Fluidos• Concepto de Fluido• Densidad• Presión. Ecuación de la estática de fluidos. Principio de Pascal • Fuerzas ascensionales. Principio de Arquímedes.• Fuerzas sobre superficies sumergidas

Fluidos en movimiento

• Procesos de transporte. Flujo volumétrico –caudal- y Flujo másico.

• Ecuación de continuidad

• Ecuación de Bernoulli

• Viscosidad. Flujo Viscoso. Ley de Poiseuille. Arrastre por fricción

• Flujo laminar y turbulento

FLUJO DE FLUIDOS. VISCOSIDAD• Un fluido se define como una sustancia que fluye y adquiere

la forma del recipiente que lo contiene, esto es una sustancia que se deforma continuamente bajo un esfuerzo de corte, por pequeño que este sea.

La VISCOSIDAD es una muy importante propiedad en el flujo de fluidos. La viscosidad es aquella propiedad de un fluido por la cual ofrece resistencia al esfuerzo de corte. Se define como el cociente entre el esfuerzo de corte y la velocidad de deformación angular del fluido.

Cuando un fluido fluye, el fluido en contacto inmediato con una frontera solida tiene la misma velocidad que la frontera.

zv

zv

AFs

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

TIPOS DE FLUIDOS ATENDIENDO A CÓMO FLUYEN

Sólidos

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

Fluidos en movimiento . Descripción del flujo de fluidosDos procedimientos para describir el flujo de fluidos: El método Lagrangiano (llamado así en honor del matemático francés Joseph Louis Lagrange), y el método Euleriano, (nombre debido a Leonhard Euler, un matemático Suizo).

En el método Lagrangiano, se sigue cada una de las partículas y se describe su movimiento en el espacio y en el tiempo, como ya se hizo en la mecánica. La línea trazada por cada una de las partículas será su trayectoria.

El método Euleriano presta atención al flujo en su conjunto en un determinado instante. Así se visualiza el campo de flujo en su conjunto. Las líneas que enmarcan el campo de flujo se llaman líneas de corriente. Una línea de corriente es una línea que se dibuja de tal manera que es tangente a la velocidad de cada partícula en cada punto. Así, la trayectoria se refiere a la de una sola partícula en el espacio y en el tiempo, mientras que una línea de corriente representa el movimiento de muchas partículas en un determinado instante. Ambos conceptos coinciden en el caso de flujo estacionario

m, V,ρ, v, ..Línea de corrienteTubo de

corrientetrayectoria

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

Fluidos en movimiento . Descripción del flujo de fluidos

m, V,ρ, v, ..

Tubo de corriente

trayectoria

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

Línea de corriente

Sistema, se refiere a una masa definida de material, distinguiéndola del resto, al que denominaremos entorno o alrededores, mediante una frontera

Sistemas cerrados, son aquellos que no intercambian masa con el entorno, aunque sí pueden intercambiar energía

Sistemas abiertos o volumen de control, intercambian masa y energía

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

El problema es cómo describir el movimiento de las muchas partículas que constituyen el fluido.

Algunos conceptos …

Incompresible (densidad constante en el espacio y en el tiempo, en el caso de los líquidos es muy buena aproximación) y compresible

Regimen estacionario o permanente (cuando todas las magnitudes que describen el flujo en un punto del espacio, como velocidad, densidad, …, no varían con el tiempo) y no estacionario

Flujo viscoso (cuando se ponen de manifiesto fuerzas de fricción internas entre los estratos de fluido que se mueven a diferente velocidad) y no viscoso

Laminar, cuando no hay mezclas entre capas de un fluido en movimiento, esto es inyecciones de tinta de colores en distintos punto no se mezclan, y Turbulento, cuando aparecen remolinos que mezclan las capas de un fluido en movimiento.

