MD Estadistica y Probabilidades 2015-3 -InGENIERIA--UTP- 25082

1

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES Notas de clase FACULTAD DE INGENIERIA 2015 - III PROFESOR: SANTANA FLORES CARLOS Correo: [email protected]

ALUMNO:

2

ESTADÍSTICA

La estadística es una ciencia, con su propio campo de estudio, y también un instrumento (conjunto

de técnicas) que utilizan ampliamente otras ciencias. La estadística como ciencia es una rama de la

matemática aplicada, cuyo objeto de estudio es el comportamiento de las variables que pueden

asociarse a una o más poblaciones.

La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea

para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún

fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo

estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso

relacionado con la investigación científica.

Estadística descriptiva

Se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de

estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente

Estadística inferencial

Se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en

cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en

los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio.

VARIABLES

Una variable es una característica observable que varía entre los diferentes individuos de la

población, dicha característica debe ser susceptible de ser medido. La información que disponemos

de cada individuo es resumida en variables.

Ejemplos:

Peso corporal

Condición económica

Tiempo de espera

Utilidades de una empresa

…………………………………………………………..

…………………………………………………………..

TIPOS DE VARIABLE

Variable cualitativa o categórica.

Cuando la variable está asociada a una característica cualitativa o atributo. Es decir, son variables

cuyos valores son cualidades. Dependiendo del número de categorías pueden ser dicotómicas o

politómicas.

Ejemplos:

Condición económica

Marca de auto

…………………………………………

3

…………………………………………

Dicotómica: Es aquella variable que solo puede adoptar dos atributos o características.

Ejemplos:

Resultado de un encuentro de vóley

……………………………………………………….

Politómica: Es aquella variable que solo puede adopta más de dos atributos o características.

Ejemplos:

Estado civil

………………………………………………………..

Variable cuantitativa o numérica

Cuando la variable está asociada a una característica cuantitativa. Es decir, estas surgen cuando se

puede establecer cuánto o qué cantidad posee una determinada característica. Pueden ser discretas

o continuas.

Ejemplo:

Peso corporal.

Gasto por consumo de energía eléctrica.

…………………………………………………………….

…………………………………………………………….

Discreta: En este caso la variable solo adopta valores enteros.

Ejemplos:

Número de televisores en casa

…………………………………………………………….

…………………………………………………………….

Continua: En este caso la variable toma cualquier valor real, no necesariamente entero.

Ejemplos:

Estaturas

…………………………………………………………...

…………………………………………………………….

MEDICIÓN

Es asignar un número o símbolo a objetos o sucesos de acuerdo a reglas predeterminadas.

ESCALA DE MEDICIÓN

Es el grado de precisión como se expresa la medida de la variable.

4 Nominal

Son aquellas que establecen la distinción de los elementos en las categorías sin implicar orden entre

ellas.

Ejemplo:

Sexo: Mujer – Hombre.

Servicios Hospitalarios: Medicina - Pediatría – Neurología.

…………………………………………………………………………………………..

Ordinal

Son aquellas que agrupan a los objetos, individuos, en categorías ordenadas, para establecer

relaciones comparativas. Es decir, son susceptibles de ordenación pero no de medición cuantitativa.

Ejemplo:

Nivel educativo: Primaria – Secundaria – Técnico - Universitario

Estado de salud: Muy saludable – Saludable - No saludable

…………………………………………………………………………………………….

Intervalar

Se tiene una escala intervalar, cuando los valores asignados a las unidades estadísticas no solo

permiten ordenarlas sino que además, las diferencias iguales entre estos indican diferencias iguales

en las cuantías de las propiedades a medir. El inicio de la escala (0) es arbitraria, convencional.

Ejemplo:

Temperatura

Razón

Se tiene una escala razón, cuando los valores asignados a las unidades estadísticas no solo permiten

que estas puedan ser ordenadas, sino que además, las diferencias iguales entre estos indican

diferencias reales en las cuantías de las propiedades a medir. El valor cero representa ausencia de la

característica que se mide.

Ejemplo:

Edad

5

Peso

POBLACIÓN

Es un conjunto de datos que consta de todas las observaciones concebibles (o hipotéticamente)

posibles de un fenómeno determinado.

MUESTRA

Es un subconjunto de individuos extraídos de la población con el fin de inferir mediante su estudio,

características de la población.

PARÁMETRO

Son todas aquellas medidas que describen numéricamente las características de una población.

También se les denomina valor verdadero, ya que una característica poblacional tendrá un solo valor

del parámetro. Sin embargo una población puede tener varias características y, por tanto, varios

parámetros.

ESTADÍGRAFOS

Es aquella descripción numérica de una característica correspondiente a los elementos de una

muestra. De una población se pueden obtener M números de muestra posibles y en cada una de

ellas se puede cuantificar la característica, obteniéndose por lo general, valores diferentes para cada

muestra.

6 EJERCICIOS

Clasifique las siguientes variables y señale su escala de medición:

Variable Tipo de variable Escala

Número de solicitantes que llega a diario a una agencia de empleos.

Software estadístico.

Bancos comerciales.

Tiempo cronometrado en los 100 metros planos.

Velocidad de un automóvil.

Empresas según el número de trabajadores.

Nivel socioeconómico.

Partidos políticos.

Producto bruto interno del Perú.

Número de asistentes a clase.

Países de la Unión Europea.

Puntuación de un test de coeficiente intelectual.

7

ORGANIZACIÓN TABULAR DE DATOS Y GRÁFICOS

Frente a un conjunto de datos, el primer paso a dar, debe ser expresarlo y clasificarlo de acuerdos a

criterios convenientes, de una forma simple que permita ver rápidamente todas las características

posibles para obtener conclusiones útiles, ya sea directamente o por medio de cálculos posteriores.

Se consideran los siguientes pasos:

Revisión y recolección de los datos.

Construcción de tablas de frecuencias.

Representación tabular o cuadros estadísticos y gráfica.

REVISIÓN Y RECOLECCIÓN DE LOS DATOS

Ningún análisis estadístico, por acabado y seguro que sea, es capaz de suministrar respuestas

adecuadas a un problema de estudio, si aquel se basa en información incorrecta. Por tanto antes de

utilizar los datos muestrales conviene aplicar técnicas simples para probarlos, como dar respuesta a

las siguientes preguntas:

¿Los datos apoyan o contradicen la evidencia que se tenía?

¿Es lógica la conclusión?

¿Hemos obtenido conclusiones que no estén sustentadas por los datos?

¿Cuántas observaciones se tiene?

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Si los datos que se disponen son numerosos, es indispensable clasificarlos en un cuadro o tabla

resumen de las observaciones originales, a las que en adelante llamaremos tabla de distribución de

frecuencias.

yi ni Ni hi Hi hi% Hi%

Y1 n1 N1 h1 H1 h1% H1%

y2 n2 N2 h2 H2 h2% H2%

y3 n3 N3 h3 H3 h3% H3%

y4 n4 N4 h4 H4 h4% H4%

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

ym nm Nm hm Hm hm% Hm%

8 Donde:

yi: representa los valores de la variable o el valor asignado a algún atributo de la variable

(caso de variables cualitativas).

ni: frecuencia absoluta del valor yi, representa el número de veces que aparece este valor en

el conjunto de observaciones.

Ni: Frecuencia absoluta acumulada, representa el número de observaciones menores o

iguales a yi.

hi: frecuencia relativa del valor de yi, es el cociente de la frecuencia absoluta de yi y el

número total de observaciones.

Hi: frecuencia relativa acumulada, es la frecuencia relativa total de las observaciones

menores o iguales a yi.

hi%: frecuencia relativa porcentual, es decir hi multiplicado por 100%; nos permite observar

la frecuencia absoluta en forma porcentual respecto del total.

Hi%: frecuencia relativa acumulada porcentual, es decir Hi multiplicado por 100%.

CUADROS ESTADÍSTICOS Y GRÁFICOS

Cuadro estadístico.- Es un arreglo ordenado, de filas y columnas de los datos o series estadísticas,

por tanto tienen dos entradas. En ellas pueden representarse características cualitativas,

cuantitativas o una combinación de ambas. La finalidad es ofrecer información resumida de fácil

lectura, comparación e interpretación.

Gráfico.- Es la representación de un fenómeno estadístico por medio de figuras geométricas cuyas

dimensiones son proporcionales a la magnitud de los datos representados. Su objetivo es la

representación de los datos de forma gráfica, que permite de un solo golpe de vista darse cuenta del

conjunto de elementos presentados y de evidenciar sus variaciones y características.

9

ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS ASOCIADAS A VARIABLES CUALITATIVAS

En el caso de las variables cualitativas se pueden dar dos tipos de tratamiento según la complejidad

de los datos.

En el caso que sólo se tenga el valor de la característica de la variables

Ejemplo:

Se tiene información acerca de la composición de cartera de créditos (en millones de soles) del

Sistema Financiero Peruano para el año 2010.

CONSUMO 25300

CORPORATIVOS 23364

MEDIANAS EMPRESAS 21428

GRANDES EMPRESAS 21170

HIPOTECARIOS 16006

PEQUEÑAS EMPRESAS 13941

MICROEMPRESAS 7874

Si se quiere obtener una información más detallada que la que se muestra en la tabla, podemos

representar esos valores en forma porcentual. Primero, obtengamos el total

CONSUMO 25300

CORPORATIVOS 23364

MEDIANAS EMPRESAS 21428

GRANDES EMPRESAS 21170

HIPOTECARIOS 16006

PEQUEÑAS EMPRESAS 13941

MICROEMPRESAS 7874

TOTAL 129083

10 Luego, obtenemos el valor del hi, este se obtiene dividiendo cada valor entre el total. Una vez

calculado el hi multiplicamos por 100% (hi%), el resultado representará el porcentaje respecto al

total.

Ahora la tabla se puede presentar de la siguiente manera

Interpretaciones:

El 19,6% de los créditos otorgados van a los créditos por consumo.

El 16,4% de los créditos otorgados van destinados a las grandes empresas.

Solo el 6,1% de los créditos son asignadas a las microempresas.

NOTA: En el ejemplo se está trabajando con valores no con frecuencias.

Para una mejor ilustración de los datos se puede realizar un gráfico.

GRÁFICO DE SECTORES O DE PASTEL

Para construir el gráfico de sectores se utiliza una circunferencia, cuyo círculo se divide en sectores,

tales que sus medidas de los ángulos centrales, y por tanto la superficie del sector circular, sean

proporcionales a las magnitudes de los valores de la variable que representan. Al total le

corresponde el círculo completo, es decir los 360º de la circunferencia.

11

20%

18%

17%

16%

12%

11%

6%

Composición de la cartera de creditos: 2010

CONSUMO

CORPORATIVOS

MEDIANAS EMPRESAS

GRANDES EMPRESAS

HIPOTECARIOS

PEQUEÑAS EMPRESAS

MICROEMPRESAS

CONSUMO20%

CORPORATIVOS18%

MEDIANAS EMPRESAS

17%

GRANDES EMPRESAS

16%

HIPOTECARIOS12%

PEQUEÑAS EMPRESAS

11%

MICROEMPRESAS6%

Composición de la cartera de créditos: 2010

12

Si los datos no están contabilizados

Ejemplo:

Se realizo una encuesta en un conjunto habitacional a 45 vecinos, la cual estaba orientada a saber si

estos estaban satisfechos con el servicio de vigilancia y seguridad que brinda una empresa. Se

obtuvieron los siguientes datos.

B B R M M R B R B B M R R M B

B B B R B M B M R B M R M B B

B R B B R M R M B R B B R B B

B: buena R: regular M: mala

El primer paso es contabilizarlos mediante alguna marca o palotes

Luego anotamos las frecuencias absolutas de cada característica de la variable y los valores de las

frecuencias relativas de la misma forma que en el ejemplo anterior.

Interpretaciones:

Casi la mitad de los vecinos consideran que el servicio que se les brinda es bueno.

Un 22% cree que el servicio que se les ofrece es malo.

13 GRÁFICO DE BARRAS

Es aquel en el cual el fenómeno que se estudia queda representado por una serie de rectángulos,

barras o paralelepípedos, los cuales pueden dibujarse horizontal o verticalmente.

CUADROS ESTADISTICOS

Se define como el conjunto de datos estadísticos ordenados en filas y columnas, que permiten leer,

comparar e interpretar las características de una o más variables. Los datos son el resultado de la

ejecución de una investigación estadística o el aprovechamiento de un registro administrativo con

fines estadísticos.

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

Buena Regular Mala

Po

rcen

taje

Calidad del servicio de vigilancia

Buena

Regular

Mala

22

13

10

Calidad del servicio de vigilancia

15 EJERCICIOS

1.- Se tiene información Sistema de Privado de Pensiones obtenida de la SBS

(http://www.sbs.gob.pe)

a. Realizar un cuadro estadístico mostrando en valores porcentuales del número de afiliados

por AFP para cada una de las cuatro semanas y realice el gráfico de sectores para la semana

de 30 julio al 3 de agosto.

Del 23 al 27 de julio

Del 30 de julio al 3 de agosto

Del 6 al 10 de agosto


Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

Total

Cuadro estadístico





Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

16

Gráfico de Sectores

b. Realizar un cuadro estadístico mostrando en valores porcentuales de los trabajadores

independientes para cada AFP para cada semana y realice un gráfico de barras para la

semana del 13 al 17 de agosto.

Trabajadores Independientes





Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

Total

Cuadro estadístico





Horizonte

Integra

Prima

Profuturo

17

Gráfico de Barras

c. Muestre un gráfico (elija uno a su criterio) donde se puede observar el comportamiento de la

afiliación al sistema de fondo de pensiones para las cuatro semanas.

18

ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS ASOCIADAS A VARIABLES CUANTITATIVAS

En esta parte del curso se trabajará con los datos que se obtengan de las variables cuantitativas,

como sabemos estas pueden ser discretas o continuas. De la misma manera como se organizaron los

datos de las variables cualitativas, también organizaremos estos datos mediante una tabla de

distribución de frecuencias, para luego obtener cuadros estadísticos y las gráficas.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS DE VARIABLES CUANTITATIVA DISCRETAS

Recordemos que una variable cuantitativa discreta es aquella que solo toma valores enteros, en

función a ello se establecen algunas propiedades con los elementos de la tabla de distribución de

frecuencias.

