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1 - Noções básicas de estatística
A Estatística durante séculos foi usada inconscientemente pelos
povos como um caráter meramente descritivo e de registro de
ocorrências. As primeiras atividades foram por volta de 2000 a.C. e
foram usados no recenseamento das populações agrícolas chinesas.
No início do século XIX, os grandes matemáticos entraram em cena,
como exemplo, o francês Simon Laplace e o alemão Carl Friedrich
Gauss (1777 –1855), este último surge com
aplicações da ``distribuição normal" para modelagem de erros de
medição. A teoria da distribuição normal foi usada pelo astrônomo e
matemático belga Adolphe Quételet (1796 –1874), no estudo
estatístico de diversas características das populações humanas:
altura, peso, natalidade, mortalidade, renda mensal etc. Ronald
Aylmer Fisher (1890 – 1962), estatístico britânico, foi o gênio que
criou a moderna teoria da estatística. Na Estatística trabalhou com
ajustes de curvas de freqüências, com coeficientes de correlação, os
chamados coeficientes de Fisher, na análise de variância (ANOVA) e
nas técnicas de estimação dos parâmetros. Influenciado pelos
trabalhos de Karl Pearson, outro importante estatístico britânico.
Fisher utilizou os resultados que obteve na Estatística como
ferramentas para aplicação nos seus estudos de genética, sendo hoje
considerado um dos maiores nomes na Teoria de Estatística e na
Estatística aplicada à Biologia.
1.1 - Introdução
Em geral, manipulamos um conjunto de dados com o objetivo de
extrairmos informação sobre o comportamento de um processo ou
produto. A Estatística utiliza a variabilidade presente nos dados para
obter tal informação. A variabilidade está presente em todo lugar. Por
exemplo, a posição de um carro estacionado em uma garagem não é
a mesma ao longo dos dias. Neste caso, a posição do carro apresenta
uma variação. Nossa estratégia consiste em avaliar as variações e
obter informações através dela.
A aplicação de técnicas estatísticas envolve várias etapas:
Coleta de dados;
Exposição dos dados;
Modelos Estatísticos.
1.2 - Coleta de dados
A qualidade da solução está diretamente relacionada com a qualidade
dos dados obtidos. Podemos evitar que alguns problemas ocorram
observando fatos como:
Não se deve coletar dados sem que antes se tenha definido
claramente o problema ou situação a ser enfrentada, bem como os
objetivos com relação aos mesmos;
Os sistemas de medição (instrumento, operadores, método, meio)
que serão utilizados devem ser avaliados e ter capacidade de
medição suficiente;
Os cálculos e leituras devem ser feitos com muita atenção para evitar
distorções;
Devem ser utlizados métodos adequados para coleta de dados de
acordo com o problema estudado.
Uma amostra é uma parcela de uma população que pode conter
informações sobre esta população. Outra definição importante (para a
escolha da técnica estatística e das interpretações dos resultados) é a
classificação dos dados.
Planejando a coleta de dados
Para estudarmos adequadamente uma população através de uma
amostra, devemos planejar a coleta de dados. Com este objetivo,
formulamos algumas perguntas:
Com que frequência ocorrem os problemas?
Quais são as causas potenciais do problema?
Um bom planejamento para coleta de dados deve considerar as
seguintes perguntas:
Qual a pergunta a ser respondida?
Como comunicar a resposta obtida?
Qual ferramenta de análise pretendemos usar e como utilizar os
resultados?
Qual tipo de dado é necessário para utilizar as ferramentas desejadas
e responder a pergunta?
Como coletar esses dados com o mínimo de esforço e erro?
Onde acessar estes dados?
Quem pode nos fornecer os dados?
Qual o período em que os dados serão coletados?
Tendo as respostas para estas perguntas, devemos:
Construir uma metodologia para nos certificar de que todas as
informações estão definidas;
Coletar os dados de forma consistente e honesta;
Certificar-se de que existe tempo suficiente para a coleta de dados;
Definir quais informações adicionais serão necessárias para estudos
futuros, referências ou reconhecimento
1.3 - Exposição dos dados
Antes da exposição dos dados coletados é necessário que se faça um
trabalho de revisão e correção nos dados coletados na tentativa de
eliminar possíveis enganos na elaboração do relatório. Inicialmente,
os dados podem ser classificados como "qualitativos" ou
"quantitativos". Através desta classificação, vamos definir algumas
técnicas para resumir o conjunto de dados.
