoffer.

Assim, é seguro afirmar que cada tipo de átomo tem o seu espectro que lhe é característico e para cada átomo específico é possível identificar os espectros de emissão e de absorção, sendo:

O conjunto de raias ou o conjunto das radiações eletromagnéticas monocromáticas emitidas e suas correspondentes intensidades definem o espectro de emissão do tipo de átomo.

O conjunto discreto de raias escuras ou o conjunto das radiações monocromáticas que estão faltando de um espectro contínuo, justamente porque foram absorvidas pelo material, definem o espectro de absorção do átomo.

38 EADFísica

Na segunda metade do século XIX, diversos trabalhos foram realizados na investigação dos espectros estelares, revelando uma relação direta entre a química terrestre e estelar. De fato, estrelas são formadas pelos mesmos elementos químicos que encontramos na Terra. Mas tão instigante quanto esta descoberta era o entendimento do processo de emissão espectral. Por que objetos aquecidos emitem luz? Por que elementos químicos diferentes produzem espectros diferentes? Qual seria a relação entre o calor e a luz emitida?

Por certo que os espectros atômicos deveriam ser explicados por qualquer modelo que se propusesse a explicar a estrutura atômica. Mas esta não era a realidade da época e estas questões intrigaram toda a comunidade científica durante décadas, até que, em 1911, surgiu no cenário científico mais um físico contestador do mundo clássico, seu nome: Niels Bohr.

7 AS IDÉIAS DE BOHR

O físico dinamarquês Niels Bohr chegou a Manchester em 1911, aos 26 anos, para trabalhar com Ernest Rutherford. Bohr estava convencido da existência do núcleo atômico, acreditava que o modelo de Rutherfor estivesse no caminho certo, mas também sentia que mudanças drásticas eram necessárias à física clássica para explicar a estabilidade atômica. Enquanto Rutherford tentava encontrar uma explicação para a estabilidade do átomo e Thomson tentava, sem sucesso, ajustar os espectros atômicos observados ao seu modelo, Bohr tentava encontrar uma nova física. A aplicação de conceitos da mecânica newtoniana, empregada por Rutherford, para descrever as órbitas eletrônicas o incomodavam profundamente, bem como a hipótese

Imagem 3.7: Niels BohrFonte: http://www.nobelprize.

org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/bohr-bio.html


Álgebra Linear

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nida

de


de emissão de radiação prevista pelo eletromagnetismo clássico. Bohr questionava o tratamento clássico aplicado aos elétrons. Para ele, o eletromagnetismo clássico condenava o átomo à instabilidade! Por outro lado, o jovem Bohr argumentava que, de acordo com os trabalhos de Planck e Einstein, os processos que envolviam absorção e emissão de energia não podiam mais ser tratados como processos contínuos, mas sim discretizados em pacotes de energia. Então, Bohr tentou aplicar o conceito de quantização de energia ao modelo de Rutherford por meio da definição de uma série de órbitas possíveis para o elétron e acabou por desenvolver um modelo que apresentava concordância quantitativa precisa com alguns dos dados espectroscópicos.

O modelo do átomo de Bohr foi apresentado na forma de quatro postulados, vejamos.

Primeiro Postulado:Um elétron em um átomo se move em uma órbita circular

em torno do núcleo, sob influência da atração coulombiana; entre o elétron e o núcleo, obedecendo às leis da mecânica clássica.

Segundo Postulado:Em vez da infinidade de órbitas que seriam possíveis segundo

a mecânica clássica, um elétron só pode mover-se em uma órbita na qual seu momento angular orbital L é um múltiplo inteiro de (a constante de Planck dividida por 2π ).

Terceiro Postulado:Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron

que se move em uma dessas órbitas possíveis não emite radiação eletromagnética. Portanto sua energia total E permanece constante.

40 EADFísica

Quarto Postulado:É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se

move inicialmente sobre uma órbita de energia total ,iE muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma órbita de energia .fE A frequência da radiação emitida ν é igual à quantidade ( )i fE E− dividida pela constante de Planck .h

As ideias de Bohr misturam conceitos clássicos e não clássicos. No primeiro postulado, Bohr considera a existência do núcleo atômico, tal qual indicação do experimento de Rutherford e assegura a validade da mecânica clássica. Já o segundo postulado introduz o conceito não clássico de quantização, mas, desta vez, a quantização é para o momento angular orbital de um elétron se movendo sob influência de uma força coulombiana, ou seja, inversamente proporcional ao quadrado da distância, o que implica em:

1, 2,3L n n= = …

(3.10)

Note que o critério de quantização sugerido por Bohr para o momento angular do elétron é diferente da quantização de Planck para a energia de uma partícula, .E nhν= O terceiro postulado resolve o problema de emissão de radiação eletromagnética para um elétron que se move em uma órbita circular, uma previsão da teoria clássica do eletromagnetismo. Para Bohr, as órbitas permitidas eram “órbitas estacionárias”, uma condição especial para um elétron ligado. Nestas órbitas, os elétrons simplesmente violam a lei clássica e não perdem energia, assegurando, assim, a estabilidade do átomo. Por certo que há uma violação da lei clássica, mas que assegura a estabilidade observada experimentalmente para os átomos. O quarto postulado é similar ao postulado de Einstein, o qual atesta que a frequência de um fóton emitido é igual à energia do mesmo, dividida pela constante .h Bohr apenas atribui à energia do fóton à diferença de energia entre as órbitas, sendo:


Álgebra Linear

1U

nida

de


i fE Eh

ν−

=

(3.11)

No caso de um elétron receber uma dosagem extra de energia, tal qual uma descarga elétrica, ou ainda que o átomo receba energia em decorrência de uma colisão, o elétron poderá sofrer uma transição eletrônica para um estado de maior energia, ou estado excitado, no qual, necessariamente, 1.n > Obedecendo à tendência natural de todos os sistemas físicos, o elétron tenderá a voltar para o estado fundamental de energia e deverá, para tanto, emitir o excesso de energia entre os níveis na forma de um fóton. Assim, Bohr esclareceu o mistério do o espectro atômico: as linhas espectrais são discretas, apresentando-se em frequências específicas para cada átomo, simplesmente porque correspondem aos fótons emitidos durante as transições dos elétrons entre as órbitas permitidas. Na órbita mais próxima do núcleo, 1,n = o elétron estaria no “estado fundamental” do átomo. As órbitas mais externas seriam aquelas dos “estados excitados” dos átomos.

Por certo que as ideias de Bohr eram extremamente audaciosas e muito fortes, mas a justificativa para os seus postulados, como em todo e qualquer postulado, prima pela adequação do modelo aos re-sultados experimentais. E neste contexto, as previsões de Bohr eram extremamente eficientes. Para o espectro do hidrogênio, por exemplo, o modelo consegue prever as frequências das linhas de emissão em per-feita concordância com o espectro observado. O sucesso alcançado pe-lo modelo de Bohr teve impacto bastante positivo entre a comunidade científica. Após a publicação de todo o trabalho em novembro de 1913, Albert Einstein se declarou um dos maiores entusiastas do modelo, ten-do escrito: “Esta é uma conquista enorme”.

42 EADFísica

8 O MODELO DE BOHR

Vamos agora às considerações físicas por trás do modelo de Bohr. Considere um átomo constituído por um núcleo de carga Ze+ e massa ,M e um único elétron de carga –e e massa .m Este poderia ser o caso de um átomo de hidrogênio neutro, 1,Z = ou um átomo de Hélio ionizado, 2;Z = ou mesmo um átomo de lítio duplamente ionizado, 3.Z = Supondo uma órbita circular para o elétron e, lembrando que m é desprezível comparada a M e que o núcleo permanece fixo no espaço, a condição de estabilidade mecânica nos leva a estabelecer que:

2 2

20

1 ,4

Ze vmr rπ

=

(3.12)

Ou seja, a força coulombiana que atua sobre o elétron é a responsável pela aceleração centrípeta que mantém o elétron em órbita, sendo v a velocidade do elétron e r o raio da órbita. Uma vez que a força atuante sobre o elétron é uma força central, então o momento angular orbital também deve ser uma constante, .L mvr= Assim, a condição de quantização do momento angular, segundo Bohr, implica em:

, 1, 2,3L mvr n n= = = …

(3.13)

Portanto:

nvmr

=

(3.14)

você sabia?

Bohr foi um dos maio-res cientistas de todos os tempos! Querido não apenas por sua habilida-de racional, mas também por sua postura enquanto cidadão do mundo e pes-soa dotada de profundo senso de justiça. Simpá-tico e humilde, Bohr era admirado por colegas, alunos e amigos. Foi bas-tante atuante na propa-gação de ideais pacifistas, durante e após a segunda guerra, e engajado a dis-seminar sua preocupação com o futuro do mundo. Defensor do uso pacífico da energia nuclear, lide-rou projetos voltados às aplicações industriais da energia atômica e rece-beu em 1957 o prêmio Átomos para a Paz, ofe-recido pelo governo dos Estados Unidos. Por seus trabalhos no estudo da estrutura atômica, Bohr é considerado um dos prin-cipais arquitetos do áto-mo e da física quântica!


Álgebra Linear

1U

nida

de


Substituindo a expressão de v em (), tem-se:

2 22 2 22 2

0 020

1 4 44

Ze m n m n nZe rr r mr r mr mr

π ππ

= => = =

Ou seja:

2 2

0 24 , 1, 2,3nr nmZe

π= = …

(3.15)

e:

2

0

1 , 1, 2,34

n Zev nmr nπ

= = = …

(3.16)

Em suma, a quantização do momento angular corresponde a uma restrição das órbitas circulares permitidas, ou seja, aquelas cujos raios são dados por (3.15). Note que os raios permitidos são proporcionais ao quadrado do número quântico n , enquanto a velocidade é inversamente proporcional a .n Esta é uma das razões para a quantização de Bohr (assim como a de Planck!) começar em 1n = e não em 0,n = caso contrário, teríamos 0r → e .v →∞

Para o átomo de hidrogênio, por exemplo, a primeira órbita seria: 11 5,3 10 0,5r x m−= ≅ 侌.. Esta estimativa pode ser interpretada como uma

medida do raio do átomo de hidrogênio em seu estado fundamental. De acordo com (3.16), a velocidade do elétron na órbita mais interna é

62, 2 10 / .v x m s≅ Note que este valor é bem abaixo da velocidade da luz 8(3 10 / )x m s e, por esta razão, a mecânica newtoniana é suficiente para

descrever a dinâmica do modelo de Bohr, uma vez que esta é a maior velocidade permitida para o elétron ligado. Entretanto, para grandes valores de ,Z a velocidade do elétron ligado se torna comparável à velocidade da luz e o modelo clássico não mais é valido.

E qual é a energia de um elétron ligado, segundo o modelo de

44 EADFísica

Bohr? Vejamos: a energia potencial ,V a qualquer distância finita ,r pode ser estimada integrando o trabalho que seria realizado pela força coulombiana que atua de r a .∞ Assim, podemos expressar:

2 2

20 04 4r

Ze ZeV drr rπ π

∞

= − = −∫ (3.17)

Neste caso, a energia potencial é negativa devido ao fato da força coulombiana ser atrativa, ou seja, é necessário realizar trabalho sobre o sistema para mover um elétron do raio r ao infinito, em oposição à força coulombiana.

Para o cálculo da energia cinética do elétron, podemos usar aplicar equação de velocidade (), diretamente à fórmula clássica:

22

0

12 4 2

ZeK mvrπ

= =

(3.18)

Assim, a energia total do elétron pode ser estimada como a soma das energias, cinética e potencial:

2 2

0 04 2 4Ze ZeE K V

r rπ π= + = −

2

04 2ZeE K

rπ= − = −

(3.19)

Substituindo o valor de ,r tem-se:

( )

2 4

2 220

14 2

mZ eEnπ

= −

(3.20)


Álgebra Linear

1U

nida

de


Imagem 3.8: Modelo de Bohr – órbitas circulas, estabilidade eletrônica e emissão de radiação somente nas transições entre estados estacionários.

Fonte:http://www.fisica-interessante.com/aula-historia-e-epistemologia-da-ciencia-11-crise-da-fisica-3.html

Assim, nota-se que a quantização do momento angular também se reflete na quantização de sua energia total, visto que esta, por sua vez, é dependente do raio orbital. Um elétron em estado fundamental, isto é, se movendo na órbita mais interna do átomo, 1,n = consequentemente, tem a menor energia possível, visto que a energia estimada para cada orbital é negativa.

As informações contidas em (3.20) também podem ser representadas na forma de um diagrama de níveis de energia, tal qual ilustrado na Figura 3.5. Neste tipo de diagrama, são representados os números quânticos, seus respectivos níveis de energia, e, por meio da escala de construção, a distância entre cada nível de energia em relação ao primeiro nível é proporcional à diferença de energia entre eles. Observe que o menor (mais negativo) nível de energia ocorre para o número quântico 1.n = À medida que n cresce, a energia total do estado quântico se torna menos negativa, com E se aproximando de zero, quando n tende a infinito. Como em todo sistema físico, o estado de menor energia total é o estado mais estável, vemos que o estado normal

46 EADFísica

para o elétron no átomo de um elétron é, naturalmente, o estado no qual 1.n =

Figura 3.5 – Diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio

Resta agora estimar a frequência da radiação emitida quando um elétron ligado sofre uma entre um estado quântico in para um estado quântico .fn Em outras palavras, um elétron que se movia em uma órbita caracterizada por um número quântico ,i muda descontinuamente seu movimento, passando a se mover segundo uma órbita de número quântico ,f De acordo com o quarto postulado de Bohr, e a expressão:

2 2 4

3 2 20

1 14 4

i f

f i

E E mZ eh n n

νπ π

− = = + −

(3.21)

Expressando em termos do número de onda 1 ,cν

λ= = tem-se:

2 42

3 2 20

1 14 4 f i

me Zc n n

κπ π

= −


Álgebra Linear

1U

nida

de


Ou seja:2

2 21 ,

f i

R Zn n

κ ∞

= −

(3.22)

Sendo R∞ uma constante cujo valor é:

2 4

30

14 4

meRcπ π∞

≡

(3.23)

Note que a equação (3.22) estabelece o número de onda do fóton emitido no processo de transição, no entanto não oferece nenhuma restrição para as transições entre os estados permitidos. Em suma, um átomo pode absorver energia e passar para um estado excitado, orbital

7,n = por exemplo, e posteriormente decair até o nível fundamental, por meio de uma série de transições, nas quais o elétron cai de um estado para outro de energia mais baixa, sucessivamente, até chegar ao nível fundamental. Por exemplo, um elétron pode cair do nível 7n = para o nível 4,n = depois para 2n = e finalmente para 1.n = Em cada transição é emitido um fóton com comprimento de onda que depende da diferença de energia perdida pelo elétron naquela transição, ou seja, a diferença de energia entre os níveis orbitais em questão. Nesse caso, seriam emitidos três fótons, correspondendo a três linhas de emissão do espectro atômico, com número de onda dados por:

- linha 1: transição entre 7in = para 4;fn =

- linha 2: transição entre 4in = para 2;fn =

- linha 3: transição entre 2in = para 1.fn =

Na maior parte dos processos de excitação e desexcitação, todas as possíveis transições ocorrem e, assim, é constituído o espectro atômico detectado durante um processo de medida. Os números de onda, ou comprimentos de onda, do conjunto de linhas que constituem o espectro são dados pela expressão (%%) (ver com a autora),

48 EADFísica

simplesmente tomando os valores de in e ,fn restritos apenas à condição

i fn n> para linhas de emissão e i fn n< para linhas de absorção. Com o aprimoramento dos dados espectroscópicos, Bohr se

deu conta de que a aproximação realizada em seus cálculos para a massa nuclear infinita estava em desacordo com as medidas experimentais. A fim de corrigir suas previsões teóricas, Bohr resolveu tratar a dinâmica do sistema elétron-núcleo em função do seu centro de massa. Neste contexto, o sistema pode ser tratado como se o núcleo de massa M estivesse fixo e a massa m do elétron fosse ligeiramente reduzida a certo valor ,µ denominada massa reduzida do elétron:

mMm M

µ =+

(3.24)

Note que o valor de µ é sempre menor que .m Para introduzir este novo conceito e corrigir as previsões

teóricas, Bohr foi forçado a modificar o seu segundo postulado, desta vez, impondo que a quantização do momento angular total, ,L fosse um múltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2 ,π ou seja, . Assim, a igualdade expressa foi generalizada para:

1, 2,3vr n nµ = = …

(3.25)

Ao considerar o parâmetro ,µ é levado em conta tanto o mo-mento angular do elétron quanto do núcleo. Para as demais previsões do modelo de Bohr, as equações descritas nesta seção serão todas idên-ticas, com exceção da troca da massa do eletro, ,m pela massa reduzida,

.µ Em especial, a expressão para os comprimentos de onda das linhas espectrais, equação (), se reduz a:

22 2

1 1 ,Mf i

R Zn n

κ

= −


Álgebra Linear

1U

nida

de


onde:

MMR R R

m M mµ

∞ ∞≡ ≡+

(3.26)

A constante MR é denominada constante de Rydberg para um núcleo de massa M. Note que, quando ,M

m →∞ ,MR R∞→ a constante de Rydberg para um núcleo extremamente pesado. Para o caso do hidrogênio, 1836,M

m ≅ MR é menor que R∞ por uma parte em 2000.

Com estas correções, as previsões do modelo de Bohr pareciam se encaixar como uma luva ao espectro atômico do hidrogênio, além de fornecer explicações plausíveis às inquietações científicas a respeito do papel dos elétrons dentro da estrutura atômica. Assim, o modelo de Bohr agradava por sua boa concordância, tanto quantitativa quanto qualitativa, entre teoria e observações. No entanto, apesar do sucesso inicial alcançado, o modelo de Bohr também tinha suas limitações. O tratamento clássico dado aos elétrons apresentava falhas até mesmo para explicar o comportamento de átomos leves como o Hélio, com seus dois elétrons. Mas, ainda assim, as ideias introduzidas por Bohr para a quantização das órbitas eletrônicas e sua ênfase em números atômicos davam fortes indícios do caminho a ser seguido no entendimento do mundo atômico.

Exercício Resolvido: Calcule a energia de ligação do átomo de hidrogênio, isto é, a energia que liga o elétron ao núcleo, a partir da expressão (3.20).

Solução: A energia de ligação é numericamente igual à ener-gia do menor estado possível, 1.n = Como para o átomo de hidro-gênio, 1,Z = tem-se:

( )

4

2 20

124meE

π= −

50 EADFísica

Substituindo os valores:

( ) ( )( )

2 49 2 31 19

234

9,0 10 / .9,11 10 . 1,60 10

2. 1,05 10 .

x Mm C x kg x CE

x J s

− −

−= −

182,17 10 13,6E x J eV−= − = −

Exercício Resolvido: Imagine um “átomo de positrônio”, ou seja, constituído por um elétron e um pósitron, ao invés do próton. Neste caso, teríamos o elétron girando em torno centro de massa comum, o qual está na metade da distância entre os dois.

)a Se tal sistema fosse um átomo normal, como seu espectro de emissão seria comparável ao do átomo de hidrogênio?

Solução: Neste caso, a massa “nuclear” é a do pósitron, que por sua vez, é igual à massa do elétron, .m Portanto a massa reduzida será:

2

2 2mM m m

m M mµ = = =

+

A constante de Rydberg correspondente é:

2MRmR R

m m∞

∞= =+

Os estados de energia do átomo de positrônio seriam dados então por:


Álgebra Linear

1U

nida

de


2 2

2 22M

positrônioR hcZ R hcZE

n n∞= − = −

e os comprimentos de onda recíprocos das linhas espectrais seriam dados por:

22 2

1 1 12 f i

R Zc n nνκ

λ∞

= = = −

As frequências das linhas emitidas seriam então a metade, e os comprimentos de onda o dobro das de um átomo de hidrogênio (com núcleo infinitamente pesado), sendo Z igual a 1 para o positrônio e para o hidrogênio.

)b Qual seria o raio da órbita no estado fundamental do positrônio?

Solução: Podemos usar a mesma expressão para o raio de hidrogênio, apenas substituindo m por µ , que, de acordo com o item anterior, vale: .

2mµ =

Assim:

2 2 2 20 0

2 2

4 42 2positrônio hidrogênion h n hr r

Ze mZeπ πµ

= = =

Portanto para qualquer estado quântico n o raio do elétron relativamente ao “núcleo de positrônio” é duas vezes maior do que no átomo de hidrogênio.

52 EADFísica

Exercício Resolvido: Um átomo muônico contém um núcleo de carga Ze e um muon negativo, ,µ− se movendo em torno dele. O µ− é uma partícula elementar de carga –e e massa 207 vezes maior do que a massa do elétron. Este átomo é formado quando um próton, ou outro núcleo, captura um .µ−

)a Calcule o raio da primeira órbita de Bohr de um átomo muônico com 1Z = .

Solução: A massa reduzida do sistema, com 207 em mµ− = e

1836 eM m= é de:

207 .1836 186207 1836

e ee

e e

m m mm m

µ = =+

Então, o raio da órbita com n=1 e 186 emµ = será:

11 13 1301 2

4 1 .5,3 10 2,8 10 2,8 10186 186e

r x m x m xm eπ − − −= = = = 侌

Portanto o µ− está muito mais próximo da superfície nuclear (do próton) do que o elétron em um átomo de hidrogênio!

)b Calcule a energia de ligação de um átomo muônico com 1.Z =

De acordo com a equação (), para 1n = , 1z = e 186 emµ = , tem-se:

( )

4

2 20

186 186 .1 3,6 2530 4 2

em eE eV eVπ

= − = − = −

Esta é a energia do estado fundamental, 186 vezes a energia


Álgebra Linear

1U

nida

de


do átomo de hidrogênio. Também equivalente à energia de ligação do átomo muônico.

Exercício Resolvido: O hidrogênio comum contém cerca de uma parte em 6000 de deutério, o hidrogênio pesado. Este átomo corresponde a um núcleo contendo um próton e um nêutron. Esti-me como a massa nuclear afeta o espectro atômico.

Solução: O espectro seria idêntico ao espectro normal do átomo de hidrogênio se não fosse a correção para a massa nuclear finita. Para um átomo de hidrogênio normal, tem-se:

11109737 109678

11 11836

HR cmR R cm

mmM

µ −−∞

∞= = = = + +

Para um átomo de Deutério, o cálculo seria:

11109737 109707

11 12(1836)

DR cmR R cm

mmM

µ −−∞

∞= = = = + +

Portanto DR é um pouco maior do que ,HR de modo que a linhas espectrais do deutério são deslocadas para comprimentos de onda ligeiramente menores comparados ao hidrogênio. De fato, o deutério foi descoberto em 1932, após a observação dessas linhas espectrais deslocadas.

