pág. 1

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA

E.A.P. DE: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo

e-mail: mtarazona@uch.edu.pe - mitagi@hotmail.com

Agosto de 2016

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS

Geometría

Volumen 43

3 r

Área de la Superficie 4 2 r

r

Volumen r h2

Área de la superficie lateral 2 rh

r

h

Volumen 13

2r h

Área de la superficie lateral r r h rl2 2

h

r

l

Volumen 1

3

2 2h a ab b

Área de la superficie lateral

a b h b a

a b l

2 2

h

a

b

l

pág. 2

Trigonometría

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES DE UN ANGULO

SenSenC osSenC osSenC osSenSenC osC osC osC os

SenSenSenSenC osC osC osSenC osC osC osSenSen

C otC ot

C otC otC ot

TanTan

TanTanTan

SenSenC osC osC os

SenC osC osSenSen

xC oxC ot

xSecxTan

xSenxC os

xC osxSen

xC osxSen

xSen

xC osxC ot

xC os

xSenxTan

xC otxTan

xSecxC os

xC oxSen

)(

)(

1

1

s ec1

1

1

1

1

1

1

1s ec

22

22

2

2

22

:ángulos 2 de diferencia o S uma

:sP itagórica sIdentidade

FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES

xC ot

xC otxC ot

x

xx

xx

xx

xxx

xxx

2

12

tg1

tg22tg

s en212cos

1cos22cos

s encos2cos

coss en22s en

2

2

2

2

22

:doble ángulo

del ricastrigonomét sIdentidade

pág. 3

IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:

1tg3

tg3tg3tg

tg31

tgtg33tg

cos3cos43cos

s en4s en33s en

2

3

2

3

3

3

c

ccc

Identidades de ángulo cuádruple:

tg4tg4

1tg6tg4tg

tgtg61

tg4tg44tg

1cos8cos84cos

s encos4s encos84s en

3

24

42

3

24

3

cc

ccc

Generalizando, para cualquier múltiplo de ángulo:

(teorema de Moivre)

!!)(

!

....s encoss encoss encoss en

...s encoss encoss encoscoscos

5553331

666444222

rrn

nC

CCnn

CCCn

r

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

:donde

cos1

s en

s en

cos1

cos1

cos1

2cot

cos1

s en

s en

cos1

cos1

cos1

2tg

2

cos1

2cos

2

cos1

2s en

x

xx

x

xx

xx

xx

:mitad ángulo del

ricastrigonomét sIdentidade

pág. 4

SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES

2 Cos

2Cos 2 Cos

Cos Cos 2Cos Cos

Cos Cos 2

2 Cos2 2

2 Cos2 2

sen ( )tg tg

cos cos

cos ( )tg tg

cos sen

tg t

Sen Sen Sen

Sen Sen

Sen Sen

Sen Sen Sen

Sen Sen Sen

c

c c

sen ( )

gsen sen

Cos Cos 2 Cos Cos2 2

Cos Cos 22 2

cos ( )tg tg

sen cos

Sen Sen

c

EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE OTRA (del mismo ángulo):

1cos1s ec

1

tg

1

cos1

cos

s en

s en1tg

1cos

11s ec

tg

1

cos

cos1

s en1

s entg

cos

1cos

s ec

1

tg1

tg

tg1

1s en1cos

cos

1

s ec

1s ec

tg1

1

tg1

tgcos1s en

2

22

2

2

22

2

2

22

2

2

22

2

ecc

ecc

ec

ec

c

c

ecc

pág. 5

PRODUCTO DE FUNCIONES

)(cos)(cos)(cos)(coscoscoscos

)(cos)(cos)(cos)(coscoss ens en

)(s en)(s en)(s en)(s encoscoss en

)(s en)(s en)(s en)(s ens ens ens en

)(s en)(s encoss en

)(cos)(coscoscos

)(cos)(coss ens en

4

1

4

1

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1

POTENCIAS DE FUNCIONES

)32cos44(coscos

)32cos44(coss en

)cos33(coscos

)3s ens en3(s en

)2cos1(cos

)2cos1(s en

8

14

8

14

4

13

4

13

2

12

2

12

sen sen A A

cos cos A A

AA tantan

Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A,

B, C.

