Εξετάσεις 9 Ιουνίου 2017 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’...

Εξετάσεις 9 Ιουνίου 2017

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’ Λυκείου

(Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας-Πληροφορικής)

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727–222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113–949422

www.syghrono.gr

Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Σελίδα 2 από 11

ΘΕΜΑ Α

Α1. Απόδειξη σελίδα 135 (νέο βιβλίο) ή σελίδα 253 (παλιό βιβλίο)

Α2. α) Η πρόταση που διατυπώθηκε ήταν Ψ (ψευδής)

β) αν θεωρήσουμε την συνάρτηση

x , x 0

f x x

x , x 0

διαπιστώνουμε ότι είναι

συνεχής στο σημείο 0x 0 αφού x 0 x 0

f 0 lim f x lim f χ 0

αλλά δεν είναι

παραγωγίσιμη στο 0x 0 αφού

x 0 x 0 x 0 x 0

f x f 0 f x f 0x xlim lim 1 lim lim 1

x 0 x x 0 x

(είναι τα γνωστά γωνιακά σημεία μιας συνάρτησης)

Α3. Θεωρία σελίδα 73 (νέο βιβλίο) ή σελίδα 191 (παλιό βιβλίο)

Α4.

α) Λ

(το όριο όπως διατυπώνεται είναι απροσδιοριστία άρα δεν μπορούμε να γνωρίζουμε την

τελική του τιμή)

β) Σ

(είναι θεωρία που διατυπώνεται με σαφήνεια όταν ορίζεται η σύνθεση συναρτήσεων)

γ) Λ

(η συνθήκη 0f x 0 είναι μια αναγκαία συνθήκη αλλά όχι ικανή για την ύπαρξη

ακροτάτου)

δ) Σ

(είναι θεωρία που διατυπώνεται με σαφήνεια στα όρια)

ε) Σ

(είναι θεωρία που διατυπώνεται με σαφήνεια στα θεωρήματα συνέχειας)



ΘΕΜΑ Β

Β1.

Αρχικά προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της f g

g ff g

xΑ x A /g x A x 1/ 0

1 x

Επιλύουμε την

Άρα f gΑ 0,1 , ορίζεται η σύνθεση και έχει τύπο

x

f g x f g x ln1 x

B2.

Η συνάρτηση x

h x ln1 x

είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,1 με

2 2

x 1 x x 1 x1 x 1 x 1 x 1 x x 1h x 0

x 1 x x x x 1 x1 x 1 x1 x

άρα η

συνάρτηση h x είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ 0,1 άρα είναι 1-1 και συνεπώς

είναι μια αντιστρέψιμη συνάρτηση.

Θα ορίσουμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης, το οποίο είναι το σύνολο τιμών της h x

και επειδή είναι γνησίως αύξουσα θα είναι 1h x 0 x 1

h Δ Α lim h x , lim h x

Υπολογίζουμε τα όρια:

Επειδή x 0

xlim 0

1 x

και x

01 x

, αν θέσουμε x

ω1 x

θα έχουμε

x 0 ω 0

lim h x lim lnω

Επειδή x 1

xlim

1 x

(αφού 1 x 0 και x 1

lim 1 x 0

) , αν θέσουμε x

ω1 x

θα

έχουμε

ωx 1

limh x lim lnω

Συνεπώς καταλήξαμε ότι 1h x 0 x 1

h Δ Α lim h x , lim h x



Για να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης έχουμε:

y

y y y

y

x x eh x y ln y e x e x e x

1 x 1 x e 1

Και έτσι έχουμε ότι x

1

x

eh x

e 1

, x

B3.

Η συνάρτηση x

x

eΦ x

e 1

είναι παραγωγίσιμη με

Η συνάρτηση

x

2x

eΦ x

e 1

είναι παραγωγίσιμη με

2 2 2x x x x x x x x x x x x

4 4 4x x x

e e 1 e e 1 e e 1 2e e 1 e e e 1 1 eΦ x

e 1 e 1 e 1

Το πρόσημο της Φ το καθορίζει η παράσταση x1 e και

x x1 e 0 e 1 x 0

Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της δεύτερης παραγώγου

Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω (κυρτή) στο διάστημα ,0

Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα κάτω (κοίλη) στο διάστημα 0,

Και έχει σημείο καμπής το σημείο Μ 0,Φ 0 δηλαδή το σημείο 1

Μ 0,2

αφού

0

0

e 1Φ 0

2e 1



Β4.

