Ekonometrrika Analisis Regresi Linear Berganda Persoalan Estimasi
ESTIMASI INTERVAL SPLINE DALAM REGRESI ... -...
Transcript of ESTIMASI INTERVAL SPLINE DALAM REGRESI ... -...
Tesis
ESTIMASI INTERVAL SPLINE DALAM REGRESI NONPARAMETRIK
Oleh :
MUHAMMAD NAFI’(NRP.1304201018)
PROGRAM PASCASARJANA PROGRAM STUDI STATISTIKAPROGRAM PASCASARJANA PROGRAM STUDI STATISTIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYAINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA20102010
Tesis
i i iy xα β ε= + +Parametrik
Bentuk kurva diketahui
LATAR BELAKANG
ˆ ...?f =
Regresi
yi = f(xi) + εi
Nonparametrik
yi = f(xi) + εi
- Pendekatan Kernel (Hardle,90)- Spline (Wahba, 1990; Craven & Wahba, 1979; Budiantara et al, 1997)- Deret Fourier & Wavelet (Antoniadis et al, 1994)
Spline
RKHS (Graven & Wahba, 79)(wang, 98)
Gateaux (Eubank, 88)
Bahasa matematis tinggi
-Model regresi yang mempunyai interprestasi satistik dan visual sangat khusus dan sangat baik-Diperoleh dari optimasi Penalized Least Square (PLS) dan memiliki fleksibilitas yang tinggi-Mampu menangani karakter data/fungsi yang mulus-Memiliki kemampuan yang sangat baik untuk menangani data yang prilakunya berubah-ubah padasub-sub interval tertentu
Estimator Interval Konfidensi
PLS (Craven & Wahba, 1979)Bayesian (prior improper)
(Wahba, 1983; Budiantara 200b)
Bahasa matematis tinggi
Tesis
1. Bagaimana bentuk estimator?
2. Bagaimana Interval Konfidensi ?
3. Bagaimana aplikasi spline ?
RUMUSAN MASALAH
Tesis
TUJUAN PENELITIAN
1. Mengkaji bentuk estimator Spline menggunakan Likelihood.
2. Mengkaji Konstruksi Interval Konfidensimenggunakan Pivotal Quantity.
3. Menerapkan spline pada data Berat Badan Balitadi Kota Surabaya tahun 2007.
Tesis
MANFAAT PENELITIAN1. WAWASAN KEILMUAN2. METODE ALTERNATIF
BATASAN MASALAH- OPTIMASI LIKELIHOOD- DATA TENTANG BERAT BADAN BALITA
DI KOTA SURABAYA TAHUN 2007
Tesis
TINJAUAN PUSTAKA
1. Fungsi SplineSpline adl potongan polinomial yg punya sifat tersegmen dan kontinushg lebih fleksibel dari polinomial biasa
2. Pemilihan Lambda OptimalDgn GCV,
∑ ∑= =
++ −+=p
j
m
k
pkipk
jiji xxxf
0 1)()( λγγ
2
1
1
1
2^
1
)(1
))(()(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
∑
∑
=
−
=
−
n
iii
n
iii
an
xfynGCV
λ
λ
Tesis
TINJAUAN PUSTAKA
3. Interval Konfidensi
4. Pertumbuhan Balita
( ) 1P c dθ α≤ ≤ = −
5. Berat Badan
Tesis
BAHAN DAN ALAT
1. Jurnal dan referensi
2. Program S-Plus 2000
3. Data rata-rata Berat Badan Balita
Tesis
LANGKAH PENELITIAN
Mengkaji estimator kurva regresi f Menurunkan IK kurva regresi f
Aplikasi pada data
IK :
Distribusi :
Penduga :
A
START
Fungsi f(xi) dihampiri dengan model spline kuadrat
Menyelesaikan optimasi
∑ ∑= =
++ −+=2
0 1
22 )()(
j
m
kkik
jiji xxxf λγγ
{ } )}],...,[()'],...,[{( 1111γλλγλλεε
γγmm
RRTyTyMinMin
mpmp−−=′
++++ ∈∈
yxWxf ),()(^
λ=
nia
xfxfW
ii
iii ,...,2,1,
)()(^
=−
=σ
nizWzP i ,...,2,1,1)( 2/2/ =−=≤≤− ααα
Tesis
A
Buat Interval Konfidensi
LANGKAH PENELITIAN
Perkiraan titik knot
Tentukan GCV optimal
Tentukan estimator spline optimal
