Estrategias didácticas para el aprendizaje de operaciones con fracciones

$: Estrategias didácticas para el aprendizaje de operaciones con fracciones$
TALLER: ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJE DE LAS

OPERACIONES CON FRACCIONES

ASESORÍA TÉCNICO PEDAGÓGICA EN EL CAMPO DE FORMACIÓN PENSAMIENTO MATEMATICO

Zona Escolar 177 Educación Primaria

COORDINADOR: GERARDO RODRIGUEZ VEGA

ACÁMBARO GUANAJUATO ABRIL-MAYO DE 2016

Propósito General • Que los docentes participantes conozcan y diseñen

estrategias didácticas para su aplicación en el aula, permitiéndoles desarrollar el pensamiento lógico matemático en sus alumnos y elevar, con ello, el aprovechamiento escolar de su grupo.

Propósitos específicos• Que los participantes:• Reflexionen sobre los procesos que desarrollan sus alumnos para conceptuar las

fracciones y sus operaciones como una herramienta para la resolución de problemas.

• Vivencien actividades que les permitan comprender la necesidad de diseñar estrategias acordes a los procesos de desarrollo del pensamiento lógico de los niños

• Diseñen material didáctico concreto acorde al nivel de desarrollo de sus alumnos.

• Trabajen colaborativamente en el diseño de estrategias didácticas para la adecuada resolución de los problemas que implican el uso de fracciones y sus operaciones.

PRIMERA SESIÓN• Actividad 1: Partiendo y fraccionando Tiempo estimado 30

minutos.• Material: Pliegos de Papel, Hojas de máquina, reglas, Tijeras

• En equipos de 4 elementos tomemos un pliego de papel y recortemos 4 tiras iguales.

• Un Participante parta su tira en medios, otro en cuartos y otro en octavos.

• Comparemos nuestras fracciones y comentemos nuestras técnicas de fraccionamiento.

• En Plenaria comparemos nuestras fracciones y comentemos por qué son igual o diferentes

2. En los mismos equipos tomemos una hoja de máquina para cada integrante y fraccionemos en partes iguales: una en medios, otra en cuartos y otra en octavos

a) Comentemos las maneras de cómo propiciar que los alumnos vayan descubriendo estas técnicas de fraccionamiento

b) En plenaria compartamos estas formas que podrían ser adecuadas para inducir a nuestros alumnos para descubrirlas.

3. Comentemos si estas técnicas serían propicias para fraccionar en tercios, sextos o quintos.

a) En plenaria discutamos otras técnicas de fraccionamiento que podrían favorecer la noción y comprensión de fracciones.

Actividad 2: Fraccionando Tiempo estimado 20 minutos.• Material: Hojas rayadas, reglas, Tijeras1. De una hoja de cuaderno de raya recortemos 4 renglones

intentando que sean de la misma longituda) El primero tratemos de dividirlo en tres partes igualesb) El siguiente en 5 partes igualesc) Otro en 6 partes iguales d) Y el último en 7 partes iguales

2. Comentemos nuestras estrategias para fraccionar 3. Identifiquemos cual sería una estrategia para obtener las fracciones

más exactas y comentemos en grupo.

Actividad 3: Partiendo y fraccionando Tiempo estimado: 60 Minutos• Recursos y Materiales: Foamy de diversos colores, juegos de Geometría y

Tijeras1. Construyamos nuestras fracciones a) Tracemos círculos en el foamy y dividámoslos en fracciones.

• Recortemos las fracciones, y si es necesario escribamos al interior el número que le corresponde a cada una.

• Pongamos nuestras fracciones en el contenedor para usarlas en actividades posteriores.

• Construyamos nuestras regletas de fracciones y recortémoslas. • Si se considera necesario anoten el número en cada fracción

Diseño de fracciones para Material Didáctico

manipulableGerardo Rodríguez Vega

Fracciones 1/21) Trazamos en el material (foamy, cartulina, bond,

etc.) un círculo.2) Trazamos un radio (segmento que inicia en el

centro y culmina en un punto de la circunferencia)

3) Colocamos el transportador cuidando que coincidan los centros de la regla y del círculo, y los cero grados en un punto del radio.

4) Hacemos una marca en 180° 5) Trazamos un segmento que inicie en el centro

del circulo, pasando por la marca hecha y culminando en el punto de la circunferencia

6) Si no se quiere usar el transportador, se puede trazar un diámetro en el círculo

Medios

0°

180°

Fracciones 1/31) Trazamos en el material (foamy, cartulina,

bond, etc.) un círculo.2) Trazamos un radio (segmento que inicia en el



4) Hacemos una marca en 120°, y otra en 240°5) Trazamos los segmentos que inicien en el

centro del circulo, pasando por las marcas hecha y culminando en sus puntos de la circunferencia.

Tercios

0°

120°

240°


bond, etc.) un círculo.2) Trazamos un radio (segmento que inicia en

el centro y culmina en un punto de la circunferencia)

3) Colocamos el transportador cuidando que coincidan los centros de la regla y del círculo y, los cero grados en un punto del radio.

4) Marcamos en 90°, 180° y 270°5) Trazamos los segmentos que inicien en el


Cuartos

0°

90°

240°

270°





4) Marcamos en 72°, 144°, 216° y 288°5) Trazamos los segmentos que inicien en el


Quintos

0°

72°

144°

288°216°





4) Marcamos en 60°, 120°, 180°, 240° y 300°5) Trazamos los segmentos que inicien en el


Sextos

0°

60°

120°

240°

180°300°





4) Marcamos aproximadamente en 51.42°, 102.85°, 154.28°, 205.71°, 257.14° y 308.57°

5) Trazamos los segmentos que inicien en el centro del circulo, pasando por las marcas hecha y culminando en sus puntos de la circunferencia.

