Extra 4 Pengantar Teori Modul - dian-ariesta...
Transcript of Extra 4 Pengantar Teori Modul - dian-ariesta...
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
1
Extra 4
Pengantar Teori Modul
Apabila selama ini dikenalkan suatu konsep aljabar mengenai ruang vektor, maka modul
merupakan perumuman dari ruang vektor. Pada modul, syarat skalar diperumum menjadi elemen
pada suatu ring dan bukan lapangan. Dengan demikian ruang vektor merupakan suatu kasus
khusus dari modul dan karena sifat modul yang lebih luas dari ruang vektor maka ada berbagai
sifat-sifat trivial pada ruang vektor menjadi non-trivial pada modul. Untuk mengawali
pembahasan mengenai modul, berikut diberikan definisi tentang modul kanan dan modul kiri.
1. Pengertian Umum Modul dan Submodul
Definisi E4.1 (Modul Kiri)
Diberikan grup Abelian ( , )M + dan ring ( , , )R + ⋅ . Serta diberikan pula operasi biner (disebut
pergandaan skalar) *: R M M× → . Himpunan M disebut modul kiri atas R
(dinotasikan M R-Modul), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :
1. 1 2 1 2*( ) * *r m m r m r m+ = + , 1 2,m m M∀ ∈ r R∀ ∈
2. 1 2 1 2( )* * *r r m r m r m+ = + , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈
3. 1 2 1 2( )* *( * )r r m r r m⋅ = , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈ .
Contoh E4.2
Diberikan ruang vektor 3 dan himpunan seluruh matriks bilangan real berukuran 3x3
11 12 13
3 3 21 22 23
31 32 33
x ij
a a aM a a a a
a a a
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
Diberikan pula operasi biner 3 33 3*: xM × → sebagai operasi pergandaan matriks dengan
vektor.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
2
Diketahui 3 adalah grup Abelian dan 3 3xM adalah ring. Serta operasi pergandaan matriks
dengan vektor adalah operasi biner. Akan ditunjukkan bahwa ketiga aksioma dipenuhi.
Menggunakan sifat pergandaan matriks dengan vektor :
1. Untuk sebarang matriks 11 12 13
21 22 23 3 3
31 32 33
x
a a aa a a Ma a a
⎡ ⎤⎢ ⎥∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
dan vektor 1 1
32 2
3 3
,x yx yx y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 13 1 1 11 12 13 1 11 12 13 1
21 22 23 2 2 21 22 23 2 21 22 23 2
31 32 33 3 3 31 32 33 3 31 32 33 3
a a a x y a a a x a a a ya a a x y a a a x a a a ya a a x y a a a x a a a y
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. Untuk sebarang matriks 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 3 3
31 32 33 31 32 33
, x
a a a b b ba a a b b b Ma a a b b b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
dan vektor 1
32
3
xxx
⎡ ⎤⎢ ⎥∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 11 12 12 13 13 1 11 12 13 1 11 12 13 1
21 21 22 22 23 23 2 21 22 23 2 21 22 23 2
31 31 32 32 33 33 3 31 32 33 3 31 32 33 3
a b a b a b x a a a x b b b xa b a b a b x a a a x b b b xa a a b a b x a a a x b b b x
+ + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3. Untuk sebarang matriks 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 3 3
31 32 33 31 32 33
, x
a a a b b ba a a b b b Ma a a b b b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
dan vektor 1
32
3
xxx
⎡ ⎤⎢ ⎥∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 12 13 11 12 13 1 11 12 13 11 12 13 1
21 22 23 21 22 23 2 21 22 23 21 22 23 2
31 32 33 31 32 33 3 31 32 33 31 32 33 3
a a a b b b x a a a b b b xa a a b b b x a a a b b b xa a a b b b x a a a b b b x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎟
Akibatnya 3 = 3 3xM −Modul.
Diperhatikan bahwa operasi pergandaan 3 dengan 3 3xM pada contoh diatas dapat berlaku
karena vektor dari 3 direpresentasikan sebagai matriks vertikal. Bagaimana jika vektor pada 3 direpresentasikan sebagai matriks horizontal? Jelas bahwa jika vektor pada 3
direpresentasikan sebagai matriks horizontal maka operasi pergandaan pada contoh diatas tidak
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
3
dapat berlaku. Namun 3 dengan vektornya sebagai matriks horizontal tetap dapat menjadi
modul atas ring 3 3xM jika operasi pergandaannya diubah, yakni matriks dioperasikan dengan
vektor dari sisi kanan. Dari contoh tersebut dapat dinyatakan suatu definisi baru.
Definisi E4.3 (Modul Kanan)
Diberikan grup Abelian ( , )M + dan ring ( , , )R + ⋅ . Serta diberikan pula operasi pergandaan
skalar *: M R M× → . Himpunan M disebut modul kanan atas R
(dinotasikan M Modul-R), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :
1. 1 2 1 2( )* * *m m r m r m r+ = + , 1 2,m m M∀ ∈ r R∀ ∈
2. 1 2 1 2*( ) * *m r r m r m r+ = + , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈
3. ( )1 2 21*( ) * *m r r m r r⋅ = , m M∀ ∈ 1 2,r r R∀ ∈ .
Akan tetapi tidak menutup kemungkinan bahwa operasi pergandaan skalar pada modul
dapat berlaku dari kiri dan sekaligus dari kanan. Sifat modul dengan operasi pergandaan tersebut
dapat dinyatakan sebagai definisi.
Definisi E4.4 (Bi-Modul)
Diberikan grup Abelian ( , )M + dan ring ( , , )R + ⋅ . Jika M adalah modul kiri sekaligus modul
kanan atas R maka M disebut Bi-Modul.
Contoh E4.5
Himpunan seluruh bilangan bulat merupakan Bi-Modul dengan ring dan operasi
pergandaan perkalian bilangan bulat.
Jika ring pada modul merupakan ring dengan elemen satuan, maka dapat dimunculkan
suatu definisi baru.
Definisi E4.6 (Modul Uniter Kiri)
Diketahui M R-Modul dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kiri jika
dan hanya jika untuk setiap m M∈ berlaku 1 *R m m= dengan 1R merupakan elemen satuan di
R.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
4
Definisi E4.7 (Modul Uniter Kanan)
Diketahui M Modul-R dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kanan
jika dan hanya jika untuk setiap m M∈ berlaku *1Rm m= dengan 1R merupakan elemen
satuan di R.
Contoh E4.8
Himpunan seluruh bilangan bulat merupakan Bi-Modul Uniter dengan ring dan operasi
pergandaan perkalian bilangan bulat.
Untuk mempermudah penulisan, notasi a b∗ akan ditulis ab . Harap diperhatikan bahwa
untuk seterusnya pembahasan mengenai modul di tulisan ini mengacu kepada modul uniter kiri
dan dengan penalaran yang serupa pembahasan dapat diterapkan juga pada modul uniter kanan.
Selanjutnya, akan diperkenalkan suatu struktur dari suatu modul yang disebut submodul.
Definisi E4.9 (Submodul)
Diketahui M R-Modul, R ring dengan elemen satuan, dan N M⊆ , maka N disebut submodul
dari M jika dan hanya jika ketiga aksioma berikut dipenuhi:
1. N merupakan subgrup Abelian dari M
2. Operasi pergandaan skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N
3. N memenuhi aksioma-aksioma modul uniter.
Jika N merupakan submodul dari M, maka N dapat dinyatakan sebagai R-Modul.
Contoh E4.10
Pada −Modul, himpunan 3 merupakan submodul dari .
Untuk selanjutnya, ring R pada M R-Modul diasumsikan sebagai ring dengan elemen satuan.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
5
Teorema berikut dapat dipergunakan untuk menelaah apakah suatu himpunan merupakan
submodul.
Teorema E4.11
Diketahui M R-Modul dan N M⊆ , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika
memenuhi dua syarat berikut:
1. 1 2n n N− ∈ , 1 2,n n N∀ ∈
2. rn N∈ , n N∀ ∈ r R∀ ∈
Bukti.
( )⇒
Diketahui bahwa N adalah submodul dari modul M. Dengan demikian N adalah subgrup Abelian
dari M dan akibatnya untuk setiap 1 2,n n N∈ , berlaku 1 2n n N− ∈ . Karena operasi pergandaan
skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N, maka untuk setiap n N∈ dan r R∈ , berlaku
rn N∈ .
