Esfuerzo o Resistencia

Capítulo 4 Esfuerzo y Resistencia Mecánica Página 4-1

INTRODUCCION A LA GEOMECANICA PETROLERA Andrés R. Vásquez H.

CAPÍTULO 4

ESFUERZO Y RESISTENCIA MECÁNICA

Esfuerzos normales y tangenciales entre partículas Los esfuerzos normales están directamente relacionados con la superficie específica del material, que se define como la magnitud del área por unidad de masa y la cual sirve de indicador sobre la influencia relativa de las cargas eléctricas sobre el comportamiento de la partícula. Por lo tanto materiales de gran tamaño (bolos, grava, arena) tienen baja superficie específica en comparación con materiales de partículas finas como los limos y arcillas, Las partículas de la formación poseen cargas eléctricas en su superficie y por lo tanto atraen iones con el fin de neutralizar su carga eléctrica total. A su vez, estos iones atraen moléculas de agua; y el agua es atraída directamente a la superficie de las partículas de suelo. De aquí que todas las partículas de la formación tiendan a estar rodeadas de una capa de agua. En materiales geológicos formados por partículas equidimensionales de mayor tamaño (arenas redondas uniformes), los esfuerzos se transmiten a través de la formación por las fuerzas de contacto mineral-mineral entre partículas. En formaciones formadas únicamente por pequeñas laminillas arcillosas (lutitas y/o arcillas) orientadas cara con cara, los esfuerzos se transmiten a través de fuerzas eléctricas de largo alcance, pudiendo estar las partículas separadas por distancias de 100 Å o incluso más. La transmisión de esfuerzos en formaciones mixtas se produce por un proceso intermedio. La resistencia tangencial entre partículas de una formación se debe a los enlaces de adhesión en los puntos de contacto. Esta resistencia tangencial viene determinada principalmente por la magnitud de la carga normal aplicada, por lo que el comportamiento general es de naturaleza friccional.



Esfuerzos en sistemas de partículas. En un material geológico real, es imposible estudiar las fuerzas existentes en cada punto de contacto entre los granos. Mas bien, es necesario emplear el concepto de esfuerzo utilizado en la mecánica de medios continuos. Para comenzar hablaremos de los esfuerzos que existen en una masa de suelo como resultado del peso propio y por efecto de las fuerzas aplicadas. La Fig. 4.1a muestra una pequeña celda de medición hipotética (elemento A) enterrada en una masa de suelo, esta celda se ha colocado de tal forma que las partículas del suelo no sean desplazadas. Los diagramas de la Fig. 4.1b,c, representan las caras horizontal y vertical del elemento A, con las partículas de suelo que cargan sobre esas caras. Estas partículas ejercen generalmente fuerzas normales y tangenciales sobre dichas caras. Si cada cara es cuadrada, de lado a, podemos definir los esfuerzos que actúan sobre la celda por:

σσσσ vvN

a==== 2

σσσσ hhN

a==== 2

(4.1)

ττττ hhT

a==== 2

ττττ vvT

a==== 2

donde Nv y Nh representan las fuerzas normales en la dirección vertical y horizontal, respectivamente; Tv y Th son las fuerzas tangenciales en la dirección vertical y horizontal, respectivamente; y σσσσ v , σσσσ h , ττττ v y ττττ h representan los esfuerzos correspondientes. De esta forma se han definido cuatro esfuerzos que, al menos teóricamente, pueden visualizarse y medirse directamente. Se supondrá que la presión en la fase intersticial del suelo es nula; es decir igual a la presión atmosférica. De aquí que las fuerzas Nv , Nh , Tv y Th se deben únicamente a las fuerzas transmitidas a través del esqueleto mineral. En un suelo seco, el esfuerzo puede imaginarse como la fuerza existente en el esqueleto mineral por unidad de área del suelo.



Superficie del terreno

Elemento A

Figura 4.1 .- Diagrama para ilustrar la definición de esfuerzo. (a) Perfil de terreno, b) y c) Fuerzas sobre

el elemento A.