Séptimos

0°

51.42°

102.85°

205.71°

154.28°

257.14°

308.57°





4) Marcamos en 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° y 315°


Octavos

45°

0°

90°

135°

225°

180°

270°

315°





4) Marcamos en 40°, 80°, 120°, 160°, 200°, 240°, 280° y 320°


Novenos

40°

0°

80°

120°

200°

160°

240°

320°

280°





4) Marcamos en 36°, 72°, 108°, 144°, 180°, 216°, 252°, 288° y 324°


Décimos

36°

324°

0°

72°

108°

180°

144°

216° 288°

252°





4) Marcamos en 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300° y 330°


Doceavos

30°

330°

60°

0°

90°120°

180°

150°

240° 300°

270°

210°

Diseño de Regletas-fracciones para Material Didáctico manipulable

Gerardo Rodríguez Vega

1) Trazamos en el material (foamy, cartulina, bond, etc.) las regletas, cuidando que tengan el mismo ancho y el mismo largo, para realizar las comparaciones en base a una unidad.

2) Cuando tengamos las regletas construidas basta con subtenderlas en una hoja rayada (puede ser cuaderno de raya), considerando tantos renglones como partes en las que se quiera fraccionar

3) Marcamos en las regletas cada una de las intersecciones de los renglones .4) En estas marcas Trazamos perpendiculares a la parte que representa el largo de la regleta

______________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Actividad 4: Reflexiones de la sesión

• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión.

• Escribamos nuestras conclusiones sobre la acción de fraccionar unidades para establecer el concepto de fracción __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Comentemos nuestras conclusiones en grupo y modifiquemos nuestro escrito en caso de ser necesario.

• Tiempo estimado: 10 Minutos• Recursos y Materiales: Material del participante

SEGUNDA SESIÓN TIEMPO ESTIMADO: 30 MINUTOS

• Actividad 5: MOÑOS (1)• Materiales: Fracciones y Regletas• En equipos resolvamos los siguientes desafíos y comentemos como nos pueden ayudar

las regletas o las fracciones para que nuestros alumnos comparen cantidades con fracciones y establezca la igualdad como concepto de equivalencia.

• Marcos y Lucila tienen listones blancos y naranjas de un metro cada uno para hacer moños. Van a hacer 6 blancos de ¼ de metro y 6 naranjas de 1/8 m

• ¿De qué color son los moños que llevan más listón? _________________• Cuántos listones blancos se necesitan para hacer los 6 moños?____________________

¿Por qué? ______________________________________________________________• ¿Alcanza con un listón naranja para hacer los 6 moños? __________________________

¿Por qué? _______________________________________________________________• ¿De qué color se utilizó más listón? ___________________• Si tienen 5 ¾ metros de listón blanco y 3 ½ de listón naranja, ¿para cuántos moños de

cada color alcanza? Blancos: ____________ Naranjas: ______________

2. Se tienen 2 lazos, uno mide 3/2 metros y el otro ¾ . ¿Cuál es más pequeño? ¿Por qué? • Se necesita ¼ de metro de cuerda para amarrar una bolsa. Para amarrar las suyas, Luis ocupó 2

2/4 metros y Sonia utilizó 1 ½ metros. ¿Cuántas bolsas sujetó cada uno? Luis: _____Sonia: ____• Leamos y comentemos el siguiente texto.• En el inciso a) del problema 1, es muy común que los alumnos digan que en el moño naranja se

usa más listón que en el blanco, pues consideran que 1/8 es mayor que ¼ , porque 8 es mayor que 4.

• En el inciso b) y en el siguiente inciso están implícitas operaciones de suma y de resta de fracciones, aunque no es necesario que recurran a la operación, ya que pueden usar el cálculo mental o representar un metro de listón con una línea y dividirla según la medida que se requiere para cada moño. En el inciso d) nuevamente se requiere el uso de estrategias diversas en las cuales los alumnos deben considerar toda la fracción como un solo número, además de las diversas formas para representar una cantidad y después compararla.

• Para el inciso e), es probable que recurran a hacer un dibujo antes que realizar alguna otra estrategia, aunque también pueden pensar que si de un metro de listón salen 4 moños blancos, de 5 se pueden hacer 20, más 3 de los 3/4; en total se obtienen 23 moños rojos. Del Naranja se elaboran 8 moños, así que de 3 metros se hacen 24, más 4 del medio metro, lo que da un total de 28. Otros tal vez realicen una suma iterada de las fracciones hasta cubrir el total de listón indicado; sin embargo, el cálculo mental es un recurso muy importante para darle sentido a los números fraccionarios.

• Actividad 6: De varias formas (2) Tiempo estimado 25 Minutos• Materiales: Fracciones y Regletas• En equipos resolvamos el siguiente desafío y comentemos como nos pueden

ayudar las regletas o las fracciones para que nuestros alumnos conceptúen y representen fracciones mixtas.

• En la ferretería de Pedro se vende pintura en recipientes de diferentes tamaños. Hay de ¼ de litro, ½ litro, 1 ¼ litros, 2 litros y de 3 ½ litros. Luis va a pintar su cuarto y calcula que necesita 7 ¾ litros de pintura. ¿Qué recipientes puede comprar de manera que no le sobre pintura? ¿Cuál opción es más conveniente? Expliquen ______________________________________

2. Comentemos las explicaciones que darían nuestros niños y cómo podríamos orientar algunos posibles argumentos • Con el material Representemos las siguientes fracciones y expresémoslas como

número mixtos• a) 9/4 = ________ b) 12/8 = ________ c) 7/2 = ________ d) 16/4 = _______ e) 7/4 = ______

f) 11/8 = _______

• Leamos y comentemos el siguiente texto:

• La primera pregunta implica que ellos busquen todas las combinaciones posibles para completar la cantidad de pintura que necesita Luis. La segunda les permitirá analizar cuál opción es más conveniente. Pueden surgir varios criterios para tomar esa decisión; lo más probable es que prevalezca el de considerar la opción en la que se compren menos recipientes.