( )⇐
Karena untuk setiap 1 2,n n N∈ berlaku 1 2n n N− ∈ , maka menurut Teorema 1.19 N merupakan
subgrup Abelian dari M. Selanjutnya, karena rn N∈ untuk setiap n N∈ dan r R∈ maka
operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N. Terakhir, karena N merupakan himpunan
bagian dari M dan operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N maka aksioma-aksioma
modul uniter di M juga berlaku di N. Jadi, N merupakan submodul dari M.
Jika diketahui dua submodul dari suatu modul, maka dapat dibentuk submodul baru dari
kedua submodul tersebut. Teorema berikut menyatakan hal tersebut.
Teorema E4.12
Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M, maka kedua sifat
berikut berlaku:
1. H K∩ merupakan submodul dari M
2. H K+ merupakan submodul dari M.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
6
Bukti.
(1)
Akan ditunjukkan H K∩ adalah submodul dari M, yaitu H K∩ memenuhi Teorema E4.11.
Diambil sebarang 1 2,n n H K∈ ∩ maka 1 2,n n H∈ dan 1 2,n n K∈ . Karena H dan K adalah
submodul, maka 1 2n n H− ∈ dan 1 2n n K− ∈ . Akibatnya 1 2n n H K− ∈ ∩ . Selanjutnya, diambil
sebarang r R∈ , karena H dan K adalah submodul maka 1 2,rn rn H∈ dan 1 2,rn rn K∈ .
Akibatnya 1 2,rn rn H K∈ ∩ .
Jadi, terbukti bahwa H K∩ merupakan submodul dari M.
(2)
Akan ditunjukkan H K+ adalah submodul dari M, yaitu H K+ memenuhi Teorema E4.11.
Diperhatikan bahwa { } dan H K h k h H k K+ = + ∈ ∈ . Diambil sebarang 1 2,n n H K∈ + , maka
1 1 1n h k= + dan 2 2 2n h k= + untuk suatu 1 2,h h H∈ dan 1 2,k k K∈ . Karena H dan K adalah
submodul maka 1 2h h H− ∈ dan 1 2k k K− ∈ . Akibatnya
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n n h k h k h h k k H K− = + − + = − + − ∈ + . Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ .
Karena H dan K adalah submodul, maka 1rh H∈ dan 1,rk K∈ . Akibatnya
1 1 1 1 1( )rn r h k rh rk H K= + = + ∈ + .
Jadi, terbukti bahwa H K+ merupakan submodul dari M.
Contoh E4.13
Diberikan ring polinomial dengan peubah x dan koefisiennya bilangan bulat, [ ]x . Karena
adalah ring dengan elemen satuan maka [ ]x juga ring dengan elemen satuan. Karena ring
dengan elemen satuan adalah grup Abelian maka [ ]x adalah -Modul dengan operasi
pergandaan skalar dengan polinomial.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
7
Diambil sub-himpunan dari [ ]x , yaitu 0
[ ] ii i
in x a x a n
∞
=
⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ . Akan ditunjukkan bahwa
[ ]n x adalah submodul dari [ ]x . Diambil sebarang , [ ]x y n x∈ maka 0
ii
ix a x
∞
=
=∑ dan
0
ii
iy b x
∞
=
=∑ untuk ,i ia b n∈ , sehingga 0 0 0
( )i i ii i i i
i i ix y a x b x a b x
∞ ∞ ∞
= = =
− = − = −∑ ∑ ∑ untuk suatu
i ia b n− ∈ , akibatnya [ ]x y n x− ∈ . Untuk sebarang m∈ dan 0
ii
ix a x
∞
=
=∑ ,
0 0( )i i
i ii i
mx m a x ma x∞ ∞
= =
= =∑ ∑ untuk suatu ima n∈ , akibatnya [ ]mx n x∈ .
Diperhatikan bahwa 2 [ ]x dan 5 [ ]x merupakan submodul dari [ ]x . Dengan demikian
menurut Teorema E4.12 berlaku:
1. 2 [ ] 5 [ ] 10 [ ]x x x∩ =
2. 2 [ ] 5 [ ] [ ]x x x+ =
Diperhatikan bahwa 2 [ ] 5 [ ]x x∪ bukanlah submodul dari M. Karena untuk 2 2 [ ]x x∈ dan
5 5 [ ]x x∈ , 5 2 3 2 [ ] 5 [ ]x x x x x− = ∉ ∪ .
Dari definisi-definisi beserta teorema-teorema diatas dapat diperoleh kesimpulan sebagai
berikut:
1. Setiap ring merupakan modul atas dirinya sendiri, yaitu jika R ring maka R R-Modul.
2. Jika R dipandang sebagai R-Modul, maka setiap ideal pada R merupakan submodul di R.
3. Setiap ruang vektor merupakan modul.
Untuk contoh-contoh selanjutnya, submodul pada -Modul akan selalu berbentuk n
dengan n merupakan bilangan bulat. Untuk menujukkan kebenaran pernyataan ini dapat
menggunakan sifat Daerah Ideal Utama, yaitu setiap ideal pada dibangun oleh tepat satu
elemen. Terkait dengan pembangun suatu submodul, subbab selanjutnya akan membahas
pembangun suatu submodul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
8
2. Modul Faktor dan Homomorfisma
Misalkan diketahui M R-Modul. Karena M grup Abelian, maka sebarang subgrup dari M
juga merupakan grup Abelian. Misalkan N merupakan sebarang subgrup dari M. Karena N
subgrup Abelian, maka N merupakan subgrup normal terhadap M, yaitu aN Na= untuk setiap
a M∈ . Dengan demikian menurut Teorema E3.17, { }M N a N a M= + ∈ merupakan grup
terhadap operasi biner ( ) ( ) ( )a N b N a b N+ + + = + + . Karena M grup Abelian, maka jelas
bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a N b N a b N b a N b N a N+ + + = + + = + + = + + + . Jadi, M N merupakan
grup Abelian terhadap operasi penjumlahan koset.
Teorema E4.14
Diketahui M R-Modul, N sebarang submodul dari M, dan R ring dengan elemen satuan, maka
M N R -Modul terhadap operasi pergandaan koset ( ) ( )r a N ra N+ = + untuk setiap r R∈
dan aN M N∈ . Selanjutnya, M N disebut dengan modul faktor.
Bukti.
Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan koset diatas merupakan operasi biner. Pertama
akan ditunjukkan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang
, a N b N M N+ + ∈ dengan a N b N+ = + . Menggunakan sifat kesamaan dua koset diperoleh
a b N− ∈ . Karena N submodul, maka untuk sebarang r R∈ berlaku, ( )r a b ra rb N− = − ∈ .
Dengan kata lain ( ) ( )ra N rb N+ = + , sesuai dengan definsi operasi pergandaan koset
( ) ( )r a N r b N+ = + . Terbukti operasi ini terdefinisi dengan baik. Kedua, operasi ini tertutup
karena ra M∈ untuk sebarang r R∈ dan a M∈ dan dengan demikian berlaku
( ) ( )r a N ra N M N+ = + ∈ . Jadi, operasi pergandaan koset merupakan operasi biner.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
9
Terakhir, diberikan sebarang , a N b N M N+ + ∈ dan 1 2, ,r r r R∈ . Akan ditunjukkan bahwa
operasi pergandaan koset memenuhi aksioma pergandaan skalar :
1.
2.
3.
4.
Jadi, terbukti bahwa M N merupakan modul atas R.
Contoh E4.15
Pada -Modul dapat dipilih submodul 6 dan dibentuk grup abelian
{ }6 0 6 , 1 6 , 2 6 , 3 6 , 4 6 , 5 6= + + + + + + . Himpunan 6 merupakan modul
atas dengan operasi pergandaan skalar ( ) ( )6 6r a ra+ = + untuk setiap r∈ dan
6 6a + ∈ .
( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
r a N b N r a b N
r a b N
ra rb N
ra N rb N
r a N r b N
+ + + = + +
= + +
= + +
= + + +
= + + +
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
r r a N r r a N
r a r a N
r a N r a N
r a N r a N
+ + = + +
= + +
= + + +
= + + +
( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
r r a N r r a N
r r a N
r r a N
r r a N
+ = +
= +
= +
= +
( ) ( )1 1.
R Ra N a Na N
+ = +
= +
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
10
Modul faktor merupakan salah satu sifat yang digunakan pada pembahasan mengenai
teorema utama homomorfisma. Berikut diberikan pengertian mengenai homomorfisma, yaitu
suatu pemetaan dari suatu modul ke modul lain yang “mengawetkan” sifat-sifat operasi
pergandaan skalar di kedua modul.