Realmente, es bastante difícil medir con precisión los esfuerzos existentes en el interior de un suelo, principalmente debido a que la presencia de un medidor altera el campo de esfuerzo que existiría, si aquel no se hubiera colocado. Al hacer pasar un plano imaginario a través del suelo, como se indica en la Fig. 4.2, este plano atravesará los granos minerales y los espacios intersticiales. Puede suceder que el plano pase a través de uno o más puntos de contacto entre partículas. En cada punto en que este plano atraviesa materia mineral, la fuerza transmitida a través del esqueleto mineral puede descomponerse en fuerzas normales y tangenciales al plano. Las componentes tangenciales a la vez pueden descomponerse en un par de ejes coordenados. Estas diversas componentes se han representado en la Fig. 4.2 . La suma de las componentes normales al plano de todas las fuerzas, dividida por el área del plano es el esfuerzo normal o que actúa sobre dicho plano. Análogamente, la suma de todas las fuerzas tangenciales sobre el plano en la dirección x, por ejemplo, dividida por el área de este plano es el esfuerzo tangencial o cortante ττττx en la dirección x. Existe también otra imagen bastante utilizada para la definición de esfuerzos. Puede imaginarse un plano “ondulado” que se dobla justo lo suficiente para cortar materia mineral únicamente en los puntos de contacto entre partículas. El esfuerzo es entonces la suma de las fuerzas de contacto dividida por el área del plano ondulado. La suma de todas las áreas de contacto será una parte muy pequeña del área total del plano; ciertamente menos de 1%. Por ello, el esfuerzo definido de esta forma



difiere mucho numéricamente de los esfuerzos en los puntos de contacto.

Punto de contacto entrepartículas situadas por

encima y debajo delplano de la sección

Sección delas partículas

Huecos (poros)

Figura 4.2.- Definición de esfuerzos en un sistema de partículas. Al utilizar la palabra “esfuerzo” nos hemos referido al esfuerzo macroscópico, es decir, fuerza/área total . Los esfuerzos macroscópicos tienen una gama de variación típica de 0.07 a 70 Kg cm/ 2 para la mayoría de los problemas reales. El concepto de esfuerzo está estrechamente asociado con el de medio continuo. Así pues, cuando hablamos de los esfuerzos que actúan en un punto, imaginamos las fuerzas que actúan sobre las caras de un cubo infinitamente pequeño compuesto de un cierto material homogéneo. Para cualquier material, el interior del “cubo infinitamente pequeño” es por tanto solo estadísticamente homogéneo. En un cierto sentido, toda la materia se compone de partículas y sólo tiene sentido hablar de esfuerzo macroscópico, si este esfuerzo varia poco en una distancia del orden de magnitud del tamaño de la partícula más gruesa. Cuando se habla de los esfuerzos en un “punto” del suelo, debemos imaginar un “punto” bastante grueso. En la Fig. 4.1 las fuerzas Nv, etc., son la suma de las componentes normal y tangencial de las fuerzas que actúan en cada punto de contacto entre las partículas de suelo y las caras del elemento ideal. Cuanto más pequeño sea el tamaño de las partículas, mayor será el número de contactos con una cara de lado a. Así pues, para un determinado valor de esfuerzo macroscópico, una reducción en el tamaño de las partículas significa una menor fuerza en cada contacto.



Tabla 1.1 Valores típicos de las fuerzas de contacto medias en suelos granulares

Tipo de suelo

Diámetro de las

partículas (mm)

