Estadistica: Medidas de resumen

Dr. Jorge E. Manrique Chávez Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA Investigación Científica en ESTOMATOLOGÍA

Dr. Jorge E. Manrique Chávez

Medidas de tendencia central:

Media, mediana, moda

CD. Ronald Mayhuasca Salgado

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA

ESTADÍSTICA 2014 - I

Estadística Descriptiva • Organización de datos • Representación de datos: Tablas y Gráficos

• Medidas de resumen

• Medición de datos numéricos 1. Medidas de posición 2. Medidas de dispersión 3. Medidas de forma

• Medición de datos nominales 1. Proporción 2. Razón 3. Medición epidemiológica


Dr. Jorge E. Manrique Chávez MEDIDAS DE RESUMEN

Llamadas también medidas descriptivas porque tienen por objetivo

describir la naturaleza de la característica en estudio.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Medidas de Posición (o de tendencia central)

Se llaman de tendencia central porque tienden a ubicar el centro de

las observaciones, además el valor central es el más representativo

de un conjunto de datos.

Estas medidas se expresan en las mismas unidades de medición

que los datos; o sea si la observación es en gramos, el valor de la

tendencia central es en gramos.

Las medidas de tendencia central son: media aritmética, moda,

mediana, media geométrica, media armónica, etc., y las más usadas

son: la media aritmética, mediana y moda.



Para tal punto es preciso recordar algunas notaciones:

xi: valor individual o punto medio el intervalo. Se llama

también marca de clase.

fi: frecuencia absoluta simple de la clase i-ésima. Número

de veces que se repite dicho valor en el intervalo i.

Fi: frecuencia absoluta acumulada de la clase i-ésima. Es

la suma de las frecuencias absolutas hasta ese intervalo:

hi%: frecuencia relativa simple de la clase i-ésima. Es el

cociente de la frecuencia absoluta simple y el total de

observaciones por 100

F1=

F2=

F3=

hi%: frecuencia relativa acumulada de la clase i-ésima. Es

el cociente de la frecuencia absoluta acumulada y el total

de observaciones por 100

= fi/n . 100

= Fi/n . 100



1. m= número de intervalos de Clase

2. R=(A-1)

3. C= R/m

4. Lii - Lsi traslapantes o no traslapantes

5. Xi

Representaciones de la tabla de frecuencia por intervalos de clase:

Clase Edad Xi fi hi (%) Fi Hi(%) Límites reales

1 2 3 4 5 6 7

5-6 7-8

9-10 11-12 13-14 15-16 17-18

5,5 7,5 9,5

11,5 13,5 15,5 17,5

3 3 4

10 7

14 5

6,5 6,5 8,7

21,7 15,2 30,5 10,9

3 6

10 20 27 41 46

6,5 13

21,7 43,4 58,6 89,1

100,0

4,5-6,5 6,5-8,5

8,5-10,5 10,5-12,5 12,5-14,5 14,5-16,5 16,5-18,5

Total 46 100,0

1+3,22

1,891 + 3,9910

2, 7560 + 5,8154


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 1. Media aritmética o promedio

Es una media de posición que proporciona el valor que tiende a

tomar la variable para la mayoría de los elementos en la población o

muestra según corresponda.

Su determinación dependerá de:

1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia

2do. Datos agrupados en tablas de frecuencia


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la media aritmética

N= Número de elementos en la

población

n= Número de elementos en la

muestra

xi: valor individual o punto medio el intervalo

1ro. Datos no agrupados en tablas de

frecuencia


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Ejemplo de media aritmética

4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992

Determine el peso promedio.

Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre 5,000ml,

después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido, generó

los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos:

1ro. Datos no agrupados en tablas de frecuencia

Rpta 4,9947


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la media aritmética

xi= marca de clase

m= número de intervalos de clase

fi= frecuencia absoluta


Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencia, la

media aritmética se calcula mediante la siguiente fórmula.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Ejemplo de media aritmética

De la siguiente tablas de frecuencias calcular la media aritmética:


Pto ebullic Xi fi Fi hi (%)

Hi(%)

136-144 2 6,7

144-152 6 20

152-160 13 43,3

160-168 22 73,3

168-176 27 90

176-184 30

Rpta 161,333°C



Si cada observación Xi, tiene un peso o ponderación Wi, o sea

cuando las observaciones no tienen la misma importancia dentro

de una muestra, entonces tenemos la media ponderada que se

calcula de la siguiente manera:

Rpta 10,4

Ejemplo:

Las notas de un alumno de estadística en el semestre 2014-I fueron:

Determine el promedio ponderado del estudiante.