Definisi E4.16 (Homomorfisma Modul)
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul. Pemetaan : 'M Mφ → disebut homomorfisma modul
jika dan hanya jika memenuhi kedua syarat berikut:
1. 1 2 1 2( ) ( ) ( )m m m mφ φ φ+ = + , untuk setiap 1 2,m m M∈
2. ( ) ( )rm r mφ φ= , untuk setiap m M∈ dan r R∈ .
Contoh E4.17
Diketahui dan [ ]x keduanya merupakan -Modul. Pemetaan [ ]: xφ → dengan definisi
( ) 3a axφ = merupakan homomorfisma modul, karena
1. ( ) 3 3 3( ) ( ) ( )a b a b x ax bx a bφ φ φ+ = + = + = + , untuk setiap ,a b∈
2. ( ) ( )3( ) ( )ra ra x r ax r aφ φ= = = , untuk setiap a∈ dan r∈ .
Berikut diberikan lemma mengenai sifat-sifat homomorfisma modul.
Lemma E4.18
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul, maka
keempat sifat berikut berlaku:
1. Jika 0M merupakan elemen identitas di M, maka ( ) '0 0M Mφ =
2. Jika a M∈ , maka ( ) ( )a aφ φ− = −
3. Jika H merupakan sumodul dari M, maka ( )Hφ merupakan submodul dari 'M
4. Jika 'K merupakan submodul dari 'M , maka ( )1 'Kφ− merupakan submodul dari M.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
11
Bukti.
(1)
Misalkan 0M merupakan elemen identitas di M, yaitu 0 0M Ma a a+ = + = untuk setiap a M∈ .
Karena 0 0M Ma a a+ = + = , maka berlaku ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ+ = + = . Karena φ
homomorfisma, maka diperoleh:
i. ( ) ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ φ+ = + = dan
ii. ( ) ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ φ+ = + = .
Jadi, diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0M Ma a aφ φ φ φ φ+ = + = untuk setiap a M∈ dan dengan demikian
( ) '0 0M Mφ = yaitu elemen identitas di 'M .
(2)
Diambil sebarang a M∈ dan dengan demikian diperoleh ( ) ( ) 0Ma a a a+ − = − + = . Karena
( ) ( ) 0Ma a a a+ − = − + = , maka berlaku ( )( ) ( )( ) ( )0Ma a a aφ φ φ+ − = − + = . Karena φ
homomorfisma dan menurut (1) berlaku ( ) '0 0M Mφ = , maka diperoleh:
i. ( )( ) ( ) ( ) '0Ma a a aφ φ φ+ − = + − = dan
ii. ( )( ) ( ) ( ) '0Ma a a aφ φ φ− + = − + = .
Jadi, diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) '0Ma a a aφ φ φ φ+ − = − + = untuk setiap a M∈ dan dengan demikian
berlaku ( ) ( )a aφ φ− = − .
(3)
Diambil sebarang ( ),a b Hφ∈ , maka ( )a xφ= dan ( )b yφ= untuk suatu ,x y H∈ .
Diperhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b x y x y x yφ φ φ φ φ− = − = + − = − . Karena H submodul dan
,x y H∈ , maka menurut Teorema E4.11 berlaku x y H− ∈ dan dengan demikian
( ) ( )a b x y Hφ φ− = − ∈ . Diambil sebarang r R∈ dan diperhatikan bahwa ( ) ( )ra r x rxφ φ= = .
Karena H submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku rx H∈ dan dengan demikian
( ) ( )ra rx Hφ φ= ∈ . Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa ( )Hφ merupakan submodul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
12
(4)
Diambil sebarang ( )1, 'a b Kφ−∈ , maka ( ) 1a kφ = dan ( ) 2b kφ = untuk suatu 1 2, 'k k K∈ . Karena
'K submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku 1 2 'k k K− ∈ dan dengan demikian
( ) ( ) ( )1 2 'k k a b a b Kφ φ φ− = − = − ∈ . Sehingga berlaku ( )1 'a b Kφ−− ∈ . Diambil sebarang
r R∈ dan diperhatikan bahwa ( ) ( )1rk r a raφ φ= = . Karena 'K submodul, maka menurut
Teorema E4.11 berlaku ( )1 'rk ra Kφ= ∈ dan dengan demikian ( )1 'ra Kφ−∈ . Jadi, menurut
Teorema E4.11 terbukti bahwa ( )1 'Kφ− merupakan submodul.
Berikut diberikan definisi mengenai Kernel dan Image suatu homomorfisma beserta sifat-
sifatnya.
Definisi E4.19 (Kernel dan Image Homomorfisma)
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul, maka
1. Kernel φ = { }'( ) 0Mm M mφ∈ = dan
2. Image φ = { }( ) 'm M m Mφ ∈ ∈ .
Selanjutnya, kernel φ dinotasikan ( )ker φ .
Contoh E4.20
Pada Contoh E4.17 diketahui ( ) { }ker 0φ = dan ( ) { }3image ax aφ = ∈ .
Lemma E4.21
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul, maka
1. ( )ker φ merupakan submodul dari M dan
2. ( )image φ merupakan submodul dari 'M .
Bukti.
Diperhatikan bahwa ( )ker φ bukan himpunan kosong, karena ( )0 kerM φ∈ . Selanjutnya, diambil
sebarang ( )1 2, kerk k φ∈ . Karena φ adalah homomorfisma modul maka berlaku,
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
13
1 2 1 2 ' ' '( ) ( ) ( ) 0 0 0M M Mk k k kφ φ φ− = − = − = dan dengan demikian ( )1 2 kerk k φ− ∈ . Terakhir
diambil sebarang r R∈ dan ( )kerk φ∈ . Karena φ adalah homomorfisma modul maka
' '( ) ( ) 0 0M Mrk r k rφ φ= = = dan dengan demikian ( )kerrk φ∈ . Jadi, menurut Teorema E4.11
( )ker φ merupakan submodul dari M.
Diperhatikan bahwa ( )image φ bukan himpunan kosong karena ( )'0 imageM φ∈ . Selanjutnya,
diambil sebarang ( ), imagex y φ∈ . Maka 1( )x mφ= dan 2( )y mφ= untuk suatu 1 2,m m M∈ .
Karena φ adalah homomorfisma modul maka 1 2 1 2( ) ( ) ( )x y m m m mφ φ φ− = − = − . Karena M
modul, maka 1 2m m M− ∈ dan dengan demikian ( )1 2( ) imagex y m mφ φ− = − ∈ . Terakhir
diambil sebarang r R∈ dan ( )imagex φ∈ , maka ( )x mφ= untuk suatu m M∈ . Karena φ
adalah homomorfisma modul, maka ( ) ( )rx r m rmφ φ= = . Karena M modul, maka rm M∈ dan
dengan demikian ( ) ( )imagerx rmφ φ= ∈ . Jadi, menurut Teorema E4.11 ( )image φ merupakan
submodul dari 'M .
Definisi mengenai isomorfisma berikut, akan mengawali pembahasan mengenai Teorema
Utama Homomorfisma Modul.
Definisi E4.22 (Isomorfisma)
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul. Jika
φ adalah pemetaan bijektif, yaitu φ pemetaan injektif sekaligus surjektif, maka pemetaan φ
disebut isomorfisma modul.
Contoh E4.23
Diketahui -Modul, maka pemetaan :ϕ → dengan ( )a aϕ = − , untuk setiap a∈
merupakan isomorfisma modul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
14
Teorema E4.24
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul
dengan ( )ker Hφ = . Maka pemetaan ( ): M H Mμ ϕ→ yang didefinisikan ( ) ( )a H aμ φ+ =
untuk setiap a H M H+ ∈ merupakan isomorfisma modul.
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.13.
Teorema E4.25
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul
dengan ( )ker Hφ = . Maka pemetaan : M M Hγ → yang didefinisikan ( )a a Hγ = + untuk
setiap a M∈ merupakan homomorfisma surjektif.
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.14.
Dari Teorema E4.24 dan E4.25, dapat dibentuk langkah-langkah sebagai berikut:
1. Diketahui M dan 'M merupakan R-Modul
2. Diketahui : 'M Mφ → homomorfisma modul
3. Diketahui ( ) 'M Mφ ⊆
4. Dari Teorema E4.14, diperoleh ( )kerM φ merupakan R-Modul
5. Dari Teorema E4.25, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari M ke
( )kerM φ
6. Dari Teorema E4.24, dapat dibentuk suatu isomorfisma dari ( )kerM φ ke ( )Mφ .
Diperhatikan langkah 4, 5, dan 6. Jika a M∈ , maka untuk memetakan elemen a ke 'M melalui
suatu pemetaan homomorfisma modul, tidak harus melalui pemetaan φ . Dari langkah 4, 5, dan
6, untuk memetakan elemen a ke 'M dapat pula melalui pemetaan γ dan μ yang keduanya
merupakan pemetaan homomorfisma modul. Pertama, elemen a dipetakan terlebih dahulu ke
grup ( )kerM φ melalui pemetaan γ , hasil petanya adalah ( )aγ . Selanjutnya, elemen ( )aγ
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
15
dipetakan ke ( ) 'M Mφ ⊆ melalui pemetaan μ , hasil petanya adalah ( )( ) ( )( )a aμ γ μ γ= .
