Estadistica y Probabilidades

Estadística y Probabilidades

1. El valor de la expresión (n+2)!n! es:

Recordemos la de�nición de factorial

n! = 1� 2� 3� � � � � n

aplicando esta de�nición al numerador la expresión resulta

(n+ 2)!

n!=

(n+ 2) (n+ 1)n!

n!= (n+ 2) (n+ 1)

= n2 + 3n+ 2

2. Dada la ecuación�102

�x2 � 2

�102

�+�102

�= 0, entonces el valor de x es:

Recordando la de�nición de combinatorio tenemos�n

r

�=

n!

r! (n� r)!

calculamos entonces los coe�cientes�10

2

�=

10!

2! (10� 2)!

=10� 9� 8!2!� 8!

=90

2= 45

traduciendo la ecuación

45x2 � 2 (45) + 45 = 0

45x2 � 90 + 45 = 0

resolvemos la ecuación cuadrática, primero dividimos todo entre 45

x2 � 2 + 1 = 0

(x� 1) (x� 1) = 0

x = 1 _ x = 1

1

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov"[email protected]@[email protected]

3. Sabiendo que �8

4

�=

�7

3

�+

�7

x

�que valor debe tener x :

Aplicando nuevamente la de�nición de combinatorio tenemos, para cadatérmino �

8

4

�=

8� 7� 6� 5� 4!4!� 4!

=1680

24= 70

ahora para el combinatorio�73

��7

3

�=

7!

3! (7� 3)!

=7� 6� 5� 4!

3!� 4!

=210

6= 35

podemos replantear la ecuación como

70 = 35 +

�7

x

�35 =

�7

x

�entonces se trata de encontrar un combinatorio cuyo resultado sea 35; ya cono-cemos uno, a saber,

�73

�: Recordemos la siguiente propiedad de los números

combinatorios �n

r

�=

�n

n� r

�de aquí podemos deducir que

35 =

�7

x

�=

�7

3

�=

�7

7� 3

�=

�7

4

�de donde x = 4:

4. Un domador de �eras desea acomodar en �la a 5 tigres y 4 leones de modoque no queden dos tigres o dos leones juntos. Considerando que cada �eraes distinta a las otras. ¿De cuántas formas distintas puede acomodar sus�eras?

2


Considere el siguiente esquema, donde T representa a un tigre y L a un león

T L T L T L T L T

como cada tigre y león se consideran distintos entonces, el primero se puedeelegir de 5 formas distintas, el segundo de 4, el tercero de 3, el cuarto 2 y elquiento de 1 en el arreglo anterior y de forma análoga para los tigres, como enel siguiente esquema

T L T L T L T L T5 4 4 3 3 2 2 1 1

por el principio fundamental del conteo las formas de elección estaria dadopor

5� 4� 4� 3� 3� 2� 2� 1� 1 = 5� 42 � 32 � 22 � 1= 5� 16� 9� 4� 1= 2880

5. El promedio de cinco números es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevopromedio es 36. ¿cuál es el promedio de los dos números eliminados?

x1 + x2 + x3 + x4 + x55

= 40

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5 (40)

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 200

Ahora consideremos el promedio de tres números

x1 + x2 + x33

= 36

x1 + x2 + x3 = 3 (36)

x1 + x2 + x3 = 108

Bien, ahora nos interesa saber el promedio de los dos números restantes, esdecir

x4 + x52

3


entonces

x1 + x2 + x3 + x4 + x55

= 40

x4 + x5 = 200� (x1 + x2 + x3)x4 + x5 = 200� (108)x4 + x5 = 92x4 + x52

=92

2x4 + x52

= 46

6. Los padres de Julio tienen una edad media de 49 años. El padre tiene ochoaños más que la madre. Si la media entre la edad de Julio y la de su padrees 27 años, ¿Cuál es la edad de julio?