• Es factible que entre las respuestas haya algunas en las que se rebase la cantidad de pintura necesaria; si esto sucede, se debe exhortar a los alumnos a analizar si existen otras opciones en las que no sobre pintura.

• Justamente, los argumentos relacionados con cuál opción conviene pueden girar en torno a la cantidad de latas necesarias para completar 7 + ¾ de litro, el menor costo, etcétera.

• Actividad 7: Fiesta y pizza (3) Tiempo estimado 25 Minutos

• Materiales y Recursos: Fracciones • En equipos resolvamos los siguientes desafíos. • Al terminar un torneo de voleibol, algunos jugadores celebraron con una fiesta.

Los asistentes se organizaron en pequeños grupos para comprar pizzas. Si las pizzas se repartieron en partes iguales

• ¿qué porción le tocó a cada integrante de un grupo de tres jugadores que se repartieron 3 pizzas? __________

• ¿y qué porción a un grupo de tres jugadores con 4 pizza? _______________ • ¿Qué porción le toco a un grupo de cinco jugadores con 3 pizzas?

_________________• ¿Qué porción le toca a un grupo de cuatro jugadores con 3 pizas?

__________________ • ¿En cuál grupo le tocó menos pizza a cada persona?

____________________________

2. Representen las pizzas que se necesitan para que en un grupo de 6 personas a cada una le toque 4/6 de pizza.• Comentemos en plenaria las posibles estrategias de solución que desarrollarían

nuestros alumnos

• Leamos y comentemos el siguiente texto:

• La representación gráfica y, en ciertos casos, el uso de material concreto son buenas alternativas para comprobar sus hallazgos.

• El segundo problema representa un proceso inverso al primero: se parte de la cantidad que le toca a cada persona y la incógnita es el total de pizzas que se repartieron. Es muy probable que para solucionarlo los alumnos dibujen las pizzas, una por una, al mismo tiempo que las van dividiendo en sextos para asignar uno a cada persona, hasta completar los cuatro que se necesitan de acuerdo con la actividad.

• Actividad 8: Realizando comparaciones Tiempo estimado: 25 minutos

• Materiales y Recursos: Fracciones y Regletas

• En Equipo, con nuestro material, realicemos las siguientes comparaciones y argumentemos nuestras selecciones

• De las parejas de fracciones presentadas, encerremos la fracción que representa una porción mayor.

• ¾ y 3/6 5/4 y 4/5 2/4 y 4/8 3/7 y 5/12

• En plenaria, comentemos cuáles serían los errores más comunes que nuestros alumnos presenten en esta actividad y como les ayudaríamos a superarlos.

c) De las expresiones presentadas, encerremos la que al unirse represente un total menor.• 1/4 + 1/3 y 2/8 + 3/12

• 1/2 + 2/5 y 4/10 + 5/12

• 3/7 + 1/6 y 2/3 + 1/12

• 3/9 + 1/2 y 1/6 + 2/3

• 2/4 + 2/10 y 1/5 + 3/6

• Comentemos cómo favorecen los ejercicios de comparación para el desarrollo de noción de aditiva en las fracciones.

• Actividad 9: Reflexiones de la sesión Tiempo estimado 15 minutos

• Materiales y Recursos: Material del participante• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la

sesión.• Escribamos nuestras conclusiones sobre los errores más comunes que los

alumnos presentan en la comparación de fracciones y la importancia de estos desafíos para ir desarrollando la noción aditiva de las fracciones y la equivalencia de algunas fracciones con diferente representación. ___________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


• TERCERA SESIÓN• Actividad 10: Fiesta Sorpresa (4)

• En Equipos de tres personas resolvamos los siguientes desafíos: • Jimena cumple años la próxima semana y sus amigos se organizaron para hacerle

una fiesta sorpresa; Jesús, Mauricio y Eduardo eligieron inflar globos de colores para jugar tiro al blanco durante la fiesta. Jesús va a colocar los globos rojos, que son 3/9, del total que cabe en el tablero. A Mauricio le tocaron los verdes, que son 2/6 del total, y Eduardo eligió el color amarillo y va a inflar el resto de los globos del tablero.

• ¿De qué color habrá más globos? _________ ¿Por qué? __________________• Elisa y Talía son las encargadas de adornar el salón, y para ello cada una quedó en

llevar un rollo de cinta festón de 10 m. Elisa calculó que va a ocupar 3/5 partes de su rollo, y Talía sabe que le van a sobrar 4 m del suyo. ¿Quién de las dos va a gastar más cinta?________________________________

• ¿Por qué? _____________________________________________________

3.

Con nuestras regletas encontremos tres formas distintas para representar un entero (regleta amarilla) con regletas de diferente color y anotemos en los renglones las combinaciones obtenidas y los números que representan cada color.• _________________________________________________________________• __________________________________________________________________• __________________________________________________________________

__________________________ • Comentemos nuestros procedimientos para resolver satisfactoriamente y

comentemos que dificultades se les pueden presentar a los alumnos de cuarto grado.

• Actividad 11: ¿Qué parte es? (5)

• Materiales y Recursos: Fichas de colores, fracciones y regletas• En equipos, resuelvan los desafíos.• Durante los últimos cuatro meses, una fábrica de calzado ha vendido su

producción de la siguiente manera: ¼ a un distribuidor de Celaya. 3/5 a un distribuidor de Colima, y el resto de la producción fue vendida al menudeo por la misma fábrica.

• Completen la siguiente tabla para determinar la cantidad de la producción que se vendió a cada distribuidor.

