Exercicios de Probabilidade

DEFINIO CLSSICA DE PROBABILIDADE

A probabilidade de A, anotada porP(A), l-se pe de A, definida como sendo: P(A) = m / n

Exemplo 1Calcular a probabilidade de no lanamento de um dado equilibrado obter-se:(a) Um resultado igual a 4.(b) Um resultado mpar.Soluo:S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n = #(S) = 6(a) A = { 4 } m = #(A) = 1 ento P(A) = m / n = 1 / 6 = 16,67%(b) B = { 1, 3, 5 } m = #(B) = 3 ento P(B) = m / n = 3 / 6 = 50%

A DEFINIO DE PROBABILIDADE COMO FREQNCIA RELATIVA

Ento a freqncia relativa do evento A, anotada por frA, o quociente: frA = m / n = (nmero de vezes que A ocorre) / (nmero de vezes que E repetido)

Seja E um experimento e A e B dois eventos de um espao amostra associado S. Sejam frA efrB as freqncias relativas de A e B respectivamente. Ento.(i) 0 frA 1, isto , a freqncia relativa do evento A um nmero que varia entre 0 e 1.(ii) frA = 1 se e somente se, A ocorre em todas as n repeties de E.(iii) frA = 0, se e somente se, A nunca ocorre nas n repeties de E.(iv) frAUB = frA + frB se A e B forem eventos mutuamente excludentes.

Exemplo 2(i) Uma moeda foi lanada 200 vezes e forneceu 102 caras. Ento a freqncia relativa de caras : frA = 102 / 200 = 0,51 = 51%(ii) Um dado foi lanado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes. Ento a freqncia relativa do evento A= { face 6 } : frA = 18 / 100 = 0,18 = 18%

PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDNCIA

Suponha-se que se quer extrair duas peas ao acaso de um lote que contm 100 peas das quais 80 peasso boas e 20 defeituosas, de acordo com os critrios (a) com reposio e (b) sem reposio.Define-se os seguintes eventos:A = { A primeira pea defeituosa } e B = { A segunda pea defeituosa }.Ento, se a extrao for com reposio P(A) = P(B) = 20 / 100 = 1 / 5 = 20%, porque existem 20 peas defeituosas num total de 100.Agora se a extrao for sem reposio tem-se ainda que P(A) = 20 / 100 = 20%, mas o mesmo no verdadeiro para P(B).

P(B/A) = P(AB) / P(A)

TEOREMA DA MULTIPLICAO

Com o conceito de probabilidade condicionada possvel apresentar uma maneira de se calcular a probabilidade da interseo de dois eventos A e B em funo destes eventos. Esta expresso denominada de teorema da multiplicao. P(AB) = P(A).P(B/A) = P(A/B).P(B)

INDEPENDNCIA DE DOIS EVENTOS

Sejam A e B dois eventos de um espao amostra S. A e B so ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer no afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto , se:P(A/B) = P(A) ouP(B/A) = P(B) ou ainda seP(AB) = P(A).P(B)Qualquer uma das 3 relaes acima pode ser usada como definio de independncia.Exemplo 3Trs componentes C1, C2, e C3, de um mecanismo so postos em srie (em linhareta). Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatria. Seja R o evento { C2 est direita de C1 }, e seja S o evento { C3 est direita de C1 }. Os eventos R e S so independentes? Por qu?Soluo: Para que R e S sejam independentes deve-se ter: P(R/S) = P(R).P(S).O espao amostra para este caso :S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3, C2C3C1, C3C1C2, C3C2C1 }As seqncias em que C2 est direita de C1 so:R = { C1C2C3, C1C3C2, C3C1C2 }. Logo: P(R) = 3/6 = 50%As seqncias em que C3 est direita de C1 so:S = { C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3 }. Logo P(S) = 3/6 = 50%As seqncias em que C2 est direita de C1 e C3 est tambm direita de C1 so:R/S = { C1C2C3, C1C3C2 }. Logo P(R/S ) = 2/6 = 1/3 = 33,33% P(R).P(S) = 0.5.0,5 = 0,25 = 25% Portanto os eventos R e S no so independentes.

TEOREMAS DA PROBABILIDADE TOTAL E DE BAYES

Exemplo 4Considere-se o espao amostra obtido pelos nmeros das faces no lanamento de um dadoequilibrado e sejam os eventos: A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 4, 5 } e A3 = { 6 }Ento, pode-se verificar facilmente que, os eventos acima formam um partio do espaoamostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

obtm-se ento o denominado teorema da probabilidade total:P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An)

Exemplo 5Uma determinada pea manufaturada por 3 fbricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobrode peas que B e que B e C produzem o mesmo nmero de peas. Sabe-se ainda que 2% das peasproduzidas por A e por B so defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C so defeituosas. Todasas peas produzidas so misturadas e colocadas em um depsito. Se do depsito for retirada umapea ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?

