Fakultet prometnih znanosti Sveu čilište u...
Transcript of Fakultet prometnih znanosti Sveu čilište u...
Fakultet prometnih znanostiSveučilište u Zagrebu
IZMJENIČNE STRUJE I
ELEKTROTEHNIKA
IZMJENIČNE STRUJE
Izmjeni čne struje su vremenski promjenljive struje kojima se pored jakosti mijenja
i smjer strujanja naboja.
Trenutna vrijednost izmjeni čne veli čine iznos izmjenične veličine u određenom trenutku
Označavanje promjenjivih veli čina malim slovima u(t), i(t)
Periodi čki promjenjive veli čine nakon vremenskog intervala T [s] (PERIOD) ponavlja se “slika”
promjenjive veličine
Frekvencija f izmjenične veličine broj cijelih promjena (“slika”) te veličine u jedinici vremena:
== HzsT
f11
Izmjeni čne sinusoidalne veli čine
AmplitudaIm – maksimalna vrijednost
Kutna brzina ωωωω(kružna frekvencija) :
)(sin)(0 tIti m ⋅⋅= ω
mI
(kružna frekvencija) :
Fazni pomak (faza) ββββ
)(sin)( 22 βω −⋅⋅= tIti m
⋅⋅=s
radfπω 2
[ ]radt αω =
)(sin)( 11 βω +⋅⋅= tIti m
Srednja vrijednost izmjeni čne struje
Srednja vrijednost izmjenične struje u vremenskom intervalu Tdefinirana je izrazom:
Za sinusoidalnu izmjeničnu struju
∫ ⋅=T
sr dttiT
I0
)(1
Za sinusoidalnu izmjeničnu struju srednja vrijednost jednaka nuli.
Elektrolitska srednja vrijednost izmjenične struje Kod elektrolize bitna elektrolitska srednja vrijednost
Definira se:
Za sinusnu struju:
∫ ⋅=T
el dttiT
I0
)(1
2Za sinusnu struju:mmel III ⋅=⋅= 637,0
2
π
Efektivna vrijednost izmjeni čne struje
RMS value (root-mean-square value):
efektivna vrijednost, srednja kvadratna vrijednost.
Efektivna vrijednost Ief
izmjenične struje i(t) odgovara onoj vrijednosti konstantne istosmjernestruje I koja na otporniku otpornosti R proizvede istu količinu toplinekao ta izmjenična struja u istom vremenu na istom otporniku.
∫T T
mm
T
m
T
ef II
dttIT
dttiT
I ⋅===⋅=⋅= ∫∫ 707,02
.........sin1
)(1
0
22
0
2 ω
∫ ⋅⋅=⋅⋅=T
dtRtiWiTRIW0
22 )( ∫ ⋅=⋅⋅T
dttiRTRI0
22 )(
∫ ⋅=T
ef dttiT
I0
2 )(1
Omjerni faktori Instrumenti nisu baždareni na istu srednju vrijednost, pa se
moraju preračunati s pomoću omjernih faktora. Faktor oblika je omjer efektivne i elektrolitske srednje
vrijednosti izmjenične veličine.
Tjemeni faktor je omjer maksimalne i efektivne vrijednosti
11,1222
2 =⋅
=⋅= π
π
ξm
m
I
I
Tjemeni faktor je omjer maksimalne i efektivne vrijednosti izmjenične veličine.
Srednji faktor je omjer elektrolitske srednje i maksimalne vrijednosti izmjenične veličine.
