En el papiro Rhind, un antiguodocumento egipcio de 1650 a.C.,se plantea un problema el cualdice: “un montón y un séptimodel mismo es igual a 19”.¿Cómo es la expresiónmatemática de esta igualdad?

Esta ecuación se escribe así:

x + = 19

Puente autopista Caracas-La Guaira,Venezuela. La estructura principal deeste viaducto está definida por parábolas,gráfica de la función cuadrática.

x7

En una competencia ciclística entre San Cristóbal yLa Fría existen diversos aspectos que van cambiandoa medida que los participantes cubren dicho trayecto.Es importante tomarlos en cuenta para llegar a ser elganador de ella.Para poder predecir el desempeño de los ciclistas,existen datos que se toman durante los entrenamientos:la distancia recorrida, los tiempos para recorrerla, laenergía que el cuerpo consume, entre otros. Tambiénhay aspectos constantes como la distancia a sercubierta y la diferencia de altura que existe entre estas

dos ciudades.

Podemos representarcomo d la distanciarecorrida, t el tiempo, E laenergía que consume; d,t y E son variables quedescriben aspectos de lasituación planteada.

La historia del álgebra (Die Algebra der Griechen), segúnel alemán G.H. Nesselmann (Berlin 1811-1881), pasópor tres grandes fases. En la primera de ellas, llamadaálgebra retórica, prácticamente no había simbologíay tanto el enunciado como la solución de un problemaeran verbales; en la segunda, llamada álgebrasincopada, se empleaban abreviaturas para designarconceptos y representar operaciones; y por último, elálgebra simbólica, en la cual se usa una variedad desímbolos para expresar las ideas matemáticas.

El lenguaje de las matemáticasLas matemáticas, como muchas actividades humanas, requieren de unlenguaje para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguajeposee varios componentes.

Acto I, II, III. (1989)Asdrúbal Colmenares (Trujillo 1936- ).

Componentes

Símbolos o signos

÷ 9 +

>

Vocabulario“ecuación”

“variable”

“incógnita”“despejar”

“elevar al cuadrado”

Gráficos

Los diversos símbolos o signos presentes en este lenguaje tienen un significado preciso y cumplen diversasfunciones:

Símbolos que representannúmeros:

0, 1, 2, ..., 9

Signos que indicanrelaciones:

> “mayor que”< “menor que”= “igual a”= “diferente de”.

Signos para las operaciones:+ para la adición, - para la sustracción;x o • para la multiplicación, / o ÷ para ladivisión; para la radicación.

Símbolos que aparecen enmatemáticas superiores:

para la derivada.

Para algunas constantes seusan letras específicascomo i, e y la letra griegaπ.

Signos de agrupación:( ) paréntesis[ ] corchetes{ } llaves.

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Letras del alfabeto para simbolizar constantes y variables.Las primeras letras: a, b, c, d se suelen emplear para denotarconstantes. Las últimas letras: x, y, z se utilizan generalmente pararepresentar variables. También se utilizan con frecuencia las letrasgriegas .

En el siglo IX Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de losnúmeros, de los métodos de cálculo y de los procedimientosalgebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo. Lapalabra álgebra deriva del título de su obra más importante,que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr walmuqabala.

Los símbolos se pueden combinar de diversas maneras. Estascombinaciones dan lugar a expresiones y fórmulas matemáticas. Unaexpresión es una combinación de símbolos matemáticos. Una fórmulaes una expresión en forma de igualdad o desigualdad que representauna ley, propiedad o condición.

Cruz de mayo. (1960)Régulo Pérez (estado Bolívar 1936- ).

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No todas las combinaciones de símbolos que se nos ocurran son válidas. Sucede algo similar con nuestroidioma: cualquier combinación de letras no es necesariamente una palabra; así, “casa” es una palabra bienconstruida, mientras que “wxathz”, no lo es. En matemáticas, por ejemplo, las expresiones “(x+y)2” y “f(x)=3ex+1”están bien construídas. Sin embargo, “)3+x)”, “x+-3” y “3x-log” no lo están.