Edad del padre: x+ 8Edad de la madre: xLuego el promedio de estas edades es 49, es decir

(x+ 8) + x

2=

2x+ 8

2x+ 4 = 49

x = 49� 4x = 45

Edad de Julio y

y + (x+ 8)

2= 27

y + (x+ 8) = 54

y + (45 + 8) = 54

y + 53 = 54

y = 54� 53y = 1

7. En un conjunto de 5 números, el promedio de los primeros tres es 15 y elpromedio de los últimos dos es 10. ¿Cuál es el promedio de los cinconúmeros?

4


Solución.

Denotemos los cinco número en cuestión por

x1; x2; x3; x4; x5

luego podemos escribir

x1 + x2 + x33

= 15

x1 + x2 + x3 = (15) (3)

x1 + x2 + x3 = 45

x4 + x52

= 10

x4 + x5 = 20

Entonces el promedio de los cinco números será

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 45 + 20

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 65x1 + x2 + x3 + x4 + x5

5=

65

5x1 + x2 + x3 + x4 + x5

5= 13

8. En un examen un estudiante responde correctamente 15 de las 20 primeraspresguntas y solo 1

3 de las restantes.Si la nota �nal es 50, y considerando

que todas las preguntas son equiprobables. ¿cuántas preguntas tiene elexamen?

Solución.

Denotemos por x el número de preguntas del examen, después de responder20 (15 fueron correctas), las restantes serán x � 20; como son equiprobables ysu cali�cación �nal fue 50 podemos deducir entoneces que respondio el 50% del

5


examen o para nuestros �nes la mitad x2 ; así podemos plantear la ecuación lineal

15 +1

3(x� 20) =

x

2

15 +x

3� 203

=x

225

3+x

3=

x

225

3=

x

2� x3

25

3=

x

6

x =

�25

3

�(6)

x = 50

9. La media de tres números x; y; z es a; a su vez la media de los cuadrados deesos mismos números es b: ¿cuál será la media aritmética de los productosdos a dos de esos números expresada en función de a y b?

solución.

Usemos la de�nición de media aritmética

x+ y + z

3= a (1)

x2 + y2 + z2

3= b (2)

Como nos preguntan por elproedio del producto dos a dos, entonces debemoscalcular

xy + xz + yz

3

Consideremos la ecuación (1)

x+ y + z

3= a

x+ y + z = 3a

(x+ y + z)2= (3a)

2

x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2 = 9a2�x2 + y2 + z2

�+ (2xy + 2xz + 2yz) = 9a2 (3)

6


consideremos ahora la ecuación (2)

x2 + y2 + z2

3= b

x2 + y2 + z2 = 3b

sustituyendo en la ecuación (3) y reacomodando para optener los productosnecesarios tenemos

3b+ (2xy + 2xz + 2yz) = 9a2

3b

2+(2xy + 2xz + 2yz)

2=

9a2

2

xy + xz + yz =9a2

2� 3b2

xy + xz + yz =9a2 � 3b

2

xy + xz + yz =3�3a2 � b

�2

ya hemos conseguido los productos necesarios, ahora como se trata de el prome-dio, entonces dividimos por 3

xy + xz + yz

3=

3�3a2 � b

�2

xy + xz + yz

3=

3�3a2 � b

�3 � 2

xy + xz + yz

3=

�3a2 � b

�2

10. La altura media de los jugadores de un equipo de baloncesto que hay en uncierto momento en la cancha es 197cm. El entrenador sienta a julio Ortíz(208cm) y saca a la pista a Miguel López (203cm). ¿Cuál es la alturamedia del equipo que está en la cancha?

Solución.

Teniendo presente que un equipo de baloncesto tiene 5 jugadores, podemosplantear lo siguiente

x1 + x2 + x3 + x4 + 208

5= 197

Para el equipo que está en la cancha, luego

x1 + x2 + x3 + x4 + 208 = (197) (5)

x1 + x2 + x3 + x4 + 208 = 985

x1 + x2 + x3 + x4 = 985� 208x1 + x2 + x3 + x4 = 777

7


luego para el relevo de 203cm tendriamos una media dada por

x1 + x2 + x3 + x4 = 777777 + 203

5= 196

R. a)

11. La cali�cación media que obtuvo una clase de veinte 20 estudiantes es 60.Ocho de ellos reprobaron con una cali�cación de 30 y el resto superó el60. ¿Cuál es la nota media de los estudiantes aprobados?