Soluo:Considerem-se os seguintes eventos:D = { A pea defeituosa }, A = { A pea provm da fbrica A }, B = { A pea provm damquina B } e C = { A pea provm da mquina C }.Tem-se ento que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vez que s existem as 3 fbricas eque A produz o dobro de B e esta por sua vez produz a mesma quantidade que C. Sabe-se tambm queP(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%.Pelo teorema da probabilidade total pode-se escrever que:P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04 =2,50%, pois A, B e C formam uma partio do espao amostra S.

Exemplo 6Considerando a pergunta acima vem ento:P(A / D), isto a probabilidade de ter sido produzida pela mquina A dado que a pea defeituosa: P(A / D) = P(A). P(D / A) / P(D) = 0,02.0,50 / (0,5.0,02 + 0,25.0,02 + 0,25.0,04) = 0,40 = 40%

EXERCCIOS DIVERSOS

1.) Lance dois dados. Descreva o espao amostral S, e calcule a probabilidade deocorrer a soma 7 ? (6/36)

2.) Lance 3 moedas. Descreva o espao amostral S, utilizando o diagrama darvore. Qual a probabilidade de a) ocorrerem duas caras ? (3/8) b) ocorrer pelomenos uma cara ? (7/8)

3.) Lance duas moedas e um dado. a) Descreva o espao amostral S b) Expresseos eventos: A = aparecem duas caras e um nmero par B = aparece 2C = aparecem exatamente uma cara e um nmero primo c) Expresseclaramente o evento em que : I) A e B ocorrem II) somente B ocorre III) B ouC ocorrem

4.) Das 10 alunas de uma turma 3 delas tm olhos azuis. Se duas delas foremescolhidas ao acaso, qual a probabilidade de a) ambas terem olhos azuis b)nenhuma ter olhos azuis c) pelo menos uma ter olhos azuis. ( 1/15 7/15 8/15)

5.) Trs parafusos e trs porcas esto numa caixa. Se duas peas forem retiradasao acaso da caixa, qual a probabilidade de uma ser um parafuso e a outra seruma porca ? (3/5)

6.) Suponha que numa turma h 6 moas e 10 rapazes. Se uma comisso de 3pessoas escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de seremselecionados a) 3 rapazes b) exatamente dois rapazes c) pelo menos umrapaz d) exatamente duas moas (3/14 27/56 27/28 15/56)

7.) O servio meteorolgico informa que, para o final de semana, a probabilidadede chover de 60%, a de fazer frio de 70% e a de chover e fazer frio de50%. Calcular a probabilidade de que, no final de semana,

a) chova ou faa frio; (80%) b) no chova e no faa frio. 20%8.) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20

terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar aprobabilidade de:

a) A ganhar todas as trs; (1/8) b) duas partidas terminarem empatadas; (5/72)c) A e B ganharem alternadamente. (5/36)9.) Em uma indstria h 10 pessoas que ganham mais de 20 salrios

mnimos(s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de10 s.m. Trs pessoas desta indstria so selecionadas. Determinar aprobabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. ( 0,973)

10.) A probabilidade de que um atleta A ultrapasse 17,30m num nico salto triplo de 0,7. O atleta d 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos numdos saltos ultrapasse 17,30m ? (0,9919)

11.) Lanamos um dado duas vezes. Seja a o nmero de pontos obtidos noprimeiro lanamento e b os obtidos no segundo lanamento. Determine aprobabilidade de a equao ax b = 0 ter raiz inteira. ( 38,89%)

12.) Trs companhias A, B e C disputam a obteno do contrato de fabricao deum foguete meteorolgico. A chefia do departamento de vendas de A estimaque sua companhia tem probabilidade igual da companhia B de obter ocontrato, mas que por sua vez igual a duas vezes a probabilidade de C obter omesmo contrato. Determine a probabilidade de A ou C obter o contrato. (60%)

13.) Com os dgitos 1, 2, 3, 4 e 5 so formados nmeros de quatro algarismosdistintos. Se um deles escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ser:

a) par ? (48/120) b) mpar ? ( 60%)14.) Um grupo formado por seis homens e quatro mulheres. Trs pessoas so

selecionadas ao acaso e sem reposio. Qual a probabilidade de que ao menosduas sejam do sexo masculino ? (80/120)

15.) Cinco lmpadas so escolhidas aleatoriamente de um pacote que contm 10lmpadas das quais trs so defeituosas. Seja W o nmero de lmpadasdefeituosas escolhidas . Determine a probabilidade de W = 2. (105/252)

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Sejam dois eventos A e B associados a um espao amostral S. Aprobabilidade de A ocorrer dado que o evento B ocorreu definida por:

P(A/B) = )B(P)BA(P onde P(B) 0.

