ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 24-5-2006

ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ

Α. α) Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ, να δώσετε τον ορισμό της παραβολής. Πώς ονομάζεται η ευθεία δ και το σημείο Ε;

ΜΟΡΙΑ 5

β) Δίνεται η παραβολή x2 = λy, λ ≠ 0 και ένα σημείο της Μ(x1,y1). Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο Μ και η εξίσωση της διευθετούσας.

ΜΟΡΙΑ 5

Β. Να γράψετε στην κόλλα σας ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος σημειώνοντας με Σ κάθε σωστή και με Λ κάθε λανθασμένη πρόταση.

ΜΟΡΙΑ 5

α. det ( ,

) = 0 //

β.

= –

γ. Αν vv1

τότε v = vv1

δ. Αν αβ και βα τότε είναι πάντα α = β όπου α, β ακέραιοι.

ε. Αν α β+γ και αγ τότε α– β όπου α, β, γ ακέραιοι

Γ. Έστω το ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xOy και τα

διανύσματα

OA = = (x1,y1),

OB =

= (x2,y2). Να αποδείξετε ότι:

= x1x2 + y1y2.

ΜΟΡΙΑ 10

ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Έστω u , v διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν:

1vu και

= (

v,u ) =120ο. Αν = 2 u + v και

= u – v ,

να υπολογίσετε:

α. Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u και v .ΜΟΡΙΑ 7

β. Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων και

ΜΟΡΙΑ 10

γ. Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και

ΜΟΡΙΑ 8

ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ

Δίνεται η εξίσωση (C) : 9x2 + y2 = 4

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (C) παριστάνει έλλειψη της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι συντεταγμένες των εστιών της.

ΜΟΡΙΑ 8

β. Εάν η εφαπτομένη της (C) στο σημείο της Μ( 3,31 ) τέμνει

τους άξονες Οx και Οy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α και Β.

ΜΟΡΙΑ 7

γ. Να βρεθεί το συμμετρικό σημείο της αρχής Ο των αξόνων ως προς την εφαπτομένη του (β) ερωτήματος.

ΜΟΡΙΑ 10

ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ

Δίνεται η εξίσωση (C): x2 + y2 + 2tx – 2ty – 4 = 0

α. Να αποδείξετε ότι για κάθε t R η εξίσωση (C) παριστάνει κύκλο, το κέντρο του οποίου κινείται σε σταθερή ευθεία όταν το t διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

ΜΟΡΙΑ 12

β. Αν η ευθεία y = 2 τέμνει τον κύκλο (C) στα σημεία Α και Β

έτσι ώστε

OBOA (O είναι η αρχή των αξόνων), να προσδιορίστε τον πραγματικό αριθμό t.

ΜΟΡΙΑ 13

ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

____________________________ _____________________________

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ

Αβ Η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση: xx1 = 2

(y +y1)

και η διευθετούσα της παραβολής έχει εξίσωση: y = - 4

Β. Σ – Λ – Λ – Λ – Σ ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ

α. vuvu συν120ο = -

21

β. 22 vu2

= ( 2 vu )2 = 4

2u +4 vu +

2v =…= 3 άρα 3

, όμοια 3

γ.

= ( 2 vu )( vu

) = …= 23

ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ

α. Είναι : 9x2 + y2 = 4 12y

32x

2

2

2

2

συνεπώς η καμπύλη (C) παριστάνει έλλειψη

με α = 2 και β = 32 , τότε θα είναι γ2 = α2 – β2 = 22 -

2

32

=

932 άρα γ =

324 συνεπώς

η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι: ε = 3

22

και οι συντεταγμένες των εστιών

της είναι Ε ( 0, 3

24 ) και Ε΄(0,- 3

24 )

β. Η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο

Μ( 3,31 ) είναι 3x + 3 y = 4 (ε). Οι

συντεταγμένες του σημείου τομής Α της εφαπτομένης (ε) με τον άξονα xx΄ είναι:

0y4y3x3

0y34x άρα Α

0,

34

και ανάλογα οι συντεταγμένες του σημείου τομής Β της εφαπτομένης με τον άξονα yy΄

είναι:

0x4y3x3

334y

0x άρα Β

334,0

Τέλος η απόσταση ΑΒ είναι :

ΑΒ = 38

33400

34

22

γ. Έστω Γ(α, β) με α ≠ 0, β ≠ 0 το συμμετρικό της αρχής Ο(0,0) ως προς την εφαπτομένη της έλλειψης 3x + 3 y = 4 (ε) . Επειδή ΟΓ (ε) τότε λΟΓ λ(ε) = -1 ή

33

= -1 ή α = 3 β (1).

Επειδή το σημείο Γ είναι το συμμετρικό του Ο ως προς την ευθεία (ε) τότε:

d (O, e) = d ( Γ, ε) 22 33

40303

=

22 33

433

433 = 4 και λόγω της (1) έχουμε:

4333 = 4 13 =1 επομένως

3 β - 1 = 1 β = 3

32 ή

3 β - 1 = -1 β=0 (απορρίπτεται)

Για β = 3

32 είναι α = 2, επομένως το σημείο

Γ ( 3

32,2) είναι το ζητούμενο σημείο.

ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ α. Η δοσμένη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: (x+t)2 + (y-t)2 = 2(t2+2) (I) . Επειδή για κάθε t πραγματικό αριθμό είναι 2(t2+2)>0 η σχέση (Ι) παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(-t,t) και ακτίνα

ρ = )2t(2 2 . Για το κέντρο Κ(-t,t) του κύκλου έχουμε:

tytx

και απαλείφοντας το t

έχουμε x = -y x + y = 0. Συνεπώς όταν το t διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το κέντρο Κ του κύκλου κινείται στην ευθεία x + y = 0

β. Τα σημεία Α και Β προσδιορίζονται από την λύση του συστήματος

2y)2t(2)ty()tx( 222

είναι (x+t)2 + (y-t)2 =2(t2+2) (x+t)2 = t2 + 4t (1) H εξίσωση (1) έχει λύση όταν t2 + 4t > 0 t ( - ,-4) (0, +) επομένως: )4t(ttx ή

x = -t )4t(t Συνεπώς οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β είναι: Α(-t )4t(t ,2) και Β(-t )4t(t ,2) Επειδή ΟΑ ΟΒ τότε λΟΑλΟΒ = -1

1)4t(tt

2)4t(tt

2

t = 1

ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ 1ο Α) Έστω δυο σημεία Α( ), 11 ψχ , Β( ), 22 ψχ . Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ, του τμήματος ΑΒ, δίνονται από τον τύπο

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

2,

22121 ψψχχ

(Μ.12,5)

Β) Είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις; (Μ . 10)

i) Ισχύει η ισοδυναμία 1),det(// =⇔ βαβα

i i) Ισχύει η ισοδυναμία 0=⋅⇔⊥ βαβαi i i ) Το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης , δύο κάθετων ευθειών,

είναι ίσο με -1iv) Η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο το

σημείο με συντεταγμένες( ) ( ) 22

02

0 ρψψχχ =−+−( )00 , ψχ −−

Γ) Με ποια προϋπόθεση η εξίσωση παριστάνει κυκλο; (Μ. 2,5)

022 =Γ+Β+Α++ ψχψχ

2ο

Αν ο αριθμός α είναι άρτιος να αποδείξετε ότι ( ) ( )Ζ∈

+−++8

611 22 aa (Μ. 25)

3ο

i ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ( ) ( )321,32,1,2 ⋅−+== βα (Μ. 15)

i i) Για ποια τιμή του χ το διάνυσμα ( )χγ ,1−= είναι καθετο στο a ; (Μ. 10)

4ο ∆ίνεται το σημείο Μ(1,4) και ο κύκλος με εξίσωσηi) Να αποδείξετε ότι το Μ ειναι εξωτερικό σημείο του κύκλου. (Μ. 5)i i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ευθειών του κύκλου που

διέρχονται από το Μ. (Μ . 10) i i i) Αν Α , Β είναι τα σημεία επαφής των εφαπτομένων με τον κύκλο να

βρεθεί η απόσταση του Μ από τη χορδη ΑΒ. (Μ . 10)

0126422 =−+−+ ψχψχ

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α′

ΘΕΜΑ 1ο

!"#"!$$≠"%

α β+ =

&'$( = ( ) $()

( )

= + *$(

'!$+),-./,-010$)

,-.1

2)' αβ α β=

2)' ( )