9 AS SÉRIES ESPECTROSCÓPICAS

Por sua configuração minimalista, o espectro do átomo de hidrogênio é relativamente simples, e, por esta razão, bastante útil para o estudo da estrutura atômica. A Figura 3.6 representa a parte do espectro do hidrogênio que se encontra na região de comprimentos de onda da luz visível. Repare que o espaçamento, em comprimentos de onda,

54 EADFísica

entre linhas adjacentes do espectro diminui continuamente, à medida que o comprimento de onda das linhas diminui (consequentemente o nível de energia aumenta). Neste contexto, diz-se que a série de linhas apresentadas converge para o chamado limite da série, no caso do hidrogênio, 3.645,6侌. Note que as linhas com menores comprimentos de onda, incluindo o limite da série, são difíceis de serem observadas experimentalmente devido ao pequeno espaçamento entre elas e, também, por já estarem na região do ultravioleta. Repare que algumas linhas aparecem marcadas como ,Hα ,Hβ etc. Veremos a seguir a justificativa desta identificação.

Figura 3.6 – Esquema das linhas espectrais do átomo de hidrogênio na parte visível do espectro.

Desde o final do século XIX, ainda muito antes das especulações do modelo de Bohr, que a regularidade das linhas espectrais do átomo de hidrogênio despertava a curiosidade dos cientistas da época, no intuito de encontrar um padrão, ou uma fórmula empírica, que pudesse descrever as linhas observadas. Em 1885 (ano em que nascia Niels Bohr), um professor suíço de nome Johann Balmer publicou em seu trabalho a descoberta de uma fórmula capaz representar os comprimentos de onda observados para o átomo de hidrogênio. No entanto, como as teorias da época não eram capazes de explicar as linhas espectrais nem, tão pouco, justificar a sequência observada, esta constatação ficou esquecida no tempo, por cerca de 30 anos, tendo sido reavivada por ocasião dos trabalhos de Bohr. Balmer encontrou uma série muito simples da forma:

2

23646 ,4

nn

λ =−

(3.27)


Álgebra Linear

1U

nida

de


onde: 3n = para a linha identificada como ,Hα 4n = para a linha Hβ e 5n = para Hγ etc. Àquela altura, Balmer sequer tentou associar um conceito físico ao parâmetro n , mas o êxito alcançado em representar as linhas conhecidas na época, estimulou muitos outros cientistas a buscar fórmulas empíricas similares que se aplicariam a séries de linhas encontradas em outros elementos. Muitos trabalhos se sucederam, dentre eles o trabalho de Rydberg, por volta de 1890, e atualmente sabemos da existência de pelo menos cinco séries de linhas no espectro do hidrogênio, conforme descrito na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – As séries do Hidrogênio

Fonte: Eisberg & Resnick, 1979

Para o gás hidrogênio, em geral, apenas as linhas da série Lyman aparecem no espectro de absorção, mas quando o gás é aquecido a elevadas temperaturas, condição que ocorre nas superfícies estelares, usualmente são encontradas as linhas correspondentes à série de Balmer.

Assim como acontece com o hidrogênio, os demais elementos químicos também têm suas sequências de séries. Para os átomos alcalinos, como Li, Na, K etc, a fórmula das séries tem a mesma estrutura geral, sendo:

56 EADFísica

2 21 1 1 ,

( ) ( )MRm a n b

κλ

= = − − −

(3.28)

onde MR é a constante de Rydberg para o elemento em questão, a e b são constantes para a série considerada, m é um inteiro que é fixo para a série considerada, e n é um inteiro variável. A constante de Rydberg apresenta uma pequena variação entre os elementos, da ordem de 0,05%, mas apresenta um ligeiro crescimento à medida que o número atômico (e, consequentemente, a massa do núcleo) cresce.

Exercício Resolvido: a) Qual é o comprimento de onda do fóton menos energéti-

co na série de Balmer?

Solução: Da relação ,E hν= o fóton menos energético tem a menor frequência e, portanto, o maior comprimento de onda. Analisando a série de Balmer (Tabela 3.1), significa que devemos fazer 3n = (menor valor possível), visto que qualquer valor mais alto corresponderia a um comprimento de onda menor. Assim, tem-se:

2 21 1 1

2HRn

κλ

= = −

Substituindo os valores:

1 3 12 2

1 1 10,01097 1,524 102 3

nm x nmλ

− − − = − =

Assim:

3 11 656,3

1,524 10nm

x nmλ − −= =


Álgebra Linear

1U

nida

de


Exercício Resolvido: Para o átomo muônico considerado no exercício da seção anterior, estime o comprimento de onda da primeira linha da série de Lyman.

De acordo com a Tabela 3.1, a série de Lyman para um átomo de massa M e 1Z = corresponde a:

2 21 1

Mf i

Rn n

κ

= −

Para a primeira linha de Lyman, 2in = e 1.fn = conforme calculado anteriormente, para o átomo muônico:

( ) 1 6 ./ 8M eR m R Rµ ∞ ∞= = Portanto:

1 1186 1 139,54

R Rκλ ∞ ∞

= = − =

Como 1109737R cm−∞ = obtém-se:

6,5λ ≈ 侌

De modo que as linhas de Lyman estão na parte raio X do espectro eletromagnético.

10 REGRAS DE QUANTIZAÇÃO

O conceito de quantização introduzido por Bohr para justificar a estrutura atômica, assim como a quantização de energia de Planck, despertaram o interesse dos pesquisadores da época, no sentido compreender este conceito tão fascinante. Neste contexto, em 1916,

58 EADFísica

W. Wilson e Arnold Sommerfeld enunciaram um conjunto de regras no intuito de generalizar o conceito de quantização para qualquer sistema físico, no qual as coordenadas fossem funções periódicas no tempo. O enunciado apresentado para as regras de quantização nos diz que:

Para qualquer sistema físico no qual as coordenadas são fun-ções periódicas do tempo, existe uma condição quântica para cada coordenada. Estas condições são estimadas como:

,q qp dq n h=嚀(3.29)

onde q é uma das coordenadas, qp é o momento associado a essa coordenada, qn é um número quântico correspondente, que toma valores inteiros, e 嚀significa que a integração é tomada sobre um período da coordenada .q

Vamos agora, partindo do enunciado acima, chegar às regras de quantização de Planck e Bohr. Começaremos pela quantização de Planck.

Considere um oscilador harmônico simples a uma dimensão (tal qual o tratamento das ondas estacionárias na cavidade de um corpo ne-gro). Podemos descrever sua energia total em termos da posição e mo-mento:

2 2

2 2xp kxE K Vm

= + = +

E, analogamente:

2 2

12 2 /

xp xmE E k

+ =

(3.30)


Álgebra Linear

1U

nida

de


O motivo da representação acima, equação (3.30), é que esta descreve a equação de uma elipse, ou seja, a relação entre as grandezas x e xp pode ser descrita por meio da representação gráfica de uma elipse. Cada estado instantâneo do movimento do oscilador é representado por um ponto no gráfico dessa equação elíptica em um espaço bidimensional das coordenadas xp e .x

Esta representação no espaço p x− é denominada espaço de fase e o gráfico correspondente é um diagrama de fase. Conceitos extremamente úteis na Física Quântica.

A Figura 3.7 ilustra um diagrama de fase representativo para um oscilador harmônico simples linear, tal qual estamos considerando. Repare que os semi-eixos a e b da elipse, de acordo com a nossa equação (3.30) são: 2 / 2a E k e b mE= =

Figura 3.7 – No alto: um diagrama de fase representativo para um oscilador harmônico simples linear. Embaixo: os estados de energia possíveis do oscilador são representados por elipses cujas áreas no espaço de fase são dadas por .nh Deste modo, a região entre as elipses adjacentes tem área .h

você sabia?

Você se lembra da equação de uma elipse? Então, vamos recordar: Uma elipse correspon-de ao conjunto de pon-tos do plano, cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (denomi-nados focos da elipse) é constante e maior do que a distância entre eles. Para uma elipse com centro na origem e focos contidos no eixo x , a relação matemá-tica que representa es-tes pontos é expressa como:

2 2

2 2 1x ya b

+ =

Sendo a o semieixo maior e b o semi-eixo menor da elipse. Vide Figura a seguir:

Imagem: representação de uma elipse

60 EADFísica

Assim, a integral fechada de (3.30) corresponde exatamente à área total da elipse, sendo esta dada por: .abπ Deste modo:

2/xEp dx ab

k mππ= =嚀

(3.31)

Lembrando que: / 2k m πν=

sendo ν a frequência de oscilação. Substituindo em (3.31), tem-se:

xEp dxν

=嚀

Esta integral é denominada integral de fase. E, de acordo com a regra de quantização de Wilson e Sommerfeld:

x xEp dx n h nhν

= = ≡嚀

Finalmente, chegamos à quantização de Planck:

E nhν=

Repare no canto inferior da Figura 3.7 que os estados possíveis da oscilação, dados pelos valores permitidos de ,n são representados por uma série de elipses no espaço de fase. Cada valor de n corresponde uma área diferente, sendo que a área submetida entre duas elipses su-cessivas será sempre h. A título de comparação, quando 0,h → todos os valores de E seriam permitidos, e recairíamos novamente no caso


Álgebra Linear

1U

nida

de


clássico. Mas por certo que, no mundo quântico, h tem um valor finito!

Vamos agora chegar à quantização de Bohr para o momento angular, partindo da regra geral de quantização. Para um elétron ligado que se move em órbita circular, a coordenada angular θ representa uma função periódica no tempo, cujo comportamento, em relação a ,t é uma função do tipo dente de serra, oscilando linearmente no intervalo de 0 a 2 .radπ Aplicando a regra de quantização ao momento angular do elétron, tem-se:

qp dq Ld nhθ= =嚀嚀(3.32)

Reescrevendo a expressão acima:

2

0

2Ld L d L nhπ

θ θ π= = =嚀嚀Assim,

2 L nhπ =

Chega-se à quantização de Bohr:

2nhL nπ= =

Uma interpretação alternativa para a quantização de Bohr foi apresentada em 1924, por De Broglie (o mes-mo das ondas de partículas!), a partir da interpretação da regra geral de quantização. De Broglie argumentou que as órbitas possíveis para o elétron são aquelas nas quais a circunferência da órbita pode conter exatamente um número inteiro de comprimentos de onda de de Broglie.

saiba mais

A função dente-de-serra é uma função periódica do tipo não-senoidal, que con-siste simplesmente de uma rampa ascendente, que então salta abruptamen-te para o ponto inicial, na passagem para o próximo ciclo.

Imagem 3.10: Função dente de serra

62 EADFísica

Isso porque, segundo Bohr:

2nhmvr prπ

= =

Mas, segundo de Broglie, / ,p h λ= e, portanto:

2

hr nhλ π

=

Equivalentemente:2 1, 2,3r n nπ λ= = …

(3.33)Nesta abordagem, ao elétron que se move com velocidade cons-

tante em uma órbita circular é associada uma onda, de comprimento de onda ,λ envolvendo a órbita circular. Neste cenário, o modelo on-dulatório não considera um movimento progressivo do elétron, mas, sim, considera a existência de ondas estacionárias, onde apenas certos comprimentos de onda são possíveis para aquela órbita. No entanto, para obter as ondas estacionárias, é necessário que haja ondas de igual amplitude e se propaguem em sentidos opostos. Assim, é permitido ao elétron percorrer a órbita em qualquer sentido, desde que seja mantida a regra de quantização do momento angular. Neste caso, o padrão resul-tante será o de uma onda estacionária com comprimento de onda dado de De Broglie. Esta nova interpretação para a regra de quantização do momento angular em função da existência de ondas estacionárias de De Broglie é também embasada pela regra de quantização de Wilson-Som-merfeld, consolidando, assim, o modelo de Bohr com uma justificativa mais consistente para a dinâmica do elétron.

11 O MODELO DE SOMMERFELD

Outra aplicação importante das regras gerais de quantização consiste na análise das órbitas elípticas para o átomo de hidrogênio.


Álgebra Linear

1U

nida

de


Esta análise foi realizada por Sommerfeld na tentativa de explicar um importante efeito observado no espectro atômico do hidrogênio, a estrutura fina espectral. Este efeito consiste na separação de uma linha espectral em várias componentes distintas, fenômeno observado em praticamente todos os espectros atômicos. No entanto, a observação deste efeito requer o uso de equipamentos óticos com alta resolução angular, de modo a conseguir decompor as componentes de uma única linha, cuja sepa-ração é muito pequena, cerca 410− vezes a separação en-tre as próprias linhas! Seguindo o raciocínio do átomo de Bohr, esta estrutura fina espectral significa que um único estado de energia considerado pode ser constituído de vários outros estados com energias muito próximas.

No ímpeto de explicar o fenômeno da estrutura fina para o átomo de hidrogênio, Sommerfeld considerou a possibilidade de existirem órbitas elípticas para o elétron, nas quais o próton, representando o núcleo, estaria em um dos focos da elipse. Usando inicialmente os argumentos da mecânica clássica e as regras gerais de quantização, Sommerfeld terminou por formular um novo modelo para o átomo. Desta vez, subdividido em vários níveis eletrônicos.

De acordo com as regras de quantização descritas na seção anterior para o caso de órbitas circulares, é pos-sível chegar à relação

Ld n h L nθ θθ = => = 嚀

No entanto, para uma órbita elíptica, com razão entre os eixos, / ,a b o cálculo acima, quando realizado em termos das coordenas polares, resulta em uma relação distinta, do tipo:

Imagem 3.9: Arnold SommerfeldFonte: http://www-groups.dcs.

st-and.ac.uk/history/PictDisplay/Sommerfeld.html

64 EADFísica

1 raL nb

− =

(3.34)Combinando com a condição de equilíbrio dinâmico, é possível

encontrar os semieixos permitidos e a energia total, ,E de um elétron nessas órbitas elípticas, a saber:

2 20

2

4 naZe

πµ

=

(3.35)

nb anθ=

(3.36)2 2 4

2 20

14 2

Z eEn

µπ

= −

(3.37)

Sendo µ a massa reduzida do elétron e n o número quânti-co definido como:

rn n nθ≡ +

Como:1,2,3 0,1, 2,3rn e nθ = … = …

Então: 1,2,3,4 n = …

Para certo valor de ,n nθ pode assumir os valores:

1,2,3 ,n nθ = …

O número quântico n é chamado de número quântico principal, ,nθ o número quântico azimutal, enquanto rn é o número quântico

orbital.


Álgebra Linear

1U

nida

de


Note que a equação () estabelece a razão entre os semieixos maior e menor da elipse, indicando a forma da órbita. Para o caso de

,n nθ = as órbitas são meramente círculos de raio a. Repare ainda que, conforme a relação (), o raio das órbitas circulares de Sommerfeld é idêntico ao raio dos orbitais puramente esféricas do modelo de Bohr. A relação entre as escalas das órbitas possíveis aos três primeiros valores de número quântico principal é ilustrada na Figura 3.8. Para cada valor do número quântico principal, ,n há n diferentes órbitas possíveis, sen-do uma delas esférica e as demais elípticas. No entanto, como a energia total do elétron só depende de ,n existem várias órbitas caracterizadas por um mesmo valor .n Estas órbitas são chamadas órbitas degenera-das. Assim, as energias de diferentes elétrons, em diferentes órbitas, ou estados quânticos, se degeneram em um mesmo valor.

Figura 3.8: Modelo de Sommerfeld – órbitas elípticas com núcleo localizado no foco comum das elipses, indicado pelo ponto.

Para anular a degenerescência do átomo de hidrogênio e “se-parar” os diferentes níveis, Sommerfeld resolveu introduzir nos seus cálculos correções relativísticas para a dinâmica dos elétrons. Embora a ração /v c seja muito pequena, aproximadamente 210 ,− este valor é jus-

66 EADFísica

tamente a ordem de grandeza da separação entre os estados de energia do átomo de hidrogênio. Assim, para explicar a estrutura fina do espec-tro de hidrogênio, Sommerfeld, considerando as devidas correções re-lativísticas para a massa do elétron em função de sua velocidade média, chegou a um resultado surpreendente: a precessão da órbita do elétron. Neste caso, o eixo maior da elipse gira no plano da trajetória em torno do núcleo. O resultado final dos cálculos levou a uma nova fórmula do espectro do átomo de hidrogênio em função dos números quânticos:

2 4 2 2

2 2 20

1 31(4 ) 2 4

Z e ZEn n n nθ

µ απ

= − + −

(3.38)

O parâmetro que aparece na equação acima é denominado cons-tante de estrutura fina e é estimado em:

23

0

1 17,297 104 137

e xc

απ

−≡ = ≅

(3.39)

O diagrama dos níveis de energia para o átomo de hidrogênio, estimado de acordo com o cálculo de Sommerfeld para a energia dos elétrons, é ilustrado na Figura 3.9. A título de ilustração, a separação entre as linhas relativas aos níveis energia para um mesmo valor de n foi exageradamente separada para melhor compreensão do conceito de estrutura fina. As setas em traço contínuo representam as linhas en-contradas nos espectros experimentais, em ótima concordância com as previsões teóricas. No entanto as linhas pontilhadas, apesar de não haver nenhuma restrição teórica, nunca foram observadas. Este fato su-gere que haja uma restrição natural entre as transições que realmente ocorrem nos átomos. Nota-se que são observadas diretamente apenas as transições que respeitam a regra:

1i fn nθ θ− = ±

(3.40)


Álgebra Linear

1U

nida

de

Esta relação é conhecida na física quântica como regra de seleção.

Figura 3.9 – Separação da estrutura fina de alguns níveis de energia do átomo de hidrogênio. A separação foi bastante exagerada para que esta representação fosse possível. As transições que produzem as linhas observadas são indicadas por setas sólidas. As linhas correspondentes às setas tracejadas não são encontradas nos espectros.

Apesar do progresso alcançado na explicação da estrutura fina do espectro de hidrogênio, a teoria de Sommerfeld também não obteve sucesso com átomos mais complexos. E, mais uma vez, os cientistas do século XX tiveram que reconhecer que faltava um embasamento mais profundo nas teorias apresentadas. Um fator fortemente questionável aos modelos atômicos da época era que, embora as previsões teóricas estivessem se ajustando às medidas experimentais, as justificativas impostas na forma de postulados e regras restritivas não conseguiam fornecer elementos suficientes para construir uma teoria concisa.

Um dos grandes nomes a questionar o caminho no qual a descrição do mundo quântico estava seguindo foi o próprio Bohr. No início da década de vinte, Bohr começou a realizar uma análise mais crítica de sua teoria, no intuito de chamar a atenção da comunidade científica de que faltava encontrar os princípios elementares que permitissem interpretar e descrever os fenômenos quânticos, de maneira geral e mais lógica, de modo que os conceitos emergissem naturalmente da teoria. E esta descoberta não tardou a chegar. Como veremos no próximo Capítulo, graças a outros grandes nomes, como Schroedinger, Heisemberg e Dirac, uma nova Teoria Quântica, muito mais moderna e concisa, nasceu e se formalizou, desvendando a natureza do mundo microscópico.

RESUMINDO

Dalton: toda matéria é composta de partículas fundamentais, permanentes e indivisíveis, denominadas átomos. Estes não podem ser criados nem destruídos espontaneamente. Todos os átomos de certo elemento são idênticos em todas as suas pro-priedades.

Thomson: o átomo é considerado como uma espécie de fluido com uma distribuição esférica contínua de carga positiva, onde estariam incrustados os elétrons com carga negativa. Devido à repulsão mútua, os elétrons estariam uniformemente distribuí-dos na esfera positiva com raio da ordem da grandeza conhecida de um átomo, cerca de 1010 m.−

Rutherford: mostrou que os dados do experimento com partí-culas á , eram consistentes com um modelo atômico, no qual a carga positiva estaria concentrada em uma pequena região cen-tral, chamada núcleo.

Uma partícula á que passe bem perto do núcleo pode ser espa-lhada, devido à repulsão coulombiana. Fórmula de espalhamen-to de Rutherford:

( ) ( )2 22

2 40

1 zZe Iñt2ð senÈdÈÈ dÈÈ4ð 2Mv sen 2

=

Espectros atômicos: a absorção e emissão de radiação eletro-magnética em comprimentos de onda bem específicos, carac-terísticas de átomos, moléculas e núcleos. O conjunto de raias emitidas compõe o espectro de emissão, enquanto o conjunto discreto de raias escuras define o espectro de absorção do áto-mo.

Bohr: elétrons se movem órbitas circulares em torno do núcleo, sendo o momento angular orbital L um múltiplo inteiro de . Emissão de radiação é permitida somente nas transições entre estados estacionários, sendo a frequência do fóton emitido:

i fE Eíh−

=

Uma vez imposta a quantização do momento angular, as ener-gias dos estados permitidos são:

( )

2 4

2 220

mZ e 1 En4ð 2

= −

Séries espectroscópicas, como as de Lyman e Balmer: fórmulas capazes de representar os comprimentos de onda observados para o átomo de hidrogênio.

Espaço de fase: denominação dada à representação no espaço p x,− sendo o gráfico correspondente denominado diagrama de fase.

Sommerfeld: órbitas elípticas para o átomo, a constante de es-trutura fina, á, e o conceito de degenerescência. Novo espectro do átomo de hidrogênio em termos do número quântico azimu-tal e número quântico orbital:

2 4 2 2

2 2 20è

ì Z e á Z 1 3E 1(4ð ) 2n n n 4n

= − + −

Regra de seleção: definem as transições permitidas: èi èfn n 1− = ±

Atividade: Exercícios para Fixação

1. Faça uma lista das objeções ao modelo atômico de Thomson.

2. Qual é a distância de maior aproximação de uma partícula α com 5,30MeV a um núcleo de cobre em uma colisão frontal?

3. Uma partícula α de 5.30 MeV é espalhada por um ângulo de 60º ao passar por uma na folha metálica de ouro. Calcule: a) a distância de máxima aproximação, D , para uma colisão fronta; l e )b o parâmetro de impacto, b , correspondente ao ângulo de espalhamento de 60º .

4. Explique porque o modelo de Rutherford é considerado instá-vel.

5. Usando o modelo de Bohr, calcule a energia necessária para re-mover um elétron de um átomo de hélio ionizado.

6. Compare a atração gravitacional entre um elétron e um próton no estado fundamental de um átomo de hidrogênio com a atra-ção coulombiana entre eles. Temos razão para ignorar a força gravitacional?

7. Usando o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio em seu estado fundamental ( 1),n = calcule: )a o raio da órbita, )b o


Álgebra Linear - Espaços Vetoriais de Dimensão Finita

2U

nida

de


momento linear do elétron, o momento angular do elétron, a energia cinética, a energia potencial, a energia total.

8. Um átomo de hidrogênio inicialmente no nível fundamental ab-sorve um fóton que o excita até o nível 4.n = Determine o com-primento de onda e a frequência do fóton absorvido.

9. Mostre que a frequência de rotação de um elétron em um átomo no modelo de hidrogênio de Bohr é dada por: 2 / ,E nhν = onde E é a energia total do elétron.

10. O que difere a série de Balmer das demais séries espectroscó-picas?

11. Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Bal-mer.

12. Calcule o menor comprimento de onda da série de Lyman e o da série de Pashen para o hidrogênio. Em qual região do espectro eletromagnético está cada um?

13. Mostre que a constante de Planck tem dimensões de momento angular.

14. O que é degenerescência? Explique.

15. Explique a relação conhecida como regras de seleção.

72 EADFísica

Bibliografia Consultada

ABDALLA, Maria Cristina. Bohr, o Arquiteto do Átomo. 2. ed. São Paulo: Odysseus Editora Ltda., 2006.