Dados qualitativos
Os dados qualitativos representam uma característica da qualidade
(ou atributo) associado ao item pesquisado. Por exemplo, podemos
classificar um produto em: bom, razoável ou ruim. Os dados
qualitativos podem ser divididos em dois tipos:
Dado qualitativo nominal - Para o qual não existe nenhuma ordenação
nas possíveis realizações;
Dado qualitativo ordinal - Para o qual existe uma ordem em seus
resultados.
Exemplo 1.3.1: Uma indústria de calculadoras eletrônicas,
preocupada com vários defeitos que um de seus produtos vem
apresentando, fez um levantamento e constatou os seguintes
problemas:
A: Defeito na cobertura plástica;
B: Defeito no teclado;
C: Defeito na fonte de energia;
D: Soldas soltas;
E: Defeito na placa da unidade de processamento;
F: Defeito no visor;
G: Outros.
Este é um típico exemplo de dados qualitativos nominais. Nesta
situação, para cada item inspecionado, existe uma variável T que
representa o tipo de defeito encontrado. Portanto, essa variável T
pode assumir os valores: T = A, T = B, ... ,T = G. Logo, por exemplo,
para uma calculadora com defeito na cobertura plástica, temos que T
= A. A seguir, temos uma Tabela com os valores observados.
Tipo de Problemas (T) Frequência
A 10
B 20
C 55
D 80
E 25
F 3
G 7
Neste exemplo, todos os defeitos apresentam o mesmo nível de
severidade e portanto, não apresentamos uma ordem entre os
atributos (defeitos). Neste caso, temos um exemplo de dados
qualitativos nominal.
Exemplo 1.3.2: Em um concurso público foram contabilizados os
números de pessoas inscritas segundo os níveis de escolaridade:
fundamental completo, médio completo, superior completo e pós-
graduação completa. Segue abaixo a Tabela com os valores
observados.
Nível de escolaridade Inscritos
Fundamental completo 451
Médio completo 627
Superior completo 292
Pós-graduação completa 95
Neste exemplo, temos um ordem natural entre os atributos (nível de
escolaridade) e consequentemente, temos um exemplo de dados
qualitativos ordinais.
Dados quantitativos
Neste caso, a característica observada assume valores numéricos que
podem ser classificados em "discretos" ou "contínuos".
Dados quantitativos discretos
Os dados quantitativos discretos assumem valores dentro de um
conjunto com os números especificados. Por exemplo, o número de
produtos produzidos por uma máquina em um determinado período
de tempo pode ser 0,1,2,3,4,... Neste caso, os dados observados
formam um conjunto finito (ou enumerável) de números. Geralmente,
quando contamos defeitos, temos dados quantitativos discretos.
Exemplo 1.3.3: Em um hospital, foram contabilizados o número de
pessoas com diabetes em 20 grupos de 1000 pessoas cada. Neste
caso, obtemos os seguintes dados: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8,
9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10. Um possível resumo dos dados é
desenvolvido na Tabela a seguir
Pessoas com
diabetes
Apuração dos
grupos
Nº de
grupos
7 / 1
8 / / 2
9 / / / / / 5
10 / / / / / / / / 8
11 / / / 3
12 / 1
Portanto, a variável "número de pessoas com diabetes" assume
valores discretos, isto é, inteiros: ...,7,8,9,... .
Dados quantitativos contínuos
Os dados quantitativos contínuos assumem valores em um intervalo
contínuo de números. Em geral, este tipo de dado é proveniente de
medições de uma característica da qualidade de uma peça ou
produto. Os possíveis valores incluem "todos" os números do
intervalo de variação da característica medida. Por exemplo, ao
medirmos os diâmetros dos eixos de determinados motores com uma
célula eletrônica, obtemos dados quantitativos contínuos.
Exemplo 1.3.4: Numa fábrica de motores elétricos, o gerente de
produção precisa avaliar o problema de ruído excessivo do motor.
Uma das possíveis causas está associada com variações no diâmetro
do eixo. Assim, o gerente de produção mediu o diâmetro do eixo de
200 motores e o resultado está apresentado na Tabela a seguir. Os
valores estão em milésimos de milímetros.