αβ α β= ⋅

' α ≠

( ) α α α⋅ = ⋅

) α

ΘΕΜΑ 2ο

'') α β γ

'''%%

α α β γ β+ + + − + ⋅ + ⋅ =

3

'%)(

'4'+'

( ) ( ) ( )

λ κ + + + + + +

(!5$('%4$

ΘΕΜΑ 3ο

$)!$+) α β αβ+ =

'+!$) α β+ = '$(

6

ΘΕΜΑ 4ο

&' (((+ #7& ) * 8 ! 9 ' '

ΒΓΒΕ =

Γ∆ΓΖ =

'#8&8'':';%

Α =Ρ Α∆ΑΒ +

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β′

ΘΕΜΑ 1ο

! + =

" ( ) ε α β α β⋅ − + =

# ( ) δ = −

$%&'

( α β

) α β⊥

* α β

" $

+ ( ) ( ) ε α α+ + − − =

&,

$%#%

( ( )( ) δ Μ ε− > ) ( )( ) δ Μ ε− = * ( )( ) δ Μ ε− =

ΘΕΜΑ 2ο

- %.#

# ' ( )

− + = #

( )

+ + =

νπολ+ = $#

ν ∈

( ( ) + ( ) +

ΘΕΜΑ 3ο

"/

+ =

+ − − =

-0

0

1

.##

2

02

ΘΕΜΑ 4ο

" ( )α =

( ) β λ λ= − +

λ∈ '

α β α β α β+ + − + ⋅ =

3

3 #

( 1 3 #

η + + = -

# β

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

κΘέµα 1ο

Α. ∆ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της

( )2 2

2 2

x yC : 1

α β− = (Μονάδες 9)

Β. Να διατυπώσετε τέσσερις συνθήκες παραλληλίας διανυσµάτων. (Μονάδες 8) Γ. Να σηµειώσετε µε σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις:

α) Η εξίσωση Ax By Γ 0+ + = , µε Α,Β,Γ∈ εκφράζει πάντα µια ευθεία. β) Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι πάντα µικρότερη του 1.

γ) Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τη σχέση: ( ) ( )1ΑΒΓ det ΑΒ,ΑΓ2

=

δ) Αν α και β είναι ακέραιοι µε β 0≠ , τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ,υ ώστε να ισχύει: α κ β υ= ⋅ + µε 0 υ β≤ < (Μονάδες 8)

Θέµα 2ο

Α. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και τα σηµεία Κ,Λ ώστε ΑΚ 3 Α∆= ⋅ και ΑΛ 2 ΑΒ= ⋅ . Αν ισχύει ΑΝ ΑΚ ΑΛ= + και η ΑΓ τέµνει το τµήµα ΛΝ στο σηµείο Μ τότε: α) Να γραφεί το διάνυσµα ΑΜ ως γραµµικός συνδυασµός των Α∆ α= και

ΑΒ β= .

β) Να υπολογιστεί ο λόγος ΛΜ

ΛΝ(Μονάδες 16)

Β. Αν κ, λ είναι ακέραιοι µε κ / 2λ 1− και κ / 3λ 5+ να βρεθούν οι θετικές τιµές του κ.

(Μονάδες 9) Θέµα 3ο

∆ίνεται η εξίσωση 2 24x 9y 12xy 36 0+ − − = (1).

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α’

Α. Να δειχτεί ότι τα σηµεία που επαληθεύουν την εξίσωση (1) ανήκουν σε δύο

1 2παράλληλες ευθείες ε( ) και (ε ) (Μονάδες 13)

Β. Να δειχτεί ότι η µεσοπαράλληλος ευθεία των ( 1ε ) , (ε )2 διέρχεται από την αρχή

των αξόνων. (Μονάδες 12)

Θέµα 4ο

∆ίνονται οι κύκλοι: ( ) 2 2

1c : x y 6x 2y 15 0+ − + − = και ( ) 2 22c : x y 2x 2y 23 0+ + − − =

Α. ∆είξτε ότι οι κύκλοι ( )1c και ( )2c είναι ίσοι και ότι τέµνονται σε δύο σηµεία

Α,Β. (Μονάδες 8) Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ΑΒ), κοινής χορδής των δύο κύκλων.

(Μονάδες 8) Γ. Να βρεθεί σηµείο Μ της ευθείας (ΑΒ) ώστε η γωνία ˆKMΛ , µε Κ,Λ τα κέντρα

των δύο κύκλων, να είναι ορθή. (Μονάδες 9)

Θέµα 1ο

i. Να δώσετε τον ορισµό της έλλειψης (Μονάδες 10)ii. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

α. Αν ( )B 5,0− και ( )Γ 5,0 δύο σηµεία τότε τα σηµεία ( )Μ x, y για τα οποία

ισχύει: ( ) ( )MB MΓ 6− = ανήκουν:

Α. 2 2x y

19 25+ = Β.

2 2x y1

9 25− =

Γ. 2 2x y

116 9

− = ∆. 2 2x y

19 16− = (Μονάδες 5)

β. Αν Μ τυχαίο σηµείο της έλλειψης 2 2x y

125 16

+ = και ( )Γ 3,0− , ( )∆ 3,0 τότε το

άθροισµα των αποστάσεων ( ) ( )d M,Γ d M,∆+ είναι: Α. 50 Β. 8 Γ. 16 ∆. 10 (Μονάδες 5)

γ. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 21f x 16x 144

3= − . Η γραφική παράσταση της f

είναι τµήµα: Α. υπερβολής Β. έλλειψης Γ. παραβολής (Μονάδες 5)

Θέµα 2ο ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε ( )AB 4,3= και ( )AΓ 1,7=

i. Να υπολογίσετε το διάνυσµα ΒΓ (Μονάδες 7) ii. Να δείξετε ότι το ΑΓ είναι κάθετο στο διάνυσµα Β∆ και να προσδιορίσετε

το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆. (Μονάδες 8) iii. Αν το σηµείο Α κινείται στον κύκλο 2 2x y 4+ = να αποδείξετε ότι και το

κέντρο Κ του ΑΒΓ∆ κινείται σε ορισµένο κύκλο (Μονάδες 10)

Θέµα 3ο

i. Να αποδείξετε ότι:Αν ο α διαιρεί το 2β 2β 1− + και ο α διαιρεί το β, τότε ο α διαιρεί το ( )2β 1+

(Μονάδες 5)

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ B’

ii. Να αποδειχθεί ότι το 7 διαιρεί το 11 − 4ν ν 7+ ⋅ ν µε ν∈ (Μονάδες 10)

iii. Να ελέγξετε αν το κλάσµα2

2

3ν + 4

ν +1 είναι ανάγωγο. (Μονάδες 10)

Θέµα 4ο

Α. ∆ίνονται τα σηµεία ( )Ε 3,0′ − και ( )Ε 3,0

i. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει ως διάµετρο το ΕΕ′(Μονάδες 4)

ii. Αν θεωρήσουµε και τα σηµεία Α ώστε το τρίγωνο ΑΕΕ′ να έχει περίµετρο 20 τ.µ, ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος του Α; (Μονάδες 8)

Β. ∆ίνεται ο κύκλος 2 2x y x y 1 0+ + + − = ( Ι ) και η ευθεία y 3x λ, λ= + ∈ i. Για ποια τιµή του λ∈ η ευθεία εφάπτεται του κύκλου; (Μονάδες 3)

ii. Αν ( )1 1Μ x , y , ( )2 2N x , y δύο σηµεία που οι συντεταγµένες τους επαληθεύουν την ( Ι ) να προσδιορίσετε την µέγιστη τιµή της παράστασης:

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2Π x x y y 2x x 2y y= + + + − − (Μονάδες 10)

5

5

5

ΛΥΚΕΙΟ: ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ:2010-11 ΤΑΞΗ: Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΜΑ 1ο

α) Έστω →α =(x,y) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου, δείξτε ότι το μέτρο

του είναι: |→α |= 2 2x + y Μονάδες 15

β) Αν →α ,

→β δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο

των διανυσμάτων a

, β

; Μονάδες 1 0

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται το διάνυσμα →α = (- 4, 3) .

α) Να υπολογίσετε το μέτρο του →α δηλαδή το |

→α |. Μονάδες 1 0

β) Αν →β = ( μ-1 , 2λ + 5 ) να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ώστε

→α =

→β . Μονάδες 1 5

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η εξίσωση: x2+y2+6x+2y+6=0 (1).

