ESTATICA Capitulo 1 - Equilibrio Del Cuerpo Rigido

28/04/2014

1

Universidad Nacional de Ingeniera

CURSO DE ESTTICAAPUNTES DE CLASE

EQUILIBRIO DEL CUERPO RGIDO

ING. SERGIO HERRERA RAMREZ


EQUILIBRIO DE UNA PARTCULA:

Condicin necesaria y suficiente para que una partcula este en equilibrio es:

0

00

zFyFxF

0k)F(J)F(i)F(

0)kFJFi(F

0FR

ZYX

ZYX

Descomponiendo:

Cuando la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es cero, la partcula est en equilibrio.

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Un slido rgido est en equilibrio cuando las fuerzas externas que actan sobre l forman un sistema equivalente a cero:

(Fuerza Nula y Par Nulo)

0zM0yM0xM

0zF0yF0xF

0)Fxr(M0F o

EQUILIBRIO DE SLIDOS RGIDOS:


EQUILIBRIO DE UN SLIDO RGIDO DE DOS DIMENSIONES:

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EQUILIBRIO DE UN SLIDO RGIDO DE DOS DIMENSIONES:

0oM 0yF 0xF

oMzM:si

0yMxM,0zF:plano el En

Y

XJ

io


NOTA 1:

Considerando equilibrio en una estructura bidimensional (la estructura ylas fuerzas aplicadas contenidas en un plano) las reacciones,evidentemente, tambin estarn contenidas en el plano de la figura.

NOTA 2:

Una estructura bidimensional tiene 3 clases de movimientosindependientes, es decir, 3 grados de libertad:

Y

X

REACCIONES EN LOS APOYOS:

- Movimiento translacin en la direccin X

- Movimiento translacin en la direccin Y

- Movimiento de rotacin alrededor del eje Z

Todo movimiento que tenga ese cuerpo se

puede expresar en estos 3 grados de libertad.

Posicin Inicial

Posicin Final

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Reaccin perpendicular a la superficie

NMERO DEINCGNITASReaccin en

la direccin de la barra

90R

ApoyoMvil

TIPO DE APOYOS

GRADOS DE LIBERTAD

Barra

R

Se anula slo ungrado de libertad(la translacin enla direccin de R)

1


Ry

ApoyoFijo

Reaccin Rrepresentada por sus componentes

X e Y

GRADOS DE LIBERTAD

NMERO DEINCGNITAS

2 Barras

Anula dos grados delibertad (anula todatranslacin, se fija enun punto) pero noevita que el slidogire alrededor de laconexin.

2

Rx

R2

R1

R

TIPO DE APOYOS

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GRADOS DE LIBERTAD

NMERO DEINCGNITAS

Anula tres grados delibertad (se fija endos puntos, y elcuerpo no se trasladani rota), inmovilizapor completo elcuerpo bidimensional.

3

Ry

Mo

RX

Empotramiento

TIPO DE APOYOS


F1

F2

RESTRICCIN ISOSTTICA DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

F1

F2

F1

F2

F1

F2

Formas de anular los tres grados de libertad (anular todo posiblemovimiento de un cuerpo).

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F2

F1

NOTA:

Se debe evitar que las tres reacciones sean concurrentes en un punto paralelas; ya que esto permitira el movimiento del cuerpo y no se podramantener el equilibrio del cuerpo.

F1El cuerpo puede rotar alrededor del punto

concurrente

F2

El cuerpo puede trasladarse en la direccin perpendicular

a las reacciones

Ejemplos


Cuando se emplea un exceso de ligadura (apoyos) de los necesariosy suficientes para la restriccin isosttica.

