Departamento de Computacao e Matematica Caculo IUSP- FFCLRP Fisica MedicaProf. Rafael A. Rosales 27 de marco de 2019

Exercıcios de Calculo 1

Sumario

1 Numeros. Desigualdades. Valor absoluto 2

2 Funcoes 4

3 Clasificacao de funcoes 7

4 Graficos 7

5 Funcoes bijetoras, injetoras, sobrejetoras 8

6 Funcoes inversas 8

7 Composicao de funcoes 8

8 Limites 9

9 limx→∞

f(x) e limites infinitos 12

10 Continuidade 12

11 Definicao de Derivada 14

12 Derivadas 16

13 Diferencial 18

14 l’Hopital 19

15 Teorema do Valor Medio 20

16 Maximos e Mınimos. Graficos 20

17 Serie de Taylor 21

18 Taxas de variacao relacionadas. Maximos e mınimos. 22

19 Respostas para alguns dos exercıcios 23

1

1 Numeros. Desigualdades. Valor absoluto

Exercıcio 1. Em cada um dos itens abaixo, responda se a afirmacao e verdadeira (V) ou falsa(F). No caso de ser verdadeira, esboce as ideais de uma demonstracao e, se for falsa, de umconta-exemplo( ) Cada ponto da reta real R pode ser representado por uma decimal periodica.( ) π = 22/7.( ) Se z ∈ Z+ e x < y, entao xz < yz. (Z+ denota o conjunto {0, 1, 2, 3, . . .})( ) Se z ∈ R e x < y, entao xz < yz.( ) Se x > y, entao |x− y| = x− y.( ) Para quaisquer x, y ∈ R temos |x+ y| = |x|+ |y|.( ) Se a e b sao irracionais entao a+ b e irracional.( ) Se a e b sao irracionais, entao a · b e irracional.( ) Se a e b sao racionais, entao a+ b e racional.( ) Se a e b sao racionais, entao a · b e racional.( ) Para quaisquer x, y ∈ R, com y 6= 0, ∣∣∣∣xy

∣∣∣∣ =|x||y|.

( ) Para quaisquer a, b ∈ R, a = b⇔ a2 = b2.( ) Se x ≥ 0 e x ≤ y, entao x2 ≤ y2.( ) Para quaisquer x, y ∈ R, x3 < y3 ⇔ x < y.( ) x = (1 +

√2)(1−

√2)−1 + 2

√2 e irracional.

Exercıcio 2. Mostre que se a 6= 0, a ∈ Q e b ∈ R \Q, entao a · b ∈ R \Q. [Sugestao: suponhaque a · b ∈ Q. Mostre que isto leva a uma contradicao.]

Exercıcio 3. Sejam a ∈ Q e b ∈ R \ Q. Mostre que a + b ∈ R \ Q. [Sugestao: suponha quea+ b = q ∈ Q o qual leva a uma contradicao.]

Exercıcio 4. Mostre que√

3,√

2 +√

3 e 1 +√

2 sao irracionais.

Exercıcio 5. Dados a, b ∈ R, mostre que |a+ b+ c| ≤ |a|+ |b|+ |c|.

Exercıcio 6. De um exemplo de numeros reais a e b tais que |a+ b| < |a|+ |b|. O que se podedizer a respeito dos sinais desses numeros?

Exercıcio 7. Sejam a > 0 e b > 0. Mostre que

2ab

a+ b≤√ab ≤ a+ b

2.

Exercıcio 8. Mostre que se a e b sao numeros racionais tais que a+b√

2 6= 0, entao (a+b√

2)−1

tambem e dessa forma, isto e, existem numeros racionais c e d tais que (a+ b√

2)−1 = c+ d√

2.

Exercıcio 9. Determinar r > 0 de modo que (4− r, 4 + r) ⊂ (2, 5).

Exercıcio 10. Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notacao de intervalo:(i) {x ∈ R/4x− 3 < 6x+ 2}.(ii) {x ∈ R/|2x− 3| ≤ 1}.(iii) {x ∈ R/|x| < 1}.(iv) {x ∈ R/3x+ 1 < x

3}.

2

Exercıcio 11. Monstre que (a+ b)2 = a2 +2ab+ b2. Diga quais propriedades dos numeros reaisforam utilizadas.

Exercıcio 12. Indicar as propriedades da multiplicacao utilizadas na seguinte equivalencia

2x = 4⇔ x =4

2= 2.

Exercıcio 13. Determine o conjunto dos valores x ∈ R para o qual sao validas as seguintesdesigualdades

(i) 2x− 7 < 0. (ii) x2 − 5x > 0. (iii) x2 − 5x ≤ −6.(iv) − x2 + 5x− 20 > 0. (v) − x2 + 5x− 20 < 0. (vi) 4x2 + 12x+ 9 ≤ 0.

Exercıcio 14. Resolva as seguintes inequacoes

(i)x

x+ 2< 0. (ii)

x

x+ 2≥ 0. (iii)

x

x+ 2< 1.

(iv)2x+ 1

1− x≤ 0. (v)

2x+ 1

1− x≤ x+ 2

1− x. (vi) x3 − 6x2 + 11x > 0.

Exercıcio 15. Diga e justifique, se e valida a seguinte desigualdade: |a− 2b| < a + b, sendo ae b dois numeros reais positivos. No caso que a desigualdade nao seja sempre certa, forneca umexemplo de dois numeros a, b para os quais nao e certa.

Exercıcio 16. Resolva as seguintes inequacoes.

(i) |2x+ 3| ≤ 1. (ii) |2x+ 3| ≥ 1.(iii) |2x− 1|+ x ≤ 2. (v) |2x+ 4| − |x− 1| ≤ 4.

Exercıcio 17. Diga e justifique quais das seguintes identidades sao verdadeiras e quais nao:

(i) | − a| = a. (ii)√x2 = x. (iii)

√x2 ± x.

(iv)3√x3 = x. (v) 3

√8± 2. (vi) 2x+ |x+ 3| < 8⇔ −8 < 2x+ x+ 3 < 8.

Exercıcio 18. Demonstre que |x| < 2⇒ |x− 1| < 3⇒ |x| < 4.

Exercıcio 19. Resolva as seguintes inequacoes,

(i)(x2 − 1)(2x+ 4)

3(x− 3)> 0. (ii)

∣∣∣x− 1

2− x

∣∣∣ ≥ 1. (iii)∣∣∣x− 1

2− x

∣∣∣ < 1.

Exercıcio 20. Resolva a seguinte inequacao x+ 1 =√x2 − 5.

Exercıcio 21. Encontre o conjunto solucao das seguintes desigualdades

a) |1− 3x| < 5 b) |x2 + 3| > 3 c) x2 < 9

d) x2 > −1 e) x2 < 6x− 5 f) x3 > 27

g) 3x+ 3 < x+ 6 h) 2x− 1 ≥ 5x+ 3 i)2x− 1

x+ 1< 0

j) (2x+ 3)(x2 + 1) < 0 l)x− 6

x+ 2≥ 0 m)

(x+ 2)(x− 3)

x(x2 + 1)< 0

n)8

x< x− 2 o) |3x− 1| < −2 p)

3

x− 2<

1

2x+ 1

3

q)x2

x− 2− 1 ≥ x2 + 3

x2 − 4r) x2 + 2x+ 2 > 0 s) |2x− 1| < 3

t) |2x− 1| < x u) |x+ 3| > 1 v) |x+ 1| < |2x− 1|x) |x2 − 4x− 5| ≥ |x− 1| y) |x− 2|+ |x− 3| < 1 z) |x2 − 4x− 5| ≤ |2x+ 1|

Exercıcio 22. Seja ε > 0 um numero real. Mostrar que

|x− 2| < ε

5⇒ |5x− 10| < ε.

Exercıcio 23. Suponha que δ e ε sao numeros reais nao positivos (> 0). Dado ε, encontre δtal que

|x− 3| < δ ⇒ |6x− 18| < ε.

Exercıcio 24. Seja ε um numero positivo. Mostre que se

|x− x0| <ε

2e |y − y0| <

ε

2,

entao

|(x+ y)− (x0 + y0)| < ε,

|(x− y)− (x0 − y0)| < ε.

Exercıcio 25. Mostre que se

|x− x0| < min

(ε

2(|y0|+ 1), 1

)e |y − y0| <

ε

2(|x0|+ 1),

entao |xy − x0y0| < ε. [Observacoes: Para a, b ∈ R, min(a, b) e igual a a se a < b, e b no casocontrario. Note que a primeira hipotese corresponde a

|x− x0| <ε

2(|y0|+ 1)e |x− x0| < 1.

Em uma primeira instancia voce precisa da primeira desigualdade, logo da segunda. Como ashipoteses so fornecem informacao respeito de x − x0 e y − y0, a prova consiste em escreverxy − x0y0 utilizando x− x0 e y − y0.]