Α. Δείξτε ότι η (1) είναι εξίσωση κύκλου του οποίου να βρείτε το κέντρο και την

ακτίνα. Μονάδες 1 5

Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του παραπάνω κύκλου στο σημείο

Α(-3, 1). Μονάδες 1 0

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση: ( )α β→ →

⋅ x-| |α→

y+2=0 και φ η οξεία γωνία των

διανυσμάτων →α ,

→β . Αν το διάνυσμα γ

→

=(2,-1) είναι κάθετο στην ευθεία ε, τότε:

Α. Δείξτε ότι →α ≠ 0

→

. Μονάδες 5

Β. Δείξτε ότι 2| |β

συνϕ

→

= Μονάδες 7

Γ. Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι φ=60º και →α =(-3, 4) τότε:

α) Δείξτε ότι | | 4β→

= . Μονάδες 5

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος →α -2 β

→

. Μονάδες 8

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)

1. Στη κόλλα σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά. Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε.

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος του φωτοαντιγράφου αμέσως μόλις σας παραδοθεί. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με την κόλλα και το φωτοαντίγραφο.

3. Να απαντήσετε στη κόλλα σας ΟΛΑ τα θέματα. 4. Διάρκεια εξέτασης: Δύο (2) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

16 /05/2011

Ο ΔΙΕΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1ο α) Θεωρία σελ. 34 σχολικού βιβλίου. β) Θεωρία σελ. 41 σχολικού βιβλίου. ΘΕΜΑ 2ο

α) Είναι |→α |= 2 2(-4) + 3 =……=5

β) Πρέπει ( μ-1=-4 και 2λ + 5=3) … μ=-3 και λ=-1. ΘΕΜΑ 3ο

Α. Είναι Α2+Β2-4Γ=62+22-4.6=….=16>0, άρα η (1) είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο

το Κ(-Α/2, -Β/2) ή Κ(-3, -1) και ακτίνα 2 2 4

2ρ Α + Β − Γ= =…=4/2=2.

Β. Από το Α(-3,1) διέρχεται η κατακόρυφη ευθεία ε με εξίσωση: x=-3χ+3=0.

Είναι 2

| 3 3|( , ) 01

d ε − +Κ = = ≠ρ, άρα η ε δεν εφάπτεται στον κύκλο.

Κάθε άλλη ευθεία δ που διέρχεται από το Α(-3, 1) έχει εξίσωση: y-1=λ(χ+3) λx-y+3λ+1=0 . Για να εφάπτεται η δ στον κύκλο πρέπει:

2 2

| 3 1 3 1|( , ) 2( 1)

d λ λδ ρλ

− + + +Κ = ⇔ =

+ − 2

2

|2| 2 1 11

λλ

= ⇔ + =+

λ=0.

Άρα η εφαπτομένη του κύκλου στο Α(-3,1) έχει εξίσωση y=1 . ΘΕΜΑ 4ο

Α. Αν →α = 0

→

τότε από την εξίσωση: ( )α β→ →

⋅ x-| |α→

y+2=0 έχουμε: 2=0 που είναι

άτοπο, άρα →α ≠ 0

→

.

Β. Επειδή ε ⊥ γ→

είναι:

1ε γλ λ⋅ = − 1 1

2| |

α β

α

→ →

→

⋅ −⋅ = − 2

| |

α β

α

→ →

→

⋅=

| | | | 2| |

α β συνϕ

α

→

→

⋅=

2| |β

συνϕ

→

=

Γ. α) Είναι 2 2| | 460 1 / 2

βσυν

→

= = =°

β) Είναι |→α |= 2 2( 3) 4− + =… =5 και α β

→ →

⋅ =| | | | 60α β συν→ →

⋅ °=5.4 .1/2=10 άρα:

|→α -2 β

→

|2=(→α -2 β

→

)2=→α 2-4

→α β

→

+4 β→

2=52-4 .10+4 .42=25-40+64=49,

άρα: |→α -2 β

→

|=7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ : 2010 -2011 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ : ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06-06-2011 Δ/ΝΣΗ Β/ΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν.ΛΕΣΒΟΥ ΤΑΞΗ : Β΄ΕΠΑΛ 1Ο ΕΠΑΛ ΠΛΩΜΑΡΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 81200 – Πλωμάρι ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Τηλ. 22520.32284 ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :

Θέματα Γραπτών Εξετάσεων

ΘΕΜΑ 1Ο: Α) i) Τι ονομάζεται διάνυσμα ; ( 5 ΜΟΝΑΔΕΣ) ii) Να αντιστοιχίσετε το είδος των διανυσμάτων της 1ης στήλης με όλες τις ιδιότητές τους της 2ης στήλης . (10 ΜΟΝΑΔΕΣ) 1) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς . 2) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς και α) συγγραμμικά ίδια φορά . β) αντίθετα 3) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς και γ) αντίρροπα αντίθετη φορά . δ) ομόρροπα 4) έχουν ίδιο μέτρο . ε) ίσα 5) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς και ίδιο μέτρο . 6) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς , ίδια φορά και ίδιο μέτρο .

7) έχουν ίδιο ή παράλληλους φορείς , αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο .

Β) Να χαρακτηρίσετε με «Σωστό» ή «Λάθος» κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις : ( 10 ΜΟΝΑΔΕΣ)

i) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία

Α(χ1,ψ1) και Β(χ2,ψ2) είναι : 2 1

2 1

x x

y y

−λ =

−

ii) Η εξίσωση της ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ , που διέρχεται από το σημείο Α(χ1,ψ1) είναι : ψ – ψ1 = λ .(χ – χ1) iii) Η γενική μορφή εξίσωσης ευθείας είναι η : Αχ + Βψ + Γ = 0 , με Α ή Β διάφορα του μηδενός. iv) O κύκλος με εξίσωση: χ2 + ψ2 = ρ2 διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) . v) H εξίσωση: ( χ + χο )2 + (ψ + ψο )2 = ρ2 παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(χο , ψο) και ακτίνα ρ.

ΘΕΜΑ 2Ο: Δίνονται τα διανύσματα α = ( 3λ – 6 , λ + 3 ) και β

= ( λ2 – 2λ , 2λ ) .

i) Για ποια τιμή του λ τα διανύσματα είναι ίσα ; ( 8 ΜΟΝΑΔΕΣ) ii) Για λ = 3 α) να βρείτε το διάνυσμα α . ( 5 ΜΟΝΑΔΕΣ)

β) να εξετάσετε αν το α είναι παράλληλο στο γ= (-1,-2) ( 5 ΜΟΝΑΔΕΣ)

γ) να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α και γ

δηλ. τα | α | και | γ | και να δείξετε ότι :2 | α

| - | γ

| = 5 5 . ( 7 ΜΟΝΑΔΕΣ)

ΘΕΜΑ 3Ο:

Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση : ( μ – 3 ) χ + ( μ – 9 ) ψ + 6 = 0 , που

διέρχεται από το σημείο Α ( 1 , 2 ) .

i) Nα βρεθεί το μ . ( 7 ΜΟΝΑΔΕΣ)

ii) Για μ = 5 : α) Να βρεθεί η ευθεία (ε) και ο συντελεστής διεύθυνσης

της. (6 ΜΟΝΑΔΕΣ)

β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες χ΄χ

και ψ΄ψ . ( 6 ΜΟΝΑΔΕΣ)

γ) Να βρεθεί το σημείο τομής της (ε) με την ευθεία

(ε1): χ + ψ = 2 . (6 ΜΟΝΑΔΕΣ)

ΘΕΜΑ 4Ο:

Δίνεται κύκλος με εξίσωση : χ2 + ψ2 = 5

i) Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. (5 ΜΟΝΑΔΕΣ)

ii) Nα δείξετε ότι το σημείο A( 2, 3)− είναι σημείο του κύκλου και να

βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του στο σημείο αυτό . (10 ΜΟΝΑΔΕΣ)

iii) Nα βρεθούν τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία (ε): ψ = 2χ

( 10 ΜΟΝΑΔΕΣ)

Ο Διευθυντής Η Εισηγήτρια

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Σχολικό Ετος 2010-2011

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 Β’ ΤΑΞΗΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν 1 1( , )A x y και 2 2( , )B x y είναι σημεία του επιπέδου και ( , )M x y το μέσο του

AB , να αποδείξετε ότι: 1 2

2

x xx

+= και 1 2

2

y yy

+= (10 μονάδες)

Α2. Τι ονομάζουμε έλλειψη, με εστίες δυο σημεία ,E E′ ενός επιπέδου; (5 μονάδες) Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για κάθε διάνυσμα a

ισχύει: 22a a=

.