Fuerza media de contacto (lb) para un esfuerzo macroscópico

( / lg )kg p 2

1 10 100 60 3 30 300

Grava 2.0 0.003 0.03 0.3

Arena 0.06 3 10 6× − 3 10 5× − 0.0003

Limo 0.002 3 10 9× − 3 10 8× − 3 10 7× −

Esfuerzos geoestáticos Los esfuerzos en el interior de un suelo son producidos por las cargas exteriores aplicadas al mismo y por el peso del propio suelo. El sistema de esfuerzos debido a las cargas aplicadas y el correspondiente al peso propio del suelo puede ser bastante complicado. Sin embargo, existe un caso habitual en el cual el peso del suelo da lugar a un sistema de esfuerzos muy sencillo: cuando la superficie del terreno es horizontal y cuando la naturaleza del suelo varía muy poco en la dirección horizontal. Este caso se presenta con mucha frecuencia, en especial en suelos sedimentarios. En tal caso, los esfuerzos se denominan geostáticos. Esfuerzos geoestáticos verticales. En el caso anterior no existen esfuerzos tangenciales sobre planos verticales y horizontales trazados a través del suelo. De aquí que el esfuerzo vertical geostático a cualquier profundidad puede calcularse simplemente considerando el peso del suelo por encima de dicha profundidad. Así pues, si el peso específico del suelo es constante con la profundidad, entonces:

σσσσ γγγγv z==== (4.2) donde z es la profundidad y γγγγ es el peso específico total del suelo. En este caso, el esfuerzo vertical variará linealmente con la profundidad, como se indica en la Fig. 4.3.



Por supuesto el peso específico no es constante con la profundidad. Generalmente un suelo resultará cada vez más compacto al aumentar la profundidad debido a la compresión originada por los esfuerzos geostáticos. Si el peso específico del suelo varía de forma continua con la profundidad, los esfuerzos verticales pueden calcularse por medio de la integral:

σσσσ γγγγv

z

dz==== ∫∫∫∫0

(4.3)

Figura 4.3.- Esfuerzos geoestáticos en un suelo con superficie horizontal. Si el suelo está estratificado y el peso específico de cada extracto es diferente, los esfuerzos verticales pueden calcularse adecuadamente por medio de la sumatoria

σσσσ γγγγv z==== ∑∑∑∑ ∆∆∆∆ (4.4)



El ejemplo A muestra el cálculo de los esfuerzos verticales geostáticos para un caso en el que el peso específico es función del esfuerzo geostático. Ejemplo A Datos: La relación entre el esfuerzo vertical y el peso específico es:

γγγγ σσσσ==== ++++1 520 0 0022, . v donde γγγγ viene dado en ton m/ 3 y σσσσv en ton m/ 2 . Problema: Calcular los esfuerzos verticales a una profundidad de 30m para el caso de esfuerzos geostáticos. Solución por cálculo directo. A partir de la ecuación 4.3:

σσσσ σσσσv v

z

dz==== ++++∫∫∫∫ ( , . )1 520 0 00220

ddz

vv

σσσσσσσσ==== ++++1 520 0 0022, .

La solución a la ecuación diferencial es :

σσσσ v

ze==== −−−−6 90 10 0022. ( ). Para z = 30 m

σσσσ v ==== −−−− ====6 90 1 0683 1 47 73. ( . ) . ( ton m/ 2 ) Otra solución aproximada por tanteo: Primer tanteo: Supongamos un peso específico medio desde z = 0 a z = 30m de 1.60 ton m/ 3 . Entonces , para z = 30 m será σ v = 48 ton m/ 2 . El peso específico (entrando con este esfuerzo) sería de 1,625 ton m/ 3 y el peso específico medio (suponiendo una variación lineal de γγγγ con la profundidad) valdría 1.57 ton m/ 3 . Segundo tanteo: Suponiendo un peso específico medio de 1.57 ton m/ 3 , resulta para z = 30 m, σσσσv = 47.10 ton m/ 2 y γγγγ = 1.60. El peso específico medio sería 1.56 ton m/ 3 , coincidente prácticamente con el supuesto.