Curso Nota Crédito

Estadística 11 4

Materiales dentales 09 5

Anatomía 12 3


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 2. Mediana (Me)

Es el estadígrafo de posición que divide en dos partes iguales al

conjunto de observaciones , es decir la mediana representa el

valor central de una distribución de datos ordenados en forma

creciente o decreciente…50% de los valores son menores o

iguales que él, y el otro 50% son mayores o iguales que él.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la mediana

A. Datos NO agrupados en tablas de frecuencia

1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se

toma en cuenta lo siguiente:

Si, n es impar….la mediana es el valor central

Ejemplo:

Los siguientes datos corresponden al contenido de flúor en el agua en partes por

millón(ppm): 4520 4570 4520 4490 4500 4520 4590 4540 4500



A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia

1ro: Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente, y se

toma en cuenta lo siguiente:

Si, n es par….la mediana es igual al promedio de

los 2 valores centrales

4,995; 4,993; 4,994; 4,996; 4,998; 4,992

Determine la mediana.

Ejemplo: Supóngase que a 22°C una radiografía húmeda escurre

5,000ml, después de pesar por seis ocasiones su volumen vertido,

generó los siguientes pesos aparentes de líquido en gramos:



B. Datos agrupados en tablas de frecuencia

En este caso la mediana se calcula mediante la siguiente fórmula:

• X`me-1: límite inferior de la clase mediana

• Cme: tamaño del intervalo de la clase mediana

• Fme-1: frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase

mediana

• fme: frecuencia absoluta de la clase mediana

Clase mediana: es aquel intervalo que contiene al valor que

ocupa la posición media, es decir contiene a la mediana




Ejemplo

De la tabla de frecuencia anterior, calcule la

mediana:

Pto ebullic Xi fi hi (%) Fi Hi(%)

136-144 140 2 6,7 2 6,7

144-152 148 4 13,3 6 20

152-160 156 7 23,3 13 43,3

160-168 164 9 30 22 73,3

168-176 172 5 16,7 27 90

176-184 180 3 10,0 30 100

• X`me-1: 160

• Cme: 8

• Fme-1: 13

• fme: 9

Rpta.

Me: 161,7778°C


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 3. Moda (Mo)

Representa el valor que más se repite en un conjunto de

observaciones. En una distribución puede haber uno o más

valores que se repitan con mayor frecuencia en tal caso se

tienen dos o más modas.

Entonces:

- Si la distribución de frecuencias tiene un solo valor que más

se repite: UNIMODAL:

- Si la distribución presenta dos o más valores que se repitan:

POLIMODAL

- Si no hay ningún valor que se repita con más frecuencia:

DISTRIBUCIÓN UNIFORME


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la moda

A Datos NO agrupados en tablas de frecuencia

1ro: Observar el dato que más se repite

Ejemplo:

Calcule la moda en cada caso:

• 4,5,6,7,4,5,4,6,5,5,4,5,5: Mo=5 (Unimodal)

• 7,7,6,8,8,6,8,7,7,9,12,11,10,8 MO= 7 y 8 (bimodal)




En este caso la moda se calcula mediante la siguiente fórmula:

• X`mo-1: límite inferior de la clase modal

• Cmo: tamaño del intervalo de la clase modal

• d1: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase

modal menos la frecuencia absoluta anterior

• d2: diferencia entre la frecuencia absoluta de la

frecuencia modal menos la siguiente

Clase modal: es aquel intervalo con la mayor frecuencia

absoluta




Ejemplo

De la tabla de frecuencia anterior, calcule la moda:


136-144 140 2 6,7 2 6,7

144-152 148 4 13,3 6 20

152-160 156 7 23,3 13 43,3

160-168 164 9 30 22 73,3

168-176 172 5 16,7 27 90

176-184 180 3 10,0 30 100

• X`mo-1: 160

• Cmo: 8

• d1: 9’-7 = 2

• d2: 9- 5 = 4

Rpta.

Mo: 162, 6667°C


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Relación entre media aritmética, mediana y moda

Nótese que del cuadro anterior , para datos agrupados en tablas: la

media aritmética, la mediana y la moda poseen valores muy cercanos

entre sí.

Mo: 162, 6667°C

Me: 161,7778°C


136-144 140 2 6,7 2 6,7

144-152 148 4 13,3 6 20

152-160 156 7 23,3 13 43,3

160-168 164 9 30 22 73,3

168-176 172 5 16,7 27 90

176-184 180 3 10,0 30 100


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Relación entre media aritmética, mediana y moda

La media aritmética es muy sensible cuando hay valores extremos, y

como la mediana en un valor posicional, se ve menos afectada por

valores extremos.

X = Me = Mo, si la distribución es simétrica (frecuencias absolutas

equidistantes son iguales), es decir polígono de frecuencias

simétrico.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Resuelva

Los siguientes datos corresponden a 20 lecturas de temperatura (en °F)

tomadas en varios puntos de una esterilizadora de calor seco.