β. Η εξίσωση 2 2 0x y x y+ + Α +Β +Γ = παριστάνει κύκλο αν 2 2 0Α +Β −Γ > .

γ. Η παραβολή με εστία ,02

pE

και διευθετούσα ευθεία την 2

px = − έχει

εξίσωση 2 2y px= .

δ. Το εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: 1( ) det( , )

2

→ →

ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ

ε. Η εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου 2 2 2:C x y ρ+ = στο σημείο του 1 1( , )A x y ,

δίνεται από τον τύπο: 21 1y x x y ρ+ = (2x5=10 μονάδες)

ΘΕΜΑ Β Δίνονται τα σημεία Α(4, 1), Β(2, 3) και Γ(λ-1, λ+2) όπου λ∈ℜ . Β1. Να βρεθεί η τιμή του λ∈ℜώστε τα Α,Β,Γ να είναι συνευθειακά (13 μονάδες) Β2. Για 3λ = , να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (12 μονάδες) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή A(2,1) . Η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι

1x y+ = και η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ είναι 3 2 2x y− = − . Να βρεθούν: Γ1. Η εξίσωση της πλευράς ΑΓ (9 μονάδες) Γ2. Οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ (16 μονάδες) ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματαα β≠

, και η εξίσωση

2 2 2 22 2 2 2 0x y x yα β α β α β+ − − − − + + =

(1)

Δ1.Δείξτε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο ακτίνας 2ρ α β= −

(10 μονάδες)

Δ2. Για 1, 1α β= =

και 1

( , )4

συν α β =

, να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος (1) παίρνει τη μορφή

2 2: ( 2) ( 2) 6C x y− + − = (10 μονάδες )

Δ3.Nα εξετάσετε αν η εστία της παραβολής 2 8y x= βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου C του προηγούμενου ερωτήματος Δ2. (5 μονάδες ) Ο Διευθυντής Η Επιτροπή

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 1 Α. Αν τα διανύσματα ,

→ →

α β δεν είναι κάθετα στον άξονα x’x ,να αποδείξετε ότι → →

α ⊥ β ⇔ λ ⋅ λ = −1 2 1

όπου ,λ λ1 2 οι συντελεστές διεύθυνσης των ,→ →

α β . (Mον 10)

Β. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a

ur και β

ur.

(μονάδες 5 ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη

λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν α ⋅β

= 0 τότε θα είναι πάντοτε 0 0

α = η β = . β) Αν α ↑↑ β

τότε α ⋅β

= α ⋅ β .

γ) Η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι παράλληλη

στο διάνυσμα ( ) Β, –Α→δ = .

δ) Όλες οι ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από το σημείο Κ (xo,yo), έχουν εξίσωση της μορφής y-yo=λ(x-xo) . ε) Κάθε σημείο μιας παραβολής ισαπέχει από την διευθετούσα και την κορυφή της . ( Mον 5x2 )

ΘΕΜΑ 2 Δίνονται τα διανύσματα

, ,α β γ

με α = β = ∈2 , 1 , γ=α-κβ, κ R

, και πα β =( , )

3

.

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο .α β

. (Μον 5 ) β) Να βρείτε το αριθμό κ , αν γνωρίζετε ότι το διάνυσμα α

είναι κάθετο στο γ . (Μον 10 ) γ) Αν κ=4 να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και γβ

. (Μον 10)

ΘΕΜΑ 3

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2x 4y 0−+ + = , α) Να αποδείξετε ότι, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. (Mον 8)

β)Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y2=-2x ι) Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής. ιι) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης παραβολής στο σημείο Α(-2,2). (Mον 8) γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραπάνω παραβολής, εφάπτεται και στο κύκλο . (Mον 9) ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση (ε) : κx -(κ+1)ψ + 2=0 , κ Є R. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του

αριθμού κ . (Μον 6)

β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες με εξίσωση (ε) διέρχονται για κάθε τιμή του κ από σταθερό σημείο το οποίο και να βρεθεί. (Μον 9) γ) Nα βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η παραπάνω ευθεία σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 4 τ.μ. (Μον 10)

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β΄ ΤΑΞΗ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β΄ ΤΑΞΗΣ 2ου ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΕΡΑΠΕΤΡΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 21 ΜΑΪΟΥ 2008

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ 1ο

A) Έστω Α,Β σημεία του επιπέδου , Ο ένα σημείο αναφοράς και Μ το μέσον του ΑΒ ,να δείξετε ότι:

2

+=

OA OBOM

Μον.13

B) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

ΚΩΝΙΚΗ ΤΟΜΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 1.Κύκλος Κέντρου Κ(χ 0 ,ψ 0 ) και ακτίνας ρ

1.

2.Παραβολή με Εστία Ε(2

p ,0) και

διευθετούσα χ=-2

p

2.

3.Έλλειψη με εστίες Ε΄(-γ,0),Ε(γ,0) και σταθερό άθροισμα 2α (α>0)

3.

4.Υπερβολή με εστίες Ε΄(0,-γ),Ε(0,γ) και σταθερή διαφορά 2α (α>0).

4.

Μον.12

ΘΕΜΑ 2ο Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=15 και τα διανύσματα :

. ΑΓ

5

1ΑΕ και AB3

1A ==∆

α) Να εκφράσετε τα διανύσματα BE

και Γ∆

συναρτήσει των διανυσμάτων

και ΑΓ .AB

Μον.8 β) Να δείξετε ότι: ΒΕ ⊥ΓΔ. Μον.9 γ) Να υπολογίσετε το ∆Ε

. Μον.8

5 ΘΕΜΑ 3ο

Να δείξετε ότι; Α) 2 ⋅2+3⋅22+4⋅23+…+ν⋅2ν -1=(ν-1) ⋅2ν ,για κάθε ν φυσικό με ν≥2. Μον.15

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β΄ ΤΑΞΗ

Β) 101 102 200 101101

1(102 2 103 2 ... 201 2 ) 100 2

2 1+ + + =

− Μον.10

ΘΕΜΑ 4ο

Το Λιμεναρχείο ειδοποιήθηκε από παραπλέοντα σκάφη ,ότι εθεάθη φουσκωτό σκάφος (προφανώς ακυβέρνητο) να κάνει κύκλους που για κάθε χρονική στιγμή t ,βρίσκεται στη θέση Φ( 1

4ημt , 1

4συνt +20),πάνω σ’

ένα ορθοκανονικό σύστημα Οχψ που προσανατολίζει την ευρύτερη περιοχή. Ο Λιμενάρχης δίνει εντολή στο πλοίο του Λιμενικού να σπεύσει σε βοήθεια και να ακολουθήσει πορεία που για κάθε χρονική στιγμή t,βρίσκεται στη θέση Π (t, t-10).

Α) Να βρεθεί η εξίσωση της πορείας του φουσκωτού και του πλοίου του λιμενικού. Μον.10

Β) Αν Κ(0,20) είναι το κέντρο του κύκλου που διαγράφει το φουσκωτό και η ακτίνα του είναι ρ= 1

4 ,να βρείτε την απόσταση του Κ από την

ευθεία (ε) της πορείας του πλοίου του Λιμενικού. Μον.7

Γ) Αν η ορατότητα είναι 10250 μέτρα ,θα φαίνεται το φουσκωτό από το πλοίο του Λιμενικού , για κάποια χρονική στιγμή; Μον.(3)

Δ)Αν όχι ,βρείτε την ευθεία με τον μικρότερο θετικό συντελεστή διεύθυνσης που πρέπει να ακολουθήσει το πλοίο του λιμενικού, ώστε για κάποια χρονική στιγμή να μπορεί να διακρίνει το φουσκωτό. Μον.( 5) ΠΑΡΑΤΉΡΗΣΕΙΣ:1)Την χρονική στιγμή t=0 το πλοίο Π βρίσκεται στο

Λιμάνι. 2)Οι αποστάσεις μετρούνται σε χιλιόμετρα.

(Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας)

Καλή Επιτυχία!

Η Διευθύντρια Οι καθηγητές Κασσωτάκης Ε. Δέσποινα Κεφάλα Παπαδάκης Μ.

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΘΕΜΑ 1Ο

Έστω το διάνυσµα .

Να βρείτε διάνυσµα τέτοιο ώστε ,

και το οποίο να σχηµατίζει οξεία γωνία µε το διάνυσµα .

ΘΕΜΑ 2Ο

Έστω τα µοναδιαία διανύσµατα ,α β

. Aν τα

διανύσµατα u , vα β α β= + = −2 4

σχηµατίζουν

γωνία , να βρεθεί η γωνία των ,α β

.

ΘΕΜΑ 3Ο

Έστω τα διανύσµατα µε .

Θεωρούµε το διάνυσµα .

α) Να υπολογίσετε το χ έτσι ώστε το µέτρο του διανύσµατος να γίνεται ελάχιστο.

β) Για την τιµή του χ που βρήκατε προηγουµένως να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα είναι κάθετα.

ΘΕΜΑ 4Ο Εάν ισχύει x xσυν ηµ= −

22 1 2 , να αποδείξετε ότι x xηµ ηµ− ≤ + ≤

21 3 2 2 4

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα; β) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

και

;

6 Μονάδες

Β. Να αποδείξετε ότι αν ,

y΄y και 1 2, οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων

και

αντίστοιχα

τότε α) 1 2

β) 1 2 1

7 Μονάδες

Γ. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: α) Αν 1 1x i y j

και 2 2 2,x y

τότε ......,.....

, ................

και ................

β) Αν ( , )M x y μέσο του ΑΒ με 1 1,x y και 2 2,x y τότε ................x και ..................y

4 Μονάδες

Δ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).

α) 0

. Σ ή Λ

β) Αν ,

y΄y και

τότε 1 0 . Σ ή Λ

γ) Αν y΄y και 0

τότε 0 90 , όπου η γωνία

που σχηματίζει το διάνυσμα

με τον x΄x . Σ ή Λ

δ) Αν

τότε . Σ ή Λ

8 Μονάδες

ΘΕΜΑ 2ο Δίνονται τα σημεία 2,9 , Β 3, 4 , Γ 5,7 .

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. 6 Μονάδες β) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΓΜ. 6 Μονάδες γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Ρ, ώστε να ισχύει 2

. 6 Μονάδες

δ) Αν 2 1, 3 5

να βρείτε τα κ, λ ώστε να ισχύει 2

. 7 Μονάδες

ΘΕΜΑ 3ο Δίνονται τα διανύσματα 1, 1

και 3 2 .i j

α) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα

με τον άξονα x΄x . 6 Μονάδες β) Αν 8,2

τότε

i) να γράψετε το

ως γραμμικό συνδυασμό των

και

. 7 Μονάδες ii) να βρείτε το

. 5 Μονάδες

iii) να αναλύσετε το

σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο

. 7 Μονάδες

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα ,

με 2,

3

και τα διανύσματα u

και 2 4v

.

Να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο

.

β) το εσωτερικό γινόμενο u v

.

γ) το μέτρο του διανύσματος v

.

δ) τη γωνία των διανυσμάτων u

και v

.

ε) την τιμή του ώστε τα διανύσματα

και

να είναι κάθετα. (5x5=25 Μονάδες)

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:________________________________

ΘΕΜΑ 1ο

1. Αν Α(x1,y1) και Β(x2, y2) να αποδείξετε ότι οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ είναι 1 2

2

x xx

+=

και 1 2

2

y yy

+= .

2. Αν α ⋅ β

> 0, τότε η γωνία ( ),α β

είναι:

Α: οξεία Β: αµβλεία Γ: ορθή ∆: 180ο

3. Α) Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

i. Αν ( )1 1x , yα =

και ( )2 2x , y ,β =

τότε οι συντεταγµένες του διανύσµατος

, , µδ = λα +µβ λ ∈

ℝ , είναι x =………………… και y =……..…….

ii. Αν ( )x, yα =

και το πέρας του διανύσµατος α

είναι το σηµείο Β ( )2 2x , y , τότε οι

συντεταγµένες της αρχής Α είναι x1 =……………………. και

y1 =…………………………….

iii. Αν 1 2i jα = α +α

, τότε οι συντεταγµένες του διανύσµατος α

είναι …………………….

iv. Αν xi y jα = +

, τότε το µέτρο του διανύσµατος α

είναι α =

…………………………..

4. Ερωτήσεις Σωστού – Λάθους.

i. Αν a β→ →

↑↑ τότε a β→ →

⋅ = − a β→ →

⋅ Σ ή Λ

ii. Αν λ1, λ2 συντελεστές διεύθυνσης των διανυσµάτων a→

και β→

και / /a β→ →

τότε λ1=λ2 Σ ή Λ

iii. Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) τότε (ΑΒ) = 2 2

1 2 1 2( ) ( )x x y y− − − Σ ή Λ

iv. Αν a→

=(x1, y1) και β→

(x2, y2) τότε συν ( ) 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x y y,

x y x y

+α β =

+ +

Σ ή Λ

v. Αν a→

=(x1, y1) και β→

=(x2 y2) τότε a→

⋅ β→

= x1 x2- y1 y2 Σ ή Λ

ΘΕΜΑ 2ο

∆ίνονται τα σηµεία Α(2, 9), Β(3, 4), Γ(6, 7) και το διάνυσµα x→

=(λ-3, κ+2).

i. Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων→

ΑΒ ,→

ΑΓ .

ii. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.

iii. Να βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της ΑΓ και µετά το µήκος της διαµέσου ΒΜ.

iv. Να βρείτε τα κ, λ ώστε να ισχύει x→

=3→

ΑΓ -2→

ΑΒ

ΘΕΜΑ 3ο

∆ίνονται τα διανύσµατα ,α β

που είναι µοναδιαία και , 120α β∧

=

, u α β= −

και 2 4v α β= +

Να βρεθούν i) το εσωτερικό γινόµενο α β⋅

.

ii) το εσωτερικό γινόµενο u v⋅

.

iii) το µέτρο του διανύσµατος .u

iv) η γωνία των διανυσµάτων u

και v

.

ΘΕΜΑ 4ο

∆ίνονται τα διανύσµατα α

=(1, -1), β

=(2, -3) και γ

= - 3i j→

+

.

i. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α

µε τον άξονα x΄x.

ii. Να γράψετε το διάνυσµα γ

ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων α

και β

.

iii. Να αναλύσετε το διάνυσµα γ

σε δύο κάθετες συνιστώσεις από τις οποίες η µία είναι

παράλληλη στο α

.

iv. Αν u

=κα

+ β

, κ∈ℝ να βρείτε το κ ώστε τα διανύσµατα α

και u

να είναι κάθετα.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. ( ΜΟΝΆΔΕΣ 20)

Δίνεται η εξίσωση (ε) : (λ2-4) χ+(2-λ) ψ+λ2-1=0. α) Πότε η (ε) παριστάνει ευθεία ; β) Για ποιά τιμή του λ R∈ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) ; γ) Βρείτε διάνυσμα κάθετο στην (ε) δ) με δεδομένο ότι η (ε) είναι παράλληλη στην ευθεία (ζ) : 5χ-ψ+3=0 ,τότε ποιά η τιμή του λ R∈ ;

Β . ( ΜΟΝΆΔΕΣ 5) Δίνεται η ευθεία (ε): χ+ψ-2=0 και το σημείο Α(-3,1).Να βρείτε : α) την εξίσωση της ευθείας (δ) που είναι κάθετη στην (ε) και διέρχεται απο το Α β) Το σημείο τομής των ευθειών (ε) και (δ)

ΘΕΜΑ 2Ο ( ΜΟΝΆΔΕΣ 25)

Ένας πολεοδομικός χάρτης είναι σχεδιασμένος σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων .Ένας δρόμος (δ 1) διέρχεται απο τα σημεία Α(-2,1) και Β (-1,2) ενώ ένας άλλος δρόμος (δ 2) διέρχεται απο τα σημεία Γ(5,2) και Δ(3,4). α) Να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν οι δύο δρόμοι στο χάρτη β) Να εξετάσετε αν οι δρόμοι τέμνονται κάθετα . γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες της διασταύρωσης Σ των δυο δρόμων δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής Ε του οικοδομικού ορθογωνίου ,του οποίου οι τρείς κορυφές είναι τα σημεία Β , Σ , Δ . ΘΕΜΑ 3Ο ( ΜΟΝΆΔΕΣ 25)

A. Έστω (ε) η εφαπτομένη του κύκλου C: x2 + y2 = ρ2 σε ένα σημείο του Α (x1, y1) .

Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Α έχει εξίσωση xx1 + yy1 = ρ2.