Propiedad relacionada con la frecuencia absoluta

19

Propiedad relacionada con la frecuencia relativa

Propiedad relacionada con la frecuencia relativa porcentual.

Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le preguntó por el número de hijos, obteniéndose los

siguientes resultados

2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Construiremos la tabla de distribución de frecuencias para luego realizar algunas interpretaciones.

El primer paso es realizar un conteo o registro de valores de la variable que se repiten, es decir

obtener las frecuencias absolutas.

20

Una vez hecho registro procedemos a completar la tabla

En la cuarta columna lo completamos con las frecuencias relativas y a partir de ella todas las demás

columnas.

Interpretaciones de las frecuencias relativas:

n1=2; Hay dos familias que no tienen hijos.

n2=3; Tres familias que tienen dos hijos.

n3=7; Siete familias que tienen cuatro hijos

n4=4; Cuatro de estas tienen seis hijos.

n5=4; Y cuatro familias con siete hijos.

Interpretaciones de las frecuencias relativas:

N3= 12; significa que el número de familias que tienen a lo más 4 hijos es 12 ó existen 12

familias que a lo más tienen 4 hijos.

21

N4 = 16; significa que el número de familias que tienen a lo más 6 hijos es 16 ó existen 16

familias que a lo mas tienen 6 hijos.

Interpretaciones de las frecuencias porcentuales:

h1% = 10% significa que el 10% de las familias no tienen hijos.

h2% = 15% significa que el 15% de las familias tienen 2 hijos.




Interpretaciones de las frecuencias absolutas porcentuales:

H2% = 25% significa que el 25% de las familias tienen a lo más 2 hijos.



DIAGRAMA DE FRECUENCIAS

Se usa para representar los diferentes tipos de distribuciones de frecuencias de variables

cuantitativas discretas.

Representación gráfica de las distribuciones de frecuencias absolutas y relativas.

Considerando la tabla de distribución de frecuencias del ejemplo anterior.

Observaciones:

Generalmente los valores de la variable se deben ubicar en el eje horizontal, indicando el

nombre de la variable.

Gráficamente los valores están representados por líneas, esto es debido que se está

trabajando con variables cuantitativas discretas (valores enteros).

22

Representación gráfica de las distribuciones de frecuencias absolutas acumuladas y relativas

acumuladas.

23 EJERCICIOS 1.- La siguiente información muestra la inasistencia a la junta de accionistas de 20 accionistas

principales de una empresa de construcción en el último semestre del 2014.

0 1 2 2 1 3 2 1 4 2 4 3 2 0 0 2 2 3 0 3

a. Construye la tabla de frecuencias a partir de estos datos. b. Construye el gráfico que consideres más adecuado con las frecuencias no acumuladas.

24 2.- El Ministerio de Desarrollo e Inclusión Social encarga a una consultora recabar información de una

región selvática del país acerca del número de hijos en 50 familias con el fin de brindar apoyo

asistencial por parte del ministerio. Obteniéndose los siguientes datos.

2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 3 3 4

3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1

a. Construye la tabla de frecuencias a partir de estos datos.

b. ¿Cuántas familias tienen exactamente tres hijos?

c. ¿Qué porcentaje de familias tienen exactamente cuatro hijos?

d. ¿Qué porcentaje de las familias de la muestra tienen más de dos hijos?

e. Construye el gráfico que consideres más adecuado con las frecuencias no acumuladas.

f. Construye el gráfico que consideres más adecuado con las frecuencias acumuladas.

25 3.- En la tabla de frecuencias que se muestra faltan algunos datos. Completarla

yi ni Ni hi Hi

0 2

1 5

2 9

3 14 0.7

4 0.2

5

4.- Para medir la variable “adaptación sensorial” en un trabajo de investigación se utilizó una prueba

elaborada ad hoc para esta investigación, donde la puntuación máxima es 10 (máxima adaptación) y

la puntuación mínima 0 (mínima adaptación). Dicho trabajo se aplicó a 36 ingenieros participantes de

un curso de capacitación en las Fuerzas Armadas.

9 8 6 5 3 4 7 6 4 5 7 5 2 4 1 7 6 4

5 1 3 7 8 7 4 2 1 7 2 2 5 4 3 2 1 2

Construya la tabla de distribución de frecuencias y realice algunas interpretaciones.

26

ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS ASOCIADAS A VARIABLES CUANTITATIVAS

CONTINUAS

En este caso debido a que la magnitud de la característica puede tomar, al menos teóricamente,

infinitos valores, el proceso de reducción, agrupación o condensación de los datos originales que

conducen a la construcción de tablas de frecuencia, no es tan simple como en el caso de los datos

discretos; es más bien un problema de clasificación de los datos donde la subjetividad del

investigador tiene una influencia que no debe de ignorarse.

Mediante un ejemplo se explicará el procedimiento que se debe seguir para la organización de estos

datos.

Ejemplo:

La información que se muestra a continuación es referida 50 observaciones referentes a los pesos de

50 lingotes de acero producidos por una empresa minera. La muestra fue obtenida de la producción

semanal, las unidades están dadas en Kg.

El primer paso a seguir consiste en determinar el máximo y mínimo valor, esto nos llevará a obtener

la amplitud del recorrido.

Amplitud del recorrido o rango (Ɩ)

Ɩ = Xmax – Xmin

Ɩ = 96.4 – 91.6 = 4.8

Número de intervalos (m)

Criterios

5 ≤ m ≤ 20 (Elección subjetiva) m = 1 + 3,322log n (método de Sturges)

n: número de observaciones

Para nuestro ejemplo elegimos m = 5, si en caso se hubiese elegido el método de Sturges m=6.644 la

cual aproximamos a 7.

Amplitud del intervalo (C)

27

Al trabajar con este número se nos puede hacer complicado la construcción de los intervalos, debido

a que es un número decimal, por ello es preferible trabajar con un número entero pero este número

debe ser más próximo y superior a 0.96, en este caso el valor elegido es c = 1, al hacer este cambio

de “c” hace que el rango se modifique.

Rango = c x m = 1 x 5 = 5 ≠ 4.8

Para ello modificamos la amplitud del recorrido, como la diferencia es de 0.2 entonces corremos 0.1

a la izquierda y 0.1 a la derecha.

Los límites de clase vienen a ser los extremos de cada intervalo (o clase) con amplitud c, y

para construir los intervalos se comienza con el mínimo valor, que en nuestro ejemplo será

con el nuevo mínimo 91.5.

La marca de clase es un valor que representa al conjunto de valores que pertenecen a un

intervalo, este valor se calcula con el propósito de obtener alguna característica de los datos

como la media, mediana, varianza, etc. que más adelante se calcularan.

28

Se debe tener en cuenta que los intervalos que se construyan deben ser semi-abiertos, es decir en un

extremo abierto y en otro cerrado (o viceversa).

Una vez construido los intervalos se procede a hacer el conteo de cuántos de estos datos pertenecen

a cada intervalo. De esta manera se obtendrán las frecuencias absolutas.

Ahora completamos la tabla:

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

Se usa para representar gráficamente las distribuciones de frecuencias absolutas o relativas de datos

cuantitativos continuos agrupados en clases. Estos están representados mediantes rectángulos cuya

base es la amplitud de la clase.

29

Histograma de frecuencias: Peso de cincuenta lingotes de acero

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Los polígonos de frecuencias absolutas o relativas, se obtienen uniendo los puntos medios de las

bases superiores de los rectángulos en el histograma de frecuencias absolutas o relativas,

respectivamente.

Polígono de frecuencias: Peso de cincuenta lingotes de acero

POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS: OJIVAS.

La ojiva es la representación gráfica de una distribución de frecuencias absolutas acumuladas o

frecuencias relativas acumuladas “menor que”. En el eje horizontal se ubican los límites de los

intervalos de clase.

30

Ojiva: Peso de cincuenta lingotes de acero

31 EJERCICIOS

1.- Los sueldos mensuales (en dólares) de 60 operarios de la empresa TELCOM S.A. fueron los siguientes:

440 560 335 587 613 400 424 466 565 393

453 650 407 376 470 560 321 500 528 526

570 430 618 537 409 600 550 432 591 428

440 340 558 460 560 607 382 667 512 492

450 530 501 471 660 470 364 634 580 450

574 500 462 380 518 480 625 507 645 382

Construya la tabla de frecuencia para estos datos y realice los gráficos respectivos.

32 2.- Dada la siguiente distribución de frecuencias que muestra las utilidades netas (en miles de nuevos soles) de 200 pequeñas empresas del rubro de telecomunicaciones.

¿Cuántas empresas tienen utilidades comprendidas entre 260 y 320?

si LL ni

Ni

- 12

- 270

- 300 30 90

- 126

330 -

- 50

33

3.- La siguiente tabla muestra las puntuaciones obtenidas mediante una prueba a 36 ingenieros de

una empresa minera luego de recibir una capacitación, las puntuaciones van de 0 a 80 puntos.

69 68 38 50 57 33 30 38 39 22 20 37 62 35 41 50 43 19

55 30 24 47 21 23 68 60 70 31 28 46 50 48 37 35 42 17

Organice los datos en una tabla de distribución de frecuencias y realizar el histograma de frecuencias.

34 4.- En el artículo “Determination of representative Subdivision” (J. of Energy Engr, 1993: 43-55) se

muestran los datos de varias características de subdivisiones que se podrían usar para decidir si se

suministra energía eléctrica por medio de líneas aéreas o subterráneas. A continuación se dan los

valores de la variable x = longitud total de calles dentro de una subdivisión:

1280 5320 4390 2100 1240 3060 4770 1050 360 3330 3380 340 1000 960 1320

530 3350 540 3870 1250 2400 960 1120 2120 450 2250 2320 2400 3150 5700

5220 500 1850 2460 5850 2700 2730 1670 100 5770 3150 1890 510 240 396

1419 2109

Organice los datos en una tabla de distribución de frecuencias y realizar el histograma de frecuencias.

35

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor

representativo, es decir, resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin,

suele situarse hacia el centro de la distribución de datos y se denomina medida o parámetro de

tendencia central.

MEDIA

Se define como la suma de todos los valores observados de la variable dividida entre el número total

de observaciones n. También es conocido como media aritmética o promedio.

En general

Ejemplo:

El curso de estadística tiene 15 alumnos y se han registrado el número de días que llegaron tarde en

todo el ciclo.

1 2 0 5 3 5 7 1 2 1 3 4 3 3 2

Interpretación: En todo el ciclo los alumnos llegaron en promedio 2,8 días tarde.

MEDIANA

Se define como aquel valor de la variable que supera a no más de la mitad de las observaciones y al

mismo tiempo es superado por no más de la mitad de las observaciones. La mediana es el valor

central.

Ejemplo:


todo el ciclo.

1 2 0 5 3 5 7 1 2 1 3 4 3 3 2

Caso 1: Cuando el número de datos (n) es impar

Primero: Ordenamos los valores de las observaciones de menor a mayor

36

Interpretación:

El valor central del número de tardanzas de los alumnos es de 3 días.

El 50% de los alumnos llegaron como máximo 3 días tarde.

En el ejemplo anterior el número de observaciones era 15, un número impar. Pero que sucede si el

número de observaciones es un número par, como por ejemplo:

1 2 0 5 3 5 7 1 2 1 3 4 3 3 2 0

En este caso se tiene 16 observaciones.

Caso 2: Cuando el número de datos (n) es par

Ordenando los valores de las observaciones de menor a mayor

Interpretación:

El valor central del número tardanzas de los alumnos es de 2,5 días.

El 50% de los alumnos llegaron como máximo 2,5 días tarde.

MODA

Es aquel valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia; es decir es el valor que más se

repite.

Ejemplo:


todo el ciclo.

1 2 0 5 3 5 7 1 2 1 3 4 3 3 2

Como se puede observar el valor que más se repite es de 3 días, entonces el valor modal (Mo) es 3.

En este caso se conoce como unimodal.

Presentamos otra situación

37 Ejemplo:


todo el ciclo. 1 2 0 5 3 5 7 2 2 1 3 4 3 3 2

En este caso se tiene dos modas: 2 y 3, se conoce como bimodal. En el caso que haya más de dos

modas se conocen como multimodal.

A continuación se presenta las ventajas y desventajas que cada medida de medida de tendencia

central tiene una respecto a otra.

MEDIA

VENTAJAS DESVENTAJAS

Es un concepto familiar a la mayoría

de las personas e intuitivamente claro.

Es una medida que puede ser calculada y única.

Para su cálculo, es tomada en cuenta cada una de las observaciones del conjunto de datos.

La media puede verse afectada por

factores extremos que no son representativos del resto de las observaciones.

Ejemplo: 1 0 3 2 2 0 2 M(x) = 1,42 1 0 3 2 2 0 24 M(x) = 4,57

MEDIANA


La mediana es fácil de entender y

puede ser calculada a partir de cualquier tipo de datos.

La mediana está afectada por el número de observaciones y no por la magnitud de cualquier valor extremo.

Ejemplo: 0 0 1 2 2 2 3 Me(x) = 2 0 0 1 2 2 2 24 Me(x) = 2

Se debe organizar los datos antes de

realizar algún cálculo para obtener la mediana, esto puede consumir mucho tiempo.

Ciertos procedimientos estadísticos que usan a la mediana son mucho más complejos que si se usara la media

MODA


Se puede usar como una localización

tanto para datos de variable cualitativas como cuantitativas.

No está afectada por valores extremos.

A menudo no hay un valor modal,

porque el conjunto de datos no contiene valores que se repiten más de una vez.

Cuando el conjunto de observaciones contiene dos, tres o más modas, éstas son difíciles de interpretar y comparar.

38 Cálculo de la media para datos agrupados

En este caso los datos se encuentran organizados en una tabla de distribución de frecuencias, el

método de obtener la media aritmética es diferente.

En general

Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le preguntó por el número de hijos, obteniéndose los


2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Interpretación: El número promedio de hijos de las familias de una comunidad alto andina es 4,3

Ejemplo:

La información que se muestra a continuación es referida 50 observaciones referentes a los pesos de

50 lingotes de acero producidos por una empresa minera. La muestra fue obtenida de la producción

semanal, las unidades están dadas en Kg.

39

En este caso multiplicamos la marca de clase con la frecuencia absoluta

Interpretación: En promedio el peso de un lingote de acero es de 94,04 Kg.

