E X P K E S I O N N A P R O X I M A D A D E U N A F U N C I O N

D E D I S T R I B U C I O N

A n g e l V e g a s

1. D e s a r r o l l o de E d g w o o r t h

E s b i e n s a b i d o ,que si u n a f u n c i 6 n de d i s t r i b u c i 6 n t i e n e su s n

p r i m e r o s m o m e n t o s f in i tos , su f u n c i 6 n c a r a c t e r i s t i c a ado ,p t a la

f o r m a :

(,0>, [ (io),i____5_ (io)- ],

en la q u e K~, K~ y K4 s o n m o m e n t o s c u m u l a n t e s , es dec i r , K~ = m ,

K2 ~ ~ = a2 --- m ~-, Ka ~ ~3 ~ 3,ct2 m + 2 m a, K~ --~ c~ - - 4ce3 m +

+ 3ce~ + 12a~ m -~ - - 6 m ~, y, p o r lo t a n t o , si h a c e m o s m ----- 0 y v ~ 1,

es d e c i r , si c o n s i d e r a m o s la v a r i a n t e " s t a n d a r d i z a d a " , t e n d r e m o s :

(10J 2

r --~ e 2 [ 1 -1- Ka (i0)~ ,,_ + ... + o(o-)

E n v i r t u d de q u e

s i e n d o f

+ o o (~0)2

@o~ d F( '0 ~ ( - - i O)" e ' 'o (x)

- - O O

y:" ~,(,,) d 1 2 d x l"o ~ ) = d x ~ V - ~

l a f u n c i 6 n de d i s t r i b u c i 6 n c o r r e s p o n d i e n t e t e n d r h la f o r m a :

K~ F~o,,(u)§ K, FT(x)+ F ( x ) = Fo(x ) + '1 3' '1 4' "'"

41

2

�9 1

= , Je ' ,, Y ~'Jc V ~

--O<9

1 H~tx) + ,.. + t - - l ) " -~

x2

2 :x~ Ha(x) - -

~ n 15 Ho_l(x) j + o(x'9

en io que los H~(x) son los po i inomios de ~ e r m i t e :

i r i r

(-- ' l )e [p

A----~ t 12p (_1F-1 'p

1 12p r=- Up

1 2p x r = 2 p - - 1

La [1] se deduc.e, ev iden temente , de la re lae i6n que liga las der iva- das sucesivas .de la func i6n de dens idad de la d is t r ibuci6n n o r m a l y los po l inomios de H e r m i t e

~2 ~2

d r 1 - ~ 1 - - '2 e - - 1 e (--1) r He(x)

dxr V 27: V 2 ~

De la [2] se infiere el desa r ro l lo co r r e spond ien t e a la func i6n de dens idad

x2

1 -

+ ~

H~(x) + + ... + A, A,

1 fA- H,(z)

A. (--1)~ HJx)] + O(x") [2] J

A esta expres i6n se le sue.le conoce r po r desar ro l lo de Edgwoor th .

II. T r a n s f o r m a c i 6 n d e E s s c h e r

En al.gunos casos es po.sible ob t ene r una buena ap rox imac i6n con un escaso nf imero de t4rminos del desarrollo. [2] m e d i a n t e una t r ans fo rmac i6n adecuada . Tal es el caso de la t r ans fo rmac i6n de Esscher, de' f ecunda aplicaci6.n en la reso luc i6n de. los p rob l emas

42

que se der ivan de la teoria del Riesgo Colect ivo en la Ciencia Ac- tuarial .

Sea la funci6n de d is t r ibuci6n F ( x ) ~ su carac ter is t ica corres- pond ien te q~(O).

A pa r t i r de estas funcio.nes definiremos,: f" F(x)' --~ 1 e ~ d F ( x )

r ) - - 0 0

Suponemos que :

[3]

r ~ v h" d F ( x )

en el in tervalo ---~hl < h < h~, en el q u e serh v&lida la relaci6.n ~3].

La F ( x ) definida en [3] cumple todas las condic iones de fun- ci6n de distr ibuci6n, como es f~cil ver.

