examen calculo upm
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CLCULO Prueba parial. 27 de otubre de 2014 E1 (2 puntos)
Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . .
Nota E1
TEST (1,5 PUNTOS)
Marque on una ruz a lo sumo una opin por pregunta. Aierto +0,25 Error 0,1 Blano 0.
V F
X
1. Si a > 0 es un nmero irraional, entones las raes a son irraionales.
X
2. El onjunto
{1
n2 + 1, n N
}tiene supremo e nmo.
X
3. Las dos raes uadradas z1, z2 de ualquier nmero omplejo no nulo verian z1 + z2 = 0.
X
4. Si |z| 1 e Im(z) = 1, entones z es imaginario puro.
X
5. Si f(x) > g(x) para todo x > 0, entones lmx0+
f(x) > lmx0+
g(x), asumiendo que ambos
lmites existen.
X
6. Si f(x) es derivable en (a, b), entones la derivada f (x) es una funin aotada en (a, b).
PREGUNTAS DE RESPUESTA CORTA (0,5 PUNTOS)
Aierto 0,25 Error 0 Blano 0.
A. Indique los valores de x R {0} para los que se veria 1x+
1
x2> 0: x (1, 0) (0, +)
B. lmx0
e1/x2
cos
(1 + x
x2
)= 0
-
CLCULO Prueba parial. 27 de otubre de 2014 E2 (3 puntos)
Apellidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . .
Nota E2
Ejeriio 2.
2.1 (1 punto) Determine el onjunto de valores reales de a y b que haen a la funin
f(x) =
a
1 + ebxsi x < 0
3x + 2
x2 x 6 si 0 x < 1
ontinua en su dominio.
2.2 (1,25 puntos) Determine los valores de a y b que haen a f derivable en su dominio.
2.3 (0,75 puntos) Sea a > 0. Estudie si es invertible la funin g : R (0, a) denida por
g(x) =a
1 + ex.
Soluin.
2.1 Independientemente de los valores de a y b, la funin f es ontinua en los intervalos (, 0) y (0, 1)por ser oiente de funiones ontinuas on denominador no nulo; en el segundo de los asos, obsrvese que
las raes del denominador se enuentran en x = 2 y x = 3, puntos que estn fuera del intervalo (0, 1).Las posibles restri
iones en los valores de a y b se obtendrn por tanto del requisito de ontinuidad en
x = 0, donde ha de veriarselm
x0f(x) = f(0) = lm
x0+f(x),
es deir,
lmx0
a
1 + ebx=
a
2=13
= lmx0+
3x + 2
x2 x 6 .De la segunda identidad se obtiene
a =23
,
nio valor de a que hae a f ontinua en su dominio, esto es, en (, 1). Para este valor de a, f es
ontinua en (, 1) on independenia del valor que tome b.
-
2.2 El estudio de la derivabilidad de f puede restringirse al aso a = 2/3, pues en aso ontrario f nosera ontinua y por tanto no podra ser derivable.
En los intervalos (, 0) y (0, 1) la funin es derivable por ser oiente de funiones derivables ondenominador no nulo. Hay que estudiar entones la derivabilidad en x = 0, lo que equivale, por deniin,a estudiar la existenia del lmite
lmx0
f(x) f(0)x
,
siendo f(0) = 1/3. Por estar f denida a trozos, es natural estudiar la existenia del lmite anterior apartir de los lmites laterales, que han de existir y veriar
lmx0
f(x) f(0)x
= lmx0+
f(x) f(0)x
.
Con el valor a = 2/3, el primero de estos lmites resulta
lmx0
f(x) f(0)x
= lmx0
2/31+ebx
+ 1/3
x= lm
x0
1 + ebx3x(1 + ebx)
= lmx0
bx3x(1 + ebx)
=b6
, (1)
habiendo empleado en la penltima desigualdad la equivalenia ebx 1 bx, vlida en torno a x = 0.El segundo de los lmites laterales es
lmx0+
f(x) f(0)x
= lmx0+
3x+2x2x6
+ 13
x= lm
x0+
9x + 6 + x2 x 63x(x2 x 6) = lmx0+
x2 + 8x
3x(x2 x 6)
= lmx0+
x + 8
3(x2 x 6) =49
. (2)
Igualando los resultados obtenidos en (1) y (2) se obtiene
b =8
3.
Por lo tanto, f es derivable en su dominio si y slo si
a =23
, b =8
3.
2.3 Para ualquier valor de a, la funin g(x) es derivable en R, siendo la derivada
g(x) =aex
(1 + ex)2.
Bajo la hiptesis a > 0, el numerador de este oiente es positivo para ualquier x; el denominador lo esen ualquier aso por ser un uadrado no nulo. Por tanto, g(x) > 0 para todo x R, de manera que lafunin g es estritamente reiente y, por tanto, inyetiva.
De heho g es tambin sobreyetiva, pues
lmx
g(x) = 0, lmx+
g(x) = a,
y por ser g estritamente reiente, se dedue que el onjunto imagen es el intervalo (0, a); esto impliaque g es biyetiva y, por ello, invertible.
Aunque no se pide en el enuniado, la funin inversa g1 : (0, a) R puede obtenerse despejando xen funin de y en la identidad
y =a
1 + ex,
lo que ondue a la expresin
g1(y) = ln
(y
a y)
.