Β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ευθειών του κύκλου x2 + y2 = 25, στα σημεία του, που έχουν τετμημένη 3.

1

ΘΕΜΑ 4 ο

( ΜΟΝΆΔΕΣ 25) Δίνεται ο κύκλος C με εξίσωση (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9 και κέντρο Κ.

Α. Κάθε ερώτηση από τις επόμενες πέντε συνοδεύεται από πέντε πιθανές απαντήσεις . Γράψτε στο τετράδιό σας την σωστή απάντηση. i) Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο

α. (3, - 2) β. (- 3, - 2) γ. (- 3, 2) δ. (3, 2) ε. (5, 0)

ii) Η ακτίνα του κύκλου C είναι:

α. 9 β. 3 γ. 3 δ. 81 ε. κανένα από τα προηγούμενα

iii) Ο κύκλος C εφάπτεται: α. μόνο του άξονα x΄x β. μόνο του άξονα y΄y

γ. και των δύο αξόνων x΄x, y΄y δ. της ευθείας y = x

ε. σε κανένα από τα προηγούμενα

iv) Από το κέντρο του κύκλου C διέρχεται η ευθεία με εξίσωση

α. 3x - y = 4 β. y = 3x + 5 γ. 2x + 3y = 0

δ. 3x - 2y = 5 ε. y = 3x + 2

v) Η απόσταση του κέντρου Κ του κύκλου από την αρχή των αξόνων Ο είναι:

α. 1 β. 5 γ. 6 δ. 13 ε. 5

Β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία 3x + 4y - 2 = 0 εφάπτεται του κύκλου C.

2

Γραπτές Προαγωγικές Εξετάσεις

Περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2009

Μάθημα : Μαθηματικά

Κατεύθυνση : Θετική - Τεχνολογική

Τάξη : Β΄ Λυκείου

Θ Ε Μ Α Τ Α

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε την ισοδυναμία 1 2 1α β λ λ⊥ ⇔ ⋅ = −

ur ur, όπου 1 α

λ λ= ur και

2 βλ λ= ur , εφόσον τα ,α βur ur

δεν είναι παράλληλα στον άξονα y΄y.

(μονάδες 10) Β. Έστω Ε΄ και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Τι ονομάζεται έλλειψη με

εστίες τα σημεία Ε΄ και Ε. (μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ισχύει η ισοδυναμία 0 η β 0α β ο α⋅ = ⇔ = =

ur ur ur r

β. Για οποιαδήποτε διανύσματα , ,α β γur ur r

ισχύει ( )2 2 2α β α β⋅ = ⋅ur ur ur ur

γ. Ο κύκλος C: ( ) ( )2 2 2ο οχ χ ψ ψ ρ− + − = με 0ψ ρ= εφάπτεται στον χ΄χ

δ. Η παραβολή με εξίσωση 2 2 pψ χ= έχει άξονα συμμετρίας τον χ΄χ

ε. Η εκκεντρότητα της υπερβολής 2 2

2 21

ψ χα β

− = είναι 1γεα

= >

(μονάδες 10)

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνονται τα διανύσματα αur

,βur

με 2α =ur

, 1β =ur

και 2,

3

∧⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

ur ur πα β . Έστω τα

διανύσματα 2u α β= +r ur ur

και 4v α β= +r ur ur

. Να υπολογίσετε: α) Το εσωτερικό γινόμενο a β⋅

r ur (μονάδες 7)

β) Τα μέτρα των διανυσμάτων ur

και vr

. (μονάδες 9)

γ) Τη γωνία των διανυσμάτων ur

και vr

. (μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(2,1). Η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι

χ+ψ = 1 και η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ είναι 3χ-2ψ = -2. Να βρεθούν:

α) Η εξίσωση της πλευράς ΑΓ (μονάδες 7)

β) Οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ (μονάδες 12)

γ) Αν Β(0,1) και Γ(-10,-11) να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

(μονάδες 6)

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η εξίσωση ( ) ( )2 2 24 2 4 2 8 1 0χ ψ λ χ λ ψ λ+ − + − − + + = .

α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ∈R ,να βρείτε το

κέντρο και την ακτίνα του. (μονάδες 9)

β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων κινούνται σε μια

ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (μονάδες 6)

γ) Να βρείτε το σημείο της παραπάνω ευθείας το οποίο απέχει από την

αρχή των αξόνων τη μικρότερη απόσταση. (μονάδες 10)

2004-2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Θέμα 1 Α. Να αποδειχθούν οι ιδιότητες :

1. Αν α/β και β/γ , τότε α/γ ( Μονάδες 8 )

2. Αν α/β και α/γ , τότε α/(β+γ) ( Μονάδες 7 ) όπου α,β,γ ακέραιοι αριθμοί Β. Ν χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

α) Η εκκεντρότητα της υπερβολής 2 2

2 2χ ψ 1α β

− = είναι πάντα μεγαλύτερη του 1

β) Η ευθεία Αχ+Βψ+Γ=0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( )δ Α,Β=r

γ) Αν α β τότε α β α β και αντίστροφως ,όπου α,β 0↑↓ ⋅ = − ⋅ ≠

urr r r rr r r r

δ) Αν και θ η γωνία τους ,τότε α,β 0≠urrr α βσυνθ

α β⋅

=⋅

rr

rr

ε) Η εφαπτομένη της παραβολής ψ2=2ρχ στο σημείο της Μ(χ1,ψ1) είναι ψψ1=ρ(χ+χ1)

( Μονάδες 10 )

Θέμα 2 ∆ίνονται τα διανύσματα ( ) ( ) ( )α 1,1 ,β 0,2 και γ 2, 2= = = − −

rr r.

Αν ισχύει ,να βρεθούν τα κ,λ ( Μονάδες 25)

γ κ α λβ= ⋅ +rr r

Θέμα 3 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 2χ-5ψ+3=0 και χ-3ψ-7=0 και είναι κάθετη στην ευθεία 4χ+ψ=1 ( Μονάδες 25 )

Θέμα 4 ∆ίνεται η εξίσωση C: χ2+ψ2-2λχ+λ2-9=0 α) να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ∈ ( Μονάδες 10) β) για λ=2

1. Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου (C) ( Μονάδες 7)

2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του (C) στο σημείο του Μ(4, 5 )(

Μονάδες 8 )

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΘΕΜΑ 1ο

A. Να δώσετε τον ορισµό της παραβολής.

B. Έστω η υπερβολή 1x

:C2

2

2

2

=−β

ψ

α. Να συνδέσετε µε µια γραµµή τα δεδοµένα της

πρώτης στήλης µε τα αντίστοιχα τους της δεύτερης στήλης.

Στήλη (Α) Στήλη (Β)

i) Η υπερβολή διέρχεται από το

σηµείο Μ(1,1)

α) α=β

ii) Η ευθεία ψ=x είναι

ασύµπτωτη της υπερβολής β)

22

11

1

βα+=

iii) Το σηµείο Ε(5,0) είναι

εστία της υπερβολής γ) 3=

α

β

iv) Η εκκεντρότητα της

υπερβολής είναι ε=2

δ) 2522 =+ βα

(Μονάδες 13 + 4x3 = 25)

ΘΕΜΑ 2ο

∆ίνονται τα σηµεία Α(2, 3) , Β(1, –2) και Γ(4, 0). Να βρείτε:

α) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ.

β) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το Γ και είναι κάθετη στην ΑΒ.

γ) την απόσταση του σηµείου Γ από την ευθεία ΑΒ.

(Μονάδες 8 + 9 + 8 = 25)

ΘΕΜΑ 3ο

∆ίνεται η έλλειψη 2 2

1C : 3x 4y 12+ = και η εξίσωση

2 2

2C : x y 2x 2y α + 2009 = 0+ − + −

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C2 παριστάνει κύκλο για κάθε α > 2007.

ii) Για ποια τιµή του α ο κύκλος C2 διέρχεται από την εστία Ε΄(–γ, 0) της

έλλειψης C1.

iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της έλλειψης C1 στο 3

(1, )2

Μ .