Solución.

Según los datos podemos escribir:

x1 + x2 + :::+ x2020

= 60 (1)

Como x1 = x2 = ::: = x8 = 30

Y x9; x10;:::; x20 > 60

x1 + x2 + :::+ x8 = (30)(8)

x1 + x2 + :::+ x8 = 240

Sustituyendo esta última igualdad en (1) y calculando el promedio de x9;x10; :::;x20resulta:

240 + x9 + x10 + :::+ x20 = 1200

x9 + x10 + :::+ x20 = 1200� 240x9 + x10 + :::+ x20 = 960x9 + x10 + :::+ x20

12=

960

12x9 + x10 + :::+ x20

12= 80

R. c)

12. En una urna hay 10 bolas enumeradas del 0 al 9. Se extrae una, se anotael número y se introduce de nuevo en la urna. Esta operación se repitetres veces hasta formar un número de tres cifras. Si la media de las trescifras es 6 y la moda 8, ¿cuál es el mayor número y el menor número quese puede formar?

Solución.

8


Denotemos las 10 cifras por x0; x2; : : : ; x9; el promedio de las tres cifrasque se sacan es 6; digamos sin perdida de generalidad que se sacaron las cifrasx0; x1; x2; entonces

x0 + x1 + x23

= 6

y la moda de éstos mismos numeros es 8; por de�nición de moda resultan doscasos posibles, primero que x0 = x1 = x2 = 8; lo que no es posible, porque deser cierto el promedio no sería 6. El segundo caso es x0 = x1 = 8 6= x2; de aquíresulta que

8 + 8 + x23

= 6

16 + x23

= 6

16 + x2 = 18

x2 = 18� 16x2 = 2

luego el mayor número que se puede formar es 882 y el menor 288:

13. En la clase de matemática, un grupo de estudiantes de secundaria tieneuna cali�cación media de 62.5. Las mujeres tienen un promedio de 67.5,en cambio los varones tienen 52.5. ¿Cuál es la razón de mujeres y varonesen la clase?

Solución

Según los datos del problema:

x = 62:5 la media de todo el grupo

xm = 67:5 media del grupo de mujeres

xv = 52:5 media del grupo de varones

n = n�+ n��, n�número de mujeres y n��el de varones

Podemos plantear las siguientes relaciones:

x1 + x2 + :::+ xnn

= 62:5

x1 + x2 + :::+ xn = n(62:5) (1)

Aplicando la de�nición de media al grupo de mujeres y al de varones tenemos:

x�1 + x�2 + � � �+ x�n� = n�(67:5)

x��1 + x��2 + � � �+ x��n� = n��(52:5)

9


Como n = n�+ n��, entonces podemos sumar las dos igualdades anteriores yresulta que es exactamente la igualdad (1), es decir:

n�(67:5) + n��(52:5) = n(62:5)

n�(67:5) + n��(52:5) = n0(62:5) + n��(62:5)

n0(67:5� 62:5) = n��(62:5� 52:5)n�(5) = n00(10)

n0

n00=

10

5n0

n00= 2

n0 = 2n00

Lo que signi�ca que las alumnas son el doble de los alumnos.

14. En los tres primeros sistemáticos de matemáticas, Pablo obtuvo una cali-�cación media de 76 ¿Qué cali�cación debe obtener en las dos próximasevaluaciones para que la nota media total ascienda a 80?

Solución.