Ley de los senos a

A

b

B

c

Csen sen sen

Ley de los cosenos

c a b ab C2 2 2 2 cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

a b

a b

tan A B

tan A B

1

2

1

2

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

A

B

C

a

c

b

Números Complejos

Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

r i r p i pp pcos sen cos sen

pág. 6

Sea n cualquier entero positivo y pn

1 , entonces

r i r in n kn

kncos sen cos sen

1 1 2 2

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número

complejo haciendo 1,,2,1,0 nk

Geometría Analítica del Espacio

Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,

Vector que une P1 y P2 :

PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,

Distancia entre dos puntos:

d x x y y z z l m n 2 1

2

2 1

2

2 1

22 2 2

Recta que pasa por dos puntos:

- Forma Paramétrica: x x l t 1 y y mt 1 z z nt 1

-Forma Simétrica:

tx x

l

1 ty y

m

1 tz z

n

1

Cosenos Directores:

cos

x x

d

l

d

2 1 cos

y y

d

m

d

2 1 cos

z z

d

n

d

2 1

donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva

de los ejes x, y, z respectivamente.

Ecuación del Plano:

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

1 2 3, , :

a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0

-Forma General: Ax By Cz D 0

cos cos cos2 2 2 1 o l m n2 2 2 1

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

dAx By Cz D

A B C

0 0 0

2 2 2

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

pág. 7

Coordenadas cilíndricas:

x r

y r

z z

cos

sen

o r x y

tan

z z

y

x

2 2

1

r

z

y

x

y

z

P(x, y, z)(r, z){

x

O

Coordenadas esféricas:

x r

y r

z r

sen cos

sen sen

cos

o r x y z

tany

x

z

x y z

2 2 2

1

12 2 2

cos

z

y

x

y

P (r,{

(x, y, z)

O

z

r

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tan

m m

mm

2 1

1 21

Reglas Generales de Derivación

d

dxc( ) 0

d

dxcx c

d

dxcx ncxn n 1

d

dxu v w

du

dx

dv

dx

dw

dx

d

dxcu c

du

dx

d

dxuv u

dv

dxv

du

dx

d

dxuvw uv

dw

dxuw

dv

dxvw

du

dx

d

dx

u

v

v dudx u dv

dx

v

2

d

dxu nu

du

dxn n 1

pág. 8

dF

dx

dF

du

du

dx (Regla de la cadena)

