ESTATICA

2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

JESUS CORREA AYALA

22-12-2014

MECANICA PARA INGENIERIA - ESTATICA

ESTÁTICA MANUAL GENERAL

JESÚS G. CORREA AYALA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE MECATRÓNICA

Edición: Jesús G. Correa Ayala

TRUJILLO - PERÚ

MECÁNICA PARA INGENIERÍA

Este texto ha sido creado como un texto introductorio a un curso compacto de

MECÁNICA PARA INGENIERÍA - ESTÁTICA y que contiene características dignas

de resaltar que lo puede diferenciar de otros. Bajo conocimientos previos que traiga un estudiante, sobre física y temas primerizos de cálculo; este estará capacitado para entender los distintos temas de Estática bajo un enfoque estrictamente analítico. El material contiene una teoría resumida, muy completa y una variedad de problemas resueltos en donde la complejidad va gradualmente en aumento, con los que reforzará aún más los conocimientos requeridos; se recomienda que usted resuelva estos problemas para obtener más práctica y pueda así verificar sus respuestas. El texto contiene temas específicos de Estática donde se detalla primeramente los conceptos del análisis vectorial, algo necesario antes de empezar el curso puesto que muchos elementos que usaremos en el curso serán vectores, además usted ya debe estar familiarizado con este tema, así que será como un pequeño repaso; luego se estudiaran las fuerzas y momentos, en donde veremos las fuerzas aplicadas a objetos rígidos y los momentos o torque respecto a un punto y una línea; seguidamente analizaremos los sistemas equivalentes, en donde aprenderemos a representar distintos sistemas de fuerzas y momentos en otros sistemas; luego seguimos con los objetos en equilibrio, donde se analizan las leyes del equilibrio y los distintos tipos de soportes en la mecánica; seguimos con estructuras en equilibrio, en donde se detallan fuerzas en armaduras, bastidores y maquinas; luego con centroides y centros de masa, donde se aprenderá a ubicar los centroides y centros de masa de líneas, áreas, volúmenes y objetos; continuamos con los momentos de inercia, el cual entre muchas otras definiciones se puede decir que es una medida de resistencia a la flexibilidad; luego seguimos con los fenómenos de fricción, necesario porque está presente en todas las cosas; y finalizaremos el texto con el estudio de las fuerzas y momentos internos, importante para conocer qué es lo que pasa dentro del material al soportar las cargas. La importancia del estudio de la Estática radica de manera incondicional en la mecánica, porque gracias a ella podemos hacer cálculos para el equilibrio y la solides de alguna construcción en ingeniería. Una cosa importante de resaltar es que los ingenieros experimentados son aquellos que dedican gran parte de su tiempo al estudio de sus diversas materias, en ese sentido es recomendable que usted dedique también parte de su tiempo al estudio de la Estática porque como dijimos es incondicional para su carrera. Como autor de este material tengo que precaver que usted tenga los conocimientos solidos de cálculo diferencial e integral, ya que sin estos conceptos la obra presentada no será de su gusto, por ello le incito a que repase antes de empezar con el texto. Sin más que decir espero que este pequeño aporte cumpla con el objetivo que usted tiene con el curso y con su carrera y contribuyan en su formación profesional y humana.