Jadi, menggunakan langkah-langkah tersebut elemen a tidak langsung dipetakan ke 'M melalui
pemetaan φ , melainkan harus “singgah sejenak” di modul ( )kerM φ untuk kemudian dipetakan
ke 'M melalui pemetaan μ γ . Tetapi yang terpenting adalah modul ( )kerM φ dan ( )Mφ
isomorfis, yaitu ada suatu isomorfisma dari ( )kerM φ ke ( )Mφ . Sifat tersebut dapat
dinyatakan ke dalam sebuah teorema.
Teorema E4.26 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 1)
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul, maka
terdapat suatu isomorfisma modul dari ( )kerM φ ke ( )Mφ .
Jika φ merupakan pemetaan surjektif akan diperoleh ( ) 'M Mφ = dan Teorema E4.26
dapat berubah menjadi seperti berikut.
Teorema E4.27
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul yang
surjektif, maka terdapat suatu isomorfisma modul dari ( )kerM φ ke 'M .
Teorema Utama Homomorfisma Modul pada dasarnya merupakan kasus khusus dari
Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring. Karena itu terdapat juga Teorema ke-2 dan ke-3
mengenai Teorema Utama Homomorfisma Modul. Pembuktian untuk kedua teorema tersebut
serupa dengan pembuktian untuk Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring.
Teorema E4.28 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 2)
Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M, maka terdapat
suatu ismomorfisma modul dari ( )H N N+ ke ( )H H N∩ .
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.21.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
16
Teorema E4.29 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 3)
Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M. Jika H juga
submodul dari N, maka terdapat suatu ismomorfisma modul dari M N ke ( ) ( )M H N H .
Bukti.
Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.22.
Teorema E4.30
Diketahui M dan 'M adalah R-Modul dan : 'M Mφ → merupakan homomorfisma modul, maka
untuk sebarang submodul 'K dari 'M berlaku:
1. Submodul ( )1 'Kφ− memuat ( )ker φ .
2. Jika terdapat submodul H dari M yang memuat ( )ker φ dan ( ) 'H Kφ = maka
( )1 'K Hφ− = .
Bukti.
(1)
Karena '0 'M M∈ , elemen identitas di 'M , termuat pada 'K maka ( )1 'Kφ− memuat setiap
anggota M yang dipetakan ke '0M . Dengan kata lain ( )1 'Kφ− memuat ( )ker φ .
(2)
Misalkan H merupakan submodul dari M dengan ( )ker Hφ ⊆ dan ( ) 'H Kφ = .
Karena ( ) 'H Kφ = , maka jelas bahwa ( )1 'H Kφ−⊆ . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
( )1 'K Hφ− ⊆ . Diambil sebarang 'k K∈ .
Karena ( )1 'K Hφ− = dan ( )( )1 ' 'K Kφ φ− = , maka ( ) ( )k h xφ φ= = , untuk suatu h H∈ dan
( )1 'x Kφ−∈ . Karena ( ) ( )h xφ φ= , maka diperoleh ( ) ( ) '0 'Mh x Kφ φ− = ∈ .
Karena φ homomorfisma, diperoleh ( ) ( ) ( )h x h xφ φ φ− = − . Dengan demikian, ( ) '0Mh xφ − =
atau dengan kata lain ( )kerh x φ− ∈ . Karena ( )ker Hφ ⊆ , akibatnya h x H− ∈ . Karena h H− ∈
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
17
dan h x H− ∈ , akibatnya ( ) ( ) 0Mh h x h h x x x H− + − = − + − = − = − ∈ . Karena x H− ∈ dan H
submodul, maka x H∈ . Karena pemilihan k sebarang dan ( ) 'H Kφ = , berakibat ( )1 'K Hφ− ⊆ .
Jadi, karena berlaku ( )1 'H Kφ−⊆ dan ( )1 'K Hφ− ⊆ , maka ( )1 'K Hφ− = .
Teorema E4.31 (Teorema Korespondensi)
Diketahui M dan 'M dan , H K , serta N merupakan submodul dari M. Jika submodul H dan K
memuat N dan berlaku H N K N= , maka H K= .
Bukti.
Karena N merupakan submodul dari M, maka menurut Teorema E4.14 M N merupakan R-
Modul. Dibentuk homomorfisma : M M Nφ → , dengan definisi ( )a a Nφ = + untuk setiap
a M∈ dan jelas bahwa ( )ker Nφ = . Diperhatikan bahwa φ merupakan pemetaan surjektif,
karena untuk sebarang a N M N+ ∈ dapat dipilih x M∈ dengan x a= sehingga ( )a a Nφ = + .
Karena H dan K merupakan submodul dari M dan φ merupakan pemetaan surjektif, maka jelas
bahwa ( )H H Nφ = dan ( )K K Nφ = . Karena submodul H memuat ( )kerN φ= dan
( )H H N K Nφ = = , maka menurut Teorema E4.32 (ii) berakibat ( )1 K N Hφ− = . Karena
( )1 K N Kφ− = , maka diperoleh H K= .
Contoh E4.32
Pada -Modul, akan ditunjukkan bahwa ( )m
n mn≅ dengan m dan n saling relatif
prima. Diperhatikan dahulu bahwa
1. a b d+ = , dengan ( )gcd ,d a b=
2. a b c∩ = , dengan ( )lcm ,c a b=
dengan gcd merupakan faktor persekutuan terbesar dan lcm merupakan kelipatan persekutuan
terkecil. Selanjutnya, dimisalkan N n= dan H m= . Karena m dan n saling relatif prima,
maka ( )gcd , 1n m = dan ( )lcm ,n m mn= . Dengan demikian H N m n+ = + = dan
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
18
( )H N m n mn∩ = ∩ = . Sehingga menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 3
diperoleh ( )( )
H N HN H N
+ ≅ ⇔∩ ( )m
n mn≅ .
3. Elemen Torsi dan Annihilator
Sesuai definisi modul, suatu ring dengan elemen satuan dapat dipandang sebagai modul
atas dirinya sendiri. Diperhatikan pada kasus ketika ring tersebut memuat elemen pembagi nol.
Ingat kembali bahwa elemen pembagi nol pada suatu ring adalah elemen a dan b yang keduanya
tidak nol dengan 0ab = . Keberadaan elemen pembagi nol ini akan memunculkan sifat pada
modul yang tidak terdapat pada ruang vektor. Hal tersebut dikarenakan skalar pada ruang vektor
merupakan elemen lapangan yang setiap elemennya bukan merupakan pembagi nol.
Definisi E4.33 (Elemen Torsi)
Diberikan M R-Modul, elemen m M∈ disebut elemen torsi jika dan hanya jika terdapat
{ }0Rr R∈ − sehingga 0Mrm = . Dengan demikian 0M M∈ merupakan elemen torsi.
Definisi E4.34 (Modul Torsi)
Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul torsi jika dan hanya jika setiap elemennya
merupakan elemen torsi.
Definisi E4.35 (Modul Bebas Torsi)
Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul bebas torsi jika dan hanya jika M memiliki tepat
satu elemen torsi, yaitu 0M M∈ .
Contoh E4.36
Diketahui ring 8 merupakan modul atas ring dan juga atas dirinya sendiri. Jika 8
dipandang sebagai -Modul, maka seluruh elemen pada 8 merupakan elemen torsi dan
dengan demikian 8 merupakan modul torsi. Karena dapat dipilih 8∈ sehingga
( )8 8 0 8a + = + untuk setiap 8 8a + ∈ . Jika 8 dipandang sebagai modul atas
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
19
dirinya sendiri, maka elemen torsinya adalah 0 8 , 2 8 , 4 8 , dan 6 8+ + + + . Diperhatikan
bahwa dengan mengganti ring yang menyertai modul, maka elemen-elemen torsi dapat berubah.
Dari definisi elemen torsi, jika diberikan suatu M R-Modul maka dapat dihimpun semua
elemen torsi pada modul M tersebut. Misalkan TM merupakan himpunan seluruh elemen torsi
modul M. Teorema-teorema berikut menyatakan sifat himpunan TM .