du

dx dxdu

1

dF

dx

dFdu

dxdu

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

d

dxu

e

u

du

dxa aa

aloglog

, 0 1

d

dxu

d

dxu

u

du

dxeln log

1

d

dxa a a

du

dx

u u ln

d

dxe e

du

dx

u u

d

dxu

d

dxe e

d

dxv u vu

du

dxu u

dv

dx

v v u v u v v l n l n ln ln1

Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

d

dxu u

du

dxsen cos

d

dxu u

du

dxcot csc 2

d

dxu u

du

dxcos sen

d

dxu u u

du

dxsec sec tan

d

dxu u

du

dxtan sec 2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cot

d

dxu

u

du

dxusen sen

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucos cos

1

2

11

10

d

dxu

u

du

dxutan tan

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucot cot

1

2

11

10

d

dxu

u u

du

dx u u

du

dx

si u

si usec

sec

sec

1

2 2

12

21

1

1

1

1

0

d

dxu

u u

du

dx u u

du

dx

si u

si ucsc

csc

csc

1

2 2

12

21

1

1

1

1

0

0

pág. 9

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d

dxu u

du

dxsenh cosh

d

dxu u

du

dxcoth csc h2

d

dxu u

du

dxcosh senh

d

dxu u u

du

dxsec sec tanhh h

d

dxu u

du

dxtanh sec h2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cothh h

d

dxu

u

du

dxsenh-1

1

12

d

dxu

u

du

dx

si u u

si u ucos

cosh ,

cosh ,h-1

1

1

0 1

0 12

1

1

d

dxu

u

du

dxutanh

1

2

1

11 1

d

dxu

u

du

dxu o ucoth

1

2

1

11 1

d

dxu

u u

du

dx

si u u

si u usec

sec ,

sec ,h

h

h

-1

1

1

0 0 1

0 0 12

1

1

d

dxu

u u

du

dx u u

du

dxsi u si ucsc ,h-1

1

1

1

10 0

2 2

Tablas de Integrales

udv uv vdu csc cot cscu udu u C

u dun

u C nn n

1

111 Cuduu seclntan

du

uu C ln cot ln senudu u C

e du e Cu u Cuuduu tanseclnsec

a dua

aCu

u

ln

csc ln csc cotudu u u C

sen cosudu u C du

a u

u

aC

2 2

1

sen

Cuduu sencos

Ca

u

aua

du 1

22tan

1

Cuduu tansec2 du

u u a a

u

aC

2 2

11

sec

csc cot2 udu u C du

a u a

u a

u aC2 2

1

2

ln

Cuduuu sectansec du

u a a

u a

u aC2 2

1

2

ln

pág. 10

a u duu

a ua

u a u C2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln

du

u a u a

a u a

uC

2 2

2 21

ln

u a u duu

a u a ua

u a u C2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

82

8 ln du

u a u

a u

a uC

2 2 2

2 2

2

a u

udu a u a

a a u

uC

2 2

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 2 3 2 2 2 2

/

a u

udu

a u

uu a u C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u du2 2

a u duu

a ua u

aC2 2 2 2

2

1

2 2 sen

du

a uu a u C

2 2

2 2

ln u a u du

uu a a u

a u

aC2 2 2 2 2 2 2

4

1

82

8 sen

u du

a u

ua u

au a u C

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 ln

a u

udu a u a

a a u

uC

2 2

2 2

2 2

ln

a u

udu

ua u

u

aC

2 2

2

2 2 11

sen u a duu

u aa

u u a C2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln

u du

a u

ua u

a u

aC

2

2 2

2 2

2

1

2 2 sen u u a du

uu a u a

au u a2 2 2 2 2 2 2

4

2 2

82

8 ln C

du

u a u a

a a u

uC

2 2

2 21

ln

u a

udu u a a

a

uC

2 2

2 2 1

cos

du

u a u a ua u C

2 2 2 2

2 21

u a

udu

u a

uu u a C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u duu

u a a ua u

aC2 2

32 2 2 2 2

4

1

82 5

3

8 sen

du

u au u a C

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 23

2 2 2 2

Cauua

auu

au

duu 222

22

22

2

ln22

du

u u a

u a

a uC

2 2 2

2 2

2

du

u a

u

a u aC

2 23

2 2 2 2