415 460 510 475 430 410 425 490 500 470

450 425 485 470 450 455 460 480 475 465

Sin agrupar los datos en tablas de frecuencia calcule: la media

aritmetica, mediana, moda e interprete.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 4. Cuantiles o cuantila (Xp)

Es un valor en el recorrido de la variable en el que se acumula

una porción p de datos con medida máxima el valor de la

cuantila, o sea un porcentaje (px100) de datos toma medidas

menores o iguales a Xp y el resto toma medidas mayores o

iguales a Xp.

A las cuantilas se les denomina de manera particular según la

porción acumulada a la izquierda del punto.

- Decil: di

- Cuartil: qi

- Percentil: pi

- Mediana: Me=X0,50


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Decil (di) d1=X0,10 ; d2=X0,20 …

Son puntos que dividen al conjunto de datos en 10 partes donde

cada uno acumula el 10% de datos, por ejemplo:

De los siguientes datos:

16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

X0,10 X0,20

X0,30 X0,40

X0,50 X0,60


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Decil (di)

Indica que el 10% de las personas tiene a lo más 21 años que el

40% tienen máximo 36 años, también podemos deducir que un

30% de personas poseen edades entre 21 y 36 años

16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

d1=X0,10 = 21 d4=X0,40 = 36

X0,10 X0,20

X0,30 X0,40

X0,50 X0,60


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cuartil (qi)

q1=X0,25 ; q2=X0,50 ; q3= X0,75




16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

X0,15

X0,30

X0,45



Cuartil (qi)

Indica que el 25% de las personas tienen hasta 24 años de edad, y

que a lo más el 75% posee a lo más hasta 38 años, es decir el 50%

tienen entre 24 y 38 años.

16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

X0,15

X0,30

X0,45

q1=X0,15 ; q2=X0,30 ; q3= X0,45


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Percentil (pi)

p1=X0,01 ; p2=X0,02 … p99= X0,99




16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

X0,11

X0,32

X0,45


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Percentil (pi)

Indica que 11% de las personas tiene un máximo de 21años y que

el 32% de individuos poseen hasta 32años, también diremos que el

65% de individuos tiene más de 38 años, y que el 34% de personas

poseen entre 21 y 38 años :

16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

X0,11

X0,32

X0,45

p11=X0,11 = 21

p32=X0,32 = 32

p45= X0,45 = 38


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Mediana (Me)

Me=X0,50

Indica que la mitad o el 50% de datos toma medidas menores o

iguales a Me y el otro 50% toma medida mayor igual a Me:


16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

X0,30


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Mediana (Me)

Me=X0,50

Indica que el 50% de las personas posee una edad máxima de 31

años, y que el otro 50% posee una edad mínima de 31 años:

16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 21, 21,22, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 26, 26

26, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 30, 31, 31, 31,32, 32, 33, 34, 34, 34, 34, 36, 36

36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 40, 41, 41, 41,42, 42, 43, 44, 44, 44, 44, 46, 46

X0,30

Me= 31= q2= X0,50


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Son medidas que cuantifican la variabilidad de las

observaciones con respecto a un estadígrafo de tendencia

central (generalmente la media aritmética).

Los principales estadígrafos de tendencia central son:

• VARIANZA

• DISPERSIÓN ESTÁNDAR

• COEFICIENTE DE VARIACIÓN


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Varianza (S2)

Se define como el promedio del cuadrado de las desviaciones

con respecto la media.

Cuando la varianza es muestral, se denota como S2(x); y si la

varianza es poblacional entonces se denota como σ2.

Estudiaremos la varianza muestral.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la Varianza

1. Para datos no agrupados en tablas.

Obedece a la siguiente fórmula:

S2(X)= n-1

Desarrollando esta sumatoria se puede llegar

a una forma más simple para calcular la

varianza:

S2(X)= n-1


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Cálculo de la Varianza

2. Para datos agrupados en tablas.

Obedece a la siguiente fórmula:

S2(X)= n-1

De modo semejante al caso anterior,

desarrollando la fórmula se obtiene:

S2(X)= n-1

• Xi: marca de clase

• fi: frecuencia absoluta

• m: número de clases o intervalos


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Desviación estándar (S o DE)

Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza, y

como la varianza está expresada en unidades cuadradas, la

desviación estándar (que está en las mismas unidades de los

datos) representa mejor la variabilidad de las observaciones.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Coeficiente de variación (C.V.)

Se calcula del siguiente modo:

El C.V. se debe expresar en porcentaje, pues no tiene unidades y sirve

como medida de comparación con otras distribuciones de cualquier

tipo de unidad…el C.V. mide cuán dispersos se hallan los datos.