De [3] se desprende :

e ~ d F ( x ) d F ( x ) = ' T i ~ i h ) ' [4]

La func i6n earacter is t ica eo r re~pond ien te a F--~ ser~:

q>(O) = e '~ d F ( x ) - ~ ~-(-~-~i~ d F ( x ) = q~(-- ih) ' [5] CO

Si des ignamos por m y ~2 la media , la va r i anza co r r e spond ien t e a F ( x ) , la va r i an te t ipificada.

tendrh la dis t r ibuci6n

y g c k m

v0@ = + Y y ) De [4] deducirnos:

q ~ - - i h ) e -~ ( " + <~ ~') d Fo(x ) ---~ d F ( x )

43

F ( x ) cp (~ i h ) e - h ' | e - o ~ , d Fo'(Y = ) [ 6 ] d

- - 0 0

_ _

1 - - F(x) = ~ ( - - i h ) e - ~ " | e - r hv d Fo'(y) A ,~ . ,eo

Por ot ra par te , la funci6n cumula t iva de F(x) serh, segfin ['5], la s iguiente:

~(0) ~ lg r ~ lg c?(O ~ ih) - - lg q ( - - i h ) ~ ~(0 - - ih) ~ ~ ( ~ i h ) y, por lo tanto,

a ~(0) D ~(0 - - in) 1 D ~ ( 0 - ih) 'DO' ' ~ DO i D h

de donde se deduce

O-- luego

a r 3 h

Supongamos un valor cua lqu ie ra de: la var iab le x y que la ecuaci6n

X D h

da una soluci6n h0 c o m p r e n d i d a en el in tervalo de convergencia h~ < ho < h~, entonces la [6] t omarh la f o r m a :

F(x) = ~ ( - - i h ) e -%" o ~ d Fo(y)

1 - - F (x ) = ~ ( ~ i h o ) e -%" e-~ v d F , (y ) ~ 0

Una u o t ra f o r m a son equivalentes , pero suele usarse la pr i /nera cuando x < m y la segunda x /> m.

Las aprox imac iones que p u e d e n obtenerse ap l icando el d, esarro-

llo de Edg'woorth a Fo(x), dan las l l a m a d a s f6 rmulas de EsscJaer.

44

A si, pues, supongamos que el d e s a r r o l l o eonste de los s iguientes

t~rminos :

1 - Aa d Fax) = V - ~ - e ~ ] I J&

L.

+ < - 1 , o =

en lo que [o(X) en la dens idad no rma l .

A ~ - - H ~ + ~ H , + . . . +

(3) A. l")

P a r a la func i6n de d i s t r ibuc i6n t e n d r e m o s :

F ( x ) = ~ ( ~ i h ) e - h a e - ~ fo(g) + [,(~)(!t) + . . . +

- - o o

+ ~ to('(v) dv

La obtene i6n de los va lores de F ( x ) exige el efileulo de la ex-

p res i6n : o o o

e -~'om/o(')(g) d!t --~ e - h [o<'-~>'(lt e -7 ' 1o ('---~> -~-

~ - - o o ~ - - o o to, - - r

= (--I)'-~ H'-i(~ + ho o (--I) '-" H,_, (~ +

V 2~ V2~ + (ho o--) ~ (--1)~-~ H'-3(~ + ... +

V ~

_I ~ + ... + (h. o)r-~ e-~o ~' [o(U) dv =

r

_ 1 ~ (ho ~)~-~ (--.1),-~ H,._~("~ V ~2 ~=~

+(ho ~-)r--~ + R(~ ho) ya que

- - / e ,J,e e d ! l - ~ - V 2"~ j-oo g 2~ -oo

dx

45

e fL J t

En defi,niti,ca, r e c o r d a n d o

d x ~--- R(a ho)

H~,(0) ~-~ (~1 ) " ~ - - ~ . 2p ~

H.~,+~(O) ~--- 0

t end remos p a r a expres idn aproxi 'mada de F(X)

F(x) ~ - T ( - - i h ) e-ao " R(ho--~ 1 +

r = 3

h

-b 1 ' /,V A'[r (h~ 1 2 [rA~

(-~)~ u~(o! y, A, v ~ ~Z

r = m + l

( (--1)~ A~ p

0

, (h. ~y-~ + ... +

, , , (ho ~ - ~ ... --}- B

s i n ~-=2p

s i n ~ 2p- t - 1

en la que

B ___

(h. ~)~ +

III. Otras expresiones ap rox imadas

La f d r m u a de invers idn:

F(x) = ~ 1 2 2~

~o

~(0) e -'e~ iO

dO

46

p u e d e a d o p t a r la f o r m a :

F(x) = p(h) - - lira / 2-~i(0 + ih) A ~ O ~

_ , 4

en la que

dO

I i h < 0 p(h) = 1 h --~ 0 h > 0

En efecto, basra con in t eg ra r la f u n c i 6 n ~(z) e - ~ "

~(z) - - 2 ~ i z

a lo largo del con to rno cer rado , de f in ido p o r los segmentos

P~la~, P3P,, P+P~, PsP+, P+P~

y la semic i r cunfe renc ia P2P3 (fig. 1)