La ligera discrepancia entre ambas respuestas se debe a que el peso específico realmente no varía tan linealmente con la profundidad como se ha supuesto en la segunda solución. La discrepancia puede ser mayor cuando γγγγ sea más susceptible a la variación de σσσσv . La solución por cálculo directo es más exacta, pero se pueden cometer errores más fácilmente en las unidades. La exactitud de la solución por tanteo puede mejorarse dividiendo los 30 metros de profundidad en capas y suponiendo una variación uniforme del peso específico en cada una de ellas. Esfuerzos geoestáticos horizontales. La relación entre los esfuerzos horizontal y vertical se expresa por un coeficiente denominado coeficiente de esfuerzo lateral o de presión lateral y se designa por el símbolo K:

K h

v====

σσσσσσσσ

(4.5)

Esta definición de K se emplea indiferentemente de que los esfuerzos sean geostáticos o no. Incluso en el caso en que los esfuerzos sean geostáticos, el valor de K puede variar entre amplios límites, según que el suelo resulte comprimido o expandido en dirección horizontal, bien por las fuerzas de la naturaleza o por los trabajos del hombre. Frecuentemente tiene interés la magnitud del esfuerzo geostático horizontal en el caso especial en el que no se haya producido deformación lateral en el terreno. En este caso se habla del coeficiente de presión lateral en reposo y se designa por el símbolo K0. Un suelo sedimentario está formado por una acumulación de sedimentos de abajo hacia arriba. Al continuar aumentando el espesor de sedimentos, se produce una compresión vertical del suelo a todos los niveles, debido al aumento del esfuerzo vertical. Al producirse la sedimentación, generalmente en una zona bastante extensa, no existe razón por la cual deba tener lugar una compresión horizontal apreciable. Por esta razón, se llega lógicamente a la conclusión de que en un suelo sedimentario el esfuerzo total horizontal debe ser menor que el esfuerzo vertical. Para un depósito de arena formado de esta manera, K0 suele tener un valor comprendido entre 0.4 y 0.5. Por otro lado, existe evidencia de que el esfuerzo horizontal puede ser superior al vertical si un depósito sedimentario ha tenido una carga importante en el pasado. En efecto, los esfuerzos horizontales quedaron “congelados” cuando el suelo estuvo



cargado con un espesor mayor de tierras que el actual y no se disiparon al suprimirse esta carga. En este caso, K 0 puede alcanzar valores de hasta 3. En rocas este efecto es muy común. Esfuerzos principales y Círculo de Mohr Como en cualquier otro material, el esfuerzo normal en un punto situado en el interior de una masa de suelo suele ser una función de la orientación del plano elegido para definir dicho esfuerzo. Carece de significado hablar del esfuerzo normal o tangencial en un punto. Por esta razón, generalmente se le añaden subíndices a los símbolos σσσσ y ττττ para especificar la forma como se definen estos esfuerzos. Con mayor generalidad, por supuesto, deberíamos hablar del tensor de esfuerzos que proporciona una descripción completa del estado de esfuerzos en un punto. Esfuerzos principales. En cualquier punto sometido a esfuerzos existen 3 planos ortogonales (es decir, perpendiculares entre sí) en los cuales los esfuerzos tangenciales son nulos. Estos planos se denominan planos principales. Los esfuerzos normales que actúan sobre estos tres planos se denominan esfuerzos principales. El más grande de estos tres esfuerzos principales se denomina esfuerzo principal mayor σσσσ1111, el más pequeño se denomina esfuerzo principal menor σσσσ3 y el tercero es el esfuerzo principal intermedio σσσσ2. Cuando los esfuerzos en el terreno son geostáticos, el plano horizontal que pasa por un determinado punto es un plano principal al igual que todos los planos verticales a través de dicho punto. Cuando K<1, σσσσ σσσσv ==== 1 , σσσσ σσσσh ==== 3 y σσσσ σσσσ σσσσ2 3==== ==== h . Cuando K>1, sucede lo contrario: σσσσ σσσσh ==== 1 , σσσσ σσσσv ==== 3 y σσσσ σσσσ σσσσ2 1==== ==== h . Cuando K =1, σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσv h==== ==== ==== ====1 2 3 , y el estado de esfuerzos se denomina isotrópico. Debemos indicar también que los esfuerzos tangenciales sobre dos planos ortogonales cualesquiera ( planos que forman ángulos rectos ) deben ser iguales numéricamente ( ττττ ττττv h==== ). Círculo de Mohr.- Nos interesará el estado de esfuerzos en el plano correspondiente a los esfuerzos principales mayor y menor, σσσσ1111 y σσσσ3. Los esfuerzos se considerarán positivos cuando sean de compresión. En la Fig. 4.4 se indican los