Exercıcio 26. Se y0 6= 0 e

|y − y0| < min

(|y0|2,ε|y0|2

2

),

mostre que y 6= 0 e ∣∣∣∣1y − 1

y0

∣∣∣∣ < ε.

2 Funcoes

Salvo seja indicado o contrario, todas as funcoes nesta lista de exercıcios estao definidas no seudominio natural.

4

Exercıcio 27. Um homem de 1,80 metros de altura esta parado, ao nıvel da rua, perto de umposte de iluminacc ao de 4,50 metros que esta aceso. Exprima o comprimento de sua sombracomo funcao da distancia que ele esta do poste.

Exercıcio 28. Um tanque, com agua, tem a forma de um cone circular reto, com verticeapontando para baixo. O raio da base do cone e igual a 9 metros e sua altura e de 27 metros.Exprima o volume da agua no tanque como funcao de sua profundidade.

Exercıcio 29. Um objeto e lancado, verticalmente, e sabe-se que no instante t segundos suaaltura e dada por h(t) = 4t− t2 quilometros 0 ≤ t ≤ 4.a) esboce o grafico de h = h(t).b) Qual a altura maxima atingida pelo objeto? Em que instante essa altura e atingida?

Exercıcio 30. Os lados iguais de um triangulo isosceles tem medida 2. Se x e a base, expresea area como funcao de x.

Exercıcio 31. Um fio de comprimento L e cortado em dois pedacos, e estes tomam a formade uma circunferencia e de um quadrado. Se x e o lado do quadrado, expresse a area total Aenglobada pelas duas figuras como funcao de x. Qual o domınio de A?

Exercıcio 32. Pela queima de combustıveis fosseis o homem libera 200 milhoes de toneladasmetricas de monoxido de carbono (CO) venenoso na atmosfera, cada ano. Apesar disso, aconcentracao de CO mantem-se entre 0,04 e 0,09 ppm (partes por milhao) no ar ambiental.A principal razao e que microorganismos do solo absorvem CO rapidamente e convertem emdioxido de carbono e/ou metano. Em uma experiencia com 10 litros de ar e um pouco de solo,1443×10−6 g de CO foram reduzidas a 47×10−6 g no prazo de 3 horas. O decrescimo foi linear.Desenhar o resultado em um sistema de coordenadas retangulares e determinar a equacao parao decrescimo de massa de CO.

Exercıcio 33. Desde o comeco do ano, o preco dos paes integrais em um supermercado localtem aumentado a uma taxa constante de 2 centavos por mes. Em primeiro de novembro, opreco atingiu 1,06 reais por unidade. Expresse o preco do pao em funcao do tempo e determineo precco no comeco do ano.

Exercıcio 34. O valor do imposto de renda retido na fonte e apresentado na seguinte tabela

Base de Calculo Alıquota

ate R$ 900,00 isentode R$ 900,00 a R$ 1800,00 15%

acima de R$ 1800,00 25%

Baseado na tabel acima, construa o grafico do imposto a pagar em funcao do rendimento.

Exercıcio 35. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de precos

Numero de copias de um mesmo original Precco por copia

de 1 a 19 R$ 0,10de 20 a 49 R$ 0,08

de 50 ou mais R$ 0,06

a) Esboce o grafico da funcao que associa a cada natural n o custo de N copias de um mesmooriginal.b) O uso da tabela acima provoca distorcoes. Aponte-as e sugira uma tabela de precos maisrazoavel.

5

Exercıcio 36. A e B sao locadoras de um automovel. A locadora A cobra 1 real por quilometrorodado mais uma taxa fixa de 100 reais. A locadora B cobra 80 centavos por quilometro rodadomais uma taxa fixa de 200 reais. Discuta a vantagem de A sobre B ou de B sobre A em funcaodo numero de quilometros a serem rodados.

Exercıcio 37. Uma caixa sem tampa sera feita recortando-se pequenos quadrados congruentesdos cantos de uma folha de estanho medindo 20 cm por 20 cm e dobrando-se os lados para cima.Se os quadrados nos cantos do papel possuem lado x cm, escreva o volume total da caixa emfuncao de x. Qual e o seu domınio desta funcao?

Exercıcio 38. Voce opera um servicco de excursoes que pratica os seguintes precos

(i) R$ 200,00 por pessoa, se 50 pessoas (o numero mınimo necessario para fechar um grupo)participarem da excursao;

(ii) Para cada pessoa a mais, ate um maximo de 80 pessoas, o preco e reduzido em R$ 2,00.

Para realizar uma excursao ha um custo fixo de R$ 6000,00 mais R$ 32,00 por pessoa. Escrevao seu lucro em funcao do numero de pessoas.

Exercıcio 39. Determine o domınio das seguintes funcoes

a)f(x) = (x− 1)(x+ 2) b)f(x) =x2 − 4√

2− xc)f(x) =

x2 − 1

x2 + 1

d)f(x) =x2 − 4√x2 + 1

e)f(x) =x3 − 3x+ 11

(2− x)(x− 12)f)f(x) =

√|x3|+ 1

g)f(x) =1

|x2 − 4x− 5|h)f(x) =

√x

3√x− 1

i)f(x) = 6

√x− 3

x+ 2

j)f(x) =√x+√

2x− 3 l)f(x) =√

9− x2 m)f(x) =√x2 − 9

Exercıcio 40. Mostre que √1 + x2 − |x| = 1

|x|+√

1 + x2.

O que vocce acha que ocorre com a diferenca√

1 + x2 − |x| a medida que |x| cresce?

Exercıcio 41. Simplifique 1h

(f(x+ h)− f(x)

), com h 6= 0, sendo f(x) igual a

(i) (x) = 5, (ii) f(x) = 3x2 − 1, (iii) f(x) = x3, (iv) f(x) = sen(x),

(v) f(x) =√x, (vi) f(x) =

1

x+ 2, (vii) f(x) = x4.

Exercıcio 42. Seja d a distancia de (0,0) a (x, y). Expresse d em funcao de x, sabendo que (x,y) e um ponto do grafico de y = 1

x .

Exercıcio 43. Uma funcao f e linear se f(u+ v) = f(u) + f(v) e f(αu) = αf(u) para todo u,v e α. Quais das seguintes funcoes sao lineares?(i) f(x) = 2x, (ii) f(x) = 2x+ 3 (iii) f(x) = |x|, (iv)f(x) = x2.Mostre que se f e linear entao f(0) = 0.

6

Exercıcio 44. Estude o sinal das seguintes funcoes:a) y = x4 + 11x3 − 7x2 + 4x− 8b) y = x3 − 9x2 + 23x− 15c) y = 5x5 − 5x4 − 80x+ 80.d) y = x7 − 5x6 + 6x5.

Exercıcio 45. Se f(x) = x2 + 2x acharf(a+ h)− f(a)

h, com h 6= 0 e interprete o resultado

geometricamente.

Exercıcio 46. Simplifique a expressaof(x0 + h)− f(x0)

h, h 6= 0, para as seguintes funcoes:

a)f(x) =1

x2b)f(x) =

√x

c)f(x) = 3 d)f(x) = sen (x)

Exercıcio 47. Determine a imagem das funcoes

a)f(x) = 10 b)f(x) = 2x2 − 4

c)f(x) =1

x3d)f(x) = x2 + 3x+ 5

3 Clasificacao de funcoes

Exercıcio 48. Mostre que 12 [f(x) + f(−x)] e par e 1

2 [f(x) − f(−x)] e ımpar. Mostre, entao,que toda funcao pode ser escrita como soma de uma funcao par com uma funcao ımpar.

Exercıcio 49. Verifique se as funcoes sao pares, ımpares ou nem pares, nem ımpares

(i) f(x) = 5x3 − 2x (ii) f(x) =x3 − 1

x2 + 1(iii) f(x) = cos(x3 + x7).

4 Graficos

Exercıcio 50. Esboce o grafico das seguintes funcoes

a) f(x) = |x| b) f(x) = x2 c) f(x) =

∣∣∣∣1x∣∣∣∣

d) f(x) = |x|+ x e) f(x) =5

xf) f(x) = |x2 − x− 6|

g) f(x) = sen (1/x) h) f(x) = xsen (1/x) i) f(x) = x2sen (1/x)

j) f(x) = 3− e−2x k) f(x) =

x+ 2, x ≤ −1

x3, |x| < 1

−x+ 3, x ≥ 1

l) f(x) =1

1 + 100x2

Exercıcio 51. [x] denota o maior inteiro menor ou igual que x. Esboce o grafico das seguintesfuncoes

a) f(x) = [x] b) f(x) = x− [x] c) f(x) =√x− [x]

d) f(x) = [x] +√x− [x] e) f(x) = [1/x] g) f(x) = [1/x]−1

Exercıcio 52. Esboce o grafico da funcao f(x) = (−1)[x].