Αναζητούμε την οριζόντια ασύμπτωτη στο

x

xx x

elim Φ x lim 0

e 1

αφού x

xlim e 0

Αναζητούμε την οριζόντια ασύμπτωτη στο

x x

x xx x deL x

e elim Φ x lim lim 1

e 1 e

αφού x

xlim e

Άρα η συνάρτηση έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y 0 (άξονας x'x )

και έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y 1

Η συνάρτηση Φ x είναι γνησίως αύξουσα στο (αφού

x

2x

eΦ x 0

e 1

)

Και η γραφική της παράσταση είναι



ΘΕΜΑ Γ

Γ1.

f x ημx , f x συνx

Έστω 0 0Μ x ,f x το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Μ είναι

0 0 0y f x f x x x την οποία την επαληθεύει το σημείο π π

Α ,2 2

άρα έχουμε

0 0 0 0 0 0

π π π πημx συνx x x συνx ημx 0

2 2 2 2

Αναζητούμε λοιπόν τις ρίζες της συνάρτησης π π

Φ x x συνx ημx2 2

, x 0,π

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με

π π

Φ x συνx x ημx συνx x ημx2 2

Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο π

,π2

και γνησίως φθίνουσα στο π

0,2

Φ 0 0 , π π

Φ 12 2

, Φ π 0

Για κάθε π

x 0,2

έχουμε Φ x Φ 0 0 και για κάθε π

x ,π2

έχουμε

Φ x Φ π 0

Άρα οι μοναδικές ρίζες της Φ x 0 είναι 1x 0 και 2x π

Δηλαδή υπάρχουν μόνο δύο εφαπτόμενες που άγονται από το σημείο Α.

Στο 1x 0 έχουμε την 1εφ : y f 0 f 0 x 0 y x

Στο 2x π έχουμε την 2εφ : y f π f π x π y x π



Γ2.

Θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα με την συνάρτηση και τις ευθείες του προηγούμενου

ερωτήματος

ππ π

2 2 2π 22

1 ππ0

022

x x πE ημx χ dx ημχ x π dx συνx συνx π x 2

2 2 4

π

π

2 00

Ε ημχ dx συνx 2

Και έτσι

2

21

2

π2

Ε π4 1Ε 2 8

Γ3.

x π

f x x πlim

f x x π 0

Αναζητούμε το πρόσημο του παρονομαστή στην παράσταση του ορίου:

f x συνx , f x ημχ 0 για κάθε x 0,π άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο

0,π και σύμφωνα με την θεωρία θα είναι πάνω από την εφαπτομένη

Δηλαδή f x x π και το ίσον ισχύει μόνο στο σημείο επαφής δηλαδή στο x π

Επειδή x πlim f x x π 0

και x πlim f x x π 0

αλλά f x x π 0 στην περιοχή

του π θα έχουμε ότι

x π

f x xlim

f x x π



Γ4.

Εφόσον f x x π με το ίσον ισχύει μόνο στο σημείο επαφής δηλαδή στο x π για κάθε

x 1,e θα ισχύει f x f xπ π

f x x π 1 1 0x x x x

Άρα και

e e e ee

11 1 1 1

e

1

f x f x f xπ π1 dx 0 dx 1 dx dx x π lnx

x x x x x

f xdx e π 1

x

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.

Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα 1,0 και 0,π . Θα εξετάσουμε την συνέχεια

της συνάρτησης στο 0x 0 με τον ορισμό.