¡Para que obtengamos expresiones válidas tenemos que respetar ciertas reglas!

Notemos que aunque la expresión sea válida, ésta puede no representar el resultado correcto de una situación:si queremos sumar 5 más 3 y multiplicar el resultado por 2, la expresión que representa correctamente lo planteadoes: (5+3)2. Si usáramos la expresión 5+3(2), ésta sería válida como expresión matemática pero no representaal enunciado dado.

(a+b)2

C + V = A + 2

f(x) = ax + b

f(x)=ax2+bx+c

V = πR3

hπR2

an = 3 + nr

bn = 5rn

c2= a2+ b2

-b ± b2 - 4ac2a

A=πR2

A=

ax + b = 0

x3+

sen (ß)

at2 + bt + c = 0

Fórmulasy

expresiones

32

bh2

43

Una variable se representa mediante un símbolo, generalmente una letra. En una expresiónmatemática cada variable representa un elemento cualquiera de un conjunto de valoresposibles. Por ejemplo, en la expresión f(x)=2x+3, x es una variable que puede tomar valoresen un conjunto numérico ( , , , , ); por su parte, 2 y 3 en la expresión anterior representanconstantes. En la expresión A(r)= πr2, r es una variable que toma valores positivos en elconjunto de los números reales; mientras que π es constante. También f(x) y A(r) son variables.La distancia cubierta d y el tiempo empleado t en un recorrido en bicicleta también sonvariables, las cuales sólo pueden tomar valores no negativos.

Dos matemáticos del siglo XX, el polaco Hugo Steinhaus y el canadiense Leo Moser, idearonuna ingeniosa notación para escribir números muy grandes. La notación funciona así:

a = aa a = a dentro de a triángulos y a = a dentro de a cuadrados

2 = 2 = 2 = 22 = 44 = 256

El último número representa 256 dentro de 256 triángulos y cada vez que quitamos un triángulo tenemosque tomar lo que está dentro de él como base y elevarlo a un exponente igual a la base. El resultadoes un número gigantesco.Hugo Steinhaus

matemático polaco (1887-1972).

Reto:Trata de calcular el valor de 3

Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas

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El advenimiento y posterior evolución del simbolismo matemático fue un proceso lento.Veamos una breve reseña:

Matemático Forma de escritura para la época

Sig

lo I

I1

49

41

52

11

57

7s.

XV

I1

62

91

63

71

69

3

Forma actual de escritura

Diofanto x 3 = 5 x 2 + 8 x - 1

Luca Pacioli x + x 2 = 1 2

Ghaligai x 2 + 3 2 x = 3 2 0

Gosselin 1 2 x - x 2 + 4 8 = 1 4 4 - 2 4 x + 2 x 212LM1QP48 aequalia 144M24LP2Q

Viète 3 a x 2 + 5 b x - x 3 = DB 3 in A q + F 5 in A – AC aequaturD sólido

Girard x 4 + 3 5 x 2 + 2 4 = 1 0 x 3 + 5 0 x1 4 + 35 2 + 24 = 10 3 + 50 1

Descartes x = a + a 2 + b 2x a + aa + bb12

14

12

14

Wallis x4 + bx3 + cxx + dx + e =0 x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0

Notamos que en el período 1494-1693 (casi 200años) se pasó de una escritura casi en lenguajenatural al simbolismo actual, sin embargo esteproceso no se ha detenido. Por ejemplo, en el sigloXX, el conocido grupo Bourbaki introdujo diversasnotaciones y popularizó otras. Entre éstas utilizó elsímbolo ø para denotar al conjunto vacío.

André Weilfrancés (1906-1998). Uno de losprincipales matemáticos del siglo XX,miembro fundador del grupo Bourbaki.

“El algebra se apropia de pleno derecho elnoble problema entre los problemas quees: no dejar ningún problema sin solución.”

