Examen Diagnóstico

Quinta Sesión

Matemáticas

ED5

Departamento de Servicios Educativos

Mayo, 2012

Introducción

Estimado educando, esta guía tiene por objeto reforzar tus saberes para que tengas una base

de aprendizaje que te permita abordar los contenidos básicos del eje de matemáticas de

Secundaria; y así, cuentes con elementos que te permitan la comprensión de los mismos.

Es importante señalar que en cada tema se trató de manejar situaciones en las que podemos

tener contacto en el trabajo o casa y presentar ejemplos de la vida cotidiana, con el fin de

generar aprendizajes significativos; en cada tema se desarrollan ejercicios que refuerzan los

ejemplos dados, así como algunas imágenes o figuras que te ayudarán a clarificar y facilitar la

comprensión del tema. Asimismo, de algunos ejercicios que se plantean, se dan los

resultados remarcados o con otro color.

Conocerás sobre como podemos comprender y aplicar la aritmética como base para ingresar

al área de álgebra; es decir, primero encontrarás una breve descripción de los números

naturales, números positivos y negativos, las fracciones y sus operaciones básicas de suma,

resta, multiplicación y división; el equivalente fraccional, decimal y de porcentaje de una

cantidad continua, conociendo métodos de conversión como la regla de tres entre otros.

La presentación de datos en una tabla o su interpretación son temas que se abordan como

mecanismos para organizar o clasificar datos de cualquier negocio o aspecto familiar. De las

tablas se pueden derivar gráficas de barras o de pastel, mismas que ayudan a presentar los

datos registrados con una interpretación amena. En este mismo tema, están los pictogramas

que son representados con dibujos de distinta dimensión.

En el contenido de plano cartesiano viene a dar una introducción al álgebra, mediante la

representatividad de “x” y “y” en el registro de datos y en la formación de una gráfica, producto

de una ecuación.

En geometría se aborda la descripción y catalogación de figuras geométricas, así como las

fórmulas para encontrar su perímetro, área (superficie) y volumen. Este tema también da la

pauta para retomar álgebra, en la que a base de representaciones literales (letras), nos

introduce al conocimiento de monomios, binomios y polinomios, para después aprender la

resolución de ecuaciones lineales o de primer grado.

Posteriormente, se presentan los temas del sistema de ecuaciones por varios métodos: suma,

resta y multiplicación, así como el método de gráficas. Finalmente el tema de álgebra se

cierra con el Teorema de Pitágoras, que se resuelve con una ecuación de segundo grado.

Esperamos que sea de apoyo esta guía.

Examen diagnóstico quinta sesión - ED5

Tema/objetivo: Operaciones básicas (suma, multiplicación, etc.) de números con signo.

Los números con signo surgen por la necesidad

de fijar un ponto de partida o referencia con

respecto al cero, por ejemplo, para medir la

temperatura, para llevar un recuento de los años,

para conocer el aumento o disminución del

poder adquisitivo del dinero, etc. Dichos

números con signo los podemos representar en

la recta numérica.

Ejemplo: Leonor revisa 5 veces la temperatura de un

producto que guarda en el refrigerador. Primero hace

tres tomas partiendo de 0°C reduce 2 grados en

cada una (3 × −2 = −𝟔), después hace 2 tomas en

las que la temperatura aumenta 2 grados en cada

una (2 × 2 = 𝟒). ¿En qué temperatura final quedo su

producto? (−𝟔) + (+𝟒) = −𝟐

1. ( ) Ejercicio: Tengo un pedazo de hielo a

-4ºC y después de un tiempo su

temperatura aumenta 3ºC.

¿En qué temperatura quedó el pedazo de

hielo?

Tema: Equivalencias de fracciones

Las fracciones que representan la misma medición pero con fracciones diferentes se llaman

equivalencias, por ejemplo: Tenemos 3 pasteles y los dividimos en rebanadas de diferente tamaño:

Partes en que

se dividió Color Fracción

1° en 2 Rosa 𝟏

𝟐

IGU

AL

2° en 4 Verde 𝟐

𝟒

3° en 8 Azul 𝟒

𝟖

Ejemplo: Sergio compró 1

2 de pizza,

él se comió 2

8 y su hermano

1

8 del

total de la pizza.

¿Qué cantidad de la pizza les sobra?

a) b) c) d)

1

2=

2

4=

4

8

Equivalencia

2

8+

1

8=

3

8

Consumo

4

8−

3

8=

1

8

Resultado

2. ( ) Ejercicio: Don Pedro hereda un terreno a sus

6 hijos en partes iguales. Su hijo Juan piensa

construir su casa en la mitad del terreno que

herede.

¿En qué fracción del terreno completo

construirá Juan su casa?

Nota: El símbolo “∴” significa “por lo tanto”, dando respuesta a la pregunta correspondiente

Tema: Equivalente numérico de una fracción dada

Las fracciones pueden

convertirse a números

decimales. Para ello

sólo hay que dividir el

numerador entre el

denominador.

Ejemplo: 𝟕

𝟒 se puede

escribir con números decimales

𝟕 ÷ 𝟒 = 𝟏. 𝟕𝟓

3. ( ) Ejercicio: Susana compró 11

bolsas de naranjas de 1

2 kilo c/u.

¿Cuántos kilos de naranja compró?

𝒂) 11

2= 3.5 𝑘𝑔 𝒄)

11

2= 4.5 𝑘𝑔

𝒃) 11

2= 7.5 𝑘𝑔 𝒅)

11

2= 5.5 𝑘𝑔

𝟕

𝟒= 𝟏. 𝟕𝟓

Tema: Equivalente fraccionario de un número decimal

Para convertir un número

decimal a una fracción: La

cantidad de cifras que se

escriben a la derecha del

punto decimal determinan

el número de ceros que

forman el denominador

decimal de la fracción

Ejemplos:

0.075 =75

1000

0.2 =2

10

1.047 =1047

1000

2.35 =235

100

4. ( ) Ejercicio: Karina tiene 0.750 kilogramos

(kg) de una esencia que comercializa, ella

quiere convertirla a número fraccionario.

¿Qué fracción de kg tiene Karina?

Tema: interpretación numérica de porcentajes

Porcentaje (%): es la proporción en la que la unidad o cantidad se divide entre 100

% de una unidad % de una cantidad

Es otra forma de

representar una parte de

la unidad. En el tanto por

ciento la unidad (uno), se

ha dividido en 100 partes

iguales, por lo tanto hablar

de tanto por ciento, es

hablar de una fracción

cuyo denominador es 100.

1) La cantidad se divide en 100 partes iguales

para obtener el 1% de la cantidad.

2) El resultado se multiplica por el % deseado

Ejemplo: Daniel tiene 16 caballos, le compran el

75 %. ¿Cuántos caballos vendería?

Si dividimos 16 ÷ 100 = 0.16

Multiplicamos 0.16 × 75 = 12

12 caballos son el 75% de los 16 que tiene Daniel

El tanto por ciento se representa en 3 formas:

5. ( ) Ejercicio: Marcos atiende una juguetería de lunes a viernes.

Recibe en inventario 12 pelotas el día martes. Vende el 25% y el

jueves vende el 50% de la cantidad que recibió. ¿Cuántas pelotas le

quedan en existencia?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

Tema: regla de tres

Regla de tres: La regla de tres es un método que

permite establecer una proporcionalidad entre cuatro

datos, cuando se conocen tres de ellos.

Ejercicio: En la tienda hay Promoción del 15% de

descuento en celulares. Rubén acude a comprar un

celular que tiene un precio de $ 400.°°.

¿A qué equivale ese descuento? R. ___$60____

¿Cuánto le costará el celular? R. $400 − 60 = $340. °°

Ejercicio: Sandra tiene la

necesidad de solicitar un

préstamo de $3,000.°°, el

banco le presta el capital

(dinero) con un rédito mensual

del 8%.