7

5 Funcoes bijetoras, injetoras, sobrejetoras

Exercıcio 53. Classifique as seguintes funcoes quanto a serem injetoras, sobrejetoras, bijetoras,limitadas, monotonas ou periodicas.

a) g : R→ R; g(x) = 1− x2 b) h : R→ R+; h(x) = |x− 1|c) n : R→ Z; n(x) = [x] d) f : R→ R; f(x) = 2x+ 1

e) f : R→ R; f(x) =1

2sen (2πx)

Exercıcio 54. Classifique as seguintes funcoes quanto a serem injetoras, sobrejetoras, bijetoras,limitadas, monotonas ou periodicas.

a) g : R→ R; g(x) = 1− x2;b) n : R→ Z; n(x) = [x];

c) f :(−π

2,π

2

)→ R; f(x) = tg(x);

d) g : R→ R+; g(x) = |x− 1|;

e) f :[0,

3π

2

]→ [−1, 1]; f(x) = cos(x)

f) g : R→ R; g(x) =1

2sen(2πx).

6 Funcoes inversas

Exercıcio 55. Facca um estudo (verificar se sao monotonas, limitadas, periodicas e determinaro domınio e a imagem) sobre as funcoes trigonometricas: seno, cosseno, tangente, cossecante,secante, cotangente. E possıvel definir as funcoes inversas dessas funcoes trigonometricas paraalguns valores do domınio? Se for possıvel descreva o domınio e o grafico dessas funcoes.

Exercıcio 56. Encontre a formula para a funcao inversa, f−1, de cada uma das seguintesfuncoes: (i) x3, (ii) x · |x|, (iii) x2 com dominio (−∞, 0], (iv) x2 com dominio (0,∞), (v)

√1− x2

com dominio [0, 12 ], (vi)√

1− x2 com dominio [−1 : 0], e (x+ 1)(3− x)−1.

7 Composicao de funcoes

Exercıcio 57. Seja

f(x) =

{x2 se x ≤ 1

1− x se x > 1

(i) Determine f ◦ f . (ii) Esboce o grafico de f ◦ f .

Exercıcio 58. Se f : R→ R e g : [−1,∞)→ R sao dadas por f(x) = x2+2x−2 e g(x) =√x+ 1,

e possıvel definir f ◦ g e g ◦ f? Analogo para f : R → (0, 1] e g : (0, 1] → [1,∞), dadas porf(x) = 1

1+x2e g(x) = 1

x .

Exercıcio 59. Suponha que g = h ◦ f . (i) Mostre que se f(x) = f(y) entao g(x) = g(y). (ii)No sentido oposto, suponha que f e g sao duas funcoes tais que g(x) = g(y) sempre e quandof(x) = f(y). (iii) Mostre que g = h ◦ f para uma funcao dada h.

8

8 Limites

Exercıcio 60. Verifique se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas, justificando suasrespostas, isto e, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contra-exemplo noscasos falsos.(i) Se existir lim

x→af(x) e lim

x→a(f(x) + g(x)), entao existe lim

x→ag(x).

(ii) Pode existir limx→a

(f(x) + g(x)) sem que exista limx→a

f(x) e limx→a

g(x).

(iii) Se existerem limx→a+

f(x) e limx→a−

, entao existe limx→a

f(x).

Exercıcio 61. Mostrar, utilizando a definicao de limite, que se

(a) g(x) = f(f)− L, entao limx→a

f(x)⇔ limx→a

g(x) = 0.

(b) limx→a

f(x) = 0⇔ limx→a|f(x)| = 0.

Exercıcio 62. Suponha que no estudo do limite limx→k

f(x) = L, e encontrado um ε > 0 tal que

se δ1 = 0, 0001, entao 0 < |x− k| < δ1 ⇒ |f(x)−L| < ε. Demonstre que se δ2 > 0, 00005, entaotambemo 0 < |x− k| < δ2 ⇒ |f(x)− L| < ε.

Exercıcio 63. Forneca um exemplo onde limx→a|f(x)| = 2 mas lim

x→af(x) nao existe.

Exercıcio 64. Demonstre, utilizando a definicao de limite, que

(i) limx→4

x2 = 16. (ii) limx→−1

(11x+ 5) = −6.

(iii) limx→√28√

3 = 8√

3. (iv) limx→10

x2 − 100

x− 10= 10.

(v) limx→1

x+ 5

x+ 1= 3. (vi) lim

x→−2(5x2 − 7x+ 6) = 40.

(vi) limx→2

√x+ 7 = 3. (vii) lim

x→4

6√x

= 3.

Exercıcio 65. Calcule os seguintes limites

(i) limx→−1

√−x+ x

x+ 1. (ii) lim

x→3

√x+ 1− x+ 1

x2 + x− 12.

(iii) limx→2

√x+ 7− 3

(6− 3)√x+ 2

. (iv) limx→−1

3√x+ 1

x+ 1.

(v) limx→1

[3x+ 1]. (vi) limx→2

2−√x+ 1

1−√x− 1

.

(vii) limx→0

x44 +√x+√

12−√

13√x+√x+ 3√

4(viii) lim

x→1

(1

x− 1− 2

x2 − 1

)(ix) lim

x→0

3√x+ 1− 1

x(x) lim

x→−1

3√x+ 1

x+ 1

(xi) limx→1

3√x− 1

4√x− 1

(xii) limx→2

3√

3x2 − 7x+ 1 + 13√

2x2 − 5x+ 3− 1

(xiii) limx→a

x√x− a

√a√

x−√a

(xiv) limx→1

n√x− 1

x− 1

9

(xv) limx→a

n√x− n√a

x− a(xvi) lim

x→a

m√x− m

√a

n√x− n√a

Exercıcio 66. Calcule, caso exista. Se nao existir, justifique.

a) limx→1+

|x− 1|x− 1

b) limx→1−

|x− 1|x− 1

c) limx→1

|x− 1|x− 1

d) limx→0

|x− 1|x− 1

e) limx→1

f(x), onde f(x) =

{x2, x ≤ 1

2− (x− 2)2, x > 1

f) limx→2−

f(x)− f(2)

x− 2, onde f(x) =

x, x ≤ 2

x2

2, x > 2

g) limx→2+

f(x)− f(2)

x− 2, onde f e a funcao do item f

Exercıcio 67. Calcular

limx→1+

√x+ 3−

√3x+ 1√

x− 1.

Exercıcio 68. Calcule os seguintes limites utilizando o teorema do confronto

(i) limx→0

sen(x). (ii) limx→0

x sen(1

x

).

(iii) limx→1

(x− 1) cos

(x2 − 1

|x− 1|

). (iv) lim

x→0x

(1

x−[

1

x

]).

(v) limx→0

x

[1

x

].

[Observe que | sen(x)| ≤ |x| se x ∈ R; logo, para (iv) temos que para qualquer x ∈ R: 0 ≤x− [x] < 1. Para (v), podemos tomar en conta o limite lim

x→0(1− x[x−1])]

Exercıcio 69. Calcular

limx→0

tg(3x)

sen(2x).

Exercıcio 70. Calcular

limx→1

1− x2

sen(πx).

Exercıcio 71. Calcular

limx→0

sen(αx)

sen(βx).

Exercıcio 72. Calcular

limx→π/4

2 sen2(x)− 1

cos(2x).

Exercıcio 73. Calcular

limx→π/4

4x− πcos(2x)

.

10

Exercıcio 74. Calcule

(i) limx→0

cos

(x

sen(x)− 2x

), (ii) lim

x→0sen

(cos(π/2− 3x)

x

)16. Seja

f(x) =

{sen(2 + x) cos( 1

2+x), se x 6= −2

0, se x = −2.

(i) Monstre que limx→−2

f(x) = f(−2).

(ii) Monstre que nao existe

limx→−2

f(x)− f(−2)

x+ 2.

Exercıcio 75. Determine os seguintes limites

a) limx→a

secx− sec a

x− a, b) lim

x→π3

1− 2 cosx

π − 3x, c) lim

x→π

1− sen(x

2

)π − x

.

Exercıcio 76. Avalie os seguintes limites em termos do numero α = limx→0 sen(x)/x. Porexemplo, para limx→0 sen(2x)/x, tem-se

limx→0

sen(2x)

2= 2 lim

x→0

sen(x)

x= 2α.

a) limx→0

sen(ax)

sen(bx)b) lim

x→0

sen2(2x)

xc) lim

x→0

sen2(2x)

x2

d) limx→0

1− cos(x)

x2e) lim

x→0

tan2(x) + 2x

x+ x2f) lim

x→0

x sen(x)

1− cos(x)

g) limh→0

sen(x+ h)− sen(x)

hh) lim

x→1

sen(x2 − 1)

x− 1i) lim

x→0

x2(3 + sen(x)

(x+ sen(x))2

j) limx→1

(x2 − 1)3 sen

(1

x− 1

)Exercıcio 77. Mostre que se limx→a f(x) = l, entao existem numeros δ > 0 e M tais que|f(x)| < M se 0 < |x− a| < δ. (Faca um desenho disto!) Sugestao: por que e suficiente mostrarque l − 1 < f(x) < l + 1 para 0 < |x− a| < δ?