Hiperesttica1 Grado

(sobra una barra)

Hiperesttica1 Grado

Hiperesttica1 Grado

Hiperesttica1 Grado

Hiperesttica2 Grado

Hiperesttica3 Grado

Hiperesttica2 Grado

Hiperesttica3 Grado

VINCULACIN HIPERESTTICA DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

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HIP = GRADO HIPERESTTICO: Nmero de exceso de restricciones isostticas

N INCOG = NMERO DE INCOGNITAS: Nmero de reacciones a determinar

N EC. EST. = NMERO DE ECUACIONES DE LA ESTTICA

(Para estructuras bidimensionales = 3 : FX = 0, FY = 0, Mo = 0 )

N EC. ESP. = NMERO DE ECUACIONES ESPECIALES

Nmero de rotulas en la estructura ( Mrtula = 0)

HIP = N INCOG - [N EC. EST. + N EC. ESP.]

N INCOG: 4N EC. EST: 3N EC. ESP: 1 HIP = 4 ( 3 + 1 ) = 0

ISOSTTICO

Ejemplo:Rtula Rtula

Rtula

VIGAS GEYBER (PUENTES)HIP = 5 ( 3 + 2 ) = 0

ISOSTTICO

ARCO TRIARTICULADOHIP = 4 ( 3 + 1 ) = 0

ISOSTTICO

Universidad Nacional de IngenieraCLCULO DE REACCIONES:

NOTA 1:

Sentido de las reacciones: se debe suponer un sentido arbitrario para lafuerza o par, el signo de la respuesta obtenida indicar si la suposicin fuecorrecta o no.

NOTA 2:

La eleccin de las ecuaciones de equilibrio a emplear, no debe estarinfluenciada por el significado fsico de esas ecuaciones. Es deseableelegir ecuaciones de equilibrio que contengan una sola incgnita, ya queesto elimina la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones.

NOTA 3:

Las reacciones hiperestticas se pueden determinar considerando lasdeformaciones producidas y ello pertenece al estudio de la Resistenciade Materiales. Estticamente son indeterminadas.

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EJEMPLO (1):

Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:

A B4 T-m

6 T30

3 T

2 m 2 m 2 m 2 m


AX

6 cos 30 3 T6 sen 30

AY BY4 T- m

HIP = 3 ( 3 + 0 ) = 0 : Isosttico

- Asumimos como sentidos positivos:Y

X

+

Estticamente se puedendeterminar las reacciones

2 m 2 m 2 m 2 m

AY = 3.13 Ton.

+ MA = 0 : By = 5.06 Ton.- 6 cos 30 (2) + 4 + By (6) 3 (8) = 0

+ FX = 0 : AX 6 sen 30 = 0 AX = 3.00 Ton.

+ FY = 0 : AY 6 cos 30 + BY 3 = 0

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3m

3m

3m 3m 3m 3m

4m

2m

10T

20T

30T40T

A

B

EJEMPLO (2):



AX

BxBY

3m

3m

3m 3m 3m 3m

4m

2m

10T

20T

30T40T

A

B

Significa, solamente, que el sentido asumido no es correcto, la reaccin BX

es haca la izquierda ( )

+ MB = 0 :

HIP = 3 ( 3 + 0 ) = 0 : Isosttico

BX = - 100 Ton.

- AX (3) + 40 (6) + 30 (3) + 20 (0) 10 (3) = 0

AX = 100 Ton.

+ FX = 0 :

AX + BX = 0

BY - 40 - 30 20 10 = 0 By = 100 Ton.+ FY = 0 :

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EJEMPLO (3):

Para la estructura mostrada, determinar las reacciones en los apoyos.

3m3m

A C

FD

GE30

30 30

30

25 TonB50 Ton


+ MC = 0 :

30 30

25 TonB50 Ton

3030 6060

60

A C

AX AY CYCX

3m 3m 3m

323

49

49

49

49

HIP = 4 ( 3 + 1 ) = 0 : Isosttico

Rtula en B

CY = 31.25 Ton.

- AY (9) + 50 (27/4) + 25 (9/4) = 0 AY = 43.75 Ton.

+ MA = 0 : + CY (9) - 50 (9/4) - 25 (27/4) = 0

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Cuando se tiene una rtula, la condicin de equilibrio debe ser aplicada en unsubsistema de manera independiente (en la parte izquierda o derecha de la rtula).