Mes Producción en pares de zapatos

Venta a Celaya Venta a Colima Venta al menudeo

Marzo 7 600 Abril 6 100 Mayo 10 500 Junio 12 300

Día Ganancia Papá Mamá Hijo

Lunes 560

Martes 480

Miércoles 640

Jueves 490

Viernes 510

b) Una familia compró un taxi; el papá aportó $80 000, la mamá $40 000, y el hijo será quien lo maneje. Los tres decidieron repartir las ganancias que se obtengan de la siguiente forma: al papá 4/8 de las ganancias, a la mamá 1/5 y al hijo 3/10.A continuación se muestran las ganancias que obtuvieron en los últimos cinco días; calculen la cantidad de dinero que le corresponde a cada uno y completen la tabla.

• Leamos y comentemos el siguiente texto: • Es importante que los alumnos calculen fracciones de magnitudes continuas, como superficies de

figuras y longitudes; pero también es importante calcular fracciones de magnitudes discretas, como pueden ser el dinero o los zapatos, que se usan en este desafío… Es conveniente que los alumnos validen sus propios resultados; para ello, al terminar de llenar la tabla se les podría preguntar: ¿de qué manera verificarían que sus resultados son correctos?

• Una forma es comprobar que la suma de las tres ventas corresponda con la producción trimestral… Por otra parte, también es importante que los alumnos sepan discriminar la información que contiene un problema, es decir, saber cuál es útil para contestar lo que se pide y cuál no, como en el caso del problema 2, en el que las aportaciones de la mamá ($40 000) y del papá ($80 000) son datos innecesarios para llegar a las respuestas; por tanto, si los alumnos los consideran es conveniente discutir sus argumentos.

• Una buena alternativa es trabajar con fracciones equivalentes: 4/8 es equivalente a ½; en consecuencia, el dinero que le corresponde al papá es la mitad de la ganancia diaria. Por las fracciones que les corresponden al hijo y a la mamá, es pertinente usar otras expresiones equivalentes: 1/10 + 1/10 = 1/5. Para obtener el dinero de la mamá puede calcularse la décima parte de la ganancia y después duplicar el resultado.

• Si a los alumnos no se les ocurren estos procedimientos, vale la pena comentarlos como otra forma de obtener los resultados. Una vez que se complete la tabla, los alumnos pueden verificar que la ganancia por día sea igual a la suma de las cantidades que reciben diariamente el papá, la mamá y el hijo.

• Actividad 12: ¿Cuántos Eran? (6)

• En parejas, resuelvan los siguientes problemas.• Un equipo de tres niños está en una actividad con el maestro David. Este equipo

representa la séptima parte del grupo. ¿Cuántos alumnos hay en ese grupo?___________ Comenten su estrategia de resolución con los compañeros.

• Este año, en el zoológico se observó que la población de patos correspondía a 2/5 partes del total de la población de aves acuáticas. Si hay 36 patos, ¿cuál es el total de aves acuáticas? ____________________. Comentemos nuestra estrategia de resolución con los compañeros del grupo.

• En una bodega había cajas con frascos de frutas y verduras en conserva. Del total de frascos, 2/3 tenían fresas, la cuarta parte duraznos, y también había 2 frascos de chiles y zanahorias, que representaban 1/12 del total de envases.

• ¿Cuántos frascos había en las cajas? __________________ • ¿Cuántos frascos había de cada producto? • Comentemos nuestra estrategia de solución en el grupo

• Leamos el siguiente texto y comentemos.• Los alumnos ya han resuelto problemas en los que debían

completar una figura al mostrárseles una fracción de la misma, es decir, se partía de la idea de un entero como unidad fraccionada. Ahora se trata de que calculen el total de elementos que integran la unidad de referencia a partir de una fracción de la misma. Es recomendable que los alumnos discutan en grupo las respuestas y procedimientos de un problema antes de resolver el siguiente; esta estrategia ayuda a enriquecer sus procedimientos e incorporar los que consideren útiles.

• Actividad 13: ¡Carrera tres! (7)

• En parejas juguemos a “Carrera 3”• Tomemos las fracciones de tercios y sextos de nuestro material didáctico de fracciones.• Iremos ensamblando alternadamente una fracción (podría ser 1/3 ó 1/6)• Cuando ensamblemos la fracción anotaremos en el cuaderno el resultado total de lo que

hemos ensamblado. Un ejemplo es el siguiente: Lola inicia y pone 1/3, después Pepe pone 1/6 y anotan en el cuaderno el total que forman las dos piezas ensambladas (3/6); después Lola debe de ensamblar y se anotará la fracción total que formen las tres piezas, es decir, se le sumará a 3/6

• LOLA PEPE • 1/3 3/6• 2/3 1• Cuando se forme un círculo completo cambiaremos las piezas ensambladas por un entero

(color amarillo)• Gana el jugador que ensambla el tercer entero sin que le sobre o le falte, es decir, gana el que

llegue a tres.• Comentemos si hemos descubierto una estrategia para ganar siempre.

• Actividad 14: Reflexiones de la sesión• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión.• Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia ir desarrollando el

proceso de concepto de fracción mediante las comparaciones, igualaciones, seriaciones y juegos aditivos.

• ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


• CUARTA SESIÓN• Actividad 15: Una estrategia didáctica con material didáctico Grafico-

Numérico • Recibamos el material gráfico-numérico del coordinador.• Analicemos su estructura y organización • En equipos de 4 integrantes comentemos que utilidad le daríamos

como material de apoyo para una estrategia didáctica • Seleccionemos la Estrategia Didáctica que nos parezca más adecuada e

innovadora para compartirla en el grupo en un tiempo menor a 10 minutos

• Presentemos nuestra estrategia y comentemos cada una de ellas.• En plenaria comentemos La utilidad del material Gráfico-numérico en

nuestros grupos y grados que atendemos.