JESÚS CORREA AYALA

INTRODUCCIÓN

1. ANÁLISIS VECTORIAL 1

Vector 1

Vector unitario 1

Adición de vectores 1

Vector posición 1

Ley de cosenos 1

Ley de senos 2

Vector en el plano y el espacio 2

Los cosenos directores 2

Componentes paralela y normal a una línea 2

Producto escalar 2

Producto vectorial 3

2. FUERZAS Y MOMENTOS 11

Sistemas de fuerzas y momentos 14

Vector momento 15

Teorema de Varignon 16

Momento respecto a una línea 18

El par de fuerzas 24

3. SISTEMAS EQUIVALENTES 29

Representación de un sistema mediante una fuerza y un par 29

Fuerzas concurrentes representadas por una sola fuerza 30

Fuerzas paralelas representadas por una sola fuerza 30

La llave de torsión 31

4. OBJETOS EN EQUILIBRIO 37

CONTENIDO

Soportes 37

Cuerpos estáticamente indeterminados 43

Equilibrio tridimensional 45

Soportes tridimensionales 45

Elementos sometidos a dos o tres fuerzas 53

5. ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO 57

Armaduras 57

Método de las juntas 57

Método de las secciones 63

Armaduras espaciales 67

Bastidores y Maquinas 70

6. CENTROIDES Y CENTROS DE MASA 83

Centroides de áreas 83

Centroides de áreas compuestas 87

Centroides de Volúmenes y líneas 90

Centroides de Volúmenes y líneas compuestas 93

Cargas distribuidas 96

Teoremas de Pappus - Guldin 100

Centros de masa de objetos 104

Centros de masa de objetos compuestos 107

7. MOMENTOS DE INERCIA 111

Momentos de inercia de áreas 111

Teorema de los ejes paralelos 115

Ejes girados y ejes principales 120

Circulo de Mohr 122

Momentos de inercia de objetos rígidos 124

Teorema de los ejes paralelos para objetos rígidos 127

8. FRICCIÓN 131

Teoría de fricción seca 131

Cuñas 136

Roscas 138

Cojinetes 141

Cojinetes de empuje axial 143

Embragues 144

Fricción en bandas 147

9. FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS 151

Fuerza axial, fuerza cortante, momentos flector 151

Diagrama de fuerza cortante y momento flector 154

Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector 157

Cables 161

Longitud de un cable 162

Cargas distribuidas uniformemente en cables 163

Cargas discretas en cables 165

Líquidos y gases 167

1. ANÁLISIS VECTORIAL 1

2. FUERZAS Y MOMENTOS 11

3. SISTEMAS EQUIVALENTES 29

4. OBJETOS EN EQUILIBRIO 37

5. ESTRUCTURAS EN EQUILIBRIO 57

6. CENTROIDES Y CENTROS DE MASA 83

7. MOMENTOS DE INERCIA 111

8. FRICCIÓN 131

9. FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS 151

CONTENIDO RÁPIDO

601

B.1 Áreas

Las coordenadas del centroide de un área A son

El momento de inercia respecto al eje x, Ix, el momento de inercia respecto al ejey, Iy, y el producto de inercia Ixy son

El momento polar de inercia respecto a O es

Área = bh

Ix¿ =1

12 bh3, Iy¿ =

1

12 hb3, Ix¿y¿ = 0

Ix =1

3 bh3, Iy =

1

3 hb3, Ixy =

1

4 b2h2

JO = LA

r2 dA = LA

1x2+ y22 dA = Ix + Iy.

Ix = LA

y2 dA, Iy = LA

x2 dA, Ixy = LA

xy dA.

x =LA

x dA

LA

dA

, y =LA

y dA

LA

dA

.

A P É N D I C E

BPropiedades de áreas y líneas

x

y

O

A

–y

–x

b

Área rectangular

x

y

O

x

y

b

hh12

12

www.elsolucionario.net

www.elsolucionario.netEl momento de inercia respecto al eje x, IxxI , el momento de inercia respecto al eje, el momento de inercia respecto al eje

, y el producto de inercia , y el producto de inercia IIxyxyIII sonson

602 Apéndice B Propiedades de áreas y líneas

Ix¿=

1

8 pR4, Iy¿

= ap8

-

8

9pbR4, Ix¿y¿

= 0

Area =

1

2 pR2 Ix = Iy =

1

8 pR4, Ixy = 0

Area = pR2 Ix¿= Iy¿

=

1

4 pR4, Ix¿y¿

= 0

Area =

1

2 bh Ix =

1

12 bh3, Ix¿

=

1

36 bh3

Ix¿=

1

36 bh3, Iy¿

=

1

36 hb3, Ix¿y¿

=

1

72 b2h2

Ix =

1

12 bh3, Iy =

1

4 hb3, Ixy =

1

8 b2h2

Area =

1

2 bh

Área triangular

x

y

O

x

h

b

h

a

13

13

(a ! b)

Área circular

y

x

R

Área semicircular

y y

R

x, x O

4R3p

b

Área triangular

x

y

O

h

x

y

h

b

13

23

Área

Área

Área

Área


www.elsolucionario.net= ppRR2 Ixx¿

= IIyy¿¿=

www.elsolucionario.net44pRR4,, Ixx¿¿yy

www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netx

www.elsolucionario.netÁrea

B.1 Áreas 603

Sector circular

y

xO

R

2R sen a3a

a

a

Área de un cuarto de elipse

y

x

! 1

a

b

O

4a3p

4b3p

x2

a2y2

b2

Área de un cuarto de círculo

y y"

R

x

x"