PROPIEDADES

Propiedad 1

Si todos los valores observados 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son iguales a b (donde b es una constante), entonces

𝑀(𝑥) = 𝑀(𝑏) = 𝑏

Ejemplo:

Propiedad 2

Si a cada valor de las observaciones 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 se le suma (o resta) una constante, la media

aritmética del nuevo conjunto transformado 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝑏, es la media aritmética del conjunto original

más (o menos) la constante. 𝑀(𝑌) = 𝑀(𝑋) ± 𝑏

Ejemplo:

40 Propiedad 3

Si a cada valor de las observaciones 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 se le multiplica por una constante diferente de cero,

la media aritmética del nuevo conjunto transformado 𝑦𝑖 = 𝑎 𝑥𝑖, es la media aritmética del conjunto

original multiplicado por la constante. 𝑀(𝑌) = 𝑎 𝑀(𝑋)

Ejemplo:

Propiedad 4

De una población de n observaciones se obtiene dos muestras de tamaño n1 y n2 respectivamente.

Sean ��1 𝑦 ��2 las medias aritméticas de las muestras, entonces la media asociada a las n

observaciones está dada por:

Donde n = n1 y n2

Ejemplo:

41 En general

Sean ��1, ��2, … , ��𝑚 las medias aritméticas de m muestras cada una de tamaño 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑚

respectivamente.

Donde:

42 EJERCICIOS

1.- Calcular la media, mediana y moda para los siguientes datos:

11 5 4 8 9 8 6 11 3 7 10 2 7 3 8

2.- Determinar la media de la siguiente tabla de frecuencia:

43 3.- Calcule la media a partir del siguiente histograma:

4.- El precio medio de un centenar de artículos escolares es de S/. 8 570, los artículos se dividen en dos grupos, con medias S/. 7 580 y S/. 9 780 ¿Cuántos artículos hay en cada grupo?

44 5.- Un grupo de 100 atletas viaja en dos aviones. El primero lleva 40 atletas y el segundo los

restantes. Se sabe que el peso promedio de los 100 atletas es de 186,3 libras y los del segundo grupo

es de 10 libras menos que el de los atletas del primer avión. ¿Cuál es el peso medio de los atletas en

cada avión?

6.- Las notas del examen parcial del curso de estadística de 20 alumnos son:

11 13 09 13 15 13 14 10 12 16 11 08 10 11 14 12 16 17 09 10

Siendo el promedio de 12,2. Debido a los trabajados presentados por los alumnos el profesor decide

aumentarle 3 puntos a cada alumno. ¿Cuál será el nuevo promedio?

7.- De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 años, la mediana es 23 y la moda es 22. Encuentre las edades de las cuatro personas.

45 8.- Se tiene dos marcas de bombillas Ans y Beluz. Se presenta a continuación la duración (en días) registrada de cierto número de bombillas de cada marca.

¿Qué marca compraría usted y por qué? Sustente su respuesta a base del análisis de las medidas de tendencia central

9.- Al calcular la media de 125 datos, resultó 42. Un chequeo posterior mostró que en lugar del valor 12,4 se introdujo 124. ¿Cuál es el valor correcto de la media?

46

CUANTILES

Como una consecuencia del estudio de la mediana, es fácil ampliar este concepto a otros

estadígrafos que dividen a los datos en otras proporciones y no solo en el valor central como lo hace

la mediana.

CUARTILES

Los cuartiles son valores que divide a un conjunto de datos ordenados en forma ascendente o

descendente en cuatro partes iguales. Hay tres cuartiles: Q1, Q2, Q3.

• Q1: Debajo primer cuartil se encuentra el 25% de los datos.

• Q2: Debajo del segundo cuartil se encuentra el 50% de los datos (Mediana)

• Q3: Debajo del tercer cuartil se encuentra el 75% de los datos.

DECILES

Los deciles dividen al conjunto de datos en 10 partes porcentualmente iguales. Hay 9 deciles, D1,

D2,…, D9.

PERCENTILES

Divide al conjunto de datos en 100 partes porcentualmente iguales. Por ejemplo: P73 nos dice que

debajo de este valor se encuentra el 73% de los datos.

CÁLCULO DE LOS PERCENTILES

El percentil k (Pk), es el valor por debajo del cual se encuentra el k% de las observaciones y por

encima el (100-k)% de las observaciones.

Para datos no agrupados:

47 Primero debe ordenarse los datos en forma creciente o decreciente. Para hallar el percentil Pk se

sugiere los siguientes pasos:

Hallar la posición que ocupa el percentil Pk en la lista de datos ordenados que está determinada por

la expresión:

Ejemplo: Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa que vende al crédito, el

auditor toma una muestra de 11 de las facturas no pagadas. Las sumas (en miles de nuevos soles)

que se adeudan a la empresa son: 4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

Hallar el percentil 60: P60

Primero se ordenan los datos en forma ascendente

Interpretación: El 60% de las facturas no pagadas tienen como máximo valor 11 200 soles.

Hallar el Cuartil 1: Q1 = P25

Primero se ordenan los datos en forma ascendente

Interpretación: El 25% de las facturas no pagadas tienen como máximo valor 7 000 soles.

48

EJERCICIOS 1.- El responsable del área de logística de ELECTRO-SAT solicitó al área producción, el tiempo (en minutos) de duración por ensamblado de paneles reflectores que realizaron 10 operarios. Los resultados se muestran a continuación:

Operario 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo 27 36 36 37 38 45 49 49 54 57

a. Indique el equivalente de cada una de las medidas de posición en términos de percentiles.

Medidas de posición Percentiles

D2

Q3

D9

Mediana

b. Calcule e interprete el valor del cuartil 3, percentil 80 y decil 6.

Notación Cálculo Interpretación

Cuartil 3

Percentil 80

Decil 6

c. El área de producción desea saber el tiempo mínimo que un operario tardó para pertenecer al 15% de los operarios que más se demoraron en ensamblar. ¿Cuál es el tiempo mínimo?

49 2.- Los sueldos en una empresa VOLCAN S.A. varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica en cinco intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20% y 30% de los casos en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente. Si la SUNAT quisiera aplicar un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿A partir de qué monto de sueldo se paga impuesto?

3.- Al tabular las calificaciones de la primera práctica calificada de Estadística y Probabilidades se obtuvieron las siguientes notas: 07; 08; 09; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17 y la cantidad de alumnos que obtuvieron dichas notas fueron respectivamente: 1; 1; 1; 1; 1, 6; 8; 16; 18; 20; 2. ¿Cuál es la nota mínima para estar en el quinto superior?

50

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Son cantidades que miden el grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de

un valor medio.

La importancia que tienen es porque proporcionan más información que permite juzgar la

confiabilidad de las medidas de tendencia central. Si los datos están muy dispersos, las medidas de

tendencia central son menos representativas de los datos que cuando están más agrupadas

alrededor de la media.

Utilidad

Para medir el grado de variación de los datos del conjunto; así por ejemplo, si existe poca dispersión

en la productividad de los obreros de una compañía, esto quiere decir, que los obreros tienen un

rendimiento muy homogéneo, es decir, que existe poca variabilidad en el rendimiento; pero si la

dispersión es alta, esto quiere decir, que el rendimiento es heterogéneo o que existe gran

variabilidad en el rendimiento.

Para complementar un promedio; es decir, entre más baja sea la dispersión de un conjunto de datos,

más altamente representativo será el promedio de ese conjunto. Si se tiene el conjunto 10, 12, 68, 9,

40, 97, 33, 14, 15 y 8, la media aritmética de este será 30.6, que no es un promedio representativo,

pues como vemos los datos son muy variables. En éste caso, el cálculo de la dispersión nos daría alto,

significando con ello, que existe alta variabilidad entre los datos.

Para comparar dos o más conjuntos referentes a un mismo fenómeno. Si por ejemplo, tanto el

ingreso promedio mensual de un barrio A como el de un barrio B de una cierta ciudad es $370.000,

pero se sabe además que existe más variabilidad de los ingresos en el barrio A que en el barrio B,

entonces podemos afirmar que el promedio de los ingresos en el barrio A es menos representativo

que en el barrio B., es decir que existe peor distribución del ingreso en el barrio A que en el B.

Rango o recorrido de la variable (R)

R = Xmax - Xmin

Recorrido intercuartílico (RIC)

RIC = Q3 – Q1

51

Desviación del cuartil (QD)

Ejemplo:

Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa que vende al crédito, el auditor

toma una muestra de 11 de las facturas no pagadas. Las sumas que se adeudan a la empresa son:

4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

Desviación Media

Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los valores observados

respecto a la media aritmética de éstas.

Ejemplo:



4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

En este caso los datos están sin tabular, primero debemos calcular la media

�� = 12.45

DM = 6.04

Varianza

Se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con

respecto a su media.

52 Ejemplo:



4 18 11 7 7 10 21 5 33 9 12

Nota: el valor de la varianza no es interpretable, porque su valor están dadas en unidades al

cuadrado.

Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le pregunto por el número de hijos, obteniéndose los

siguientes resultados 2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Se tiene la tabla de distribución de frecuencias, ya realizada anteriormente, de la cual sólo nos

interesa las dos primeras columnas

No olvidemos que la media es 4.3

La varianza para éste conjunto de datos es:

53

Desviación estándar

Se define como la raíz cuadrada de la varianza.

Para el ejemplo anterior, la desviación estándar es:

Coeficiente de Variación

Las medidas de dispersión que vimos anteriormente son “absolutas” y son útiles para describir la

dispersión de un solo conjunto de datos, pero si se quiere comparar más de dos conjuntos de datos

tendremos que usar una medida de dispersión relativa, como el coeficiente de variación; la cual está

definida como el cociente entre la desviación estándar y la media.

Ejemplo:

Se tomaron dos exámenes a estudiantes del primer ciclo en los cursos de matemática y economía,

las notas están sobre 100 puntos. En el curso de matemática la media fue de 72 puntos y una

desviación estándar de 9 puntos; en el curso de economía se obtuvo una media de 80 puntos y

desviación estándar 6 ¿En cuál de los cursos hay mayor dispersión?

Como se puede observar, la mayor dispersión se dio en el curso de matemática.

PROPIEDADES

Propiedad 1

Si todos los valores observados 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son iguales a b (donde b es una constante), entonces

𝑉(𝑥) = 𝑉(𝑏) = 0

Ejemplo:

54 Propiedad 2

Si a cada valor de las observaciones 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 se le suma (o resta) una constante, la varianza del

nuevo conjunto transformado 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝑏, es la misma del conjunto original, o sea 𝑉(𝑦) = 𝑉(𝑥)

Ejemplo:

Propiedad 3

Si a cada valor de las observaciones 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 se le multiplica por una constante diferente de cero,

la varianza del nuevo conjunto transformado 𝑦𝑖 = 𝑎 𝑥𝑖, es la varianza del conjunto original

multiplicado por la constante elevada al cuadrado, es decir 𝑉(𝑦) = 𝑎2𝑉(𝑥)

Ejemplo:

55 EJERCICIOS

1. Como parte de un trabajo de investigación sobre preferencias a ciertas páginas de internet, los estudiantes de la facultad de ingeniería de sistemas eligieron a criterio las páginas web: www.netjoven.pe y www.atractiva.com, con el objetivo de hacer un análisis de variabilidad del número de visitas por día. A continuación se presenta el registro de once días elegidos al azar.

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

N de visitas por día www.netjoven.pe

202 198 236 199 219 204 235 212 197 231 222

N de visitas por día www.atractiva.com

301 245 298 277 235 257 287 257 299 287 247

Cálculos

Medida de resumen Página: www.netjoven.pe Página: www.atractiva.com

Media

Desviación estándar

CV

¿Cuál es más homogéneo?

¿Cuál es más variable?

¿Cuál es menos disperso?

¿Cuál es más heterogéneo?

2.- Establezca, con base estadística, en cuál de las siguientes empresas el salario (en cientos de

nuevos soles) está repartido de forma menos dispersa.

http://www.netjoven.pe/

http://www.atractiva.com/





56 3.- Sean X e Y tales que X = 5 V(X) = 2 Y = 7 V(Y) = 8 Sabiendo que yi = axi + b y que

a>0, determinar los valores de estas dos constantes a y b.

4.- Se cuenta con datos del peso y la estatura de un grupo de 20 niños entre 8 y 10 años, y se desea

saber cuál de las dos variables tiene mayor variabilidad.

57 5.- Los salarios de los obreros en una empresa presentaban en el año 2013 una media de $412 y

desviación estándar de $62 y para el año 2014 la empresa decretó para cada obrero un aumento de

$41, entonces ¿Podríamos decir que la empresa propone una distribución más equitativa de los

salarios de sus trabajadores para este año? Sustente su respuesta.

6.- Los sueldos de 120 trabajadores de una empresa tuvieron un coeficiente de variación de 4% en mayo. Para junio se da un aumento de S/. 50 a todos los trabajadores y el coeficiente de variación baja a 3,2%.

a. Calcule la media y la desviación estándar de los sueldos de mayo.

b. Calcule el dinero necesario para pagar los sueldos de junio.

58 7.- Los sueldos de enero de los 43 empleados de VOLCAN S.A. tienen una media de S/. 1 750 y una desviación estándar de S/. 350. Para octubre la gerencia de RRHH de la empresa ha determinado un incremento de los sueldos y debe decidir entre dos alternativas: Alternativa 1- A cada empleado un incremento de S/. 275 a su sueldo. Alternativa 2- A cada empleado un incremento del 10% a su sueldo más S/. 100. a. Para cada alternativa, calcule cuál sería la nueva media y la nueva desviación estándar de los sueldos.

b. ¿Qué alternativa sería más conveniente para los empleados? Justifique su respuesta.

59

MEDIDAS DE FORMA

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA

Nos indica la asimetría de una que presenta un conjunto de datos (o distribución). Este coeficiente

caracteriza el grado de asimetría de una distribución con respecto a su media.

Para calcular el coeficiente de asimetría se usa la siguiente fórmula:

En función al valor que tome esta se presentarán las siguientes situaciones:

• CAs < 0: Distribución asimétrica hacia la izquierda (asimetría negativa)

• CAs = 0: Distribución simétrica.

• CAs > 0: Distribución asimétrica hacia la derecha (asimetría positiva)

Por ejemplo: El caso de las notas de un examen final.