demás convenios de signos. La magnitud ( σσσσ σσσσ1 3−−−− ) se denomina esfuerzo desviador o diferencia de esfuerzos. Dada la magnitud y dirección de σσσσ 1 y σσσσ 3 , se pueden calcular los esfuerzos normales y tangenciales en cualquier otra dirección mediante las ecuaciones de la estática que se recogen en la Fig. 4.4. Estas ecuaciones, que proporcionan una descripción completa ( bidimensional ) del estado de esfuerzos, corresponden a un círculo. Cualquier punto del círculo, como el A, representa los esfuerzos sobre un plano cuya normal forma un ángulo θθθθ con la dirección del esfuerzo principal mayor. Esta representación gráfica del estado de esfuerzos se conoce como Círculo de Mohr y tiene una gran importancia en la mecánica de suelos y rocas.

Figura 4.4.- Representación de los esfuerzos mediante el círculo de Mohr a) Estado de esfuerzo en un punto. b) Diagrama de Mohr.

Dados σσσσ 1 y σσσσ 3 y sus direcciones, se pueden encontrar gráficamente los esfuerzos correspondientes a cualquier otra dirección mediante el círculo de Mohr. Por otro lado, dados σσσσ θθθθ y ττττ θθθθ que actúan sobre dos planos cualesquiera, pueden encontrarse la magnitud y dirección de los esfuerzos principales. La noción de polo resulta especialmente útil para tales construcciones gráficas. El polo es un punto del círculo de Mohr, designado por OP, con la siguiente propiedad: una línea trazada por OP y por un punto dado A del círculo de Mohr, será paralela al plano sobre el cual actúan los esfuerzos correspondiente al punto A.



σσσσ σσσσ θθθθ σσσσ θθθθσσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

θθθθθθθθ ==== ++++ ====++++

++++−−−−

12

32 1 3 1 3

2 22cos cossen (4.6)

ττττ σσσσ σσσσ θθθθ θθθθσσσσ σσσσ

θθθθθθθθ ==== −−−− ====−−−−

( ) cos1 31 3

22sen sen (4.7)

El esfuerzo tangencial máximo en un punto , γγγγmáx es siempre igual a ( ) /σσσσ σσσσ1 3 2−−−− ; es decir, el esfuerzo tangencial máximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial máximo se produce en planos que forman ±±±± 45° con la dirección del esfuerzo principal mayor. Si el estado de esfuerzos es geostático, los esfuerzos tangenciales máximos se encontrarán sobre planos que forman 45° con la horizontal. La magnitud del esfuerzo tangencial máximo será:

Si K<<<< 1 ττττσσσσ

maxv K==== −−−−2

1( )

Si K >>>> 1 ττττσσσσ

max ( )==== −−−−v K2

1

Si K = 1 ττττ max ==== 0 Diagramas p-q En muchos problemas conviene representar, sobre un diagrama único, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra de suelo. En otros problemas se representa en un diagrama de este tipo el estado de esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos, resulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, e incluso más difícil ver lo que se ha representado en el diagrama después de dibujar todos los círculos. Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puede ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos cuyas coordenadas serían:

p ====++++σσσσ σσσσ1 3

2



(4.8)

q ==== ±±±±−−−−σσσσ σσσσ1 3

2

• q es positivo si σσσσ 1 forma un ángulo igual o menor de ± 45° con la vertical. • q es negativo si σσσσ 1 forma un ángulo menor de ± 45° con la horizontal.