1 3 12

1 4 12

1 5 12

1 6 12

1 2 12

1 8 12

1 9 12

1 10 12

1 12 12

1 7 12

2 3 12

2 4 12

2 5 12

2 6 12

2 2 12

2 8 12

2 9 12

2 10 12

2 12 12

2 7 12

3 3 12

3 4 12

3 5 12

3 6 12

4 4 12

3 8 12

3 9 12

3 10 12

3 12 12

3 7 12

5 6 12

5 7 12

4 5 12

4 6 12

5 5 12

4 8 12

4 9 12

4 10 12

4 12 12

4 7 12

6 7 12

6 8 12

6 9 12

6 10 12

6 6 12

5 8 12

5 9 12

5 10 12

5 12 12

6 12 12

89 12

8 10 12

8 12 12

9 9 12

8 8 12

7 8 12

7 9 12

7 10 12

7 12 12

7 7 12

912 12

10 10 12

10 12 12

12 12 12

9 10 12

• 3. Leamos y comentemos el siguiente texto

• En el desarrollo de cada uno los procesos matemáticos, se hace necesario que el pensamiento vaya evolucionando de lo fácil a lo difícil, de lo sencillo a lo complejo y de lo simple a lo elaborado. Los recursos y apoyos que el docente empleé, y de acuerdo a las características de la etapa de aprendizaje en la que se encuentran los alumnos, también debe irse graduando: de lo concreto a lo gráfico, para posteriormente ir de lo gráfico a lo simbólico; sin lo cual, es muy difícil que el alumno dimensione las magnitudes de cada una de las situaciones problemáticas que enfrenta tanto en el aula como fuera de ella.

• Actividad 16: Sumas y Restas II (8)

En parejas, resuelvan los problemas. • Luisa utiliza 1/3 m de listón para elaborar un moño. Si necesita 7 moños azules, 4

rojos y 5 dorados, ¿cuánto listón de cada color debe comprar? Azul__________ Rojo: _______ Dorado: ________

• En la fiesta de Saúl se sirvió helado de chocolate a todos los invitados. Después de repartir una porción a cada persona, sobraron ¾ de litro. ¿Cuánto helado tendrá que comprar la mamá de Saúl, si necesita completar 1 ½ litros en total? _____________

• En 4º “A” se llevó a cabo una votación para elegir al representante del grupo. La mitad votó por Rocío y 1/3 por Samuel. ¿Qué parte del grupo no votó?_____________

• Actividad 17: ¿Cuánto es en total? (9)

• Individualmente, resuelve los siguientes problemas. Al terminar compara tus respuestas con las de tu compañero de equipo.

• Claudia compró primero ¾ kg de uvas y luego ½ kg más ¿Qué cantidad de uvas compró en total? _______

• Para hacer los adornos de un traje, Luisa compró 2/3 m de listón azul y 5/6 m de listón rojo ¿Cuánto listón compró en total? ___________

• Pamela compró un trozo de carne Usó 3/8 kg de ese trozo para preparar un guisado y sobró ¾ kg ¿Cuánto pesaba originalmente el trozo de carne que compró? _____________

• Leamos el siguiente texto y comentemos en plenaria• Es importante aclarar que no se pretende que recurran al algoritmo tradicional

para obtener el mínimo común múltiplo (éste se estudiará en secundaria con mayor detenimiento), sino que se den cuenta de que pueden encontrar fracciones equivalentes que les permitan hacer fácilmente las operaciones.

• Actividad 18: ¿Sumar o Restar? (10)

• En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas: • De una cinta adhesiva de 2 1/3 m, ocupé 3/6 m ¿Qué cantidad de cinta me quedó?

_____________ • 2 En el grupo de quinto grado, los alumnos practican tres deportes: 1/3 del grupo

juega futbol, 2/6 juegan básquetbol y el resto, natación ¿Qué parte del grupo practica natación? _________________

• La mitad del grupo votó por Amelia y la tercera parte votó por Raúl • ¿Qué parte del grupo no votó? __________________• Leamos y comentemos en plenaria el siguiente texto:• Un elemento que ocasiona dificultad en la resolución de este tipo de operaciones

son las fracciones mixtas. Muchas veces los alumnos no saben en qué situaciones deben tomar en cuenta este aspecto y en cuáles no es necesario. Este conocimiento se adquiere con la práctica y comprensión; por tanto, conviene que se enfrenten a problemas de este tipo.

• Actividad 19: Reflexiones de la sesión• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión.• • Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de recurrir a las

equivalencias para resolver problemas o desafíos que implican suma o resta de fracciones propias, impropias y mixtas. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CÁLCULO RESULTADO PROCEDIMIENTOEl doble de 1/3 El triple de 2/7 La mitad de 4/5 La mitad de 5/6

½ + ¼ ½ + ¾ 2/3 + 1

2/5 + 3/5 1 – ¾

QUINTA SESIÓNActividad 20: ¡Atajos con Fracciones! (11)

•De manera individual, resuelve mentalmente las siguientes operaciones; utiliza el procedimiento más breve posible. Escribe en la tabla los resultados y los procedimientos que utilizaste.•Comentemos nuestros procedimientos en Equipo. •En Plenaria compartamos los procedimientos de los equipos .

• Leamos el siguiente texto y comentemos.• Es importante mencionar que en este momento no se trata de aplicar los algoritmos

convencionales, sino de construir procedimientos rápidos y memorizar ciertos resultados que permitan a los alumnos resolver operaciones más complejas.

• Para obtener el doble de 1/3 es posible que los alumnos escriban 1/3 + 1/3 e intenten aplicar el algoritmo convencional para sumar dos fracciones con el mismo denominador. Si es así, es importante discutir sobre otros caminos más cortos. Se espera que adviertan que basta con duplicar el numerador para encontrar el resultado.