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Álgebra Linear - Espaços Vetoriais de Dimensão Finita

2U

nida

de

Suas anotações

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A MECÂNICA QUÂNTICA

Nesta unidade, serão apresentadas as bases da mecânica quântica por meio das discussões sobre:

• a função de onda e a equação de Schroedinger;• a interpretação de Born para o comportamento da função de

onda;• os valores esperados da mecânica quântica;• a equação independente do tempo e as soluções quantizadas;

os conceitos de: operadores, autofunção e autovalores da mecânica quântica.

Aofinaldestaetapa,oalunoserácapazde:

• conhecer o formalismo e se familiarizar com as ferramentas da teoria quântica;

• compreender o processo de extração de informações segundo a mecânica quântica;

• entender os conceitos de operadores, autofunções e autovalores, e como estes se aplicam à descrição do mundo quântico.

4ªunidade


A mecânica quântica

4U

nida

de

77UESC

Álgebra Linear

1 INTRODUÇÃO

Nas unidades anteriores, discutimos os principais argumentos e desenvolvimentos que levaram à formulação da física quântica. O fenômeno da quantização de energia, a dualidade onda-partícula, o princípio da incerteza, os espectros atômicos e os modelos propostos foram, sem sombra de dúvida, motivo de inspiração para o surgimento de uma nova mentalidade científica. Apesar da natureza bizarra de alguns fenômenos, o progresso alcançado na explicação do mundo quântico observado indicava o caminho de uma nova teoria quântica. Muito esforço foi realizado pelos cientistas da época na tentativa de consolidar uma teoria quântica profunda, eficaz na explicação dos fenômenos e livre de objeções, uma teoria na qual os conceitos emergissem naturalmente e pudessem ser interpretados de maneira global e intuitiva. Este esforço foi recompensado em 1925, quando o físico austríaco Erwin Schroedinger apresentou um método completamente diferente para descrever de maneira geral o comportamento dos fenômenos, a chamada mecânica ondulatória, base para todo o desenvolvimento da Mecânica Quântica. Seguido pela interpretação de Born e Heisenberg, a Física Quântica finalmente alcançou uma descrição coerente do comportamento da natureza em pequena escala. Como veremos nesta Unidade, a partir de uma generalização do postulado de De Broglie, a nova teoria quântica apresentada por Schroedinger descreve uma mecânica ondulatória capaz de explicar as ondas de matéria e as órbitas discretas dos elétrons atômicos, alcançando êxito até mesmo na explicação de átomos complexos, e, para completar, compatível com o princípio da incerteza. No entanto, como você, estudante, já deve estar imaginando, tudo isso à custa de uma brilhante e inovadora interpretação do mundo microscópico. Mais um exemplo na história da ciência de que a criatividade, quando aliada ao formalismo científico, pode revolucionar o mundo das ideias. Portanto abra a sua mente!

Nesta Unidade, vamos inicialmente estudar a equação desenvolvida por Schroedinger para a mecânica quântica, a qual descreve o

Física Moderna

78 EADFísica

comportamento de qualquer função de onda associada a uma partícula. Vamos estudar a relação desenvolvida por Max Born que relaciona o comportamento da função de onda ao comportamento da partícula associada. As soluções específicas para a equação de Schroedinger serão abordadas na unidade seguinte; mas, ainda nesta Unidade, veremos como as soluções de uma forma geral levam, de forma natural, à quantização de energia e a outros importantes fenômenos de natureza quântica.

2 A INTERPRETAÇÃO DE SCHROEDINGER, BORN E HEISENBERG

Na unidade 2, vimos que o postulado de De Broglie diz que o movimento de uma partícula microscópica é governado pela propagação de uma onda associada. Apesar de não dizer como a onda se propaga, o postulado é eficaz na estimativa do comprimento de onda calculado a partir das medidas de difração observada no movimento da partícula. No entanto o postulado se refere apenas aos casos nos quais o comprimento de onda é constante. Se o momento da partícula não é constante, isto é, se a partícula está sob a ação de uma força, então o comprimento de onda da partícula deve mudar, todavia o comprimento de onda de De Broglie não é sequer bem definido para o caso de mudanças rápidas no momento da partícula. Como definir o comprimento de onda variável, se a separação entre máximos adjacentes é diferente da separação entre mínimos adjacentes? Além do mais, para sabermos exatamente como a onda governa a partícula, faz-se necessário ter uma relação quantitativa entre as propriedades da partícula e as propriedades da função que descreve a onda. Esta relação é obtida por meio da chamada equação de Schroedinger.

Imagem 4.1: Erwin SchrodingerFonte: http://deskarati.

com/2012/03/18/erwin-schrodinger/



4U

nida

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A equação de Schroedinger fornece a forma da função de onda Ø( , )x t caso saibamos qual é a força que atua sobre a partícula associada, especificando a energia potencial correspondente. Assim sendo, a função de onda é uma solução da equação de Schroedinger para certa energia potencial. Mas você deve estar se perguntando, que tipo de equação tem como solução uma função? O tipo mais comum é uma equação diferencial e, de fato, a equação de Schroedinger é uma equação diferencial. Isto é, a equação é uma relação entre sua solução Ø( , )x t e suas derivadas em relação às variáveis independentes para posição e tempo. Como há mais de uma variável independente, a equação de Schroedinger é uma equação diferencial parcial. Mas, por que uma função de onda? Para fazer a ligação entre partículas e ondas, é necessário que haja uma interpretação da dualidade onda-partícula. Einstein, ao estudar o efeito fotoelétrico, unificou inicialmente as teorias: ondulatória e corpuscular para a radiação. Já o físico alemão, naturalizado britânico, Max Born, aplicando um argumento semelhante, unificou as mesmas teorias para a matéria, vejamos como: No modelo ondulatório, segundo a teoria eletromagnética de Maxwell, a intensidade da radiação,

,I é proporcional a 2 ,E onde 2E é o valor médio, sobre um período, do quadrado do campo elétrico da onda. Este é o chamado vetor de Poynting da radiação. Para o modelo do fóton, interpretação corpuscular da radiação, de acordo com a sugestão de Einstein, a intensidade da radiação, ,I é descrita em função do número médio de fótons por unidade de tempo que cruzam uma unidade média de área perpendicular à direção de propagação dos mesmos, sendo: .I Nhν= Assim sendo, de modo a unificar as teorias, estas duas estimativas precisam ser proporcionais, de modo que as ondas, cuja intensidade

Uma derivada parcial é uma derivada de uma fun-ção de várias variáveis independentes, calculada fazendo-se com que uma delas varie, enquanto as demais são mantidas fixas. Isto é indicado usando-se um símbolo como Ø / x∂ ∂ em vez do símbolo para a derivada comum, Ø / .d dx Já uma equação diferen-cial é aquela na qual a fun-ção incógnita aparece sob a forma da sua derivada. Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação di-ferencial ordinária. Haven-do duas ou mais variáveis independentes, as deriva-das são parciais e a equa-ção é denominada equa-ção diferencial parcial. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece. A solução de uma equação diferencial é sempre uma função das variáveis independentes.

lembrete

Física Moderna

80 EADFísica

pode ser medida por 2 ,E podem ser vistas como ondas condutoras de fótons. Deste modo, as ondas medem o número médio de fótons por unidade de volume. Portanto, de acordo com a interpretação de Einstein, 2E representa uma medida da probabilidade da intensidade de fótons, ou seja:

2

0

1I Nhc

νµ

= =

E(4.1)

A palavra média é regularmente empregada, uma vez que os processos de emissão são de natureza estatística. Assim, não é especificado exatamente o número de fótons, mas apenas o número médio deles, o número exato pode flutuar no tempo e no espaço. Para associar uma função que represente a onda de De Broglie, pode-se considerar uma partícula que se move na direção x descrita como uma função senoidal simples de amplitude ,A tal como:

( )Ø , 2 xx t Asen tπ νλ

= − (4.2)

Sendo esta uma onda senoidal de frequência ν e comprimento de onda ,λ que tem amplitude constante igual a ,A e que se move com velocidade uniforme no sentido positivo do eixo .x Analogamente, ao campo elétrico de uma onda eletromagnética senoidal de comprimento de onda λ e frequência ,ν se movendo no sentido positivo do eixo :x

( ), 2 xx t Asen tε π νλ

= − (4.3)

Não confunda Born com Bohr! O arquiteto do átomo, aquele res-ponsável pelo “modelo atômico de Bohr” foi Niels Bohr, físico di-namarquês, nascido em Copenha-gue, no dia 7 de outubro de 1885 e falecido em 18 de novembro de 1962. Niels Bohr recebeu o prêmio Nobel de Física em 1922. Já Max Born foi um físico alemão, natu-ralizado britânico, nascido em 11 de dezembro de 1882, na cidade de Göttingen, e falecido em 5 de janeiro de 1970. Max Born foi um importante estudioso, grande in-térprete e defensor da mecânica quântica, tendo sido laureado com o Nobel de Física de 1954.

lembrete

Imagem 4.3: Niels Bohr, o arquiteto do átomo.

Fonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/

laureates/1922/bohr-bio.html

Imagem 4.2: Max Born, o intérprete da mecânica quânticaFonte: http://es.wikipedia.org/

wiki/Max_Born



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Assim, a grandeza ε representa uma onda de radiação associada a um fóton, enquanto a grandeza Ø representa uma onda de matéria associada a uma partícula material. A grandeza 2Ø vai, para as ondas de matéria, desempenhar um papel análogo ao desempenhado por

2ε para a radiação, uma medida da probabilidade de encontrar uma partícula em uma unidade de volume em um dado ponto e instante de tempo.

Portanto, segundo a interpretação de Born: toda a evolução de eventos é determinada pelas leis da probabilidade. A um estado no espaço corresponde uma probabilidade definida, que é dada pela onda de De Broglie associada ao estado. Um processo mecânico é, portanto, acompanhado por um processo ondulatório, sendo esta a “onda condutora”, descrita pela equação de Schroedinger, cujo significado é o de dar a probabilidade de um curso definido do processo mecânico. Se, por exemplo, a amplitude da onda condutora for zero num certo ponto do espaço, isto significa que a probabilidade de encontrarmos a partícula nesse ponto é praticamente nula. Assim como na interpretação de Einstein para a radiação, não é especificada a localização exata de um fóton num dado instante; mas, em vez disso, especifica-se por meio de 2ε a probabilidade de encontrar o fóton numa certa região, num dado instante. Também na interpretação de Born não é especificada a localização exata de uma partícula, mas sim a probabilidade 2Ψ de encontrar uma partícula em um dado ponto, em um dado instante.

Do mesmo modo que procedemos em relação às ondas eletromagnéticas, é possível somar funções de onda 1 2(Ø Ø Ø)+ = para duas ondas superpostas, cuja intensidade resultante é dada por

2.Ψ Este é o chamado princípio da superposição, aplicável tanto à matéria quanto à radiação. Este princípio assegura às ondas de matéria a propriedade de interferência e difração, tal qual acontece com as ondas eletromagnéticas, sejam elas interferência construtiva (superposição em fase) ou destrutiva (fora de fase). Assim, na física quântica, é assegurado que duas ondas de matéria possam se combinar para dar uma onda resultante de grande intensidade ou se anular por completo, contrariamente a toda e qualquer previsão da física clássica. Como veremos, a equação de onda da mecânica quântica tem muitas propriedades em comum com a equação de onda clássica, mas também muitas diferenças importantes.

A interpretação probabilística da mecânica quântica, apresentada inicialmente por Born e Heisenberg em 1927, possibilitou o elo para

Física Moderna

82 EADFísica

ligação entre as descrições ondulatória e corpuscular da matéria e radiação, refutando definitivamente o determinismo da física clássica. Se antes era suficiente conhecer a posição e o momento preciso de uma partícula para a descrição do movimento futuro da mesma, agora, de acordo com a mecânica quântica, é bastante prever apenas a probabilidade de que a partícula seja encontrada em uma dada posição em um dado instante.

Imagem 4.4: Werner HeisenbergFonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_da_incerteza_de_

Heisenberg Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função senoidal expressa em (4.2) para todas as variáveis independentes.

Solução:

Vamos inicialmente reescrever a função em termos das grandezas 2 /k π λ= e 2 .ω πν= Assim:

( )Ø , 2 ( )xx t Asen t Asen kx tπ ν ωλ

= − = −

As variáveis independentes são x e .t Inicialmente, vamos tratar t como constante e derivar a função em relação a .x Assim, a derivada primeira será:

( )Ø( , ) ( )x t Asen kx t Akcos kx tx x

ω ω∂ ∂ −= = −

∂ ∂

E a derivada segunda:

EXERCÍCIO RESOLVIDO



4U

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de

( )2

22

Ø( , ) ( )x t cos kx tAk Ak sen kx tx x

ω ω∂ ∂ −= = − −

∂ ∂

Agora, x será mantido constante e vamos derivar em relação a :t

( )Ø( , ) ( )x t Asen kx t A cos kx tt t

ω ω ω∂ ∂ −= = − −

∂ ∂

A derivada segunda:

( )2

22

Ø( , ) ( )x t cos kx tA A sen kx tt t

ωω ω ω∂ ∂ −= − = −

∂ ∂

Assim, observa-se que o efeito de tomar a segunda derivada espacial temporal é apenas o de introduzir um fator 2 ,k− e o efeito de tomar a primeira derivada temporal é introduzir um fator – .ω

3 A EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER

Antes de discutirmos a função de onda, precisamos encontrar a equação de onda, aquela equação diferencial cuja solução é a função de onda. Mas, que equação estamos procurando? Provavelmente, esta é a mesma pergunta que Newton e Maxwell se fizeram ao iniciar os seus trabalhos. Mas, no caso específico da mecânica quântica, temos algumas indicações. Estamos procurando por uma equação que satisfaça as seguintes condições:

Física Moderna

84 EADFísica

1. Deve ser consistente com os postulados de De Broglie e Einstein, de modo que: /h pλ = e / .E hν =

2. Dever ser consistente com a equação clássica, que relaciona a energia total E de uma partícula de massa m com sua energia cinética 2 / 2p m e sua energia potencial :V 2 / 2 .E p m V= +

3. Deve ser linear em Ø( , ),x t de modo que, se 1Ø (x, t) e

2Ø (x, t) são duas soluções diferentes da equação para uma dada energia potencial ,V então qualquer combinação linear arbitrária dessas soluções, também será solução, de modo que: ( ) ( ) ( )1 1 2 2Ø , Ø x, t Ø x, t .x t c c= + Esta condição assegura a linearidade da função de onda e garante que poderemos somar funções de onda para produzir as interferências construtivas e destrutivas, observadas no movimento ondulatório.

4. Deve ser tal que: se 0( , ) ,V x t V= então: ( , ) / 0.F V x t dx= −∂ =

Esta condição especial estabelece que, de acordo com a física clássica, se a energia potencial é constante, a força atuante na partícula será nula, exatamente como acontece no caso de uma partícula livre. Neste caso, a energia E e o momento p da partícula deverão ser constantes, o que implica em comprimentos de onda ( / )h pλ = e frequência ( / )E hν = constantes. Neste caso, supõe-se que a equação almejada admite solução do tipo senoidal com as características discutidas na seção anterior, equação (4.2).

Partindo da equação de energia (item 2) e aplicando os postulados de De Broglie e Einstein (item 1), tem-se:

( )2

2 ,2

h V x t hm

νλ

+ =

(4.4)



4U

nida

de

Por conveniência, vamos substituir na equação anterior as grandezas:

2, 22h k eπ ω πνπ λ

= = =

(4.5)

A grandeza k é denominada número de onda angular, enquanto a grandeza ϖ é denominada frequência angular. Deste modo, a equação (4.4) resulta em:

( )2 2

,2

k V x tm

ω+ =

(4.6)

Para satisfazer a condição do item 3, ou seja, para que a equação acima seja linear em ( )Ø , ,x t é necessário que cada termo na equação diferencial seja proporcional à primeira potência de Ø( , ).x t

Outra questão importante é a forma da solução para a partícula livre, constante no item 4. Para aplicá-la, devemos primeiro tentar escrever uma equação contendo a função de onda senoidal. Conforme observamos no exercício resolvido da seção anterior, o efeito de tomar a segunda derivada espacial temporal é apenas o de introduzir um fator 2 ,k− e o efeito de tomar a primeira derivada temporal é introduzir um fator – .ω Como a equação que procuramos deve conter um fator em 2k e outro em ω , para satisfazer a condição 2, equação (4.6), essas derivadas,

2

2Ø

x∂∂

e Ø ,t

∂∂

devem estar presentes na equação. Lembrando ainda que, de modo a assegurar a linearidade, todos os termos devem conter um fator de ( )Ø , .x t Juntando todas essas condições, chega-se a uma equação diferencial da forma:

( ) ( )2

2Ø( , ) Ø( , ),Ø ,x t x tV x t x t

x tα β∂ ∂

+ =∂ ∂

(4.7)

Física Moderna

86 EADFísica

Onda α e β são constates, cujos valores ainda precisam ser determinados.

Para verificar se a equação anterior é condizente com a condição 3, caso de um potencial constante, ( ) 0 ,,V x t V= basta substituir a função senoidal e suas derivadas (calculadas no exercício da seção anterior) na expressão anterior. Neste caso, obtém-se:

( ) ( )20 cos( )Asen kx t k Asen kx t V A kx tα ω ω β ω ω− − + − = − −

Uma vez que a constante A aparece em todos os termos, podemos eliminá-la da expressão, para simplificar os cálculos. Assim:

( ) ( )20 cos( )sen kx t k sen kx t V kx tα ω ω β ω ω− − + − = − −

(4.8)

Não podemos esquecer que a equação (4.8) precisa ser equivalente à equação (4.6). No entanto, o fato de a derivação implicar na troca entre os termos seno e cosseno, gera uma dificuldade a mais. A princípio, poderíamos pensar no caso especial em que: ( ) cos( ).sen kx t kx tω ω− = − No entanto, esta condição seria muito limitante aos problemas físicos. Uma solução não muito diferente, e bastante interessante, seria considerar para a função de onda da partícula livre, não apenas uma única função senoidal, mas sim uma combinação do tipo:

( ) ( )Ø , cos ( )x t kx t sen kx tω γ ω= − + −

(4.9)

onde γ é mais uma constante a ser determinada. Vamos então recomeçar os cálculos. Primeiro as derivadas:



4U

nida

de

( )Ø( , ) cos( )x t ksen kx t k kx tx

ω γ ω∂= − − + −

∂

( )2

2 22

Ø( , ) ( )x t k cos kx t k sen kx tx

ω γ ω∂= − − − −

∂

( )Ø( , ) cos( )x t sen kx t kx tt

ω ω ωγ ω∂= − − −

∂

(4.10)

Agora, substituindo a função Ø( , ),x t equação (4.9) e suas derivadas, equações (4.10), na expressão (4.7), temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 20 0cos cos

cos( )

k kx t k sen kx t V kx t V sen kx t

sen kx t kx t

α ω α γ ω ω γ ω

βω ω βωγ ω

− − − − + − + − =

= − − −

Agrupando os termos de seno e cosseno:

( ) ( )2 20 0cos 0k V kx t k V sen kx tα βωγ ω α γ γ βω ω − + + − + − + − − =

Para que a igualdade acima seja verdadeira, é necessário que todos os termos que multiplicam os fatores em seno e cosseno sejam nulos. Desta forma, as condições necessárias são:

20 0k Vα βωγ− + + =

(4.11)

e:

20 0k Vα γ γ βω− + − =

Física Moderna

88 EADFísica

que, por sua vez, é equivalente a:

20k V βωα

γ− + =

(4.12)

Agora, são três equações algébricas que precisamos satisfazer: as duas equações acima (4.11 e 4.12), além da equação (4.6), aquela que consideramos lá no início.

Combinando 4.12 de 4.11, tem-se:

0βω βωγγ

+ =

Ou seja:

1γγ−

=

De modo que:

2 1γ = −

Cuja solução é:

1 iγ = ± − ≡ ±

(4.13)

Portanto a única solução possível para γ é um valor complexo, o número imaginário, .i Substituindo (4.13) em (4.11), temos:



4U

nida

de

20k V iα βω− + = ±

Comparando diretamente com a equação (4.6):

2 2

02k Vm

ω+ =

Tem-se:

2

2

e im

α β= − = ±

Note que a escolha do sinal em β é irrelevante para a equação final tipo 4.7 e, assim, convencionou-se a escolha do sinal positivo.

Portanto a expressão final da equação diferencial que satisfaz todas as hipóte-ses relativas à equação de onda da mecânica quântica é:

( ) ( )2

2( , ) ( , ), ,

2x t x tV x t x t i

m x t∂ Ψ ∂Ψ

− + Ψ =∂ ∂

(4.14)

A equação acima foi obtida pela primeira vez em 1926 por Erwin Schroedinger e é, portanto, chamada de equação de Schroedinger. As soluções para ( , ).x tΨ Nos dão as funções de onda que devem ser associadas ao movimento de uma partícula de massa m sob influência de forças que são descritas pela função energia potencial

( , ).V x t

Por certo que o caminho percorrido por Schroedinger para chegar à equação (4.14) foi diferente da argumentação apresentada acima, mas, de fato, o ponto de partida do seu trabalho foi mesmo o postulado de De Broglie. Importante notar que a equação de Schroedinger expressa conforme a equação (4.14) não é válida para partículas relativísticas. Lembre-se que partimos da formulação clássica de energia para

Física Moderna

90 EADFísica

chegar até a equação apresentada. A formulação adequada para casos de partículas com velocidades comparáveis a da luz seria do tipo:

( )22 2 20 ,E c p m c V= + + conforme discutimos na Unidade 1. A

formulação relativística para a equação de onda da mecânica quântica foi obtida em 1928, pelo físico inglês Paul Dirac, usando basicamente os mesmo argumentos apresentados nesta seção. Como você já deve estar imaginando, no limite de baixas velocidades, a equação de Dirac se reduz à equação de Schroedinger. Por suas contribuições no desenvolvimento da mecânica quântica, Erwin Schroedinger e Paul Dirac receberam o prêmio Nobel de física no ano de 1933.

Erwin Schrödinger nasceu em 1887, na cidade de Viena, na Áustria, e, em 1926, publicou os artigos que lhe dariam o título de fundador da mecânica quântica. Outro importante cientista a contribuir para a consolidação desta nova teoria foi Paul Dirac. Este nasceu em 1902, na cidade de Bristol, na Inglaterra, e publicou em 1928 importantes trabalhos sobre a teoria quântica relativística do elétron e a previsão de existência das antipartículas. Em 1933, Schrodinger e Dirac dividiram o cobiçado prêmio Nobel de Física e são reconhecidos como dois dos maiores cientistas da física moderna.

você sabia?

Imagem 4.5: Erwin Schrodinger (esquerda) e Paul Dirac (direita)Fonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/

laureates/1933/

Verifique a linearidade da equação de Schroedinger em relação à função de onda ψ(x,t).