Teorema E4.37
Diketahui M R-Modul dan TM himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral,
maka TM merupakan submodul dari M.
Bukti.
Diambil sebarang 1 2, Tm m M∈ , maka terdapat { }1 2, 0Rr r R∈ − sehingga 1 1 2 2 0Mr m r m= = . Akan
ditunjukkan 1 2 Tm m M− ∈ . Karena R adalah daerah integral, maka R tidak memuat elemen
pembagi nol yaitu untuk setiap { }1 2, 0Rr r R∈ − , berlaku 1 2 0Rr r ≠ . Dengan demikian dapat dipilih
{ }3 1 2 0Rr r r R= ∈ − , sehingga 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )r m m r m r m r r m r r m− = − = − .
Karena R adalah daerah integral maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga
1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0M M Mr r m r r m r r m r r m r r m r r m r r− = − = − = − = .
Sehingga diperoleh 1 2 Tm m M− ∈ .
Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ dan Tm M∈ . Akan ditunjukkan Trm M∈ . Karena Tm M∈
maka terdapat { }0 0Rr R∈ − sedemikian sehingga 0 0Mr m = . Karena R adalah daerah integral
maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0 0M Mr rm r r m rr m r r m r= = = = = .
Sehingga diperoleh Trm M∈ .
Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa TM merupakan submodul dari M .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
20
Teorema E4.38
Diketahui M R-Modul dan TM himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral,
maka TM M merupakan modul bebas torsi.
Bukti.
Menurut Teorema E4.37, karena R daerah integral maka TM adalah submodul atas M sehingga
menurut Teorema E4.14 TM M adalah R-Modul. Andaikan TM M memiliki elemen torsi
0T M Tm M M+ ≠ + , maka terdapat { }0 0Rr R∈ − sehingga ( ) 0T M Tr m M M+ = + . Karena
( ) 0T T M Tr m M rm M M+ = + = + , akibatnya Trm M∈ . Karena Trm M∈ , maka terdapat
{ }0Rs R∈ − sedemikian sehingga ( ) ( ) 0Ms rm sr m= = . Karena R adalah daerah integral, maka
0Rsr ≠ , akibatnya 0Mm = dan dengan kata lain 0T M Tm M M+ = + .
Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa 0T M Tm M M+ ≠ + . Sehingga yang benar
TM M modul bebas torsi.
Jika elemen torsi merupakan elemen pada modul, maka dari kondisi 0Mrm = juga dapat
dihimpun elemen pada ring yang menyebabkan kondisi tersebut berlaku.
Definisi E4.37 (Annihilator)
Diberikan M R-Modul dan X M⊆ . Annihilator atas X, dinotasikan dengan ( )ann X ,
didefinisikan sebagai ( ) { }0 untuk setiap Mann X r R rx x X= ∈ = ∈ .
Contoh E4.38
Diketahui ring 8 merupakan modul atas ring dan { }2 8 , 6 8X = + + maka
( )ann 4X =
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
21
Lemma E4.39
Diberikan M R-Modul dan X M⊆ , maka ( )ann X merupakan ideal kiri di R.
Bukti.
Diambil sebarang ( ), anna b X∈ , maka 0Max bx= = untuk setiap x X∈ . Dengan demikian
( ) 0 0 0M M Ma b x ax bx− = − = − = untuk setiap x X∈ . Sehingga diperoleh ( )anna b X− ∈ .
Diambil sebarang r R∈ , diperhatikan bahwa ( ) ( ) 0 0M Mra x r ax r= = = untuk setiap x X∈ dan
dengan demikian ( )annra X∈ . Jadi, ( )ann X merupakan ideal kiri di R.
Akibat E4.40
Diberikan M R-Modul dan X M⊆ . Jika R ring komutatif, maka ( )ann X merupakan ideal kiri
sekaligus ideal kanan di R.
Untuk selanjutnya, ideal yang dimaksud pada tulisan ini merupakan ideal kiri yang juga
merupakan ideal kanan.
4. Pembangun Submodul dan Modul Bebas
Apabila diketahui X merupakan suatu himpunan bagian dari M R-Modul, maka dapat
dibentuk suatu submodul dari M yang dibangun oleh X. Submodul tersebut merupakan
submodul terkecil dari M yang memuat X. Definisi berikut menyatakan hal tersebut.
Definisi E4.41 (Submodul yang Dibangun oleh X)
Diketahui M R-Modul dan X M⊆ . Submodul N merupakan submodul yang dibangun oleh X
jika dan hanya jika I
N I∈
=∩I
dengan { } submodul dari I M X I= ⊆I .
Untuk selanjutnya, submodul yang dibangun oleh X dinotasikan dengan X .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
22
Contoh E4.42
Pada -Modul, dipilih himpunan { }2, 4,6X = ⊂ . Karena submodul pada berbentuk
n maka submodul-submodul dari yang memuat X adalah 2 dan sendiri, dengan
demikian { }2 , =I . Sehingga submodul yang dibangun oleh X adalah 2 2∩ = .
Teorema E4.43
Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M maka H K+
merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.
Bukti.
Pada Teorema E4.12 telah dinyatakan bahwa H K+ merupakan submodul dari M. Diperhatikan
bahwa untuk sebarang h H∈ dapat dipilih 0Mk = sehingga 0Mh h h k H K= + = + ∈ + dan
dengan demikian H H K⊆ + . Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa
K H K⊆ + dan dengan demikian berlaku H K H K∪ ⊆ + .
Andaikan ada submodul S dengan H K S∪ ⊆ . Karena ,H K H K⊆ ∪ akibatnya H S⊆ dan
K S⊆ . Karena S merupakan submodul, maka untuk setiap h H∈ dan k K∈ berlaku h k S+ ∈ .
Dengan kata lain H K S+ ⊆ .
Jadi, terbukti bahwa H K+ merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.
Akibat E4.44
Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M maka
H K H K∪ = + .
Teorema E4.45
Diketahui M R-Modul, jika X = ∅ maka { }0MX = .
Bukti.
Diperhatikan bahwa untuk setiap himpunan bagian N M⊆ , maka N∅⊆ . Dengan demikian
untuk modul { }0M , juga berlaku { }0M∅⊂ dan akibatnya { }0M ∈ I . Karena setiap submodul
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
23
dari M selalu memuat elemen 0M , akibatnya 0MI
I∈
∈∩I
dan dengan demikian berlaku
{ }{ }
{ }0
0 0M
M MI
X I∈ −
⎧ ⎫⎪ ⎪= ∅ = ∩ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∩I
.
Teorema E4.46
Diketahui M R-Modul dan X M⊆ dengan X ≠ ∅ , maka berlaku
1, , dan
n
i i i ii
X r x n r R x X=
⎧ ⎫= ∈ ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ .
Bukti.
Misalkan 1
, , dan n
i i i ii
K r x n r R x X=
⎧ ⎫= ∈ ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ . Akan ditunjukkan bahwa K merupakan
submodul dari M . Diambil sebarang ,a b K∈ , maka 1
n
i ii
a r x=
=∑ dan 1
m
i ii
b s y=
=∑ untuk suatu
,i ir s R∈ dan ,i ix y X∈ . Diperhatikan bahwa 1 1 1
n m n m
i i i i j ji i j
a b r x s y k z+
= = =
− = − =∑ ∑ ∑ dengan
11
jj
j n
r j nk
s n j m−
≤ ≤⎧= ⎨ + ≤ ≤⎩
dan 1
1j
jj n
x j nz
y n j m−
≤ ≤⎧= ⎨ + ≤ ≤⎩
.
Sehingga diperoleh 1
n m
j jj
a b k z K+
=
− = ∈∑ .
Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ dan diperhatikan bahwa ( )1 1
n n
i i i ii i
ra r r x rr x K= =
⎛ ⎞= = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ .
Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa K merupakan submodul dari M. Karena X K⊆
dan X merupakan submodul terkecil yang memuat X, berakibat X K⊆ .
Karena X merupakan submodul terkecil yang memuat X, maka X X⊆ . Dengan demikian
untuk setiap r R∈ dan x X∈ berlaku rx X∈ . Akibatnya ,a b X∈ dan dengan demikian
K X⊆ .
Jadi, karena X K⊆ dan K X⊆ , maka berlaku K X= .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
24
Definisi E4.47 (Modul Siklik)
Diketahui M R-Modul. Jika terdapat a M∈ sehingga a M= maka modul M disebut modul
siklik.