Exercıcio 78. Forneca exemplos para mostrar que as seguintes definicoes de

limx→a

f(x) = l

nao sao corretas.

(a) Para todo δ > 0 existe um ε > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ, entao |f(x)− l| < ε.

(b) Para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que se |f(x)− l| < ε, entao 0 < |x− a| < δ.

Exercıcio 79. (i) Encontre o perımetro de um polıgono regular de n lados inscrito numa cir-cunferencia de raio r. Utilice radianes como unidade ao considerar qualquer das funcoes trigo-nometricas envolvidas. (ii) Qual e o valor do perımetro quando n e muito grande?

11

9 limx→∞

f(x) e limites infinitos

Exercıcio 80. Calcular

limx→∞

sen(1x

)1x

[Sugestao: considerar a mudanca de variavel 1/x = u.]

Exercıcio 81. Calcular os limites

(i) limx→∞

3x3 + 2x+ 7

7x2 + 2x− 9. (ii) lim

x→−∞

3x5 + 2x+ 7

7x2 + 2x− 9.

(iii) limx→1+

1

x− 1. (iv) lim

x→1−

1

x− 1.

(v) limx→−1−

3x2 + 4

x2 − 1. (vi) lim

x→1+tg(πx

2

).

10 Continuidade

Exercıcio 82. Seja f definida em R e suponha que exista uma constante M > 0 tal que|f(x)− f(p)| ≤M |x− p|2, ∀x ∈ R. Mostrar que f e contınua em p.

Exercıcio 83. A afirmativa

limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x)→ f e contınua em p

e verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.

Exercıcio 84. A funcao

f(x) =

x2 + 2x+ 1

x+ 1, x 6= −1

2, x = −1

e contınua em a = −1? em a = 0? Justifique.

Exercıcio 85. Considere a seguinte funcao,

f(x) =|3x− 2|2− 3x

.

Diga se o limite limx→ 23f(x) existe ou nao (justifique a sua resposta).

Exercıcio 86. Seja

g(x) =|3x2 − 5x− 2|

x− 2.

Diga se o limite limx→2 g(x) existe ou nao (justifique a sua resposta).

Exercıcio 87. Mostre que para todo α > 0, existe um numero real x tal que x4 − x2 + 2x = α.

Exercıcio 88. Determine os valores de α e β para que a funcao

f(x) =

x2 + x− 1, se x < −1,

αx+ β, se − 1 ≤ x ≤ 2,

x3 + 2, se x > 2

seja contınua.

12

Exercıcio 89. Dada a funcao f : [−2, 7]→ R definida por

f(x) =

{4− x2/2, se − 2 ≤ x < 4,

2, se 4 ≤ x ≤ 7.

Pergunta-se: f tem maximo e mınimo no intervalo [-2,7]? E se f(x) = −4 para 4 ≤ x ≤ 7, aoinves de f(x) = 2 para 4 ≤ x ≤ 7? Justifique sua resposta.

Exercıcio 90. Se

f(x) =

{ax− 3, se x ≤ −1,

x2 + a, se − 1 < x,

encontrar o valor de a tal que limx→−1

f(x) exista.

Exercıcio 91. Seja f : R→ R uma funcao tal que limx→0

f(x)

x= −1. Calcule:

a) limx→0

f(3x)

xb) lim

x→0

f(x2)

xc) lim

x→1

f(x2 − 1)

x− 1d) lim

x→0

f(5x)

4x

Exercıcio 92. Utilizando o Teorema do valor intermedio demosntre que(i) A funcao definida por f(x) = x3 + x − 1 e igual a 0 em pelo menos um ponto do intervalo(0, 1).(ii) A equacao x3 + x− 1 = 0 tem pelo menos uma solucao.(iii) A imagem da funcao f : [0, 1]→ B definida pelo mapa x 7→ x3 + x− 1 e B = [−1, 1].(iv) A imagem de f : R→ B, definida por x 7→ x3 + x e B = R.(v) Nao existe nehum numero x ∈ R tal que (

√x2 − 5)−1 = 0.

Exercıcio 93. f : A→ B e continua se, e somente se, f e continua em todo ponto x ∈ Dom(f).Diga e justifique, se as funcoes a continuacao sao continuas ou nao. Caso as funcoes nao sejamcontinuas, diga quais sao os pontos de descontinuidade.

(i)

x2 + 4x− 5

x2 − 1, x 6= ±1,

3, x = 1.(ii)

sen(x)

x. (iii)

1

x.

(iv) x2 − 7x+ 2. (v)

x2 + 4x− 5

x2 − 1, x 6= ±1,

3, x = 1,

2, x = −1.

(vi)x2 + 4x− 5

x2 − 1. (vii) arctg

(1

x

). (viii) tg(x).

Exercıcio 94. Suponha que f satisfaze f(x+y) = f(x)+f(y), e que f e continua em 0. Mostreque f e continua em a para todo a.

Exercıcio 95. Suponha que f e continua em a e que f(a) = 0. Mostre que se α 6= 0, entaof + α e diferente de zero dentro de um intervalo aberto que contem a.

Exercıcio 96. (i) Suponha que f nao e continua em a. Mostre que para algum numero ε > 0,existem numeros x arbitrariamente proximos de a com |f(x) − f(x)| > ε. Faca um desenhoque ilustre esta situacao. (ii) Conclua que para algum numero ε > 0 ou existem numeros xarbitrariamente proximos de a tais que f(x) < f(a)− ε ou os numeros x se sao arbitrariamenteproximos de a com f(x) > f(a) + ε.

13

Exercıcio 97. (i) Mostre que se f e continua em a, entao |f | tambem e. (ii) Mostre quequalquer funcao f a qual pode ser escrita como f = E+O, onde E e par e continua, e O e impare continua. (iii) Mostre que se f e g sao funcoes contınuas, min{f, g} e max{f, g} tambem saocontınuas. (iv) Mostre que qualquer funcao f contınua pode ser escrita como f = g− h, onde ge h sao nao negativas e continuas.

Exercıcio 98. † (i) Suponha que f e uma funcao continua em l. Mostre que

limx→a

g(x) = l⇒ limx→a

f(g(x)) = f(l).

[Sugestao: Pode utilizar diretamente as definicoes embora e mais simples considerar a funcao Gonde G(x) = g(x) para x 6= a, e G(a) = l.] (ii) Mostre que se nao e assumida a continuidade def em l, entao em geral nao vale que limx→a f(g(x)) = f(limx→a g(x)).

Exercıcio 99. Definicao. Se limx→a f(x) existe, embora o limite nao e igual a f(a), entaodizemos que f apresenta uma descontinuidade removıvel em a.

(i) Seja f(x) = sen(1/x) para x ∈ R\{0}, e f(0) = 1. Diga se f apresenta uma discontinuidaderemovıvel em 0. O que ocorre se f(x) = x sen(1/x) quando x ∈ R \ {0}, e f(0) = 1?

(ii) Suponha que f apresente uma discontinuidade removıvel em a. Seja g(x) = f(x) parax 6= a e suponha que g(a) = limx→a f(x). Mostre que g e continua em a.

(iii) Seja f(x) = 0 se x e iracional e seja f(p/q) = 1/q se p/q e irredutıvel. Identifique a funcaog(x) = limy→x f(y).

(iv) †† Seja f uma funcao tal que cada ponto de discontinuidade e uma discontinuidade re-movıvel. Isto significa que limy→x f(y) existe para todo x, embora f pode ser descontınuaem alguns pontos x (inclusive em infinitos pontos). Seja g(x) = limy→x f(y) . Mostre queg e continua. (Isto e mais difıcil do que a prova para o item (ii).)

11 Definicao de Derivada

Exercıcio 100. O que e f ′(a)? Explique com suas palavras o que significa dizer que y = f(x)e diferenciavel em a. De exemplos de funcoes que nao sao diferenciaveis e explique porque issoacontece.

Exercıcio 101. O deslocamento (em metros) de uma partıcula movendo-se ao longo de umareta e dado pela equacao s(t) = t2 − 8t + 18, onde t e medido em segundos. Encontre asvelocidades medias sobre os seguintes intervalos de tempo [3,4], [3.5, 4], [4, 5] [4, 4.5]. Encontrea velocidade instantanea quando t = 4. Faca o grafico de s como funcao do tempo e desenhe asretas secantes, cujas inclinacoes sao as velocidades medias pedidas e a reta tangente ao graficono ponto (4,2).