En la mayoría de los casos en los que se utiliza la representación puntual, los esfuerzos principales actúan sobre planos verticales y horizontales. En este caso la ecuación (4.8) se reduce a:

p v h====++++σσσσ σσσσ2

, q v h====−−−−σσσσ σσσσ2

(4.9)

Este método equivale a representar un punto único de un círculo de Mohr: el punto más alto si q es positiva o el punto más bajo si q es negativa. Numéricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador. Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de esfuerzos, se posee toda la información necesaria para dibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sin embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de utilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de esfuerzos. Trayectorias de esfuerzos Frecuentemente se desea representar los sucesivos estados de esfuerzos que existen en una muestra de suelo al cargarla. Una forma de hacer esto es trazar una serie de círculos de Mohr. Por ejemplo, la Fig. 4.5a muestra estados sucesivos al incrementar σσσσ 1 , manteniendo constante σσσσ 3 . Sin embargo, un diagrama con muchos círculos puede resultar bastante confuso, en especial si se representan sobre un mismo diagrama los resultados de diversas pruebas. Un método más satisfactorio consiste en representar una serie de puntos (p-q) uniéndolos mediante una curva (4.5b). Esta línea se denomina trayectoria de esfuerzos. Al igual que un círculo de Mohr o un punto (p-q) representan un estado de esfuerzos, una trayectoria de esfuerzos proporciona una representación continua de sucesivos estados de esfuerzos.



Trayectoria deesfuerzos

Figura 4.5 Representación de sucesivos estados de esfuerzo en un ensayo de compresión triaxial. (a) Círculos de Mohr, (b) Trayectoria de esfuerzos en diagrama p-q.

En la Fig. 4.6a aparecen trayectorias de esfuerzos que parten de un estado para el cual σσσσ σσσσv h==== . Este es un estado inicial común en muchos tipos de pruebas de laboratorio. A partir de este estado inicial, se suele variar en general σσσσv y σσσσh en la misma magnitud ( )∆σ∆σ∆σ∆σ ∆σ∆σ∆σ∆σv h==== , o se hace variar uno de los esfuerzos principales mientras que el otro se mantiene constante (∆∆∆∆σσσσ positivo mientras ∆∆∆∆σσσσh = 0 , o ∆σ∆σ∆σ∆σ h negativo para ∆σ∆σ∆σ∆σ v ==== 0) . Por supuesto son posibles muchas otras trayectorias; pueden incrementarse simultáneamente ∆σ∆σ∆σ∆σ 1 y ∆σ∆σ∆σ∆σ 3 de forma que ∆σ∆σ∆σ∆σ ∆σ∆σ∆σ∆σ3 1 4==== / . Un estado inicial más común es que tanto σσσσ v como σσσσ h sean mayores que cero, pero σσσσ σσσσv h≠≠≠≠ . La parte (b) de la Fig. 4.6 muestra varias trayectorias de esfuerzos que parten de un estado inicial de este tipo. También tienen interés los estados de carga que parten de σσσσ σσσσ1 3 0==== ==== y en los cuales σσσσ 1 y σσσσ 3 aumentan de manera constante (Fig.4.6c). Para este tipo de carga:

pq

KK

====−−−−++++

11

(4.10)



Donde K es el coeficiente de presión o esfuerzo lateral ya definido anteriormente. La trayectoria de esfuerzos K1 corresponde a la compresión isotrópica, sin esfuerzos tangenciales. La trayectoria K0 indica la forma en que aumentan los esfuerzos en un suelo normalmente consolidado durante el proceso de sedimentación. La pendiente de la trayectoria K0 se designa por ββββ; es decir, para un estado de carga K0

pq

==== tanββββ (4.11)

Estados de carga con

Figura 4.5.- Ejemplos de trayectorias de esfuerzos.