Penentuan titik knot optimal
End
Tesis ANALISIS & PEMBAHASAN
1. Estimator Spline Untuk Kurva Regresi f
Dalam regresi nonparametrik f tidak diketahui, diasumsikan(termuat dalam ruang Sobolev)
mooth
∫ ∞<= }))((;{],[ 2)(2 dxxfgbaW pp
Diberikan suatu basis ruang spline :22
12 )(,...,)(,,,1{ ++ −− mxxxx λλ ⎩
⎨⎧
<≥−
=− + λλλ
λxxx
x,0,)(
)(2
2
Model Regresi Spline dapat ditulis menjadi
ij
m
kkik
jij
iii
xx
xfy
ελγγ
ε
+−+=
+=
∑ ∑= =
++
2
0 1
22 )(
)(
Tesis
ANALISIS & PEMBAHASAN
Fungsi Likelihood
22
2/2
12
2/12
))((2
1()2(
))((2
1()2(),(
iin
n
iii
xfyExp
xfyExpfyL
−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
−
=
−∏
σπσ
σπσ
Dengan Optimasi Likelihood diperoleh estimator:
yxTxTxTxTxf ),()],(),([),(),( '1'^
λλλλλ −=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
=
++
++
++
221
2
22
212
222
21
211
211
)()(1
)()(1
)()(1
),(
mnnnn
m
m
xxxx
xxxx
xxxx
xT
λλ
λλ
λλ
λ
L
MOMMMM
L
L
),...,( 1 ′= nyyy
Tesis
ANALISIS & PEMBAHASAN
2. Interval Konfidensi untuk kurva regresi
Setelah mencari ekspektasi dan varians dari estimator maka diperoleh Pivotal Quantity:
).,..,,,(
)()(ˆˆ).,..,,,(
212
2
12
2
021
mii
iki
m
kk
ji
jj
mix
xfxxxU
λλλωσ
λγγλλλ
−−+=
+=
+=
∑∑
Interval konfidensi 1 – α diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
αλλλωσ
λγγ−=≤
−−+≤
+=
+=
∑∑1)
).,..,,,(
)()(ˆˆ(
212
2
12
2
0 bx
xfxxaP
mii
iki
K
kk
ji
jj
Interval konfidensi 1 – α f(xi)
αλλλωσλγγ
λλλωσλγγ
−=⎟⎟⎠
⎞−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
≤⎜⎜⎝
⎛≤−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
∑ ∑
∑ ∑
= =++
= =++
1).,..,,,()(ˆˆ
)().,..,,,()(ˆˆ
212
2
0 1
22
212
2
0 1
22
miij
K
kkik
jij
imiij
K
kkik
jij
xaxx
xfxbxxP
Dengan a dan b memenuhi persamaan:
∫ ∫∞−
∞
==a
b
duuduu )(2
)( ϕαϕ
3. Aplikasi Model & Interval konfidensi Spline
Plot data dan spline linear dengan titik knot 5 dan 8, GCV: 0.04325964
umur bayi
bera
t bay
i
0 10 20 30 40 50
46
810
1214
umur bayi
bera
t bay
i
0 10 20 30 40 50
46
810
1214
Plot data dan spline kuadratik dengan titik knot 4, 8 dan 14 GCV: 0.02526942
umur bayi
bera
t bay
i
0 10 20 30 40 50
46
810
1214
umur bayi
bera
t bay
i
0 10 20 30 40 50
46
810
1214
Model regresi Spline
22
22^
)14(40.00724217)8( 0.01593129
)4( 0.03508034 0.05900713- 0.94311693.556999)(
++
+
−+−+
−++=
xx
xxxxf
Interval Konfidensi
umur bayi
bera
t bay
i
0 10 20 30 40 50
46
810
1214
umur bayi
bera
t bay
i
0 10 20 30 40 50
46
810
1214
umur bayi
bera
t bay
i
0 10 20 30 40 50
46
810
1214
Tesis
KESIMPULAN
Untuk memperoleh estimasi titik kurva regresi dalam regresi nonparametrik spline, umumnya digunakan optimasi Penalized Likelihood. Disamping itu dapat pula menggunakan optimasi Likelihood yang memberikan hasil relatif mudah.
Untuk membangun interval konfidensi dalam regresi nonparametrik spline, umumnya digunakan pendekatan Bayesian. Pendekatan Pivotal Quantity juga dapat digunakan dan memberikan hasil yang relatif sederhana.
Model Spline kuadrat sangat memadai untuk digunakan menduga pola hubungan antara umur balita dan berat badan balita di Kota Surabaya.
Terimakasih