Solução:

Precisamos confirmar que, se ψ1(x,t) e ψ2(x,t) são duas soluções independentes para (4.14), para um dado ( , ),V x t então:

ψ(x,t)=c1ψ1(x,t)+c2ψ2(x,t)




4U

nida

de

também é solução, onde 1c e 2c são constantes de valores arbitrários. Para tanto, vamos checar a validade da combinação linear acima, substituindo-a na equação de Schroedinger. Assim, tem-se:

2 221 2 1 2

1 2 1 1 2 2) 1 22 2

( , ) ( , ) ( 02

x t x tc c V c c i c cm x x t tδ δ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ − + + Ψ + Ψ − + = ∂ ∂

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

2 22 2

1 1 2 21 1 2 22 2

( , ) ( , ) 02 2

x t x tc V i c V im x t m x tδ δ

∂ Ψ ∂Ψ ∂ Ψ ∂Ψ− + Ψ − + − + Ψ − = ∂ ∂

Note que cada termo dentro dos colchetes corresponde a uma equação particular de Schroedinger e, portanto, se cada uma das funções é solução da equação, a combinação linear também o será, mantendo a igualdade nula. E assim o será para qualquer valor de 1c e 2.c


A função de onda ( , )x tΨ para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é ,C pode ser expressa como:

( ) ( ) ( )2 2/2 /2 /,

Cm x i C mtx t Ae e− −Ψ =

onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução da equação de Schroedinger com potencial apropriado.

Física Moderna

92 EADFísica

Solução:

Vamos considerar que o ponto no qual a partícula está em repouso está localizado na origem do eixo ,x ou seja, 0.x = Neste caso, a energia potencial é:

V(x,t)=V(x)=Cx2 / 2

Portanto a equação de Schroedinger para esse potencial é:

2 22

2( , )

2 2x t C x i

m x tδ∂ Ψ ∂Ψ

− + Ψ =∂

Para verificar a validade da solução apresentada no enunciado, precisamos calcular as derivadas correspondentes:

∂∂

= −Ψ

Ψt

i Cm2

e

δδΨ

Ψ Ψx

Cm x Cm x= − = −2

2

2

2Cm Cm Cmx x

xδδ

Ψ= − Ψ − − Ψ

Rearranjando os termos:

2

22 2 Cm Cm x

xδδΨ

= − Ψ + Ψ



4U

nida

de

Substituindo na equação de Schroedinger, tem-se:

2 2

2 222 2 2 2

Cm Cm C i Cx x im m m

Ψ − Ψ + Ψ = − Ψ

ou:

2 2

2 2 2 2C C C Cx xm mΨ − Ψ + Ψ = Ψ

Portanto, como a igualdade acima é verdadeira, conclui-se que a solução apresentada no enunciado é valida.

4 AS FUNÇÕES DE ONDA

Na seção anterior, por meio de uma argumentação lógica, chegamos até a equação de Schroedinger, aquela cuja solução nos remete à função de onda de uma partícula sob ação de uma força em um dado potencial. Para finalizar o processo, tudo o que temos a fazer é resolver a equação diferencial de Schroedinger para obter informações sobre o movimento da partícula. Na Unidade seguinte, nos dedicaremos a encontrar, passo a passo, soluções apropriadas para uma série de sistemas quânticos importantes, mas por enquanto vamos nos concentrar na interpretação da função de onda. Na seção anterior, consideramos que a função de onda de uma partícula livre como sendo uma combinação linear de senos e cossenos, equação 4.9, e calculamos a constante de proporcionalidade, ,β chegando à expressão:

( ) ( ), cos ( )x t kx t i sen kx tω ωΨ = − + −

(4.15)

Física Moderna

94 EADFísica

Esta é, portanto, a forma da função de onda para uma partícula livre. Mas, o que exatamente esta função quer dizer? Note que a função de onda obtida é do tipo imaginária, ou seja, é uma função complexa e, por mais estranho que este resultado possa parecer, está absolutamente correto! Soluções reais não se adéquam às considerações da mecânica quântica, visto que a equação de movimento relaciona a segunda derivada espacial com a primeira derivada temporal da função. E mais, de acordo com a equação de Schroedinger, que também apresenta um fator imaginário, as funções de onda que serão solução da equação serão sempre complexas. A esta altura, você, estudante, deve estar se perguntando: mas este resultado é aceito fisicamente? Como medir na prática uma grandeza complexa? Na física clássica, onde reina o determinismo mecanicista, as equações de Newton fornecem diretamente valores precisos sobre as propriedades da partícula, como, por exemplo, a posição e a velocidade. No entanto, o mesmo não acontece na mecânica quântica, território onde as respostas estão subentendidas em meio a uma função complexa. Mas, então, que resposta a função de onda é capaz de nos oferecer? Ou ainda, como extrair de uma grandeza complexa, uma informação do mundo físico real? Na verdade, as funções de onda são apenas instrumentos de cálculo. Elas têm significado apenas no contexto da teoria de Schroedinger, da qual elas são parte fundamental. Como veremos, uma função de onda contém toda informação permitida pelo princípio da incerteza para a partícula associada. Você precisa apenas aprender a interpretar o seu significado. Lembre-se da recomendação inicial: abra a sua mente! A ligação entre as propriedades da função de onda ( ),x tΨ e o comportamento da partícula associada é expressa em termos da densidade de probabilidade ( , ).P x t Esta grandeza especifica a probabilidade, por unidade de comprimento do eixo x , de encontrar a partícula próxima da coordenada x em um instante .t Esta interpretação para a função de onda partiu de um postulado, enunciado por Max Born em 1926:



4U

nida

de

A justificativa de Born para essa associação entre a função de onda e o movimento da partícula é baseada no postulado de De Broglie. Se o movimento de uma partícula está associado à propagação de uma função de onda, é necessário que haja uma associação espacial entre estes dois entes. Isto é, a partícula terá maior probabilidade de estar em algum ponto onde a amplitude das ondas tenha um valor apreciável. Desta forma, Born associou à função de onda uma informação probabilística para a partícula. Se, na mecânica clássica, as previsões nos remetem a valores específicos, na mecânica quântica, as previsões são apenas estatísticas. Não é mais possível afirmar que uma partícula em um dado estado de energia será encontrada em uma posição precisa em um dado instante, mas apenas apresentar as probabilidades relativas de que a partícula seja encontrada. Por certo que a interpretação probabilística da mecânica quântica também se valeu das considerações do princípio da incerteza. Uma vez que a linguagem probabilística se sobrepõe às previsões certeiras, é naturalmente impossível prever a posição exata de uma partícula. Curioso notar que há uma forte semelhança conceitual entre a densidade de fótons em um campo de radiação eletromagnética com o quadrado do vetor de campo elétrico, e a densidade de probabilidade com a função de onda multiplicada pelo seu conjugado complexo. As duas grandezas especificam as amplitudes das ondas, embora o vetor campo elétrico seja real e a função de onda seja complexa. Em ambos os casos, o quadrado da amplitude das ondas está relacionado com sua intensidade. No caso eletromagnético, a intensidade das ondas é proporcional à sua densidade de energia e, por sua vez, proporcional à

Se, no instante t, for feita uma medida da localização da partícula associada

à função de onda ( , )x tΨ , então a probabilidade ( , )P x t dx de que a partícula seja

econtrada em uma coordenada entre x e x dx+ é igual a ( ) ( )* , , .x t x t dxΨ Ψ

Assim, é definida a função densidade de probabilidade, ( , ),P x t como sendo:

P x t x t x t, , ( , )*( ) = ( )Ψ Ψ

(4.16)onde o símbolo

*( , )x tΨ representa o conjugado complexo de ( , ).x tΨ

Física Moderna

96 EADFísica

densidade de fótons. No caso da mecânica quântica, a intensidade das ondas fornece a densidade de probabilidade de encontrar a partícula. Para calcular a probabilidade total de encontrar uma partícula em algum ponto do eixo ,x é necessário integrar a densidade de probabilidade em todos os valores de .x Por certo que esta probabilidade deve ser igual a um para que a partícula exista. Assim sendo, é válida a condição:

( ) ( ) ( )*, , , 1P x t dx x t x t dx∞ ∞

−∞ −∞

= Ψ Ψ =∫ ∫(4.17)

Para tanto, é necessário realizar o processo conhecido como normalização da função de onda. Este processo consiste em ajustar a amplitude da função de onda, por meio da inserção de uma constante multiplicativa, a fim de assegurar o valor unitário da integral acima.

Prove que ( ) ( )* , ,x t x tΨ Ψ é necessariamente uma função real, positivo ou nulo.

Solução:

Qualquer função complexa, como por exemplo ( ), ,x tΨ sempre pode ser escrita como:

( ) ( ), , ( , )x t R x t iI x tΨ ≡ +

Onde ( , )R x t e ( , )I x t são funções reais, chamadas, respectivamente, de partes real e imaginária. Da mesma forma, o complexo conjugado de ( ),x tΨ será:

( ) ( )* , , ( , )x t R x t iI x tΨ ≡ −

Multiplicando as duas funções, tem-se:




4U

nida

de


( )( )* R iI R iIΨ Ψ = − +

Assim, lembrando que 2 1:i = −

* 2 2 2 2 2R i I R IΨ Ψ = − = +

Portanto:

( ) ( ) ( ) [ ]2 2* , , , ( , )x t x t R x t I x t Ψ Ψ = +

Uma vez que o produto leva à soma de dois quadrados de funções reais, logo deve ser um valor real, positiva ou nula.

Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples citado no exercício resolvido da seção anterior, determinando o valor da constante arbitrária .A

Solução:

A probabilidade total de encontrar a partícula em algum ponto de todo o eixo x é necessariamente igual a um, se a partícula existe. Essa probabilidade total pode ser obtida matematicamente integrando-se a função densidade de probabilidade P sobre todos os .x Portanto:

( ) 2/* 2 1Cm xPdx dx A e dx∞ ∞ ∞

−

−∞ −∞ −∞

= Ψ Ψ = =∫ ∫ ∫

Como o integrando ( ) 2/Cm xe−

depende de 2 ,x ele é uma função par de x, isto é, seu valor para certo x é igual a ser valor para – .x Portanto a contribuição para o valor total da integral

Física Moderna

98 EADFísica

obtida na região de -∞ a 0 é igual à contribuição obtida na região de 0 a ,+∞ e, assim:

( ) ( )2 2/ /2 2

0

2Cm x Cm xA e dx A e dx∞ ∞

− −

−∞

=∫ ∫

O resultado da integral acima pode obtido via consulta a uma tabela de integrais, sendo:

( ) ( )21

2/

140 2( )

Cm xe dxCm

π∞−

=∫

Assim:

( )

18

14

( )CmAπ

=

Portanto este é o valor de A que assegura a normalização da função de onda.


Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.

Solução:

A função de onda para o oscilador em questão é:

( ) ( ) ( )2 2/2 /2 /,

Cm x i C mtx t Ae e− −Ψ =

A densidade de probabilidade é, portanto:

P x t Ae e Ae eCm x i C mt Cm x i C m= ( ) =

−( ) +( ) −( ) −( )Ψ Ψ*/ / / / / /

,2 2 2 2

2 2 2 2 tt



4U

nida

de

Figura 4A – A densidade de probabilidade da mecânica quântica para uma partícula no estado de menor energia de um oscilador harmônico simples. Note que esta densidade de probabilidade tem um pico nas proximidades do ponto de equilíbrio e se estende além dos limites definidos para o movimento clássico.

( )2

2 22 2* 2 2 2,Cm Cm C i ix

mtx t A e e − + + − Ψ Ψ =

( )2 1 2

2* 2 0,Cmx

x t A e e

− Ψ Ψ =

2 12P

x CmA e

− =

Note que a densidade de probabilidade é independente do tempo, apesar de a função de onda depender do tempo. A densidade de probabilidade está ilustrada na Figura 4A. A probabilidade de que uma medida da posição oscilando seja encontrada em um elemento do eixo x entre x e x dx+ é igual a .Pdx

Como P tem um máximo em 0,x = o ponto de equilíbrio do oscilador, a mecânica quântica prevê que a partícula tem maior probabilidade de ser encontrada em um elemento dx, localizado no ponto de equilíbrio. Afastando-se deste ponto em qualquer sentido, as chances de encontrá-la diminui bastante, mas não existem limites bem definidos além dos quais a probabilidade de encontrar a partícula em um elemento de eixo x seja exatamente zero. No exercício seguinte, vamos analisar a previsão da mecânica clássica e comparar a previsão quântica.

Física Moderna

100 EADFísica

Obtenha as previsões da mecânica clássica para a densidade de probabilidade do oscilador harmônico simples do exercício anterior e compare com as previsões clássicas e quânticas.

Solução:

Na mecânica clássica, a partícula oscilando tem um momento definido p e, portanto, tem uma velocidade definida v para cada valor do seu deslocamento x da posição de equilíbrio. A probabilidade de encontrar a partícula em um elemento do eixo x de comprimento fixo é proporcional à quantidade de tempo que ela permanece no elemento, e isto é inversamente proporcional à sua velocidade ao passar por ele. Isto é:

2BPv

=

Onde B é uma constante genérica. A expressão para v pode ser obtida em termos de ,x considerando a equação de energia:

2 2

2 2mv CxE K V= + = +

Onde ,E K e V são as energias total, cinética e potencial, respectivamente. A equação acima foi calculada em termos de x e da constante de força, ,C do oscilador (reveja o exercício resolvido da seção anterior). Reescrevendo a equação anterior:

2 2

2 2mv CxE= −




4U

nida

de

Ou:

222

Cxv Em

= −

Portanto:

2

222

BPCxE

m

=

−

A expressão acima para a densidade de probabilidade clássica está ilustrada na Figura 4B. Note que ela tem um valor mínimo no ponto de equilíbrio 0,x = e cresce rapidamente perto dos limites da oscilação. Os limites ocorrem para os valores de x, nos quais a partícula não tem energia cinética, de modo que sua energia potencial se iguala à sua energia total. Assim:

2

2CxE =

Ou:

2ExC

= ±

Figura 4B – A densidade de probabilidade da mecânica clássica para uma partícula no estado de menor energia de um oscilador harmônico simples. Por ser inversamente proporcional à velocidade, a densidade de probabilidade é maior nos pontos extremos do movimento, onde a velocidade se anula.

Física Moderna

102 EADFísica

5 OS VALORES ESPERADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA

De acordo com a interpretação de Born, a função de onda contém informações completas a respeito do movimento da partícula associada, uma vez que ela especifica a densidade de probabilidade para essa partícula. Assim sendo, é possível obter, por meio da função de onda, uma vasta gama de informações relativas à partícula, como: posição, momento, energia, dentre outras grandezas que caracterizam o seu movimento. Vejamos como.

A probabilidade de encontrá-la entre x e x dx+ é, conforme o postulado de Born:

Por certo que a densidade de probabilidade clássica cai abruptamente para zero, fora desses limites, como é indicado na figura. A probabilidade de encontrar a partícula clássica em um elemento do eixo x é mínima próxima ao ponto de equilíbrio, onde ela passa o mínimo de tempo, e cresce rapidamente perto dos limites do movimento, onde ela se demora mais. Comparando as duas previsões: clássica e quântica, vemos o quão diferente elas são. Segundo a mecânica clássica, medidas de posição da partícula no oscilador harmônico simples sempre se encontrarão entre dois limites bem definidos, e geralmente perto de um ou de outro extremo. Segundo a mecânica quântica, quando o oscilador está em seu estado de menor energia, as medidas geralmente encontrarão a partícula próxima ao ponto de equilíbrio, mas não há limites bem definidos além dos quais a partícula nunca será encontrada. A discrepância entre as duas previsões se deve, sobretudo, ao fato de que a física clássica desconsidera o princípio da incerteza e associa um valor específico para a velocidade e momento, em função da posição.



4U

nida

de

( ) ( ) ( )*, , ,P x t dx x t x t dx= Ψ Ψ

Imagine que estejamos observando a partícula e realizando uma série de medidas, sempre para o mesmo valor de ,t e que registramos todos os valores observados de x nos quais encontramos a partícula. Para esta série de medidas, podemos estimar a média dos valores observados para caracterizar a posição da partícula. Esta estimativa é denominada valor médio do valor esperado da coordenada ,x cujo valor, de acordo com a mecânica quântica, é:

( ),xP x t xx d∞

−∞

= ∫(4.18)

O cálculo anterior corresponde exatamente ao valor da coordenada x ponderada pela probabilidade de observar este valor. Aplicando o postulado de Born:

( )* , ( , )x t x t xx x d∞

−∞

= Ψ Ψ∫(4.19)

A formulação mais apropriada para a expressão anterior é do tipo:

( )( )

( )( )

*

*

, , ( , )

, , ( , )

xP x t dx x t x x t dx

P x t dx x t x xx

t d

∞ ∞

−∞ −∞∞ ∞

−∞ −∞

Ψ Ψ= =

Ψ Ψ

∫ ∫∫ ∫

(4.20) No entanto, sabemos, pela condição de normalização, que os denominadores na expressão acima são ambos unitários, de modo que as expressões (4.19) e (4.20) são equivalentes. Da mesma forma que na expressão (4.19), a densidade de probabilidade pode ser usada para o cálculo do valor esperado de qualquer função de ,x como, por exemplo, o valor quadrático de 2 :x

( )*2 2, ( , )x t x xx x t d∞

−∞

= Ψ Ψ∫(4.20)

Sendo, portanto, 2x o valor quadrático médio de .x

Física Moderna

104 EADFísica

De maneira geral, podemos aplicar esta estimativa a qualquer função de ,x do tipo ( ) :f x

( )*( ) , ( ) ( , )f x x t f x x t dx∞

−∞

= Ψ Ψ∫(4.21)

Ou ainda uma função do tempo, tal como a energia potencial ( , ) :V x t

( )* , ( , ) () ,, )( x t V x t x t dV x t x∞

−∞

= Ψ Ψ∫(4.22)

Assim como a coordenada x e o potencial ( , ),V x t outras grandezas dinâmicas da partícula, tal o momento p e a energia total ,E podem ser estimadas como:

( )* , ( , )x t x t xp p d∞

−∞

= Ψ Ψ∫(4.23)

e

( )* , ( , )x t x t xE E d∞

−∞

= Ψ Ψ∫(4.24)

Entretanto, para calcular as integrais (4.23) e (4.24), surge uma dificuldade: na mecânica clássica, o momento p de uma partícula, assim como sua energia, pode ser expresso como uma função de ,x e/ou, de ,t não há restrições. No entanto, na mecânica quântica, de acordo com

o princípio da incerteza, sabemos que não é possível escrever p como função de ,x pois ambos não podem ser conhecidos simultaneamente com total precisão. O mesmo vale para a energia E e o tempo .t Portanto esta dificuldade precisa ser contornada de alguma outra maneira.



4U

nida

de

Vamos analisar um caso simples, uma função de onda de uma partícula livre, expressão (4.15):


Derivando em relação a ,x temos:

( )( , ) cos( )x t ksen kx t i kx tx

ω ω∂Ψ= − − + −

∂

Que pode ser reescrita como:

( )( , ) cos ( )x t ik kx t isen kx tx

ω ω∂Ψ = − + − ∂

Mas sabemos que /k p= e note que o termo entre os colchetes na expressão acima é equivalente à própria função de onda, ( , ).x tΨ Assim:

( , ) ( , )x t pi x tx

∂Ψ= Ψ

∂

Para inverter a expressão acima, multiplicamos ambos os lados por – :i

2( , ) ( , )x ti i p x tx

∂Ψ− = − Ψ

∂

Chegamos a:

Física Moderna

106 EADFísica

( , )( , ) x tp x t ix

∂ΨΨ = −

∂

Note que a expressão acima indica que há uma associação entre a grandeza dinâmica p e o operador diferencial ,i

x∂

−∂

ou seja, o efeito de multiplicar a função p por ( , )x tΨ é o mesmo que aplicar o chamado operador momento, descrito como ,p sendo este definido como:

p ix∂

= −∂

(4.25)

No presente caso, analisamos a função de onda de uma partícula livre, mas esta relação é verdadeira para qualquer função de onda

( , ).x tΨ Portanto podemos reescrever a expressão (4.23), simplesmente substituindo p pelo operador diferencial ,i

x∂

−∂

no integrando da expressão:

( )* ( , ), x ti x t xx

p d∞

−∞

∂Ψ= − Ψ

∂∫

(4.26)

Analogamente, podemos estimar o valor quadrático médio de :p

( )( )2

22 *2

( , ), x tp x t i dxx

∞

−∞

∂ Ψ= Ψ −

∂∫

(4.27)

Agora, procedendo de maneira análoga, vamos tentar encontrar uma expressão para a energia E na integral de (4.24). No entanto, agora vamos derivar a função de onda da partícula livre em função de :t




4U

nida

de

( )( , ) cos( )x t sen kx t i kx tt

ω ω ω ω∂Ψ= − − −

∂

( )( , ) cos ( )x t i kx t isen kx tt

ω ω ω∂Ψ = − − + − ∂

Sabemos que / ,Eω = e substituindo o termo entre os colchetes por ( , ) :x tΨ

( , ) ( , )x t Ei x tt

∂Ψ= − Ψ

∂

Multiplicando ambos os lados por i e invertendo a equação:

2( , ) ( , )x ti i E x tt

∂Ψ= − Ψ

∂

( ) ( , ), x tE x t it

∂ΨΨ =

∂

De modo análogo, encontramos um operador diferencial para a energia, sendo este conhecido como operador energia, definido como:

E it∂

=∂

(4.28)

Aplicando o operador no integrando da expressão (4.24):

( )* ( , ), x ti x t xt

E d∞

−∞

∂Ψ= Ψ

∂∫

(4.29)

Física Moderna

108 EADFísica

Vamos agora testar se os operadores diferenciais são consistentes com a relação clássica de energia:

( )2

,2p V x t Em

+ =

Vamos então aplicar os operadores (4.25) e (4.29):

( )21 ,

2i V x t i

m x t∂ ∂ − + = ∂ ∂

Ou:

( )2 2

2 , 2

V x t im x t

∂ ∂− + =

∂ ∂

(4.30)

Esta é, portanto, denominada equação de operadores quânticos. Quando aplicada a uma função de onda:

( )2 2

2( , ) , ( , ) ( , )

2x t V x t x t i x t

m x t∂ Ψ ∂

− + Ψ = Ψ∂ ∂

Reconhece a equação acima? Identifica alguma familiaridade? Pois esta é justamente a equação de Schroedinger! Portanto a equação de Schroedinger da mecânica quântica equivale a postular as associações entre momento e energia, com seus respectivos operadores diferenciais. Este foi o caminho seguido originalmente por Erwin Schroedinger para chegar à sua equação, válida para toda e qualquer função de onda.



