Examen Final de Calculo II
of 5
-
Upload
franck-calderon-rojas -
Category
Documents
-
view
222 -
download
0
Transcript of Examen Final de Calculo II
-
8/16/2019 Examen Final de Calculo II
1/5
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMÈRICA)FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA EL!CTRICA
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
SEMESTRE 2014-IIProfesor:Insr!""#ones:
L"s e#$%enes &'e 'ilian l$*i +" li&'id *a*er n" ienen dere-." are-la%"/
1$ 0ea C la -ir-'n1eren-ia de -enr" (0 ;0 ) + radi" 1 + D la re2i3n
li%iada *"r C/
%$
( ) π π
2 )2
0C
22 ==+ ∫ ∫ =t
dt ds y xb ( ) dA y xcalcular D
: 22∫∫ +
So&!"#'n
( ) π π
2 )
2
0C
22 ==+ ∫ ∫ =t
dt ds y xb
( )2
)
2
0
1
0
322 π θ
π
θ
==+ ∫ ∫ ∫∫ = =r D
drd r dA y xa
4) 0ean F el -a%*" ve-"rial dad" *"r5
( )
+
+= 2
2,,
1,, z yarctgx zarctgx
x
yz z y x F
C el se2%en" de re-a &'e va de A6(7,8,8) a 96(7,8,4)/ Cal-'le la ine2ralde l:nea de F s";re C de d"s %aneras disinas/
a) 'sand" el -"n-e*" de -a%*" ve-"rial -"nservaiv"( )0,0,0
11,
11,
2222 =
+−
++−
+−=
x
z
x
z
x
y
x
yarctgxarctgx F Rot
8
-
8/16/2019 Examen Final de Calculo II
2/5
+==
+=
2
21
z yarctgx f
zarctgx f x
yz f
z
y
x
3
7=
3
1-
3
8=]
3
z+arctanx[yz (0;1;2)B (0;1;1)A
3==∫ =
C
r d F
;) 'sand" 'na *ara%eria-i3n *ara la -'rva C/
Una *ara%eria-i3n de la -'rva C es( ) 10;1,1,0)( ≤≤+= t t t r
r ' (t )=⟨0 ;0,1 ⟩ + F (r (t ) )=⟨ t +1;0 ; (t +1)2 ⟩
∫ =C
r d F
∫0
1
F ( r (t ) ) .r ' (t ) dt =∫0
1
⟨t +1 ;0 ; (t +1 )2 ⟩ . ⟨0 ;0 ;1 ⟩ dt
¿∫0
1
( t +1)2 dt =[ (t +1)3
3 ]01
=8
3−
1
3=
7
3
" del -a%*" ve-"rial F &'e *asa a rav?s de la
s'*er@-ie S d"nde
F ( x ; y ; z )=⟨2 x√ x2+ y2+3 y+2 z ;− x√ x2+ y2−2 y− z ;− z ⟩ + S es *are del
*lan"
2 x+3 y+ z=12 rienad" .a-ia arri;a &'e se en-'enra en el ineri"r del
-ilindr" x2+ y
2=2 x /
0"l'-i3n05 1(#, +, )64#B
-
8/16/2019 Examen Final de Calculo II
3/5
D={(r ; θ )/−π 2 ≤ θ ≤ π
2;0≤ r ≤2cosθ}
C"%" la s'*er@-ie S es$ "rienada .a-ia arri;a, el ve-"r n"r%al es
∇ f = ⟨2 ;3;1 ⟩ /
F . dS=¿64
15=4.3
∬S
.
¿
) 0ean, D la re2i3n del *ri%er -'adrane li%iada *"r las -ir-'n1eren-ias
x2+ y2=1 , x2+ y2=4 , las re-as x=0e y= x / 0i C es la 1r"nera de la
re2i3n D "rienada en senid" ani ."rari" + F es el -a%*" ve-"rial
dad" *"r F ( x ; y )=⟨2 x √ x2+ y
2; y√ x2+ y2 ⟩ /
∫ C
: r d F calcular
0"l'-i3n
La des-ri*-i3n de la re2i3n D en -""rdenadas *"lares es
D={(r ; θ )/ π 4 ≤ θ ≤ π
2;1≤ r ≤2}
( ) dA y x
xydA P Qr d F
D D
y x ∫∫ ∫∫ ∫ +
−=−=22
C
6−∫
π
4
π
2
∫1
2
senθcosθr2
drdθ
¿−∫π
4
π
2
senθcosθ [∫1
2
r2
dr ]dθ=−73 ∫π 4
π
2
senθcosθdθ=−7
12
-
8/16/2019 Examen Final de Calculo II
4/5
) Una l$%ina iene la 1"r%a de la *are s'*eri"r de la es1era x2+ y
2+ z
2=16
&'e se en-'enra en el ineri"r del -ilindr" x2
+ y2
=4 y / 0i la densidad en
-ada *'n" ( x ; y ; z ) es$ dada *"r5 δ ( x ; y ; z )= z3 ( x2+ y2+16) / Cal-'le la
%asa de la l$%ina0"l'-i3n/
La *r"+e--i3n de la s'*er@-ie S s";re el *lan" XY es el dis-" D de
-enr" (0 ;1 ) + radi" 1 -'+a des-ri*-i3n en -""rdenadas *"lares es
D= {(r ; θ )/0≤ θ ≤ π ;0≤ r ≤4 senθ }
Para la s'*er@-ie S : f ( x ; y ; z )= x2
+ y2
+ z2
=16 el ve-"r 2radiene es
∇ f ( x ; y ; z)=⟨2 x ;2 y ;2 z ⟩
‖∇ f ( x ; y ; z )‖=8 + f z=2 z /
z3 ( x2+ y2+16) dS=∬
D
. z
3 ( x2+ y2+16)8|2 z|
dA=¿4∬ D
.
z2 ( x2+ y2+16 ) dA
m=∬S
.
¿
¿4∬ D
.
(16− x2− y2 )( x2+ y2+16) dA=4∫0
π
∫0
4 senθ
(162−r 4 ) rdrdθ
¿4∫0
π
[ ∫0
4senθ
(162r−r5 ) dr ]dθ=97283 π ≈ 878,8
H) 0ean, E el s3lid" li%iada *"r la s'*er@-ie S1: x2+ y
2+ z
2=2 z + F el
-a%*" ve-"rial dad" *"r5 F ( x ; y ; z )=⟨ x3+ xyz ; y 3−2 xyz ; z3+ x z2− y z2
2 ⟩
-
8/16/2019 Examen Final de Calculo II
5/5
∫∫∫ E
)(: dV F divcalcular
0"l'-i3n/
La des-ri*-i3n de la re2i3n E es
E={( ρ ; θ ;∅ )/0≤∅≤ π 2 ;0≤ θ ≤2π ;0≤ ρ ≤2cos∅}La diver2en-ia del -a%*" ve-"rial F es divF ( x ; y ; z )=3 ( x
2+ y
2+ z
2 ) /
L'e2",
=++= ∫∫∫ ∫∫∫ E
222
E
)(3)( dV z y xdV F div
3∫0
π
2
∫0
2π
∫0
2cos∅
ρ4
sen∅dρdθd∅
¿ 96
5 ∫
0
π
2
∫0
2π
cos5∅ sen∅dθ d ∅=
192π
5 ∫
0
π
2
cos5∅ sen∅d∅=
32π
5
