Equilibrio de una Partcula33

Esttica

Objetivos

Concepto de diagrama de cuerpo libre para una partcula.

Solucin de problemas de equilibrio de una partcula usando las ecuaciones de equilibrio.

ndice

1. Condiciones de equilibrio de una partcula.2. Diagrama de cuerpo libre.3. Sistema coplanar.4. Sistemas de fuerzas tridimensionales.

3.1 Condicin para el equilibrio de una partcula

Una partcula est en equilibrio si:- Est en reposo.- Se mueve a velocidad constante.

De la primera ley de Newton, F = 0

siendo F la suma vectorial de todas las fuerzas que actan sobre la partcula.

3.1 Condicin para el equilibrio de una partcula

De la segunda ley de NewtonF = ma

Cuando las fuerzas cumplen las condiciones de la primera ley de Newton,

ma = 0 a = 0

por lo que la partcula se mueve con velocidad constante o est en reposo.

3.2 Diagrama de cuerpo libre

Permite representar todas las fuerzas que actan sobre una partcula (F).

Es un esquema que muestra la partcula libre de su entorno, con todas las fuerzas que actan sobre ella.

Consideraremos dos casos comunes de conexin con el entorno: Muelles Cables y Poleas

3.2 Diagrama de cuerpo libre

Muelles Muelle lineal elstico: el cambio en su longitud es

propocional a la fuerza que acta sobre l Constante del muelle o rgidez k: define la

elasticidad del muelle. La magnitud de la fuerza cuando el muelle se alarga

o comprime F = ks

3.2 Diagrama de cuerpo libre

Cables y poleas Los cables (o cuerdas) se suponen que tienen peso

despreciable y no pueden deformarse. La Tensin siempre acta en la direccin del cable. La fuerza de Tensin debe de tener una magnitud

constante en equilibrio. Para cualquier ngulo , el cable

est sujeto a tensin T constante.

3.2 Diagrama de cuerpo libre

Procedimiento para dibujar un DCL 1. Esboza las formas del cuerpo2. Dibuja todas las fuerzas

- Fuerzas activas: movimiento de la partcula.- Fuerzas reactivas: ligaduras que evitan el movimiento.

3. Identifica cada fuerza- Las fuerzas conocidas en magnitud and direccin- Usa letras para representar las magnitudes y direcciones

Ejemplo

La esfera tiene una masa de 6 kg. Dibuje un DCL para la esfera, la cuerda CE y el nudo en C.

Solucin

DCL de la EsferaDos fuerzas actan, el peso y lafuerza que hace la cuerda CE.Peso de 6 kg (9.81m/s2) = 58.9N

Cuerda CEDos fuerzas actan: esfera y nudo3a ley de Newton: FCE es egual pero opuestaFCE y FEC tiran de la cuerda en tensinEn equilibrio, FCE = FEC

Solucin

DCL en el nudoActan 3 fuerzas: la cuerda CBA, la cuerda CE y el muelle CD. Es importante ver que el peso de la esfera no acta directamente sobre el nudo, sino a travs de la cuerda CE.

3.3 Sistema Coplanar

Una particula sujeta a fuerzas coplanares en el plano x-y.

Lo resolvemos en las componentes i, j para el equilibrio

Fx = 0Fy = 0

Las ecuaciones escalares de equilibrio requiren que la suma algebraica de las componentes x, y son igual a cero.

equal to zero

3.3 Sistema Coplanar

Procedimiento de anlisis1. DCL

- Escoja los ejes x, y.- Etiquete todas las fuerzas, conocidas y desconocidas

2. Ecuaciones de Equilibrio- Aplique F = ks para las fuerzas de los muelles- Si el resultado de la fuerza es negativo, es el sentido el que cambia.- Aplique las ecuaciones de equilibrio

Fx = 0 Fy = 0

Ejemplo

Determine la longitud requerida para la cuerda AC de manera que la lmpara de 8 kg quede sujeta. La longitud del muelle AB sin deformar es lAB = 0.4m, y tiene una constante de rigidez de kAB = 300N/m.