Exercıcio 102. Uma bola move-se, na vertical, onde sua posicao e 15 + 10t− 5t2 m acima dosolo no instante t segundos. Pergunta-se:a) Qual a velocidade da bola, na subida, no instante t = 0?b) Quando e que sua velocidade, na subida, e igual a zero?c) Qual a altura maxima que a bola atinge?

14

Exercıcio 103. O deslocamento ( em metros ) de uma partıcula movendo-se ao longo de umareta e dado pela equacao do movimento s(t) = 4t3 + 6t + 2, onde t e medido em segundos.Encontre a velocidade da partıcula no instante t = a, t = 1, t = 2 e t = 3.

Exercıcio 104. Um objeto e lancado verticalmente do chao para cima com velocidade inicialde 112 m/s e a altura atingida no instante t segundos e f(t) = 112t− 16t2 m. Pergunta-se:a) Quais as velocidades do objeto nos instantes t = 2, t = 3 e t = 4 segundos?b) Em que instante o objeto alcanca a altura maxima?c) Em que instante o objeto atinge o chao?d) Com que velocidade o objeto atinge o solo?

Exercıcio 105. Em cada um dos itens abaixo, encontre, se existir, a equacao da reta tangenteao grafico da funcao y = f(x) nos pontos especificados:a) f(x) = 5x+ 4, P1 = (2, 14) e P2 = (1, 9)b)f(x) = 3x2 − 5x+ 4, P1 = (0, 4) e P2 = (1, 2)c) f(x) = senx, P = (0, 0)d) f(x) = cosx, P = (π/2, 0)

Exercıcio 106. Encontre a derivada da funcao dada usando a definicao. Estabeleca o domınioda funcao e da derivada:

a) f(x) = 4x+ 3 b) f(x) =√

1 + 2x c) f(x) =1

x2d) f(x) = x3

Exercıcio 107. Se f for uma funcao diferenciavel e g(x) = xf(x), use a definicao de derivadapara mostrar que g′(x) = xf ′(x) + f(x).

Exercıcio 108. Seja f(x) = 3√x. Se a 6= 0, encontre f ′(a). Mostre que f ′(0) nao existe e esboce

o grafico de f .

Exercıcio 109. Esboce o grafico de f(x) = x|x|. Para que valores de x, f e diferenciavel?Encontre uma formula para f ′.

Exercıcio 110. Determine se existe ou nao f ′(0):

a) f(x) =

{xsen(1/x), x 6= 0

0, x = 0b) f(x) =

{x2sen(1/x), x 6= 0

0, x = 0

Exercıcio 111. Prove que a derivada de uma funcao par e ımpar e que a derivada de umafuncao ımpar e par.

Exercıcio 112. Suponha que f e uma funcao que satisfaz f(x+ y) = f(x) + f(y) + x2y + xy2,

para todos os numeros reais x e y. Suponha tambem que limx→0

f(x)

x= 1. Encontre f(0) e

f ′(x),∀x ∈ R.

Exercıcio 113. Mostre que a funcao f(x) =

{2x+ 1, x ≤ 1

−x+ 4, x > 1, nao e derivavel em p = 1.

Esboce o grafico de f .

Exercıcio 114. Mostre que a funcao f(x) =

{x2 + 2, x < 1

2x+ 1, x ≥ 1, e derivavel em p = 1. Esboce

o grafico de f .

Exercıcio 115. Seja r a reta tangente ao grafico de f(x) = 1/x no ponto de abscissa p. Verifiqueque r intercepta o eixo x no ponto de abscissa 2p.

Exercıcio 116. Determine a reta que e tangente ao grafico de f(x) = x2 e e paralela a retay = 4x+ 2.

15

12 Derivadas

Exercıcio 117. Calcule f ′(x):

a)f(x) = 3x2 + 5 b)f(x) = x3 + x2 + 1 c)f(x) = 3x2 − 2x2 + 4

d)f(x) = 3x+√x e)f(x) = 5 + 3x−2 f)f(x) = 2 3

√x

g)f(x) = 3x+1

xh)f(x) =

4

x+

5

x2i)f(x) =

2x3

3+x2

4

j)f(x) = 3√x+√x k)f(x) = 2x+

1

x+

1

x2l)f(x) = 6x3 + 3

√x

Exercıcio 118. Calcule a derivada das seguintes funcoes.

a)f(x) =x

x2 + 1b)f(x) =

x2 − 1

x+ 1c)f(x) =

3x2 + 3

5x− 3

d)f(x) =

√x

x+ 1e)f(x) = 5x+

x

x− 1f)f(x) =

√x+

3

x3 + 2

Exercıcio 119. Seja

g(x) =x

x2 + 1.

(i) Determine os pontos do grafico de g em que as retas tangentes, nestes pontos, sejam paralelasao eixo x. (ii) Estude o sinal de g′(x). (iii) Calcule lim

x→+∞g(x) e lim

x→−∞g(x). (iv) Utilizando as

informacoes acima, faca um esboco do grafico de g.

Exercıcio 120. Sejaf(x) = x3 + 3x2 + 1.

(i) Estude o sinal de f ′(x). (ii) Calcule limx→+∞

f(x) e limx→−∞

f(x). (iii) Utilizando as informacoes

acima, faca um esboco do grafico de f .

Exercıcio 121. Calcule a derivada das seguintes funcoes.

a) 3x2 + 5cos(x) b)cos(x)

x2 + 1c) xsen(x)

d) x2tg(x) e)x+ 1

tg(x)f)

3

senx+ cosx

g)sec(x)

3x+ 2h) cos(x) + (x2 + 1)sen(x) i)

√xsec(x)

j)x+ 1

xsen(x)k) x2 + 3xtg(x) l)

x+ sen(x)

x− cos(x)

Exercıcio 122. Derive as seguintes funcoes abaixo.

a) sen(4x) b) cos(5x) c) sen(x3)

d) (sen(x) + cos(x))3 e)√

3x+ 1 f) 3

√x− 1

x+ 1

g) sen(cos(x)) h) (x2 + 3)4 i)cos(x2 + 3)

j) tg(3x) k) sec(3x) l)sen(x2)

sen2(x)

16

Exercıcio 123. Derive as funcoes abaixo.

1)x+ 1

x− 12)

2x3 + 1

x+ 23)

4x− x4

x3 + 2

4) x sen(√x5 − x2) 5)

3√x2 cos(x)

(x4 + tg2x+ 1)26)√xtg2(x)

7)

√x+ cossec(x)

x3 + 3x28) sec(

√x2 + 1) 9)

x2tg(x)

sec(x)

10) x sen(x) cos(x) 11)(x+ 2)4

x4 + 1612)

1

sen(x− sen(x))

13)2x

3√x+√x

14) cotg(3x2 + 5) 15)x2

sen(x) cos(x)

16)x3 sec(x)tg(x)

(x2 + 1) cos(x)17)

cos(x)cotg(x)

sec(x)− cos(x)18)

2 cos(x)

x2 + x+ 1

19) arcsen(x2) 20) (arcsen(x))2 21) (1− x2)arctg(x)

22) x arccos(x)−√

1− x2 23) cos(ln(x)) 24) ln√x

25) ln(e−x + xe−x) 26)ln(x)

(1− x)27) e

√x

28) sen(ex) 29) arcsen(ex) 30) ln(arctg(x))

31) e1/x2

+1

x232) ln(ex + 1) 33) ecos(x

3)

Exercıcio 124. Encontre y′ e y′′ para

a) y = ln(x) b) y = log10(x)

c) y = ln(1 + e2x) d) y = e3x+1 ln(x2 − 2)

Exercıcio 125. Use diferenciacao logarıtmica para encontrar a derivada de :

a)f(x) = (2x+ 1)5(x4 − 3)6 b)f(x) =4

√x2 + 1

x2 − 1c)f(x) = xsen(x)

d)f(x) = (ln x)x e)f(x) = xesen(2x)

f)f(x) =√xex

2(x2 + 1)10

Exercıcio 126. De uma formula para f (n)(x) se f(x) = ln(x− 1).

Exercıcio 127. Mostre que existem exatamente duas retas tangentes ao grafico de y = (x+ 1)3

que passam pela origem. Escreva suas equacoes.

Exercıcio 128. Seja f : R → R uma funcao diferenciavel em um ponto a ∈ R. Calcule, em

termos de f ′(a), o limite limx→0

f(x)− f(a)√x−√a

.

Exercıcio 129. Sejam as funcoes f e g derivaveis em R tais que f(g(x)) = x, para todo x ∈ R.Sabendo que f ′(1) = 2 e g(0) = 1, calcule g′(0).