De la de�nición de media aritmética podemos plantear

x1 + x2 + x33

= 76

x1 + x2 + x3 = (3) (76)

x1 + x2 + x3 = 228

luego calculamos la nota que debe obtener para terminar con 80

x1 + x2 + x3 + x4 + x55

= 80

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5 (80)

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 400

228 + x4 + x5 = 400

x4 + x5 = 400� 228x4 + x5 = 172x4 + x52

=172

2x4 + x52

= 86

como mínimo deberá obtener 86 en cada evaluación.

10


15. ¿Cuál de los números de la siguiente lista debería quitarse para que la mediade los que quedaran fuera 15.25?

7; 12; 15; 21; 27

Solución

La media de los números dados en la lista es:

7 + 12 + 15 + 21 + 27

5= 16:4

Denotamos los números de la lista en la forma: x1; x2; x3; x4; x5, así se tiene:

x1 + x2 + x3 + x4 + x55

= 16:4

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = (5)(16:4)

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 82

x1 = 82� (x2 + x3 + x4 + x5) (1)

Si la media de los números restantes debe ser 15.25, se tiene que:

x2 + x3 + x4 + x54

= 15:25

x2 + x3 + x4 + x5 = (4)(15:25)

x2 + x3 + x4 + x5 = 61

Sustituyendo esta última ecuación en (1), se tiene:

x1 = 82� 61x1 = 21

16. Cuando un profesor lleva corregidos los seis primeros exámenes de unaclase, la nota media es 84 puntos. Al corregir el séptimo, la nota mediase incrementa a 85 puntos. ¿Qué cali�cación se obtuvo en el séptimoexamen?

Solución.

Por de�nición de media aritmética tenemos

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x66

= 84

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (6) (84)

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 504

11


despues del séptimo examen tenemos una media de

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x77

= 85

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = (7) (85)

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 595

luego la nota del séptimo examen es

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 595

x7 = 595� (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)x7 = 595� (504)x7 = 91

17. En un examen de matemática aprobó el 60% de los estudiantes de una clase.A un examen de recuperación se presentan la mitad de los reprobados. Deéstos, el 50% aprueban. Si en total aprobaron 28 alumnos, ¿Cuántos hanreprobado?

Solución

Sea x el número de los estudiantes de la clase. Entonces planteamos lassiguientes relaciones:

(0:6)(x) : estudiantes aprobados

(0:4)(x) : estudiantes reprobados(0:4)(x)

2: van a examen de recuperación�

(0:4)(x)

2

�(0:5) : aprueban el examen de recuperación

Establecemos la siguiente ecuación y resolvemos:

(0:6)(x) +

�(0:4)(x)

2

�(0:5) = 28

(0:6)(x) + (0:1)(x) = 28

(0:7)(x) = 28

x =28

0:7x = 40

El número de reprobados sería: el número de reprobados en la clase menos elnúmero de aprobados en el examen de recuperación, así planteamos y resolvemos

12


la ecuación:

(0:4)(x)� (0:1)(x) = (0:3)(x)

= (0:3)(40)

= 12

18. Considere los puntos (x; y) sujeto a las condiciones 0 � x � 3;�2 � y � 0:Determine la probabilidad de que d = x� y > 3:

Solución.

Consideremos que x y y toman sólo valores enteros, entonces

X = f0; 1; 2; 3gY = f�2;�1; 1; 0g

Al hacer el producto X � Y; resulta

X�Y = f(0; 2) ; (0;�1) ; (0; 0) ; (1;�2) ; (1;�1) ; (1; 0) ; (2;�2) ; (2;�1) ; (2; 0) ; (3;�2) ; (3;�1) ; (3; 0)g

Luego los que cumplen con la condición d = x� y > 3; son los puntos

f(2;�2) ; (3;�2) ; (3;�1)g

Al aplicar le de�nición de probabilidad clásica resulta que

P (E) =3

12=1

4

19. En una prueba de matemáticas, 18 estudiantes respondieron correctamentea la primera pregunta, 23 respondieron correctamente a la segunda, 8respondieron correctamente a las dos preguntas y 11 respondieron incor-rectamente a las dos preguntas. ¿Cuántos estudiantes participaron en laprueba?