Contoh E4.48
−Modul merupakan modul siklik karena 1 = .
Lemma E4.49
Diketahui M R-Modul siklik dan M a= untuk suatu a M∈ , maka ( )annM R a≅ .
Bukti.
Dibentuk pemetaan : R Mφ → dengan definisi ( )r raφ = . Pemetaan φ tersebut merupakan
homomorfisma modul yang surjektif dan jelas bahwa ( ) ( )ker ann aφ = . Jadi, menurut Teorema
Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku ( )annM R a≅ .
Definisi E4.50 (Rank Modul yang Dibangun Secara Berhingga)
Diketahui M R-Modul dan M X= untuk suatu X M⊆ . Jika X herupakan himpunan
berhingga maka modul M dikatakan dibangun secara berhingga dan rank dari M merupakan
banyaknya elemen dari himpunan pembangun M yang terkecil. Notasi ( )Mμ untuk selanjutnya
menyatakan rank dari M.
Definisi E4.51 (Rank Modul yang Tidak Dibangun Secara Berhingga)
Diketahui M R-Modul dan M X= untuk suatu X M⊆ . Jika X herupakan himpunan tak
berhingga maka ( )Mμ = ∞ .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
25
Akibat E4.52
Diketahui M R-Modul , maka sifat-sifat berikut berlaku:
1. Jika { }0MM = , maka ( ) 0Mμ =
2. M merupakan modul siklik jika dan hanya jika ( ) 1Mμ = .
Lemma E4.53
Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M dibangun secara berhingga,
maka modul M N juga dibangun secara berhingga dan ( ) ( )M N Mμ μ≤ .
Bukti.
Misalkan M X= dengan { }1,..., kX x x M= ⊆ sebagai himpuan pembangun terkecil. Diambil
sebarang y M N∈ , maka y a N= + untuk suatu a M∈ . Karena M X= , dengan demikian
terdapat n∈ sehingga 1
n
i ii
a r x=
= ∑ untuk suatu ir R∈ dan ix X∈ . Akibatnya berlaku
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 11
n
i i n n n ni
y a N r x N r x N r x N r x N r x N=
⎛ ⎞= + = + = + + + + = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ .
Jadi, modul M N dibangun secara berhingga.
Misalkan ( ) ( )M N Mμ μ> dan dengan demikian { }1 ,..., sM N y N y N= + + dengan s k>
sebagai himpunan pembangun terkecil. Dibentuk elemen
( ) ( ) ( )1 1s sa N y N y N y y N+ = + + + + = + + + . Dengan demikian diperoleh
1 sa y y M X= + + ∈ = . Karena X merupakan himpunan pembangun terkecil dan s k> maka
terdapat himpunan { }1' ,..., sY y y⊂ sehingga { } { } { }1 1 1,..., ' ' ,..., ' ,...,s k ky y Y y y X x x− = = = .
Akibatnya 1' 'ka y y M X= + + ∈ = dan dengan demikian ( )1' 'ka N y y N+ = + + + .
Muncul kontradiksi dengan { }1 ,..., sy N y N+ + sebagai himpunan pembangun terkecil.
Jadi, pengandaian salah dan terbukti benar bahwa ( ) ( )M N Mμ μ≤ .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
26
Lemma E4.54
Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M N dan N dibangun secara
berhingga, maka modul M juga dibangun secara berhingga dan ( ) ( ) ( )M N M Nμ μ μ≤ + .
Bukti.
Misalkan { }1,..., kX x x N= ⊆ merupakan himpunan pembangun terkecil untuk N, sehingga
X N= . Dibentuk : M M Nφ → sebagai homomorfisma surjektif dengan ( )a a Nφ = + untuk
setiap a M∈ . Dipilih { }1,..., sY y y M= ⊆ , sehingga ( ) ( ){ }1' ,..., sY y yφ φ= merupakan
himpunan pembangun terkecil untuk M N . Akan ditunjukkan bahwa X Y M∪ = dan dengan
demikian ( ) ( ) ( )M k s N M Nμ μ μ≤ + = + .
Diambil sebarang a M∈ dan dengan demikian a N M N+ ∈ . Karena 'Y M N= , maka
( ) ( ) ( )1 1 s sa a N r y r yφ φ φ= + = + + untuk suatu ir R∈ . Karena φ homomorfisma surjektif,
diperoleh ( ) ( ) ( )1 1 1 1s s s sr y r y r y r yφ φ φ+ + = + + dan dengan demikian
( ) ( )1 1 s sa r y r yφ φ= + + . Diperhatikan juga bahwa 1 1 s sr y r y Y+ + ∈ . Karena
( ) ( )1 1 s sa r y r yφ φ= + + , akibatnya ( )( )1 1 0s sa r y r y Nφ − + + = + atau dengan kata lain
( ) ( )1 1 kers sa r y r y N Xφ− + + ∈ ⊆ = .
Jadi, karena ( ){ } ( )1 1 1 1s s s sa a r y r y r y r y X Y= − + + + + + ∈ ∪ , maka diperoleh
M X Y⊆ ∪ . Jelas bahwa X Y M∪ ⊆ , dan dengan demikian diperoleh M X Y= ∪ .
Tidak setiap modul memiliki himpunan pembangun. Jika suatu modul memiliki
himpunan pembangun, maka terdapat sifat pada himpunan pembangun tertentu yang disebut
dengan basis. Berikut akan diberikan pengertian mengenai basis dan modul bebas.
Definisi E4.55 (Bebas Linear)
Diketahui M R-Modul dan X M⊆ . Himpunan X dikatakan bebas linear jika dan hanya jika
untuk setiap n∈ , untuk setiap ir R∈ dan ix X∈ dengan 1 i n≤ ≤ , jika 1 1 0i i Mr x r x+ + =
berakibat 1 0i Rr r= = = .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
27
Definisi E4.56 (Basis)
Diketahui M R-Modul dan X M⊆ . Himpunan X dikatakan basis untuk M jika dan hanya jika
memenuhi dua syarat berikut:
1. M X=
2. X bebas linear.
Definisi E4.57 (Modul Bebas)
Diketahui M R-Modul. Jika terdapat X M⊆ dengan X merupakan basis untuk M, maka M
disebut modul bebas.
Contoh E4.58
8 8 − Modul merupakan modul siklik karena 1 8 8+ = dan dengan demikian
8 merupakan modul bebas. Namun 8 −Modul bukan modul bebas, karena untuk
sebarang 8X ⊆ selalu dapat dipilih 8r = ∈ sehingga 0 8x X
rx∈
= +∑ . Jadi, setiap
himpunan bagian pada 8 selain { }0 tidak bebas linear dan dengan demikian 8
−Modul tidak memiliki basis.
Lemma E4.59
Diketahui M R-Modul. Jika M modul bebas dan R daerah integral, maka M modul bebas torsi.
Bukti.
Karena M modul bebas, maka M memiliki basis. Misalkan X merupakan basis untuk M dan TM
merupakan himpunan elemen torsi pada M. Diambil sebarang Tx M∈ dan dengan demikian
0Mrx = untuk suatu { }0Rr R∈ − . Karena Tx M M∈ ⊆ , maka i
i ix X
x r x∈
= ∑ untuk suatu ir R∈ .
Dengan demikian diperoleh ( ) 0i i
i i i i Mx X x X
rx r r x rr x∈ ∈
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ . Karena X merupakan basis, maka
diperoleh 0i Rrr = untuk setiap ir R∈ . Karena R daerah integral dan 0Rr ≠ , maka diperoleh
0ir = . Akibatnya 0 0i i
i i R i Mx X x X
x r x x∈ ∈
= = =∑ ∑ . Jadi, { }0T MM = atau M modul bebas torsi.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
28
( ) ( )1 1 1,..., , ,...,n n nx x y y M M∈ × ×
5. Jumlahan Langsung
Konsep jumlahan langsung (direct sum) merupakan suatu konsep untuk membentuk suatu
modul yang “lebih luas” dari beberapa modul yang diberikan. Modul-modul tersebut akan
isomorfis dengan suatu submodul pada modul yang “lebih luas” tersebut.
Definisi E4.60 (Jumlahan Langsung)
Diketahui 1,..., nM M untuk suatu n∈ merupakan modul-modul atas R, maka produk
Cartesian 1 nM M× × juga merupakan modul atas R dengan operasi:
1. ( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ,..., ,...,n n n nx x y y x y x y+ = + + , untuk setiap
2. ( ) ( )1 1,..., ,...,n nr x x rx rx= , untuk setiap ( )1 1,..., n nx x M M∈ × × dan r R∈ .