Solucin

DCL en el punto AActan 3 fuerzas, la del cable AC, la del muelle AB y la del peso de la lmpara.Si la fuerza AB es conocida, la deformacin del muelle se obtiene de F = ks. + Fx = 0; TAB TAC cos30 = 0+ Fy = 0; TABsin30 78.5N = 0Resolviendo, TAC = 157.0kNTAB = 136.0kN

Solucin

TAB = kABsAB; 136.0N = 300N/m(sAB) sAB = 0.453N

la longitud total del muelle estirado, lAB = lAB+ sABlAB = 0.4m + 0.453m

= 0.853m

Para la distancia horizontal BC, 2m = lACcos30 + 0.853m

lAC = 1.32m

3.4 Sistemas de fuerzas 3D

Para la partcula en equilibrioF = 0

Resolviendo en componentes i, j, k Fxi + Fyj + Fzk = 0

3 ecuaciones escalares representando la suma algebraica de las fuerzas en x, y, z

Fxi = 0Fyj = 0Fzk = 0

3.4 Sistemas de fuerzas 3D

Procedimiento de anlisis DCL

- Elija los ejes x, y, z - Etiquete todas las fuerzas (conocidas y no conoc)

Ecuationes de Equilibrio- Aplique Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0- Substituya los vectores en F = 0 y haga las

componentes i, j, k = 0- Resultados con signo negativo indican que el sentido

de la fuerza es contrario al dibujado.

Ejemplo

Determine la fuerza que se desarrolla en cada cable para mantener la carga de 40 kN.

Solucin

DCL en el punto AAparecen las tres fuerzas de los cables que tenemos que determinar.Ecuaciones de EquilibrioCada fuerza en forma cartesiana FB = FB(rB / rB) = -0.318FBi 0.424FBj + 0.848FBk FC = FC (rC / rC) = -0.318FCi 0.424FCj + 0.848FCk FD = FDi W = -40k

Solucin

En equilibrio, F = 0; FB + FC + FD + W = 0-0.318FBi 0.424FBj + 0.848FBk - 0.318FCi 0.424FCj + 0.848FCk + FDi - 40k = 0

Fx = 0; -0.318FB - 0.318FC + FD = 0 Fy = 0; 0.424FB 0.424FC = 0 Fz = 0; 0.848FB + 0.848FC - 40 = 0 Resolviendo, FB = FC = 23.6kN FD = 15.0kN

QUIZ

1. Cuando una partcula est en equilibrio, la suma de las fuerzas que actan sobre ella es igual a ___ .

A) una constante B) un nmero positivo C) cero D) un nmero negativo E) un nmero entero

2. Para una polea y cable sin friccin, lastensiones en los cables estn relacinadas

comoA) T1 > T2B) T1 = T2C) T1 < T2D) T1 = T2 sin

T1T2

QUIZ

3. Asumiendo que conoce la geometra de los cables, en cul sistema no se podra determinar las fuerzas que actan?

4. Por qu?A) El peso es demasiado grande.B) Los cables son demasiados delgados.C) Hay ms incgnitas que ecuaciones.D) Hay pocos cables para un peso de 100 kg.

100 N100 N 100 N

( A ) ( B ) ( C )

QUIZ

5. Seleccione el DCL para A.

A 40

100 kg

30

30A) A

100 kg

B)40

A

F1 F2

C) 30A

F

100 kg

A

30 40F1 F2

100 kg

D)

QUIZ

6. La partcula P est en equilibrio con 5 fuerzas actuando en un espacio 3-D. Cuntas ecuaciones escalares de equilibrio se pueden escribir para P?

A)2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. En 3-D, cuando una a partcula est en equilibrio,

cul de las siguientes ecuaciones es vlida?A) ( Fx) i + ( Fy) j + ( Fz) k = 0 B) F = 0C) Fx = Fy = Fz = 0D) Todas.E) Ninguna.

QUIZ

8. En 3-D, cuando se conoce la direccin de una fuerza pero no su magnitud, cuntas incgnitas correspondientes a esa fuerza quedan?

A) Una B) Dos C) Tres D) Cuatro9. Si sobre una partcula actan fuerzas tridimensionales

y est en equilibrio esttico, las componentes de la fuerza resultante ___ .

A) deben de sumar cero, ej. -5 i + 3 j + 2 kB) deben de ser igual a cero, ej. 0 i + 0 j + 0 kC) deben de ser positivas, ej. 5 i + 5 j + 5 k D) deben de ser negativas, ej. -5 i - 5 j - 5 k

QUIZ

10. Cuatro fuerzas actan en A que est en equilibrio. Seleccione la expresin correcta para la fuerza P.

A) {-20 i + 10 j 10 k} N B) {-10 i 20 j 10 k} NC) {+ 20 i 10 j 10 k} ND) Ninguna de las anteriores.12. En 3-D, cuando no se conoce la magnitud ni la

direccin de una fuerza, cuntas incgnitas quedan para determinarla?

A) Una B) Dos C) Tres D) Cuatro

zF3 = 10 N

P

x

A

F2 = 10 N

y

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