Solución.

Resumimos los datos del problema en la siguiente tabla

Correcto Incorrecto1ra pregunta 182da Pregunta 23ambas 8 11

13


Primero necesitamos determinar cuántos contestan únicamente la primeray la segunda pregunta, es decir eliminar las personas que contestaron ambaspreguntas para no contar dos vees a un estudiante, como sigue

18 + 23 = 41

41� 8 = 33

33 estudiantes respondieron correctamente una de las dos preguntas, ahorasumamos quienes no respondieron ninguna correcta.

33 + 11 = 44

20. Supongamos que A y B son eventos con P (A) = 0:7; P (B) = 0:5 y P (A \B) = 0:4: ¿Cuál es la probabilidad que ocurra A pero no ocurra B?

Solución.

Recordemos el teorema sobre la probabilidad de que ocurra cualquiera dedos eventos esto es

P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B)

Luego ésta probabilidad es

P (A [B) = 0:7 + 0:5� 0:4P (A [B) = 0:8

0:8 es probabilidad de la ocurrencia de uno de los dos eventos, pero no nos dicecuál de los dos, así que la probabilidad de que ocurra A; será la probabilidad deambos menos la probabilidad de B; es decir

P (A [B)� P (B) = 0:8� 0:5= 0:3

21. Tenemos un dado cargado en el que la probabilidad de obtener un númeroes proporcional a ese número. ¿Cuál es la probabilidad de obtener unnúmero impar?

Solución

14


Recordemos que la suma de las probabilidades siempre debe ser 1, es decir

nXi=1

P (Ei) = 1

Como cada número es proporcional a sí mismo el espacio muestral (S) será:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

De la de�nición de probabilidad y considerando que cada número es propor-cional a sí mismo, se tiene que:

P (1) = 1(1

21) =

1

21

P (3) = 3(1

21) =

3

21

P (5) = 5(1

21) =

5

21

Finalmente la probabilidad de obtener un número impar es:

P (1 [ 3 [ 5) =1

21+3

21+5

21

=9

21

=3

7

22. En un grupo de diez personas, dos tienen un peso de 60 kg, tres tienenun peso de una vez y media más que el de los anteriores y cuatro tienenun peso 1

5 menor que la media del grupo. ¿Cuál es el peso de la décimapersona si el peso medio del grupo es de 70 kg?

Solución

Del grupo dos pesan 60 kg;tres pesan 90 kg ya que es una vez y media másque 60 kg: Los otros cuatro pesan 1

5 (70) = 14: Así que:

60 + 60 + 90 + 90 + 90 + 14 + 14 + 14 + 14 + x1010

= 70

614 + x1010

= 70

614 + x10 = 700

x10 = 700� 614x10 = 86

15


23. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 38 ; P (B) =

12 y P (A \ B) =

14 :

Entonces P (A \B) vale:

Solución

Por el teorema de la probabilidad el complemento se tiene:

P (A) + P (A) = 1

P (A) = 1� P (A)

P (A) = 1� 38

P (A) =8� 38

P (A) =5

8

P (B) + P (B) = 1

P (B) = 1� P (B)

P (B) = 1� 12

P (B) =1

2

Por la probabilidad de uno de dos eventos, se tiene:

P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B)

=3

8+1

2� 14

=3 + 4� 2

8

=5

8

Teniendo presente las leyes de D�Morgan, podemos escribir:

A [B = A \BP (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B)P (A \B) = P (A) + P (B)� P (A [B)

Calculamos ahora P (A[B) utilizando las leyes de D�Morgan (A [B = A\B)

16


y la probabilidad del complemento, se tiene:

A [B = A \BP (A \B) = 1� P (A \B)

= 1� 14

=3

4

Finalmente:

P (A \B) = P (A) + P (B)� P (A [B)

=5

8+1

2� 34

=3

8

24. De una caja que contiene 3 mangos, 2 naranjas y 4 jocotes se extrae unafruta al azar. La probabilidad que sea mango o naranja es:

Solución.