Diâmetro do eixo de 200 motores
4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,5 4,9 4,5 4,9 5,1 4,8
4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2 5,1 4,6 4,9 4,8 5,1 4,6
4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6 5,0 5,0 5,0 4,8 5,2 4,5
5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1 5,4 4,2 5,1 4,9 4,6 5,4
4,9 4,3 4,6 4,7 4,7 5,3 4,4 4,7 4,8 5,2 4,5 5,1 4,6
5,7 4,9 5,2 4,8 4,9 4,9 4,4 4,7 4,8 5,1 5,4 5,0 4,4
5,1 4,9 4,9 5,1 5,2 4,7 4,8 4,6 5,2 5,5 5,2 4,2 4,9
4,9 4,8 4,2 5,2 5,1 4,7 5,5 4,7 4,7 4,4 4,8 4,2 5,2
5,0 5,2 4,2 4,9 5,1 4,6 5,4 4,6 4,8 5,2 5,1 4,7 5,2
4,8 5,1 4,6 4,8 5,2 4,5 4,9 4,5 5,4 4,5 4,9 4,6 4,7
4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,7 4,9 4,5 4,7 5,2 5,5
4,9 5,1 4,8 4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2 5,2 4,7 4,8
5,1 4,6 4,9 4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6 4,9 4,9 4,9
5,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1 5,1 4,8 5,1
5,4 4,2 5,1 4,9 4,3 4,6 4,7 4,8 5,3 4,4 4,9 4,4 4,7
5,8 4,9 5,2 4,8 4,9
Podemos fazer a apuração considerando intervalos de medidas, como
apresentado na Tabela a seguir
Diâmetro do eixo de 200 motores (com apuração)
Diâmetro Apuração Nº de motores apurados
[4,2;4,4) / / / / / / / / / / / / 12
[4,4;4,6) ////////.../ 16
[4,6;4,8) /////////.../// 31
[4,8;5,0) //////////...////// 66
[5,0;5,2) //////////...///// 35
[5,2;5,4) //////////...// 25
[5,4;5,6) / / / / / / / / / / / / 11
[5,6;5,8) / / / / 4
Ao estabelecermos intervalos de classes, estamos admitindo que o
eixo pode assumir qualquer valor entre o limite inferior (inclusive) e o
limite superior (exclusive).
1.4 - Gráfico de barras
Exemplo 1.4.1: Considerando os dados do exemplo 1.3.2,
construiremos o gráfico de barras correspondente.
Então, o gráfico de barras correspondente seria um gráfico onde os
retângulos correspondentes a cada nível de instrução teria a altura
correspondente ao número de inscritos com o respectivo grau de
escolaridade. O resultado é o seguinte
1.5 - Diagrama de Pareto
Diagrama de Pareto é um gráfico de barras que ordena as frequências
das ocorrências, da maior para a menor, permitindo a priorização dos
problemas. Mostra ainda a curva de percentagens acumuladas. Sua
maior utilidade é a de permitir uma fácil visualização e identificação
das causas ou problemas mais importantes, possibilitando a
concentração de esforços sobre os mesmos. É utilizado para dados
qualitativos.
Como construir um diagrama de Pareto
1. Realize uma reunião com a equipe para selecionar o tópico a ser
avaliado. Por exemplo, podemos avaliar tipos de defeitos, custo de
manutenção por equipamento, entre outros.
2. Selecione um padrão de comparação com unidade de medida.
Geralmente, utilizamos o custo ou frequência de ocorrência como
medida de comparação.
3. Especifique o período de tempo em que os dados serão coletados.
Exemplo: Uma semana, um mês.
4. Elabore uma planilha de dados, com as seguintes colunas:
Categorias, Quantidades (totais individuais), Totais acumulados,
Porcentagens, Porcentagens acumuladas.
5. Colete os dados necessários para cada categoria. Exemplo: Defeito
A ocorreu X vezes ou defeito C custou Y.
6. Preencha a planilha de dados, listando as categorias em ordem
decrescente com relação à unidade de comparação.
7. Marque o eixo horizontal no lado esquerdo com a escala de zero
até o total da coluna Quantidade da planilha de dados. Identifique o
nome da variável representada neste eixo e a unidade de medida
utilizada, caso seja necessário.
8. Marque o eixo vertical do lado direito com uma escala de zero até
100%. Identifique este eixo como "Porcentagem acumulada"(%).
9. Liste as categorias da esquerda para direita no eixo horizontal em
ordem decrescente de frequência ou custo. Os itens de menor
importância podem ser combinados na categoria Outros, que é
colocada no extremo direito do eixo, com a última barra.