(Μονάδες 10 + 8 + 7 = 25)

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω δύο διανύσµατα (2,1)α =ΟΑ =

και β =ΟΒ

(Ο: αρχή των αξόνων) για τα

οποία ισχύει: i) α⋅β

= 10 και ii) το µέσο Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΒ ανήκει

στην ευθεία x + 2y – 1 = 0.

A. Να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος β

.

B. Για (6, 2)β = −

:

α) να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάµετρο το ευθύγραµµο τµήµα ΟΒ.

β) να αποδείξετε ότι το σηµείο Γ(κ2 + 7, –1) είναι εξωτερικό του παραπάνω

κύκλου για κάθε κ∈ℝ .

(Μονάδες 12 + 8 + 5 = 25)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ 1ο ………………………………………………………………………..(Α:9+Β:4+Γ:12)

Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου 2 2 2ρx y+ = στο σηµείο του 1 1( , )x yΑ έχει

εξίσωση: 2

1 1 ρxx yy+ = .

Β. Τι ονοµάζεται παραβολή µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ;

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε τη λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) :

α) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε τη διαφορά των γινοµένων των

οµώνυµων συντεταγµένων τους.

β) Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο : ( ) det( , )ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ

.

γ) Η ευθεία µε εξίσωση 0x yΑ +Β +Γ = είναι κάθετη στο διάνυσµα ( , )η = Α Β

.

δ) Αν α β⊥

, τότε 0α β⋅ =

.

ΘΕΜΑ 2ο ………………………………….……………………………………….(α:8+β:9+γ:8)

∆ίνεται το διάνυσµα (2, 2)α = −

και το διάνυσµα β

µε 3 2β =

και ( ) 2π

,3

α β =

.

(α) Να υπολογίσετε το µέτρο α

και το εσωτερικό γινόµενο α β⋅

.

(β) Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α

µε τον άξονα x x′ .

(γ) ∆ίνεται το διάνυσµα 2γ α β= −

. Να υπολογίσετε το µέτρο γ

και να βρείτε την προβολή

του γ

πάνω στο α

.

ΘΕΜΑ 3ο …………………………………………………………………………(α:7+β:6+γ:12)

∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε (3, 4)Α , (0, 1)Β − και (6, 3)Γ − .

(α) Να βρείτε την εξίσωση της διαµέσου ΑΜ του τριγώνου.

(β) Να βρείτε ένα σηµείο Ε του άξονα x x′ ώστε τα σηµεία Β, Γ, Ε να είναι συνευθειακά.

(γ) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία απέχουν το ίδιο από

το σηµείο Ε και την ευθεία ΑΜ.

ΘΕΜΑ 4ο ………………………………...…….....................................................(α:12+β:8+γ:5)

∆ίνεται η εξίσωση 2 2 4λ 2(λ 1) 2λ 0x y x y+ − − + + = (1), όπου λ∈ℝ .

(α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιµή του λ∈ℝ και να βρείτε το κέντρο

και την ακτίνα του.

(β) Να αποδείξετε ότι καθώς µεταβάλλεται η τιµή του λ το κέντρο του κύκλου κινείται σε

ευθεία ε της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

(γ) Έστω Ε το σηµείο στο οποίο η ε τέµνει τον άξονα x x′ . Να βρείτε την εξίσωση της

υπερβολής που η µια εστία της είναι το σηµείο Ε και η εκκεντρότητά της είναι 2 3

3.

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011

ΘΕΜΑ Α (Μονάδες 8 + 7 + 10 = 25)

Α1. Αν τα διανύσµατα 1 1( , )x yα =

και 2 2( , )x yβ =

δεν είναι παράλληλα στον άξονα y y′ και

1λ , 2λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των ,α β

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

1 2λ λ 1α β⊥ ⇔ ⋅ = −

Α2. Έστω Ε΄ και Ε δύο σηµεία του επιπέδου. Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες τα σηµεία Ε΄, Ε;

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε τη λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ)

α) Η ευθεία 0x yΑ +Β +Γ = είναι παράλληλη στο διάνυσµα ( , )η = −Α Β

.

β) Οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, όπου 1 1( , )x yΑ και

2 2( , )x yΒ είναι 1 2

2

x xxΜ

−= και 1 2

2

y yyΜ

−= .

γ) Για κάθε διάνυσµα α

ισχύει 22α α=

.

δ) Η ισοσκελής υπερβολή έχει εκκεντρότητα ε 3= .

ε) Η παραβολή 2 2x py= έχει εστία (0, )pΕ .

ΘΕΜΑ Β (Μονάδες 7 + 10 + 8 = 25)

∆ίνεται το σηµείο (2, 2)Α − και οι ευθείες 1ε : 3 2 0x y− + = και 2ε : 2 0x y+ + = .

Β1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 3ε που διέρχεται από το σηµείο Α και είναι κάθετη στην

ευθεία 2ε .

Β2. Να αποδείξετε ότι το συµµετρικό του σηµείου Α ως προς την ευθεία 1ε είναι το σηµείο

(0,4)′Α .

Β3. Έστω Β το σηµείο τοµής των ευθειών 1ε και 3ε . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ′Α Β .

ΘΕΜΑ Γ (Μονάδες 9 + 9 + 7 = 25)

∆ίνονται τα διανύσµατα (2, 4)α = −

και β

µε 4β =

και 6α β− =

.

Γ1. Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα ,α β

είναι κάθετα.

Γ2. Να βρείτε το µέτρο του διανύσµατος 2α β+

.

Γ3. ∆ίνεται το διάνυσµα 2 3γ α β= −

. Να βρείτε την προβολή του γ

πάνω στο α

.

ΘΕΜΑ ∆ (Μονάδες 7 + 12 + 6 = 25)

∆ίνεται η εξίσωση 2 2 2( ) ( 2 1) 1x yα β µ+ + − + = − (1) όπου , ,α β µ∈ℝ και η ευθεία

ε : 2 7 0x y+ + = .

∆1. Να βρείτε τις τιµές του µ∈ℝ για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο και να γράψετε το

κέντρο Κ και την ακτίνα του ρ .

∆2. Για 4µ = να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης 2 2

2 21

x y

α β+ = αν είναι γνωστό ότι το κέντρο

Κ του κύκλου κινείται στην ευθεία ε και ότι οι εστίες της έλλειψης είναι ( ρ,0)′Ε − και

(ρ,0)Ε , όπου ρ η ακτίνα του κύκλου.

∆3. Αν 4α = και 1β = να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ′Ε ΚΕ .

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α

2004-2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Θέμα 1 Α. Να δείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση χ2+ψ2=ρ2 ( Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν α β τότεα β α β↑↓ ⋅ = − ⋅

r rr r rr

β. Η ευθεία με εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( )δ Β, Α= −r

γ. Η απόσταση των σημείων

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 1 2 1 2Α χ ,ψ ,Β χ ,ψ είναι ίση ΑΒ χ χ ψ ψ= − + +

δ. Η παραβολή με εξίσωση χ2 =2ρψ έχει την εστία της πάνω στο χ΄χ ε. Η εξίσωση χ2+ψ2+λ2 =0 όπου λ πραγματικός αριθμός είναι εξίσωση κύκλου

( Μονάδες 10)Θέμα 2 ∆ίνονται τα σημεία Α(-2,3) , Β(0,8) ,Γ(5,3) και ∆(10,5) .Να υπολογίσετε: α) Το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ Γ∆⋅

uuuruuur (

Μονάδες 8 ) β) Το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( )ΑΓ Β∆ Α∆ ΒΓ+ ⋅ −

uuur uuuruuur uur(

Μονάδες 8 ) γ) Τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα ΑΒ Γ∆+

uuuruuur με τον άξονα χ΄χ (

Μονάδες 8 )

Θέμα 3 Α. Αν α,β δυο περιττοί ακέραιοι αριθμοί δείξτε ότι το α2+β2 είναι πολλαπλάσιο του 2 ( Μονάδες 10) Β. Αν α,β,γ διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του α2+β2+γ2 με το 12 ( Μονάδες 15)

Θέμα 4 ∆ίνονται τα σημεία Α(0,0) ,Β(6,0) και Γ(4,3) α) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου του τριγώνου ΑΒΓ από την κορυφή Γ ( Μονάδες 8 )

β) Η απόσταση της κορυφής Α από την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ ( Μονάδες 8 ) γ) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σημεία Α,Β,Γ ( Μονάδες 9)

ΤΑΞΗ Β΄ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Αν , είναι δύο διανύσματα του επιπέδου με ≠ και η προβολή→

α→

v→

α→0

του στο συμβολίζεται με προβ → , τότε να αποδείξετε ότι προβ . →

v→

αa

Μονάδες 12

→

v→→→

= αvα →a

→

v

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α) Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι 222 αyx =−2

2ε = .