udu

a bu ba bu a a bu C

12 ln

u du

a bu ba b u abu a bu

2

3

2 2 22

158 3 4

pág. 11

u du

a bu ba bu a a bu a a bu C

2

3

2 21

24 2

ln

du

u a bu a

a bu a

a bu aC a

10ln , si

2

01

a

a bu

aC atan , s i

du

u a bu a

u

a buC

1ln

a bu

udu a bu a

du

u a bu

2

du

u a bu au

b

a

a bu

uC2 2

1

ln

a bu

udu

a bu

u

b du

u a bu

2 2

udu

a bu

a

b a bu ba bu C

2 2

1ln

u a bu du

b nu a bu na u a bu dun n n

2

2 3

32 1

du

u a bu a a bu a

a bu

uC

2 2

1 1ln

u du

a bu

u a bu

b n

na

b n

u du

a bu

n n n

2

2 1

2

2 1

1

Cbuaa

bua

abua

bbua

duuln2

1 2

32

2

du

u a bu

a bu

a n u

b n

a n

du

u a bun n n

1

2 3

2 11 1

u a budub

bu a a bu C 2

153 22

32

udu

a bu bbu a a bu

2

322

2

1

224

2

4

2

bac

baxtg

baccbxax

dx

Cacbbax

acbbax

acbcbxax

dx

42

42ln

4

1

2

2

22

cbxax

dx

a

bcbxax

acbxax

xdx2

2

2 2)ln(

2

1

cbxax

dx

a

acbcbxax

a

b

a

x

cbxax

dxx22

22

22

2

2

2)ln(

2

cbxax

dxx

a

b

cbxax

dxx

a

c

am

x

cbxax

dxx mmmm

2

1

2

21

2 )1(

cbxax

dx

c

b

cbxax

x

ccbxaxx

dx22

2

2 2ln

2

1

)(

cbxax

dx

c

acb

cxx

cbxax

c

b

cbxaxx

dx22

2

2

2

222 2

21ln

2)(

)()()1(

1

)( 222112 cbxaxx

dx

c

a

cbxaxx

dx

c

b

cxncbxaxx

dxnnnn

cbxax

dx

bac

a

cbxaxbac

bax

cbxax

dx222222 4

2

))(.4(

2

)(

cbxax

dx

bac

b

cbxaxbac

cbx

cbxax

xdx222222 4))(4(

2

)(

pág. 12

cbxax

dx

bac

c

cbxaxbaca

bcxacb

cbxax

dxx2222

2

22

2

4

2

))(4(

)2(

)(

n

m

n

m

n

m

n

m

cbxax

dxx

amn

bmn

cbxax

dxx

amn

cm

cbxaxamn

x

cbxax

dxx

)()12(

)(

)()12

)1(

)()12()( 2

1

2

2

12

1

2

n

n

n

n

n

n

n

n

cbxax

dxx

a

b

cbxax

dxx

a

c

cbxax

dxx

acbxax

dxx

)()()(

1

)( 2

22

2

32

12

32

2

12

)(

1

)(2)(2

1

)( 222222 cbxaxx

dx

ccbxax

dx

c

b

cbxaxccbxaxx

dx

22222222 )(

2

)(

3

)(

1

)( cbxaxx

dx

c

b

cbxax

dx

c

a

cbxaxcxcbxaxx

dx

nmnmnmnm cbxaxx

dx

cm

bnm

cbxaxx

dx

cm

anm

cbxaxcxmcbxaxx

dx

)()1(

)2(

)()1(

)32(

)()1(

1

)( 21221212

sen sen2 1

2

1

4 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 12

12udu u u u u C

cos sen2 12

14 2udu u u C sen sen cos senn

nn nudu u u

n

nudu

1 1 2

1

Cuuduu tantan2 cos cos sen cosnn

n nudu u un

nudu

1 1 2

1

Cuuduu cotcot2

duuun

duu nnn 21 tantan1

1tan

sen sen cos3 13

22udu u u C cot cot cotn n nudun

u udu

1

11 2

cos cos sen3 13

22udu u u C sec sec secn n nudun

tanu un

nudu

1

1

2

12 2

Cuuduu coslntantan 2

2

13 csc cot csc cscn n nudun

u un

nudu

1

1

2

12 2

cot cot lnsen3 12

2udu u u C

sen sen

sen senau bu du

a b u

a b

a b u

a bC

2 2

sec sec lnsec3 12

12u du u tanu u tanu C

cos cos

sen senau budu

a b u

a b

a b u

a bC

2 2

sen cos

cos cosau bu du

a b u

a b

a b u

a bC

2 2 u udu u u n u udun n ncos sen sen 1

u udu u u u Csen sen cos

sen cosn mu udu

sen cos

sen cos

n m

n mu u

n m

n

n mu udu

1 1

21

sen cos

sen cos

n m

n mu u

n m

m

n mu udu

1 1

21

u u du u u u Ccos cos sen u u du

uu

u uCcos cos

1

2

1

22 1

4

1

4

u udu u u n u udun n nsen cos cos 1

Cu

uu

duuu2

tan2

1tan 1

21

pág. 13

sen sen 1 1 21udu u u u C u udu

nu u

u du

unn n

n

sen sen ,

1 1 1

1

2

1

1 11

cos cos 1 1 21udu u u u C u udu

nu u

u du

unn n

n

cos cos ,

1 1 1

1

2

1

1 11

Cuuuduu 2

2

111 1lntantan

1,

1tan