4U

nida

de

Vamos recordar um pouco de estatística. O valor médio de uma

grandeza é representado por um único valor, o qual pode ser estimado

a partir da média aritmética da grandeza, ou seja, dividindo a soma de

todos os valores medidos pelo número de medidas que deu origem à

soma. Deste modo:

1

nix

xn

= ∑

Sendo ix o valor de cada uma das medidas feitas e n o número total

de medidas. Da mesma forma, é possível definir um valor quadrático

médio para uma grandeza, sendo este:

22 1

nix

xn

= ∑

Já o desvio padrão das medidas realizadas, ou seja, o valor

representativo das flutuações que, em geral, ocorrem nas medidas, é

definido como:

( )2nii

x x

nσ

−=∑

Para o caso de uma distribuição central de medidas, ou seja, um

conjunto de medidas com média nula ( 0)x = tem-se que o radical da

expressão acima se reduz à raiz do valor quadrático médio: 2 .xσ =

De acordo com a mecânica quântica, a função de onda representa

uma ferramenta descritiva aplicável a todas as grandezas definidas

acima. Assim sendo, é possível realizar experimentalmente uma série

de medidas, definindo um conjunto de valores ,ix estimar a partir

deste conjunto o valor médio da grandeza, o valor quadrático médio

e as flutuações das medidas, e compará-los com as previsões teóricas

realizadas a partir da função de onda. É deste modo que são validadas as

considerações teóricas da mecânica quântica.

para recordar


Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos

/ 2x a= − e / 2,x a= + mas que está estritamente proibida de ser encontrada fora dessa região. A partícula oscila

Física Moderna

110 EADFísica

entre as paredes em / 2x a= ± de uma caixa unidimensional. Supõe-se que as paredes sejam completamente impenetráveis, não importando quanta energia a partícula tenha. Por certo que essa hipótese é uma idealização, mas ela é muito útil para o nosso estudo. A função de onda para o estado de menor energia da partícula é:

( ) cos

2 20

2 2

,iEtx a aA e para x

aa apara x ou x

x tπ −

− < <+

− +Ψ =

Para esta partícula, calcule os valores esperados de ,x ,p 2x e 2.p

Solução:

Para calcularmos ,x devemos calcular:

*x xx d∞

−∞

= Ψ Ψ∫

Usando a função de onda, isto dá:

/2

/2

cos cos a iEt iEt

a

x xA e xA e dxa a

x π π++ −

−

= ∫

/22 2

/2

cos a

a

x xA x dxaπ+

−

= ∫

No caso, a integração é restrita ao intervalo entre / 2a− e / 2,a+ uma vez que o valor de ( , ) x tΨ é nulo fora deste

intervalo. Observe, porém, que o integrando é um produto de 2 ( / ),cos x aπ uma função par de .x No entanto, o próprio x

torna o integrando uma função ímpar. Neste caso, quando o integrando é uma função ímpar, a integração em torno de uma região central na origem é nula: /2

2 2

/2

cos 0a

a

xA x dxa

x π+

−

= =∫



4U

nida

de

Este resultado já era esperado, visto que o valor esperado de uma média de medidas da posição da partícula que se move livremente entre / 2a− e / 2a+ deve mesmo ser nulo. Lembre-se que estamos estimando a média das medidas! Para calcular ,p usamos:

( )* ( , ), x ti x t xx

p d∞

−∞

∂Ψ= − Ψ

∂∫

Aplicando à função ( , )x tΨ no intervalo definido para a função, temos:

/2

/2

cos a iEt iEt

a

x xi A e Asen e dxa a

paπ π π+

+ −

−

= − − ∫

ou:

/22

/2

cosa

a

p x xi A sen dxa a aπ π π+

−

= − ∫

Novamente, o integrando é uma função ímpar (produto de sen e cos ) da variável de integração. Neste caso, não precisamos nem resolver a integral para saber que o resultado é nulo. Portanto:

0p =

Fisicamente, o valor esperado pode ser explicado em função do movimento da partícula em torno da origem. Neste caso, há uma oscilação entre os limites da região, fazendo com que o sinal (isto é, o sentido) do seu momento também oscile. O módulo do momento deve ser tal que

2

,2p Em

= mas como é igualmente provável que seu sinal seja positivo ou negativo, a média das medidas também dessa grandeza deve ser nula. Agora vamos ao calculo de 2 :x

Física Moderna

112 EADFísica

( )/2

2 * 2 2

/2

, ( , ) cos cos a iEt iEt

a

x xx x t x x t dx A e x A e dxa aπ π∞ +

+ −

−∞ −

= Ψ Ψ = −∫ ∫

/22 2 2 2

/2

cos a

a

xx A x dxaπ+

−

= ∫

Repare que a integral acima não deve ser nula, visto que o integrando é uma função par de .x Neste caso, podemos simplificar ainda mais o cálculo:

/22 2 2 2

0

2 cos a xx A x dx

aπ+

= ∫

Se multiplicarmos ambos os lados por ( )3/ ,a π essa expressão pode ser escrita como:

3 2/22 2 2

0

2 cos a x x xx A da a a

π π π ππ

+ = ∫

Repare que o limite de integração também foi alterado, visto que, quando / 2x a= a nova variável de integração será

/ 2.π Perfazendo esta mudança, a integral acima pode ser encontrada em tabelas apropriadas. O resultado final é:

3 22 2

2 14 6ax A ππ

= −

Para determinarmos 2x exatamente, devemos saber também o valor da constante A que determina a amplitude da função de onda. Como no exercício anterior, podemos encontrar este valor normalizando a função de onda. Isto é, podemos ajustar o valor de A de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar seja unitária. Esta condição nos leva ao cálculo:



4U

nida

de

/2* 2 2 2 2

0

cos 2 cos 1x a x xdx A dx A da a a

ππ π ππ

∞ ∞

−∞ −∞

Ψ Ψ = = ∫ ∫ ∫

Cujo resultado é:

22 14

aA ππ

=

Assim:

2Aa

=

Portanto:

3 2 3 2 2 2

2 2 22 2 2

21 1 1 0,0334 6 4 6 2 6a a ax A a

aπ π π

π π π

= − = − = − =

Note que a grandeza 2x não é zero, embora o x o seja, porque qualquer medida de 2x deve ser necessariamente um valor positivo. A raiz quadrada desta grandeza, 2 ,x pode ser considerada como uma média das flutuações em torno da média, 0,x = cujo valor é:

2 0,18x a=

Por fim, vamos calcular 2 :p

( )( )2 2

22 * 2 *2 2

( , ) ( , ), x t x tp x t i dx dxx x

∞ ∞

−∞ −∞

∂ Ψ ∂ ΨΨ − = −= Ψ

∂ ∂∫ ∫

Calculando 2

2( , ) :x tx

∂ Ψ∂

( ) /, cos iEtxx t A eaπ −Ψ =

Física Moderna

114 EADFísica

Então:

/iEtxAsen ex a a

π π −∂Ψ = − ∂

( ) 22

2

,cos

iEtx t xA ex a a

π π −∂ Ψ = − ∂

Note que:

( ) 22

2

,( , )

x tx t

x aπ∂ Ψ = − Ψ ∂

Substituindo no cálculo de 2 ,p temos:

222 2 * 2 *

2( , ) ( , )x tp dx x tx a

π∞ ∞

−∞ −∞

∂ Ψ = − Ψ = Ψ Ψ ∂ ∫ ∫

Mas, uma vez que a função de onda é normalizada, a integral na expressão acima vale um, e corresponde justamente à probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar no intervalo entre −∞ e .+∞ Portanto:

22p

aπ =

E o momento quadrático médio:

2paπ

=



4U

nida

de

Esta é a média das flutuações em torno da média 0,p = que seriam observadas nas medidas do momento da partícula. Note que as grandezas: 2x e 2p correspondem às incertezas nas medidas na posição e no momento da partícula, portanto x∆ e ,p∆ respectivamente. Podemos ainda verificar que estas medidas estão de acordo com o princípio da incerteza:

2 2 0,18 0,57

2x p x p a

aπ

∆ ∆ = = = >

Concluímos, portanto, que os valores esperados, calculados a partir das funções de onda, possibilitam estimar quantitativamente as incertezas das medidas.

6 AS AUTOFUNÇÕES

Conforme apresentado na seção anterior, a função de onda é uma ferramenta bastante poderosa para a mecânica quântica. Afinal, é através dela que estimamos os parâmetros dinâmicos dos sistemas no mundo quântico. E, para encontrar a função de onda, temos que resolver a equação de Schroedinger:

( ) ( ) ( ) ( )2

2

, ,, ,

2x t x t

V x t x t im x t∂ Ψ ∂Ψ

− + Ψ =∂ ∂

No entanto, na maioria das vezes, resolver a equação de Schroedinger não é uma tarefa muito fácil, visto que se trata de uma equação diferencial parcial envolvendo duas variáveis independentes, x e ,t uma derivada de primeira ordem em t e uma derivada de segunda

Física Moderna

116 EADFísica

ordem em .x Mas não se assuste, há recursos para tudo, ou quase tudo! Nesta seção, vamos discutir uma alternativa bastante útil para resolver a equação de Schroedinger.

Uma das técnicas mais usuais para resolução de equações diferenciais parciais, como a equação de Schroedinger, consiste na busca por soluções na forma de um produto de funções, cada uma dela contendo apenas uma das variáveis independentes, do tipo:

( ) ( ) ( ),x t x tψ ϕΨ =

(4.31)

Onde o primeiro termo da direita é uma função apenas de ,x

( ) ,xψ e o segundo termo é uma função apenas de ,t ( ).tϕ Esta técnica é dita técnica de separação de variáveis. Esta é uma técnica bastante utilizada porque permite reduzir uma equação diferencial parcial em um conjunto de equações diferenciais ordinárias, o que simplifica bastante o problema. Como veremos, esta técnica é muito útil e eficaz nos casos em que a energia potencial não depende explicitamente da variável temporal, ,t de forma que possa ser escrita simplesmente como ( ).V x Na verdade, esta não é uma restrição muito forte, visto que a maioria dos sistemas físicos tem energias potenciais desta forma. Vamos então substituir a função de onda procurada, do tipo (4.31), na equação de Schroedinger, lembrando que o potencial considerado é do tipo ( )V x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22x t x t

V x x t im x t

ψ ϕ ψ ϕψ ϕ

∂ ∂− + =

∂ ∂

Mas lembre-se que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

x t x d xt t

x x dxψ ϕ ψ ψ

ϕ ϕ∂ ∂

= =∂ ∂



4U

nida

de

Repare que a notação de derivada parcial em x foi substituída por

uma derivada total em ,x isso porque a função ( )xψ depende apenas de x e, portanto, não faz sentido continuar com a notação antiga. De modo análogo, a derivada em t também pode ser considerada como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t d tx x

t t dtψ ϕ ϕ ϕ

ψ ψ∂ ∂

= =∂ ∂

Portanto a equação de Schroedinger fica assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22d x d t

t V x x t i xm dx dt

ψ ϕϕ ψ ϕ ψ+ =

Dividindo os dois lados dessa equação por ( ) ( ) ,x tψ ϕ tem-se:

( )( ) ( ) ( )

( )2

21 1

2d x d t

V x im x dx t dt

ψ ϕψ ϕ

+ =

Ou ainda:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )2

21 1

2d x d t

V x x ix m dx t dt

ψ ϕψ

ψ ϕ

+ =

(4.32)

Note que agora o lado direito da equação acima só depende da variável ,t enquanto o lado esquerdo só depende da variável .x Então temos dois termos com variáveis distintas, consequentemente, seu valor comum não pode depender de nenhuma das variáveis envolvidas, nem x e nem .t Ou seja, o valor comum a estes dois termos deve ser uma constante que, por ora, chamaremos de .G Portanto:

Física Moderna

118 EADFísica

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )2

21 1

2d x d t

V x x G ix m dx t dt

ψ ϕψ

ψ ϕ − + = =

Deste modo, podemos separar a equação acima em duas, de modo que:

( )( ) ( ) ( )

2

21

2d x

V x x Gx m dx

ψψ

ψ

+ =

(4.33)

( )( )1 d t

i Gt dt

ϕϕ

=

(4.34)

Conseguimos, portanto, separar a nossa equação diferencial parcial em duas equações diferenciais ordinárias, uma envolvendo somente a variável x e a outra envolvendo somente a variável ,t tendo em comum apenas a constante .G Esta constante é dita constante de separação. O passo seguinte será resolver as duas equações e encontrar as duas soluções independentes: ( )xψ e ( ).tϕ Para finalizar, tudo que temos que fazer é multiplicar a solução ( )xψ pela outra solução, ( ).tϕ O resultado da multiplicação será a solução completa da equação de Schroedinger, ( ) ( ) ( ), .x t x tψ ϕΨ = Esta solução, apesar de simples, é perfeitamente legítima e muito útil para a solução de uma extensa classe de equações diferenciais.

Vamos primeiro resolver a equação em ,t (4.34). Inicialmente, vamos reescrevê-la como:

( ) ( )d t iG tdtϕ

ϕ= −

(4.35)



4U

nida

de

Esta equação nos diz que a derivada primeira da função é proporcional à própria função. Algum palpite? Aposta certa, uma função do tipo exponencial! Portanto vamos supor uma solução do tipo:

( ) tt eαϕ =

Onde α é uma constante a ser determinada. Derivando a equação acima em relação a ,t tem-se:

( ) ( )td te t

dtαϕ

α αϕ= =

Comparando com (4.35), nota-se que:

( ) ( )iGt tαϕ ϕ= −

Portanto:

iGα = −

Assim, a solução da equação (4.35) é:

( )iG t

t eϕ−

=

(4.36)

Esta solução também pode ser expressa em termos das funções seno e cosseno, de modo que:

( ) cosiG t G Gt e t isen tϕ

−= = −

Física Moderna

120 EADFísica

Ou:

( ) cos 2 2G Gt t isen tϕ π π= −

(4.37)

Portanto a solução ( )tϕ é uma função oscilatória do tempo, de frequência / ,G hν = Mas, segundo os postulados de De Broglie e Einstein, a frequência também deve ser dada por / ,E hν = onde E é a energia total da partícula associada à função de onda correspondente a ( ).tϕ Deste modo, uma comparação direta nos leva à condição:

G E=

Assim sendo, tem-se:

( )iE t

t eϕ−

=

Esta é a dependência temporal de ( ), ,x tΨ ou seja:

( ) ( ),iE t

x t x eψ−

Ψ =

(4.38)

A solução ( )xψ é tal que satisfaz a equação (4.33) corrigida para o valor de :G

( ) ( ) ( ) ( )2

22d x

V x x E xm dx

ψψ ψ− + =

(4.39)

A equação acima (4.39) é denominada equação de Schroedinger independente do tempo, visto que ela não depende da variável temporal, .t Já as soluções ( )xψ são denominadas autofunções, enquanto ( ),x tΨ

continua sendo a solução completa da equação de Schroedinger. Fique atento aos nomes e aos símbolos, você ainda vai vê-los bastante!



4U

nida

de

A expressão (4.39) é usualmente descrita em função de um operador denominado operador Hamiltoniano, ,H sendo este definido como:

( )2

22H d V x

m dx= − +

Assim, a equação de Schroedinger independente do tempo se torna:

( ), ( , )x t E tH xψ ψ=

Para fechar de vez o problema, resta apenas descrever a forma da energia potencial e resolver a equação de Schroedinger independente do tempo para encontrar a dependência espacial da função de onda. Curioso notar que, na equação (4.39), não aparece o número imaginário i e, portanto, soluções reais são possíveis para essa equação. No entanto, funções complexas ainda podem e são frequentemente obtidas, carecendo de uma análise detalhada quanto a sua aceitabilidade. Os requisitos necessários para uma solução aceitável da autofunção ( )xψ e sua derivada ( )d x

dxψ são: ser finitas, unívocas e

contínuas. Estas condições asseguram o “bom comportamento” da função de onda ( ),x tΨ e sua derivada ( ) , / ,x t x∂Ψ ∂ e resultam do fato de que a função de onda representa uma amplitude de probabilidade. Caso essas condições fossem violadas, valores indefinidos poderiam ser encontrados quando calculássemos grandezas mensuráveis, o que não pode ser aceito fisicamente. A análise dessas condições é extremamente importante para a mecânica quântica, visto que as equações diferenciais permitem uma diversidade enorme de soluções matemáticas, mas nem todas têm significado físico. De qualquer maneira, a técnica de separação de variáveis já simplificou bastante o problema. Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem, mas com apenas uma variável independente.

Física Moderna

122 EADFísica

7 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER E A QUANTIZAÇÃO DE ENERGIA

Na próxima unidade, nos dedicaremos ao processo de resolução da equação de Schroedinger independente do tempo para uma série de potenciais e sistemas distintos. Mas, por ora, vamos analisar as soluções aceitáveis para a equação independente do tempo, mas apenas em termos qualitativos, isto é, apenas analisando graficamente as curvaturas e inclinações das possíveis soluções. Você vai ver que é possível extrair ainda muita informação a respeito da equação de Schroedinger, antes mesmo de entrar no rigor dos cálculos. No entanto você já pode começar a exercitar suas habilidades matemáticas! Para começar nossa análise, vamos reescrever a equação de Schroedinger independente do tempo na seguinte forma:

( )2

22d m V x E

dxψ ψ = −

(4.40)

Desta forma, fica mais fácil ver que as propriedades dessa equação dependem, dentre outros fatores, da forma da função energia potencial

( )V x . Este fato já era de se esperar, visto que ( )V x determina a força que atua sobre a partícula, cujo comportamento é descrito pelas soluções da equação diferencial. Deste modo, para conhecer as propriedades da equação diferencial, primeiro é preciso conhecer o comportamento de

( ),V x portanto, vamos a ele! Nosso argumento vai considerar a equação diferencial em (4.40), a qual determina o valor da segunda derivada da solução 2 2/d dxψ em termos dos valores de ( )22 / .m V x E −

Vamos nos concentrar no sinal de 2 2 ,/d dxψ o qual determina se a concavidade da curva definida pela função de onda ( )xψ é para cima (côncava, com sinal positivo) ou para baixo (convexa, com sinal negativo); e também no comportamento de ( )V x em relação a .E



4U

nida

de

Para nossa análise, vamos escolher ( )V x como se fosse o potencial para um átomo que pode estar ligado a outro átomo semelhante, formando uma molécula diatômica, descrita em função da separação entre os centros dos dois átomos. Neste caso, a energia total E deve estar associada à distância de separação entre os átomos e, assim sendo, vamos limitá-la entre os valores ’x e

’’,x conforme ilustrado na Figura 4.1. Note que a reta energia da energia E intercepta a curva da energia potencial ( )V x em dois pontos, justamente, ’x x= e ’’,x x= dividindo o eixo x em três regiões distintas: 1) ’;x x< 2) ’ ’’x x x< < e 3) ’’.x x>

Lembre-se que a derivada de uma função representa a taxa de variação instantânea da função e, portanto, é possível estabelecer graficamente uma correlação direta entre o sinal das derivadas primeira e segunda com o comportamento da função. Vejamos. Repare, na Figura a seguir, que uma curva com concavidade para cima, à medida que x cresce, apresenta valores crescentes da derivada primeira da função (tangente à curva), de modo que a derivada segunda é sempre positiva. Já a uma curva com concavidade para baixo, apresenta valores decrescentes para a derivada primeira, de modo que a derivada segunda da função será sempre negativa.

para recordar

Imagem 4.6: Relação entre a concavidade e as derivadas da função. Curva com concavidade para cima, a derivada primeira é crescente de modo que a derivada segunda é positiva. Curva com concavidade para baixo, a derivada primeira é decrescente de modo que a derivada segunda é negativa.

Figura 4.1 – Energia potencial ( )V x usada como argumento qualitativo para discussão das soluções da equação de Schroedinger independente do tempo.

Física Moderna

124 EADFísica

Na primeira e terceira regiões, o valor de ( )V x E − é sempre positivo, pois o valor de ( )V x é maior que o valor de E . No entanto, na segunda região ( ) ,V x E − é negativo, visto que E é maior que ( ).V x Lembre-se que a constante multiplicativa deste termo, 22 / ,m é sempre positiva, portanto o sinal de 2 2/d dxψ é o mesmo que o sinal de ψ na primeira e terceira regiões, no entanto, verifica-se o oposto do sinal de ψ na segunda região. Isto significa que, na primeira e terceira regiões, a curva de ( )xψ versus x terá concavidade para cima se o valor de ψ for positivo e terá concavidade para baixo se ψ for negativa. Na segunda região, a curva terá concavidade para baixo, se ψ for positiva, e para cima, se ψ for negativa. Estas possibilidades estão ilustradas na Figura 4.2.

Figura 4.2 – Ilustração das relações entre o sinal de ψ e o sinal de 2 2/d dxψ nas regiões definidas pelo sinal de [ ]( ) .V x E−

Portanto podemos afirmar que, para uma dada forma da energia potencial ( )V x , a equação diferencial impõe uma relação entre 2 2/d dxψ e ψ que

determina o comportamento geral de ψ . Se especificarmos também o valor

da derivada primeira, / ,d dxψ então o comportamento particular da variável

dependente ψ é determinado, para todos os valores de .x Podemos, assim,

utilizar a equação de Schroedinger independente do tempo, com os valores

de ( )V x e E escolhidos, para determinar o comportamento de ψ para todos

os x em termos dos valores supostos de ψ e /d dxψ para algum valor

particular de x .



4U

nida

de

As considerações acima são asseguradas em função das condições impostas a ( )xψ e sua derivada ( ) :d x

dxψ finitas, unívocas

e contínuas. Vamos agora procurar este resultado qualitativo a partir de argumentos baseados nas características da equação diferencial (4.40):

( )2

22d m V x E

dxψ ψ = −

Inicialmente, vamos tomar o valor de ψ positivo na região ’ ’’,x x x< < ou seja, uma curva que descreve ψ com concavidade

para baixo, como na Imagem 4.6. Neste caso, estamos supondo que a derivada primeira é decrescente de forma que a segunda derivada é negativa. No entanto, ao atingir a região ’’,x x> o valor

( )V x E − muda de sinal, ficando positivo, o que implica que, embora a inclinação da curva fosse negativa em ’’,x x= ela se torna rapidamente zero neste ponto e, a partir daí, será positiva. Então, ψ começa a crescer em valor. No entanto, a equação diferencial mostra que a taxa de variação da inclinação, isto é, 2 2 ,/d dxψ é proporcional a .ψ Assim, ψ cresce, e cresce rapidamente, tendendo ao infinito para grandes valores de .x Mas esta solução não é aceitável, visto que toda autofunção deve ser finita! Mas vamos tentar novamente, agora mudando o valor inicialmente suposto para ( ) ,d x

dxψ a derivada primeira. Agora, a

derivada primeira será crescente, ou seja, estamos considerando uma função ψ com concavidade para cima no intervalo ’ ’’,x x x< < e derivada segunda positiva. Ao atingir o ponto ’’,x x= a derivada segunda se anula e a partir daí, passa a ser negativa, indicando que a função ψ decresce, e decresce rapidamente, tendendo a menos infinito. O que também não é aceitável, mais uma tentativa falha! A chave do problema consiste no comportamento da derivada segunda e a função ,ψ visto que estas são diretamente proporcionais, ou seja, para valores crescentes de ,x se ψ cresce, cresce rapidamente indo ao infinito; se ψ decresce, decresce rapidamente, tendendo a menos infinito. E ambas as soluções são inaceitáveis. Ao

Física Moderna

126 EADFísica

consideramos valores decrescentes de ,x a dificuldade persiste, pois não há como ajustar a descontinuidade que ocorre para valores de

',x x= também entrando na condição ( ).E V x< Mas então, será que não há soluções possíveis para a equação de Schroedinger independente do tempo? Qual a origem dessa dificuldade que estamos encontrando? Repetindo-se as escolhas para diferentes valores de E é possível encontrar soluções aceitáveis para a equação de Schroedinger, independente do tempo. Na verdade, é possível encontrar soluções aceitáveis para uma série de valores, 1,E 2 ,E 3,E 4 ,...,E correspondendo às autofunções: 1,ψ 2 ,ψ 3, ψ 4 ,...ψ Ou seja, é possível encontrar um conjunto de soluções, mas apenas para valores discretos de energia! Esta afirmação te lembra alguma coisa? Não acha que seria uma forma de quantização de energia? Exatamente!