• Para obtener la mitad de 4/5 es probable que los alumnos infieran que basta con obtener la mitad del numerador, lo cual es correcto; pero aplicar el mismo criterio para obtener la mitad de 5/6 no funciona, porque 5 no tiene mitad entera; entonces necesitarán buscar otros caminos, como obtener una fracción equivalente a 5/6 con numerador par (10 /12) y, posteriormente, sacar la mitad del numerador, para obtener finalmente 5/12.

• A partir de este análisis, se espera que los alumnos noten que un procedimiento más rápido consiste únicamente en duplicar el denominador.

• Actividad 21: Una Escalera de Diez (12)

• Reúnete con un compañero para identificar cuál de los valores le corresponde a cada símbolo de los que aparecen en la escalera, de tal forma que al sumar los de cada renglón y los de cada columna, el resultado sea 10.

• Actividad 22: Vamos a completar (13)

• En equipos de tres compañeros resuelvan estos problemas:• Para comprar un juego de mesa yo aporté un quinto del total del precio, mi

hermana María la sexta parte y mi papá el resto ¿Qué parte del costo del juego aportó mi papá? ______________________________ Si pagamos $90, ¿cuánto dinero puso cada uno? Mi Papá: ________ Mi hermana: _______ yo: ______

• Resuelve individualmente estos problemas Cuando hayas terminado todos, reúnete otra vez con tu equipo para comparar y comentar sus resultados

• ¿Cuánto hay que agregar a ¾ para obtener 6/7? ______________ • ¿Qué tanto es menor o mayor que 1 la suma de 4/5 y 4/8?

___________________ • ¿Es cierto que 8/12 + 2/4 = 11/6? ____________ • 4 ¿En cuánto excede 7/9 a 2/5? _______________

• Leamos y comentemos el siguiente texto. • Si bien en otros momentos los alumnos han resuelto problemas utilizando

diversos recursos, se espera que en esta ocasión lo hagan utilizando algoritmos convencionales. La intención no es que ellos calculen el mínimo común múltiplo de las fracciones que intervienen, ya que este procedimiento se analiza detenidamente en secundaria, sino que recurran al cálculo de fracciones equivalentes —cuyos denominadores sean iguales— con base en la idea de multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número natural… Es recomendable que durante el desarrollo de los algoritmos se invite a los alumnos a escribir cada una de las fracciones equivalentes, de tal forma que puedan distinguir con cuál de las fracciones originales están relacionadas una y otra; conviene animarlos a reducir — siempre que se pueda— las fracciones resultantes…

• Actividad 23: Son las 3 menos un cuarto Tiempo estimado: 25 Minutos1. En equipos de tres personas resolvamos el siguiente desafío: • Nelly fue registrando en su cuaderno de notas los tiempos que realizaron para llegar

a la ciudad de México.• Su cuaderno tenía lo siguiente:• Acámbaro a Jerécuaro ½ hora. • Jerécuaro a Coroneo 1/3 hora• Coroneo a Amealco 5/12 hora• Amealco a Aculco ¾ hora • Aculco a Tepozotlán 8/10 hora • Tepozotlán a Cd México 3/6 hora• Hora de llega a la ciudad de México: 6:03 a.m. • ¿Cuál fue la hora de salida de la ciudad de Acámbaro? ______________2. Comentemos nuestras estrategias de resolución en Plenaria


• Materiales y Recursos: Material del participante• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la

sesión.• Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de estrategia para

cálculo mental de equivalencias de fracciones como actividad permanente en el desarrollo de las herramientas para resolver los diversos problemas que implican la adición y sustracción de fracciones con diferente denominador. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


SEXTA SESIÓNActividad 25: El equipo de Caminata (11)

1. En parejas resuelvan este problema: El equipo de caminata de la escuela recorre un circuito de 4 km. El maestro registra en una tabla como la de abajo las vueltas y los kilómetros recorridos por cada uno de los integrantes; analícenla y complétenla. Nomb

re ROSA

JUAN

ALMA

PEDRO

VÍCTOR

SILVIA

ERIC IRMA ADRIANA

LUIS MARÍA

Vueltas 1 2 5 ½ ¾ 4/5 2 7/8 0.75 1.25 1.3 2.6

Km

2. En plenaria comentemos nuestras estrategias de resolución

3. Leamos el siguiente texto y comentemos. Si bien la intención se centra en la multiplicación entre fracciones o decimales y números naturales, el hecho de considerar naturales en la tabla tiene como objetivo que los alumnos se den cuenta que valores fraccionarios, decimales y enteros juegan la misma función: 1 vez 4 km, 5 veces 4 km, 4/5 veces 4 km, 1.25 veces 4 km, etcétera. En el caso de la multiplicación de una fracción por un número natural se podría seguir utilizando la expresión a/b de m, antes de que ésta sea designada como multiplicación (los alumnos pueden calcular, por ejemplo ¾ de 4, sin saber que se trata de multiplicaciones).Cuando se trata de números decimales, una opción es transformarlos en fracciones y utilizar alguna estrategia comentada anteriormente, por ejemplo, para calcular 1.3 de 4 km, la parte decimal se transforma en fracción: 0.3 = 3/10.

• Actividad 26: El rancho de don Luis (15) Tiempo estimado 25 Minutos

1. En parejas, resuelvan los problemas:• En el rancho de don Luis hay un terreno en el que siembra hortalizas que mide ½

hm de ancho por 2/3 hm de largo. Don Luis necesita saber el área del terreno para comprar las semillas y los fertilizantes necesarios. ¿Cuál es el área? ________________

• En otra parte del rancho de don Luis hay un terreno de 5/6 hm de largo por ¼ hm de ancho donde se cultiva durazno ¿Cuál es el área de este terreno? _______________

2. En plenaria comentemos nuestras estrategias de resolución.

2/3

1/2

5/6

1/4

Área = 2/6 hm2Área = 5/24 hm2

•Leamos el siguiente texto y comentemos.•Es necesario recordar que el estudio explícito y formal de la multiplicación con fracciones se hace en secundaria; sin embargo, en este momento los alumnos pueden aplicar procedimientos no formales para resolver problemas multiplicativos con este tipo de números.