-A

P+ h P~

Pt i

4 P6

§ B

/

P2~

§

]'P3 , P+ I I .I

1

4 -h Ps

47

J ~(z) dz -q- J ~(z) dz + l q~(z) dz -t- ~PaP4 P1P~ P~Ps

+ ~q~(z) dz + f ~(z) dz -t- f q~(z) =0 P~P6 psp6 pep1

Los limites a que t ienden estas in tegrales son los s iguientes :

1 11 ---~ O)dO " 12 = 2

fo ~(0) dO " I , ~ 0

~_~( 15 ~ - - 0 d- ih)dO " 16 - -~ 0

de donde se deduce

F(x) ---~ 1 1 ~(0 -q-- ih) e_,(0§ dO

(V2~) ~ i(O + ih)

En el caso en que h fuese negat ivo, es decir, que se t ra tase del eontorno P~, P2, P3, P,, P'6, P'5, P1, el resu l tado seria

~+oo 1 | ~ ( 0 ~ ih) e_~(o_~h)~ dO F(x)

2~. J-oo i(O -~ ih)

ya que el l imite pa ra B --~ 0 de la in tegra l ex tend ida a la semicir- cunfe renc ia p u n t e a d a que une P2 Y P3 es 1/2.

Ev iden temen te el va lor de h debe estar incluido en el in terva lo ~ h l < h < h~, pa ra e,1 que se: cumplen ']as condieiones de eonver- geneia de los eor respondien tes intervalos .

48

Siendo ~(0) --~ log q~(O) t endremos :

F ( z ) . ~ p ( h ) - - I O 3

~(ih) e ~ e*(O+~)-,(~)-~9~ 2"n i 0 - h

~tJ - - O 0

dO

De te rmina remos h0 con la condici6n

~ ' q h o ) = ~z

E1 exponente del in tegrado adoptar& la fo rma

0 ~ ~(iho q- O) - - ~(iho) - - ~b'(iho)O = t~"(h') 2

En la que

Si hacemos

iho < h' < iho -q- 0

~ = - - -~"(~ho)

t endremos

~(iho + 0 ) - - ~ ( i h 0 ) - - q~'qho)O "-" 2

Con una aprox imac i6n que depender~ de la fo,rma de ~(0), ten-

d remos :

(i0)'

~(iho) e~o. ; ; ; e 2~ F(x) "~ p(ho) '2~ i0 - - ho dO

(~0)~

------O(ho) + ~(iho) e"o" 1 ~ e "

"~ c~h-----~ 1 iO - - 0 0

p(ho) + 2 ~ oh--'--~ e ' 1 +

dO

i0' ~ho +

49

(i0) * (io) ' § + ... + § O ( 0 9 / d O

(Zho) ~ (~ho)* 3

E1 iu t eg rando es la func i6n carac te r i s t i ca de una d is t r ibuc i6n cuya dens idad es de la f o r m a :

2 x

f(x) 1 [ H,(x) - - e ~ 1 -+

~2r: ~ho

H,{x) H,,(x) OCx~ ) ] + (oho)~ + ... + ( ~ 1 ) " (ohoP' +

En los que los H~(x) son los po l inomios de t t e rmi te .

P o t o t ra par te , de la f d r m u l a de invers i6n

1 e -~a" q~(O) dO f (x ) = I I ~ 0 0

se d e d u c e

�9 CO)dO = 2 ~ l ( o )

P o r tanto, t e n d r e m o s f i na lmen te :

co(ih~ [1 + H,(O)

F(x) ~ ~(ho) + OhoV~2~T (~ho) ~

H.(O) "1 + + ... + o (x , , ) I

J

+

ya que como sffbernos:

H~p+l(0) ~ 0

, . 2 p ,

H~_,<O) ---- { - - ~ ) , T

Esta f 6 rmu la cons t i tuye una nueva f o r m a a p r o x i m a d a de la funci6n de dis tr ibuci6n.

50

IV. B i b l i o g r a f i a

H. CRAMER: Collective Risk Theory.

H. BOHMAN: Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1963,

C. PHILIPSON: Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1963.

V. S u m m a r y

In this paper, they are discussed the var ious mathemat ica l developments of a d i s t r ibu t ion funct ion, such as the Edgewor th series, Esscher t ransfor- mation, and others in ~vhich Hermite po lynomia l s are used.

VI. R e s u m e n

En esta memor ia se es tudian los diversos desarrol los matem~ticos de una func i6n de d i s t r ibuc i6n , tales como el desarrol lo de Edge-~eorth, la t r ans formac iSn de Esscher y otros seine]antes en los que i n t e rv i enen poli- nomios de Hermite.