Portanto, para uma partícula se movendo sob influência de um potencial independente do

tempo V(x), existem soluções aceitáveis para a equação de Schroedinger independente do

tempo somente se a energia das partículas for quantizadas, isto é, restrita a um conjunto

discreto de energias 1,E

2 ,E 3,E 4 ,...E .nE Estes valores de energia são denominados

autovalores do potencial ( )V x . Deste modo, um potencial particular tem um conjunto

particular de autovalores. Já as soluções encontradas para a equação de Schroedinger

independente do tempo, 1 2 3 4, , , ,... ,nψ ψ ψ ψ ψ são denominadas autofunções. Assim, para

cada autovalor há também uma função de onda correspondente: 1 2 3 4, , , ,... .nψ ψ ψ ψ ψ

O índice n, utilizado para designar um autovalor particular e suas correspondentes:

autofunção e função de onda, é chamado de número quântico e sempre toma valores

inteiros sucessivos. Se o sistema quântico é descrito pela função de onda ( , ),n x tΨ dizemos

que ele está no estado quântico n .

A Figura 4.4 ilustra os valores de energia para os quais a equação de Schroedinger independente do tempo apresenta soluções aceitáveis. Note que, para uma energia potencial ( )V x do tipo ilustrado na Figura 4.1, é possível definir um valor limite lV quando a distância x se torna muito grande. Para estes valores de ,x as soluções aceitáveis para a equação de Schroedinger correspondem aos valores de energia indicados pela região sombreada da figura, ou seja, uma distribuição contínua de valores possíveis de energia. No entanto, esta condição (grandes x ) corresponde ao caso de uma partícula não ligada (classicamente, a distância de separação entre os átomos



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pode assumir qualquer valor maior do que ’).x Para valores intermediários de .x aqueles cujo potencial é inferior ao limiar

,lV correspondem ao caso de uma partícula confinada e os valores permitidos de energia para resolver a equação de Schroedinger são valores discretos! Neste caso, a função de onda correspondente ao tipo de função oscilatória e não há problemas de dispersão. É sempre possível fazer com que ( )xψ se aproxime gradualmente do eixo para altos valores de .x Novamente, para valores muito pequenos de ,x as soluções permitidas correspondem a valores contínuos de energias, mas sempre superiores a .lV

Figura 4.4 – Ilustração das energias permitidas para certo potencial ( ).V x Note que abaixo do valor limite lV as energias permitidas são discretas, enquanto acima do limiar lV há um contínuo de energias permitidas.

Os argumentos apresentados acima podem ser resumidos como:

Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial

é tal que classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do

espaço, pois senão a energia potencial excederia a energia total fora da região,

então a teoria de Schroedinger prevê que a energia total é quantizada. Quando

esta relação é tal que a partícula não estaria confinada em uma região limitada,

então a teoria prevê que a energia total pode ter qualquer valor.

Portanto, de acordo com a teoria de Schroedinger, o confinamento de uma partícula leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos, com energias discretas. Deste modo, a teoria prevê a quantização de energia, sem a imposição de ‘múltiplos h’, conforme os postulados anteriores à mecânica quântica. Assim, Schroedinger conseguiu finalmente alcançar o tão desejado embasamento teórico ao mostrar que a quantização de energia resulta simplesmente do fato de que uma função espacial (autofunção) precisa ser unívoca e finita. Os trabalhos que se seguiram, complementaram as publicações de Schroedinger, dando à mecânica quântica um formalismo rigoroso e satisfatório, de modo a substanciar essa bizarra, mas eficiente, teoria probabilística!


Quando uma partícula está em um estado tal que uma medida de sua energia total pode dar apenas um único resultado, o autovalor E, ela é descrita pela autofunção:

( ) ( ),iE t

x t x eψ−

Ψ =

Um exemplo seria um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio. Nesse caso, a função densidade de probabilidade não depende do tempo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *, ( , ) iE iEt t

x t x t x e x e x xψ ψ ψ ψ+ −

Ψ Ψ = =

Agora, considere uma partícula em um estado tal que uma medida de sua energia total pode dar qualquer um entre dois resultados, o autovalor 1E e outro autovalor 2.E Então, a função de onda que descreve a partícula é:

( ) ( ) ( )1 2

1 1 2 2,iE iEt t

x t c x e c x eψ ψ− −

Ψ = +

Um exemplo típico seria o de um elétron que estivesse no processo de transição de um estado excitado o estado



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fundamental do átomo. Mostre que, nesse caso, a função densidade de probabilidade é uma função oscilatória do tempo e calcule a frequência de sua oscilação.

Solução:

Para a densidade de probabilidade em questão, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2* * * * *

1 1 2 2 1 1 2 2

iE iE iE iEt t t tc x e c x e c x e c x eψ ψ ψ ψ

+ + − − Ψ Ψ = + +

Multiplicando os termos entre colchetes, obtemos quatros novos termos:

( ) ( ) ( ) ( )* * * * *1 1 1 1 2 2 2 2 c c x x c c x xψ ψ ψ ψΨ Ψ = +

+

( ) ( )( )2 1

* *2 1 2 1

i E Et

c c x x eψ ψ−

+ + ( ) ( )

( )2 1* *

1 2 1 2 i E E

tc c x x eψ ψ

− −+

Assim, a dependência temporal se cancela nos dois primeiros termos, mas não nos dois últimos. Estes dois termos contêm exponenciais complexas que oscilam no tempo com frequência .ν Essas exponenciais podem ser expressas como funções tipo seno e cosseno, com frequência:

2 1 2 1

2E E E E

hν

π− −

= =

Portanto a função densidade de probabilidade é uma função oscilatória do tempo, sendo o valor da frequência de oscilação dado pela expressão acima. Note que esta é exatamente a frequência da radiação emitida durante a transição de um elétron do estado excitado, 2 ,E para o estado fundamental, 1.E Assim, a teoria de Schroedinger prevê corretamente a frequência da radiação emitida durante as transições eletrônicas dos átomos. No caso de um elétron no estado fundamental, vimos que a densidade de probabilidade

Física Moderna

130 EADFísica

é independente do tempo e, por isso, os elétrons não emitem energia. Mais uma vez, é notório o fato de que a teoria de Schroedinger fornece um modelo físico do processo de emissão da radiação por átomos excitados muito mais atraente do que o dado pela teoria de Bohr. O próprio Schroedinger reconheceu ser muito mais gratificante conceber uma transição quântica como uma troca de energia de um modo de vibração para outro, do que encará-la como um salto de elétrons!

• Na mecânica quântica, toda evolução de eventos é determinada pelas leis da probabilidade. Um processo mecânico é, portanto, acompanhado por um processo ondulatório, sendo esta a “onda condutora”, descrita pela equação de Schroedinger, cujo significado é o de dar a probabilidade de um curso definido do processo mecânico.

• Função de onda: ( , )x tΨ corresponde a uma solução da equação de Schroedinger para certa energia potencial V(x, t).

• A equação de Schrodinger: equação diferencial que satisfaz todas as hipóteses relativas à equação de onda da mecânica quântica:

( ) ( )2

2( , ) ( , ), ,

2x t x tV x t x t i

m x t∂ Ψ ∂Ψ

− + Ψ =∂ ∂

• A ligação entre as propriedades da função de onda ( ),x tΨ e o comportamento da partícula associada é expressa em termos da densidade de probabilidade: ( ) ( )*, , ( , )P x t x t x t= Ψ Ψ

RESUMINDO



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• Valores esperados da mecânica quântica:

( )*( , ) , ( , ) ( , )f x t x t f x t x t dx∞

−∞

= Ψ Ψ∫

• Operador momento: p ix∂

= −∂

• Operador energia: E it∂

=∂

• A Equação de operadores quânticos: ( )2 2

2 , 2

V x t im x t

∂ ∂− + =

∂ ∂

• Por meio da técnica de separação de variáveis, chega-se à Equação de Schroedinger, independente do tempo:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 .2

d xV x x E x

m dxψ

ψ ψ− + = As soluções, ( ) ,xψ são

denominadas autofunções.

• Operador Hamiltoniano: ( )2

22H d V x

m dx= − +

• Para uma partícula movendo-se sob influência de um potencial independente do tempo V(x) existem soluções aceitáveis para a equação de Schroedinger independente do tempo somente se a energia das partículas for quantizadas, isto é, restrita a um conjunto discreto de energias 1E , 2E , 3E , 4E ,... n E . Estes valores de energia são denominados autovalores do potencial V(x).

ATIVIDADES

1. Explique como o postulado de De Broglie entra na teoria de Schroedinger.

2. Por que a equação de Schroedinger não é válida para partículas relativísticas?

3. Qual é a relação básica entre as propriedades de uma função de onda e o comportamento da partícula associada a ela?

Física Moderna

132 EADFísica

4. Explique com suas palavras o que é normalizar uma função.

5. O que quer dizer equação de Schroedinger independente do tempo?

6. Qual é a diferença entre uma função de onda e uma autofunção?

7. O que são autovalores?

8. Por que uma autofunção deve ser bem comportada para ser aceitável na teoria de Schroedinger?

9. Explique o significado do valor esperado de .x

10. Se as funções 1( , ),x tΨ 2 ( , )x tΨ e 3 ( , )x tΨ são três soluções da equação de Schroedinger para um potencial ( , )V x t , mostre que a combinação linear arbitrária ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , ( , )x t c x t c x t c x tΨ = Ψ + Ψ + Ψ também é solução desta equação.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

EISBERG, Robert; RESNICK Robert. Física Quântica, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1988.

FEYNMAN Richard. Física em Seis Lições. Rio de Janeiro: Editora Ediouro, 1999.

GLEISER, Marcelo. A dança do Universo, dos Mitos de Criação ao Big-Bang. São Paulo: Editora Companhia de Bolso, 1997.

LOPES, José Leite. A Estrutura Quântica da Matéria, do átomo pré-socrático às partículas elementares. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2005.



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Suas anotações

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APLICAÇÕES DAMECÂNICA QUÂNTICA

Conteúdo

Nesta unidade serão apresentadas as soluções da equação de Schroedinger independente do tempo para diferentes formas da energia potencial. Veremos as soluções para:

- potencial nulo; - potencial degrau; - barreira de potencial;- poço de potencial; - osciladores harmônicos simples.

Objetivo

Ao final desta etapa, o aluno será capaz de conhecer as previsões da mecânica quântica e familiarizar-se com as ferramentas matemá-ticas que descrevem o mundo quântico.

5ªunidade


Aplicações da mecânica quântica

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1 INTRODUÇÃO

Na unidade anterior, discutimos em linhas gerais as propriedades da equação de Schroedinger e de suas possíveis soluções. A esta altura, você já sabe como interpretar uma função de onda e como obter os valores esperados para as grandezas dinâmicas segundo a mecânica quântica. Agora, para concluir o nosso estudo, vamos obter as soluções específicas da equação de Schroedinger independente do tempo para diferentes formas da energia potencial ( ).V x Portanto vamos obter e discutir as propriedades físicas das autofunções, dos autovalores e das funções de onda correspondentes.

Nossa abordagem será progressiva, isto é, começaremos com as formas mais simples para o potencial ( )V x e, gradualmente, chegaremos às formas mais complexas, mas sempre potenciais independentes do tempo. De modo a simplificar os cálculos e a interpretação física, nos limitaremos a uma única dimensão espacial. Trataremos das partículas ligadas e não ligadas e, sempre que possível, discutiremos as aplicações mais interessantes para os modelos atômicos e moleculares. Você irá se surpreender com as possibilidades do mundo quântico!

2 POTENCIAL NULO E A PARTÍCULA LIVRE

Certamente, a forma mais simples para a equação de Schroedinger independente do tempo é aquela na qual ( )V x é uma constante arbitrária. Neste caso, como ( ) / 0,F dV x dx= − = estamos falando de uma partícula livre, ou seja, nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que a partícula pode estar em repouso ou em movimento uniforme, sempre com momento constante e energia constante. Podemos simplificar ainda mais e considerar diretamente o caso de um potencial nulo, tal que:

( ) 0V x =

(5.1)

Física Moderna

138 EADFísica

Neste contexto, a equação de Schroedinger independente do tempo se reduz a:

( ) ( )2

22d x

E xm dx

ψψ− =

(5.2) Sabemos que as soluções esperadas para a função de onda são do tipo:

( ) ( ),iE t

x t x eψ−

Ψ =

(5.3) Onde os autovalores E correspondem à energia total da partícula. No entanto, estamos tratando de uma partícula livre, cuja forma da função de onda nós já conhecemos da unidade anterior, está lembrado? Pois, então:

( ) ( ), cos ( )x t kx t isen kx tω ωΨ = − + −

(5.4) A qual pode ser reescrita na forma exponencial, do tipo:

( ) ( ), i kx tx t e ω−Ψ =

(5.5) Note que esta função representa uma onda que se propaga com propriedades:

2p mEkh

= =

(5.6)e:

Eh

ω =(5.7)

Os nós da função de onda estão localizados nas posições

( ) 1 ,2

kx t nω π − = +

com 0, 1, 2,n = ± ± … ou seja, a parte real da função de onda tem valor igual a zero sempre que ( ) 1 .

2kx t nω π − = +

Deste modo, os

nós ocorrem sempre nas posições: 12

x n k tπ ω = + +

e, como estes valores de x aumentam à medida que t aumenta, os nós se movem no sentido de x crescente. Esta conclusão está ilustrada na parte superior da Figura 5.1



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deFigura 5.1 – Na Figura, a parte real de uma função de onda exponencial complexa para uma partícula livre. Embaixo: a densidade de probabilidade para esta função de onda. Note que esta não transmite qualquer idéia de movimento.

A exponencial em (5.5) pode ainda ser desmembrada em dois fatores:

( ),iE tikx t ikxx t e e e eω −−Ψ = =

(5.8)

Física Moderna

140 EADFísica

Comparando com a forma da equação (5.3), nota-se que:

( ) ikxx eψ =

(5.9)

Ou seja, a exponencial complexa descrita acima corresponde à forma procurada da autofunção de uma partícula livre, com autovalor E . Para a função de onda descrita em (5.8), a densidade de probabilidade

( )* , ( , )x t x tΨ Ψ corresponde a:

( ) ( )* ( ) ( ), , 1i kx t i kx tx t x t e eω ω− − −Ψ Ψ = =

Portanto a densidade de probabilidade é uma constante unitária, definindo, assim, uma onda estacionária. Como pode ser observado na parte inferior da Figura 5.1, esta probabilidade não transmite nenhuma ideia de movimento! E será que a solução expressa em (5.8) para a equação de Schroedinger está completa? Será que não existe outra solução para (5.2)? A experiência com equações diferenciais nos diz que, para o mesmo valor de E , se trocarmos o sinal do termo em kx , obteríamos também uma solução aceitável. Esta agora correspondente a uma onda que se propaga no sentido decrescente de x , sendo:

( ) ( ), i kx tx t e ω− −Ψ =

(5.10)

Portanto obtemos uma nova autofunção, sendo esta:

( ) ikxx eψ −=

(5.11) Então, como fica a solução? Algum palpite? Ora, sabemos que a equação de Schroedinger independente do tempo, assim como a equação completa, é linear, ou seja, uma combinação linear de soluções possíveis também é solução, de modo que:



5U

nida

de

( ) ikx ikxx Ae Beψ −= +

(5.12)

onde A e B são constantes arbitrárias e seus respectivos valores podem ser obtidos pelo processo de normalização da função de onda.

A solução completa da equação de Schroedinger é:

( ) ( ) ( ), i kx t i kx tx t Ae Beω ω− − −Ψ = +

(5.13)

Você pode, como exercício, conferir se a expressão acima é mesmo uma solução da equação de Schroedinger para um potencial nulo, basta perfazer os cálculos das derivadas e substituir na expressão (4.14) da unidade anterior para conferir a validade da solução. Vamos agora à interpretação física das autofunções e funções de onda da partícula livre. Inicialmente vamos analisar apenas a solução relativa a uma onda que se propaga no sentido crescente de x . Será que uma partícula, cujo movimento é descrito por esta função de onda, também está se movendo no sentido de x crescente? Para verificar este fato, vamos calcular o valor esperado do momento, ,p da partícula, sendo este:

( )* ( , ), x ti x t xx

p d∞

−∞

∂Ψ= − Ψ

∂∫(5.14)

Calculando primeiro a derivada no integrando acima:

( ) ( )( , ) ( , )i kx t i kx tx t Ae ikAe ik x tx x

ω ω− −∂Ψ ∂= = = Ψ

∂ ∂

Agora substituindo em 5.14:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 2 *, , , ,i ik x t x t dx i k x t x t dp x∞ ∞

−∞ −∞

= − Ψ Ψ = − Ψ Ψ∫ ∫

Física Moderna

142 EADFísica

Substituindo o valor de 2p mEkh

= =

, tem-se:

( ) ( )* *, , 2k x t x t dx mE dxp∞ ∞

−∞ −∞

= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫

(5.15) Como a função de onda deve ser normalizada, tem-se:

2p mE=

Analogamente, podemos encontrar o valor do momento esperado para a função de onda decrescente em ,x cujo resultado é:

2p mE= −

Portanto as autofunções e funções de onda que obtivemos em (5.12) e (5.13), respectivamente, representam situações idealizadas de uma partícula se movendo, em um sentido ou em outro, em uma região de extensão infinita. Sua coordenada x é completamente desconhecida, porque as amplitudes das ondas são as mesmas em todas as regiões do eixo ,x ou seja:

( ) ( )* *, ,x t x t dx A A∞

−∞

Ψ Ψ =∫(5.16)

Neste caso, a incerteza associada a uma medida de x , seria da ordem de x∆ = ∞ e, assim, de acordo com o princípio da incerteza, é possível saber o momento p da partícula com total precisão. Como também dispomos de tempo ilimitado para medir a energia da partícula, ou seja, ,t∆ = ∞ então sua energia E pode ser conhecida com total precisão. Um exemplo físico próximo a esta situação que estamos considerando seria um próton se movendo em um feixe altamente monoenergético emergindo de um acelerador cíclotron.



5U

nida

de

De acordo com a análise apresentada acima, a função de onda da partícula associada descreve a probabilidade da partícula estar se movendo na direção de x crescente ou decrescente. Imagine agora que esta função represente um ser vivo, por exemplo,

um gato! Imagine então um experimento do tipo: um gato preso em uma caixa hermética contendo um recipiente fechado e, dentro deste, uma subs-tância que libera um vene-no mortal cujo acionamen-to é feito via decaimento radioativo. Mas o processo de decaimento radioativo é um evento probabilísti-co, pode acontecer dentro de um intervalo de tempo

ou não. Há uma chance de 50% para o isótopo decair e mais 50% de chance de não

haver decaimento. Então, como representar este sistema? O que iremos encontrar ao abrir a caixa? Segundo Erwin Schroedinger, este é um sistema quântico e deve ser tratado como tal! Portanto o gato estaria 50% vivo e 50% morto! Simples assim, vivo e morto simultaneamente, apenas em função do decaimento ou não do isótopo. Correto? Absurdo? Mas se os átomos podem existir em dois estados quânticos ao mesmo tempo, as considerações sobre os estados do gato estão corretas, certo? Este foi um dos famosos experimentos imaginados por Schroedinger para descrever os fenômenos quânticos. Por certo, apenas um exercício imaginário!

Imagem 5.1: Ilustração do experimento conhecido como o gato de Schroedinger.

Fonte: http://web.ccead.puc-rio.br/condigital/mvsl/linha%20tempo/Schrodinger/gato.html

você sabia?

3 POTENCIAL DEGRAU E AS POSSIBILIDADES QUÂNTICAS

Vamos agora estudar as soluções da equação de Schroedinger para uma partícula cuja energia potencial possa ser representada por uma função ( )V x que tenha um valor constante, mas diferente em duas regiões adjacentes de .x Ou seja, o potencial muda de valor abruptamente ao ir de uma região para outra, por meio de uma descontinuidade em .x Um exemplo simples de potencial deste tipo é o chamado potencial degrau, ou degrau de potencial, cuja formulação pode ser definida como:

( )0 0

0 0

V se xV x

se x

>=

<(5.17)

Física Moderna

144 EADFísica

Sendo 0V uma constante. Neste caso específico, a origem do eixo x no sistema de coordenadas foi escolhida como estando sobre o degrau, conforme ilustrado na Figura 5.2.

Figura 5.2 – O potencial degrau

A rigor, estes potenciais não existem na natureza, mas sua análise é bastante útil e serve de aproximação para determinados sistemas físicos. Por exemplo, a energia potencial de um elétron se movendo próximo à superfície de um metal é muito parecida com um degrau de potencial, pois ela cresce rapidamente na superfície, a partir de um valor essencial-mente constante no interior, até um valor constante, mas muito maior, na parte exterior. Para analisar este contexto, suponha que uma partícula de massa m e energia total E esteja na região 0,x < e que esteja se dirigindo para o ponto 0,x = no qual o potencial ( )V x muda abruptamente seu valor. De acordo com a mecânica clássica, a partícula vai se mover livremente nessa região até atingir 0.x = A partir deste ponto, ela estará sujeita à ação de uma força impulsiva ( ) /F dV x dx= − atuando, portanto, no sentido de x decrescente. Segundo a mecânica clássica, o movimento da partícula após sofrer a ação da força em 0x = depende da relação entre E e 0.V Para o caso de 0 , E V< a mecânica clássica proíbe a partícula de passar para a região

0,x > visto que:

( )2

( )2pE V x V xm

= + <



5U

nida

de

O que implicaria em:2

02pm

<

Assim, a energia cinética da partícula deveria assumir valores negativos, o que não faz sentido fisicamente. Portanto, segundo a mecânica clássica, a força impulsiva deveria mudar o momento da partícula, de tal modo que seu movimento ficaria exatamente invertido, ou seja, a partícula se moveria no sentido decrescente de x com momento no sentido oposto ao momento inicial, de modo a manter a energia

2

2pEm

= constante. Assim, a partícula seria refletida pelo potencial degrau. Mas e na mecânica quântica, será que esta previsão se confirma? Arrisca algum palpite? Na seção 5.3.1 trataremos apenas deste caso específico em que:

0 , E V< ou seja, a energia da partícula é inferior à altura do degrau de potencial. O caso oposto, 0 , E V< será analisado apenas na seção 5.3.2. Vejamos as previsões da mecânica quântica.

4 ENERGIA MENOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU

Para descrever o movimento da partícula segundo a mecânica quân-tica, devemos primeiro encontrar a função de onda correspondente ao potencial degrau, para a energia ,E lembrando sempre que 0 . E V< Por se tratar de um potencial independente do tempo, podemos simplesmente resolver a equação de Schroedinger independente do tempo, visto que a dependência temporal já é nossa velha conhecida (lembre-se da seção 4.6)! De antemão, podemos esperar que exista uma solução aceitável para qualquer valor de energia para 0,E > já que o potencial não é capaz de confinar a partícula em nenhuma região do eixo .x

Como temos duas regiões espaciais distintas, vamos considerá-las se-paradamente. Assim que, na região 0,x < temos, ( ) 0,V x = de modo que a equação de Schroedinger independente do tempo se reduz a:

Física Moderna

146 EADFísica

( ) ( )2

2 02

d xE x x

m dxψ

ψ− = <

(5.18)

Note que esta equação é exatamente a equação (5.2), aquela que resolvemos na seção anterior para o caso de uma partícula livre.