MEDIDA DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

Se entiende por curtosis, la medida de deformación vertical de una distribución de frecuencias, es

decir la medida de apuntamiento o achatamiento de una distribución. La fórmula a usar es la

siguiente:

60

A manera de aplicación de las medidas de forma tomaremos un ejemplo ya trabajado

anteriormente.

Ejemplo:

A las familias de una comunidad alto andina se le

pregunto por el número de hijos, obteniéndose los


2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Donde: 𝑋 = 4,3 S = 2,71 n = 20

61

TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Comprende un

conjunto de procedimientos que permite determinar el número de resultados de un evento o

experimento aleatorio sin necesidad de utilizar una enumeración e identificación directa de todos los

posibles resultados de dicho evento o experimento.

PRINCIPIO DE ADICIÓN

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2

maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n1 o n2

pueden realizarse alternativamente de n1 + n2 maneras diferentes.

Ejemplo:

Claudio va a comprar el repuesto de su automóvil que se venden en 3 tiendas de La Victoria y 5

tiendas del Rímac. ¿De cuántas maneras diferentes puede adquirir el repuesto?

Por lo tanto Claudio podrá adquirir dicho repuesto de 8 maneras diferentes

Este principio aditivo se generaliza para cualquier número de acciones alternativas a realizar, esto es,

si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede

realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes,

entonces las r acciones alternativas se pueden realizar de n1 + n2 +...+ nr maneras diferentes.

Ejemplo:

Para viajar de Lima al Cusco se puede optar por avión, autobús o tren; existen tres rutas para el

avión, cuatro para el autobús y dos para el tren. ¿Cuántas rutas hay para viajar?

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

El principio multiplicativo es aplicable cuando el experimento se puede descomponer en un conjunto

de acciones secuenciales o independientes, de modo que cada resultado del experimento se

conforma con una posibilidad de cada una de esas acciones.

62 Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2

maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1 x n2 maneras

diferentes.

Ejemplo:

Si Lorena tiene 2 blusas y 3 faldas diferentes, ¿De cuántas maneras se puede vestir de manera

adecuada?

Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si

una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede

realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes,

entonces las r acciones se pueden realizar de n1 x n2 x...x nr maneras diferentes.

Ejemplos:

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas,

suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio de multiplicación, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio.

Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente

quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir

los tres premios.

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras?

No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468 000

Se tendrían 468 000 placas de automóvil.

DIAGRAMA DE ARBOL

Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar todas las posibles maneras

de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes. El árbol se construye a partir de

un nodo, que representa la primera acción a efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como

maneras diferentes se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros

nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas ramas como

63 maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción, considerando la manera en que se

realiza la primera. Y así, sucesivamente.

Ejemplo:

Se tienen en un estante de 3 libros; uno de Álgebra, uno de Contabilidad y otro de Biología. ¿De

cuántas formas distintas se pueden ordenar los libros?

Ω = {ACB, ABC, BAC, BCA, CAB, CBA}

Ejemplo:

Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar, cada

vez, la cara que queda hacia arriba.

64 Ejemplo:

Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un

dólar. El hombre empieza con un dólar y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su

dinero o si gana tres dólares, esto es, si tiene cuatro dólares. Realizar un diagrama de árbol para

dicho experimento aleatorio.

PERMUTACIÓN

Las permutaciones son los diferentes arreglos u ordenamientos que se pueden realizar con una parte

o con todos los elementos de un conjunto.

Permutación lineal.- Son los diferentes arreglos que se hacen en una línea referencial.

Ejemplo:

¿De cuántas maneras diferentes se ordenan A, B, C y D tomados de dos en dos?

Se tienen cuatro elementos: A, B, C y D

Entonces tenemos 12 maneras diferentes de ordenar A, B, C y D

Otra manera

Además se puede expresar

65 En general

Factorial de un número.- Es el producto de todos los números enteros positivos y consecutivos des

de la unidad hasta n. Se denota n!

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x…x (n-1) x n

Ejemplos:

4! = 1 x 2 x 3 x 4

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7

Nota: Por convención se asume que 0! = 1

Permutación Circular.- Es un arreglo u ordenamiento de elementos alrededor de un objeto o

punto de referencia.

Ejemplo:

¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 4 personas alrededor de una mesa circular?

Sean A, B, C y D las personas que se van a ubicar alrededor de la mesa.

Se tiene 6 maneras.

En general

Permutación lineal con elementos repetidos.- Es un ordenamiento lineal cuyos elementos no

todos son distintos entre sí, es decir, hay elementos que se repiten.

Ejemplo:

¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila dos fichas iguales de color negro y

dos fichas iguales de color blanco?

66 Sean las fichas N, N, B y B

Se observa que hay seis maneras diferentes de ordenar.

Otra manera

En general

Ejemplo:

¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CASACA?

Se pueden formar 60 palabras diferentes con la palabra CASACA

COMBINACIÓN

Viene a ser los diferentes grupos que se pueden formar con una parte o todos los elementos de un

conjunto determinado sin considerar el orden de los agrupamientos.

Ejemplo:

¿De cuantas maneras diferentes se pueden agrupar A, B, C y D al tomar de 2 en 2?

Tenemos cuatro elementos, la cual se agrupa de 2 en 2.

Se observa que hay 6 maneras diferentes de agrupar de 2 en 2.

67 Otra manera

Es una combinación de 4 elementos que se toman de 2 en 2 y se obtiene:

En general

Ejemplo:

Un grupo de 7 estudiantes se desea conformar dos comisiones. La primera comisión debe estar

integrada por 4 estudiantes y la segunda comisión por 3 estudiantes. ¿De cuántas maneras diferentes

se puede elegir a los alumnos que deben conformar la primera comisión?

El grupo tiene 7 estudiantes, entonces n = 7

La primera comisión está conformada por 4 estudiantes, entonces k = 4.

68 EJERCICIOS

1.- Un artículo de computo se vende en tres galerías; en el primero se tienen disponibles 4 tiendas,

en el segundo 7 y en el tercero 6 tiendas. ¿De cuántas maneras se puede elegir una tienda para

comprar dicho artículo?

2.- ¿De cuantas maneras pueden ubicarse 8 personas en una banca de capacidad para 5 personas?

3.- Un entrenador de fútbol tiene 16 jugadores a su cargo, de los cuales uno está lesionado y no

puede jugar. ¿De cuántas maneras podrá formar su equipo, si cualquiera de los jugadores puede

desempeñarse en cualquier puesto?

69 4.- En el hipódromo de Monterrico se va alargar una carrera donde competirán 6 caballos. ¿De

cuántas maneras podrán ocupar los primeros 3 puestos? De esta manera se puedan repartir los

premios.

5.- ¿De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de S/.5 y 4 monedas de S/. 2 en una misma

línea?

6.- En el comedor de la ciudad universitaria se ofrece un menú que consiste en una sopa, un

segundo, un postre y una bebida. ¿Cuántos almuerzos son posibles, si podemos elegir 4 tipos de

sopas, 3 tipos de segundo, 5 postres y 4 bebidas?

70 7.- Se debe formar una comisión de tres ingenieros: uno de sistemas, uno de electrónica y otro de

industrial ¿Cuántas posibilidades de formar dicha comisión hay? Si se cuentan con tres de sistemas,

cuatro de electrónica y seis industriales.

71

PROBABILIDADES

El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas

como las que se mencionan a continuación:

¿Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería?

¿Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico?

¿Qué posibilidad hay de que hoy llueva? para llevar mi paraguas o no.

¿Existe alguna probabilidad de que repruebe el examen final?

Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza

representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien una forma sencilla de interpretar la

probabilidad. En este tema lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y

como se utiliza al hacer inferencias.

El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico. El cálculo de

probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que

constituyen la base para la estadística inferencial.

Experimento determinístico

Un experimento determinístico es aquel cuyos resultados del experimento están completamente

determinado y puede describirse mediante una fórmula matemática llamada también modelo

determinístico.

Ejemplos:

Lanzar una pelota en un tanque de agua y ver si flota o se hunde.

Soltar una piedra en el aire.

Experimento no determinístico

Un experimento no determinístico se da cuando los resultados de los experimentos no pueden

predecirse con exactitud antes de realizar el experimento.

Ejemplos:

Lanzar una moneda y observar la cara superior (cara o sello)

Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.

EXPERIMENTO ALEATORIO

En la vida podemos encontrar situaciones que no se pueden predecir, como cuando se realiza un

partido de fútbol, se lanza una moneda, etc. En todos estos casos no sabemos qué resultado se

tendrá y por eso a estas situaciones se les llama experimentos aleatorios.

Un experimento aleatorio, tiene dos propiedades en común:

Uno de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden

especificarse de antemano.

La segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada experimento.

72 Ejemplos:

Conocer el número de alumnos que faltaran a clases, la próxima semana.

Preguntar a un profesor de secundaria la especialidad que tiene (Matemática, Química,

Biología, etc.)

Verificar la legalidad de un billete de $100 (legal o falso).

ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, es el conjunto de todos los resultados

posibles de dicho experimento aleatorio.

Lanzar una moneda y observar la cara superior (cara o sello)

Ω1 = {C, S}

Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.

Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Tiempo de espera hasta ser atendido en el banco.

Ω3 = { t / 0 ≤ t}

EVENTOS

Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio y lo denotaremos

por A, B, C, D, etc.

SUCESO

Un suceso es todo elemento del espacio muestral y lo designaremos por w, x, y, etc.

Ejemplos:

Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Un evento podría ser: A: “ocurre un número par”

A = {2, 4, 6}

Observar el tiempo de vida del foco de una lámpara.

Ω = { t / 0 ≤ t}

Un evento podría ser: B: “el foco dura más de 200 horas”

B = {t / t > 200}

Evento imposible

Evento que no ocurre nunca en un experimento aleatorio. Algunos eventos nunca pueden ocurrir en

el experimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Se simboliza con Ø.

73 Ejemplo:

Sea el evento A: Lanzar dos dados y que la suma del resultado sea 14.

A = Ø

Evento seguro

Evento que “siempre ocurre” en un experimento aleatorio.

Ejemplo:

Sea el evento B: Sacar una bola roja, de una urna que contiene 6 bolas rojas

B = Sacar una bola roja es un evento seguro, pues todas son rojas.

OPERACIÓN CON EVENTOS

Unión de eventos

Dado dos eventos A y B, se llama unión de eventos “A U B” al evento formado por los sucesos que

pertenecen a A o a B ó a ambos.

A U B = {w ϵ Ω / w ϵ A v w ϵ B}

Ejemplo:

Se realiza el experimento de lanzar un dado y se dan los siguientes eventos:

Evento B B: los resultados son mayores o iguales a tres

Evento D D: “los resultados son números impares”

Entonces:

Intersección de eventos

Dado dos eventos A y B, se llama intersección de A con B “A ∩ B” al evento formado por todos los

sucesos favorables a A y a B. Es decir ambos eventos ocurren.

AB = A ∩ B = {w ϵ Ω / w ϵ A ᴧ w ϵ B}

Evento B B: Los resultados son mayores o iguales a tres

74

Evento D D: Los resultados son números impares

Entonces:

Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, se dice que son mutuamente excluyentes

si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro.

A ∩ B = φ

Ejemplo:

Evento C C: Los resultados son números pares.

Evento D D: Los resultados son números impares

Los eventos C y D son mutuamente excluyentes

C ∩ D = φ

Complemento de un evento

Si A es un evento del espacio muestral Ω, se llama complemento de A, al evento formado por todos

los sucesos que no pertenecen a A. Es decir, no ocurre A.

A’= Ᾱ = {w ϵ Ω / w ɇ A}

Ejemplo:

Evento A A: Los resultados son mayores o iguales a tres

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON EVENTOS

75

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

ENFOQUE CLÁSICO DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos (sucesos) favorables y el número

total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos

debe tener preferencia a los demás, lo que hace que sean igualmente posibles.

La probabilidad de un evento A: P(A), es un número, que mide el grado de certeza en el que un

evento A ocurre, y se obtiene con la fórmula conocida como regla de Laplace.

Ejemplo:

En una urna se tienen tres bolas blancas y siete bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando se

extraiga una bola este sea de color rojo?

ENFOQUE DE FRECUENCIA RELATIVA

Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande) y sea nA el número de veces que el

evento A ocurre en los n ensayos (nA < n), entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el

evento A “nA/n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A, o sea:

76

Observación:

La frecuencia relativa de un evento, está comprendido entre 0 y 1, por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1

ENFOQUE SUBJETIVO DE PROBABILIDAD

Este enfoque nos dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por

parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo

esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de

ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de

probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

Ejemplo:

La probabilidad que apruebe el curso es de 0,86

La probabilidad que mi equipo de futbol gane el campeonato es de 60%

AXIOMAS DE PROBABILIDADES

Independientemente de la forma como definimos la probabilidad, esta cumple los siguientes

axiomas.

Axioma 1 0 ≤ P(A) ≤ 1, para cada evento A en Ω

Axioma 2 P(Ω) = 1

Axioma 3 Para cualquier número finito de K eventos mutuamente excluyentes

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes en Ω, entonces

P[A U B] = P[A] + P[B]

TEOREMA DE PROBABILIDADES

Teorema 1 Si φ es el evento imposible, entonces P(φ) = 0

Teorema 2 Para cada evento A, se cumple que

77

P[Ᾱ] = 1 – P[A] o P[A] = 1 - P[Ᾱ]

Teorema 3 Si A y B son eventos tales que

P[A] ≤ P[B]

Teorema 4 Si A y B son dos eventos cualesquiera en Ω, entonces

P[A U B] = P[A] + P[B] - P[A ∩ B]

Teorema 5 Si A, B y C son tres eventos cualesquiera en Ω, entonces

P[A U B U C] = P[A] + P[B] + P[C] - P[A ∩ B] - P[A ∩ C] - P[B ∩ C] + P[A ∩ B ∩ C ]

Ejemplo:

De acuerdo con la tabla ¿cuál es la probabilidad de que una familia escogida al azar tenga un ingreso

familiar a) Entre $20 000 y $40 000, b) menor que $40 000, c) en cada uno de los extremos, o sea

menor que $20 000 o cuanto menos de $100 000?

De la tabla, podemos decir que los eventos (categorías) son mutuamente excluyentes.

Ejemplo:

De 300 estudiantes de la facultad de ingeniería, 100 se encuentran inscritos en matemática y 80

están inscritos en estadística aplicada. Estas cifras incluyen a 30 estudiantes que están inscritos en

ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido de manera aleatoria esté

inscrito en matemática (A) o en estadística aplicada (B)?