10. Identifique cada intervalo do eixo horizontal escrevendo os nomes
das categorias, na mesma ordem em que eles aparecem na planilha
de dados.
11. Construa um gráfico de barras utilizando a escala do eixo vertical
do lado esquerdo. Para construir um gráfico de barras, acima de cada
categoria, basta desenhar um retângulo cuja a altura representa a
frequência ou custo daquela categoria.
12. Construa a curva de Pareto marcando os valores da porcentagem
acumulada acima e no centro ou lado direito do intervalo de cada
categoria, e ligue os pontos por segmentos de reta.
Exemplo 1.5.1: Considerando os dados do Exemplo 1.3.1,
construímos o diagrama de Pareto. Os resultados obtidos são
mostrados a seguir.
Tipos de Freqüência Frequência Porcentagem Porcentagem
Problema
sAcumulada Acumalada
D 80 80 40 40
C 55 135 27,5 67,5
E 25 160 12,5 80
B 20 180 10 90
Outros 10 190 5 95
A 10 200 5 100
O gráfico de Pareto correspondente é mostrado abaixo.
Diagrama de Pareto relativo a custos
Na construção do gráfico de Pareto podemos utilizar como medida de
comparação a frequência de ocorrência do atributo ou o custo
associado a este atributo. A seguir, apresentamos um exemplo de um
gráfico de Pareto com medida de comparação baseada no custo.
Exemplo 1.5.2: Em uma empresa de cartão de identificação,
contabilizamos os defeitos nos cartões com medida de comparação
baseada no custo.
Principais defeitos Nº de embalagens defeituosas Custo por unidade defeituosa Custo do defeito
Números trocados 28 0,05 1,40
Caracteres errados 28 0,05 1,40
Amassado 4 1,00 4,00
Perfurado 3 0,05 0,15
Impressão ilegível 2 0,05 0,10
Rasgado 2 1,00 2,00
Outros 1 0,05 0,05
Total 68
Ordenando os defeitos pelos seus custos, temos o seguinte diagrama
Principais defeitos Custo do defeito
Amassado 4,00
Rasgado 2,00
Números trocados 1,40
Caracteres errados 1,40
Perfurado 0,15
Impressão ilegível 0,10
Outros 0,05
O gráfico de Pareto correspondente, relativo aos custos é dado por
1.6 - Histograma
Distribuição de frequências
A distribuição de frequências é um agrupamento de dados em
classes, de tal forma que contabilizamos o número de ocorrências em
cada classe. O número de ocorrências de uma determinada classe
recebe o nome de frequência absoluta. O objetivo é apresentar os
dados de uma maneira mais concisa e que nos permita extrair
informação sobre seu comportamento. A seguir, apresentamos
algumas definições necessárias à construção da distribuição
de frequências.
Frequência absoluta (ƒi): É o número de observações
correspondente a cada classe. A frequência absoluta é, geralmente,
chamada apenas de frequência.
Frequência relativa (ƒri): É o quociente entre a frequência absoluta
da classe correspondente e a soma das frequências (total observado),
isto é, onde n representa o número total de observações.
Frequência percentual (pi): É obtida multiplicando a frequência
relativa por 100%.
Frequência acumulada: É o total acumulado (soma) de todas as
classes anteriores até a classe atual. Pode ser: frequência acumulada
absoluta (Fi), frequência acumulada relativa (Fri), ou frequência
acumulada percentual (Pi).
Distribuição de frequência pontual: dados discretos
A construção de uma tabela de distribuição de frequência pontual é
equivalente à construção de uma tabela simples, onde se listam os
diferentes valores observados da variável com suas frequências
absolutas, denotadas por (ƒi) (o índice i corresponde ao número de
linhas da Tabela) como é mostrado na Tabela abaixo. Utilizamos a
distribuição de frequência pontual quando se trabalha com dados
discretos. Um gráfico utilizado para representar este tipo de
distribuição de frequência é o Gráfico de Barras.
Exemplo 1.6.1: Considere os dados do Exemplo 1.3.3. Construa a
distribuição de frequências para este conjunto de dados e o gráfico de
barras.