11. ( ) La operación que hace para

saber el rédito (interés) mensual a

pagar es:

𝒂) (8 × 100) ÷ 3000 =

𝒃) (100 × 3000) ÷ 8 =

𝒄) (8 × 3000) ÷ 100 =

𝒅) (100 × 300) ÷ 80 =

12. ( ) ¿Cuánto pagará

de rédito al mes?

a) 266 b) 240

c) 80 d) 375

Tema: Interpretación de datos en tablas

Una tabla se utiliza para organizar información, es una manera de presentar datos y ubicarlos de

manera precisa. Una tabla está formada por un título, columnas y filas; las columnas son verticales

y las filas horizontales; el título normalmente va en la parte superior de la tabla.

Ejemplo: En una florería, Juanita es la responsable de las ventas del fin de semana y para organizar

la existencia de flores, elabora la siguiente tabla con el “Título”: Inventario de plantas.

Las columnas están encabezadas

por las palabras: Flor, Sábado,

Domingo y Venta.

Las filas inician con los nombres de

las flores, por lo que la palabra

Dalia se encuentra en la primera

columna y en la tercera fila.

La existencia final de 28 margaritas

se señala en la cuarta columna y

cuarta fila.

Inventario de plantas (fin de semana)

Flor Recibí Sábado Domingo Venta

Rosa 250 110 32 218

Dalia 340 171 52 288

Margarita 150 126 28 22

Clavel 180 145 70 110

TOTAL DE VENTA $ 638

Con base en la tabla podemos contestar preguntas sobre la existencia de las diferentes flores por

día: sábado o domingo, además del corte de caja, toda vez que conocemos la venta del fin de

semana. Así, podemos contestar a preguntas como:

¿Cuántos claveles se vendieron el fin de semana?____110_____

¿Cuántas Dalias recibió Juanita?_____340___

Conociendo el costo de las flores, la tabla nos ayuda a obtener el corte de caja mediante la columna de Venta

Ejercicio: Saúl revisa la existencia de muebles de

la tienda que es de su propiedad, el contabiliza 1

sala, 2 cómodas, 3 revisteros y 1 comedor. Él

decide surtir su mueblería y compra, 3 comedores,

2 salas, 1 cómoda, 7 revisteros y 1 recamara.

Llenar la tabla con los títulos en columnas y filas.

6. ( ) ¿Cuál es el inventario final después de la

compra?__________________________

Mueble Existencia Compra Inventario

Comedor 1 3 4

Sala 1 2 3

Cómoda 2 2 4

Revistero 3 7 10

Recámara 0 1 1

Solución de problemas con ayuda de información presentada en tablas

Con esta estrategia puedes llevar números, datos y combinaciones en una forma organizada. En

estas tablas puedes colocar números, palabras, símbolos y cualquier otro tipo de información.

Ejemplo: En la clase del profesor Torres se estudian los números pares e impares y la división. El

profesor plantea el siguiente problema:

“El número misterioso tiene 4 dígitos y está entre 4230 y 4240. Por lo menos dos de sus dígitos

son impares y todos son diferentes, además de que la cifra es divisible entre 7”.

¿Cuál es el número misterioso?

► El número misterioso es 4235.

► Tiene dos dígitos impares: 3 y 5.

► Todos los dígitos son diferentes 4, 2, 3,

5.

► Es divisible entre 7. (al dividir da 605)

La tabla nos ayuda a visualizar que el N°

4235 cumple con un “si” en las tres

columnas o condicionantes.

Número Dos

dígitos impares

Dígitos diferentes

Divisible entre 7

4231 si si no

4232 no no no

4233 si no no

4234 no no no

4235 si si si

4236 no si no

4237 si si no

4238 no si no

4239 si si no

4240 no no no

Ejercicio: Juan empieza a trabajar en una tienda y le

piden revisar el inventario de 300 piezas en una

mueblería. Como desconoce el proceso y sólo tendrá

media hora diaria para esa actividad, su jefe sabe por

experiencia que Juan aumentará cada día el número (#)

de muebles inventariados.

Problema: Hay 300 muebles que inventariar, y Juan los

revisará diariamente a razón de 10 el 1er día, 15 el 2°

día, 20 el 3er día, etc. Quiere decir que hay un patrón de

5 muebles más inventariados por cada día que pasa.

7. ( ) Elaborar la tabla que permita saber en

cuantos días concluye Juan con dicha actividad,

(puedes integrar columnas para días, para muebles

inventariados y para la suma o total de muebles

inventariados)

Día Muebles inventariados

Total de muebles

inventariados

1 10 10

2 15 25

3 20 45

4 25 70

5 30 100

6 35 135

7 40 175

8 45 220

9 50 270

10 30 300

Tema: plano cartesiano

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se

cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical,

eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

Para localizar puntos en el plano cartesiano:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se

cuentan las unidades correspondientes

hacia la derecha si son positivas o hacia

La izquierda si son negativas, a partir del

punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se

cuentan las unidades correspondientes

hacia arriba si son positivas o hacia abajo,

si son negativas y de esta forma se

localiza cualquier punto dadas sus

coordenadas.

Ejemplo: en el siguiente plano cartesiano

se ubican 4 puntos, cada uno con dos

coordenadas, la 1a corresponde al eje X y la

2a al eje Y.

El punto A, tiene las coordenadas (-5, -3).

Para el eje “X” -5 (horizontal)

Para el eje “Y” -3 (vertical)

El punto B, tiene las coordenadas (0, 3)

Buscamos horizontalmente a “x” con “0”

Y verticalmente ubicamos a “y” con “3”

La misma función en los incisos C y D

Ejercicio: encontrar las

coordenadas que ubican

el plano cartesiano del

mapa adjunto:

a) (-3, -4) c) (-4, -3)

b) (-4, 3) d) (4, -3)

Tema: Interpretación de pictogramas para comparar cantidades

Pictograma: es un gráfico con dibujos alusivos a un tema ubicados en un eje cartesiano, se utiliza

para hacer más amigable y entendibles los informes estadísticos. Los datos se recopilan a través

de una encuesta o investigación.

Los dibujos alusivos se colocan en la

gráfica de forma proporcional a la

frecuencia o cantidad que

representan.

Ejemplo: el siguiente pictograma tiene

datos sobre los millones de árboles

existentes en algunos estados de la

república mexicana en el año 2000. M

illo

ne

s d

e á

rbo

les

Ca

mp

Ch

is

Ver

Yu

c

Q.R

oo

Oax

Sin

Estados de México con mayor producción forestal

Con este pictograma se puede redactar información como:

En el año 2000 Campeche tenía la mayor área forestada con 7 millones de árboles, seguida por

Chiapas con 5 millones y medio de árboles en su territorio, etc.

Ejercicio: La demanda de un tipo de vehículo en algunos países de Sudamérica se muestra en el siguiente pictograma.

8. ( ) Llenar la siguiente tabla con los datos del

pictograma correspondiente.

Demanda anual de un vehículo en países de Sudamérica

Colombia 20000

Venezuela 40000

Argentina 120000

Chile 150000

Brasil 160000

Valor del pictograma

Análisis: el caso de Chile la demanda

equivale a 7 𝑦 12⁄ 𝑉𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 (140,000+10000)

Pa

íse

s

Pictograma: “Demanda anual de un vehículo en países de Sudamérica”

Demanda

Potencias

Cuando los factores de una multiplicación

son iguales, se puede escribir como

potencia.

En una potencia, la base es el número

(factor) que multiplicamos por sí mismo y

el exponente es el número que indica

cuantas veces multiplicamos la base.

Las multiplicación se puede representar con un

punto: ● o usando paréntesis: ejemplo:

Una de las ventajas es que en álgebra el signo ×

no se confunde con la letra 𝑥.

𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓

𝟓𝟐 = 𝟐𝟓

𝟓𝟏 = 𝟓

𝟓𝟎 = 𝟏

Observar que cada vez que se

disminuye un exponente en una

unidad la potencia se divide entre 5.

De acuerdo con esto, al pasar del

exponente 1 al 0 hay que dividir 5 ÷

5 = 1

En álgebra también se usan literales (letras) para representar cantidades. Ejemplos:

También el exponente se puede representar con una letra:

𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙. . .∙ 𝒂 = 𝒂𝒏

Lo cual indica que el factor esta elevado n veces:

Cuando la base es negativa se procede de la misma

forma:

𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 = −𝟔𝟐 = (−𝟔) × (−𝟔) =

Signo de una potencia:

1.- Las potencias de exponente par son siempre positivas:

Ejemplo: 26 = 64 (−2)6 = 64

2.- Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base:

Ejemplo: 23 = 8 (−2)3 = −8

Tema: jerarquía de operaciones

Cuando encontramos expresiones como 2 + 3 × 5, se pretende hacer dos operaciones con tres

números:

Si primero sumamos 2 + 3 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 5 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 5 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 25

Si primero multiplicamos 3 × 5 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 15, 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 2 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 17

Entonces debemos preguntarnos ¿Qué operación debemos realizar primero?

Para evitar confusiones, se han establecido reglas para realizar las operaciones en un orden

determinado.

Operación Proceso

Ejemplo:

6 + (4 + 23) 𝟔 + (𝟒 + 𝟖) = 𝟔 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟖

11. ( ) Ejercicio:

𝟒 × (𝟓 + 𝟑𝟑) ÷ 𝟖 + (𝟕 − 𝟓)

𝟒 × (𝟓 + 𝟐𝟕) ÷ 𝟖 + (𝟕 − 𝟓)

𝟒 × (𝟑𝟐) ÷ 𝟖 + (𝟐) =

𝟓𝟔 ÷ 𝟖 + 𝟐 =

𝟕 + 𝟐 = 𝟗

Figuras geométricas

La clasificación básica de las figuras

geométricas es de acuerdo a sus lados:

Triángulo 3 lados

Cuadrilátero 4 lados

Polígono Más de 4 lados

Nombre de las figuras geométricas de acuerdo al número de lados

Jerarquía de operaciones

1° Potencia y raíces 2° Las operaciones dentro de paréntesis 3° Multiplicaciones y divisiones 4° Sumas y restas

Se llama ángulo a la abertura que determinan dos líneas rectas que tienen el mismo punto

extremo. A las dos líneas se les llama lados del ángulo y el punto donde se unen se le llama

vértice.

La unidad de medida de los ángulos es el grado

El círculo forma un ángulo de 360°

Medio círculo forma un ángulo de 180°

Un cuarto de círculo forma un ángulo de 90°, mejor conocido como ángulo recto.

Características de un cuadrado Características de un triángulo

Una diagonal es la recta que une dos vértices no consecutivos de una figura cerrada de 4 o más lados:

El rectángulo tiene dos diagonales.

El pentágono tiene 5 diagonales.

Cálculo del área de superficies

Para medir el área de cuadrados y

rectángulos, generalmente se utilizan

unidades cuadradas. El metro cuadrado es

una de las unidades que más se utilizan para

medir superficies.

𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒎 × 𝒎 = 𝒎𝟐

Para calcular el área de un rectángulo se

multiplica la longitud de su base por la

longitud de su altura:

Á𝒓𝒆𝒂 = 𝒃𝒂𝒔𝒆 × 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

Para calcular el área

de un cuadrado se

hace de la misma

forma que con el

rectángulo, pero como

sus cuatro lados

miden lo mismo, se

multiplica lado por

lado, si un cuadrado

midiera 3m de cada

lado:

𝑨 = 𝟏𝒎 × 𝟏𝒎 = 𝟏𝒎𝟐

__________________

𝑨 = 𝟑𝒎 × 𝟑 𝒎

𝑨 = 𝟗𝒎𝟐

Ejercicio: ¿Cuál es el área del campo?

𝑨 = 𝒃 × 𝒉 = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟓𝟎 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒎𝟐

El área es una medida agraria, equivale al área

de un cuadrado de 10m X 10m, es decir 100

metros cuadrados (100m2).

La hectárea equivale a 100 áreas, es decir

10000 metros cuadrados (10000m2), su símbolo

es ha.

La centiárea es la centésima parte de un área.

á𝑟𝑒𝑎 = 10𝑚 × 10𝑚 = 100𝑚2

100 á𝑟𝑒𝑎𝑠 = 1 ℎ𝑎 = 10000𝑚2

Cada figura geométrica tiene dos fórmulas. La 1ª tiene la letra “P”, que significa perímetro, se refiere

al contorno de la figura y se determina en medidas lineales como el cm, m o km.

La 2ª fórmula tiene la

letra “A” que significa

área y se utiliza para

obtener la superficie

interior de la figura (lo

coloreado), lo que se

desea cubrir con algo,

por ejemplo pintura en

la pared.

Notas: Cuando dos literales (letras) se encuentran unidas como en la fórmula para obtener el área

del rectángulo “𝑎𝑏” significa que se multiplica: 𝑎 × 𝑏.

Cuando un número o una literal elevada al cuadrado como la fórmula para obtener el área del

cuadrado”𝑎2”, significa que esa letra se multiplica por sí misma 2 veces: 𝒂𝟐 = 𝒂 × 𝒂 . Otro

ejemplo: 𝟑𝟐 = 𝟑 × 𝟑 = 𝟗

Para obtener el área de un círculo, debemos tener presente lo

siguiente: 𝝅 = 𝒑𝒊

Su valor es constante y equivale a 3.1416, resulta de dividir la

circunferencia entre su diámetro. Algunas personas calculan usando

3.14 y otras 3.1416. 𝝅 = 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 ÷ 𝒅𝒊á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐

Para conocer la circunferencia o perímetro del círculo, se multiplica

el diámetro del círculo por 𝝅 𝑷 = 𝝅 × 𝒅

El área de un círculo se obtiene multiplicando el cuadrado del radio

por 𝝅. Considerando que 𝑟2 significa que se multiplica por sí mismo.

𝑨 = 𝒓𝟐 × 𝝅 = 𝒓 × 𝒓 × 𝟑. 𝟏𝟒

Ejemplos:

Para conocer el área de un rectángulo que tiene 6.8 cm de base y 4.9 cm de altura:

𝑨 = 𝟔. 𝟖 𝒄𝒎 × 𝟒. 𝟗 𝒄𝒎 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐

Si un círculo tiene 8 m de radio, su área será: 𝑨 = 𝒓𝟐 × 𝝅 = 𝟖 × 𝟖 × 𝟑. 𝟏𝟒 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟗𝟔 𝒎𝟐

Ejercicios. Calcular el área de las siguientes figuras geométricas:

Figura Fórmula Datos Despeje Área

𝐴 = 𝜋 × 𝑟2

𝜋 = 3.14

𝑟 = 7

11. ( ) ¿Cuál es el área?

𝐴 =

𝐵 × ℎ

2

𝐵 = 4

ℎ = 3.5

12. ( ) ¿Cuál es el área?

Clases de cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos ocupan un volumen en el espacio, por lo tanto, tienen tres dimensiones:

alto, ancho y largo, y están formados por figuras geométricas.

Los cuerpos geométricos están formados por caras, aristas y vértices. Algunas de sus caras son

laterales y otras son basales o bases.

Las aristas son líneas en las que se unen dos caras del cuerpo geométrico.

Los vértices son los puntos donde se unen 3 o más caras de un cuerpo geométrico.

Los cuerpos geométricos se pueden clasificar de varias formas, una de ellas es por la estructura de

sus partes.

Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos con volumen:

Los poliedros: o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos con volumen, compuestos

exclusivamente por figuras planas, por ejemplo el cubo

Los cuerpos geométricos redondos: que son cuerpos geométricos compuestos total o

parcialmente por figuras geométricas curvas, por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.

Poliedros regulares:

Poliedros irregulares

Volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo, objeto o material, se mide generalmente

en unidades cúbicas, lo cual significa que para medir el volumen se cuenta la cantidad de cubos que

ocupan el mismo espacio que el objeto o material que se mide.

Las unidades cúbicas más comunes son el metro cúbico ( 𝑚3) y el centímetro cúbico ( 𝑐𝑚3). Para

obtener el volumen revisa las fórmulas que se encuentran en cada figura volumétrica.

Para calcular el volumen de un prisma es, multiplicando la superficie de la base por la altura; entonces multiplicamos:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝐴𝑏 × ℎ

Ejercicio: calcular el volumen del siguiente cubo de agua:

1º. 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝐴𝑏 = 𝑙 × 𝑎

𝐴𝑏 = 9𝑐𝑚 × 7𝑐𝑚 = 63𝑐𝑚2 2º. 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙ú𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎: 𝑉 = 𝐴𝑏 × ℎ

𝑉 = 63𝑐𝑚2 × 13𝑐𝑚

𝑉 = 819𝑐𝑚3

Ejercicio

FÓRMULAS

𝑉 = 𝐴𝑏 × ℎ = _______𝑐𝑚3

DATOS

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 4𝑐𝑚

𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 3𝑐𝑚

ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 8𝑐𝑚

SUSTITUCIÓN

𝐴𝑏 = ____

𝑉 =

13. ( ) RESULTADO

Tema / Objetivo: área de figuras compuestas

Un carpintero requiere conocer el área de un par de puertas, para saber la cantidad de material

que empleara en su elaboración. Ya tiene el área de la primera puerta. ¿Cuál es el área de la

segunda puerta?

4.5

m

m

4m

2.5 m

Ejemplo:

1° Calcular el área rectangular

𝐴 = 𝑙 × ℎ

𝐴 = 4 × 2.5 = 10𝑚2

2° Calcular el área de la parte triangular:

𝐴 =𝑏×ℎ

2=

2.5×0.5

2= 8.5𝑚2

3m

2.2 m

Ejercicio:

1° área del semicírculo: 𝐴 =𝜋×𝑟2

2=

(÷ 2, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜)

2° área del rectángulo

𝐴 = 𝑙 × 𝑙 =

3° Suma de las dos áreas

3° Sumar las dos áreas:

10𝑚2 + 8.5𝑚2 = 18.5𝑚2

14. ( ) ¿Cuál es el área de la puerta?

a) 8.7𝑚2 c) 12.75𝑚2 b) 9.85𝑚2 d) 7.94𝑚2

Tema / Objetivo: probabilidad

La probabilidad de que un evento ocurra puede expresarse como la fracción. La probabilidad es una

rama de las matemáticas que estudia los fenómenos del azar.

A la probabilidad de que ocurra un evento o hecho se le asocia un número que va del cero al 1. El

número asociado a la probabilidad es cero, uno o un número fraccionario o decimal, pudiendo

expresarse en porcentaje.

Cuando es seguro que ocurra un evento o suceso se le asocia el número 1, cuando es seguro que

no ocurra un evento o suceso se le asocia el número cero (0).Cuando se toman decisiones se

analizan todas las posibilidades que tienes; como al vestirse, se elige la ropa en función de la

probabilidad de lluvia.

Ejemplo: Rosa y Leticia quieren tomar un

curso de verano en donde les ofrecen

distintas opciones para practicar un

deporte y una actividad recreativa.

Para saber cuántas opciones tenían, organizaron la información en una tabla:

Actividades Deporte

Tenis Fútbol Voleibol Basquetbol Natación

Baile de salón X X X X X

Ajedrez X X X X X

Dominó X X X X X 1. ( )

Con ella pudieron ver todas las opciones, por ejemplo, puede ser tenis y baile de salón; tenis

y ajedrez; o tenis y dominó. En total se pueden contar con un total de 15 opciones diferentes.

4m

Club sociocultural

Elija el deporte que más le gusta y una

actividad recreativa por $250.°° al mes

Deportes: Tenis, fútbol, voleibol, basquetbol, natación

Actividad recreativa: Baile de salón, ajedrez, dominó

Tema: sucesión de números

Una sucesión es un conjunto de números que sigue una determinada ley de formación,

teniendo un orden secuencial. Los números que forman la sucesión se denominan términos.

Todas las sucesiones tienen un 1er término, un 2°, 3° 4° y así sucesivamente.

Ejemplo: 6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .

Cada sucesión se nombran con una letra y un subíndice (n) cuyo valor depende del lugar que

el término ocupa en la sucesión (ese valor empieza siempre en 1, y sigue 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, etc.:

El término general de una sucesión es una expresión (fórmula o patrón o regla) que permite conocer el valor de cualquiera de los términos en función del lugar que ocupa.

Ejemplo del término general 2n

n 1 2 3 4 . . . 27 28

2n 2 4 6 8 - 54 56

Las sucesiones pueden ser crecientes,

cuando van en aumento: 3, 6, 9, 12, 15, . . .

Son decrecientes cuando van disminuyendo:

50, 45, 40, 35, 30, . .

Sucesión de figuras

En un grupo de figuras como la siguiente puede haber una sucesión. ¿Podrías determinar cuantos puntos integra la figura N° 6?

Para encontrar el término general:

1° Tomamos nota del # de puntos que tiene cada figura, los anotamos en una tabla.

Figura 1 2 3 4 5 6

N° puntos

4 8 12 16 20 ?

2° Notar cuantos puntos hay de diferencia en cada figura:

a) Cada figura aumenta 4 puntos al anterior (múltiplos del 4).

b) El lado de cada figura aumenta un punto de cada lado

3° La figura 6 tendría 24 puntos, ( 6x4=24)

Sucesión numérica

Procesos para la sucesión 7, 13, 19, 25, . . Término general representado con literales:

an+b

n 1 2 3 4 5 ... 9

Sucesión 3 5 7 9 11 … ?

Para encontrar el término general

1º La sucesión aumenta de 2 en 2. Por lo

tanto, a = 2 Sustituimos en la fórmula

2n+b

2º El primer término de la sucesión es 3 Para n=12(1)+1=3

Para n =1 2(1) + b = 2 + b =3

El único valor de b que hace que el primer

término sea 3 es 1, así que, b = 1

Para n=22(2)+1=5

Para n=32(3)+1=7

Para n=92( ? ) + 1 =___?____ . .

Si deseamos conocer el número de la fila n, se

desarrolla la fórmula sustituyendo el número

correspondiente y desarrollando la fórmula.

Ejercicios: En base a los términos generales,

completa la sucesión correspondiente

15. ( ) 𝟒𝐧 + 𝟏

5, 9, 13, 17,______ 21, _____, 29, ..

16. ( ) 𝟏𝒏𝟐 − 𝟐

-1, 2, 7, 14, 23, 34, _____, 62, _____,

Tema: expresiones y ecuaciones algebraicas (utilidad de literales en álgebra)

Literal: una literal puede representar una incógnita, un número o una variable de una función.