Fluidos en Movimiento . Descripción del FLUJO

Flujo volumétrico (caudal) [m3/s]

Flujo másico [kg/s]

Sección transversal, Area A1

Sección transversal Area A2

Fluyendo de izquierda a derecha dentro del tubo de corriente

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

dSvdSvSv

dSvdSvSv

Definición rigurosa

En este caso, el elemento de superficie es perpendicular a la velocidad

S es la sección transversal, perpendicular a la velocidad, que es el promedio sobre toda la superficie

Transporte de masa y volumen

Fluidos en movimiento . Descripción del flujo de fluidos

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

Ejercicio: En las figuras Identificar el fluido (o fluidos) en movimiento.

Trazar una sección transversal al canal y a la tubería, en la parte ancha y estrecha

Dibujar las velocidad de las partículas que en un instante dado pasen por dicha sección

¿Cual sería el flujo volumétrico o caudal?

¿Cual sería el flujo másico?

Representar el perfil vertical de la velocidad del viento

Ecuación de continuidad

1v2v

A1

A2

El flujo másico que entra al tubo a través de la sección A1 : ρ1 A1 v1El flujo másico que sale del tubo a través de la sección A2 ρ2 A2 v2En estado estacionario, de acuerdo con el principio de conservación de la masa

v1; v2 : velocidad promedio sobre las Secciones A1; A2.

222111 AvAv El flujo másico tiene que ser el mismo a través de cualquier sección transversal del tubo de corriente, en estado estacionario

En el caso de flujo incompresible

21

2211 AvAv Flujo volumétrico [caudal] que pasa a través de cualquier sección transversal del tubo de corriente

La sangre fluye en la aorta de radio 1 cm a 30 cm/s. Cuál es el flujo volumétrico?. Si como consecuencia de la arterioesclerosis la aorta reduce su tamaño a un radio de 0,5 cm, cual es ahora la velocidad de la sangre? ¿qué consecuencias tiene para el corazón?

FLUIDOS. Fluidos en movimiento

FLUIDOS. Flujo laminar y turbulento

Flujo laminar y turbulentoLa turbulencia implica remolinos que mezclan capas adyacentes de fluido.Laminar: no hay mezcla turbulenta

Ecuación de BernoulliSea un flujo en una tubería como se muestra en la figura, estacionario, incompresible y no viscoso. Aplicamos el teorema del trabajo y la energía a una porción de fluido contenida entre las secciones 1 y 2. En un intervalo temporal Δt, la porción se mueve a otra región, entre las secciones 1´and 2´. Entonces

Wtodasfuerzas = ΔK [Cambio de energía cinética]

Wtodasfuerzas incluye las gravitacionales y las de presión. Al considerar flujo no viscoso, no tendremos en cuenta las fuerzas de fricción viscosa. No hay disipación de energía.

El trabajo de las fuerzas gravitaciones es el cambio en la energía potencial de la porción . Si hacemos uso de la ec. de continuidad tendremos

El cambio en la energía cinética será.

El flujo se mueve en una tubería que cambia en la altura y en el área de la sección transversal. El efecto neto del movimiento de la porción en un intervalo Δt es que una masa a una altura h1 and svelocidad v1 se transfiere a una altura h2 y velocidad v2

)()()( 2121 hhVghhgmU

)())(( 21

222

121

222

1 vvVvvmK

FLUIDOS en movimiento. ECUACIÓN DE BERNOULLI

FLUIDOS en movimiento. ECUACIÓN DE BERNOULLI

El trabajo hecho por las fuerzas de presión, tanto las que empujan como las que resisten F1 y F2

Aplicando el teorema del trabajo y la energía

)()()( 21

222

11221 vvVhhgVVPP

VPtvAPWVPtvAPW

F

F

2222

1111

2

1

Unidades: Joule (energía) [J]

Si dividimos por el volumen ΔV ambos miembros

)()()( 21

222

11221 vvhhgPP Unidades: Joule (energía) por unidad

de volumen [J/m3]Arreglando los términos

constvhgPorvhgPvhgP 2212

221

22212

111

La Ecuación de Bernoulli establece que la energía es la misma en cualesquiere dos puntos a lo largo de una línea de corriente, en el caso de flujo en regimen permanente, incompresible y no viscoso.

porción

FLUID. Basic Equations of Fluid in Motion: Bernoulli Equation

constvhgP

vhgPvhgP

2

21

222

122

212

111

A destacar en la ecuación de Bernoulli La combinación de las cantidades tiene el

mismo valor en cualquier punto de la línea de corriente.

