Sexta Lista de Exerc cios - UFPRana.munaretto/lista6_calc2.pdf · Sexta Lista de Exerc cios C...
4
Sexta Lista de Exerc´ ıcios C´ alculo II - Engenharia de Produ¸ c˜ ao ( extra´ ıda do livro C ´ ALCULO - vol 2, James Stewart ) Integrais Triplas e Mudan¸ ca de Vari´ aveis em Integrais M´ ultiplas 1) Calcule a integral iterada. a) Z 1 0 Z z 0 Z x+z 0 6xz dydxdz b) Z 3 0 Z 1 0 Z √ 1-z 2 0 ze y dxdzdy c) Z π/2 0 Z y 0 Z x 0 cos(x + y + z ) dzdxdy 2) Calcule a integral tripla. a) RRR E 2x dV , onde E = {(x, y, z ) | 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ p 4 - y 2 , 0 ≤ z ≤ y} b) RRR E yz cos(x 5 ) dV , onde E est´ a abaixo do plano z =1+ x + y e acima da regi˜ao do plano xy limitada pelas curvas y = √ x, y = 0, e x = 1. c) RRR E x 2 e y dV , onde E ´ e delimitado pelo cilindro parab´ olico z =1 - y 2 e pelos planos z = 0, x =1e x = -1. d) RRR T x 2 dV , onde T ´ e o tetraedro s´olido com v´ ertices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). e) RRR E x dV , onde E ´ e limitado pelo paraboloide x =4y 2 +4z 2 e pelo plano x = 4. 3) Use a integral tripla para determinar o volume do s´olido dado. a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x + y + z = 4. b) O s´ olido delimitado pelo cilindro x = y 2 e pelos planos z =0e x + z = 1. 4) A figura mostra a regi˜ ao de integra¸c˜ ao da integral Z 1 0 Z 1 √ x Z 1-y 0 f (x, y, z ) dzdydx Re- escreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens. 1
Transcript of Sexta Lista de Exerc cios - UFPRana.munaretto/lista6_calc2.pdf · Sexta Lista de Exerc cios C...
Sexta Lista de ExercıciosCalculo II - Engenharia de Producao(extraıda do livro CALCULO - vol 2, James Stewart
)
Integrais Triplas e Mudanca de Variaveis em Integrais Multiplas
1) Calcule a integral iterada.
a)
∫ 1
0
∫ z
0
∫ x+z
0
6xz dydxdz b)
∫ 3
0
∫ 1
0
∫ √1−z2
0
zey dxdzdy
c)
∫ π/2
0
∫ y
0
∫ x
0
cos(x+ y + z) dzdxdy
2) Calcule a integral tripla.
a)∫ ∫ ∫
E2x dV , onde E = {(x, y, z) | 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√4− y2, 0 ≤ z ≤ y}
b)∫ ∫ ∫
Eyz cos(x5) dV , onde E esta abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da regiao do
plano xy limitada pelas curvas y =√x, y = 0, e x = 1.
c)∫ ∫ ∫
Ex2ey dV , onde E e delimitado pelo cilindro parabolico z = 1− y2 e pelos planos
z = 0, x = 1 e x = −1.
d)∫ ∫ ∫
Tx2 dV , onde T e o tetraedro solido com vertices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e
(0, 0, 1).
e)∫ ∫ ∫
Ex dV , onde E e limitado pelo paraboloide x = 4y2 + 4z2 e pelo plano x = 4.
3) Use a integral tripla para determinar o volume do solido dado.
a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x+ y + z = 4.
b) O solido delimitado pelo cilindro x = y2 e pelos planos z = 0 e x+ z = 1.
4) A figura mostra a regiao de integracao da integral
∫ 1
0
∫ 1
√x
∫ 1−y
0
f(x, y, z) dzdydx Re-
escreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.
1
5) Encontre o volume da regiao do primeiro octante limitada pelos planos coordenados epelos planos x+ z = 1, y + 2z = 2.