Portanto, quando calculamos P(A/B), tudo se passa como se o evento B fosseum novo espao amostral reduzido dentro do qual queremos calcular aprobabilidade do evento.

Exemplo: Lanar um par de dados no viciados. Se a soma dos nmeros 6,qual a probabilidade de ter ocorrido 2 em um deles?

S = { (1,1); (1,2); (1,3);...; (6,6) }B = { soma 6 } = { (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1) }A = { ocorre 2 em um dos dados } = { (1,2); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5);(2,6); (3,2); (4,2); (5,2); (6,2) }A B = {(2,4); (4,2) } P(A B) = 36

2

P(B) = 365 , portanto : P(A/B) =

52

365

362

Ou

P(A/B) = 52)B(n

)BA(n

TEOREMA DA MULTIPLICAO (ou do produto)

Da expresso P(A/B) = )B(P)BA(P obtm-se o teorema da multiplicao(ou

produto):

P(A )B = P(A) . P(B/A) que pode ser generalizado para n eventos:P(A ...).CBA/N(P)...BA/C(P).A/B(P).A(P)N...CB

Exemplo: Num lote de 12 peas, 4 so defeituosas. Seja o experimento:retirar 3 peas aleatoriamente uma aps a outra. Determinar a probabilidade das 3peas serem perfeitas.

5514

106

117

128

213121321 ..)PP/P(P.)P/P(P.)P(PPPPP

INDEPENDNCIA DE EVENTOS

Se tivermos dois eventos A e B, tais que P(B/A) = P(B), dizemos que A e Bso eventos independentes(caso contrrio so eventos dependentes). Isto querdizer que a ocorrncia de um no depende( ou no condicionada, ou no sevincula) da ocorrncia do outro, isto , a informao adicional de que um doseventos j ocorreu em nada altera a probabilidade de ocorrncia do outro.

Para o caso de dois eventos independentes o teorema da multiplicao simplificado:

P(A )B(P.)A(P)B

Generalizando para n eventos independentes entre si, temos:

)N(P...)C(P).B(P).A(P)N...CBA(P

Exemplo: Lanar uma moeda 3 vezes.

S = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }

A = { 1 lanamento cara } = {HHH, HHT, HTH, HTT} P(A) = 84

B = { 2 lanamento cara } = { HHH, HHT, THH, THT } P(B) = 84

C = {duas caras consecutivas exatamente } = { HHT, THH } P(C ) = 82

a-) Provar que A e B so independentes.b-) B e C so independentes ?c-) A e C so independentes ?

a-)A B {HHH,HHT}

TESINDEPENDEN)B(PX)A(PX)BA(P 82

84

84

82

b-)BC = {HHT, THH } P ( BC ) = 82

P( BC ) = P(B) x P(C) 81

82x

84

82 Assim B e C so dependentes.

c-) AC = {HHT}

P ( AC ) = P(A) . P(C) 81

82

84

81 . , portanto A e C so independentes.

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

Sejam os eventos A1, A2, A3, ... , An, que constituem uma partio do espaoamostral S, ou seja:

A1 U A2 U A3 ... U An = S P(Ai) > 0, para todo i = 1, 2, 3,..., n. Ai jA para i jEnto, se B um evento, temos o seguinte teorema:

P(B) = P( Ai B ) = P(Ai). P(B/Ai)

Exemplo: Considere 3 caixas.Caixa I : 10 lmpadas com 4 defeituosasCaixa II : 6 lmpadas com 1 defeituosaCaixa III: 8 lmpadas com 3 defeituosas.

Qual a probabilidade de uma lmpada defeituosa ser selecionada desseexperimento ?

P(D) = P(ID) + P(IID) + P(IIID)P(D) = P(I). P(D/I) + P(II). (D/II) + P(III) . P(D/III) P(D) =

360113

83

31

61

31

104

31 ...

TEOREMA DE BAYES

Sejam A1, A2, ... , An eventos que formam partio de S e B um eventoqualquer. Para qualquer Ai :

P(Ai/B) = )A/B(P.)A(P...)A/B(P.)A(P)A/B(P.)A(P

nni

ii

1

Exemplo: Do exemplo anterior, se a lmpada for selecionada ao acaso e fordefeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da caixa I ?