En total son 9 frutas, es decir que el espacio muestras S = 9; denotemosmango (M), naranjas (N) y jocote (J), luego las probabilidades serán,

P (M) =3

9=1

3

P (N) =2

9

P (J) =4

9

luego la probabilidad que sea mango o naranja es

P (M [N) = 1

3+2

9=5

9

25. Entre 5 profesores y 4 estudiantes se tiene que formar un grupo ambiental-ista de 3 miembros. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 sean estudiantes?

Solución.

17


Tenemos en total 9 personas, las cuales serán seleccionadas en grupos detres, entonces las formas de hacer estas elecciones está dado por la combinación�

9

3

�=

9!

3! (9� 3)! = 84

con los cuatro estudiantes se pueden formar exactamente�4

3

�=

4!

3! (4� 3)! = 4

luego por de�nición de probabilidad resulta que

P (E) =4

84=1

21

26. Se tiran dos dados al aire una sola vez. La probabilidad que la suma de lospuntos sea 8 es:

Solución

Construyamos el espacio muestral como sigue

1 2 3 4 5 61 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

Las parejas que suman 8 son

(2; 6) ; (3; 5) ; (4; 4) ; (5; 3) ; (6; 2)

y de la de�nición de probabilidad tenemos

P (E) =5

36

27. En una distribuidora, el 75% de las compras hechas en un día cualquierasupera C$ 200.00. Se sabe que el 56% de las compras son hechas pormujeres y además superan C$200.00; y también que el 30% de las comprasson hechas por hombres. La información en una tabla queda de la siguientemanera.

18


Solución.

Analizando la información y organizándola en una tabla de doble entradaresulta

Hombres Mujer TotalSuperior a los C$ 200 0.19 0.56 0.75Inferior a los C$ 200 0.11 0.14 0.25Total 0.30 0.70 1

28. Tres autos A,B y C compiten en una carrera; A tiene el doble de probabil-idad de ganar que B, y B tiene el doble de probabilidad de ganar que C.¿Cuál es la probabilidad que B o C ganen?

Solución.

Si cada auto tuviera la misma probabilidad de ganar, ésta sería de: 13 : Con

estas condiciones, A tiene 4 posibilidades de ganar, B dos y C una posibilidadde ganar, luego el espacio muestral es el conjunto de todas las posibilidades,es decir: 4 + 2 + 1 = 7: De la de�nición de eventos mutuamente excluyentestenemos que:

P (B [ C) =2

7+1

7

P (B [ C) =3

7

29. Seis parejas casadas se encuentran en una habitación. Dos personas seeligen al azar. ¿Cuál es la probabilidad que uno sea hombre y la otramujer?

Solución.

Para el espacio muestral debemos calcular todas las combinaciones posiblesde parejas que pueden hacerse, esto es el combinatorio:�

12

2

�= 66

Luego, cada hombre puede emparejarse con cada una de las seis mujeres,es decir, cada hombre puede formar seis parejas distintas y son seis hombre,en total habrán 36 parejas distintas de hombre y mujeres, luego aplicando lade�nición de probabilidad tenemos que:

P (E) =36

66=6

11

19


30. En una caja se depositan dos �chas con el número 12 inscrito encima, dos con

el 1 y dos con el 2. El experimento consite en extraer una �cha, escribir elprimer número extraído que servirá como coe�ciente principal de un poli-nomio cuadrático y luego devolverla a la caja, extraer una segunda �chay utilizarla como coe�ciente del término lineal; el último número extraídoserá el término independiente. La probabilidad de formar el polinomio12x

2 + 2x+ 1:

Solución.

Cada coe�ciente del polinomio dado tiene tres posibilidades de ser elegido,luego el espacio muestral es 27. Como el polinomio 1

2x2 + 2x + 1 sólo puede

formarse de una manera y por la de�nición de probabilidad se tiene:

P (E) =1

27

20


Estadistica y Probabilidades

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