Modul 1 nM M× × disebut jumlahan langsung dari modul 1,..., nM M dan dinotasikan
1 nM M⊕ ⊕ atau 1
n
iiM
=⊕ .
Lemma E4.61
Diketahui 1,..., nM M untuk suatu n∈ merupakan modul-modul atas R , maka pemetaan
1:
n
k k iiM Mφ
=→⊕ dengan ( ) ( ) ( )1 1 1 1
,..., , , ,..., 0,...,0, ,0,...,0n
k k k k n iia x x x x x a Mφ − + =
= = ∈⊕ merupakan
isomorfisma modul.
Teorema E4.62
Diketahui M R-Modul dan 1,..., nN N untuk suatu n∈ merupakan submodul-submodul dari M.
Jika dipenuhi syarat:
1. 1 nM N N= + +
2. Untuk setiap 1 i n≤ ≤ , berlaku { } { }1 1 1 0i i i n MN N N N N− +∩ + + + + + = ,
maka 1
n
iiM N
=≅ ⊕ .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
29
Bukti.
Dibentuk pemetaan :i if N M→ dengan ( )if a a= untuk setiap ia N∈ . Dibentuk juga
pemetaan 1
:n
iif N M
=⊕ → dengan ( ) ( )1
1,...,
n
n i ii
f x x f x=
=∑ untuk setiap ( )1 1,...,
n
n iix x N
=∈⊕ . Karena
1 nM N N= + + dengan demikian f merupakan pemetaan surjektif. Diperhatikan juga bahwa f
dan if merupakan homomorfisma modul.
Selanjutnya, diambil sebarang ( ) ( )1,..., kernx x f∈ maka berlaku
( ) ( )1 11
,..., 0n
n i i n Mi
f x x f x x x=
= = + + =∑ . Sehingga untuk 1 i n≤ ≤ diperoleh,
( )1 1 1i i i nx x x x x− += − + + + + + dan dengan demikian
{ }1 1 1i i i i nx N N N N N− +∈ ∩ + + + + + . Karena { } { }1 1 1 0i i i n MN N N N N− +∩ + + + + + = ,
maka diperoleh 0i Mx = untuk setiap 1 i n≤ ≤ . Dengan demikian ( ) ( ){ }ker 0 ,...,0M Mf = .
Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, homomorfisma modul f injektif.
Jadi, karena f homomorfisma modul yang surjektif sekaligus injektif, maka f merupakan
isomorfisma modul dan berlaku 1
n
iiM N
=≅ ⊕ .
Definisi E4.63 (Komplemen)
Diketahui M R-Modul dan K submodul dari M. Submodul K dikatakan komplemen pada M jika
dan hanya jika terdapat submodul H dari M sehingga K H M⊕ ≅ .
Contoh E4.64
Pada 6 sebagai modul atas dirinya sendiri, submodul { }0 6 , 2 6 , 4 6K = + + +
merupakan komplemen pada 6 , karena dapat dipilih submodul { }0 6 , 3 6H = + +
sehingga:
1. 6K H+ =
2. { }0 6K H∩ = + .
Akibatnya, menurut Teorema E4.62 berlaku 6K H⊕ ≅ .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
30
6. Barisan Eksak
Untuk suatu koleksi submodul 1,..., nN N dari M R-Modul, dapat dibentuk suatu barisan
yang disebut dengan barisan eksak. Barisan tersebut dinamakan barisan eksak dan memiliki sifat
penting di teori modul, salah satunya pada pembahasan mengenai modul proyektif.
Definisi E4.65 (Barisan Eksak)
Diketahui M R-Modul dan { }iN i I∈ merupakan koleksi submodul dari M. Diketahui juga if
merupakan homomorfisma dari 1iN − ke iN . Barisan dari R-Modul dan homomorfisma fi
dikatakan eksak pada Ni jika dan hanya jika ( ) ( )1image keri if f += . Barisan tersebut dikatakan
barisan eksak jika eksak pada setiap Ni.
Definisi E4.66 (Barisan Pendek)
Diketahui M R-Modul serta 1N dan 2N merupakan submodul dari M, maka barisan
disebut barisan pendek dengan f dan g merupakan homomorfisma modul.
Dari barisan pendek dapat diturunkan tiga sifat sebagai berikut.
Teorema E4.67
Barisan
eksak di 1N jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif.
Bukti.
( )⇒
Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari { }0M ke 1N
adalah ( )0 0M Mφ = . Karena barisan tersebut eksak di N1, maka ( ) ( )image ker fφ = . Karena
Ni-1 Ni Ni+1 … … fi fi+1
N1 M N2 f g{ }0M { }0M
N1 M f{ }0M
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
31
( ) { }image 0Mφ = , maka ( ) { }ker 0Mf = . Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, berakibat
homomorfisma modul f injektif.
( )⇐
Karena homomorfisma modul f injektif, maka sejalan dengan Lemma E3.6 berakibat
( ) { }ker 0Mf = . Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari
{ }0M ke 1N adalah ( )0 0M Mφ = . Karena ( ) { } ( )image 0 kerM fφ = = , maka barisan tersebut
eksak di 1N .
Teorema E4.68
Barisan
eksak di 2N jika dan hanya jika homomorfisma modul g surjektif.
Bukti.
( )⇒
Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari 2N ke { }0M
adalah ( ) 0Maψ = untuk setiap 2a N∈ . Karena barisan tersebut eksak di N2, maka
( ) ( )image kerg ψ= . Karena ( ) 2ker Nψ = , maka ( ) 2image g N= dan dengan demikian
homomorfisma modul g surjektif.
( )⇐
Karena homomorfisma modul g surjektif, maka ( ) 2image g N= . Diperhatikan bahwa satu-
satunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari 2N ke { }0M adalah ( ) 0Maψ = untuk
setiap 2a N∈ . Karena ( ) ( )2image kerg N ψ= = , maka barisan tersebut eksak di 2N .
M N2 g { }0M
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
32
Teorema E4.69
Barisan pendek
merupakan barisan eksak jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif, g surjektif, dan
( ) ( )image kerf g= . Lebih lanjut, menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku
( )2 imageMN f≅ .
Contoh E4.70
Barisan
merupakan barisan eksak pendek dengan ( )3 2 3f a a+ = + dan ( ) ( )6 mod 2 2g b b+ = +
untuk setiap 3 3a + ∈ dan 6 6b + ∈ . Sesuai Teorema Utama Homomorfisma Modul
1 dan 3, berlaku 62 2 6≅ .
Definisi E4.71 (Barisan Eksak Terpisah)
Diketahui M R-Modul, maka barisan eksak pendek dikatakan barisan eksak terpisah jika dan
hanya jika ( ) ( )image kerf g= merupakan komplemen pada M.
Contoh E4.72
Pada Contoh E4.70 diketahui ( ) ( ) { }image ker 2 6 0 6 , 2 6 , 4 6f g= = = + + + . Sehingga
menurut Contoh E4.64, barisan eksak pendek pada Contoh E4.70 merupakan barisan eksak
terpisah.
N1 M N2 f g{ }0M { }0M
f g{ }0 { }03 6 2
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
33
Selanjutnya, didefinisikan pemetaan identitas 1 :M M M→ dengan ( )1M a a= untuk
setiap a M∈ . Pemetaan identitas tersebut jelas merupakan homomorfisma modul dan dapat
diturunkan sifat barisan eksak terpisah. Sebelumnya diberikan lemma mengenai pemetaan
berikut.
Lemma E4.73
Diketahui A dan B sebarang himpunan dan pemetaan :f A B→ , maka
1. Jika terdapat pemetaan :h B A→ dengan ( ) 1Ah f = maka pemetaan h surjektif
2. Jika terdapat pemetaan :k B A→ dengan ( ) 1Af k = maka pemetaan k injektif.
Bukti.
Untuk sebarang a A∈ jelas bahwa ( ) ( )f a f A B∈ ⊆ . Dengan demikian untuk sebarang a A∈
dapat dipilih ( )y f a B= ∈ sehingga ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1Ah y h f a h f a a a= = = = . Jadi, pemetaan h
surjektif.