Já na região 0,x > temos a clássica expressão:

( ) ( ) ( )2

02 02

d xV x E x x

m dxψ

ψ ψ− + = >

(5.19)

Vamos então resolver as duas equações acima e igualar os resulta-dos no ponto 0.x = Esperamos, assim, obter uma solução única para o problema. Lembrando sempre de verificar os requisitos: unicidade e continuidade das autofunções e suas derivadas.

Da seção anterior sabemos que o resultado da equação (5.18) para, 0,x < é:

( ) 1 1 0 ik x ik xx Ae Be xψ −= + <

(5.20)

Onde:

12 mEk =

Para a equação (5.19) não devemos esperar uma função oscilatória, visto que 0 E V< (lembre-se da análise qualitativa que fizemos para as autofunções na seção 4.7). O resultado desejado seria uma função com comportamento assintótico em x, ou seja, uma função que se aproxima gradualmente do eixo ,x tipo uma função exponencial real decrescente, como:



5U

nida

de

( ) 2 0k xx e xψ −= >

(5.21)Você, estudante, pode verificar (a título de exercício!) que esta é realmente uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo, se:

02

2 ( )m V Ek

−=

(5.22)Da mesma forma que a autofunção:

( ) 2 0k xx e xψ += >

Combinando as duas soluções:

( ) 2 2 0k x k xx Ce De xψ + −= + >

(5.23)onde C e D também são constantes arbitrárias, cujos valores devem ser determinados de modo a assegurar que a autofunção total e sua derivada satisfaça as condições de limitação, unicidade e continuidade. Pela condição de limitação, note que: quando ,x →∞ a autofunção em (5.23) irá divergir, ou seja, ( ) ,xψ → +∞ a menos que a constante C seja nula. Portanto com essa análise simples, já conhecemos o valor de uma das constantes, 0.C = Já a condição de continuidade nos diz que em 0,x = as autofunções (5.23) e (5.20) devem ser iguais, ou seja:

( ) ( ) ( )2 1 1

0 0 0

k x ik x ik x

x x xD e A e B e− −

= = == +

Esta condição nos leva à relação:

D A B= +

(5.24)

Física Moderna

148 EADFísica

A mesma condição de continuidade deve ser aplicada às respectivas derivadas das autofunções, de modo que:

( ) ( ) ( )2 1 12 1 10 0 0

k x ik x ik x

x x xk D e ik A e ik B e− −

= = =− = −

O que resulta em:

2

1

ik D A Bk

= −(5.25)

Combinando (5.25) e (5.24), tem-se:

2

1

12

ikDAk

= +

(5.26)e

2

1

12

ikDBk

= −

(5.27) Assim, podemos remontar a autofunção para o potencial degrau com 0E V< :

ψ x

D ikk

e D ikk

eik x ik x

( ) =

+

+ −

−

21

212

1

2

1

1 1

x

De k x

≤

−

0

2 x ≥ 0

(5.28) A função de onda correspondente é:

ψ x

D ikk

e e D ikk

e eik xiEt

ik xiE

( ) =

+

+ −

− − −

21

212

1

2

1

1 1 �tt

k xiEt

x

De e

≤

− −

0

2 � x ≥ 0

(5.29)



5U

nida

de

A constante D pode ser determinada pela condição de normalização da função de onda. Note que tanto a autofunção quanto a função de onda são funções complexas. Entretanto é possível expressar a função de onda em termos das funções senos e cossenos, de modo que:

( )2

21 1

1

0

0k x

kDcosk x D senk x xk

xDe x

ψ−

− ≤

=≥

(5.30) O comportamento de ( )xψ e *Ψ Ψ (lembre-se que esta é sempre uma função real) estão ilustrado na Figura 5.3.

Figura 5.3 – No alto: autofunção ( )xψ para uma partícula incidente sobre o degrau de potencial em x=0, com energia total menor que a altura do degrau. Note a penetração da autofunção na região classicamente proibida, x>0. Embaixo: a densidade de probabilidade *ψ ψ correspondente a esta autofunção.

Física Moderna

150 EADFísica

Ao analisar a função de onda na representação em termos de senos e cossenos, é fácil perceber que ela representa uma onda estacionária, ou seja, as localizações dos nós não mudam com o tempo. Como as intensidades das ondas são idênticas, podemos interpretar esta solução como a superposição da onda incidente e refletida para 0x < . A Figura 5.4 ilustra esta combinação de ondas de forma esquemática.

Vamos agora analisar a autofunção (5.29), inicialmente, considerando a região 0x < . O primeiro termo de (5.29) representa uma onda se propagando no sentido de x crescente e descreve uma partícula se movendo neste mesmo sentido. Já o segundo termo, uma onda se propagando no sentido de x decrescente e descreve uma partícula se movendo neste mesmo sentido. Assim, podemos associar o primeiro termo à partícula incidente no potencial degrau e o segundo termo à partícula refletida pelo degrau. Mais ainda, podemos estimar um coeficiente de reflexão R, segundo a probabilidade que a partícula incidente seja refletida. Como na mecânica quântica, as probabilidades dependem das intensidades

*B B e *A A . Deste modo, R pode ser estimado como:

Figura 5.4 – Combinação de uma onda incidente, movendo-se para a direita (quadro superior), e uma onda refletida, movimento para esquerda (quando do meio) de mesma intensidade. O resultado desta combinação é uma onda do tipo estacionária (quadro inferior). Note que os nós da onda resultante são estacionários.



5U

nida

de

*

*B BRA A

=(5.31)

Perfazendo o cálculo acima, chegamos ao valor de R :

( )( )( )( )

2 1 2 1

2 1 2 1

1 / 1 /1

1 / 1 /ik k ik k

Rik k ik k

+ −= =

− +(5.32)

O resultado obtido acima, 1R = , significa que a partícula incidente sobre o degrau de potencial com energia inferior ao degrau tem probabilidade um de ser refletida, ou seja, a partícula será sempre refletida, exatamente como prevê a mecânica clássica. Apesar do coeficiente de reflexão unitário, uma previsão da mecânica quântica chama a nossa atenção. É o resultado do cálculo da densidade de probabilidade para a função de onda (5.29), na região

0x > . Vejamos:

2 2 22* * *iEt iEt

k x k x k xD e e De e D De−− − −Ψ Ψ = =

(5.33) Este resultado está ilustrado na parte inferior da Figura 5.3. Note que, na região positiva de ,x a função decresce rapidamente à medida que x cresce, no entanto, apesar de pequena, há uma probabilidade finita de encontrar a partícula na região 0.x > Segundo a física clássica, seria impossível encontrar a partícula nessa região; mas na, física quântica, este resultado é perfeitamente válido! Este fenômeno, conhecido como penetração na região classicamente proibida é uma das mais notáveis previsões da mecânica quântica. Repare na Figura 5.3 que a região de penetração não é muito extensa. É possível estimar por meio do número d onda a distância de penetração da partícula, como: 2/ .1x k∆ = Deste modo:

02 ( )x

m V E∆ =

−

(5.34) Sendo a distância de penetração diretamente proporcional a ,h você pode imaginar o quão pequena é a penetração, por certo, muitas

Física Moderna

152 EADFísica

ordens de grandeza inferior aos valores mensuráveis classicamente. Apesar de estranho, os valores estimados para a penetração das partículas estão perfeitamente de acordo com as experiências!

Faça uma estimativa da distância de penetração x∆ para uma partícula de poeira muito pequena, de raio 6 310 /r kg m−= e densidade 4 3/ ,10 kg mρ = se movendo com a velocidade muito baixa 210 / ,v m s−= se a partícula atinge um degrau de potencial de altura igual a duas vezes sua energia cinética, vinda da região à esquerda do degrau.

Solução:

Vamos primeiro calcular a massa da partícula:

43 18 3 14

34 104 10 . 4 103

kgm r x m x kgm

π ρ − −= ≅ =

Sua energia cinética antes de atingir o degrau é:

4 22 14 18

21 1 1010 . 2 102 2

mmv x kg x Js

−− −≅ =

e este também é o valor de ( )0 .V E− A distância de penetração é:

34

14 180

10 .2 ( ) 2 4 10 2 10

J sxm V E x x kg x x J

−

− −∆ = ≅

−

192 10x x m−∆ =

Por certo, este valor é muitas ordens de grandeza menor do que o valor que poderia ser detectado em qualquer medida possível. Para partículas com massas maiores e energias mais altas, consideradas tipicamente na mecânica clássica, x∆ é ainda menor!




5U

nida

de


Um elétron de condução se move através de um bloco de Cu com energia total ,E sob influência de um potencial que, em uma boa aproximação, tem um valor constante zero no interior do bloco e subitamente cresce até o valor constante 0V E> fora do bloco. O valor do potencial no interior é basicamente constante, e pode ser considerado nulo, pois um elétron de condução dentro do metal praticamente não sofre influência da força coulombiana total exercida pela distribuição de cargas aproximadamente uniforme que o cerca. O potencial cresce muito rapidamente na superfície do metal até o valor exterior

0 ,V porque o elétron sofre uma forte atração exercida pela distribuição de cargas não uniforme presente nesta região. Esta força tende a atraí-lo de volta ao metal e é, evidentemente, o que faz com que o elétron de condução fique ligado ao metal. Devido ao fato do elétron estar ligado, 0V deve ser muito maior do que a sua energia total .E O valor no exterior do potencial é constante, se o metal não tiver carga total, pois fora do metal o elétron não sofreria ação de nenhuma força. Medidas da energia necessária para removê-lo permanentemente do bloco, ou seja, medidas de sua função trabalho, mostram que 0 4 ,V E eV− = sendo a massa do elétron 319 10 .m x kg−= Destes fatos, faça uma estimativa da distância x∆ que o elétron pode penetrar na região classicamente proibida fora do bloco.

Solução:

Inicialmente, vamos trabalhar com o sistema mks , de modo que:

1919

01,6 104 6 10

1x JV E eVx x JeV

−−− = =

Assim:

02 ( )x

m V E∆ =

−

Física Moderna

154 EADFísica

3410

31 19

10 . 102 9 10 6 10

J sx mx x kg x x J

−−

− −∆ = =

Portanto a distância de penetração é da ordem de dimensões atômicas. Deste modo, o efeito pode ter consequências importantes para sistemas atômicos!

5 ENERGIA MAIOR DO QUE A ALTURA DO DEGRAU

Vamos agora analisar o caso de uma partícula que incide no degrau de potencial com energia total maior que a altura do degrau, isto é, 0 ,E V> conforme ilustrado na Figura 5.5.

De acordo com a mecânica clássica, uma partícula se movendo na região 0,x < no sentido crescente de x , sofrerá uma fora retardadora ( ) /F dV x dx= − no ponto 0.x = No entanto, o efeito da força aplicada será o de retardar o movimento da partícula, ou seja, fazer com que a partícula fique mais lenta ao entrar na região

0.x > Mas, de acordo com a física clássica, a partícula deverá entrar na região positiva. A energia total da partícula deve permanecer

Figura 5.5 – Energia potencial e total para uma partícula incidente sobre um potencial degrau com energia maior do que a altura do degrau



5U

nida

de

constante em todo o processo, no entanto, o momento da partícula deverá ser alterado em função da força sofrida. Assim, na região

0,x < o momento da partícula será 1,p onde 1 / 2 ,p m E= e na região 0,x > o momento será 2 ,p onde 2 0/ 2 .p m E V= −

Será que as previsões quânticas são similares às previsões da mecânica clássica? Será que a partícula conseguirá vencer o potencial degrau e penetrar na região positiva? Como veremos, a probabilidade maior é que a partícula realmente penetre na região positiva, mas, devido às propriedades ondulatórias da partícula, há também uma probabilidade apreciável dela ser refletida pelo degrau, apesar de possuir energia suficiente para superá-lo! Este mundo quântico é mesmo surpreendente, não acha?

Para encontrar a previsão quântica, podemos tratar este problema exatamente da mesma forma que resolvemos o problema da seção anterior, ou seja, seguindo os mesmos passos. Portanto teremos duas equações de Schroedinger independente do tempo:

( ) ( )2

2 02

d xE x x

m dxψ

ψ− = <

(5.35)

( ) ( ) ( )2

02 02

d xV x E x x

m dxψ

ψ ψ− + = >

(5.36)

Como as equações são idênticas, os resultados também serão do mesmo tipo, a saber:

( ) 1 1 0ik x ik xx Ae Be xψ −= + <

(5.37)

onde:

11

2 pmEk = =

Física Moderna

156 EADFísica

E:

( ) 2 2 0ik x ik xx Ce De xψ + −= + >

(5.38)onde:

0 22

2 ( )m V E pk−

= =

(5.39)Note que a inversão de sinal no radical de 2k entre (5.39) e a

solução anterior (5.22). A solução obtida agora para a região positiva de x também é uma solução do tipo oscilatória, ao contrário da solução exponencial obtida anteriormente (5.23). Assim, podemos esperar condições diferentes na determinação das constantes C e .D Você, estudante, poderá conferir a validades destas novas soluções perfazendo as integrais e substituindo na equação de Schroedinger independente do tempo.

As autofunções (5.37) e (5.38) já satisfazem as condições de limitação e unicidade, mas ainda temos que assegurar a continuidade das soluções, especialmente, no ponto 0.x = Vamos inicialmente analisar a solução (5.38). Esta solução descreve a propagação de duas ondas oscilantes na região 0,x > uma se propagando no sentido positivo e outra no sentido negativo de .x Mas não há nenhuma razão para termos uma onda se propagando no sentido negativo de x na região 0.x > Caso a partícula incidente passe para esta região, ela deverá continuar se propagando no sentido crescente de ,x afinal, não há nada que cause a reflexão da partícula após vencer o degrau de potencial. Assim, podemos esperar que:

0D =

(5.40) Já as constantes ,A B e C devem ser escolhidas de modo a assegurar a continuidade da solução e suas derivadas. Deste modo, temos:



5U

nida

de

( ) ( ) ( )1 1 2

0 0 0

ik x ik x ik x

x x xA e B e C e−

= = =+ =

Esta condição nos leva à relação:

A B C+ =

A segunda exigência, desta vez para as derivadas, implica em:

( ) ( ) ( )1 1 21 1 20 0 0

ik x ik x ik x

x x xik A e ik B e ik C e−

= = =− =

Ou:

( )1 2k A B k C− =

O resultado final:

1 2 1

1 2 1 2

2 k k kB A e C Ak k k k

−= = + +

(5.41) Portanto a autofunção encontrada é:

( )

1 1

2

1 2

1 2

1

1 2

0

2

ik x ik x

ik x

k kAe A e xk k

xkA e

k k

ψ

− −+ ≤ +

=

+ 0x ≥

(5.42) Assim como no caso anterior, não precisaremos calcular a

constante .A

Analogamente ao caso anterior, o primeiro termo da equação 5.42, válido para 0,x ≤ corresponde à onda incidente, enquanto o segundo termo a onda refletida. O termo válido para 0x ≥ representa a onda transmitida.

Física Moderna

158 EADFísica

A Figura 5.6 ilustra o comportamento de ( ) ( ) ( ) ( )* *, , , ,x t x t x t x tψ ψΨ Ψ = para a função de onda

correspondente à expressão (5.42), especificamente para o caso em que 1 2.2k k= No que, para a região 0x > a função de onda é uma onda plana, ou seja, amplitude constante se propagando no sentido de x crescente, o que resulta numa densidade de probabilidade também constante, vide Figura 5.6. Na região 0,x < a função de onda é uma combinação de onda incidente se propagando para a direita (x crescente) e uma onda refletida se propagando para a esquerda ( x decrescente). No entanto, a amplitude da onda refletida é menor que a amplitude da onda incidente (repare na expressão 5.42), de modo que ambas não podem se combinar para formar uma onda estacionária. Ao invés disso, o resultado é uma onda oscilante, tendo valores mínimos maiores que zero.

Figura 5.6 – A densidade de probabilidade *ψ ψ para a autofunção do tipo (5.42) quando 1 2.2k k=

Da mesma forma que procedemos na seção anterior, podemos estimar um coeficiente de reflexão R para a partícula e também um coeficiente de transmissão T, ou seja, a probabilidade da partícula ser transmitida através do degrau e passar para a região 0.x > No entanto, os cálculos agora são mais complicados visto que a velocidade da partícula é diferente em cada região. Deste modo, o fluxo de probabilidade não é proporcional apenas à amplitude, mas também à velocidade da partícula em cada região, de modo que:



5U

nida

de

* 2* *1 1 2 1 2 1 2

* *1 1 2 1 2 1 2

v B B k k k k k kB BRv A A A A k k k k k k

− − −= = = = + + +

(5.43)Sendo 1v a velocidade da partícula na região 0.x < Da expressão (5.43), nota-se que 1,R < mas será sempre 0.R > Deste modo, conclui-se que a partícula pode sim ser refletida pelo degrau potencial. Classicamente, uma partícula com energia suficiente para vencer o degrau nunca seria refletida! Mas no mundo quântico, esta possibilidade definitivamente existe! Já o coeficiente de transmissão pode ser estimado em função de

,R sendo:

1R T= =

(5.44) Substituindo 1k e 2 ,k obtém-se a expressão final para R e :T

2

00

0

1 1 /1

1 1 /V E

R T E VV E

− −= − = > + −

(5.45) Lembrando que o resultado da seção anterior corresponde a:

01 1 R T E V= − = <

(5.46)Observe que a expressão final de R e T não depende dos parâmetros

1k nem 2 ,k ou seja, independe da direção da onda incidente. Se a partícula incidisse sobre o potencial degrau vindo da região 0,x > o coeficiente de transmissão seria o mesmo. A única dependência é mesmo a razão entre a energia total E e a altura do degrau 0.V


Quando um elétron entra em um núcleo, fica sob a influência de um potencial que cai na superfície nuclear muito rapidamente de um valor externo constante 0V = a um valor interno constante de cerca de 50 .V MeV= A queda no potencial é o que faz com

Física Moderna

160 EADFísica

que um nêutron possa estar ligado em um núcleo. Considere um nêutron incidindo sobre um núcleo com uma energia externa

5 ,K MeV= que é típica de um nêutron logo que ele é emitido a partir de uma fissão nuclear. Faça uma estimativa da probabilidade de que o nêutron seja refletido na superfície nuclear, ou seja, dele não conseguir entrar e induzir outra fissão nuclear.

Solução:

Para esta estimativa, podemos supor o potencial nêutron-núcleo como sendo um potencial degrau unidimensional, tal qual ilustrado na Figura 5A.

Devido à propriedade de reciprocidade do coeficiente de reflexão, podemos calculá-lo a partir da expressão (5.45), usando

0 50V MeV= e 55 ,E MeV= por motivos que podem ser vistos a partir de uma observação da figura. Assim sendo, temos:

21 1 50 / 55 0,291 1 50 / 55

R − −

= = + −

Esta estimativa dá uma ideia correta da grande importância do fenômeno da reflexão quando nêutrons de baixa energia colidem com núcleos. Mas o valor numérico obtido para o coeficiente de reflexão não é muito preciso, já que o potencial nêutron-núcleo real não cai tão abruptamente na superfície nuclear quanto um potencial degrau comparado ao comprimento de onda de De Broglie.

Figura 5A – Um nêutron com energia cinética K incide sobre um potencial degrau decrescente de profundidade

0 ,V sendo E a energia total, medida a partir do fundo do potencial.



5U

nida

de

6 BARREIRA DE POTENCIAL E O EFEITO TÚNEL

Vamos agora estudar as soluções da equação de Schroedinger independente do tempo para uma partícula incidindo sobre uma barreira de potencial, conforme ilustrado na Figura 5.7, cuja formulação é do tipo:

( )0 0

0 0

V x aV x

x ou x a

< <=

< >(5.47)

Sendo 0V uma constante.

Figura 5.7 – Uma barreira de potencial

Segundo a mecânica clássica, uma partícula com energia total E na região 0,x < que incide cobre a barreira se movendo no sentido de x crescente, tem probabilidade um de ser refletida, se 0E V< e probabilidade um de ser transmitida se 0.E V> Como você já deve estar imaginando, essas previsões não são as mesmas da mecânica quântica! Vejamos.

As autofunções deste problema já são nossas conhecidas: nas regiões à direita e à esquerda da barreira. Trata-se de uma partícula livre, enquanto a região no interior da barreira corresponde às soluções discutidas na seção anterior, tanto para 0E V< e 0 ,E V> são elas:

Física Moderna

162 EADFísica

( ) 1 1 0ik x ik xx Ae Be xψ −= + <

( ) 1 1 ik x ik xx Ce De x aψ −= + >

( ) 2 20 0 k x k xx Fe Ge x a E Vψ −= + < < >

( ) 3 30 0 ik x ik xx Fe Ge x a E Vψ −= + < < <

(5.48)

sendo:

0 0

1 2 3

2 ( ) 2 ( )2 , , m V E m E VmEk k k

− −= = =

(5.49)

Assim como na seção anterior, se estamos considerando uma partícula vinda da esquerda, podemos considerar 0.D = No entanto, no interior da barreira, é possível que haja uma onda refletida e, assim, não podemos anular a constante .G Vamos considerar inicialmente o caso 0.E V< Igualando as soluções e suas derivadas nos pontos em 0x = e ,x a= é possível obter o valor de quatro constantes: ,B ,C F e G em função de A (exatamente como fizemos nas seções anteriores) e obter a densidade de probabilidade para a partícula. Esta está ilustrada na Figura 5.8. Note que, na região 0,x < a função de onda é basicamente uma onda estacionária, mas também tem uma componente refletida que se propaga. Assim, nesta região, a densidade de probabilidade oscila, mas tem valores mínimos diferentes de zero. Na região ,x a> a função de onda é uma onda plana (densidade de probabilidade constante). Na região interna à barreira 0 ,x a< < a função de onda tem componente dos dois tipos, mas é basicamente uma onda estacionária de amplitude decrescente exponencialmente.



5U

nida

de

Para este exemplo, é possível estimar a razão T entre o fluxo de probabilidade transmitido através da barreira para a região x a> e o fluxo de probabilidade incidente sobre a barreira, sendo esta:

1

* 21 2

0*1

0 0

1 4 1

v C C senh k aT E Vv A A E E

V V

− = = + <

− (5.50)

Em boa aproximação:

22

0 0

16 1 k aE ET eV V

− ≅ −

(5.51)

Válido para 2 1.k a

Figura 5.8 – Função densidade de probabilidade para um caso de penetração de barreira

A função senh que aparece na expressão (5.51) refere-se à função seno

hiperbólico, uma função que, assim como o cosseno hiperbólico, é definida a

partir de funções exponenciais, sendo:

( ) ( ) cosh 2 2

x x x xe e e esenh x e x− −− +

= =

LEMBRETE

Física Moderna

164 EADFísica

São assim chamadas visto que a parametrização de curvas em cosh e

senh originam hipérboles, ao contrário das funções trigonométricas que dão

origem a circunferências.

Imagem 5.2: Funções seno e cosseno hiperbólico.