Expresiones algebraicas Ejemplos Ejercicios

Un número más 15

Un número menos 20

El triple de un número

La suma de 2 números

El doble de un número más 12

La mitad de un número

La mitad de un número menos 7

𝑦 + 15

𝑥 − 20

3𝑥

𝑥 + 𝑦

2𝑦 + 12

½m

½𝑛 − 7

Un número divido entre otro

La multiplicación de 2 números

La multiplicación de 2 números más 5

5 menos un número

2000 menos un número

Un número más la mitad del mismo

Un número al cuadrad

En algebra se usan letras para representar

cantidades y se llaman literales como es: 𝒎

Su empleo es parecido al de los números en la

aritmética. En el siguiente ejemplo Cada

segmento pequeño mide 𝑚, la medida del

segmento AB es:

𝒎 + 𝒎 + 𝒎 + 𝒎 + 𝒎 = 𝟓𝒎

La multiplicación de un número y una literal,

queda expresada: 5𝑚

Son expresiones algebraicas:

2𝑏 + 2𝑎; 2

3𝑛; 3𝑐2

Coeficiente: es el número que multiplica una literal,

𝟓 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝟓𝒎

Nota: recuerda que el exponente determina

cuantas veces se debe multiplicar la literal o

coeficiente por sí mismo: ejem. 32 = 3 × 3 = 9

Cuando el coeficiente y exponente es 1, no se

escribe.

Ejemplo: 𝟏𝒙𝒚 = 𝒙𝒚

No toda expresión algebraica es una ecuación. La igualdad se cumple sólo para algunos

valores de las incógnitas llamados soluciones.

𝒎

𝟑𝒙 + 𝒙 = 𝟒𝒙 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏

Es una identidad

Una Identidad

En una identidad no tiene sentido calcular el valor

de la incógnita, ya que una identidad se cumple

para cualquier valor. Ejemplo:

3𝑥 + 𝑥 = 4𝑥

4𝑥 = 4𝑥

4𝑥 − 4𝑥 = 0

0 = 0

Tema: monomios, binomios, polinomios y su reducción

A los sumandos se les llama términos:

La suma: 𝟐𝒙𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝟕𝒂𝟐 + 𝟗𝒚 tiene 4

términos

Una expresión algebraica compuesta por un

solo término se llama monomio.

Ejemplos: 𝒂, 3𝒙, 5𝒃𝟐, -x𝒚, 𝟓𝒂𝒃

𝟑

Una expresión algebraica compuesta por dos

términos se denomina binomio.

Ejemplos: 𝒂 +𝒙

𝟐, 𝟓𝒙 − 𝟑𝒃𝟐, 𝒎 + 𝒏

Polinomios: son expresiones algebraicas que

se componen de dos o más monomios.

Ejemplo: 5𝒂𝒃𝟐 + x𝒚 − 𝟏𝟐 𝒂

Simplificación de términos semejantes:

Cuando dos términos tienen las mismas

literales con los mismos exponentes se dice

que son semejantes, como son: 𝑚 𝑦 2𝑚

Un polinomio puede reducirse al sumar o restar

los términos semejantes que lo forman:

Ejemplos: 3𝑎 + 5𝑎 = 8𝑎 y 2𝑙 − 𝑙 + 3𝑙 = 4𝑙

3𝑚 + 2𝑛 − 5𝑚 + 4𝑚 = 2𝑚 + 2𝑛

En ocasiones los polinomios están dentro de un

paréntesis, dicho paréntesis puede estar

antecedido por un signo de más o menos (+ o -).

A los sumandos se les llama términos,

La suma: 𝟐𝒙𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝟕𝒂𝟐 + 𝟗𝒚 tiene 4

términos

Signo en el paréntesis

Si el signo que antecede al paréntesis es

positivo, se quita el paréntesis sin cambiar el

signo de los sumandos del polinomio encerrado

dentro del paréntesis.

Ejemplo: (5𝑛 + 3𝑛) + (25𝑚𝑛 − 7𝑚𝑛2 + 8𝑛)

5𝑛 + 3𝑛 + 25𝑚𝑛 − 7𝑚𝑛2 + 8𝑛

Simplificando: 16𝑛 + 25𝑚𝑛 − 7𝑚𝑛2

Si el signo que le antecede es negativo, se

cambia el signo a los sumandos del polinomio

encerrado dentro del paréntesis y se quita el

paréntesis.

Ejemplo: (5𝑛 + 3𝑛) − (25𝑚𝑛 − 7𝑚𝑛2 + 8𝑛)

5𝑛 + 3𝑛 − 25𝑚𝑛 + 7𝑚𝑛2 − 8𝑛

Simplificando: −25𝑚𝑛 + 7𝑚𝑛2

Cuando el paréntesis lleva signo positivo y está

al inicio del polinomio, generalmente no se

escribe el signo, pero si es negativo, sí se

escribe:

Ejemplo: −(5𝑛 + 3𝑛) − (25𝑚𝑛 − 7𝑚𝑛2 + 8𝑛)

−5𝑛 − 3𝑛 − 25𝑚𝑛 + 7𝑚𝑛2 − 8𝑛

Simplificando: −16𝑛 + 25𝑚𝑛 − 7𝑚𝑛2

Tema: suma, resta y multiplicación de monomios y polinomios

Eliminación de paréntesis

Cuando hay varios paréntesis metidos unos

dentro de otros, se eliminan paso a paso,

iniciando con los interiores. Ejemplo:

−(2𝑛 + 3𝑛) − [−(10𝑚𝑛 − 2𝑚𝑛) − (5𝑚𝑛2 + 4𝑛)]

−(2𝑛 + 3𝑛) − [−10𝑚𝑛 + 2𝑚𝑛 − 5𝑚𝑛2 − 4𝑛]

−2𝑛 − 3𝑛 + 10𝑚𝑛 − 2𝑚𝑛 + 5𝑚𝑛2 + 4𝑛

Simplificando: −𝑛 + 8𝑚𝑛 + 5𝑚𝑛2

Suma de polinomios

Para sumar polinomios, se localizan los

términos que son semejantes y se realiza la

suma de coeficientes

4𝑛 − 7𝑚𝑛2

3𝑛 − 5𝑚𝑛2

𝟕𝒏 − 𝟏𝟐𝒎𝒏𝟐

Nota: es más fácil si se acomodan en filas los

términos semejantes:

17. ( ) Ejercicio 8𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦 − 4𝑦 3𝑥2𝒚 − 4𝑥𝑦 − 𝑥

Resta de polinomios

Para restar polinomios, se cambia el signo a todos los términos que forman el sustraendo y después se suma:

Ejemplo: Cambio signo y sumo

7𝑎2 − 6𝑎𝑏

3𝑎2 − 8𝑎𝑏

7𝑎2 − 6𝑎𝑏

−3𝑎2 + 8𝑎𝑏

𝟒𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃

18. ( ) Ejercicio: Cambio signo y sumo

−15𝑎𝑏2 + 9𝑏

3𝑎2 + 7𝑎𝑏2 − 8𝑏

Multiplicación: monomio por monomio

Se multiplican los coeficientes de ambos y después

las literales

Ejemplo: Cambio signo y sumo

(4𝑎)(7𝑎) = 16𝑎2

(3𝑏)(12𝑎) = 36𝑎𝑏

(7𝑚2)(3𝑎𝑏) = 21𝑚2𝑎𝑏

7𝑎2 − 6𝑎𝑏

−3𝑎2 + 8𝑎𝑏

𝟒𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃

Multiplicación: monomio por polinomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio. Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplos: 19. ( ) Ejercicio:

3𝑥 + 5𝑥𝑦 − 𝑦

× 4𝑥

12𝑥2 + 20𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦

7𝑚 + 12𝑚𝑛 − 𝑛

× 4𝑚

Multiplicación: polinomio por polinomio

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y se suman para simplificar.

Ejemplo: 5𝑚 + 3𝑚𝑛 − 𝑛

× 3𝑚 + 4𝑛

15𝑚2 + 9𝑚2𝑛 − 3𝑚𝑛

20𝑚2𝑛 + 12𝑚𝑛2 − 4𝑛2

15𝑚2 + 29𝑚2𝑛 − 3𝑚𝑛 + 12𝑚𝑛2 − 4𝑛2

20. ( ) Ejercicio: 12a+7𝑏 − 𝑎 × 5𝑎 + 4𝑏

Tema: ecuaciones de primer y segundo grado

Para la búsqueda de incógnitas es importante:

1° Leer con detenimiento el problema

2° Analizar los datos y su relación.