1

1tan

2

1111 n

u

duuuu

nduuu

nnn

u u duu

uu u

Csen sen

1

2

1

22 1

4

1

4

ue dua

au e Cau au 1

12 ln lnudu u u u C

u e dua

u en

au e dun au n au n au

11

u u du

u

nn u Cn

n

ln ln

1

21

1 1

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

sen sen cos

2 2 1

u udu u C

lnlnln

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen

2 2

senh coshudu u C Cuduu2

1tanlnsech

cosh senhudu u C Cuduu tanhsech2

Cuduu coshlntanh Cuduu cothcsch2

coth lnsenhudu u C Cuduuu sechtanhsech

Cutanduu senhsech 1 Cuduuu cschcothcsch

22

22

2 2

2

1au u duu a

au ua a u

aC

cos

du

au u

a u

aC

2 2

1

cos

u au u duu au a

au ua a u

aC2

2 3

62

22

2

2

3

1

cos

udu

au uau u a

a u

aC

22

2

2 1

cos

22

2

2

2 1au u

udu au u a

a u

aC

cos

du

u au u

au u

auC

2

2

2

2

2 2 22

2

2

1au u

udu

au u

u

a u

aC

cos

Ca

uaauau

au

uau

duu 12

2

2

2

cos2

32

2

3

2

Vectores

A B A B cos 0

pág. 14

donde es el ángulo formado por A y B

A B A B A B A B1 1 2 2 3 3

donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k

B B B1 2 3

Son resultados fundamentales:

Producto cruz: AxB

i j k

A A A

B B B

1 2 3

1 2 3

kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA

Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen

El operador nabla se define así:

zyx

kji

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen

derivadas parciales.

Gradiente de U = grad U

kjikji

z

U

y

U

x

UU

zyxU

Divergencia de A = div A

kjikjiA 321 AAAzyx

A

x

A

y

A

z

1 2 3

Rotacional de A = rot A

kjixkjixA 321 AAAzyx

321

kji

AAA

zyx

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

3 2 1 3 2 1i j k

Laplaciano de U = 2

2

2

2

2

22

z

U

y

U

x

UUU

Integrales Múltiples

F x y dydxy f x

f x

x a

b

,( )

1

2

pág. 15

F x y dy dx

y f x

f x

x a

b

,( )

1

2

donde y f x 1 e y f x 2

son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras

que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:

F x y dxdyx g y

g y

y c

d

,( )

1

2

F x y dx dyx g y

g y

y c

d

,( )

1

2

donde x g y 1( ) , x g y 2( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras

que c y d son las ordenadas de H y G.

Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden

ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres

dimensiones.

s s t r t dta

t

( ) ( )

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario

t tr t

r t( )

( )

( )

t s r s( ) ( )

Vector normal principal

)()()( tttbtn

x

n sr s

r s( )

( )

( )

Vector binormal )(

)()(

trr

trrtb

x

x

b sr s r s

r s( )

( ) ( )

( )

x

Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo

b t n n b t t n b x x x, ,

Recta tangente en t 0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

r r t r t 0 0

x x

x

y y

y

z z

x

0

0

0

0

0

0

Plano osculador t n, en t 0

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

r r t r t xr t 0 0 0 0

x x y y z z

x y z

x y z

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y Torsión

t

r t r t

r tt

r t r t r t

r t r t

x x

x3 2

pág. 16

s r s

Plano Normal

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0

Plano Rectificante t b, en t 0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t n t 0 0 0

x x y y z z

x y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración

aT a Ta

.

aN a N

x a

.