Exercıcio 130. Encontre em cada um dos itens abaixody

dx, onde y = y(x) e dada implicitamente

pelas equacoes,

a) cos2(x+ y) = 1/4 b) y3 =x− yx+ y

17

c) (y2 − 9)4 = (4x2 + 3x− 1)2 d) x3 + x2y − 2xy2 + y3 − 1 = 0

e) sen(xy) + y − x2 = 0 f) xy + 16 = 0

15. Determine a equacao da reta tangente a curva dada, no ponto indicado,

a) y2 = x3(2− x), ponto (1, 1)

b) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), ponto (3, 1).

16. Calcule a derivada segunda das funcoes abaixo,

a) y =x

1− x, b) y = x2 − 1

x2.

17. Sejam f(x) = ex + ln(x) e h(x) = f−1(x). Ache h′(e).

Exercıcio 131. Mostre que se f e par, entao f ′(x) = −f ′(−x). (Sugestao: considere g(x) =f(−x), encontre g′(x); logo lembre que outra coisa poderia ser g. Um desenho pode ajudar!)

Exercıcio 132. Mostre que se f e impar entao f ′(x) = f ′(−x) (Faca um desenho!).

Exercıcio 133. Se fn(x) = xn, e 0 ≤ k ≤ n, mostre que1

f (k)n (x) =n!

(n− k)!xn−k = k!

(n

k

)xn−k.

Exercıcio 134. Seja f(x) = |x|3. (i) Encontre f ′′(x). (ii) Sera que f ′′′(x) existe para tudox ∈ R? (iii) Considere agora a funcao g(x) = x4 para x ≥ 0 e g(x) = −x4 quando g(x) ≤ 0.Repeta a analise em (i) e (ii) para g.

Exercıcio 135. Seja g(x) = xn para x ≥ 0 e g(x) = 0 quando x ≤ 0. Mostre que g(n−1) existe,embora g(n)(0) nao existe.

13 Diferencial

Exercıcio 136. Determine a linearizacao L(x) de f em a para

a) f(x) = x3, a = 1 b) f(x) = 1/x, a = 4.

Exercıcio 137. Encontre o diferencial dy e calcule dy para os valores de x e dx dados:a) y = x2 + 2x, x = 3 e dx = 0, 5;b) y = (x2 + 5)3, x = 1 e dx = 0, 05;c) y = cos x, x = π/6 e dx = −0, 01.

Exercıcio 138. Utilice diferenciais para estimar√

36, 1 e sen 59◦.

Exercıcio 139. A aresta de um cubo mede 30 cm, com um possıvel erro na medida de 0,1 cm.Use diferenciais para estimar o erro maximo possıvel em calcular o volume do cubo e a area dasuperfıcie do cubo.

1Lembre que(nk

)corresponde ao coeficiente Binomial n!

k!(n−k)! , onde n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1. Estescoeficientes determinam o numero de combinacoes que podem ser formadas ao escolher k elementos de um totalde n.

18

Exercıcio 140. O diametro de uma esfera mede 84cm, com erro possıvel de 0,5 cm. Usediferenciais para estimar o erro maximo na area da superfıcie calculada e no volume calculado.

Exercıcio 141. Escreva uma formula que estime a variacao que ocorre na area da superficielateral de um cone circular reto quando a altura varia de h0 a h0 + dh e o raio nao se altera.

h

r

14 l’Hopital

Exercıcio 142. Calcule os seguintes limites.

a) limx→1/2−

ln(1− 2x)

tg(πx)b) limx→+∞

ln(x100)5√x

c) limx→0+

ln(x)

cotg(x)

d) limx→+∞

ln(x)

e2xe) lim

x→+∞

xex

ex2f) lim

x→0+x3 ln(x)

g) limx→+∞

x sen(3

x

)h) lim

x→0

(1

1− cos(x)− 2

x2

)i) limx→0

(1

ln(1 + x)− 1

ex − 1

)j) lim

x→0+(x senx)tg x k) lim

x→0(ex + 3x)1/x l) lim

x→0+xtg(x

2)

m) limx→+∞

ln(ln(x))√x

n) limx→0+

xe1/x o) limx→∞

(√x+√x−√x− 1

)Exercıcio 143. Sejam f(x) = x2sen(1/x) e g(x) = x. Mostre que

limx→0

f(x) = limx→0

g(x) = 0, limx→0

f(x)

g(x)= 0, e que lim

x→0

f ′(x)

g′(x).

nao existe. Ha alguma contradicao com a Regra de l’Hopital? Justifique sua resposta.

Exercıcio 144. Considere um circuito eletrico constituido por uma forca eletromotiva V , umresistor R e um inductor L como mostrado no diagrama. A corrente I em funcao do tempo edada pela relacao,

I =V

R(1− e−Rt/L)

(i) Se L e a unica varavel independente, determine limL→0+ I. (ii) Se R e a unica variavelindependente, determine limR→0+ I.

19

R

L

IV

Exercıcio 145. A media geometrica de dois numero reais positivos a, b e definida como√ab.

Utilice l’Hopital para mostrar que

√ab = lim

x→∞

(a1/x + b1/x

2

)x.

15 Teorema do Valor Medio

Exercıcio 146. 2. Se f(x) e um polinomio qualquer, portanto, f ′(x) tambem e um polinomio.Mostre que entre duas raızes distintas de f(x) existe pelo menos uma raiz de f ′(x).

Exercıcio 147. Encontre uma funcao cubica f(x) = ax3 +bx2 +cx+d que tenha valor maximolocal 3 em -2 e valor mınimo local 0 em 1.

Exercıcio 148. Mostre que a equacao x3 + x2 − 5x+ 1 = 0 admite tres raızes reais e distintas.Localize tais raızes.

Exercıcio 149. a) Seja f : R → R uma funcao derivavel tal que f ′(x) = 0 para todo x ∈ R.Use o Teorema do Valor Medio para mostrar que f e uma funcao constante.b) Seja g : R→ R uma funcao derivavel tal que g′(x) = g(x) para todo x ∈ R. Mostre que existeum c ∈ R tal que g(x) = cex para todo x ∈ R. (Sugestao: considere a funcao h(x) = g(x)e−x euse (a)).

Exercıcio 150. Mostre que todo polinomio de grau tres tem um unico ponto de inflexao.

16 Maximos e Mınimos. Graficos

Exercıcio 151. Encontre os pontos crıticos das seguintes funcoes:

a)f(x) = x3 − 3x2 + 3x b)f(x) = sen2 x c)f(x) =1

1 + x2

d)f(x) = x2 − 2

xe)f(x) =

√x(1− x) f)f(x) =

x

x2 − 9

Exercıcio 152. Para as funcoes abaixo, encontre os intervalos nos quais f e crescente oudecrescente, os valores de maximo e mınimo locais de f , os intervalos de concavidade e pontosde inflexao:

a)f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x b)f(x) = x4 − 6x2 c)f(x) = sen2(x), 0 ≤ x ≤ 2π

20

Exercıcio 153. Para cada uma das funcoes encontre os maximos e mınimos locais e globais nodomınio dado:

a)f(x) = senx+ cosx, x ∈ [0, π] b)f(x) = e−x − e−2x, x ∈ [0, 1]

c)f(x) =x

1 + x2, x ∈ R d)f(x) = xe−x, x ∈ R

e)f(x) = x4 − x2 + |x|, x ∈ [−1, 1] f)f(x) =ln(x)

x, x ∈ [1, 3]

Exercıcio 154. Esboce os graficos das seguintes funcoes

a)y = 2− 15x− 9x2 − x3 b)y =x

x− 1c)y =

1 + x2

1− x2

d)y =1

x3 − xe)y =

x2

x2 + 9f)y =

x

x2 − 9

g)y =−x2

x2 − 9h)y =

√x2 + 1− x i)y = xe−x

j)y =x3

x2 + 3x− 10k)y =

x2 − 4x+ 4

x2 − 5x+ 6l)y = x4 − 4x2

Para i) pode considerar que ex ' 2.7182818x).

Exercıcio 155. As funcoes senh : R→ R e cosh : R→ R dadas por

senhx =ex − e−x

2e coshx =

ex + e−x

2

sao chamadas de seno hiperbolico e cosseno hiperbolico, respectivamente. Mostre que:a) senh e uma funcao ımpar e cosh e uma funcao par;b)

d

dxsenhx = coshx e

d

dxcoshx = senhx;

c) cosh2 x− senh2 x = 1, ∀x ∈ R;d) senh(x+ y) = senhx cosh y + coshx senh y;e) Defina

tghx =senhx

coshxe sechx =

1

coshx.

Mostre que 1− tgh2 x = sech2 x;f) Esboce o grafico de senh, cosh e tgh.

17 Serie de Taylor

Exercıcio 156. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 2 em torno de x0 quando:a) y = 3

√x, x0 = 1 b) y = ex, x0 = 0 c) y = senx, x0 = 0

Exercıcio 157. Usando o polinomio de Taylor de ordem 2 do exercıcio anterior, calcular umvalor aproximado e o erro desta aproximacao para:a) 3√

8, 2 b) e0,03 c) sen(0,1)

Exercıcio 158. Mostre que para todo x real,

sen(x) = limn→∞

(x− x3

3!+x5

5!− . . .+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!