La ecuación de Bernoulli puede deducirse integrando la ecuación de Euler, que se deriva aplicando directamente las leyes de Newton a una partícula del fluido

gv

hg

P

constg

vhg

P

2

2

22

2

Trabajo de flujo o energía debida a la presión; Unidades SI: Joule por Newton (metro). Dimensiones : Longitud

(1)

(2)

Energía potencial, debida al campo gravitatorio Unidades SI: Joule por Newton (metro). Dimensiones : Longitud

Cada término tiene las mismas unidades (1) [Energía por unidad de volumen] (2) [Energía por unidad de peso]. La expresión (1) se puede considerar también como energía por unidad de flujo volumétirco, y la expresión (2) como energía por unidad de fujo de peso

Energía cinética. Unidades SI: Joule por Newton (metro). Dimensiones : Longitud

FLUIDOS en movimiento. ECUACIÓN DE BERNOULLI

hgvb 2

La Ecuación de Bernoulli establece que la energía es la misma en cualesquiera dos puntos a lo largo de una línea de corriente, en el caso de flujo en regimen permanente, incompresible y no viscoso.

Ley de Torricelli En el caso de un líquido en un tanque en el que se ha practicado un agujero a una distancia Δh debajo de la superficie del agua, podemos considerar una línea de corriente que conecte los puntoas a y b, y entonces, aplicando la ecuación de Bernoulli

Ley de Torricelli: El agua sale del agujero con la misma velocidad que alcanzaría si cayera libremente de una alturaΔh

222

122

212

111 vhgPvhgP

2212

21

bbbaaa vhgPvhgP La presión en cada punto es la misma (la atmosférica) y la velocidad en la superficie del tanque puede ser considerada nula, luego

Ejercicio: Un gran depósito abierto tiene un agujer de 10 cm, situado 10 m debajo de la superficie libre del agua. (a) calcular la velocidad del agua que sale porel agujero. (b) ¿Cual es ll flujo volumétrico que sale? © ¿Cual es el flujo másico?. (d) Si el flujo que sale mueve una turbina de eficiencia 100% ¿cual es la potencia máxima que podremos

FLUIDOS. Ecuación de Bernoulli. Aplicaciones

El venturímetro, o cómo medir flujo volumétricoEl venturímetro, mostrado en la figura, es un dispositivo para medir el caudal que circula en una tubería cerrada, y consiste en una garganta. Si aplicamos la ecuación de Bernoulli, tendremos:

222

122

212

111 vhgPvhgP

1 2

222

12

212

11 vPvP

La ecuación de continuidad

2211 vAvA

Cuando la velocidad del fluido se incrementa, en una línea de corriente, la presión siminuye. Eso se llama “efecto Venturi”

La velocidad en la gargante se incrementa, por lo que la presión cae

El flujo volumétrico, o caudal, Q)(

)(222

21

21212211 AA

PPAAvAvAQ

FLUIDOS en movimiento. ECUACIÓN DE BERNOULLI

EL Venturímetro

)()(222

21

21212211 AA

PPAAvAvAQ

Cómo medir la diferencia de presiones P1-P2

1.-Colocando un tubo abierto en la parte superior, pues aplicando ahí la ecuación de la hidrostática, ya que la columna está en reposo

1 2h1h2

22

11

hgPPhgPP

atm

atm

hghhgPP )( 2121

2.- También podemos insertar un tubo en U, llenado parcialmente con un líquido de ρL, que conecte las secciones 1 y 2, como se muestra en la figura

En este caso, la diferencia de presiones estarádeterminada por la diferencia de alturas en el manómetro hgPP L 21

FLUIDOS en movimiento. ECUACIÓN DE BERNOULLI

21222

122

212

111

pérdidasvhgPvhgP

La ecuación de la energía

Si consideramos flujo viscoso, podemos introducir las pérdidas de energía por dicha fricción,