O 4R

3#

Enjunta (Sector general)

y

x

y ! cxn

b

(n 1)bn 2

(n 1)cbn

4n 2 Ix =

c3b3n+1

9n + 3, Iy =

cbn+3

n + 3, Ixy =

c2b2n+2

4n + 4

Area =cbn+1

n + 1

Ix =1

16 pab3, Iy =

1

16 pa3b, Ixy =

1

8 a2b2

Area =1

4 pab

Ix¿y¿ = a 1

8-

4

9pbR4Ix¿ = Iy¿ = a p

16 -

4

9pbR4,

Ixy =1

8 R4Ix = Iy =

1

16 pR4,Area =

1

4 pR2Área

Área

Área

Ixy = 0

Ix =1

4R4aa -

1

2sen 2ab , Iy =

1

4R4aa +

1

2sen 2ab ,

Área = aR2


www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netbb

O

4bb3311 11 11

4

604 Apéndice B Propiedades de áreas y líneas

B.2 Líneas

Las coordenadas del centroide de la línea L son

x =

LLx dL

LL dL, y =

LLy dL

LL dL, z =

LLz dL

LL dL.

y

xz

L

–y

–x –z

Arco semicircular

y

x

R

2R

p

Arco de un cuarto de círculo

y

x

R

2R

p

2R

p

Arco circular

y

x

R

a

a

R sen a

a

Longitud = pR

Longitud =1

2pR

Longitud = 2aR


www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netwww.elsolucionario.netArco semicircularArco semicircular

p

605

Los momentos y productos de inercia del objeto en términos del sistema coorde-nado xyz son,

A P É N D I C E

CPropiedades de volúmenes

y objetos homogéneos

Barra delgada

y

x, x z

y

zO

l

l1

2

y

xxz z

y

dm

Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.

Ieje x¿ = 0, Ieje y¿ = Ieje z¿ =1

12ml2,

Ixy = Iyz = Izx = 0.

Ieje x = 0, Ieje y = Ieje z =1

3ml2,

Izx = Lmzx dm.

Ixy = Lmxy dm, Iyz = Lmyz dm,

Ieje z = Izz = Lm1x2

+ y22 dm,

Ieje y = Iyy = Lm1x2

+ z22 dm,

Ieje x = Ixx = Lm1y2

+ z22 dm,


www.elsolucionario.net== II == LL11xx

22++ yy2222 dm, dm,

606 Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos

(Los términos Ix, Iy e I Axy son los momentos y el producto de inercia del área A de la

sección transversal de la placa).

Placa rectangular delgada

y

x

z

y

x

z

O

h

hb

b

1

2

1

2

Placa delgada

y

xz

A

Placa circular delgada

z

R

y

x

Prisma rectangular

y

x

z

b

ac

Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.

Ieje x¿ = Ieje y¿ =1

4mR2, Ieje z¿ =

1

2mR2,

Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.

Ieje x¿ =1

12mh2, Ieje y¿ =

1

12mb2, Ieje z¿ =

1

12m1b2 + h22,

Ixy =1

4mbh, Iyz = Izx = 0.

Ieje x =1

3mh2, Ieje y =

1

3mb2, Ieje z =

1

3m1b2 + h22,

Ixy =m

AIxyA , Iyz = Izx = 0.

Ieje x =m

AIx, Ieje y =

m

AIy, Ieje z = Ieje x + Ieje y,

Ieje z¿ =1

12m1b2 + c22, Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.

Ieje x¿ =1

12m1a2 + b22, Ieje y¿ =

1

12m1a2 + c22,

Volumen = abc


www.elsolucionario.netwww.elsolucionario.net

Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos 607

Cilindro circular

y

x

z, z

R

x

O

l

y

l1

2

Cono circular

y

x

z, z

R

x

O

h

y

h3

4

Semiesfera

O

z, z

y

y

x x

R3R

8

Esfera

y

x

z

R

Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.

Ieje x¿ = Ieje y¿ = ma 1

12l2 +

1

4R2b , Ieje z¿ =

1

2mR2,


Ieje x = Ieje y = ma 13l2 +

1

4R2b , Ieje z =

1

2mR2,

Volumen = pR2l

Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.

Ieje x¿ = Ieje y¿ = ma 3

80h2 +

3

20R2b , Ieje z¿ =

3

10mR2,


Ieje x = Ieje y = ma 35h2 +

3

20R2b , Ieje z =

3

10mR2,

Volumen =1

3pR2h

Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.

Ieje x¿ = Ieje y¿ = Ieje z¿ =2

5mR2,

Volumen =4

3pR3

Ieje x¿ = Ieje y¿ =83

320mR2, Ieje z¿ =

2

5mR2

Ieje x = Ieje y = Ieje z =2

5mR2

Volumen =2

3pR3


= Iy¿zz¿ = Izz¿x¿ = 0.

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