).

21

18 Taxas de variacao relacionadas. Maximos e mınimos.

Exercıcio 159. Um aviao voa horizontalmente a uma altitude de 1 km, a 500 km/h, e passadiretamente sobre uma estacao de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distancia do aviaoate a estacao esta crescendo quando ele esta a 2 km alem da estacao.

Exercıcio 160. Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a60 km/h e o outro para o oeste a 25 km/h. A que taxa esta crescendo a distancia entre os doiscarros duas horas depois?

Exercıcio 161. Esta vazando agua de uma tanque conico invertido a uma taxa de 10.000cm3/min. Ao mesmo tempo, esta sendo bombeada agua para dentro do tanque a uma taxaconstante. O tanque tem 6 metros de altura e seu diametro, no topo, e 4 metros. Se o nıvel daagua esta subindo a uma taxa de 20 cm/min, quando a altura da agua for 2 metros encontre ataxa segundo a qual a agua esta sendo bombeada dentro do tanque.

Exercıcio 162. Um esteira transportadora esta descarregando cascalho a uma taxa de 30cm3/min,formando uma pilha na forma de cone com diametro da base e altura sempre iguais. Quao rapidoesta crescendo a altura da pilha quando esta a 10 cm de altura?

Exercıcio 163. Encontre dois numeros cuja soma seja 23 e cujo produto seja maximo.

Exercıcio 164. Encontre as dimensoes de um retangulo com perımetro de 100m cuja area sejaa maior possıvel.

Exercıcio 165. Um fazendeiro com 750 m de cerca quer cercar uma area retangular e entaodividı-la em 4 partes com cercas paralelas a um lado do retangulo. Qual a maior area totalpossıvel das 4 partes?

Exercıcio 166. Se 1200 cm2 de material estivessem disponıveis para fazer uma caixa com umabase quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possıvel da caixa.

Exercıcio 167. Um conteiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter umvolume de 10 m3. O comprimento e o dobro da largura. O material para a base custa 10 reaispor m2 e o material para o lado custa 6 reais por m2. Encontre o custo dos materiais para omais barato dos conteineres. E se o conteiner tiver uma tampa que e feita do mesmo materialusado nos lados?

Exercıcio 168. a) Mostre que de todos os retangulos com uma area dada, aquele com ummenor perımetro e um quadrado. b) Mostre que de todos os retangulos com um dado perımetro,aquele com maior area e um quadrado.

Exercıcio 169. Encontre o ponto sobre a reta y = 4x+ 7 que esta mais proximo da origem.

Exercıcio 170. Um pedaco de fio com 10 m de comprimento e cortado em 2 partes. Umaparte e dobrada em formato de um quadrado, ao passo que a outra e dobrada na forma deum triangulo equilatero. Como deve ser cortado o fio de forma que a area total englobada sejamaxima? ( Resp: tudo para o quadrado ) E mınima?

Exercıcio 171. A iluminacao de um objeto por uma fonte de luz e diretamente proporcional apotencia da fonte e inversamente propocional ao quadrado da distancia da fonte. Se duas fontesde luz, uma 3 vezes mais forte que a outra, sao colocadas a 10m de distancia, onde deve sercolocado o objeto sobre a reta entre as fontes de tal forma a receber o mınimo de iluminacao?

22

Exercıcio 172. † Dois corredores com largura a e b se encontram formando um angulo retoconforme se mostra na figura.

a b

Qual e o maior cumprimento permitido de uma escada o qual garante que esta ainda poda sercarregada (horizontalmente) de um corredor ao outro?

Exercıcio 173. † Encontre o trapezio de maior area o qual pode ser inscrito em um semi-circulode raio a, com uma das suas bases sobre o diametro do circulo.

Exercıcio 174. †† A esquina inferior direita de uma folha e dobrada de maneira que esta tocaem um ponto a margem esquerda conforme mostrado na figura abaixo.

β

Se a folha e muito comprida e a sua largura e denotada por α, mostre que o menor comprimentodo lado β e 3

√3α/4.

19 Respostas para alguns dos exercıcios

Grande parte das respostas pode ser verificada utilizando o site www.wolframalpha.com. Porexemplo, o grafico da funcao f(x) = x3/(x2 + 3x− 10) no domınio [−5, 4] e obtido ao digitar

plot(x^3)/(x^2+3*x-10) x from -5 to 4

A derivada pode ser obtida comoderive (x^3)/(x^2+3*x-10))

e o limite quando x tende a -5 pela esquerdalimit x^3/(x^2+3*x -10) x to -5 left

right em lugar de left obtem o limite pela direita. limit sem outro argumento apos a definicaoda funcao fornece o limite, sempre e quando este exista. Caso o limite nao exista e obtida ainformacao “two-sided limit does not exist”.

4. Suponha que√

3 seja irracional, logo existem a, b ∈ Z tais que mdc(a, b) = 1 e√

3 = a/b.Portanto 3b2 = a2 o qual mostra que a2 e divisıvel por 3, ou seja, existe k interiro tal que a = 3k.Substituindo obtemos 3b2 = (3k)2 e assim b2 = 3k2 o qual e uma contradicao pois neste casoambos a e b sao divisıvels por 3, logo mdc(a, b) > 1.

Uma analise analoga a anterior (e a utilizada em sala de aula para mostrar que√

2 e irracio-nal) mostra que

√6 e irracional. Suponhamos que

√2+√

3 e racional. Logo(√

2+√

3)2 = 5+2√

6

23

tambem e racional pois Q e um corpo. Mas isto nao e possıvel pois√

6 e irracional e portantotambem 5 + 2

√6.

Suponhamos que√

2 + 1 seja racional, isto e que existam a, b ∈ Z tais que√

2 + 1 = a/b.Logo

√2 = a/b− 1 = (a− b)/b ∈ Q. Claramente uma contradicao, pois

√2 e irracional.

5. Se aplicamos duas vezes a desigualdade triangular obtemos

|a+ b+ c| ≤ |a+ b|+ |c| ≤ |a|+ |b|+ |c|.

7. Para quaisquer a, b > 0 temos (a− b)2 ≥ 0, logo

(a− b)(a− b) = a2 − 2ab+ b2 ≥ 0⇒ a2 + b2 ≥ 2ab

⇒ a2 + 2ab+ b2 ≥ 4ab

⇒ (a+ b)2 ≥ 4ab

⇒ a+ b ≥ 2√ab.

Se dividimos por 2 ambos lados da ultima desigualdade obtemos o limitante superior. Dolimitante superior por sua vez obtemos

a+ b

2≥√ab⇒ 2

a+ b≤ 1√

ab⇒ 2

a+ b≤√ab

ab⇒ 2ab

a+ b≤√ab.

11. (a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = (a+ b)a+ (a+ b)b+ (a2 + ba) + (ab+ b2)?= [(a2 + ba) + ab] + b2

?= [a2 + (ba+ ab)] + b2

◦= [a2 + (ba+ ba)] + b2 = a2 + 2sb+ b2. Em

?= e utilizada a propriedade

associativa da soma, em◦= a propriedade comutativa da multiplicacao.

13. Denotamos por S o conjunto solucao. (i) S = {x ∈ R : x < 7/2} = (−∞, 7/2). (ii)S = {x ∈ R : x < 0 ou x > 5} = (−∞, 0) ∪ (5,∞). (iii) S = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 3} = [2, 3]. (iv)S = {} = ∅. (v) S = R. (vi) S = {x ∈ R : x = −3/2} = {−3/2}.

14. (i) S = {x ∈ R : −2 < x < 0} = (−2, 0). (ii) S = {x ∈ R : x < −2 ou x ≥ 0} =(−∞,−2) ∪ [0,∞). (iii) S = {x ∈ R : x > −2} = (−2,∞). (iv) S = {x ≤ −1/2 ou x > 1} =(−∞,−1/2] ∪ (1,∞). (v) S = {x ∈ R : x 6= 1} = (−∞, 1) ∪ (1,∞). (vi) S = {x ∈ R : 1 < x <2 ou x > 3} = (1, 2) ∪ (3,∞).

16. (i) [−2,−1]. (ii) (−∞,−2] ∪ [−1,∞). (iii) [−3, 1/3]. (v) [−9, 1/3].

17. F: falso, V: verdadeiro. (i) F. (ii) F. (iii) F. (iv) V. (v) F. (vi) F.

18. Temos |x− 1| < 3⇔ −2 < x < 4, logo, |x| < 2⇒ −2 < x < 2⇒ −2 < x < 4⇒ −4 < x <4⇒ |x| < 4.

19. (i) S = (−∞,−2) ∪ (−1, 0) ∪ (1, 3). (ii) S = [3/2, 2) ∪ (2,∞). (iii) (−∞, 3/2].