F. Viète (s. XVI)En Inartem analytican isagoge (1591). Primertratado moderno de álgebra que lo hizo famoso.

La incógnita ha recibido diversos nombres en la historia de la matemática. Ahmes (siglo XVII a.C.)usaba la palabra “aha”, que significa montón” o “cantidad”, para designarla. El hindú Aryabhatta(siglos V a VI d.C.) usó la abreviatura “ya” para representarla. En los siglos XV y XVI se emplearonlas palabras “res” (latín), “cosa” (italiano), “coss” (alemán) y “cossike” (inglés). En el siglo XV, elmatemático Nicolás Chuquet la denominó “premier”.

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Ecuaciones linealesConsideremos la siguiente situación (con los números que utilizamospara contar): se trata del juego o acertijo “Piensa un número...”

1- Piensa un número2- Multiplícalo por 23- Agrégale a lo obtenido 54- Multiplica el resultado anterior por 55- Súmale 10 a la cantidad obtenida6- Multiplica el nuevo resultado por 107- Dime el resultado y te diré el número que pensaste¿Cómo funciona el truco?

Para ver que hay detrás de este acertijo, basta transformar las frasesanteriores en su equivalente simbólico: es decir, construir las expresionesmatemáticas que las representan.Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el quepiensa nuestro adversario) con una letra. Pongamos por caso n.A continuación traducimos todas las instrucciones a expresionesmatemáticas:

1- Piensa un número n2- Multiplícalo por 2 2n3- Agrégale a lo obtenido 5 2n+54- Multiplica el resultado anterior por 5 (2n+5)55- Súmale 10 a la cantidad obtenida (2n+5)5+106- Multiplica el nuevo resultado por 10 [(2n+5)5+10]107- Dime el resultado y te diré el número que pensaste R=[(2n+5)5+10]10

R(n)=100n+350Res el resultado que

nos dan. Una vez escogidon el valor R queda determinado

por las operaciones especificadasmediante la fórmula; R se denomina

variable dependiente en razónde que su valor depende del

valor n.

Esta dependencia se indica porR(n) y es lo que en matemáticase denomina una función.

Lavariable n es el número

pensado. Como la variablen es de libre escogencia, ella

se llama variableindependiente.

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¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n?En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto delos números naturales, denotado por IN.n N

El jugador que pensó el número n calcula el número R(n) que produce la fórmula:es decir, está evaluando la función en n. Así, si n=3, entonces le correspondeR(3)=650; si n=11, entonces R(11)=1450, etc.

Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n que produzca el R dado?Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestro oponente da el valor de R y queremos“adivinarle” el número que pensó. Esta nueva situación produce una ecuación y el valor desconocido npasa a llamarse incógnita.

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes yuna o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x3 - 8 = 0 ...

Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación.

Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posible encontar una fórmula mediantela cual se establezca una relación entre el número de triángulos y el número de fósforos empleados?.

“El álgebra es generosa, frecuentementeda más de lo que pide”

Jean D’Alembertmatemático, físico y filósofo francés

(1717-1783).

¡Exploremos el asunto!

Para el primer triángulorequerimos tres fósforos.Para poder anexar elsegundo se necesitaadicionar dosfósforos. Para elsiguiente colocamosdos más.Denotemos con la letra n el número de fósforos (variable independiente)y con T(n) el número de triángulos construídos con n fósforos (variabledependiente).Si observamos con un poco de cuidado podemos notar que los númerosde la segunda columna son los números impares ≥ 3 y en la primeraaparecen los números naturales. La pregunta original se transforma en¿cómo determinar un número de la primera columna conocido sucorrespondiente en la segunda? En otras palabras, ¿Cómo saber que al7 le corresponde el 3, al 11 el 5...? La respuesta es que dado un númerode la segunda columna, le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, lafórmula buscada es:

Nº

1

2

3

4

5

...

Nº

3

5

7

9

11

...

n-12

n2

12

T(n)= =

En las dos situaciones que acabamos de presentar, la expresión del lado derecho de la igualdad resultóser de la forma an + b. En otras ocasiones, como el caso del problema propuesto en el Papiro Rhindcuando las cantidades que intervienen son números reales, se acostumbra emplear la letra x en lugarde n.

Ecuaciones lineales

47

Funciones afín y cuadrática

Se dice que la expresión ax+b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de lavariable y la función definida por f(x)=ax+b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la funciónafín es una línea recta no vertical.