La energía disponible en 1 es igual a la energía disponible en 2, más las pérdidas entre las dos secciones

Bombas, TurbinasSi una bomba está impulsando el fluido entre las secciones 1 y 2, la energía que está aportando al fluido podría ser contabilizada en la ecuación de Bernoulli. De forma similar sería contabilizada la energía extraída del fluido por una turbina, molino de viento, etc. Teniendo en cuenta que Potencia/Flujo Volumétrico = Energía por unidad de volumen

Energía por unidad de voumen

QPowervhgPvhgP 2

221

22212

111

Ecuación de Bernoulli. Aplicaciones

sifonUn sifon es un instrumento que permite trasvasar líquido de un contenedor a otro en la forma indicada en la figura. El tubo debe ser llenado para iniciar el sifón una vez hecho esto el fluido circulará por el tubo.

(a) Mostrar, usando la ec. De Bernoulli, que que el flujo volumétrico que circula por el sifón es S.√(2gd), donde S es la sección del sifón. ¿En qué condiciones se detiene el flujo del sifón?.

Tubo de PitotLa figura muestra un tubo de Pitot, un instrumento para medir la velocidad del gas. El tubo interior se pone frente al flujo de fluido, mientras que los agujeros del tubo exterior están paralelos al flujo. Deducir que la velocidad del gas está dada por:

v2= 2gh(ρL-ρg)/ ρg

ρL densidad del líquido en el manómetroρg densidad del gas

FLUIDOS. Ecuación de BERNOULLI

Agua fluye por la tubería indicada en la figura y sale a la atmósfera al final de la sección C. El diámetro del tubo en A es 2.0 cm; 1.00 cm en B and 0.8 cm en C. La presión manométrica en el tubo en el centro de la sección A es 1,22 atm, y el flujo volumétrico es de 0,8 litros/s.

Los tubos verticales están abiertos. Encontrar la altura que alcanza el agua en dichos tubos.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

Porqué los aviones vuelan

http://www.inta.es/descubreAprende/Hechos/Hechos05.htm

(a) Campo de velocidades (b) Campo de presiones

¿qué o quién ejerce las fuerzas que sustentan el avión?¿es cierto que los aviones van como colgados de las alas?

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

Atomizador

FLUIDOS. Fluidos EN MOVIMIENTO. Flujo Viscoso y No viscoso

Flujo viscoso y no viscosoFlujo viscoso es aquel en que la fricción interna del fluido tiene efectos apreciables. Flujo no viscoso implica no disipación de energía mecánica Para fluidos que presentan pqueña viscosidad, los efectos de la fricción interna son apreciables solamente en una región estrecha que circunda la frontera de la superficie del sólido. Hipótesis de la capa límite. La condición de no deslizamiento “no-slip condition” para fluidos viscosos establece que en la superficie frontera del sólido, el fluido tendrá una velocidad cero relativa a la frontera del sólido. La velocidad del fluido en cualquier frontera líquido-sólido es la misma que la de la superficie del sólido. Conceptualmente, podemos pensar que las moléculas del fluido más cercanas a la superficie del sólido se “pegan”a las moléculas del sólido sobre las cuales fluye.

FLUIDOS. Fluidos EN MOVIMIENTO. ARRASTRE

Arrastre. Fuerzas de arrastre: Un objeto sumergido en un fluido que fluye está sometido a una fuerza ejercida por el fluido en la dirección señalada por la velocidad del fluido, llamada arrastre.

Esta fuerza de arrastre se debe a dos efectos.