Selanjutnya, diambil sebarang 1 2,b b B∈ dengan ( ) ( )1 2k b k b= . Diperhatikan untuk
( )1x k b A= ∈ , maka diperoleh ( ) ( )( ) ( )( )1 2f x f k b f k b= = . Karena
( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 11Af x f k b f k b b b= = = = maka diperoleh ( )( ) ( )( )1 2 1f k b f k b b= = . Dengan
cara yang serupa, untuk ( )2x k b A= ∈ diperoleh juga ( )( ) ( )( )2 1 2f k b f k b b= = . Jadi, diperoleh
1 2b b= dan dengan demikian pemetaan k injektif.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
34
Teorema E4.74
Diketahui M R-Modul, 1N dan 2N merupakan submodul dari M, serta f dan g keduanya
merupakan homomorfisma modul. Jika barisan pendek
merupakan barisan eksak maka tiga pernyataan dibawah ini ekuivalen:
1. Terdapat homomorfisma modul 1: M Nα → sehingga ( )1
1Nfα =
2. Terdapat homomorfisma modul 2: N Mβ → sehingga ( )2
1Ng β =
3. Barisan pendek tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan
( ) ( )( ) ( )
1 2
image ker
image ker.
M f
gN N
α
β
≅ ⊕
≅ ⊕
≅ ⊕
Bukti.
( )1 2⇒
Sebelumnya akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa ( ) ( ) { }ker image 0fα ∩ = . Diambil
sebarang ( ) ( )ker imagex fα∈ ∩ . Karena ( )kerx α∈ , maka ( ) 0Mxα = dan karena
( )imagex f∈ , maka ( )x f a= untuk suatu 1a N∈ . Dengan demikian
( ) ( )( ) ( )( ) ( )1
0 1M Nx f a f a a aα α α= = = = = . Karena f homomorfisma modul, maka
( ) ( )0 0M Mx f a f= = = dan dengan demikian ( ) ( ) { }ker image 0fα ∩ = .
Dibentuk pemetaan 2: N Mβ → , dengan ( ) ( )( )x z f zβ α= − untuk setiap 2x N∈ dan
( )g z x= untuk suatu z M∈ (karena g surjektif). Akan ditunjukkan bahwa β merupakan
homomorfisma modul yang dimaksud. Akan ditunjukkan bahwa pemetaan β terdefinisi dengan
baik. Diambil sebarang 2,x y N∈ dengan x y= . Karena, pemetaan 2:g M N→ surjektif, maka
terdapat ,a b M∈ dengan ( )x g a= dan ( )y g b= . Karena x y= , maka
( ) ( ) ( ) 0Mg a g b g a b= ⇔ − = dan dengan demikian ( )kera b g− ∈ . Karena barisan tersebut
eksak, maka ( ) ( )ker imagea b g f− ∈ = .
N1 M N2 f g{ }0M { }0M
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
35
Dengan demikian diperoleh:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
x y a f a b f b
a b f b a
β β α α
α
− = − − −
= − + −
Diperhatikan, bahwa ( ) ( )( ) ( )kera b f b aα α− + − ∈ , karena
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
11
0 .
N
M
a b f b a a b f b a
a b f b a
a b b a
a b b a
a b b a
α α α α α
α α α
α α
α α
α α α α
− + − = − + −
= − + −
= − + −
= − + −
= − + −
=
Diperhatikan juga bahwa ( ) ( )( ) ( )imagea b f b a fα− + − ∈ , dan dengan demikian
( ) ( )( ) ( )imagea b f b a fα− + − ∈ .
Akibatnya, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) { }ker image 0x y a b f b a fβ β α α− = − + − ∈ ∩ = .
Jadi, diperoleh ( ) ( )x yβ β= dan dengan demikian pemetaan β terdefinisi dengan baik.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa β merupakan homomorfisma modul. Diambil sebarang
2,x y N∈ . Karena, pemetaan 2:g M N→ surjektif, maka terdapat ,a b M∈ dengan ( )x g a=
dan ( )y g b= . Karena g homomorfisma maka diperoleh ( ) ( ) ( )x y g a g b g a b+ = + = + dan
dengan demikian
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y a b f b a x yβ β α β+ = + − + = + . Untuk sebarang r R∈ , diperoleh
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )r x ra f ra ra r f a r a f a r xβ α α α β= + = − = − = .
Jadi, terbukti bahwa β merupakan homomorfisma modul.
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
36
Terakhir, akan dibuktikan bahwa ( )2
1Ng β = . Untuk sebarang 2x N∈ , karena 2:g M N→
surjektif, maka terdapat a M∈ dengan ( )x g a= . Dengan demikian diperoleh
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )g x g a f a g a g f aβ α α= − = − . Diperhatikan, karena
( )( ) ( )( ) ( )imagef a f a fα α= ∈ dan ( ) ( )image kerf g= , maka ( )( )( ) 0Mg f aα = . Jadi,
diperoleh ( )( ) ( ) ( )0Mg x g a g a xβ = − = = atau dengan kata lain ( )2
1Ng β = .
( )2 3⇒
Dari pembuktian bagian ( )1 2⇒ telah diketahui bahwa ( ) ( ) { }ker image 0fα ∩ = . Selanjutnya
akan dibuktikan bahwa ( ) ( )ker imageM fα= + . Diketahui terdapat homomorfisma modul
1: M Nα → sehingga ( )1
1Nfα = . Diambil sebarang x M∈ dan dengan demikian
( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )x f x x f x x f xα α α α α α α α− = − = − .
Karena ( )1
1Nfα = , akibatnya ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1
1Nf x x xα α α α= = dan dengan demikian
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0Mx f x x f x x xα α α α α α α− = − = − = .
Jadi, diperoleh ( )( ) ( )kerx f xα α− ∈ .
Karena ( )( )( ) ( )( )x x f x f xα α= − + dan ( )( ) ( )imagef x fα ∈ , maka diperoleh
( ) ( )ker imagex fα∈ + dan dengan demikian berlaku ( ) ( )ker imageM fα⊆ + . Karena
( )ker Mα ⊆ dan ( )image f M⊆ , akibatnya ( ) ( )ker image f Mα + ⊆ .
Jadi, karena berlaku ( ) ( )ker imageM fα⊆ + dan ( ) ( )ker image f Mα + ⊆ , akibatnya
( ) ( )ker imageM fα= + dan menurut Teorema E4.62 berlaku ( ) ( )image kerM f α≅ ⊕ .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
37
Diperhatikan bahwa karena f pemetaan injektif akibatnya ( )image f isomorfis dengan
domainnya, yaitu 1N . Karena β merupakan pemetaan injektif akibatnya ( )image β isomorfis
dengan domainnya, yaitu 2N . Dengan demikian berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2image ker image imageM f f N Nα β≅ ⊕ = ⊕ ≅ ⊕ .
( )3 1⇒
Diketahui baris eksak tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan berlaku 1 2M N N≅ ⊕ .
Karena 1 2M N N≅ ⊕ , maka terdapat isomorfisma modul φ dari M ke 1 2N N⊕ . Dengan
demikian, untuk setiap x M∈ , selalu terdapat ( )1 2 1 2,n n N N∈ ⊕ dengan ( )( )1 2,x n nφ= .
Dibentuk pemetaan 1: M Nα → dengan ( ) 1x nα = .
Akan dibuktikan pemetaan tersebut terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang ,x y M∈ dengan
x y= . Karena 1 2M N N≅ ⊕ , maka terdapat 1 3 1,n n N∈ dan 2 4 2,n n N∈ sehingga ( )( )1 2,x n nφ=
dan ( )( )3 4,y n nφ= . Karena x y= , berakibat ( )( ) ( )( )1 2 3 4, ,n n n nφ φ= atau dengan kata lain
( ) ( )1 3 2 4, kern n n n φ− − ∈ . Karena φ isomorfisma, maka φ merupakan pemetaan injektif dan
sejalan dengan Teorema E3.6 berakibat ( ) ( ){ }ker 0,0φ = . Sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 4 1 2 3 4, 0,0 , ,n n n n n n n n− − = ⇔ = dan dengan demikian ( ) ( )1 3x n n yα α= = = . Jadi,
pemetaan α terdefinisi dengan baik. Pemetaan α jelas merupakan homomorfisma modul dan
berlaku ( )( )f a aα = untuk setiap 1a N∈ atau dengan kata lain ( )1
1Nfα = .
Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id
38
f g
Diperhatikan bahwa dari Teorema E4.74 dapat dibentuk diagram seperti dibawah ini
Pemetaan 1 2 3 4, , ,dan,φ φ φ φ seluruhnya merupakan pemetaan nol (zero mapping), yaitu pemetaan
yang memetakan setiap elemen domain ke 0M . Pemetaan nol tersebut merupakan
homomorfisma. Lebih lanjut, 1 3 dan φ φ merupakan pemetaan injektif serta 2 4 dan φ φ merupakan
pemetaan surjektif.
N1
M
N2
{ }0M { }0M
N1
M
N2
1φ
3φ
2φ
4φ
α β