AX AYCX

CY

50 T 25 TBX

BXBY

BY

0)49(50)

29(A)3

23(A YX

+ FX = 0 :

+ MB izquierda = 0 : AX = 32.48 Ton.

- AX CX = 0 CX = 32.48 Ton.

Ahora, regresando al sistema completo:

Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (4):


5 T

2m

3 T

13

2m 2m 2m

2m

2m

2m

A

B

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HIP = 3 ( 3 + 0 ) = 0 : Isosttico

+ FX = 0 :

RA sen

2m

BX

BY

3 T

5 sen 45

RA cos RA

1

3

2m 2m 2m

2m

2m

2m

A

B

5 cos 45

BX = 5.20 Ton.RA sen + 5 sen 45 - BX = 0

+ FY = 0 :

+ MB = 0 : -(RA cos ) (8) + RA sen (4) + 5 cos 45 (6) + 3 (4) = 0

RA = 5.25 Ton.

RA cos + BY 3 5 cos 45 = 0 BY = 1.56 Ton.


EJEMPLO (5):

Para la viga mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:

A B

1m 1m1m 3m

0.5 Ton/m0.5 Ton 0.5 Ton

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RBY

A BRBXRA

1m 1m1m 3m

0.5 Ton/m0.5 Ton 0.5 Ton

1.5 m 1.5 m

P = (0.5 T/m)(3m) = 1.5 Ton

HIP = 3 ( 3 + 0 ) = 0 : Isosttico

Para el clculo de reacciones cuando se tiene una carga repartida por unidad de longitud,puede emplearse, en su lugar, una carga equivalente puntual, de magnitud igual al rea de lacarga repartida y aplicada en el centro de gravedad de dicha carga.

RBY = 0.75 Ton.

+ MB = 0 : + 0.5 (6) RA (5) + 1.5 (3.5) + 0.5 (1) = 0 RA = 1.75 Ton.

+ FX = 0 : RBX = 0

+ FY = 0 : - 0.5 + RA 1.5 0.5 + RBY = 0


En la viga que se muestra, determinar las reacciones en los apoyos.

2m

2 Ton/m

A B

4 Ton

Rtula

3 Ton4 Ton

4 Ton/m

3 Ton-m

2m 2m 4m

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HIP = 4 ( 3 + 1 ) = 0 : Isosttico

1m

(2 Ton/m) (2m) = 4 Ton (4 Ton/m) (4m) / 2 = 8 Ton

1m 2/3 (4m) 1/3 (4m)

2m

2 Ton/m

A B

4 Ton

Rtula

3 Ton4 Ton

4 Ton/m3 Ton-m

2m 2m 4m

MB

HB

RARB


+ MRtula = 0

Sentido de la reaccin RA es opuesto a lo supuesto ( ).

1m 1m 2m 2m

4 Ton 3 Ton

4 Ton

3 Ton-m

4 Ton

RA

CX

CY

Condicin de equilibrio en el subsistema de la parte izquierda de la rtula:

- 4 (6) + 4 (5) - RA (4) 3 - 3 (2) = 0

RA = - 3.25 Ton.

Condicin de equilibrio para el sistema (toda la estructura) :

+ FY = 0 : + 4 4 + RA + 3 - 4 8 + RB = 0 RB = 12.25 Ton.

+ FX = 0 : HB = 0

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4 m

4 Ton 8 Ton

RB

8/3 m 4/3 m

MB- 8 (8/3) + RB (4) - MB = 0

CX

CY

Condicin de equilibrio en el subsistema de la parte derecha de la rtula:

+ MRtula = 0

MB = 27.66 Ton - m.


3a

EJEMPLO (7):

Para la viga que se muestra, determinar las reacciones en los apoyos.