414,12
2
===m
m
IIσ
637,02
2
==
⋅
=π
πζm
m
I
I
KOMPLESKNI RA ČUN I VEKTORSKA ANALIZA
Račun sa vremenski promjenjivim veličinama u vremenskoj domeni je složen
najednostavnije operacije zahtjevaju složen izračun
)(sin)( 111 βω +⋅⋅= tUtu m
)(sin)( 222 βω +⋅⋅= tutu m
)()()( 211 tututu +=
SINUSODALNE VELIČINE mogu se preslikati u kompleksno podru čje u toj drugoj domeni nema komponente vremena u kompleksnom području napravi se izračun a zatim se rezultat može vratiti u vremensku domenu
)()()( 211 tututu +=
)()()( 211 tututu ⋅=
Prikaz sinusoidalne veličine FAZOROM
Kompleksni broj (realni i imaginarni dio – dvodimenzionalna veličina - vektor) Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja (vektora)
Eksponencijalni prikaz kompleksnog broja
jbajU +=+= ImRe
ϕjUeU =
22 ImRe +=U
Re
Imarctg=ϕU – apsolutna vrijednost
kompleksnog broja (modul)
Simbolički prikaz
Projekcija vektora U na imaginaranu os
UeU =
ϕ∠= UU
Rearctg=ϕ
ϕsinIm UU =
kompleksnog broja (modul)
Prikaz sinusoidalne veličine FAZOROM
ako se u kompleksnom broju nalazi i komponenta vremena t
vektor koji rotira – FAZOR
ωωωω - kutna brzina rotiranja fazora [rad/s]
ϕϕϕϕ - početni kut (faza) [rad]
Vremenski promjenjiva sinusoidalna veličina
( )ϕω +⋅= tjeUU
Vremenski promjenjiva sinusoidalna veličina odgovara projekciji FAZORA na
imaginarnu os
( )ϕω += tUU sinIm
Ako fazori rotiraju istim kutnim brzinama može se iz razmatranja ukloniti vrijeme – relativni odnosti ostaju
isti što za posljedicu ima da se električke veličine promatraju kao
dvodimenzionalni vektori (koji ne rotiraju)
222
111
ϕϕϕ
∠=∠=∠=
UU
UU
UU
Izračun električkih veličina: potrebno poznavati račun sa kompleksnim brojevima pretvorba iz jednog oblika u drugi zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje
333 ϕ∠= UU
Prijelaz iz vremenske domene u kompleksnu primjer:
U kompleksnom području rabe se EFEKTIVNE VRIJEDNOSTI NAPONA I STRUJA (amplituda se dijeli sa drugim korijenom iz dva), a faza se prepiše
)(sin)( 111 θω +⋅⋅= tUtu m
1111
12
θθ ∠=∠= UU
U m
Um1 – amplitudaU1 – efektivna vrijednost
Prilikom vraćanja u vremensku domenu efektivna vrijednost množi se sa korijenom iz dva, a vraća se kružna frekvencija i vrijeme; npr:
NAPOMENA: oznake : točka ili crta iznad slova
)(sin)(sin2)( 22222 ψωψω +⋅⋅=+⋅⋅= tItIti m
222 ψ∠= II
IIUUZZ &&& ,,,,,
Izmjenični naponski izvor (sinusoidalan napon)
Električki element koji na svojim stezaljkama daje izmjenični sinusoidalni napon neovisno o ostalim prilikama u strujnom krugu
Oznake: e(t), često se označava i sa u(t);E
)sin()( max θω +⋅= tEte
θ∠= EEEmax – amplituda elektromotorne sileE – efektivna vrijednosti
IMPENDANCIJA Trošila koja se priključuju na izmjenični izvor karakterizirana su
IMPENDANCIJOM (“kompleksni otpor”) oznaka za impendanciju
impendancija je kompleksna veličina
zapis u trigonometrijskom obliku
[ ]Ω Z
ImRe jZ +=
zapis u eksponenc. (simboličkom) obliku
pretvorba iz simboličkog u trigonometrijski
pretvorba iz trigonometrijskog u simbolički
ϕ∠= ZZ
22 ImRe +== ZZRe
Imarctg=ϕ
ϕϕ
sinIm
cosRe
⋅=⋅=
Z
Z
Pravila koja vrijede za spajanje otpornika vrijede i za impendancije; npr.