20. S = {∅}. O motivo e o seguinte. Elevando ao quadrado cada lado da igualdade obtemos(x + 1)2 = x2 − 5, portanto x = −3/2. Este valor para x nao e possıvel pois

√x2 − 5 possue

domınio natural (−∞,−√

5] ∪ [√

5,∞) e −√

5 < −3/2 <√

5.

24

21. a) (−4/3, 2); b) R\{0}; c) (−3, 3); d) (−∞,−1)∪(1,+∞); e) (1, 5); f) (3,∞); g) (−∞, 3/2);h) (−∞,−4/3); i) (−1, 1/2); n) (−2, 0)∪(4,∞); p) (−∞,−1)∪(−1/2, 2); q) (−2,−1)∪(2,+∞);x) (

5

2+

1

2

√41,∞

)⋃(5

2− 1

2

√41,

3

2+

1

2

√33

)⋃(−∞, 3

2− 1

2

√33

);

z) (1−√

5, 3−√

15) ∪ (1 +√

5, 3 +√

15).

23. Utilizando as propriedade de valor absoluto temos que

|3x− 18| = |3(x− 6)| = |3||x− 6| = 3|x− 6|,

portanto

|3x− 18| < ε⇒ 3|x− 6| < ε

3.

Isto mostra que podemos tomar δ = ε/3. A demostracao para o Exercıcio 22. segue praticamenteos mesmos passos expostos aqui.

30. area(x) = x√

8− x2/4.

31. A(x) = (L− 4x)2/(4π) + x2

32. O decrescimo de CO em funcao do tempo e dado pela lei

f(x) =47− 1443

3x+ 1443.

O grafico desta funcao e apresentado na Figura 1.

39. a) R, b) (−∞, 2), c) R \ {−1, 1}, f) R, g) R \ {−1, 5}, h) R+, i) (−∞, 2) ∪ [3,∞)

50.

x

y

|x|

x

y x2

x

y|sen(x)|

−2π π 0 π 2π

25

tempo (h)

CO

(10−6

g)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0200

400

600

800

100

012

00

140

0

Figura 1: Resposta ao Exercıcio 32.

:

x

ysen2(x)

−2π π 0 π 2π

x

y

1

|x|2

4

6

−10 −5 5 10

26

x

y

1

1 + 100x2

1

−1 −12

12

1

x

y

−2

−1

1

2

−2 1 2

[x]

x

y

10

20

−5 0 5

[x2 − x− 6]

27

x

y

sen(1/x)

−1.2

1.2

−2 −1 1 2

x

y xsen(1x

)

−0.3

0.3

−0.4 0.4

51.

x

y

[1

x

]

−10

10

28

x

y

x− [x]

52.

x

y

−1

1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

(−1)[x]

65. (i) 12 , (ii) − 3

28 , (iii) 0, (iv) indefinido, (v) indefinido, (vi) indefinido, (vii)

1

43√

16(√

24√

3−√

13)

(viii) 12 . (ix) 1

3 , (x) 13 , (xi) 4

3 , (xii) 53 , (xiii) 3a, (xiv) 1

n , (xv)n√ana , (xvi)

n

m

mn√an−m.

66. a) 1, b) -1, c) indefinido (isto segue das respostas a) e b)), d) -1, e) 1, f) = -1, g) =2.

67. 0.

68. Utilizando o Teorema do confronto: (i) 0, (ii) 0, (iii) 0, (iv) indefinidoou 0?, (v) indefinidoou 1?.

69. 3/2.

70. 2/π.

71. α/β.

72. -1.

73. -2.

74. (i) cos(1), (ii) sin(3).

29

75 a) sec a · tg a, b) −√

3/3, c) 0.

79. (i) A figura abaixo mostra um poliedro de n lados inscrito numa circunferencia de raior. O angulo AOC e 2π/n, logo o angulo BOC e π/n. Isto implica que BC = r sen(π/n), eAC = 2r sen(π/n), portanto o perametro necessariamente e 2rn sen(π/n).

O

AB

C

r

(ii) Quando n e muito grande consideramos o limite

limx→∞

2rn sen(πn

)= lim

x→∞π2r

n

πsen(πn

)= 2πrα,

onde α = limx→∞ sen(x)/x (veja o exercıcio 76). Como 2rπ e o perımetro da circunferencia eno limite quando n→∞ o perametro do poligono concide com o da circunferencia, deduzimosque limx→0 sen(x)/x = 1.

80. 1.

81. (i) ∞, (ii) −∞, (iii) ∞, (iv) −∞, (v) ∞, (vi) −∞.

85. Nao existe.

86. Nao existe.

93. (i) continua em tudo R. (ii) , (iii) nao e continua em x = 0 pois neste ponto a funcao naoesta definida. (vi) a funcao nao esta definida em x = −1 e x = 1; no primiero caso apresentauma asintota vertical, no segundo nao esta definida. (vii) nao e continua em x = 0 (neste pontonao esta definida a funcao). (viii) a funcao nao e continua em nπ/2, n = ±1,±2, . . .; nestespontos apresenta asıntotas verticais.

119. O grafico de g e,

30

x

y

x/(x2 + 1)

−0.5

0.5

−5 5

120. O grafico de f e,

x

yx3 + 3x2 + 1

−4

5

10

−3 −2 −1 1

139. 270 cm3 e 36cm2 .140. 84πcm2 e 1764πcm3.154.d

x

y

1x3−x

31

154.e

x

y

x2

(x2+9)0.4

0.8

−10 −5 5 10

154.i

x

y

xe−x0.2

0.4

2 4 6

154.x

x

y

x4 − 4x2

−3

4

10

−2 −1 1 2

155. O grafico de g e

32

x

y

senh(x)

cosh(x)

tgh(x)

−2

2

4

6

−2 −1 1 2

159. 200√

5 km/h. 160. 65 km/h. 161. ≈ 289.111 cm3/min. 162. ≈ 0, 38cm/min. 163.x = y = 23/2. 164. a = b = 25. 165. 14062,5. 166. 4000. 167. 191,28. 169. (-28/17,7/17)170. 40

√3/(9 + 4

√3) m. 171. 10 3

√3/(1 + 3

√3)m da fonte mais forte.

172.

a bx

y

Da figura acima temos queb

x=y

a,

portanto o comprimento da linha ponteada e igual a√b2 + x2 +

√a2 +

a2b2

x2=√b2 + x2 +

a

x

√x2 + b2 =

(1 +

a

x

)√x2 + b2.

O maior comprimento da escada corresponde ao comprimento mınimo da linha ponteada. Esteultimo e obtido quando

0 = − a

x2

√x2 + b2 +

(1 +

a

x

) x√x2 + b2

=[− a

x2(x2 + b2) + x+ a

] 1√x2 + b2

,

Assim, ax2 + ab2 = x3 + ax2, e disto x = a1/3b2/3. Logo o comprimento da escada e(1 +

a2/3

b2/3

)√a2/3b2/3 + b2 =

(b2/3 + a2/3

)√a2/3b4/3 + b2

b4/3= (b2/3 + a2/3)2/3.

33

173. Se x e a altura do trapezio, entao

A(x) = (a+√a2 − x2)x

e a sua area; veja o desenho abaixo.

a

x

√a2 − x2

Neste caso o maximo ocorre quando

0 = A′(x) = a+√a2 − x2 − x2√

a2 − x2=a√a2 − x2 + a2 − 2x2√

a2 − x2,

ou de maneira alternativa quando,

a2(a2 − x2) = (2x2 − a2)2 = 4x4 − 4x2a2 + a4.

Isto implica que 4x4 = 3x2a2 e x =√

3a/2. Assim a area em questao e(a+

√a2 − 3a

4

)√3a

2=(a+

a

2

)√3a

2=

3√

3a2

4.

174. Consideramos os seguintes pontos,

β

D

C

B

E

E′A

α

Se x = BC e y = AB, entao

ED =√x2 − (α− x)2 =

√2αx− α2 do 4 EDC,

α2 + (y − ED)2 = y do 4 EE′A,

logo

α2 + (y −√

2αx− α2)2 = y2 ⇒ −y√

2αx− α2 + αx = 0⇒ y2(2αx− α2) = α2x2

34

e assim

y2 =α2x2

2αx− α2=

αx2

2x− α.

O quadrado do comprimento de β e

x2 + y2 = x2 +αx2

2x− α=

2x3

2x− α.

Esta quantidade e mınimizada quando

0 = 6x2(2x− α)− 4x3 = 8x3 − 6x2α = x2(8x− 6α),

ou quando x = 3α/4. Para este valor de x o comprimento e√√√√√√√2

(3α

4

)3

3α

2− α

=3√

3α

4.

35