3° Buscar qué nos preguntan y elegir una letra que represente

En una ecuación, cada sumando

se denomina término, y todos los

elementos de cada lado del signo

igual (=) se denomina miembro.

+

+

+

+

-

+

+

+

-

+

+

+

a esa pregunta o incógnita (emplear tantas incógnitas como

cosas nos pregunten);

4° Plantear la ecuación que represente el problema.

Regla de operatividad para dejar a “x” sola en el primer

miembro de una ecuación: para pasar un término del otro lado

del signo igual (=), si está sumando pasa restando, si está

restando pasa sumando, si está dividiendo pasa multiplicando y

si está multiplicando pasa dividiendo

Suma

Resta

Multiplica

Divide

pasa Restando

Sumando

Dividiendo

Multiplicando

=

pasa

El grado de una ecuación es el mayor de los exponentes a los que está elevada la incógnita.

Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado:

Las literales o incógnitas están elevadas

al exponente 1.

Ejemplo: 𝟔𝒙 = 𝟑𝟎

𝒙 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 1,

𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡𝑢𝑚𝑏𝑟𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑥1

Las ecuaciones de segundo grado están

elevadas al cuadrado, ejemplo de ello es la

ecuación del teorema de Pitágoras:

Ecuaciones de primer grado

En las siguientes ecuaciones 𝒙 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒄ó𝒈𝒏𝒊𝒕𝒂 y el objetivo es dejar sola a “x” como un miembro.

Ecuaciones de la forma: 𝒙 + 𝒂 = 𝒃

𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂 "a" 𝒆𝒏 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏

Ejemplo: Beto pagó $190.°° por unos tenis que

costaban $240.°° ¿Cuánto le descontaron?

𝑥 + 190 = 240

𝑥 = 240 − 190

𝑥 = 50

Ejercicio: Celeste compra abarrotes en la tienda

por $172.°°, paga con un billete de $200.°° y la

cajera le pide $22.°° más. ¿Cuánto es de cambio?

21. ( ) ¿Cuál es la ecuación a desarrollar?

a) 𝑥 − 22 = 200 − 172 b) 𝑥 + 22 = 200 − 172

c) 200 − 172𝑥 = 172 d) 𝑥 + 172 = 200 + 22

22. ( ) ¿Cuánto dinero le deben dar de cambio?

a) 50 b) 42 c) 28 d) 68

Ecuaciones de la forma: 𝒂 − 𝒙 = 𝒃

𝑵𝒐𝒕𝒂: 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 -x

𝒒𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐, 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒎𝒊𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐𝒔

𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 − 𝟏

Ejemplo: Juanita tiene 39 años y su hija de 11

años le pregunta ¿Cuántos años tenías cuando

nací?

𝟑𝟗 − 𝒙 = 𝟏𝟏

𝟑𝟗 − 𝒙 = 𝟏𝟏 − 𝟑𝟗

(-1) −𝒙 = −𝟐𝟖 (-1)

𝒙 = 𝟐𝟖

Ejercicio: Liliana tiene 7 años, quiere saber en

cuántos años emitirá su voto.

23. ( ) ¿Qué ecuación expone el problema?

a) 7 − 𝑥 = 18 b) 18 − 7 = 𝑥

c) 7 − 18 = 𝑥 d) 18 − 𝑥 = 7

24. ( ) ¿Cuántos años le faltan para votar?

a) 11 b) 9 c) −9 d) −11

Ecuaciones de la forma: 𝒂𝒙 = 𝒃

Ejemplo: La revista del consumidor calcula que

una familia de 4 integrantes malgasta 436 litros de

agua.

Ejercicio: Una hoja de triplay es cuatro veces más

larga que ancha y tiene un perímetro de 12.8 m.

25. ( ) ¿Cuáles son sus medidas?

a) 3.2 m b) 2.13 m c) 1.6 m d) 1.28 m

10𝑥 = 12.8 𝑥 =12.8

10 𝑥 = 1.28 𝑚

¿Cuántos litros malgasta en promedio un

integrante de la familia? 𝟒(𝒙) = 𝟒𝟑𝟔

𝒙 =𝟒𝟑𝟔

𝟒

𝒙 = 𝟏𝟎𝟗 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒎𝒂𝒍𝒈𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆

Ejercicio: Sandra tiene experiencia en su

trabajo, su sobrina gana $72.°° al día, la

tercera parte de lo que gana Sandra.

26. ( ) ¿Cuánto gana Sandra?

c) 185 d) 220 c) 216 d) 238

𝒙

𝟑= 𝟕𝟐 𝒙 = 𝟕𝟐(𝟑) 𝒙 = 𝟐𝟏𝟔

Ecuaciones de la forma: 𝐚𝐱 + 𝐛 = 𝐜

Ejemplo: Sergio recibió de salario $9800.°° por cuatro

semanas de trabajo y una compensación de $400°°,

¿Cuánto gana semanalmente?

𝟒𝐱 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟗𝟖𝟎𝟎

𝟒𝐱 = 𝟗𝟖𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎

𝟒𝐱 = 𝟗𝟒𝟎𝟎

𝐱 =𝟗𝟒𝟎𝟎

𝟒= 𝟐𝟑𝟓𝟎

Ecuaciones de la forma: 𝐚𝐱 + 𝐛 = 𝐜

Ejemplo: se colocan 3 focos, juntos consumen

280 watts de energía, el 1er foco es de 70

watts, los otros dos focos consumen la misma

cantidad de energía. ¿Cuántos watts

consumen el 2° y 3er foco? 𝟐𝐖 + 𝟕𝟎 = 𝟐𝟖𝟎

𝟐𝐖 = 𝟐𝟖𝟎 − 𝟕𝟎

𝐖 =𝟐𝟏𝟎

𝟐= 𝟏𝟎𝟓

Ejercicio: El hermano mayor de una familia tiene

4 años más que el 2° hermano, si entre los dos

tienen la edad del padre de 38 años.

27. ( ) ¿Qué edad tiene el hermano menor?

a) 23 b) 17 c) 25 d) 19

𝐱 = 𝐞𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞𝐥 𝐡𝐞𝐫𝐦𝐚𝐧𝐨 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫

𝐱 + 𝟒 = 𝐞𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞𝐥 𝐡𝐞𝐫𝐦𝐚𝐧𝐨 𝐦𝐚𝐲𝐨𝐫

𝐱 + 𝐱 + 𝟒 = 𝟑𝟖

𝟐𝐱 + 𝟒 = 𝟑𝟖

𝟐𝐱 = 𝟑𝟖 − 𝟒

𝐱 =𝟑𝟒

𝟐

𝐱 = 𝟏𝟕

Ecuaciones de la forma: 𝐱

𝐚+ 𝐛 = 𝐜

Ejemplo: La tercera parte de la caja de

chocolates más 5 son 17 chocolates. ¿Cuántos

chocolates tiene la caja? 𝐱

𝟑+ 𝟓 = 𝟏𝟕

𝐱

𝟑= 𝟏𝟕 − 𝟓

𝐱 = 𝟏𝟐(𝟑)

𝐱 = 𝟑𝟔

28. ( ) Ejercicio: fórmula para convertir grados Fahrenheit a grados centígrados es:

°𝐂 =𝟓

𝟗(°𝐅 − 𝟑𝟐).

Convertir 85°F a °C

°𝐂 =𝟓

𝟗(𝟖𝟓 − 𝟑𝟐)

°𝐂 =𝟓

𝟗(𝟓𝟑)

°𝐂 =𝟐𝟎𝟓

𝟗

°𝐂 = 𝟐𝟐. 𝟕°𝐂

Tema: gráfica de una ecuación de primer grado

Cuando hay una cantidad que cambia de valor cuando cambia el valor de otra, se dice que una

depende de la otra. Cuando una ecuación tiene dos literales que representan números

desconocidos, dichas literales son “Variables”. Ejemplo: 𝒚 = 𝟑𝒙

La “x” puede tomar muchos valores, como: Si “x” vale 1, “y” vale 3,

S i “x” vale 2, “y” vale 6.