•Para resolver el problema 1 es necesario multiplicar 2/3 por ½, lo cual puede interpretarse también como 2/3 de ½.

• Actividad 27: Partes de una Cantidad (16) Tiempo estimado 30 minutos

1. En equipos, resuelvan estos problemas: a) En un grupo de 36 alumnos, 1 del total son menores de 10 años ¿Cuántos tienen 10 o más años? _____________ • ¿Qué parte del grupo tiene 10 o más años? __________• En toda la escuela hay 230 estudiantes en total, de éstos 3/5 son mujeres

¿Cuántos son hombres?____• ¿Qué parte del total de los estudiantes son hombres?_________b) De los 45 alumnos que hay en un grupo, 9 obtuvieron calificación mayor que 8 • ¿Qué parte del grupo obtuvo 8 o menos de calificación?________c) En la zona escolar hay 15 escuelas a las que asisten en total 3 760 alumnos, de los cuales 2 820 tienen más de dos hermanos ¿Qué parte del total de alumnos tiene dos hermanos o menos? __________.2. En plenaria comentemos nuestra estrategia de resolución y determinemos si nuestros alumnos las desarrollarán de manera similar.

• Actividad 28: Circuito de Carreras (17) Tiempo estimado 25 minutos

1.- En equipos, resuelvan estos problemas: a) Un circuito de carreras tiene una longitud de 12 Km: • Un ciclista recorrió todo el circuito 3 ½ veces ¿Cuántos kilómetros recorrió?

___________ b) Otro ciclista recorrió el circuito 1 ¼ veces ¿A cuántos kilómetros equivale esa

longitud? ____________c) c) Un tercer ciclista recorrió ¾ veces el circuito ¿Cuántos kilómetros

representa esa cantidad?________2. En plenaria comentemos nuestra estrategia de resolución y determinemos si nuestros alumnos las desarrollarán de manera similar

3. Leamos el siguiente texto y comentemos.• Estos tipos de expresión equivalen a a/b de 12… Es importante

destacar que la palabra “veces” suele asociarse a la multiplicación, por ejemplo, 3 × 12 equivale a decir 3 veces 12. También puede usarse en el caso de las fracciones, tanto mayores como menores a 1… Ahora bien, en el caso de los naturales, “3 × 12” y “3 veces 12” no son expresiones equivalentes a “3 de 12”, porque esta última se interpreta como 3/12. Sin embargo, en el caso de las fracciones, las tres expresiones son equivalentes; así, “1/3 veces 12”, “1/3 × 12” y “1/3 de 12”, dan como resultado 4.


• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión.

• Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de dimensionar la multiplicación como “a/b de m”, “a/b X m” o “a/b veces m”, en el caso de multiplicar una fracción por un numero natural; y de la misma manera, dimensionarla como “a/b de c/d”, “a/b X c/d” o “a/b veces c/d”, en el caso de multiplicar dos fracciones.

• _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


• SEPTIMA SESIÓN• Actividad 30: Para dividir en partes (18) Tiempo estimado 30 minutos

1. En equipos, resuelvan los siguientes problemas: a) De un grupo de alumnos, 4/6 van a participar en un concurso de danza. La mitad de ellos presentará una danza folclórica y la otra mitad, una pieza de danza clásica. ¿Qué partes del total de alumnos participarán en cada una de las dos piezas de danza?______________________ b) Al trasladar una pieza de madera se dañó una quinta parte. Con el resto de la madera en buen estado se van a construir 2 puertas de igual tamaño. ¿Qué parte de la pieza original se utilizará en cada una de las puertas? ______________ c) En la ferretería “La Tía Adriana”, vaciaron 6/7 de una lata de pintura en 3 recipientes iguales, la misma cantidad en cada uno. ¿Qué parte de la lata de pintura se vació en cada recipiente?____________________. • En plenaria comentemos nuestras estrategias de solución

3. Leamos el siguiente texto y comentemos• La división de fracciones es un tema que se aborda en la educación secundaria; no obstante, los alumnos

tienen algunas herramientas para enfrentarse con problemas en los que se tiene que dividir una fracción común entre un número natural (1, 2, 3, 4…). En este momento la finalidad no es estudiar el algoritmo convencional (multiplicación en cruz o multiplicación por el recíproco), sino que ellos pongan en juego sus conocimientos y lleguen al resultado usando sus propios procedimientos.

• En este desafío se trata el caso más sencillo, cuando el numerador de la fracción es múltiplo del divisor. Se espera que al final de la sesión los alumnos puedan advertir que basta con dividir el numerador de la fracción entre el divisor.

• Es probable que en este problema algunos alumnos planteen que 4/6 entre 2 da como resultado 2/3, porque consideren, erróneamente, que se dividen entre 2 tanto al numerador como al denominador.

• Si este fuera el caso, una forma de propiciar la reflexión sobre la respuesta de los alumnos es pedirles que identifiquen si existe alguna otra relación entre las dos fracciones (equivalencia) o que las representen gráficamente para que observen si ambas representan el mismo valor. Así, este procedimiento no los llevará a obtener el resultado de la operación. Incluso si se les deja que resuelvan los tres problemas antes de hacer la confrontación, se encontrarán que este procedimiento no funciona para el tercer problema, ya que la división del denominador (7) entre 3, es un número decimal infinito.

• También puede proponerles que resuelvan otras divisiones similares; para plantearlas es importante recordar dos cosas:

• Sólo se trabajarán casos en los que el numerador de la fracción sea múltiplo del divisor.• No se trata de que los alumnos aprendan mecánicamente algoritmos que no comprenden, sino que resuelvan

problemas de este tipo comprendiendo las estrategias y procedimientos que realizan.