Número de pessoas com
diabetesFrequência(ƒi)
Frequência relativa (ƒri)
Frequência percentual
Frequência acumulada
7 1 0,05 5 58 2 0,1 10 159 5 0,25 25 40
10 8 0,4 40 8011 3 0,15 15 9512 1 0,05 5 100
Distribuição de frequência em intervalos de classes: Dados contínuos
Para dados quantitativos contínuos, geralmente resultantes de
medições de características da qualidade de peças ou produtos,
dividimos a faixa de variação dos dados em intervalos de classes. O
menor valor da classe é denominado limite inferior (l i) e o maior valor
da classe é denominado limite superior (Li).
O intervalo ou classe pode ser representado das seguintes maneiras:
1. (li) (Li), onde o limite inferior da classe é incluído na contagem da
frequência absoluta, mas o superior não;
2. (li) (Li) , onde o limite superior da classe é incluído na contagem,
mas o inferior não.
Podemos escolher qualquer uma destas opções, mas é importante
que deixemos claro no texto ou na tabela qual delas está sendo
usada. Embora não seja necessário, os intervalos são frequentemente
construídos de modo que todos tenham larguras iguais, o que facilita
as comparações entre as classes.
Na tabela de distribuição de frequência, acrescentamos uma coluna
com os pontos médios de cada intervalo de classe, denotada por x i.
Esta é definida como a média dos limites da classe . Estes
valores são utilizados na construção de gráficos.
Algumas indicações na construção de distribuição de frequências são:
Na medida do possível, as classes deverão ter amplitudes iguais.
Escolher os limites dos intervalos entre duas possíveis observações.
O número de intervalos não deve ultrapassar 20.
Escolher limites que facilitem o agrupamento.
Marcar os pontos médios dos intervalos.
Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área
proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que dá
no mesmo) correspondente.
Histograma
Histograma é uma representação gráfica (um gráfico de barras
verticais ou barras horizontais) da distribuição de frequências de um
conjunto de dados quantitativos contínuos. O histograma pode ser um
gráfico por valores absolutos ou frequência relativa ou densidade. No
caso de densidade, a frequência relativa do intervalo i, (fri), é
representada pela área de um retângulo que é colocado acima do
ponto médio da classe i. Consequentemente, a área total do
histograma (igual a soma das áreas de todos os retângulos) será igual
a 1. Assim, ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área
proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que é
indiferente) correspondente. No caso em que os intervalos são de
tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retângulos serão iguais
às frequências relativas (ou iguais às frequências absolutas) dos
intervalos correspondentes.
Exemplo 1.6.2: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, monte a
distribuição de frequências e construa o histograma correspondente.
Como temos dados quantitativos contínuos, para construir a
distribuição de frequências, vamos separar os dados em classes.
Dividimos os dados em 8 classes de tamanhos iguais. A distribuição
de frequências então é a seguinte
ClasseFrequênci
a
Freq.
Relativa
Porcentage
m
Porc.
AcumuladaDensidades
Ponto
médio
[4,2;4,4) 12 0,06 6 6 0,3 4,3
[4,4;4,6) 16 0,08 8 14 0,4 4,5
[4,6;4,8) 31 0,15 15,5 29,5 0,775 4,7
[4,8;5,0) 66 0,33 33 62,5 1,65 4,9
[5,0;5,2) 35 0,17 17,5 80 0,875 5,1
[5,2;5,4) 25 0,12 12,5 92,5 0,625 5,3
[5,4;5,6) 11 0,06 5,5 98 0,275 5,5
[5,6;5,8) 4 0,02 2 100 0,099 5,7
E então, construímos o histograma correspondente.
Exemplo 1.6.3: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, construa
o histograma de densidades correspondente
Para construir o histograma de densidades, basta que os retângulos
tenham altura do tamanho da densidade de cada classe e largura do
tamanho da classe. Neste caso, o histograma ficaria da seguinte
forma:
1.7 - Gráfico de pizza
O gráfico de pizza, também conhecido como gráfico de setores ou
gráfico circular é um diagrama circular onde os valores de cada
categoria estatística representada são proporcionais às respectivas
frequências. Este gráfico pode vir acompanhado de suas respectivas
percentagens. É utilizado para dados qualitativos nominais. Para
construir um gráfico tipo pizza é necessário determinar o ângulo dos
setores circulares correspondentes à contribuição percentual de cada
valor no total.
Exemplo 1.7.1: Uma empresa da área automobilística acompanha o
número de defeitos encontrados nos equipamentos enviados para a
calibração. Na tabela a seguir apresentamos os dados referentes a
um mês de acompanhamento dos defeitos encontrados nos
equipamentos das diversas áreas.