Apesar de pequeno, 0T > e, portanto, uma partícula de massa m e energia total ,E incidente sobre uma barreira de potencial de altura 0V E> e largura ,a tem na realidade certa probabilidade T de penetrar na barreira e aparecer do outro lado! Este fenômeno é conhecido como penetração de barreira, ou efeito túnel. O processo de transmissão da partícula é usualmente chamado de tunelamento quântico! Vejamos agora o caso 0.E V> Neste caso, a função de onda é oscilatória nas três regiões, mas com comprimento de onda maior na região da barreira. De modo análogo, podemos estimar os coeficientes de transmissão e reflexão da partícula que, neste caso,



5U

nida

de

será:

1

2*31

0*1

0 0

1 4 1

senh k av C CT E Vv A A E E

V V

− = = + >

− (5.52)

sendo:

20

3 20

2 1mV a Ek aV

= −

(5.53)

Como 1 ,R T= − nota-se que há uma probabilidade não nula da partícula ser refletida, mesmo tendo energia suficiente para vencer a barreira de potencial. Nota-se ainda que, em altas energias 0 ,E V>> o coeficiente de reflexão (e, consequentemente o de transmissão) da barreira de potencial oscila, devido às possíveis interferências entre as reflexões em suas duas extremidades. Comparando os resultados, temos que: 1,R → quando 0/ 0E V → e 0,R → quando 0/ .E V →∞ Valores esperados para o limite de validade da mecânica clássica.

Há vários exemplos inte-ressantes sobre penetração de barreiras por partículas microscópicas. Um deles, muito comum em nosso dia a dia, apesar de não ser reconhecido como tal, ocorre nas ligações elétri-cas com fios de alumínio. A forma usual como que um eletricista junta dois fios é torcendo-os em conjunto. No entanto, há uma ca-mada de óxido de alumínio entre os dois fios, sendo este um ótimo material iso-lante. Mas como a camada é extremamente fina, os elétrons se movem através do fio são capazes de ultra-passar a camada por pene-tração de barreira.

você sabia?


Um elétron incide sobre uma barreira retangular de altura 0 10V eV= e largura 101,8 10 .a x m−= Esta barreira retangular é uma idealização da barreira encontrada por um elétron espalhado por um átomo de um gás negativamente ionizado no “plasma” de um tubo de descarga gasoso. A barreira real não é, evidentemente, retangular, mas tem aproximadamente a altura e largura citadas. Calcule o coeficiente de

Física Moderna

166 EADFísica

transmissão T e o coeficiente de reflexão ,R em função da energia total do elétron.

Solução:

De acordo com o exercício resolvido na seção anterior, podemos ver que se E é uma fração apreciável de 0 ,V a distância de penetração

x∆ será comparável à largura da barreira, .a Podemos, portanto, esperar uma transmissão apreciável através da barreira. Para determinar quanto vale exatamente esta transmissão, podemos usar os dados numéricos do problema para estimar, inicialmente, o fator constante que aparece no radical da expressão (5.53):

( )231 19 20 22

02 68 2 2

2 9 10 1 0 1 ,6 10 / 1,8 102 910 .

x x kg x eV x x J eV x x mmV aJ s

− − −

−≅ ≅

A partir deste cálculo, podemos traçar um gráfico de ,T e também de 1 ,R T= − em função de 0/ .E V A Figura 5B ilustra exatamente as curvas obtidas.

Figura 5B – Coeficientes de reflexão R e de transmissão T estimados para uma partícula incidindo sobre uma barreira de potencial de altura 0V e largura a, tal que:

20

2

2 9.mV a=



5U

nida

de

7 POÇO DE POTENCIAL QUADRADO

Os problemas considerados nas seções anteriores tratavam sempre de potenciais que não são capazes de aprisionar as partículas, isto é, limitá-las a determinada região do espaço e, por esta razão, nenhum efeito de quantização de energia foi observado. Lembre-se da nossa análise no final da Unidade anterior, quando vimos que a quantização de energia aparece apenas nos caos de potenciais capazes de aprisionar as partículas. Vejamos agora, de maneira quantitativa, as previsões para um poço de potencial quadrado, do tipo ilustrado na Figura 5.9, o qual pode ser descrito como:

( )0

2 2

0 2 2

a aV se x ou x

V xa ae x

< − >

=

− < <(5.54)

Note que T é muito pequeno quando 0/ 1,E V mas para

0/E V próximo de um, T não é absolutamente desprezível. Quando E vale a metade de 0 ,V de modo que 0/ ~ 0,5,E V o coeficiente de transmissão tem um valor apreciável, ~ 0,05,T ou seja, os elétrons podem penetrar na barreira sem muita dificuldade. Para a região na qual 0/ 1,E V > o coeficiente de transmissão T é em geral um pouco menor que a unidade, devido às reflexões nas descontinuidades do potencial.

Física Moderna

168 EADFísica

Figura 5.9 – Poço de potencial quadrado infinito

Vamos considerar o caso em que 0.E V< De acordo com a física clássica, a partícula neste caso poderia estar somente na região – / 2 / 2,a x a< < oscilando entre os extremos da região, com módulo do momento constante e qualquer valor permitido para a energia total desde que: 0.E ≥ A análise do poço de potencial é bastante usual na mecânica quântica, quando se deseja representar uma situação na qual uma partícula se move em uma região limitada do espaço sob a influência de forças que a mantém nesta região. Um bom exemplo de aplicação deste caso seria a representação do potencial que atua sobre um elétron de condução em um bloco de metal por meio de um poço quadrado. Neste caso, a profundidade do poço seria de 10eV e sua largura seria igual à largura do bloco. A solução geral para a autofunção no caso do poço quadrado é:

( ) 1 1 2 2

ik x ik x a ax Ae Be xψ −= + − < <

(5.55)



5U

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de

sendo:

12mEk =

Portanto a autofunção nesta região corresponde a uma mistura de ondas se propagando nos dois sentidos, cuja combinação resulta em uma onda estacionária. Neste caso, tem-se que as amplitudes devem ser iguais: .A B= No entanto, fazendo A B= − também é possível obter uma onda estacionária. Combinando as duas condições e expressando a solução (5.55) em termos de senos e cossenos, tem-se:

( ) ' '1 1,

2 2a ax t A senk x B cosk x xψ = + − < <

(5.56)

A título de exercício, é deixado para você, estudante, a missão de conferir a validade da expressão (5.56) enquanto solução da equação de Schroedinger independente do tempo. Fora do poço de potencial, a solução é do tipo:

( ) 2 2 2

k x k x ax Ce De xψ −= + < −(5.57)

e

( ) 2 2 2

k x k x ax Fe Ge xψ −= + > (5.58)

sendo:

02

2 ( ),

m V Ek

−=

(5.59)As duas formas em (5.57) e (5.58) descrevem ondas estacionárias na região fora do poço. Para que a condição de limitação das autofunções seja assegurada, podemos de imediato anular as constantes: 0.D F= = Caso contrário as

Física Moderna

170 EADFísica

soluções seriam divergentes em .x = ±∞ As demais constantes, ’, , ,B C G e também os valores permitidos para a energia ,E podem ser

obtidos por meio das considerações de continuidade das autofunções e suas derivadas. Perfazendo esta análise, obtém-se a solução final para a autofunção ( ) :xψ

( )

22

22

1 2

1

1 2

2 2

2 2

2

ak k x

ak k x

k a aAsen e e x

a ax Asenk x x

k aAsen e e

ψ

−

− < −

= − < <

2ax >

(5.60)

Desde que a igualdade abaixo seja satisfeita:

( )2 2

2 202 2 / 2

2 2mEa mEatg m V E a

= −

(5.61)

Para uma dada partícula de massa m e um dado poço de potencial com profundidade 0V e largura ,a a equação acima contém uma única incógnita:

.E Os valores de E que satisfazem a equação acima são os autovalores permitidos. Para encontrar os valores de E que satisfazem a equação (5.61), apenas usando métodos numéricos ou gráficos. Soluções analíticas para os autovalores nE são obtidos apenas para poços com paredes infinitas, que analisaremos na próxima seção. As Figuras 5.10 e 5.11 ilustram, respectivamente, os autovalores e as autofunções correspondentes para os três estados ligados de uma partícula em um poço de potencial quadrado particular. Qualquer valor da energia total E maior do que a altura das paredes do poço é permitida. O poço de potencial quadrado desenhado na Figura não tem um quarto estado ligado, visto que o próximo valor da energia, 4 ,E seria muito grande para satisfazer a condição de ligação 0.E V<



5U

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de

Note, na Figura 5.11, que uma pequena parte das autofunções ilustradas se estende às regiões fora do poço, sendo estas regiões classicamente proibidas, visto que 0.E V< No entanto, observe que, quanto maior é a energia da partícula em relação ao potencial 0 ,V menor é a extensão da função nas regiões classicamente proibidas. Como seria de se esperar!

Figura 5.10 – Um poço de potencial quadrado e sues três autovalores dos estados ligados

Figura 5.11 – As três autofunções do poço de potencial quadrado da Figura 5.10

Física Moderna

172 EADFísica

8 POÇO DE POTENCIAL QUADRADO INFINITO

Outro caso interessante de aplicação da mecânica quântica consiste na análise de um poço de potencial quadrado infinito, ou seja, um poço de potencial quadrado com paredes infinitamente altas. Este teria a capacidade de ligar uma partícula para qualquer valor de energia total finita 0.E ≥ Na mecânica clássica, qualquer valor de energia seria possível; mas, na mecânica quântica, apenas valores discretos nE são permitidos. Uma partícula que se move sob a influência de um poço de potencial quadrado infinito PE frequentemente chamada de partícula numa caixa. Na região central do poço, a solução geral da equação de Schroedinger independente do tempo é do tipo:

( ), 2 2a ax t Asenkx Bcoskx xψ = + − < <

(5.62) Sendo:

2mEk =

(5.63) E, para as demais regiões:

( ) 0 2 2a ax x e xψ = ≤ − ≥

(5.64)

Note que a expressão (5.62) define soluções do tipo onda estacionária que, combinada com a expressão (5.64), implica que a onda deverá ter nós nas paredes da caixa. Deste modo:

0 2 2ka kaAsen Bcos + =

(5.65)

E, analogamente:

0 2 2ka kaAsen Bcos− − + =



5U

nida

de

A expressão acima pode também ser expressa como:

02 2ka kaAsen Bcos − + =

(5.66)

Somando (5.65) e (5.66), tem-se:

2 02kaBcos =

(5.67)

Agora, subtraindo (5.65) e (5.66), tem-se:

2 02kaBsen =

(5.68)

No entanto, não há nenhum valor de k capaz de fazer 2kasen

e

2kacos

simultaneamente nulos! Uma alternativa viável para resolvermos o problema seria considerar 0A = e 0,

2kacos =

ou

mesmo: 0B = e 0.2kasen =

Portanto podemos considerar dois tipos

de solução, sendo elas:

Primeiro tipo:

( ) : 0 2kax Bcos kx onde cosψ = =

(5.69)Segundo tipo:

( ) : 0 2kax Acos kx onde senψ = =

(5.70)

Para satisfazer à condição cos( / 2) 0 , ka = o número de onda angular k deve satisfazer a condição:

3 4, , , 2 2 2 2ka π π π

= …

E para satisfazer a condição cos( / 2) 0 :ka =

Física Moderna

174 EADFísica

, 2 ,3 , 2ka π π π= …

Deste modo, as autofunções possíveis são:

( ) cos : : 1,3,5,n n n nnx B k x onde k para naπψ = = = …

e

( ) sen : : 2, 4,6,n n n nnx A k x onde k para naπψ = = = …

(5.71) Onde o número quântico n foi utilizado para indexar as diferentes soluções e as autofunções correspondentes. Também utiliza-se o número quântico n para indexar os autovalores correspondentes, de modo que, combinando o resultado acima com a expressões (5.63) para o valor de :k

2mEk =

De modo que:

2 2 2 2 2

2 1, 2,3, 4,5,2 2

nn

k nE nm ma

π= = = …

(5.72) Conclui-e, portanto que apenas certos valores de energia são permitidos, ou seja, a energia total da partícula confinada em uma caixa é quantizada! A Figura 5.12 ilustra as três primeiras autofunções de um poço de potencial quadrado infinito. Note que, agora, não é possível nenhuma penetração da partícula fora dos limites do poço. Outra característica notável é que a densidade de probabilidade quântica oscila mais e mais quando n cresce!

Figura 5.12 – As primeiras autofunções de um poço de potencial quadrado infinito.



5U

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de

Obtenha a lei de quantização da energia para o poço de potencial quadrado infinito, diretamente a partir da relação de De Broglie / ,p hλ= ajustando um número inteiro de meios comprimentos de onda de De Broglie, à largura a do poço.

Solução:

Analisando a Figura 5.12, nota-se que as autofunções do poço quadrado infinito satisfazem à seguinte relação entre os comprimentos de onda de De Broglie e a largura do poço:

2n aλ

=

Isto é, dentro do poço cabe exatamente um número inteiro de meios comprimentos de onda. Isto significa que:

2an

λ =

Assim, segundo De Broglie, os valores correspondentes do momento da partícula são:

2h hnp

aλ= =


A energia do primeiro autovalor para o poço quadrado infinito é de:

2 2

22nEmaπ

=

(5.73) Esta é a chamada energia de ponto zero, sendo esta a menor energia possível para a partícula. Não é permitido valor nulo para a energia. Donde, conclui-se que: deve haver uma energia de ponto zero, devido à existência de um estado mínimo de movimento para a partícula. Resultado este contrastante com a física clássica, a qual determina que todo o movimento cessa quando um sistema tem sua energia mínima!

Física Moderna

176 EADFísica

Como a energia potencial da partícula é zero dentro do poço, sua energia total é igual à energia cinética. Assim:

2 2 2 2 2 2

2 2 1, 2,3,2 2 4 2p h n nE nm m a ma

π= = = = …

Portanto chegamos à relação (5.72). No entanto, este cálculo trivial só pode ser empregado no caso mais simples de uma partícula ligada, o caso de um poço de potencial quadrado infinito. Ele não pode ser aplicado para obter os autovalores ou autofunções de um potencial mais complicado, como um poço quadrado finito.

Exercício Resolvido: Antes da descoberta do nêutron, pensava-se que um núcleo, de número atômico Z e peso atômico

,A fosse composto por Z prótons e ( )A Z− elétrons, mas havia sérios problemas relacionados ao valor da energia de ponto zero para uma partícula tão leve quanto um elétron confinado e uma região tão pequena quanto um núcleo. Faça uma estimativa da energia do estado fundamental .E

Solução:

Considerando a massa do elétron m igual a 1910 kg− e a lar-gura do poço igual a 1410 m− (uma dimensão nuclear típica). As-sim, de acordo com (5.72), tem-se:

2 2 68 2 2 9

1 2 30 28 210 10 10

2 2 10 1 0 2x J s JE

ma x kg x mπ − −

− −= ≅ ≅

99 3

1 1910 1 ~ 10 10

2 1,6 10J eVE x eV MeV

x J

−

−≅ =




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de

Para estimar a energia do estado fundamental, temos certamente razão em considerar o elétron como se ele estivesse confinado a um poço quadrado infinito. Também temos razão ao ignorar o caráter tridimensional do sistema real. Mas o valor de E obtido acima não pode ser aceito como correto, porque ele é extremamente grande comparado à energia de repouso do elétron

20 0,5 .m c MeV= Neste caso particular, é necessário utilizar uma

expressão relativística. Ambas as equações, 2 /a nλ = e / ,p h λ= se conservam

válidas no caso relativístico extremo. Assim, se substituirmos 2 / 2E p m= por E cp= (caso extremo da relação 2 2 2 2 4

0 ),E c p m c= + para 2

0 ,E m c tem-se:

834

814 19

3 103 1 0 . 1 102 10 1,6 10

x mx x J sch chn c eVsE cp x eVa a m x J

πλ

−

− −= = = = ≅ ≅

210E MeV=

Portanto um elétron poderia estar confinado no interior de um núcleo com este valor para a energia de ponto zero, se o valor da profundidade do potencial fosse maior do que este valor da energia de ponto zero. No entanto, há um potencial atuando sobre o elétron, devido à atração coulombiana da carga positiva do núcleo, mas o valor do potencial não é suficientemente grande. É possível estimar este valor fazendo 1410 ,r m−= e considerando

1Q Ae= e 2 ,Q e= − sendo estas os valores da carga do elétron e do núcleo. Para um valor típico de 100,A = tem-se:

( )22 19271 2

10 2 192 140 0

10 1,6 10 1 ~ 10104 4 1,6 10. 10

x x CQ Q Ae eVx eVCr r x Jm x m

Nπ π

−

− −−

= − ≅ − −

1 2

0

104Q Q MeV

rπ= −

Física Moderna

178 EADFísica

Note que este valor é dez vezes menor do que a energia de ligação exigida. Assim, um elétron não poderia estar confinado no interior de um núcleo, devido ao valor da energia de ponto zero exigido pelo princípio da incerteza.

Em 1932, Chadwick descobriu os nêutrons dando, assim, o primeiro passo para a descoberta de importantes propriedades do núcleo atômico.

9 O POTENCIAL DO OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES

Vamos agora abordar um caso mais realístico de potencial, daquele definido por funções contínuas, ao invés das funções descontínuas que consideramos anteriormente. Por sua versatilidade, vamos considerar um oscilador harmônico simples, ( ) 2 ,V x r−∝ o tipo mais comum de potencial, utilizado para descrever quase todos os sistemas físicos nos quais um ente esteja executando pequenas vibrações em torno de um ponto de equilíbrio estável. Este ponto de equilíbrio consiste, portanto, naquele ponto onde a função potencial ( )V x tem seu valor mínimo. Por certo, para pequenas vibrações, o mais interessante é mesmo analisar o comportamento nas proximidades de seu mínimo. Se escolhermos a origem do sistema de coordenadas do eixo x e do eixo da energia como estando sobre o mínimo, podemos escrever a equação do potencial em termos de uma função parabólica tal como:

( ) 2

2CV x x=

(5.74)

Onde é uma constante arbitrária. Um potencial deste tipo está ilustrado na Figura 5.13.



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de

Figura 5.13 – Potencial de um oscilador harmônico simples

A mecânica clássica prevê para o caso de uma partícula se movendo sob a ação de uma força restauradora linear, do tipo:

( ) / ,F dV x dx Cx= − =− exercida pelo potencial, quando deslocada de uma distância 0x da sua posição de equilíbrio, deverá oscilar em movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio, com a frequência:

12

Cm

νπ

=(5.75)

Sendo m a massa d partícula. E, ainda segundo a mecânica clássica, a energia total da partícula é proporcional a 2

0x e pode ter qualquer valor. Já as previsões da mecânica quântica, são bem distintas! Como você pode imaginar, já que a partícula está limitada a uma extensão finita, os autovalores obtidos para a equação de Schroedinger independente do tempo são discretos! Para simplificação do texto, não discutiremos os detalhes da solução obtida, apenas a formulação geral das autofunções, sendo

Física Moderna

180 EADFísica

estas do tipo:

( )2

2 ( )u

n n nx A e H uψ−

=(5.76)

Onde nH são os chamados polinômios de Hermite, e a variável u se correlaciona com a variável x por meio da relação:

( )14

12

Cmu x=

Os autovalores permitidos para o potencial do oscilador harmônico simples, expresso em termos de sua frequência de oscilação clássica ,ν são:

1 0,1, 2,3, .2nE n h nν = + = …

(5.77)

Portanto de acordo com a expressão acima, a energia de ponto zero do oscilador é 0 / 2.E hν= A Figura 5.14 apresenta os primeiros autovalores do potencial do oscilador harmônico simples.

Figura 5.14 – Os primeiros autovalores do potencial do oscilador harmônico simples

Repare que há uma discrepância entre o resultado expresso em (5.77) e o postulado de Planck, já notou? O fator: 1/ 2.+ Isto quer dizer que a quantização da energia, postulada por Planck, para o oscilador harmônico simples, na verdade continha um erro! A diferença é exatamente a constante aditiva / 2.hν No entanto, esta



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de

constante se cancela na maior parte dos problemas, de modo que as diferenças envolvidas são anuladas e não há nenhum efeito sobre as frequências dos fótons!

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesta Unidade, nós estudamos as principais previsões da mecânica quântica para um sistema unidimensional. Vimos como as previsões quânticas podem diferir das previsões clássicas, revelando possibilidades a princípio inimagináveis. Apesar dos muitos questionamentos e oposição, a mecânica quântica é hoje uma das mais importantes e bem sucedidas teorias científicas. Como prova desta afirmação, está o fato de que a maior parte dos laureados com o prêmio Nobel de Física no século XX corresponde a trabalhos teóricos e experimentais na área de física quântica. Por certo que o avanço científico alcançado nesta área possibilitou o desenvolvimento de muitos dispositivos eletrônicos que operam na escala dos fenômenos quânticos, a exemplo das ferramentas de nanotecnologia. Aplicações de conceitos quânticos se estendem desde a medicina à informática. Lasers, semicondutores, equipamentos de ressonância magnética e microscópio eletrônico são apenas algumas, dentre muitas outras aplicações. Atualmente, muito esforço vem sendo realizado na investigação das manipulações quânticas, a fim de desenvolver um sistema de criptografia quântica, conceito por trás do funcionamento de computadores quânticos. Assim, por meio da mecânica quântica, o mundo do microcosmo se revela, a cada dia, mais e mais instigante e convidativo. Não obstante ao sucesso alcançado pela física quântica, a teoria

da relatividade também se consagrou no século XX como a principal

ferramenta descritiva do macrocosmo. Os resultados obtidos nas

últimas décadas abriram novas perspectivas de investigação nas áreas de

cosmologia e astrofísica, lançando um olhar profundo sobre a evolução

e dinâmica do Universo em que vivemos, bem como a compreensão

Física Moderna

182 EADFísica

• Estudamos as propriedades de alguns sistemas quânticos, por meio da solução da equação de Schroedinger para diferentes condições de energia.

• Obtivemos as funções densidade de probabilidade correspondentes e analisamos as características básicas de cada sistema.

• Analisamos a maioria das previsões importantes da mecânica quântica que envolve uma partícula se movendo em um potencial unidimensional e vimos como estas previsões podem diferir das previsões clássicas.

A seguir, o resumo dos sistemas estudados e suas características:

RESUMINDO

dos processos da natureza. Deste modo, apoiado pelas concepções da

física moderna e o desafio de desvendar todo o Universo, o século XX

marcou a história da ciência como o início de uma nova era, a era da

ciência moderna!



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Física Moderna

184 EADFísica

1- O que é efeito túnel? Explique

2- Explique o efeito de penetração na região proibida para um potencial degrau.

3- Descreva a previsão quântica para um poço de potencial quadrado finito.

4- Qual é a diferença entre as previsões clássica e quântica para o potencial de um oscilador harmônico simples?

5- Revise todos os exercícios resolvidos nesta unidade.

ATIVIDADES

REFERÊNCIAS

EISBERG, Robert; RESNICK Robert. Física Quântica, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. 6. ed. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1988.

LOPES, José Leite. A Estrutura Quântica da Matéria, do átomo pré-socrático às partículas elementares. 3. ed. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2005.



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Suas anotações

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