Por lo descrito, podemos concluir que los eventos no son mutuamente excluyentes. Lo pedido se

puede expresar como P(A U B).

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

78 EJERCICIOS 1.- Se extraen dos bolas de una urna que se compone de una bola azul, una roja, una verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

a. La primera bola extraída se devuelve a la urna antes de sacar la segunda (con reposición). b. La primera bola extraída NO se devuelve a la urna antes de sacar la segunda (sin reposición).

2.- En una urna que tiene 10 bolas enumeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a. ¿Cuál es el espacio muestral? b. Describe los eventos:

A: "Mayor que 6" B: "No obtener 6" C: "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c. Hallar la probabilidad de los eventos: AUB, A∩B y B'∩A'.

79 3.- Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Calcular la probabilidad de que la suma sea:

a. par b. múltiplo de 3 c. múltiplo de 5 d. mayor que 6

4.- Dos amigos juegan con dos dados. Uno apuesta a obtener suma igual a 6 y el otro apuesta a obtener suma igual a 7. ¿Te parece el juego justo?

80 5.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

6.- Sean A y B los eventos tales que: P[A] = 0,4 P[A' ∩ B] = 0,4 P[A ∩ B] = 0,1

Calcula P[A U B] y P[B]

7.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a. juegue sólo fútbol b. juegue sólo baloncesto c. Practique uno solo de los deportes d. No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.

81

8.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36

saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.

Escogemos uno de los viajeros al azar.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

82 9.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la

televisión. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.

- A 92 personas les gusta leer.

- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

10.- Considere elegir al azar un alumno de cierta universidad, y sea A el evento de que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y B el evento análogo para una MasterCard. Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4 y P(A∩B)=0.25

a. Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas (es decir, la probabilidad del evento A U B)

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo elegido no tenga ninguna de esas tarjetas? c. Describa, en términos de A y B, el evento de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta

Visa, pero no una MasterCard, y luego calcule la probabilidad de este evento.

84

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Cuando se definió las probabilidades, en cualquiera de sus enfoques, se relacionó a todo el espacio

muestral Ω y utilizamos el símbolo P(A) para denotar la probabilidad de estos eventos; podríamos

haber usado el símbolo P(A/Ω), que se lee “probabilidad del evento A dado que ha ocurrido Ω”.

Frecuentemente estamos interesados en obtener la probabilidad de un evento, donde dicho evento

está condicionado a la ocurrencia de un subconjunto del espacio muestral. Es decir, se da que el

evento B ha ocurrido, y se quiere saber la probabilidad que ocurra el evento A.

Se dice que ya ha ocurrido B, entonces se tiene que el espacio muestral Ω se ha restringido al

subconjunto B.

Por lo tanto sería razonable definir “la probabilidad del evento A dado que ha ocurrido B” la cual se

denota por P(A/B)

De la misma manera como se hubiera expresado la P(A) como una probabilidad condicional.

Ejemplo:

Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que se observe un número impar, dado que el

número que ha salido es mayor que 3?

A: “se observa un número impar”

A = {1, 3, 5}

B: “se observa un número mayor que 3”

B = {4, 5, 6}

85 Del gráfico adjunto se calculan algunas probabilidades

P(A∩B) = 1/6 y P(B) = 3/6

Reemplazando en:

Ejemplo:

Una revista especializada en asuntos políticos realizó una encuesta sociológica acerca de la actitud

política (progresista o conservadora), realizada a 375 universitarios de ambos sexos, las cuales están

registradas en la siguiente tabla.

¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar a uno de los universitarios sea progresista dado que se

sabe que es varón?

REGLA DE MULTIPLICACIÓN

De la definición de probabilidad condicional, obtenemos una fórmula para hallar la probabilidad de

la intersección de dos eventos.

Ejemplo:

Una urna contiene 5 bolas rojas y 6 negras; se extraen al azar sucesivamente y sin reposición dos

bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos resulten rojas?

86

La probabilidad pedida es la del evento E. E = A∩B

Entonces P(E) = P(A∩B) = P(A)P(B/A)

El siguiente paso será calcular P(A) y P(B/A)

Con estas probabilidades tenemos la probabilidad del evento pedido.

TEOREMA Si A, B y C son eventos en Ω, entonces P(A∩B∩C) = P(A) P(B/A) P(C/A∩B)

PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL

Se dice que la colección de eventos B1, B2, B3,…BK del espacio muestral Ω representa una partición del

muestral Ω, si cumple las siguientes condiciones:

a) Los eventos B1, B2, B3,…BK son mutuamente excluyentes Bi ∩ Bj = φ i ≠ j i,j=1,2,3 … k

b) Los eventos B1, B2, B3,…BK son colectivamente exhaustivos

TEOREMA PROBABILIDAD TOTAL

Sean B1, B2, B3,…BK una partición del espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento A en Ω, se

cumple:

87

Ejemplo:

En un criadero de aves se tienen palomas de color blanco y negro, además se tienen tres jaulas. En la

jaula 1 hay dos palomas negras y tres blancas, en la jaula 2 cuatro palomas negras y dos blancas y en

la jaula 3 cinco negras y cinco blancas. Se selecciona al azar una jaula y se saca una paloma al azar de

esta jaula. ¿Cuál es la probabilidad que la paloma escogida sea blanca?

El espacio muestral está dado por las palomas de las tres jaulas y estas forman una partición del

espacio muestral.

Ω = B1 U B2 U B3

Además A = B1A U B2A U B3A, entonces por el teorema de probabilidad total

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3)

Como se tiene que escoger una jaula al azar, las tres jaulas tienen la misma posibilidad de ser

seleccionadas, entonces P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3

Si se selecciona la jaula I : P(A/B1) = 3/5

Si se selecciona la jaula II : P(A/B2) = 2/6

Si se selecciona la jaula III : P(A/B3) = 5/10

Reemplazando en el teorema de la probabilidad total

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3)

Supongamos ahora que la paloma elegida aleatoriamente se ve que es blanco. ¿Cuál es la

probabilidad que provenga de la jaula I?

88 Para responder a ello debemos calcular P(B1/A)

El P(A) ya lo calculamos por la probabilidad total y reemplazando los valores, se tiene:

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos B1, B2, B3,…BK forman una partición del espacio muestral Ω y A es un evento cualquiera

de Ω, entonces:

para r = 1, 2, 3… k

Ejemplo:

La probabilidad de que un autobús que va del Callao a Chosica sufra un accidente en un día lluvioso

es del 9% y en día seco del 0.5%. Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos.

Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días ¿cuál será la probabilidad de que haya

ocurrido un accidente: a) en día lluvioso, b) en día soleado?

a) En día lluvioso

89

b) En día soleado

EVENTOS INDEPENDIENTES

En los ejemplos, solía suceder que P(A/B) era distinta a la probabilidad P(A), indicación de que la

información “ocurrió B” produjo un cambio en la probabilidad de la ocurrencia de A. Sin embargo,

hay otras situaciones en las que la probabilidad de que ocurra, o ya haya ocurrido, A no resulta

afectada si se sabe que ocurrió B, así que P(A/B) = P(A). Entonces es natural pensar en A y B como

eventos independientes, lo que significa que la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene

nada que ver con la probabilidad de que ocurra el otro.

En conclusión:

• Dos eventos A y B, se dice que son independientes cuando se cumple que:

P(B|A) = P(B) y P(A|B) = P(A)

• Cuando dos eventos son independientes la probabilidad de su intersección es igual al

producto de las probabilidades de cada uno de ellos.

A y B independientes ⇒ P(A∩B) = P(A)P(B)

Ejemplo

Se sabe que 30% de las lavadoras de cierta compañía requieren servicio mientras está vigente la

garantía, en tanto que sólo 10% de sus secadoras necesitan este servicio. Si alguien compra una

lavadora y una secadora de esta compañía, ¿cuál es la probabilidad de que ambas máquinas

requieran servicio de garantía?

Sea A el evento en el cual la lavadora necesite servicio mientras está vigente la garantía y sea B el

evento definido de manera análoga para la secadora. Entonces, P(A) = 0.30 y P(B) = 0.10. Suponiendo

que las dos máquinas funcionan de modo independiente, la probabilidad deseada es

P(A ∩ B) = P(A) P(B) = (0.30) (0.10) = 0.03

La probabilidad de que ninguna máquina requiera servicio es

P(A’ ∩ B’) = P(A’) P(B’) = (0.70) (0.90) = 0.63

90 EJERCICIOS

1.- Un gato persigue a un ratón. Este puede entrar en uno de los callejones A, B o C. La probabilidad

de que elija cada uno de ellos es del 30%, 50% y 20%, respectivamente. Y de que sea cazado en cada

uno de ellos del 40%, 60% y 10% respectivamente. Calcula la probabilidad de que el gato cace al

ratón. (prob total)

2.- Supongamos, siguiendo con el ejercicio anterior, que vemos al gato perseguir al ratón. Al poco

rato llega con él en la boca, ¿en cuál de los tres caminos es más probable que lo haya cazado?

(bayes)

91 3.- Una comercializadora de ventas de automóviles usados ofrece tres tipos de marca de autos. De

las ventas el 50% son de la marca 1, 30% son de la marca 2 y 20% de la marca 3. Cada fabricante

ofrece un año de garantía en los repuestos y servicio técnico. Se sabe que 25% de los autos de la

marca 1 requieren garantía, en tanto que los porcentajes correspondientes para las marcas 2 y 3 son

20% y 10% respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador elegido al azar tenga un

auto que requiera reparación mientras esté en garantía? (prob total)

4.- El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de

los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50 % de los economistas también, mientras que de los

no ingenieros y no economistas solamente el 20 % ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la

probabilidad de que un directivo elegido al azar sea ingeniero? (bayes)

92 5.- Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de sus tiros desde el punto de lanzamiento de

personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo a canasta. Calcula la probabilidad de que:

a) haga dos puntos b) haga un punto c) no haga ningún punto (princ de multiplicac)

6.- En una empresa hay 200 empleados: 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres

y 35 mujeres. Determina las probabilidades P(Mujer/Fumador) y P(Fumador/Mujer) (prob. condic)

93

7.- Una compañía de prospección petrolera tiene dos proyectos activos, uno en Asia y otro en

Europa. Sea A el evento donde el proyecto asiático tiene éxito y B el evento donde el proyecto

europeo sea exitoso. Suponga que A y B son eventos independientes con P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7.

a. Si fracasa el proyecto asiático, ¿cuál es la probabilidad de que también fracase el proyecto

europeo? Explique su razonamiento.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los proyectos tenga éxito?

c. Dado que por lo menos uno de los dos proyectos es exitoso, ¿Cuál es la probabilidad de que

sólo el proyecto asiático tenga éxito?

94

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Una distribución de probabilidades muestra los posibles resultados de un experimento y la

probabilidad de que cada uno se presente.

Ejemplo:

Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda.

Los posibles resultados son:

Este experimento se esquematiza en la siguiente tabla:

De la tabla obtenemos la distribución de probabilidad.

A la distribución de probabilidades también se le puede acompañar de un gráfico, de esta manera se

puede analizar mejor dicho experimento aleatorio.

95

Características de una distribución de probabilidad

1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1.

2. Los resultados son mutuamente excluyentes.

3. La lista es colectivamente exhaustiva. Así, la suma de las probabilidades de los diversos

eventos es igual a 1.

Algunos experimentos aleatorios dan origen a resultados de índole cuantitativa (estatura, peso o

número de hijos de una familia); otros dan origen a resultados de naturaleza cualitativa (estado civil,

creencia religiosa, género, etc.) A los atributos de este tipo de variables se les puede asignar un

número, por ejemplo en el caso de género (masculino: 1 y femenino: 2)

Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un

resultado determinado.

VARIABLE ALEATORIA

Cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores. A

continuación algunas situaciones.

Si se cuenta el número de alumnos ausente a la clase de estadística, el número puede ser 0,

1, 2, 3… El número de ausencias es una variable aleatoria.

Si se pesan lingotes de oro, los pesos pueden ser 2453 libras, 2456 libras, 2500 libras, etc. El

peso es una variable aleatoria.

El número de focos defectuosos que se puedan contar en una caja de 1000 de estas.

El número de taxis que llegan a la estación del aeropuerto Jorge Chávez al cabo de una hora.

Variable aleatoria discreta.- Es aquella que sólo adopta valores claramente separados. Este tipo de

variables pueden asumir cualquier número finito de valores o una sucesión infinita de valores como

0, 1, 2,…

Por ejemplo

Si hay 100 empleados en una empresa, el recuento de la cantidad de ausentes el lunes sólo

puede ser 0, 1, 2, 3, … 100

Número de automóviles que pasarán por las casetas del pago de peaje en la panamericana

sur un fin de semana: 0, 1, 2, 3,…

96 Variable aleatoria continua.- Estas pueden tomar una infinidad de valores, con ciertas limitaciones.

Por ejemplo

Si se mide algo, como la anchura de una pizarra, la estatura de una persona o la presión de la

llanta de un automóvil.

Los tiempos de vuelos comerciales de Lima al Cusco pueden ser 1.02 horas, 0.987 horas,

1.012 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

Para el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad se define por medio

de una función de probabilidad, denotada por f(x). La función de probabilidad proporciona la

probabilidad para cada valor que puede asumir la variable aleatoria discreta.

Consideremos el ejemplo anterior (número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una

moneda) para poder ilustrar mejor lo explicado:

Nota: En algunos textos la función de probabilidad también lo denota con P(x).

Media

Constituye un valor típico para representar la localización central de una distribución de

probabilidad. Alternativamente se podría decir que es un valor promedio de la larga duración de una

variable aleatoria. Es también conocida como valor esperado.

Se trata del promedio ponderado en el que los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan

con sus correspondientes probabilidades de ocurrir.

Donde P(x) es la probabilidad de un valor particular x.

Nota.- La media o valor esperado también de denota por E(x). Es decir μ = E(x).

97 Varianza y desviación estándar

Describe el grado de dispersión en una distribución de probabilidades.

La desviación estándar “σ” se determina al extraer la raíz cuadrada de la varianza.

Nota.- Una alternativa al cálculo de la varianza es: σ2 = E(x2) – [E(x)]2

Ejemplo:

Luis Sánchez vende automóviles en Maquinarias S.A. Luis sabe que el día de mayores ventas son los

días sábados. Con la experiencia en ventas que tiene llega a elaborar la distribución de

probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.