Centro de custo Número de defeitos
Pré-usinagem 9
Tratamento térmico 12
Fundição 10
Usinagem 45
Tratamento superficial 13
Total 89
Como temos um total de 89 defeitos, o setor circular de 360º será
equivalente a 89. Calculando as proporções, encontramos os ângulos
correspondentes aos número de defeitos de cada centro de custo.
Com isso, construímos o seguinte gráfico de barras.
Frações
O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos:
de fração; a de numerador; b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo:
A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2,
obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.
O significado de uma fração
Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado
de ? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma oualgumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.
Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...
um meio dois quintos
um terço quatro sétimos
um quarto sete oitavos
um quinto quinze nonos
um sexto um décimo
um sétimo um centésimo
um oitavo um milésimo
um nono oito milésimos
Classificação das frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador:
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.
Frações equivalentes Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo: são equivalentes Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração .
Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .
Simplificação de frações
Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os
termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .
A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum
Números fracionários Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?
5 . X = 1 Substituindo X, temos: X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5.
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.
Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo
número fracionário .
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .
Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de
denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações . Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.
(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
Potenciação e radiciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
PorcentagensToda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprionome por cem.Exemplo:
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muitafreqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.Exemplos:O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.Desconto de 25% nas compras à vista.Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma denúmeros decimal, observe os exemplos.Exemplos:
Trabalhando com PorcentagemVamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.Exemplos:1. Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%.Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
(primeiro representamos na forma de fração decimal)
10% de 100 10% x 100 300 – 30 = 270Logo, pagarei 270 reais.2. Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.
32% =
Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter umlucro de 25% sobre o preço de custo.
O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.Então, 2000 + 500 = 2500 reais.Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.4. Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento euobtive de lucro?Lucro: 25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)
(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)
5. O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?Porcentagem Preço120 35 000100 x
Logo, o preço anterior era 29 166,67
Números NaturaisConjunto dos Números InteirosEste é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representadopela letra Z.Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N.O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto éinfinito ou seja não tem fim.Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja asrespostas estão dentro do conjunto dos números inteiros.Vamos conhecer este conjunto:O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto éformado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é umnúmero nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros.Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo,temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relaçãoao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo donível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitosnúmeros negativo e positivos.Reta Numérica Inteira
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estãocrescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante.Vamos comparar alguns números inteiros.a) -5 > -10,b) +8 > -1000,c) -1 > -200.000,d) -200 < 0,e) -234 < -1,f) +2 > -1,g) g) -9 < +1Lembrete:
1º: Zero é maior que qualquer número negativo.2º: Um é o maior número negativo.3º: Zero é menor que qualquer número positivo.4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.Números opostos ou simétricos
Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números sãochamados de opostos ou simétricos.Logo:- 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ousimétrico de + 100.Adição e Subtração de Números InteirosExemplos:a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dosnúmeros)d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número queestava depois da subtração)e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número queestava depois da subtração)Lembrete:Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo)e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho umadivida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.Multiplicação e Divisão de Números InteirosExemplos:a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)Lembrete:Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e semprepositivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é semprenegativo.Potenciação de Números InteirosExemplos:a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32c) (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo númeroelevado a zero é igual a 1 positivo)
e) (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)Importante:(-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenaso número está elevado ao quadrado.Radiciação de Números InteirosExemplos:
a) (lembre-se que 5 x 5 = 25)
b) (lembre-se que 7 x 7 = 49)
c) (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)
d) (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz)
e) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.
d) (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteirosa) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]= - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]= 3 - 2 + 4 - 5 - 6= 7 - 13= - 6Primeiro eliminamos os parênteses, como antesdele tinha um sinal de menos todos os númerossaíram com sinais trocados, logo depois eliminamosos colchetes, como também tinha um sinal demenos todos os números saíram com os sinaistrocados, somamos os positivo e o negativosb) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}= { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}= {- 5 - 8 + 15 - 3}= - 5 - 8 + 15 - 3= - 16 + 15= - 1Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depoismultiplicamos o resultado por 3, logo apóseliminamos os colchetes, como antes deste tinhaum sinal de mais, todo os números saíram semtrocar sinal, eliminamos também as chaves,observe que também não teve troca de sinais pelomesmo motivo anterior, juntamos positivo enegativos.