3 4

x 0 x 0

lim f x lim x 0

x

x 0 x 0

f 0 lim f x lim e ημx 0

και αφού x 0limf x f 0

η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0

και κατά συνέπεια είναι συνεχής και στο πεδίο ορισμού της το 1,π

Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζει η πρώτη παράγωγος

ή δεν ορίζεται η πρώτη παράγωγος (όντας όμως συνεχής)

Εξετάζουμε με τον ορισμό αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0

x

x 0 x 0

f x f 0 e ημxlim lim 1

x 0 x

αφού είναι γνωστό ότι

x 0

ημxlim 1

x

Για x 0 πρέπει να θυμηθούμε ότι 4 4

3 43 3x x x και

4 4

13 33

3

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

f x f 0 x xlim lim lim lim x lim x 0

x 0 x x

Άρα η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0

Όταν x 1,0 , 4

3f x x και 1

34

f x x 03



Όταν x 0,π , xf x e ημx και xf x e ημx συνx

π

f x 0 ημx συνx 0 συνx ημx συνx συν x2

και έχουμε

πx 2κπ x

2

ή

πx 2κπ x

2

η πρώτη μορφή δεν αποδίδει λύσεις ενώ από την 2η μορφή έχουμε

π πx 2κπ x x κπ

2 4 και για κ 1 προκύπτει η λύση

π 3πx π

4 4

Άρα τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης είναι τα 1x 0 και 2

3πx

4

Δ2.

Θα μελετήσουμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου.

Έχουμε δει ότι όταν x 1,0 , 1

34

f x x 03

Όταν x 0,π , xf x e ημx συνx η οποία έχει μία ρίζα την 3π

4

Η f x είναι συνεχής και διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3π

0,4

Όμως π 3π

0,2 4

και π

2π

f e 02

άρα f x 0 στο 3π

0,4

Η f x είναι συνεχής και διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3π

,π4

Όμως 3π

π ,π4

και πf π e 0 άρα f x 0 στο3π

,π4

Τώρα θα κατασκευάσουμε τον πίνακα μεταβολών της συνάρτησης



Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα 1,0 και 3π

,π4

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 3π

0,4

Στο 1x 1 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f 1 1

Στο 2x 0 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f 0 0

Στο 3

3πx

4 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το

3π

43π 2

f e4 2

Στο 4x π παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f π 0

Επειδή όμως η συνάρτηση είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα θα παρουσιάζει

ολικά ακρότατα

Άρα η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή την τιμή 0 και μέγιστη τιμή την τιμή 3π

42

e2

Δηλαδή το σύνολο τιμών της είναι το 3π

42

f Α 0, e2

Δ3.

π π π

5x x 5x x 4x

0 0 0

Ε f x e dx e ημx e dx e ημx e dx

Θα πρέπει να βρούμε το πρόσημο της παράστασης 4xημx e

Γνωρίζουμε ότι 4x xe e x 1 x ημx x 0

Άρα π π π

5x x 5x x

0 0 0

Ε e e ημx dx e dx e ημx dx

Θα υπολογίσουμε χωριστά τα δύο ολοκληρώματα:



π5x 5ππ

5x

10

0

e e 1Ι e dx

5 5

π π πκ.π. π πx x x x x

2 0 00 0 0

π

2

Ι e ημx dx e ημx e συνx dx e συνx e ημx dx

e 1 Ι

Άρα π

π

2 2

e 12Ι e 1 Ι

2

Και έτσι 5π π

1 2

e 1 e 1Ε Ι Ι

5 2

Δ4.

Την εξίσωση 3π 3π

24 416 e f x e 4x 3π 8 2

θα προσπαθήσουμε να την συνδέσουμε

με την συνάρτηση. Αρχικά πολλαπλασιάζουμε με το 3π

4e και έχουμε

3π

2416 f x 4x 3π 8 2 e τώρα παρατηρούμε ότι το δεύτερο μέλος μπορεί να γίνει η

μέγιστη τιμή που υπολογίσαμε αρκεί να διαιρέσουμε με το 16. Έτσι έχουμε

2 2 23π 3π

4 44x 3π 4x 3π 4x 3π2 2 3π

f x e f x e f x f16 2 2 16 4 16

Η παραπάνω εξίσωση έχει προφανή ρίζα την 3π

x4

και δεν έχει άλλη ρίζα αφού για κάθε

3πx

4 θα είναι

2

4x 3π0

16

και επειδή

3πf

4

είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης η

ποσότητα

2

4x 3π3πf f Α

4 16

Εξετάσεις 9 Ιουνίου 2017 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’...

Documents

Transcript of Εξετάσεις 9 Ιουνίου 2017 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’...