• Actividad 31: Repartos Equitativos (19) Tiempo Estimado 35 minutos

1. En equipos, resuelvan los siguientes problemas: • Cuando Raúl y Esperanza llegaron a una fiesta quedaban 3/10 del

pastel, así que se dividieron esa porción en partes iguales ¿Qué parte del pastel completo le tocó a cada uno?________

• Cuatro amigos van a repartirse, por partes iguales y sin que sobre nada, 5/8 de una pizza ¿Qué parte del total, es decir, de la pizza completa, le tocará a cada uno? ______________

• Patricia tiene ¾ de metro de listón y lo va a cortar para hacer 4 moños iguales, ¿qué cantidad de listón ocupará para cada moño?_________.

2. En plenaria comentemos nuestras estrategias de solución.

3. Leamos el siguiente texto y comentemos• En este desafío, probablemente los alumnos se darán cuenta de que no pueden

recurrir al procedimiento abordado en el anterior, porque ahora el numerador de la fracción no es múltiplo del divisor. Se espera entonces que usen sus conocimientos previos acerca de las fracciones para generar estrategias propias y obtener el resultado.

• En el tercer problema es probable que los alumnos conviertan ¾ de metro a 75 cm, lo cual es válido; lo interesante será que en la confrontación se demuestre la equivalencia de los resultados dados en centímetros o en metros.

• Se espera que con la práctica los alumnos usen la estrategia de encontrar fracciones equivalentes cuyo numerador sea múltiplo del divisor. Pero es importante recordar que en ningún caso se espera enseñar el algoritmo convencional para dividir una fracción entre un entero. Es importante observar que los procedimientos informales dan lugar a que los alumnos ejerciten su razonamiento y profundicen en sus conocimientos sobre las fracciones. Al resolver varios ejemplos, ellos notarán que dividir una fracción entre un número entero equivale a multiplicar su denominador por ese número, por ejemplo ¾ entre 8 da como resultado 3/32. Es decir, para que esta fracción sea 8 veces más pequeña, el denominador debe ser 8 veces mayor.

• Actividad 32: ¿cuántas veces cabe? (20) Tiempo estimado 45 minutos

1. En equipos, resuelvan los siguientes problemas: a) Alicia dio un paseo de 3/4 de kilómetro. Cada octavo de kilómetro se detuvo a descansar. ¿Cuántas veces se detuvo a descansar? _________________b) María observó que al pasar a máquina cada página que escribe a mano, sólo ocupa 2/3 de página. Cuando María terminó su trabajo, le quedo un texto de 12 páginas a máquina. ¿Su texto a mano tenía más de 12 páginas o menos? ____________ ¿Cuántas páginas tenía su texto a mano? ___________________ c) ¿Qué operaciones utilizó para resolver estos problemas? __________________________

4. Leamos y comentemos el siguiente texto:• Los problemas anteriores también se pueden resolver con divisiones. En ambos, se conocen dos

medidas y es necesario ver cuántas veces cabe una en la otra (son problemas de división de tipo "tasativo"), es decir, es necesario encontrar el operador multiplicativo que permite pasar de una a otra:

• En el problema a) se necesita saber cuántas veces cabe 1/8 en 3/4. Formalmente, se puede resolver con:

• 1/8 x ¿ = 3/4 o con 3/4 ÷ 1/8 = ¿. • En el problema b), se necesita saber cuántas veces 2/3 es igual a 12, es decir: 2/3 x ? = 12, ó bien

12 ÷ 2/3 = ?• Sin embargo, seguramente usted ya comprobó que estos problemas se pueden resolver sin

aplicar un algoritmo para dividir fracciones, incluso, sin considerar que la división está Implicada.

• Debido a que los problemas que requieren de una división de fracciones son más complejos y poco comunes en la vida cotidiana y que, por lo tanto, comprender el sentido de esta operación es difícil, este contenido se introduce hasta la secundaria.

• En los últimos grados de la primaria, los alumnos pueden abordar problemas como los anteriores, poniendo en juego otros recursos. De esta manera pueden propiciarse, además, interesantes reflexiones sobre el Significado mismo de las fracciones.

5. Comentemos la siguiente reflexión y escribamos que tratamiento didáctico daríamos a esta concepción en nuestras aulas.

• “¿Por qué cuando divido siempre me salen números menores y cuando divido fracciones como ½ ÷ ¼ obtengo un número entero y mayor al dividendo y al divisor?.... No lo entiendo”

• _________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• 1. Actividad 33: Reflexiones de la sesión 1. Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión.2. Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de dimensionar la división de fracciones como las veces que cabe la magnitud del divisor en el dividendo• _________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Comentemos nuestras conclusiones en grupo y modifiquemos nuestro escrito en caso de ser necesario

Referencias BibliográficasSEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Tercer grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG 1. Pp 163 – 165 (adaptación de los desafíos)2. Pp 166 – 167 SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Cuarto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG 3. Pp 27 – 30 (adaptación de los desafíos)4. Pp 162 – 163 5. Pp 202 – 205 6. Pp 210 – 211 SEP. PRONAP La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, Taller para maestros (Segunda parte). México 1995 CONALITEG7. Pp 49 (Adaptación del juego “gana el que llega a 5”)SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Cuarto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG 8. Pp 168 – 170 SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Quinto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG 9. Pp 10 – 12 10. Pp 13 – 14 11. Pp 127 – 128 12. Pp 196 – 198 SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Sexto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG13. Pp 21 – 24 14. Pp 28 – 29 15. Pp 30 – 31 16. Pp 188 – 190 17. Pp 192 – 193 18. Pp 237 – 239 19. Pp 240 – 242 SEP. PRONAP La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, Taller para maestros (Segunda parte). México 1995 CONALITEG20. Pp 82 – 83

Estrategias didácticas para el aprendizaje de operaciones con fracciones

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