¿De qué tipo de distribución de probabilidades se trata?

Si la variable aleatoria es el número de automóviles vendidos, entonces se trata de una distribución

de probabilidades discreta.

¿Cuántos automóviles espera vender Luis un sábado normal?

Para ello se debe calcular la media de la distribución de probabilidades, es decir el valor esperado.

Interpretaciones:

Este valor indica que, a lo largo de una gran cantidad de sábados, Luis espera vender un

promedio de 2.1 automóviles un sábado cualquiera.

Si Luis trabaja 10 sábados en un año, puede esperar vender (10)(2.1) ó 21 automóviles solo

los sábados.

¿Cuál es la varianza de la distribución?

Haciendo uso de la tabla, se sistematizan los métodos para el cálculo de la varianza.

98

La desviación estándar:

Interpretación:

Si su compañero José Ángeles tiene el mismo promedio de venta los días sábados (2.1) y una

desviación estándar de 1.830 automóviles, concluiríamos que hay más variabilidad en las

ventas sabatinas de José que en las ventas de Luis (1.830 > 1.136).

99 EJERCICIOS

1.- Dada una variable aleatoria donde su distribución de probabilidades está dada por la siguiente

tabla:

x P(x)

3 0,25

6 0,50

9 0,25

Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de x, es decir E(x), σ2 y σ.

2.- Se presenta la distribución de probabilidad para la variable aleatoria x.

x P(x)

20 0,20

25 0,15

30 0,25

35 0,40

a. ¿Es válida esta distribución de probabilidad? Explique por qué.

b. ¿Qué probabilidad existe de que x sea menor o igual a 25?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?

100 3.- Una prestigiosa universidad realizó un estudio acerca de la cantidad de veces que postularon sus

alumnos hasta ingresar a la universidad. Dicho estudio se realizó el 2013 y la universidad contaba con

4000 alumnos. La información se muestra en la siguiente tabla.

Número de veces

Número de estudiantes

1 309

2 1203

3 2017

4 348

5 123

a. Sea X una variable aleatoria de indica el número de veces que postuló el estudiante hasta

ingresar a la universidad. Muestre la distribución de probabilidades de esta variable

aleatoria.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno haya ingresado luego de 4 intentos?

c. Calcule el valor esperado e interprete, luego obtenga el coeficiente de variación.

101

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En el ámbito profesional tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento

específico. Éste puede ser de éxito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la

producción de un artículo, éste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de interés.

Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial.

ENSAYO DE BERNOULLI

Es cualquier ensayo de algún experimento que conduce sólo a uno de dos resultados mutuamente

excluyentes.

Ejemplo:

Vivo o muerto

Enfermo o saludable

Positivo o negativo

Ganar o perder

………………………….

………………………….

De una sucesión de ensayos de Bernoulli se obtiene la distribución binomial.

La formación de un proceso de Bernoulli se efectúa bajo las siguientes condiciones.

1. Se tiene un número finito de ensayos.

2. Cada ensayo conduce a uno de dos resultados mutuamente excluyentes. Uno de los

resultados posibles se denomina (arbitrariamente) éxito y el otro fracaso.

3. La probabilidad de éxito, representada por p, permanece constante de ensayo a ensayo. La

probabilidad de fracaso es (1-p) que también se representar por q.

4. Los resultados son independientes, es decir, el resultado de cualquier ensayo particular no es

afectado por el resultado del otro ensayo.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Al estudiar la distribución binomial se tiene interés en calcular la probabilidad de obtener k éxitos de

un total de n ensayos de Bernoulli.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Donde:

P(X = k): Es la probabilidad de k éxitos en n ensayos.

X: es la variable aleatoria.

n: número de ensayos de Bernoulli.

p: probabilidad de éxito en un ensayo (q = 1-p)

102

k: número de éxitos. k = 0, 1, 2, 3,…,n

La distribución binomial presenta dos parámetros: n y p. En algunas ocasiones se representa de la

siguiente manera: binomial (n,p)

Esperanza: E(X) = np

Varianza: Var(X) = npq

EJERCICIO

Erick y José se ponen a apostar jugando con dados. Erick dice que si al lanzar el dado 10 veces y

obtiene 3 veces el número 5, José le pagaría S/. 50, caso contrario Erick pagará la misma cantidad a

José ¿Cuál es la probabilidad que gane Erick?

Resolución

Primero, en cada lanzamiento la probabilidad de que Erick obtenga un 5 es 1/6 la cual podríamos

representar con p = 1/6 como la probabilidad de éxito.

Los lanzamientos que se realizan son independientes y además la probabilidad de éxito permanece

constante. Con esas características del experimento aleatorio podríamos decir que cumple las

condiciones de la distribución de probabilidades binomial.

Tenemos:

p=1/6 (probabilidad de éxito)

n= 10 (número de lanzamientos)

k=3 (número de éxitos requeridos para ganar el juego)

EJERCICIO

Un estudiante, que no asiste frecuentemente a clase, queda sorprendido y muy preocupado al

enterarse que ese día es el examen parcial. El examen consta de 8 preguntas y cada pregunta tiene 3

alternativas de opción múltiple. Lo único que le queda a este estudiante es adivinar la alternativa

correcta en cada pregunta. Si para aprobar el examen tiene que responder 5 ó más preguntas

correctamente. ¿Cuál es la probabilidad de que este estudiante apruebe el examen?

Resolución

La probabilidad de éxito en cada pregunta es: p = 1/3 Dado que son ocho preguntas, entonces n=8 y

para aprobar el examen se necesita como mínimo responder correctamente 5 preguntas de las 8,

entonces se tiene que k = 5, 6, 7 y 8.

103 Nos piden:

La probabilidad de aprobar el examen es de 0.08755

104 EJERCICIOS

1.- Un jugador de tenis tiene 2/3 de probabilidad de ganar. Si se jugó 4 partidos, donde cada juego es independiente de los demás. Hallar la probabilidad que gane 2 partidos.

2.- El gerente de producción de la compañía record se encuentra realizando una revisión mensual de

la producción de ollas. Se eligió 10 ollas a la vez y se observa si tiene defectos de fabricación. Se

conoce que el 2% de la producción de ollas tiene defectos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra contenga más de 2 ollas en defectos de

fábrica?

b. ¿Cuál es la probabilidad que ninguna olla en la muestra tenga defectos de fábrica?

105 3.- En una oficina de servicio al cliente se atienden a 100 personas diarias. Por lo general 10 personas

se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3

no hayan recibido un buen servicio.

4.- El 70% de los ejecutivos que asisten a una reunión de directorio llevan una laptop. Si en un

directorio se reúnen 10 ejecutivos.

a. Calcule la probabilidad de que al menos tres ejecutivos no lleven su laptop.

b. ¿Cuál es el número esperado de laptops que llevarán los ejecutivos a la reunión?

106 5.- Una empresa cuando postula a un contrato tiene 1/4 de probabilidad de ganar. Si la empresa

postula a 6 contratos.

a. ¿Cuál es la probabilidad que gane más de 3 contratos?

b. Calcule cuantos contratos espera ganar.

107

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson (1781-1840),

aunque ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre (1667-1754) como una forma

límite de la distribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un número

grande de repeticiones. Más adelante se detallará dicho límite o aproximación a la distribución

binomial.

La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre aleatoriamente

en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias del evento en un

intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta que toma valores enteros

no negativos (0, 1, 2,...)

El concepto de evento “raro” o “poco frecuente” debe ser entendido en el sentido de que la

probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta.

UTILIDAD

1. La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de

ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

2. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

3. Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es

pequeña.

4. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un

segmento n dado como por ejemplo: distancia, área, volumen o tiempo definido.

Ejemplos:

La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.

Número de fallas en la superficie de una cerámica rectangular.

Número de bacterias en un volumen de un m3 de agua.

Número de accidentes de trabajo que ocurren en una fábrica durante una semana.

El número de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1 hora.

El número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre.

CONDICIONES

Para que una variable siga una distribución de Poisson deben cumplir las siguientes condiciones:

1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un milisegundo) la probabilidad de que ocurra un

evento es proporcional al tamaño del intervalo.

2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es tan

reducida que, a efectos prácticos, se puede considerar nula.

3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de lo que ocurra en cualquier

otro intervalo pequeño que no se solape con aquél.

Estas propiedades pueden resumirse en que el proceso que genera una distribución de Poisson es

estable (produce, a largo plazo, un número medio de sucesos constante por unidad de observación) y

108 no tiene memoria (conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el número de

sucesos en el siguiente).

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Donde:

P(X=k): Es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.

λ: Número promedio de ocurrencias esperadas por unidad de tiempo o de espacio.

e: Tiene un valor aproximado de 2.71828183…

k: Es el número de ocurrencias; k = 0, 1, 2, 3,…

Nota.- El parámetro de la distribución, λ, se le conoce también como “la tasa de ocurrencia” del

fenómeno que se observa.

Esperanza: E(x) = λ

Varianza: Var (x) = λ

La distribución de Poisson de parámetro λ se puede utilizar como una aproximación de la Binomial

(n; p), si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad de éxito p es pequeña, siendo λ = np;

podemos considerar que la aproximación Poisson-binomial es “buena” si n ≥ 20 y p ≤ 0,05 y “muy

buena” si n ≥ 100 y p ≤ 0,01.

EJERCICIO

La gerencia de un banco desea conocer información relacionado con la cantidad de personas que se

acercan a retirar dinero de uno de sus cajeros automáticos un miércoles por la mañana. Si se tiene

información que el número promedio de personas que llegan al cajero en un periodo de 15 minutos

es 10. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 personas lleguen al cajero en un periodo de 15 minutos?

Resolución

En este caso la probabilidad pedida es para un periodo de 15 minutos que coincide con la

información que se tiene (un promedio de 10 personas en un periodo de 15 minutos) por lo tanto

tomaremos λ = 10 y k = 5. Reemplazando en la distribución de probabilidad Poisson.

La probabilidad de que 5 personas lleguen al cajero en un periodo de 15 minutos es de 0,0378

Siguiendo el ejercicio anterior ¿Cuál es la probabilidad que llegue al cajero una persona en un

periodo de 3 minutos?

En este caso sería un error tomar el λ=10, porque la pregunta es para un periodo de 3 minutos

(antes era de 15 minutos)

109 Para calcular dicha probabilidad se tendría que calcular el nuevo valor de λ, esto se podría hacer

mediante una regla de tres simples.

En este caso el número promedio de personas que llegan al cajero en un periodo de 3 minutos es 2,

es decir λ = 2.

A la pregunta ¿Cuál es la probabilidad que llegue al cajero una persona en un periodo de 3 minutos?

Se tiene que k = 1 y λ = 2.

La probabilidad que llegue al cajero una persona en un periodo de 3 minutos es de 0,271

EJERCICIO

A una empresa de peajes le interesa saber de defectos importantes un mes después de

repavimentarla. Si la empresa tiene información que la cantidad de defectos importantes ocurre con

una tasa media de 2 por 5 kilometro de autopista. ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar ningún

defecto en un kilometro de autopista?

Resolución

En este caso el número de defectos en la autopista por cada kilómetro es de 2/5, es decir λ = 2/5.

Entonces la probabilidad de no encontrar ningún defecto en un kilómetro de autopista se calcula con

k = 0 y λ = 2/5

EJERCICIO

La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0,02 por cada día

de trabajo. Si se trabajan 300 días al año. ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes al año?

Resolución

En este caso dicha probabilidad se puede calcular con la distribución binomial con parámetros p =

0,02 y n = 300 como nos piden 3 accidentes al año, entonces k = 3.

110

Para hacer uso de la aproximación Poisson-binomial se debe verificar ciertas condiciones: p=0,02 ≤

0,05 y n=300 ≥ 20 podríamos decir que la aproximación será buena.

Calculamos la probabilidad mediante la distribución Poisson, para ello el parámetro λ lo calculamos

como λ = n*p = 300*0,02 = 6

Nota: como se puede ver la diferencia (0,0883 vs 0,0892) es por milésimas.

111 EJERCICIOS

1.- Al departamento de reservaciones de cierta Aerolínea llegan en promedio 30 llamadas por hora.

a. ¿Cuál es la probabilidad de recibir 3 llamadas en un intervalo de 5 minutos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de no recibir llamada alguna en un intervalo de 2 minutos?

2.- En una academia, las llamadas entran con una frecuencia de una cada dos minutos. ¿Cuál es la

probabilidad de recibir 3 llamadas en 5 minutos? y ¿Cuántas llamadas se espera recibir en 30

minutos?

3.- El número promedio de camiones que transporta azúcar que llegan a un puerto del norte del país

es de 3 por hora. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 4 camiones por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que en una hora determinada se tenga que regresar los camiones?

112

4.- Se supone que el número de defectos en tela de una determinada fábrica de producción es de

0,15 por metro cuadrado:

a. Calcular la probabilidad de tener 3 defectos en un metro cuadrado.

b. Calcular la probabilidad de tener 1 defecto en cinco metros cuadrados.

c. Calcular la probabilidad de que no haya defectos en 8 metros cuadrados.

113 5.- Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica,

inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote

están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra, menos de tres estén con defectos?

114

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

La distribución Hipergeométrica surge en situaciones en donde el modelo aproximado de

probabilidad se corresponde con muestreo sin reemplazamiento de una población dicotómica (Éxito

y Fracaso) finita. Concretamente, las suposiciones que llevan a considerar esta distribución son:

La población o conjunto de donde deba hacerse el muestreo consta de N individuos o

elementos a seleccionar.

Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F).

Se selecciona una muestra de n individuos entre los r individuos marcados como éxito y los

(N − r) restantes marcados como fracaso.

La diferencia entre la distribución binomial y la distribución hipergeométrica está en la forma en que

se realiza el muestreo. En el caso de la binomial se requiere independencia entre las pruebas, es

decir, el muestreo se realiza con reemplazamiento. Por otro lado, la distribución hipergeométrica no

requiere independencia y el muestreo se realiza sin reemplazamiento. Las aplicaciones de la

distribución hipergeométrica se encuentran en muchas áreas, con gran uso en control de calidad.