6) Utilize coordenadas cilındricas.
a) Calcule∫ ∫ ∫
E
√x2 + y2 dV , onde E e a regiao que esta dentro do cilindro x2 + y2 = 16
e entre os planos z = −5 e z = 4.
b) Calcule∫ ∫ ∫
Ey dV , onde E e o solido que esta entre os cilindros x2+y2 = 1 e x2+y2 = 4,
acima do plano xy e abaixo do plano z = x+ 2.
c) Calcule∫ ∫ ∫
Ex2 dV , onde E e o solido que esta dentro do cilindro x2 + y2 = 1, acima
do plno z = 0 e abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.
d) Ache o volume da regiao E limitada pelos paraboloides z = x2 +y2 e z = 36−3x2−3y2.
7) Calcule a integral
∫ 2
−2
∫ √4−y2
−√
4−y2
∫ 2
√x2+y2
xz dzdxdy transformando para coordenadas
cilındricas.
8) Escreva a integral tripla de uma funcao contınua arbitraria f(x, y, z) em coordenadascilındricas sobre o solido mostrado.
9) Utilize coordenadas esfericas.
a) Calcule∫ ∫ ∫
B(x2 + y2 + z2) dV , onde B e a bola com centro na origem e raio 5.
b) Calcule∫ ∫ ∫
Ez dV , onde E esta entre as esferas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4 no
primeiro octante.
c) Calcule∫ ∫ ∫
Ex2 dV , onde E e limitado pelo plano xz e pelos hemisferios
y =√
9− x2 − z2 e y =√
16− x2 − z2.
d) Encontre o volume da parte da bola ρ ≤ a que esta entre os cones φ = π/6 e φ = π/3.
2
e) Determine o volume do solido que esta acima do cone φ = π/3 e abaixo da esferaρ = 4 cosφ.
10) Calcule a integral
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
√x2+y2
xy dzdydx transformando para coordenadas
esfericas.
11) Utilize a transformacao dada para calcular a integral.
a)∫ ∫
R(x−3y) dA, onde R e a regiao triangular de vertices (0, 0), (2, 1) e (1, 2); x = 2u+v,
y = u+ 2v.
b)∫ ∫
Rx2 dA, onde R e a regiao limitada pela elipse 9x2 + 4y2 = 36; x = 2u, y = 3v.
c)∫ ∫
Rxy dA, onde R e a regiao do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3x
e pelas hiperboles xy = 1, xy = 3; x = u/v, y = v.
12) Calcule a integral, efetuando uma mudanca de variaveis apropriada.
a)
∫ ∫R
x− 2y
3x− ydA,
onde R e o paralelogramo delimitado pelas retas x− 2y = 0, x− 2y = 4, 3x− y = 1 e3x− y = 8.
b)
∫ ∫R
cos
(y − xy + x
)dA,
onde R e a regiao trapezoidal com vertices (1, 0), (2, 0), (0, 2) e (0, 1).
RESPOSTAS:1) a) 1 b) 1
3(e3 − 1) c) −1
3
2) a) 4 b) 6528
c) 83e
d) 160
e) 16π3
3) a) 163
b) 815
4) ∫ 1
0
∫ 1
√x
∫ 1−y
0
f(x, y, z) dzdydx =
∫ 1
0
∫ y2
0
∫ 1−y
0
f(x, y, z) dzdxdy
=
∫ 1
0
∫ 1−z
0
∫ y2
0
f(x, y, z) dxdydz
=
∫ 1
0
∫ 1−y
0
∫ y2
0
f(x, y, z) dxdzdy
=
∫ 1
0
∫ 1−√x
0
∫ 1−z
√x
f(x, y, z) dydzdx
=
∫ 1
0
∫ (1−z)2
0
∫ 1−z
√x
f(x, y, z) dydxdz
3
5) 23
6) a) 384π b) 0 c) 2π5
d) 162π
7) 0
8)∫ π/2
0
∫ 3
0
∫ 2
0f(r cos θ, r sin θ, z) rdzdrdθ
9) a) 312500π7
b) 15π16
c) 1562π15
d) (√
3− 1)πa3
3e) 10π
10) 4√
2−515
11) a) −3 b) 6π c) 2 ln 3
12) a) 85
ln 8 b) 32
sin 1
4