El valor de “y” en la ecuación depende del valor de “x”, por lo que:

“x” es la variable independiente

“y” es la variable dependiente

Ejemplo: Elena trabaja en una zapatería, y su sueldo quincenal es de $ 1 200.°° más una comisión de

$ 15.°° por cada par de zapatos que vende. Analiza como calcula su salario quincenal.

Elena sabe que para calcular su salario

puede usar la siguiente ecuación:

𝒚 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎

𝒚 = 𝒔𝒖𝒆𝒍𝒅𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒊𝒏𝒄𝒆𝒏𝒂𝒍 (𝒗. 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝒙 = 𝑵° 𝒅𝒆 𝒛𝒂𝒑𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒏𝒅𝒆 (𝒗. 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝑺𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂

𝒐𝒓𝒈𝒂𝒏𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔

𝑳𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏 𝒔𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒏 𝒆𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂

x y

10 1350

15 1425

20 1500

25 1575

30 1650

Para resolver una ecuación con 2 variables

1° Asignar valores a la variable independiente

2° Calcular valores de la variable dependiente

Gráfica de una ecuación de primer grado

Ejemplo: Los taxis cobran $4.°° por cada

kilómetro recorrido más $9.°° por servicio.

¿Cuánto cobran por un viaje?

La ecuación que representa esta relación de las

variables es: 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟗

𝒙 = 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒌𝒊𝒍ó𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 (independiente)

𝒚 = 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒊𝒂𝒋𝒆 (dependiente)

Una tabla puede auxiliar Gráfica de los datos en tabla

X Y

1 13

2 17

21

4 25

5 29

6 33

7 37

8 41

Ejercicio: Olivia va a rentar un coche. En la arrendadora “Suárez” en la que cobran $180.°° más $5

por kilómetro recorrido. En la “Comodidad” cobran $50.°° por kilómetro recorrido.

Considerando qué: 𝒙 = 𝒌𝒊𝒍ó𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒚 = 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒊𝒂𝒋𝒆

29. ( ) ¿Cuál es la ecuación que representa el precio de “Suárez”?

a) 𝑦 = 45𝑥 + 180 b) 𝑦 = 45 + 180𝑥 c) 𝑥 = 45𝑦 + 180𝑥 d) 𝑥 = 180𝑦 + 45

30. ( ) ¿Cuál es la ecuación que representa el precio de “Comodidad”?

a) 𝑥 = 50𝑦 b) 𝑦 = 𝑥 + 50 c) 𝑦 = 50𝑥 d) 𝑦 = 𝑥 + 50

Se realiza la tabla

Se elabora la gráfica respectiva

Km recorrido

“Suárez” “Comodidad”

10 630 500

20 1080 1000

30 1530 1500

40 1980 2000

50 2880 2500

Tema: sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones de primer grado (o lineales), implica la relación de valores de las

incógnitas de ambas ecuaciones.

Método de sustitución

Para resolver un sistemas de 2 ecuaciones con 2

incógnitas de primer grado:

(1) 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎

(2) 𝟏𝟓𝟎𝒙 + 𝟏𝟖𝟎𝒚 = 𝟏𝟔𝟖𝟎

1° Despejar una variable y encontrando su valor

en términos de la otra

Despejo 𝒙 en la ecuación (1)

𝒙 = 𝟏𝟎 − 𝒚

2° Sustituir dicho valor en la ecuación (2) y se

obtiene una ecuación con una incógnita

Sustituyo el valor de 𝒙 en la ecuación (2)

150(10 − 𝑦) + 180𝑦 = 1680

1500 − 150𝑦 + 180𝑦 = 1680

1500 + 30𝑦 = 1680

30𝑦 = 1680 − 1500

𝑦 =180

30= 6

3° Conocido el valor de 𝒚 lo sustituyo en la

ecuación (1)

Sustituyo el valor de 𝒚 en la ecuación (1)

𝑥 + 𝑦 = 10

𝑥 + 6 = 10

𝑥 = 10 − 6 = 4

4° Compruebo en las ecuaciones (1) 𝟒 + 𝟔 = 𝟏𝟎

(2) 𝟏𝟓𝟎(𝟒) + 𝟏𝟖𝟎(𝟔) = 𝟏𝟔𝟖𝟎

𝟔𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟖𝟎 = 𝟏𝟔𝟖𝟎

Ejemplo: Don miguel es ganadero; vendió 1 becerros y 1

borrego en $1600.°° a un comprador. Al mismo precio por

cabeza, vendió a otro comprador 3 becerros y 5 borregos

por los que recibió $6050.°°.

¿En cuánto vendió cada becerro y borrego?

𝑥 = 𝑏𝑒𝑐𝑒𝑟𝑟𝑜 y 𝑦 = 𝑏𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑜

(1) 𝑥 + 𝑦 = 1650

(2) 3𝑥 + 5𝑦 = 6050

Despejo 𝑥: 𝑥 = 1650 − 𝑦 (1)

Sustituyo 𝑥 3(1650 − 𝑦) + 5𝑦 = 6050

(2)

4950 − 3𝑦 + 5𝑦 = 6050

4950 + 2𝑦 = 6050

2𝑦 = 6050 − 4950

𝑦 =1100

2

𝑦 = 550

Comprobando

(1) 𝑥 + 𝑦 = 1650

1100 + 550 = 1650

1650=1650

(2) 3𝑥 + 5𝑦 = 6050

3(1100) + 5(550) = 6050

3300 + 2750 = 6050

6050 = 6050

Cada becerro (𝑥 ) lo vendió en $1100.°°

Cada borrego (𝑦) lo vendió en $550.°°

Sustituyo 𝒚 𝑥 + 𝑦 = 1650 (1)

𝑥 + 550 = 1650

𝑥 = 1650 − 550

𝑥 = 1100

Ejercicio: La entrada al circo cuesta $28.°° para niño y

$55.°° para adulto y hoy recaudaron $8615.°° por 245

boletos vendidos.

31. ( ) ¿Cuántos boletos para adulto y cuántos para niño

vendieron?

(1) 𝑥 + 𝑦 = 245

(2) 28𝑥 + 55𝑦 = 8615

Despejo 𝑥 𝑥 = 245 − 𝑦 (1)

Sustituyo 𝑥 28(245 − 𝑦) + 55𝑦 = 8615 (2)

6860 − 28𝑦 + 55𝑦 = 8615

6860 + 27𝑦 = 8615

27𝑦 = 8615 − 6860

𝑦 =1755

27

𝑦 = 65

𝑥 = 𝑏𝑜𝑙𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑖ñ𝑜 y 𝑦 = 𝑏𝑜𝑙𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜

Comprobando

𝑥 + 𝑦 = 245

180 + 65 = 245

245 = 245

28𝑥 + 55𝑦 = 8615

28(180) + 55(65) = 8615

5040 + 3575 = 8615

8615 = 8615

Sustituyo 𝒚 𝑥 + 𝑦 = 245 (1)

𝑥 + 65 = 245

𝑥 = 245 − 65

𝑥 = 180

Sistema de ecuaciones Método de suma o resta

Para resolver un sistemas de 2 ecuaciones con

2 incógnitas de primer grado:

(1) 8𝒙 + 3𝒚 = 120

(2) 6𝒙 − 3𝒚 = 48

1° Hay que sumar o restar los términos

semejantes de ambas ecuaciones, de tal

forma que se elimine una incógnita

Sumo o resto términos de las ecuaciones

(1) 8𝑥 + 3𝑦 = 120

(2) 6𝑥 − 3𝑦 = 48

14𝑥 + 0 = 168

+/-

_

2° Resolver la ecuación obtenida

con una sola incógnita

14𝑥 = 168

𝑥 =168

14

𝒙 = 𝟏𝟐

3° Conocido el valor de 𝑥 lo sustituyo en la

cualquiera de las ecuaciones.