Por un lado se encuentra el arrastre por fricción en la superficie, (skin friction drag) el cual se debe al efecto de la viscosidad, por el esfuerzo de corte, en la dirección del flujo;

el otro efecto es el denominado arrastre debido al perfil, o forma, (form, or profile, drag), que es causado por una menor presión en la cara del objeto situada a “sotavento”

FLUIDOS en movimiento: Flujo Viscoso. ViscosidadEsfuerzo de corte Fs/A

Deformación ∆X/L

En un sólido el esfuerzo de corte es proporcional a la deformación

Capa límite: Aquella región del espacio que se ve afectada por la presencia de la frontera del sólido

dzdv

AF

zv

AF

srigurosaformade

s

La viscosidad dinámica es el coeficiente de proporcionalidad entre el esfuerso de corte y la velocidad de deformación

Unidades SI: Pascal x segundo; 1 Pa. s = 10 poise

Perfil de velocidades. Flujo turbulento

La fricción interna se explica como consecuencia de la agitación molecular (en el caso de un flujo laminar) o bien en el intercambio de “paquetes de fluido”, en el caso de flujo turbulento, entre capas horizontales adyacentes Capas adyacentes

intercambian “paquetes” de fluido mediante remolinos

FLUIDOS en movimiento: Flujo Viscoso. Viscosidad

zv

zv

AFs

El coeficiente de viscosidad de un líquido suele decrecer con el incremento de temperatura. En el caso de los gases la evolución es la opuesta.

Calcular la viscosidad cinemática del agua 20 ºC.

La viscosidad dinámica del aceite de oliva es 80 cP -10-2 Poise- a 20ºC y su densidad relativa al agua a la misma temperatura es 0.915. Expresar la viscosidad en Pa.s y calcular su viscosidad cinemática

Calcular el esfuerzo de corte necesario para mantener una velocidad de deformación de1 m/s a través deuna distancia de z = 1 cm (a) en agua; (b) en aceite de motor

Viscosidad cinemática

Coeficiente de viscosidad dinámica

Fluidos. Flujo Viscoso. LEY DE POISEUILLE

Tubo horizontal, flujo estacionario, sección transversal constante, FLUJO LAMINAR

P1

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la presión tendría que ser constante; en realidad observamos una caida de presión ΔP = P1-P2.

ΔP = P1-P2 = Q R

R: resistencia al flujo; depende de la longitud L, del rado, r y de la viscosidad del fluido Q: caudal o flujo volumétrico

P2

Como resultado de las fuerzas de fricción, la velocidad no es constante a lo largo de un diámetro de la sección transversal de la tubería. La velocidad será cero en la pared (condición de no deslizamiento), y máxima en el centro

4

4

8

8

rLR

QrLP

Ley de Poiseuille

Flujo Laminar,estacionario y tubo horizontal

FLUIDOS en movimiento. Turbulencia. Número de Reynolds.

Ejercicio: Petróleo tiene una visocidad de 0.200 Pa.s. Se desa construir un oleoducto horizontal de 50.0 km para transportar 500 litros/s. El flujo debe ser laminar. Si la densidad del petróleo es 700 kg/m3 (a) estimar el diámetro del oleoducto. (b) Calcular la potencia de las bombas necesarias para mantener constante el flujo.

Transición del flujo laminar al turbulento. Número de Reynolds:

La transición de un flujo laminar a turbulento depende de muchos factores. La turbulencia implica una mayor caida de presión, y por tanto mayor rozamiento.

El tipo de flujo (laminar o turbulento) se caracteriza por un parámetro adimensional llamado el número de Reynolds, Re, que se define como

vr2Re

Para el caso de un flujo en un tubo: Re < 2000 Laminar Re > 3000 Turbulentr radio del tubo; ρ Densidad;

v: velocidad (promedio en la sección); η viscosidad

FLUIDOS. PERDIDA DE CARGA EN FLUJOS VISCOSOS.

Ecuación de cantidad de movimiento.

Aceite de oliva fluye en una tubería horizontal de radio r = 10 cm en flujo laminar y estacionario. El caudal es 20 litros por segundo. (a) ¿Cual es la velocidad promedio en la sección transversal?. (b) ¿Cual es la caida de presión en una longitud de L = 10 m?. Estimar el máximo caudal que es posible transportar manteniendo laminar el flujo. En este caso estimar la caida de presión en la distancia L= 10 m. Propiedades del aceite de oliva a 20º: Viscosidad: 80 cP; densidad: 915 kg/m3.

L= 10m