P(caixa I/D) =

83

31

61

31

104

31

104

31

...

.possveisRamos

favorvelRamo 42,47%

EXERCCIOS

1-) Um dado lanado. Se o nmero mpar, qual a probabilidade dele ser primo ?(2/3)

2-) Dois dgitos diferentes so selecionados aleatoriamente dos dgitos de 1 a 9. (i)Se a soma impar, qual a probabilidade do 2 ser um do nmeros selecionados ?(1/4) (ii) Se o 2 um dos nmeros selecionados, qual a probabilidade da soma sermpar ? (5/8)

3-) Numa certa cidade, 40% da populao tm cabelos castanhos, 25% olhoscastanhos e 15% tm olhos e cabelos castanhos. Uma pessoa da cidade selecionada aleatoriamente. (i) Se ela tm cabelos castanhos, qual a probabilidadede ter tambm olhos castanhos ? (3/8) (ii) Se ela tm olhos castanhos, qual aprobabilidade de no ter cabelos castanhos ? (2/5) (iii) Qual a probabilidade deno ter olhos nem cabelos castanhos ? (1/2)

4-) So dadas duas urnas. Uma urna A contm 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8azuis. Uma urna B contm 3 bolas vermelhas e 5 brancas. Lana-se um dado noviciado: se ocorre 3 ou 6 uma bola escolhida de B, caso contrrio uma bola escolhida de A . Encontre a probabilidade de (i) uma bola vermelha ser escolhida(1/3) (ii) uma bola branca ser escolhida (1/3) (iii) uma bola azul ser escolhida (1/3)

5-) A caixa A contm 9 cartas numeradas de 1 a 9 e a caixa B contm 5 cartasnumeradas de 1 a 5. Uma caixa escolhida aleatoriamente e uma carta retirada;se a carta indica um nmero par, outra carta retirada da mesma caixa; se a cartaindica um nmero mpar, uma carta retirada da outra caixa. (i) Qual aprobabilidade de ambas as cartas indicarem nmeros pares ? (2/15) (ii) Se ambasas cartas indicam nmeros pares, qual a probabilidade de terem vindo da caixa A ?(5/8) (iii) Qual a probabilidade de ambas as cartas indicarem nmeros mpares ?(1/3)

6-) Uma caixa contm uma moeda no viciada e uma de duas caras. Uma moeda selecionada aleatoriamente e lanada. Se ocorre cara, a outra moeda lanada; seocorre coroa a mesma moeda lanada. (i) Encontre a probabilidade de ocorrer

cara no segundo lanamento (5/8) (ii) Se ocorreu cara no segundo lanamento,encontre a probabilidade de ter tambm aparecido no primeiro lanamento. (4/5)

7-) Uma urna A contm 5 bolas vermelhas e 3 brancas e uma urna B contm 2bolas vermelhas e 6 brancas. (i) Se uma bola retirada de cada urna, qual aprobabilidade de ambas serem da mesma cor ? (7/16) (ii) Se duas bolas soretiradas de cada urna, qual a probabilidade de todas as 4 serem da mesma cor ?(55/784)

8-) A probabilidade de A acertar no alvo de e a probabilidade de B acertar de1/3. (i) Se cada um atira duas vezes, qual a probabilidade do alvo ser atingido pelomenos uma vez ? (3/4) (ii) Se cada um atira uma vez e o alvo atingido somenteuma vez, qual a probabilidade de A ter atingido o alvo ? (2/5) (iii) Se A pode atirarsomente duas vezes, quantas vezes B deve atirar, tal que exista a probabilidadede pelo menos 90% do alvo ser atingido ? (5)

9-) Uma urna contm 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola selecionadaaleatoriamente da urna e abandonada, e duas bolas da outra cor so colocadas naurna. Uma segunda bola ento selecionada. Encontre a probabilidade (i) dasegunda bola ser vermelha (41/72), (ii) de ambas as bolas serem da mesma cor.(13/36)

10-) A Indstria de Automveis S.A possui 150 empregados, classificados deacordo com a tabela a seguir:Idade(em anos) Sexo

Masc FemTotal

< 25 30 5 3525 |---| 45 40 25 65

> 45 10 40 50Total 80 70 150

Se um empregado escolhido ao acaso, determine a probabilidade dos seguinteseventos:A : O empregado tem mais de 45 anos (33,33%)B : O empregado tem idade igual ou superior a 25 anos (76,66%)C : O empregado do sexo masculino (53,33%)D : O empregado tem menos de 25 anos (23,33%)P(D/C) = ? (37,50%)

EXERCCIOS DIVERSOSGeneralizando para n eventos independentes entre si, temos:EXERCCIOS