Es este caso (1)

Sustituyo el valor de 𝑥 en la ecuación (1)

8𝑥 + 3𝑦 = 120

8(12) + 3𝑦 = 120

96 + 3𝑦 = 120

3𝑦 = 120 − 96

𝑦 =24

3= 8

4° Compruebo sustituyendo valores de 𝒙 y 𝒚

(1) 𝟖𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐𝟎

8(12) + 3(8) = 120

96 + 24 = 120

120 = 120

(2) 𝟔𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟒𝟖

6(12) + 3(8) = 48

72 − 24 = 48

48 = 48

Ejemplo: Don miguel vende pollitas de postura de dos

variedades: rojas y avadas, con distinto precio cada

una. Su hijo nota que en una venta un señor le compra

8 pollas avadas y 6 rojas y le pagan $174.°°. Minutos

más tarde el mismo cliente quiere regresar las 6 pollitas

rojas y comprar 10 pollas avadas, a lo cual accede Don

Miguel y le cobra sólo $48°° descontando el costo de

las pollitas rojas. Su hijo que le ayuda ve esas compras

y quiere saber el precio de cada variedad de pollitas.

¿Cuál es el costo de venta de cada variedad de pollitas?

𝑥 = 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑖𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑎𝑑𝑎 y 𝑦 = 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑖𝑡𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎

(1) 8𝑥 + 6𝑦 = 174

(2) 10𝑥 − 6𝑦 = 42

Sumar o restar 18𝑥 + 0 = 216

Resolver la nueva ecuación:

18𝑥 = 216

𝑥 =216

18

𝑥 = 12

Sustituyo el valor de 𝑥 en la ecuación (1)

8𝑥 + 6𝑦 = 174

8(12) + 6𝑦 = 174

96 + 6𝑦 = 174

6𝑦 = 174 − 96

𝑦 =78

6= 13

Comprobando La pollita avada se vende en $12.°°

La pollita roja se vende en $13.°°

(𝟏) 8𝑥 + 6𝑦 = 174

8(12) + 6(13) = 174

96 + 78 = 174

(𝟐) 10𝑥 − 6𝑦 = 42

10(12) − 6(13) = 42

120 − 78 = 42

32. ( ) Ejercicio: Revisa la resolución del

siguiente sistema de ecuaciones y

comprueba su resultado.

33. ( ) ¿Cuál método de resolución se aplica?

__________________________________

Sistema de ecuaciones Método de suma o resta (con multiplicación de una ecuación)

En caso de que ninguna incógnita tenga igual el valor absoluto de

sus coeficientes puede multiplicarse alguna de las ecuaciones por el

número que sea necesario para que los 2 coeficientes de alguna de

las incógnitas tengan el mismo valor absoluto.

(1) 6𝑥 + 4𝑦 = 62

(2) 5𝑥 − 2𝑦 = 25

1° Se puede multiplicar la ecuación

(2) por 2 y obtener lo siguiente:

Multiplico por 2 la ecuación (2).

5𝑥 − 2𝑦 = 25

10𝑥 − 4𝑦 = 50

2° Resolver por suma o resta el

nuevo sistema de ecuaciones

(1) 6𝑥 + 4𝑦 = 62

(2) 10𝑥 − 4𝑦 = 50

16𝑥 + 0 = 112

3° Resuelvo la ecuación resultante

de suma y resta

16𝑥 = 112

𝑥 =112

16= 7

4° Sustituyo el valor de x en

cualquiera de las ecuaciones

(1) 6𝑥 + 4𝑦 = 62

6(7) + 4𝑦 = 62

4𝑦 = 62 − 42

𝑦 =20

4= 5

5° Compruebo sustituyendo

valores de 𝒙 y 𝒚:

(1) 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟔𝟐

6(7) + 4(5) = 62

42 + 20 = 62

62 = 62

(2) 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐𝟓

5(7) − 2(5) = 25

35 − 10 = 25

25 = 25

(2) (2)

Sistema de ecuaciones Método gráfico

Hay sistemas que pueden tener muchas soluciones, debido a que si se grafican las ecuaciones del

sistema, todos los puntos de una línea pertenecen a la otra. Hay sistemas que no tienen solución y

las líneas que corresponden a las ecuaciones son paralelas, por lo tanto no se cruza.

Para resolver un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas mediante el método de

gráfico, hay que graficar las dos ecuaciones y localizar las coordenadas del punto donde se cruzan.

(1) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟒

(2) 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟐

1° Despejar "𝑦" en ambas ecuaciones

𝑦 =24 −3𝑥

2 𝑦 = 22 − 4𝑥

𝒚 =𝟐𝟒 − 𝟑𝒙

𝟐 𝒚 = 𝟐𝟐 − 𝟒𝒙

x y x y 1 10.5 1 18

2 9 2 14

3 7.5 3 10

4 6 4 6

5 4.5 5 2

6 3 6 -2

Como las líneas se cruzan en el punto: (4, 6),la solución del sistema es :

𝑥 = 4 y 𝑦 = 6

Comprobando

3(4) + 2(6) = 24

4(4) + (6) = 22

Gráfica de valores

Ejercicio: resolver el siguiente sistema de ecuaciones con el método

de gráfica. (1) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟓

(2) 𝒙 + 𝟒 = 𝟕

34. ( ) Despejar las ecuaciones

35. ( ) Elaborar la tabla de datos “𝑥" y "𝑦" de ambas ecuaciones

36. ( ) Elaborar la gráfica correspondiente

𝑦 = −5 + 3𝑥 𝑦 = 7 − 𝑥

x y X y

1 -2 1 6

2 1 2 5

3 4 3 4

4 7 4 3

37. ( ) Comprobar los resultados

𝒙 = 𝟑 y y= 𝟒

Comprobación 3𝑥 − 𝑦 = 5

3(3) − 4 = 5

9 − 4 = 5

5 = 5

𝑥 + 4 = 7

3 + 4 = 7

7 = 7

Ejemplo:

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5

y1

y2

Tema: problemas del teorema de Pitágoras en contextos cotidianos

El Teorema de Pitágoras establece que en

un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa (el lado de mayor longitud del

triángulo rectángulo) es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos (los dos lados

menores del triángulo, los que conforman el

ángulo recto).

De manera concreta el “Teorema de

Pitágoras” dice: “En todo triángulo

rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los

catetos.”

Para ello recuerda:

1° Qué el triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.

2° Cómo se obtiene el área de un cuadrado:

𝟏𝒎 × 𝟏 𝒎 = 𝟏 𝒎𝟐

Ejercicio: Se necesita construir una escalera

para lavar un tanque de agua que se encuentra

a cinco (05) metros de altura y la escalera será

inclinada desde una distancia de 3 metros.

¿Cuánto debe medir la escalera?

Fórmula: 𝑥2 = 52 + 32

𝑥2 = 25 + 9 = 34 √𝑥2 = √34 𝑥 =

5.8 𝑚

Ejercicio:

Román comprará un terreno que tiene forma triangular, lo que

suele llamarse como cuchilla, pero el vendedor no conoce una de

las medidas (la hipotenusa) de ese lote y le pide obtener ese dato

para conocer el perímetro y tratar el costo del terreno. Los catetos

(lados) miden 15 m (a) y 26 m (b).

1. Si la incógnita se resuelve mediante el teorema de Pitágoras. ¿Cuál es la fórmula para obtener la

Hipotenusa

(c)?

1. c2=a2+b2 2. c = 𝑎2

𝑏2 3. c2=2a+2b 4. 𝑐 = 𝑏 × 𝑎