serijski spoj impendancija
paralelni spoj impendancija
21 i ZZ
21 ZZZuk +=
21
111
ZZZuk
+=
21 i ZZ
Veličina obrnuto proporcionalna IMPENDACIJI naziva se ADMINTANCIJA
analogno vezi otpora R i vodljivosti G u krugu istosmjerne struje
ADMITANCIJA je također kompleksna veličina
[ ]S 1
ZY =
21 ZZZuk
Za izmjenične strujne krugove vrijedi isti zakoni kao i za istosmjerne strujne krugove, ali u kompleksnom obliku Ohmov zakon I Kirchhoffov zakon II Kirchhoffov zakon
OHMOV ZAKON ZA IZMJENIČNI STRUJNI KRUG
Z
UI =
ϕθψ
∠∠=∠
Z
UI
Z
UI = ϕθψ −=
Polaritet pada napona na impendanciji Z
Z ϕ∠Z ZI,U – efektivne vrijednosti
ZIU ⋅= ϕψθ ∠⋅∠=∠ ZIU ZIU ⋅= ϕψθ +=
Z
I + UZ-
POJEDINAČNA OPTEREĆENJA IZVORA IZMJENI ČNE STRUJE
čisto djelatno optere ćenje izmjeničnog strujnog kruga;
čisto induktivno optere ćenje izmjeničnog strujnog kruga;
čisto kapacitivno optere ćenje izmjeničnog strujnog kruga.
Djelatni (aktivni) otpor u izmjeni čnom strujnom krugu
Omski otpor – otpor na protjecanje istosmjerne struje
Djelatni (aktivni) otpor – otpor na protjecanje izmjeni čne struje Djelatnim otporom u obzir se uzimaju i gubici pri pretvorbi energije
Za frekvencije manje od 300 [Hz], omski otpor približno je jednak djelatnom Gradska mreža je na 50 [Hz].
Uzrok povećanja aktivnog u odnosu na omski otpor izmjenično elektromagnetsko polje izaziva vrtložne struje koje smanjuju izmjenično elektromagnetsko polje izaziva vrtložne struje koje smanjuju
efektivni vodljivi presjek vodiča Istosmjerna struja je ravnomjerno raspoređena po poprečnom presjeku
vodiča. Kod izmjenične gustoća struje raste prema prema površini - skin učinak.
Istosmjerna struja
Izmjeni strujačna
S
lR ρ=
''
S
lR ρ=
RRSS >⇒< ''
Djelatni (aktivni) otpor u izmjeni čnom strujnom krugu
Izračun struje - vremenska domena
prikaz valnih oblika struje i napona
tUtu m ωsin)( ⋅=
tItR
U
R
tuti m
m ωω sinsin)(
)( ⋅=⋅==
Napon i struja su u fazi.
Djelatni (aktivni) otpor u izmjeni čnom strujnom krugu
Izračun struje – kompleksno podru čje
impendancija je ovdje radni otpor
tUtu m ωsin)( ⋅=°∠=∠= 0
2U
UU m θ
°∠= 0RZ
°= 0θ
Ohmov zakon za strujni krug
Vektorski (fazorski) prikaz: Napon i struja su u fazi.
°∠=°−°∠=°∠°∠=
∠∠=∠ 0)00(
0
0
R
U
R
U
R
U
Z
UI
ϕθψ °= 0ψ
Induktivitet u izmjeni čnom strujnom krugu
Svitci (zavojnice) bez jezgre ili s magnetskom jezgrom Služe za
- generiranje induciranih napona (bobina, transformator),- generiranje magnetskih polja gdje će djelovati magnetska sila
(elektromotor, relej),- filtriranje signala,- filtriranje signala,- skladištenje magnetske energije i dr.
Prolaskom promjenjive električne struje kroz zavojnicu dolazi do induciranja napona samoindukcije zavojnica se opire promjeni struje –tj. postoji INDUKTIVNA
REAKTANCIJA (“induktivni otpor”)
Induktivitet u izmjeni čnom strujnom krugu
Izračun struje – vremenska domena
napon izvora inducirani napon
na zavojnici dt
tdiLteind
)()( ⋅−=
0)()( =+ tetu ind
∫ ⋅= dttuL
ti )(1
)(ω
ω 1)cos()( ⋅−⋅= t
L
Uti m
tUtu m ωsin)( ⋅=
0)()( =+ tetu ind
)()( tute Lind =
konačno rješenje
∫L ωL)
2sin(cos
πωω −=− tt
)2
sin()(πω
ω−⋅= t
L
Uti m
mI
0)()( =+ tetu ind
uz
Struja kasni za naponom za kut π/2 radijana
- amplituda struje
Induktivitet izmjeni čnom strujnom krugu
INDUKTIVNA REAKTANCIJA X L
INDUKTIVNA REAKTANCIJA je kompleksna veličina (mora se uzeti u obzir i fazni pomak koji unosi)
[ ]Ω== LjjXX LL ω
L
UI m
m ω= INDUKTIVNA
REAKTANCIJA
[ ]Ω°∠=°∠= 9090 LXX LL ω
Izračun struje – kompleksno podru čje
tUtu m ωsin)( ⋅=
LX
UI =
°∠= 0UU
°−∠=°−°∠=°∠
°∠=∠ 90)900(90
0
L
U
L
U
X
UI
L ωωψ
Vektorski prikaz: Napon prethodi struji za kut π/2 radijana
Kapacitet u izmjeni čnom strujnom krugu
Funkcija kondenzatora odvajanje istosmjerne od izmjenične komponente struje, kratko spajanje izmjeničnih napona, filtre i rezonantne krugove, pohranu električne energije i generiranje vremenskih kašnjenja i dr.