Propiedades de la Divergencia

i) div (

F +

G ) = div (

F ) +div (

G )

ii) div (

F ) = div(

F ) + ( grad )

F

iii) div (

F +

G ) = G rot (

F ) -

F r ot (

G )

Fórmulas misceláneas

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt

ttax sen tay cos1

Trabajo W b

ardF

b

baaC omp

b

Longitud de arco de y f x en a b y dxa

b

, ( ) 1 2

R

dAyxm , R

x dAyxyM , R

y dAyxxM ,

pág. 17

Centro de gravedad de una región plana

b

a

b

a

dxxf

dxxxfx

)(

)(,

b

a

b

a

dxxf

dxxf

y)(

)(2

1 2

Longitud de arco en forma paramétrica

dt

dt

dy

dt

dxL

22

Momento de inercia de R respecto al origen R

o dAyxyxI ,22

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x

xdxfxFSb

a

2)(1)(2

Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

b

atdtFtV )(2

Cálculo del volumen b

adxxAV )(

b

a

dxxfV2

Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )

Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )

( )

Ecuación del resorte helicoidal r t t tt

( ) cos ,sen ,2

Derivada direccional D f x y z f x y zu

, , , , u (

u vector unitario)

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC

q E t 1

Fuerza ejercida por un fluído dyyLyFb

a)(

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A xg 2 20

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

)(tf L )()( sFtf

1 s

1

t 2

1

s

pág. 18

nt 1

!ns

n, n es entero positivo

2

1

t s

2

1

t 2

3

2s

t 1

)1(

s, 1

ktsen 22 ks

k

ktcos 22 ks

s

ktsen2 )4(

222

2

kss

k

kt2cos )4(

222

22

kss

ks

ate as

1

ktsenh 22 ks

k

ktcosh 22 ks

s

ktsenh 2

)4(

222

2

kss

k

kt2cosh )4(

222

22

kss

ks

atte 2)(

1

as

atnet 1)(

! nas

n , n es entero positivo

ktseneat 22)( kas

k

kteat cos 22)( kas

as

ktsenheat 22)( kas

k

kteat cosh 22)( kas

as

ktsent 222 )(

2

ks

k s

pág. 19

ktt cos 222

22

)( ks

ks

ktktktsen cos 222

2

)(

2

ks

ks

ktktktsen cos 222

3

)(

2

ks

k

ktsenht 222 )(

2

ks

k s

kttcosh 222

22

)( ks

ks

ba

ee btat

))((

1

bsas

ba

beae btat

))(( bsas

s

ktcos1 )( 22

2

kss

k

ktsenkt )( 222

3

kss

k

)( 22 baab

ats enbbts ena

))((

12222 bsas

22

coscos

ba

atbt

))(( 2222 bsas

s

ktsenhktsen 44

2

4

2

ks

sk

ktktsen cosh 44

22

4

)2(

ks

ksk

ktsenhktcos 44

22

4

)2(

ks

ksk

ktktcoshcos 44

3

4ks

s

)(0 ktJ 22

1

ks

t

ee atbt

bs

as

ln

t

kt )cos1(2

2

22

lns

ks

t

kt )cosh1(2

2

22

lns

ks

pág. 20

t

atsen

s

aa rc tan

t

btatsen cos

s

ba

s

ba

arctan

2

1arctan

2

1

taet

421

s

e sa

taet

a 4

3

2

2

sae

t

aer fc

2

s

e sa

t

aerfcae

t ta

22 42

ss

e sa

t

atber fcee tbab

2

2

)( bss

e sa

t

aer fc

t

atber fcee tbab

22

2

)( bss

be sa

)(t 1

)( 0tt 0ste

)(tfeat )( asF

)( atf U )( at )(sFe as

U )( at s

e as

)()( tf n )0(....)0()( )1(1 nnn ffssFs

)(tft n )()1( sF

ds

dn

nn

t

dtgf0

)()( )()( sGsF

TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

L )(0 sffsf L 00023 ffsfsfsf LLL

002 ffsfsf LL 0.....00 121 nnnnn ffsfsfsf LL

TRANSFORMADA DE INTEGRAL

sstf

sdf

t

,01

0

LL