Combinando las ecuaciones 4.10 y 4.11 se obtiene

Ktantan0

11

====−−−−++++

ββββββββ

(4.12)

Una trayectoria de esfuerzos no tiene por qué ser una recta. Por ejemplo, podemos

obligar a que los esfuerzos se apliquen de forma que ∆σ∆σ∆σ∆σ ∆σ∆σ∆σ∆σv h====14

2( ) . Una

trayectoria de esfuerzos puede estar formada por una serie de tramos rectos unidos. Dos estados de carga diferentes pueden seguir la misma curva en el plano p-q, pero



uno de ellos puede corresponder a esfuerzos crecientes y el otro a esfuerzos decrecientes. Para evitar cualquier ambigüedad, las trayectorias de esfuerzos deben llevar una punta de flecha para indicar el sentido de la carga. Resistencia mecánica por la ley de Mohr-Coulomb La resistencia mecánica de los materiales geológicos está relacionada con la resistencia al esfuerzo cortante conocido como resistencia al corte. Como pudimos observar anteriormente los materiales granulares son principalmente friccionales pero no completamente debido a varios factores. De fundamental importancia es el efecto de la presión de confinamiento que nos dice que a mayor confinamiento existe mayor resistencia.

Aumentoen presionconfinante

Resistenciaal corte

Deformacion

Figura 4.6.- Efecto de la presión confinante sobre la resistencia al corte.

En la Fig. 4.7 podemos observar el comportamiento de algunas muestras de un mismo material geológico, cuando las sometemos a compresión a diferentes presiones confinantes. Si graficamos los estados de esfuerzos cuando ocurre la falla, encontraríamos que los círculos de Mohr para los esfuerzos en las condiciones de falla definen una envolvente tangente a los círculos (ver figura 4.8). Esta envolvente de Mohr representa límites de resistencia mecánica para el material. La envolvente de Mohr puede ser definida como una función:

(((( ))))ττττ σσσσ==== f que tiene las siguientes implicaciones:



1. Condiciones de esfuerzos por debajo de la envolvente son estables. 2. Condiciones de esfuerzos por encima de la envolvente no existen, ya que

el material ya ha fallado. 3. El círculo de Mohr tangente a la envolvente ha alcanzado la resistencia

máxima en un determinado plano.

Angulo defriccioninternaCohesion

Esfuerzos Normales

Esfuerzosal corte

Figura 4.8.- Ley de Mohr-Coulomb para materiales geológicos.

Esta envolvente de Mohr es una curva para un rango grande de presiones. Para facilitar el análisis, esta envolvente de falla se lineariza (ver figura 4.8) y por lo tanto utilizamos la ley Mohr-Coulomb que se puede escribir de la siguiente manera:

ττττ σσσσ φφφφ==== ++++c tan donde c es la cohesión que representa la resistencia intrínseca de la roca y φφφφ es el ángulo de fricción interno. El carácter friccional del material geológico hace que la falla no esté ocurriendo en el plano de 45° (con respecto a la horizontal) donde ocurren los mayores esfuerzos, sino que ocurre en otro plano 45°°°°+ φφφφ/2 a menor esfuerzo.



El criterio de falla Mohr-Coulomb es tradicionalmente representado en el espacio σσσσ ττττ−−−− , ya que se trabaja con solamente dos esfuerzos principales, el mayor y el menor. Sin embargo es posible representarlo en el espacio tridimensional de esfuerzos principales σσσσ σσσσ σσσσ1 2 3−−−− −−−− . Los modelos teóricos basados en plasticidad generalmente usan este espacio tridimensional de esfuerzos para poder tomar en cuenta el esfuerzo principal intermedio. Por lo tanto, el modelo Mohr-Coulomb es generalmente utilizado para casos más simples; sin embargo, es lo suficiente robusto para muchas aplicaciones. Efecto de otros factores en la resistencia La resistencia al corte no solo está influenciada por la presión confinante sino también por otros factores. Aparte de la presión de confinamiento el factor que más afecta la resistencia al corte es la porosidad. Si todas las condiciones son iguales, el ángulo de fricción aumenta a medida que disminuye la porosidad. Otro factor de importancia es el esfuerzo principal intermedio ya que el ángulo de fricción es directamente proporcional a su magnitud. Otros parámetros de importancia son aquellos que involucran la composición de la arena tales como tamaño de grano, distribución granulométrica, angulosidad de partículas y tipo de mineral.

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