Struja fizički ne prolazi kroz dielektrik kondenzatora, Struja fizički ne prolazi kroz dielektrik kondenzatora, Izmjenična struja je struja punjenja i pražnjenja kondenzatora, a
zatvara se preko polariziranih naboja u dielektriku.
Kondenzator predstavlja KAPACITIVNU REAKTANCIJU (“kapacitivniotpor”) izmjeničnoj struji
Kapacitet u izmjeni čnom strujnom krugu
Izračun struje – vremenska domena
konačno rješenje
dt
tduCti
)()( ⋅=
tCUti m ωω cos)( ⋅⋅⋅= )2
sin(cosπωω += tt
tUtu m ωsin)( ⋅=
uz
konačno rješenje
)2
sin(1
)(πω
ω
+⋅= t
C
Uti m
C
UI m
m
ω1
=
mI - iznos amplitude struje
KAPACITIVNA REAKTANCIJA
Struja prethodi naponu za π/2 radijana
KAPACITIVNA REAKTANCIJA X C
KAPACITIVNA REAKTANCIJA je kompleksna veličina (unosi i fazni pomak između struje i napona)
Izračun struje – kompleksno podru čje
[ ]Ω−=−=C
jjXX CC ω1[ ]Ω°−∠=°−∠= 90
190
CXX CC ω
tUtu m ωsin)( ⋅= °∠= 0UUtUtu m ωsin)( ⋅=
CX
UI =
°∠= 0UU
°∠=°+°∠=°−∠
°∠=∠ 901
)900(190
0
C
U
C
U
X
UI
C
ωω
ψ
Vektorski prikaz: Struja prethodi naponu za kut π/2 radijana
Ovisnost impendancije (reaktancija, otpora) o frekvenciji
Po iznosu R ne ovisi o frekvenciji (ako se promatra idealni radni otpor)
XL=ωωωωL - raste sa porastom frekvencije XC= 1/ωωωωC – pada sa porastom frekvencije
NEKI SERIJSKI SPOJEVI na izmjeničnom izvoru napona RL RC
Serijski spoj R i L Impendacija – kompleksni broj
Izračun struje
LL jXRXRZ +=+=
ϕ∠= ZZ
Simbolički zapis (eksponencijalni)
R
Xarctg L=ϕ22
LXRZ +=
Izračun struje
Vektorski prikaz (struja i napona)
kod crtanja vektorskog dijagrama ako je struja zajednička zgodno je staviti kut struje ψ=0
Z
UI = ϕθ
ϕθψ −∠=
∠∠=∠
Z
U
Z
UI
LR UUU +=
RIUR ⋅=
LL XIU ⋅=
Serijski spoj R i C Impendacija – kompleksni broj
Izračun struje
CC jXRXRZ −=+=
ϕ∠= ZZ
Simbolički zapis (eksponencijalni)
R
Xarctg C=ϕ22
CXRZ +=
Izračun struje
Vektorski prikaz (struja i napona)
kod crtanja vektorskog dijagrama ako je struja zajednička zgodno je staviti kut struje ψ=0
Z
UI = ϕ
θψ∠∠=∠
Z
UI
CR UUU +=
RIUR ⋅=
CC XIU ⋅=