2 a

A

Rtula

2 a 2 a 4 a 2 a4 a

B C

D

E F

q

3qaq 4qa

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3aMFVF

2 a

A

Rtula

HF

RB2 a 2 a 4 a 2 a4 a

B C

D

E F

q

3qaq 4qa

HIP = 4 ( 3 + 1 ) = 0 : Isosttico


A

RB

B C

Dq

3qa

DX

DY

2 a 2 a4 a

q (2a) + MD IZQUIERDA = 0

0)2

a2.5(qa2.5(6a)R(7a)2qa B

RB = 2.854 qa

q


3aMFVF

a

A

HF

RB2 a 2 a 4 a 2 a4 a

B C

D

E F

3qa4qa

2 qa

a


37

53

53

37

8qa (4/5)

8qa (3/5)

VF = 9.546 qa0V-qa4qa 532Rqa2 FB

+ FX = 0 : HF = 4.80 qa

+ FY = 0 :

0H - )53(qa8 F

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DX

DY


3a2MF

VF

HF

2 a 4 a 2 a

D

E F

3qaq 4qa

+ MD DERECHA = 0

0Ma)23(H (8a) V(6a)qa4 - )

2a2.5(qa2.5 FFF MF = 56.443 qa2


EJEMPLO (8):

Para la viga mostrada, determinar las reacciones en los apoyos:

A B

L3

L3

L6

L6

X

q L3

q x = q sen 3 X L

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A B

L3

L3

L6

L6

X

q L3

q x = q sen 3 X L

RAYRAX

RB

FF

F

Como observamos que existe simetra, geomtrica y de cargas, respecto a un ejevertical que pasa por el medio de la viga, entonces:

RAY = RB = R

RAX = 0


Hallamos el valor de la fuerza equivalente que hemos denominado F:

2 R F + F F q L = 03

F = q x dx = q sen 3 X dx = 2 q LL 3

3 / L

0

3 / L

0


+ FY = 0 :

R = q L2

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A B

L3

L3

L6

L6

X

q L3

q x = q sen 3 X L

0q L2

q L2


Para el reticulado, determinar el valor de la carga P si:RAX = 6 Ton.

RAY = 6 Ton.

A

B

C

RAYRAX

RCY

RCXP

4m 4m4m 6m

4m

4m

HIP = 4 ( 3 + 1 ) = 0 : Isosttico

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RCY = (P - 6) Ton

+ FX = 0 : RCX = 6 Ton

+ FY = 0 :

+ RAX - RCX = 0

+ RAY + RCY - P = 0


C

(P 6) Ton

6 TonP

B

BX

BY

+ MB DERECHA = 04m

4m 6m

- P (4) + (P - 6) (10) - 6 (4) = 0

P = 14 Ton.


A

B

C

6 Ton6 Ton

8 Ton6 Ton14 Ton

4m 4m4m 6m

4m

4m

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EJEMPLO (10):

En la viga que se muestra, hallar el valor de las cargas W (ton/m), M (ton-m), y P (ton); si RA = 5.83 ton, RB = 7.16 ton y RC = 6.33 ton.

4m

A B

P

Rtula

W

M

4m 3m 3m

C

W

W

M

5.83 ton 7.16 ton 6.33 ton

HIP = 4 ( 3 + 1 ) = 0 : Isosttico



4m

A B

P

Rtula

W

M

4m 3m 3m

C

W

W

M

5.83 ton 7.16 ton 6.33 ton

2W

43

3W

3 3

2W 1.5W

212(4)

343

2(4) 3

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De ( I ) y ( II ) :

1.5 W P = 5 ( I )

+ FY = 0 :

5.83 + 7.16 6.33 P+ 2W 2W 1.5 W + 3W = 0

+ MA = 0 :

0M6.33(14)3W(11)1.5W(9)7.16(8))38(42W (4) P - )

342W(M

2.21 W P = 7.835 ( II )

W = 4 ton/m

P = 1 ton



4m

A

W

M

5.83 ton

2W

43

2(4) 3

P

DXDY

+ MD IZQUIERDA = 0

M = 2 ton-m

D

0)38(2W (4) 5.83M

Como W = 4 ton/m y P = 1 ton

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4m

A B

1 ton

Rtula

4m 3m 3m

C

4 ton/m

2 ton-m

5.83 ton 7.16 ton 6.33 ton4 ton/m4 ton/m

2 ton-m

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