β) Η ευθεία με εξίσωση Ax+Β y +Γ είναι κάθετη στο διάνυσμα ( )Α,Βδ −= . γ) Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία Ε΄(—γ,0), Ε(γ,0) και σταθερό

άθροισμα 2α είναι 2α

2x+

2β

2y=1 όπου β = 22 γα − .

δ) Η εφαπτομένη της παραβολής x2=2py στο σημείο της Α(x1,y1) έχει εξίσωση xx1= 2py1

Μονάδες 8

Γ. Πότε η εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του;

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ 2Ο

Για τα διανύσματα β,αvv

δίνεται ότι 2 β 1, α ==vv

και 3

πβ ,α =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∧→→

. Έστω ακόμη τα

διανύσματα β2 - α v ,β3 α2 urvrrrr

=+= . Να υπολογίσετε:α) το εσωτερικό γινόμενο

Μονάδες 5

β) τα μέτρα

β αvv ⋅

v ,uvv

των διανυσμάτων vκαι uvv

Μονάδες 8

γ) το εσωτερικό γινόμενοΜονάδες 8

δ) το συν

Μονάδες 4

v uvv ⋅

∧→→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ u ,v .

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται η εξίσωση x2 + y2 - 2xy - 4x + 4y + 3 = 0. (1) α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει τις παράλληλες ευθείες ε1: y= x-1 και ε2 : y= x-3

Μονάδες 8

β) Να σχεδιάσετε τις ε1 και ε2. Μονάδες 4

γ) Να βρείτε την απόσταση των ε1 και ε2. Μονάδες 5

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζεται από τις ε1, ε2 και τους άξονες x΄x και y΄y.

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 4Ο

Έστω τα σημεία Α(0, α), Ε(0, 2α) με α>0 και τα συμμετρικά τους ως προς την αρχή των αξόνων Α΄ και Ε΄ αντίστοιχα. α) Να βρείτε: i) την εξίσωση του κύκλου (C) με διάμετρο ΑΑ΄.

Μονάδες 2

ii) τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε1 και ε2 του κύκλου (C) που διέρχονται απότο σημείο Ε και να υπολογίσετε την οξεία γωνία που σχηματίζουν.

Μονάδες 13 (8 - 5)

β) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω εφαπτόμενες ε1 και ε2 του κύκλου (C) και οι ασύμπτωτες της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε και Ε΄ και κορυφές τα σημεία Α και Α΄ σχηματίζουν δυο ζεύγη καθέτων ευθειών .

Μονάδες 10

Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα .Στη φωτοτυπία των θεμάτων θα γράψετε μόνο το όνομα σας και όλες τιςαπαντήσεις των θεμάτων να τις γράψετε στην κόλλα σας.ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 2 ΩΡΕΣ.

Καλή επιτυχία

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Έστω Α(x1,y1) , Β(x2,y2) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου Oxy και Μ(x,y) το μέσο του τμήματος ΑΒ

Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες (x,y) του σημείου Μ συναρτήσει των

συντεταγμένων των Α(x1,y1) και Β(x2,y2). (Μονάδες 10)

Β. Τι ονομάζουμε έλλειψη. (Μονάδες 5)

Γ. Να απαντήσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι Σωστές ή Λάθος.

α. Αν rα = rβ , τότε rα =

rβ . (Μονάδες 2)

β. Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. (Μονάδες 2)

γ. ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας x=1 είναι 1 (Μονάδες 2)

δ. Εστιακή απόσταση μιας έλλειψης ονομάζεται η απόσταση δύο σημείων της που είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο της. (Μονάδες 2)

ε. Η παραβολή με εστία το σημείο (1, 0) έχει παράμετρο p = 2. (Μονάδες 2)

ΘΕΜΑ 2Ο Α. Να βρείτε σημείο τομής των ευθειών 2x-5y+3=0 και x-3y-7=0

(Μονάδες 9)

Β. Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών και είναι κάθετη στην ευθεία 4x+y+1=0

(Μονάδες 9) Γ. Να βρείτε την απόσταση του παραπάνω σημείου από τη ευθεία 4x+y+1=0

(Μονάδες 7)

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνονται τα διανύσματα αr

,βr

με αr=2 β

r=3 και π

(α,β)=3

r r

α. Να βρεθεί ο αριθμός αr

.βr

(Μονάδες 5)

β. Άν u=3α β και v=κα 2β− +r r r r r r

κ єR τότε:i) να υπολογίσετε τον κ ώστε τα διανύσματα u και v

r r να είναι κάθετα

(Μονάδες 10)

i) να υπολογίσετε το ur

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ 4Ο Έστω ότι η παραβολή C1: y

2=2px έχει εστία Ε , το κέντρο του κύκλου C2: x

2+y2-2x-4=0

Α . Να βρείτε την παράμετρο p της παραβολής C1 . (Μονάδες 6)

Β. Για p=2 i. να βρείτε τις εφαπτομένες της παραβολής C1 που διέρχονται από το σημείο

Α(0,2) . (Μονάδες 10)

ii. Nα βρείτε εκείνη την ευθεία του ερωτήματος ( i) που εφάπτεται και στονκύκλο C2 . (Μονάδες 9)

Προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 2009

Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Τάξη: Β Λυκείου

Θέμα 1ο Α) Δίνονται τα διανύσματα βα

rr, συναρτήσει των συντεταγμένων τους ώστε

),( 21 αα=αr

και ),( 21 ββ=βr

. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο τους

εκφράζεται μέσω των συντεταγμένων τους από τον τύπο 2121 ββ+αα=β⋅αrr

(Μονάδες 15)

Β) Να χαρακτηρίσετε (στο απαντητικό φύλλο) τις παρακάτω προτάσεις σαν

σωστές (Σ) ή λάθος (Λ)

α) Αν για δύο μη μηδενικά διανύσματα →→

βα , ισχύει ότι βα=β⋅αrrrr

τότε είναι

β↑↑α . Σ Λ

β) Κάθε ευθεία που βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο μπορεί να παρασταθεί από

την εξίσωση )xx(yy 00 −λ=− Σ Λ

γ) Η εξίσωση 0ByAxyx 22 =Γ++++ όπου 0,B,A ≠Γ παριστάνει πάντα ένα

κύκλο στο επίπεδο. Σ Λ

δ) Αν α, β ακέραιοι αριθμοί και ισχύει ότι βα | και αβ |

τότε είναι α=β Σ Λ

ε) Η ευθεία με εξίσωση 0ByAx =Γ++ είναι κάθετη στο

διάνυσμα ),( ΑΒ=δr

Σ Λ

(Μονάδες 10)

Θέμα 2ο Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση (C): 0218622 =+−++ yxyx

Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του. (Μονάδες 5)

Β) Να βρείτε την απόσταση του κέντρου του από την αρχή των αξόνων

(Μονάδες 10)

Γ) Να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο με

εξίσωση 922 =+ yx . (Μονάδες 10)

Θέμα 3ο Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με την κορυφή Β να έχει συντεταγμένες Β(-2,1). Αν η πλευρά

ΑΓ έχει εξίσωση 1+=xy και η διάμεσος ΑΜ έχει εξίσωση 53 += xy , να βρείτε:

α) Τις συντεταγμένες της κορυφής Α και Γ. (5 Μονάδες)

β) Τις συντεταγμένες της κορυφής Γ (10 Μονάδες)

γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (10 Μονάδες)

Θέμα 4ο Α) Αν 5|13 +α και β−25|13 να αποδείξετε ότι β+α5|13 (10 Μονάδες)

Β) Δίνονται τέσσερεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί α, β, γ, δ. Να αποδείξετε ότι:

α) Ο αριθμός βγ-αδ=2 . (8 Μονάδες)

β) Ο αριθμός βδ-αγ είναι περιττός . (7 Μονάδες)