INTEGRALI IMPROPRI

Prerequisiti: Calcolo degli integrali indefiniti Integrale definito di una funzione continua Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale Applicazioni del calcolo integrale

Obiettivi : Saper riconoscere un integrale improprio Saper distinguere integrali impropri di primo tipo, di secondo tipo e misti Saper determinare il carattere di un integrale improprio

TEORIA in sintesi

Sia ( )xfy = una funzione continua nellintervallo ][ ba, , sappiamo che sotto tali condizioni esiste lintegrale definito fra a e b della funzione ( )xf e graficamente tale integrale rappresenta larea della parte di piano (TRAPEZOIDE) delimitata dal grafico della funzione, dallasse delle ascisse e dalle rette di equazione ax = e bx = .

Nel caso in cui la funzione assegnata non sia continua nellintervallo di integrazione, oppure almeno uno degli estremi di integrazione non sia finito si parla di INTEGRALE IMPROPRIO.

In sostanza lintegrale improprio rappresenta lestensione del concetto di integrale definito per funzioni che presentino un numero finito di punti discontinuit nellintervallo di integrazione, oppure per funzioni il cui intervallo di integrazione risulti illimitato.

Gli integrali impropri si classificano in:

1. Integrali impropri di I tipo o specie se almeno uno degli estremi di integrazione non finito.

2. Integrali impropri di II tipo o specie se nellintervallo di integrazione si ha almeno un punto di discontinuit.

3. Integrali impropri che sono contemporaneamente di I e II tipo.

INTEGRALI IMPROPRI DI PRIMO TIPO

Sono integrali che hanno uno o entrambi gli estremi di integrazione non finiti e si presentano sotto la forma:

( )+

a

dxxf ; ( )

b

dxxf ; ( )+

dxxf

Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo finito e poi si passa al limite facendo tendere allinfinito uno o entrambi gli estremi di integrazione:

( ) ( )+

+=

t

aat

dxxfdxxf lim ; ( ) ( )

=

b

s

b

sdxxfdxxf lim ; ( ) ( )

+

+

=

t

sst

dxxfdxxf lim

In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:

1) Se il valore del limite finito si dice che la funzione integrabile in senso improprio o generalizzato nellintervallo dato e lintegrale improprio convergente . (Carattere convergente)

Interpretazione geometrica Area del trapezoide FINITA

2) Se il valore del limite infinito si dice che la funzione non integrabile in senso improprio o generalizzato nellintervallo dato e lintegrale improprio divergente . (Carattere divergente)

Interpretazione geometrica Area del trapezoide INFINITA

3) Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non integrabile in senso improprio o generalizzato nellintervallo dato e lintegrale improprio indeterminato. (Carattere indeterminato)

Interpretazione geometrica Nulla si pu affermare sullaarea del trapezoide

Esempio 1 Si debba calcolare il seguente integrale improprio +

1 x

dx

[ ] [ ] ( ) +=====++++

+

ttxxdx

x

dxtt

t

t

t

tloglim1logloglimloglimlim 1

11

Poich il limite ottenuto non finito, lintegrale improprio diverge.

Esempio 2 Calcolare il seguente integrale improprio +

12x

dx

11011111lim1limlim

112

12 =+=+

+=

+=

==

+++

+

txxdx

x

dxt

t

t

t

t

Poich il limite esiste ed finito, lintegrale improprio converge.

Esempio 3 Calcolare il seguente integrale improprio

pi

xdxcos

[ ] [ ] ( ) ( )=====

sensensenssensenxxdxxdx ssss

s0limlimcoslimcos pipi

pipi

Poich per s , sens oscilla costantemente tra 1 e 1+ ,

tale limite non esiste e quindi lintegrale improprio indeterminato.

INTEGRALI IMPROPRI DI SECONDO TIPO

Sono integrali che presentano almeno un punto di discontinuit nellintervallo di integrazione e, proprio in relazione al loro intervallo di integrazione, si presentano, in genere, nelle seguenti forme:

( )b

a

dxxf con ( )xf definita in [ [ba;

( )b

a

dxxf con ( )xf definita in ] ]ba,

( )b

a

dxxf con ( )xf definita in ] [ba,

( )b

a

dxxf con ( )xf definita in [ [ ] ]bcca ,,

Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo di completa continuit e poi si passa al limite facendo tendere a zero uno o entrambi i parametri utilizzati nei nuovi estremi di integrazione:

( )b

a

dxxf ( ) ( )

+=

b

a

b

a

dxxfdxxf0

lim

( )b

a

dxxf ( ) ( )+

+=

b

a

b

a

dxxfdxxf 0

lim

( )b

a

dxxf ( ) ( )

+

+

+=

b

a

b

a

dxxfdxxf00

lim

( )b

a

dxxf ( ) ( ) ( ) ( ) +

+++=+

b

c

c

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxfdxxf

00limlim

In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:

1) Se il valore del limite finito si dice che la funzione integrabile in senso improprio o generalizzato nellintervallo dato e lintegrale improprio ha carattere convergente .

Interpretazione geometrica Area del trapezoide FINITA

2) Se il valore del limite infinito si dice che la funzione non integrabile in senso improprio o generalizzato nellintervallo dato e lintegrale improprio ha carattere divergente .

Interpretazione geometrica Area del trapezoide INFINITA

3) Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non integrabile in senso improprio o generalizzato nellintervallo dato e lintegrale improprio ha carattere indeterminato.

Interpretazione geometrica Nulla si pu affermare sullaarea del trapezoide

Esempio 1 Calcolare il seguente integrale improprio:

+2

12 1

31 dxx

x

poich ( )xf ha un punto di discontinuit per 1=x lintegrale improprio di secondo tipo e, mediante il metodo dintegrazione di funzioni razionali fratte, si riduce a:

[ ]

[ ] ( ) +==++

=++=

+=

+

+

++

++

22log3loglog22loglim3log

1log21loglim1

31lim1

31

0

2

10

2

120

2

12

xxdx

x

xdxx

x

Poich il limite ottenuto non finito, lintegrale improprio diverge.

Esempio 2 Calcolare il seguente integrale improprio :

2

024

1 dxx

poich ( )xf ha un punto di discontinuit per 2=x lintegrale improprio di secondo tipo e, riconducendolo ad una integrazione immediata, diventa:

2010

22lim

2lim

4

1lim4

1

0

2

00

2

020

2

02

pi

==

=

=

=

+

++

arcsenarcsenarcsen

xarcsendx

xdx

x

Poich il limite esiste finito, lintegrale improprio converge.

Esempio 2 Calcolare il seguente integrale improprio :

1

22

1 dxx

poich ( )xf nellintervallo dintegrazione ha un punto di discontinuit per 0=x lintegrale improprio di secondo tipo e diventa:

+=+=

+++

+

=

+

=+=+=

++

+

+

++

++++

011

21

01

01

11lim

21

01lim

1lim1lim1 lim1 lim1 1 1

00

1

00

0

20

1

020

0

22

1

0 02

0

22

1

22

xxdx

xdx

xdx

xdx

xdx

x

Poich il limite esiste finito, lintegrale improprio converge.

ESERCIZI: Quesiti a risposta multipla:

ESERCIZI: Determina il carattere dei seguenti integrali impropri:

1.

2

5xdx

2. +

1

2 dxe x 3. 1

0

log xdx 4.

+

0

33 1x

dx

5. 2

02cos

pi

x

dx 6.

+

dxxe x2

7.

0

2

1 dxx

8. ( )+

121x

dx

9. 4

0 x

dx 10.

+

+

dxx 21

1 11.

+

0

senxdx 12. dxx

2

23 2

1