C.V. < 10% : representa una muestra que tiende a ser homogénea, los

datos o mediciones no son dispersos.

10%< C.V. < 20% : presentan una regular o moderada dispersión.

C.V. > 20% : los datos se muestran muy dispersos.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Coeficiente de variación (C.V.)

EJEMPLO:

Rpta: La primera muestra es más homogénea y la dispersión

es mínima.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Resuelva



415 460 510 475 430 410 425 490 500 470

450 425 485 470 450 455 460 480 475 465

Determine el coeficiente de variación e interprete.

Rpta: 6,07% Los datos son poco dispersos


Dr. Jorge E. Manrique Chávez Pregunta tipo

En el área de radiología se han realizado n determinaciones del

volumen(cm2) de una sustancia química, los datos se han agrupado en

una tabla , donde se conoce la siguiente información:

Calcular la media aritmética, moda, determine e interprete

el coeficiente de variación (C.V.)

(Suma de marcas de clase) Me=43,265 cm2 264

F2=10 f4=7 f6=f1= n-30 F4=25 h3=4/17


Dr. Jorge E. Manrique Chávez 3. MEDIDAS DE FORMA

Son medidas que indican la dirección en la dispersión de los

datos respecto a su centro y completan la descripción de las

distribuciones de frecuencia.

Los principales estadígrafos de forma son:

• ASIMETRÍA

• CURTOSIS


Dr. Jorge E. Manrique Chávez ASIMETRÍA

Indica la deformación horizontal de las distribuciones de frecuencia con

respecto a la media aritmética. Para una distribución unimodal tenemos

tres situaciones:

1. Distribución simétrica, en cuyo caso la

media , mediana y moda coinciden y las

frecuencias simples para cada punto

equidistante de la media son iguales.



2. Distribución asimétrica, es decir, los datos se concentran a uno de

los extremos y aparecen con poca frecuencia hacia el otro extremo.

Asimetría negativa Asimetría positiva



Coeficiente de asimetría (Skp)

El coeficiente de asimetría de Pearson sirve como indicador de los

grados de asimetría de las distribuciones de frecuencia.

Skp =

De donde:

Si Skp = 0, la distribución es simétrica

Si Skp <1, la distribución tiene una asimetría leve

Si 1 < Skp < 2, la distribución tiene asimetría moderada

Si Skp > 2, la distribución tiene una asimetría severa.





415 460 510 475 430 410 425 490 500 470

450 425 485 470 450 455 460 480 475 465

Sin agrupar los datos en tablas de frecuencia calcule: los grados

de asimetría de las distribuciones de frecuencia e interprete.

EJEMPLO



De la fórmula se desprende la necesidad de calcular la media

aritmética, la desviación estándar y la Mediana.

Skp =

415 460 510 475 430

410 425 490 500 470

450 425 485 470 450

455 460 480 475 465

1. Cálculo de la media

2. Cálculo de la mediana, datos no agrupados en tabla, n=par, ordenación previa

410 415 425 425 430 450 450 455 460 460 465 470

470 475 475 480 485 490 500 510



Me= 462,5

Skp =

415 460 510 475 430

410 425 490 500 470

450 425 485 470 450

455 460 480 475 465

3. Cálculo del coeficiente de asimetría

460

=

=

S2(X)= n-1

S2= 778,94

S= 27,90

= 3(460-462,5)/27,90 = -0,2688


Dr. Jorge E. Manrique Chávez CURTOSIS

Es una medida de la deformación vertical de una distribución de

frecuencias, es decir, nos indica el apuntalamiento o achatamiento

de la curva, la cual está relacionada con la dispersión de datos.

K =

Coeficiente de curtosis

X0,75 – X0,25

2 (X0,90 – X0,10)

1. Distribución platicúrtica: k 1, es decir los datos están

ampliamente esparcidos y la curva es aplanada.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez CURTOSIS

2. Distribución mesocúrtica: k 0,25 esto ocurre cuando los datos

tienen una distribución moderada.

3. Distribución leptocúrtica: k 0,5 esto ocurre cuando los datos

están agrupados es un intervalo estrecho, es decir tienen una dispersión

pequeña.


Dr. Jorge E. Manrique Chávez ERROR ESTÁNDAR (E.S)

Llamado también error típico, es una medida de la variabilidad de

cada muestra respecto a la media muestral.

Es útil para describir la dispersión de los datos cuando se tiene dos

o más muestras que comparar.

También se le llama desviación estándar de la media o error típico.

Para datos cuantitativos se calcula de la siguiente manera:

E.S. =

Donde Sx: desviación estándar

n: muestra

Estadistica: Medidas de resumen

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