Una variable aleatoria X tiene una distribución Hipergeométrica, si X representa: “El número de

individuos de un total de n con cierta característica (éxito) si en N hay un total de r"

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Para k = 0, 1, 2,. . . , n k ≤ r y n – k ≤ N - r

La distribución hipergeométrica presenta tres parámetros: N, r y n. En algunas ocasiones se

representa de la siguiente manera: X H (N, r, n)

Esperanza:

Varianza:

115 EJERCICIO

Un fabricante de dispositivos eléctricos para automóviles los empaqueta en lotes de 25. El

comprador los inspecciona tomando 3 dispositivos y acepta un lote si encuentra menos de dos

dispositivos defectuosos.

a. Calcular la probabilidad de que el comprador acepte un lote con 6 dispositivos defectuosos.

b. ¿Cuál es el número esperado y la varianza de los dispositivos defectuosos en los 3 inspeccionados?

Resolución

Se tiene un conjunto de N = 25 dispositivos, en los que hay r = 6 defectuosos, y N – r = 19 no

defectuosos. Extraemos n = 3 sin reemplazo. Considerando la variable aleatoria: X = “numero de

dispositivos defectuosos en los 3 seleccionados”

X H (N = 25, r = 6, n = 3)

116 EJERCICIOS

1.- Como parte de un estudio de la contaminación del aire, un inspector decide examinar la emisión

de gases de seis de los 24 camiones de carga de una compañía. Si cuatro de los camiones de la

compañía emiten cantidades excesivas de contaminantes, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno

de ellos sea incluido en la muestra del inspector?

2.- Entre los 120 aspirantes para ocupar un empleo, sólo 80 están realmente calificados para hacerlo.

Si se selecciona al azar cinco de estos aspirantes (uno después de otro) para realizar una entrevista “a

fondo”, determine la probabilidad de que dos de los cinco estén para el trabajo.

117 3.- Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra tomada al azar de dos baterías para

laptops de cada lote de 18 unidades que llega y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones

de funcionamiento; en caso contrario, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al distribuidor.

¿Cuáles son las probabilidades de que este lote sea aceptado sin mayor inspección si contiene

a.- tres baterías que no están en buenas condiciones de funcionamiento.

b.- Once de las baterías en malas condiciones de funcionamiento?

4.- ¿Cuál es la probabilidad de que un auditor fiscal halle sólo dos declaraciones de impuestos sobre

la renta con deducciones ilegítimas, si selecciona al azar cinco declaraciones de entre 15 de las cuales

nueve contienen deducciones ilegítimas?

118

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA

La diferencia fundamental entre las variables aleatorias discretas y las continuas radica en la manera

de calcular las probabilidades. Para las primeras, la función de probabilidad f(x) proporciona la

probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor particular. Con las segundas, el homólogo de

la función de probabilidad es la función de densidad de probabilidad, que también se denota por

f(x). La diferencia estriba en que la función de densidad de probabilidad no proporciona las

probabilidades directamente. Sin embargo, el área bajo la gráfica f(x) que corresponde a un

intervalo dado representa la probabilidad de que la variable aleatoria continua x asuma un valor

dentro de ese intervalo. Esto es, que las probabilidades se obtendrán en su mayoría haciendo uso de

las integrales (siempre y cuando estas existan)

Para cualquier constante real a y b con a ≤ b

Nota: Siendo f(x) una función de distribución de probabilidad, entonces se debe cumplir que

PROPIEDAD

Si x es una variable aleatoria continua, además a y b son dos constantes reales con a ≤ b, entonces

P(a ≤ x ≤ b) = P(a ≤ x < b) = P(a < x ≤ b) = P(a < x < b)

EJEMPLO APLICATIVO

El recorrido (en miles de kilómetros) de los neumáticos hasta que

se desgaste el dibujo es una variable aleatoria cuya función de

densidad de probabilidad está dada por

Obtenga la probabilidad de que uno de estos neumáticos se desgastará cuando mucho a 19 000 km.

Resolución

Lo que nos piden es: P (0 < x ≤ 19)

119

ESPERANZA O VALOR ESPERADO

En el caso de variables aleatorias continuas la esperanza se calcula de la siguiente manera:

Nota.- El cálculo de la varianza se podrá calcular mediante σ2 = E(x2) – [E(x)]2

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME

Consideremos la variable aleatoria x que representa el tiempo de vuelo de un avión que viaja de

Lima al Cusco. Supóngase que este tiempo puede ser cualquier valor en el intervalo de 60 y 80

minutos. Dado que la variable aleatoria puede asumir cualquier valor en ese intervalo, x es una

variable aleatoria continua.

Supongamos además que se cuenta con suficientes datos reales sobre los vuelos para concluir que la

probabilidad de que el tiempo de vuelo esté dentro de cualquier intervalo de 1 minuto es igual a la

probabilidad de que esté dentro de cualquier otro intervalo de 1 minuto contenido dentro del

intervalo de 60 a 80 minutos. Como cada intervalo de 1 minuto es igualmente probable, se dice que

la variable aleatoria x tiene una probabilidad de distribución uniforme.

La función de densidad de probabilidad, que define la distribución uniforme para la variable

aleatoria del tiempo de vuelo es:

120 Definida la función de densidad de probabilidad podríamos decir que es una función constante

(uniforme) en el intervalo de 60 a 80, cuya gráfica se representaría de la siguiente forma:

EN GENERAL

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD UNIFORME

Esperanza:

Varianza:

Retomando el ejemplo anterior:

Se podría plantear la siguiente pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté

entre 65 y 70 minutos? En este caso lo que podríamos hacer es usar las integrales, pero no será

necesario (debido a la simplicidad de la función) ya que el área bajo la gráfica de la función es un

rectángulo.

La esperanza (o valor esperado) del tiempo de vuelo de Lima a Cusco es de 70 minutos.

La varianza es:

121 EJERCICIOS

1.- La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria x está dada por

Determine k y P (0.5 ≤ x ≤ 1)

2.- El retraso o adelanto (en minutos) de un vuelo de AeroLand a Lima es una variable aleatoria cuya

densidad de probabilidad está dada por

donde los valores negativos son indicativos de que el vuelo llega adelantado y los valores positivos

señalan que el vuelo llega retrasado. Determine las probabilidades de que uno de estos vuelos

llegará

122

a) Cuando menos dos minutos antes

b) Cuando menos un minuto retrasado

c) Entre uno y tres minutos antes

d) Exactamente cinco minutos tarde

e) Calcule E(x)

3.- La variable aleatoria x está distribuida de manera uniforme entre 15 y 25.

a) Trace la gráfica de la función de densidad de probabilidad.

b) Calcule P(x<21)

c) Estime P(18<x<22)

d) Calcule la E(x) y la Var(x)

123

4.- La distancia de lanzamiento de los 100 mejores golfistas del tour PGA está entre 284.7 y 310.6

yardas (Golfweek, 29 de marzo de 2003). Suponga que la distancia de lanzamiento de estos

deportistas está distribuida de manera uniforme a lo largo de este intervalo.

a) Proporcione una expresión matemática para la función de densidad de probabilidad de la

distancia de lanzamiento.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia de lanzamiento de uno de estos golfistas sea

menor 290 yardas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta distancia de lanzamiento sea como mínimo de 300

yardas?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia de lanzamiento esté entre 290 y 305 yardas?

e) ¿Cuántos de estos golfistas lanzan la pelota cuando menos 290 yardas?

125

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL

La distribución de probabilidad exponencial puede usarse para variables como:

El tiempo entre la llegada de un automóvil a un auto lavado.

La distancia entre dos defectos importantes en una carretera.

Tiempo de espera hasta ser atendido en la ventanilla de un banco.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL

Esperanza:

Varianza:

126 Ejemplo:

Supongamos que x representa el tiempo de carga para un camión en el muelle Chalaco y sigue una

distribución exponencial. Si la media, o promedio, del tiempo de carga es 20 minutos (θ = 20), la

función de densidad de probabilidad es:

Cálculo de probabilidades para la distribución exponencial

Como en toda distribución de probabilidad de variable continua, el área bajo la curva

correspondiente a un intervalo, proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un

valor en ese intervalo. Esta probabilidad, como se dijo anteriormente, se puede calcular mediante

integrales.

Se puede obtener las probabilidades exponenciales de una forma más directa, haciendo uso de las

probabilidades acumuladas, cuya fórmula está dada por:

donde x0 es un valor especifico de la variable aleatoria x.

En ejemplo, del muelle Chalaco; Si se quisiera calcular la probabilidad de que cargar un camión tarde

15 minutos o menos, se procede de la siguiente manera:

¿Cuál es la probabilidad de que la carga del camión tarde 15 a 24 minutos?

Lo pedido se puede expresar como:

Por lo tanto, la probabilidad de que la carga del camión tarde 15 a 24 minutos es:

127 Gráficamente:

RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES DE POISSON Y EXPONENCIAL

Si la distribución de Poisson proporciona una descripción apropiada del número de

ocurrencias por intervalo, la distribución exponencial provee una descripción de la duración

del intervalo entre ocurrencias.

Suponga que el número de automóviles que llegan a un autolavado durante una hora se describe por

medio de una distribución de probabilidad de Poisson con una media de 5 automóviles por hora. La

función de probabilidad de Poisson que da la probabilidad de x llegadas por hora es:

Como el número medio de arribos es de 5 automóviles por hora, el tiempo medio de los vehículos es

Por tanto, la distribución exponencial correspondiente que describe el tiempo entre las llegadas

tiene una media de θ = 0.2 hora por automóvil; como resultado, la función de densidad de

probabilidad exponencial es

128 EJERCICIOS

1.- Considere la función de densidad de probabilidad exponencial siguiente.

para x ≥ 0

a) Calcule P( x ≤ 3 )

b) Determine P( x ≥ 5 )

c) Calcule P( 2 ≤ x ≤ 6 )

2.- El tiempo entre las llegadas de los vehículos en la intersección de la Av. Lima con el Jr. Junín sigue

una distribución de probabilidad exponencial con una media de 10 segundos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de llegada entre los vehículos sea menor a 9

segundos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de 20 ó más segundos entre las llegadas de vehículos?

130

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre

indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos

fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables

asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la distribución normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie.

Ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros.

Características fisiológicas, por ejemplo: efecto de una misma dosis de fármaco a distintos

pacientes, pérdida de peso por alguna dieta.

Caracteres sociológicos, ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de

individuos, puntuación de exámenes.

Características psicológicas, por ejemplo: coeficiente intelectual, grado de adaptación a un

medio, niveles de estrés.

131

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD NORMAL

Esperanza:

Varianza:

Si la variable aleatoria está asociada a una distribución normal, se denota de la siguiente manera

X ~ N(μ, σ²)

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

La distribución normal con media μ = 0 y varianza σ² = 1 se conoce como distribución normal

estándar y su función de densidad es:

Para calcular las probabilidades se tiene que integrar la función de densidad en un intervalo del

recorrido de la variable aleatoria.

En este caso estamos calculando la probabilidad acumulada de - ∞ hasta un valor específico z.

Para evitar estos cálculos engorrosos existen tablas que nos facilitan estos cálculos.

132 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Si X N (0,1)

Ejemplos:

¿Cómo hacemos si se quiere calcular probabilidades de una variable aleatoria que sigue una

distribución normal con media μ y varianza σ²?

Es decir, cuando la variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad

133 En este caso a partir de la función de distribución normal realizamos un artificio para que este se

pueda calcular mediante una función de distribución normal estándar como ya sabemos. A este

artificio se le conoce como estandarización.

Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria asociada a una distribución normal con media 2 y varianza 9, es decir X

N(2 ; 9). Calcular la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a 2.5 ó sea P(x ≤ 2,5)

EJERCICIO

El peso en Kg de los habitantes de una determinada población sigue una distribución normal de

media 72 y varianza 7. Calcule la probabilidad de que un individuo de la población pese menos de 80

kg.

Resolución: Considerando la variable aleatoria X como “el peso en Kg de los habitantes de una

población”

Piden:

EJERCICIO

Las calificaciones del examen de ingreso a una universidad, están distribuidos normalmente con una

media de 75 puntos y una desviación estándar de 5 puntos. Calcular la probabilidad de que al elegir a

un alumno al azar, este haya obtenido un puntaje

a. Mayor a 82 puntos.

b. Menor a 73 puntos.

c. Entre 68 y 81 puntos.

Resolución:

Parte a Nos piden: P(x > 82)

134

Parte b

Nos piden: P(x < 73)

Parte c Nos piden: P(68 < x < 81)

135 EJERCICIOS

1.- Una empresa paga a sus empleados una remuneración promedio de 800 nuevos soles mensuales

con una desviación estándar de 90 nuevos soles, se sabe que las remuneraciones sigue una

distribución normal.

a. ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre 750 a menos de 900 nuevos

soles?

b. Si se llegase a seleccionar al 5% de trabajadores con mayores salarios de la empresa, de ese

grupo ¿cuál sería el menor valor salarial?

2.- Una compañía de refrescos está determinando el nivel de llenado para las nuevas máquinas

automáticas. El número de onzas de llenado sigue una distribución normal con una desviación

estándar de 0.2 onzas. ¿Cuál debe ser el valor de la media que se establezca para que los envases de

ocho onzas se sobrellenen una vez en mil?

136

3.- Una empresa que fabrica focos indica a sus clientes que la duración de focos para interiores del

hogar tiene una distribución normal con una media de 2400 horas y desviación estándar 100 horas. Si

una tienda comercializadora compro 2000 de estos focos. Calcule e interprete:

a. ¿Cuántos focos duraran menos de 2000 horas?

b. ¿Cuántos focos duraran entre 2350 y 2500 horas?

137 4.- La venta de gasolina de un grifo ubicado en la Av. Arequipa sigue una distribución normal con un

promedio de 40 galones en una hora y con una desviación estándar de 5,4 galones. ¿Cuál es la

probabilidad que en una hora se venda más de 42 galones?

5.- Los promedio de las calificaciones de los alumnos de secundaria sigue una distribución normal

con un promedio de 12 y una desviación estándar de 1,2.

a. Calcule la probabilidad que al seleccionar un alumno tenga menos de 13 de nota.

b. ¿Cual debe de ser la mínima calificación aprobatoria si solamente se desea que el 60% de los

estudiantes pruebe?