Si representamos la sucesión T(n),de los fósforos, se obtienen lospuntos que marcamos en la gráficay observamos que éstos estánalineados.

Si utilizamos en vez de nuna variable real x,

la representación deesta función da una recta.

Alnúmero que

corresponde al área deun cuadrado le resto cinco

cuartos del número quecorresponde a su perimetro.

Si resulta -6, ¿podrédeterminar las

dimensiones delcuadrado?

El área del cuadrado de lado x es x2 y superímetro es 4x.

Por lo que la ecuación queda de la siguienteforma:

x2- (4x) = -6 => x2- (4x) = -6

x2 - 5x =-6

54

54

Ecuación de segundo grado o cuadrática

Si aplicamos la fórmula para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado (a= 1,

b=-5 y c=6), los valores resultantes, para nuestra ecuación x2 - 5x =-6, son x=2 y x=3. Hay dos cuadrados que

cumplen con la premisa dada, los cuadrados de lado 2 y lado 3.

-b ± b2 - 4ac2a

Grá

fica

de f(

x) =

x2-5

x+6

Raíces de la ecuación x2-5x+6=0

Como podemos observar, la parábola corta al eje x en x=2 y en x=3. Estos

valores son las raíces que ya habíamos obtenido por métodos algebraicos. Las

raíces nos permiten localizar los puntos de corte de la parábola con el eje x.

La expresión ax2 + bx + c= 0 se dice

que es una ecuación de grado 2 (o

cuadrática) y f(x)=ax2+bx+c se

denomina función cuadrática. La

gráfica de la función cuadrática es una

parábola.

En este caso ∆ = b2 - 4ac > 0

y a > 0

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x2

12

f(x)=

Vea

mo

s o

tra

situ

ació

n:

1

01

1

0 1x

y

1

0 1x

y

n

Tn

Parábola RockArmenia.

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Ecuaciones cuadráticas

f(x)=-x2-5x-7 f(x)=(x-1)2

Raíz de la ecuación (x-1)2 = 0

La parábola toca un solo punto del eje x. ∆ = 0

Grafiquemos algunas funciones de grado 2 a los fines de observar si las mismas cortanel eje x en uno o más puntos, o no lo cortan. Esto da una idea de cómo son las raícescorrespondientes a la ecuación cuadrática.

Raíces de la ecuación x2-3x-4=0

f(x)=x2-3x-4

La ecuación -x2-5x-7=0 no tiene raíces reales. ∆ = -3 < 0

f(x)= -(2x)2-2x

Raíces de la ecuación -(2x)2-2x = 0

Las ecuaciones y los conjuntos numéricos.Inicialmente cuando sólo se conocían los números naturales N: 0, 1, 2, 3,...y se planteaban ecuaciones del tipo x + a = b, algunas de éstas podíanresolverse, es decir tenían solución en el conjunto N, mientras que otras no.De esta manera se crea el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2,-2, 0, 1, 2, 3,... donde tienen soluciones las ecuaciones del tipo x + a = b.Pero ahora se plantean ecuaciones de la forma ax = b. Como no todas tienensolución en , se construye el conjunto Q de los números racionales ofracciones, ,a b y b ≠ 0. Surgen ahora ecuaciones del tipo x2 - a = 0,a > 0 que no tienen solución. De esta manera se crea el conjunto de losnúmeros reales, donde están números como 2, π y e. Pero no todas lasecuaciones del tipo x2 + a = 0 tienen solución en . Finalmente se construyeel conjunto C de los números complejos, donde todas las ecuacionesalgebraicas anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 tienen solución.

x + 3 = 5 Solución x = 2x + 5 = 2 No tiene solución en IN

3x = 18 Solución x = 62x = 1 No tiene solución en

x2 - 2 = 0 Sin solución en Qx2 + 1 = 0 Sin solución en

x

y

xy

y

x

xy

ab

10-1

10

1

1

0

-1

10

1

∆ = 25 > 0 ∆ = 4 > 0