138 6.- Se sabe que los gastos semanales efectuados por las familias sigue una distribución normal con

una media de 350 nuevos soles y una desviación estándar de 75.

a. ¿Cuántas familias gastan menos de 300 nuevos soles?

b. ¿Cuántas familias gastan entre 380 y 400 nuevos soles?

c. Si una familia presupuesto para la siguiente semana de 330 nuevos soles ¿Cuál es la

probabilidad de que los gastos reales sean mayores a los presupuestados?

139

APROXIMACIÓN NORMAL DE LAS PROBABILIDADES BINOMIALES

Recordemos que un experimento binomial consiste en una secuencia de n ensayos (de Bernoulli)

independientes, idénticos, cada uno con dos resultados posibles: un éxito o fracaso, con la misma

probabilidad de éxito para cada ensayo.

Cuando el número de ensayos es grande, es difícil evaluar la función de probabilidad binomial a

mano o con una calculadora. En los caso que np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5, la distribución normal proporciona

una aproximación fácil de usar de las probabilidades binomiales.

Cuando se usa la aproximación normal a la binomial, se establece que

Ejemplo

En una empresa comercializadora de artículos de ferretería se cometen errores en el 10% de las

facturaciones realizadas, debido a la rotación exagerada de su personal. Se tomo una muestra de

100 facturas y se quiere calcular la probabilidad de que 12 contengan errores. Es decir, se desea

determinar la probabilidad binomial de 12 éxitos en 100 ensayos.

Al aplicar la aproximación normal en este caso, se establece

Como sabemos la distribución normal está asociada a una variable aleatoria continua y la binomial a

una discreta. Por tanto, para aproximar la probabilidad binomial de 12 éxitos, se calcula el área bajo

la curva normal correspondiente entre 11.5 y 12.5. El 0.5 que se resta y suma del 12 se llama factor

de corrección de continuidad.

El factor de corrección se debe porque se está utilizando una distribución continua para aproximar

una distribución discreta.

Por tanto, P(x = 12) para la distribución binomial discreta se aproxima por P(11.5 ≤ x ≤ 12.5) para una

distribución normal continua.

Por tanto, el área entre 11.5 y 12.5 es 0.1052 (= 0.7967 – 0.6915)

140

La aproximación normal a la probabilidad de 12 éxitos en n ensayos es 0.1052

EJERCICIO

1.- Un hotel de un centro vacacional en Máncora tiene 150 habitaciones. En los meses de verano, la

ocupación del hotel es de aproximadamente 75%.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos la mitad de las habitaciones esté ocupada en un

día determinado?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que 120 o más habitaciones estén ocupadas en un día

determinado?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que 70 o menos estén ocupadas en tal día?

141

MUESTREO

El muestreo es una herramienta de la investigación científica, cuya función básica es determinar que

parte de una población debe examinarse, con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población.

Se denomina censo al recuento de individuos que conforman una población estadística, definida

como un conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones.

Establecer contacto con toda la población requeriría mucho tiempo.

El costo de estudiar todos los elementos de una población resultaría prohibitivo.

142

Es imposible verificar de manera física todos los elementos de la población.

Algunas pruebas son de naturaleza destructiva.

El muestreo debe lograr una representación adecuada de la población, en la que se reproduzca de la

mejor manera los rasgos esenciales de dicha población que son importantes para la investigación.

Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe de reflejar las similitudes y

diferencias encontradas en la población, es decir ejemplificar las características de ésta.

Existen diferentes criterios de clasificación de los diferentes tipos de muestreo, aunque en general

pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos de muestreo probabilísticos y métodos de

muestreo no probabilísticos.

143 MUESTREO PROBABILISTICO

Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos que se basan en el principio de

equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de

ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de

tamaño n tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.

La ventaja del muestreo probabilístico estriba en que, por lo general, se identifica la distribución de

muestreo del estadístico muestral correspondiente. La distribución de muestreo permite plantear

afirmaciones probabilísticas acerca del error asociado con el uso de los resultados muestrales al

hacer inferencias de la población.

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (MAS)

El muestreo aleatorio simple selecciona muestras mediante métodos que permiten que cada posible

muestra tenga una igual probabilidad de ser seleccionada y que cada elemento de la población total

tenga una oportunidad igual de ser incluido en la muestra.

Ejemplo

Se tiene un grupo de trabajo del curso de Estadística el cual lo constituyen cuatro integrantes (A, B, C

y D), se desea seleccionar a dos de estos para la búsqueda de información en la biblioteca nacional.

El procedimiento para la obtención de la muestra es la siguiente:

1.- Se asigna un número a cada individuo de la población.

144 2.- A través de algún medio mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios,

números aleatorios generados con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como

sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.

Ejemplo

A manera de ejemplo, seleccionemos una muestra a partir del listado de alumnos matriculados en el

curso.

Como se tiene la información de todos los alumnos del aula, podemos seleccionar a ocho estudiantes

(muestra de tamaño 8) mediante MAS. Haremos uso del Excel para generar los números aleatorios.

145

MUESTREO SISTEMÁTICO

En el muestreo sistemático, los elementos son seleccionados de la población dentro de un intervalo

uniforme que se mide con respecto al tiempo, al ordeno o al espacio.

Aun cuando este tipo de muestreo puede ser inapropiado cuando los elementos entran en un patrón

secuencial, este método puede requerir menos tiempo y, algunas veces, tiene como resultado un

costo menor que el método de muestreo aleatorio simple.

La obtención de una muestra sistemática de tamaño n de una población de N elementos se consigue

mediante el siguiente procedimiento.

Conseguir un listado ordenado de los N elementos de la población.

Determinar el tamaño muestral n.

Definir el tamaño del salto sistemático k dado por k = N/n.

Elegir un número aleatorio α entre 1 y k (α =arranque aleatorio). Este número permite

obtener la primera unidad muestral.

A partir de la posición α, dando saltos de k unidades, obtendremos los elementos que

conformaran la muestra.

Ejemplo

A partir del listado de 30 alumnos, seleccionar una muestra de tamaño 6 con el método de muestreo

sistemático.

Secuencia

Listado de N = 30 alumnos

Tamaño de la muestra n = 6

Tamaño del salto sistemático k = 30/6 = 5

Elección del arranque aleatorio α (entre 1 y 5, usando el MAS) α = 2

146 Luego se tiene los alumnos que conforman la muestra de tamaño 6.

MUESTREO ESTRATIFICADO

En el muestreo estratificado los elementos de la población primero se dividen en grupos, a los que se

les llama estratos, de manera que cada elemento pertenezca a uno y sólo un estrato. La base para la

formación de los estratos, que pueden ser departamento, edad, tipo de industria etc., está a

discreción de las personas que diseña la muestra. Sin embargo, se obtienen mejores resultados

cuando los elementos que lo forman son lo más parecido posible (homogeneidad dentro de los

estratos).

Una vez formado los estratos utilizamos uno de los dos planteamientos:

o Seleccionar aleatoriamente, en cada estrato, un número específico de elementos

correspondiente a la proporción del mismo en relación con la población completa.

o Extraemos el mismo número de elementos de cada estrato y después ponderamos los

resultados considerando la proporción que el estrato representa con respecto a la población

total.

Supongamos que los pacientes de un médico están divididos en cuatro grupos de acuerdo con su

edad, como indica la tabla.

El médico desea averiguar cuantas horas duermen sus pacientes. Para obtener una estimación de

esta característica de la población, podría tomar una muestra aleatoria de cada uno de los cuatro

grupos de edades y ponderar las muestras de acuerdo con el porcentaje de pacientes en ese grupo.

Nota:

La ventaja de las muestras estratificadas es que, cuando se diseñan adecuadamente, reflejan de

manera más precisa las características de la población de la cual fueron elegidas, en comparación con

otro tipo de muestras.

MUESTREO POR CONGLOMERADOS

En el muestreo por conglomerado (o clusters) los elementos de la población primero se dividen en

grupos separados, llamados conglomerados o clusters. Cada elemento pertenece a uno y sólo un

conglomerado. Se toma una muestra aleatoria simple de los conglomerados. Todos los elementos en

cada conglomerado muestreado forman la muestra.

147 Este muestreo tiende a proporcionar mejores resultados cuando los elementos dentro de los

conglomerados no son semejantes. Lo ideal es que cada conglomerado sea una representación, a

pequeña escala, de la población completa. Si todos son semejantes en este aspecto, tomando en la

muestra un número pequeño de conglomerados, se obtendrá una buena estimación de los

parámetros poblacionales.

Una de las principales aplicaciones del muestreo por conglomerados es el muestreo de áreas, en el

que los conglomerados son las manzanas de una ciudad u otras zonas bien definidas.

Si en una investigación de mercado tiene la intención de determinar por muestreo, el número

promedio de televisores por casa en una ciudad grande, podrían usar un mapa de la ciudad para

dividir el territorio en manzanas y luego escoger un cierto número de éstas (conglomerados) para

entrevistar a sus habitantes. Cada casa pertenecientes a cada una de estas manzanas sería

considerada para entrevistar a sus habitantes.

148 EJERCICIOS

1.- Una empresa proveedora de servicio de cable desea seleccionar una muestra de tamaño 10 de

toda una manzana de la urbanización Miramar del distrito de San miguel, para posteriormente hacer

un estudio de mercadeo. En la tabla adjunta se tiene la información del número de televisores que

poseen en cada vivienda de la manzana.

Si usted es el encargado de esta selección, obtenga los vecinos que compondrán la muestra

mediante la técnica de muestreo aleatorio simple y el sistemático.

149 2.- Se tiene el registro de notas de los alumnos del curso de Estadística Aplicada. Seleccione

mediante el MAS y el sistemático una muestra de tamaño 6 para luego obtener el promedio de notas

de la muestra seleccionada con ambos métodos.

150 3.- El encargado de recursos humanos de un empresa está interesado en saber el número promedio

de hijos que tienen sus empleado que laboran en tres turnos (1er turno: 6am a 2pm, 2do turno: 2pm

a 10pm y 3er turno: 10pm a 6am). Mediante el muestreo estratificado, calcule dicho promedio.

151

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

En la sesión anterior hemos obtenido muestras acerca de la estatura de los estudiantes (como indica

la tabla). Lo que pretendemos ahora es hacer una comparación entre los valores de la media

muestral y obtener la distribución de la media muestral.

Se observa que los valores de cada muestra difieren del valor poblacional. Y además solo hemos

obtenido tres muestras, imaginemos obtener 100 muestras y calculamos sus medias, es de hecho

que la gran mayoría de estos difieren del valor verdadero del parámetro. Si a las medias de estas 100

muestras las organizamos en una tabla de distribución de frecuencias para luego graficarlas

mediante un Histograma de frecuencias relativas podríamos sacar algunas conclusiones.

En este caso las �� se convierten en variables aleatorias.

Recordemos que en distintas muestras aleatorias simples se obtuvieron valores diferentes para cada

media muestral ��, como cada variable aleatoria �� puede tener muchos valores, suele ser de interés

conocer la media de todos los valores de �� que se obtiene con las diferentes muestras aleatorias. A

la media de la variable aleatoria �� se conoce como valor esperado de �� cuya notación es: E(��) = μ

la cual se nos indica que: “Se espera que el valor esperado de �� sea igual a la media poblacional μ”

152 La varianza de la media muestral ��:

NOTA:

En el caso de que la población sea finita la varianza estará dada por:

A la desviación estándar de la media muestral también se le conoce como error estándar.

Es de hecho que cada característica acerca de la media muestral merece una demostración, pero

para facilitar el análisis mostraremos un ejemplo donde se pueda verificar lo planteado.

Ejemplo:

Se tiene registro del número de meses que dura una llanta de bicicleta hasta antes de su primera

refacción a cinco niños (N=5).

Por lo tanto tenemos la DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DE ��

Donde:

𝜎2: varianza poblacional.

n : tamaño de la muestra.

N : tamaño de la población.

Los resultados anteriores respecto al valor esperado y la varianza en la distribución de muestreo de ��

son aplicables a cualquier población. Lo que queda ahora es identificar las características de la

distribución de muestreo, para ello consideraremos dos casos.

153

La población tiene distribución normal

En muchas situaciones es razonable suponer que la población de la que se selecciona la muestra

aleatoria simple tiene una distribución normal o casi normal. Cuando esto ocurre, la distribución de

muestreo de �� está distribuida normalmente cualquiera que sea el tamaño de la muestra.

La población NO tiene distribución normal

Cuando la población de la que se tomó la muestra aleatoria simple no tiene distribución normal, el

teorema del límite central ayuda a determinar la forma de la distribución de muestreo de ��.

TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL

Cuando se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población, la distribución de

muestreo de la media muestral puede aproximarse a una distribución normal a medida que el

tamaño de la muestra se hace grande (n ≥ 30).

Que para fines prácticos también podría decirse que cuando (n → ∞) tiende a una

distribución normal estándar.

Ejemplo:

En Lima el precio promedio del kilo de arroz es de S/. 3,2 con una desviación estándar de S/. 0,4. Si

se selecciona una muestra de 100 tiendas comercializadoras de arroz. ¿Cuál es la probabilidad de que

el precio medio muestral del arroz sea menor a S/. 3,3?

154 EJERCICIOS

1.- En una muestra de 25 observaciones a partir de una distribución normal con media 98.6 y

desviación estándar 17.2,

a) Determine el valor de P ( �� < 95)

b) Calcule P (92< �� <102)

c) Halle el valor de P( �� > 100)

2.- Sofía Lerner, auditora de una compañía de tarjetas de crédito, sabe que el saldo promedio

mensual de un cliente dado es S/. 152 y la desviación estándar de S/. 66. Si Sofía audita 50 cuentas

seleccionadas al azar, encuentre la probabilidad de que el saldo promedio mensual de la muestra sea

a) Menor que S/. 140

b) Entre S/. 150 y S/. 160

155

3.- El costo promedio de un departamento, según una revista inmobiliaria, es de $ 58 000 con una

desviación estándar de $ 4 800. Si se selecciona 35 departamentos al azar ¿Cuál es la probabilidad de

que el costo promedio sea igual o menos de $ 60 000?

156 4.- En una distribución normal con media de 375 y desviación estándar de 48, ¿de qué tamaño debe

tomarse una muestra para que la probabilidad sea un 0.95 de que la media de la muestra caiga entre

370 y 380?

MD Estadistica y Probabilidades 2015-3 -InGENIERIA--UTP- 25082

Documents

Transcript of MD Estadistica y Probabilidades 2015-3 -InGENIERIA--UTP- 25082