Esercizi svolti sui sistemi lineari - Matematica Di...

Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t:!"#

"$

!t x + (t ! 1)y + z = 1

(t ! 1)y + t z = 1

2 x + z = 5

(1)

Soluzione. Il determinante della matrice dei coe!cienti e

det

%

&'!t t ! 1 1

0 t ! 1 t

2 0 1

(

)* = t2 ! 3 t + 2

quindi si annulla per t = 1 e t = 2.Se t "= 1 # t "= 2 si ha un’unica soluzione (il sistema e quadrato); con il metodo di Cramer si

ottiene:

(x, y, z)T =

+5 t ! 5

t ! 2;

5 t2 + t ! 2

t2 ! 3 t + 2;

5 t

2 ! t

,T

. (2)

I valori t = 1 e t = 2 devono essere studiati separatamente:

• per t = 1 il sistema (1) diventa:

!"#

"$

!x + z = 1

z = 1

2 x + z = 5

$

!"#

"$

x = 0

z = 1

x = 2

$ sistema impossibile

• per t = 2 il sistema (1) diventa: !"#

"$

!2 x + y + z = 1

y + 2 z = 1

2 x + z = 5

con l’eliminazione di Gauss si ottiene:-

./!2 1 1 1

0 1 2 1

2 0 1 5

0

12 %

-

./!2 1 1 1

0 1 2 1

0 1 2 6

0

12 %

-

./!2 1 1 1

0 1 2 1

0 0 0 5

0

12 $ sistema impossibile

In definitiva abbiamo:3

se t "= 1 # t "= 2 il sistema ha un’unica soluzione (si veda la (2));

se t = 1 & t = 2 il sistema e impossibile.



Esercizio 2. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale k:!"#

"$

x + y + kz = 2

x + y + 3 z = k ! 1

2 x + ky ! z = 1

(1)


det

%

&'1 1 k

1 1 3

2 k !1

(

)* = k2 ! 5 k + 6

quindi si annulla per k = 2 e k = 3.Se k "= 2 # k "= 3 si ha un’unica soluzione (il sistema e quadrato); con il metodo di Cramer si

ottiene:

(x, y, z)T =

+k(k + 2)

k ! 2;!2 k ! 4

k ! 2; !1

,T

. (2)

I valori k = 2 e k = 3 devono essere studiati separatamente:

• per k = 2 il sistema (1) diventa: !"#

"$

x + y + 2 z = 2

x + y + 3 z = 1

2 x + 2 y ! z = 1

con l’eliminazione di Gauss otteniamo:-

./1 1 2 2

1 1 3 1

2 2 !1 1

0

12 $

-

./1 1 2 2

0 0 1 !1

0 0 !5 !3

0

12 $

-

./1 1 2 2

0 0 1 !1

0 0 0 !8

0

12 % sistema impossibile ;

• per k = 3 il sistema (1) diventa: !"#

"$

x + y + 3 z = 2

x + y + 3 z = 2

2 x + 3 y ! z = 1

con l’eliminazione di Gauss si ottiene:-

./1 1 3 2

1 1 3 2

2 3 !1 1

0

12 $

-

./1 1 3 2

0 0 0 0

0 1 !7 !3

0

12 $

-

./1 1 3 2

0 1 !7 !3

0 0 0 0

0

12

ponendo z = t (parametro libero) otteniamo le soluzioni:

%

'xyz

(

* =

%

'5 ! 10 t!3 + 7 t

t

(

* . (3)

In definitiva abbiamo:!"#

"$

se k "= 2 # k "= 3 il sistema ha un’unica soluzione (si veda la (2));

se k = 2 il sistema e impossibile;

se k = 3 il sistema ha &1 soluzioni (si veda la (3)).

2



Esercizio 3. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale k:!"#

"$

kx + y = !1

4 x + 2 y = !k

6 x + 3 y = !3

(1)

Soluzione. Il determinante della matrice completa e

det

%

&'k 1 !1

4 2 !k

6 3 !3

(

)* = 3 k2 ! 12 k + 12 = 3 (k ! 2)2

quindi si annulla solo per k = 2.Se k "= 2 il sistema e impossibile (infatti, se k "= 2, il rango della matrice completa e 3, mentre

il rango della matrice dei coe!cienti, essendo 3# 2, e $ 2 per ogni k % R).Resta da analizzare il caso k = 2: ponendo k = 2 nel sistema (1) abbiamo

!"#

"$

2 x + y = !1

4 x + 2 y = !2

6 x + 3 y = !3

con l’eliminazione di Gauss risulta:%

&'2 1 !1

4 2 !2

6 3 !3

(

)* &

%

&'2 1 !1

0 0 0

0 0 0

(

)*

ponendo y = t (parametro libero) abbiamo le seguenti soluzioni:

+x

y

,=

%

&'

!1 ! t

2

t

(

)* . (2)

In definitiva abbiamo:-

se k "= 2 il sistema e impossibile;

se k = 2 il sistema ha '1 soluzioni (si veda la (2)).



Esercizio 4. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale k:!"""#

"""$

x + y + z = 0

x + y + kz = k

x + (k ! 1)y = 0

x + (k ! 1)y + kz = k

(1)


det

%

&&&'

1 1 1 0

1 1 k k

1 k ! 1 0 0

1 k ! 1 k k

(

)))* = k2 ! 2 k = k(k ! 2)

quindi si annulla per k = 0 e per k = 2.Se k "= 0 # k "= 2 il sistema e impossibile. Ora dobbiamo analizzare i due casi k = 0 e k = 2.

• Ponendo k = 0 nel sistema (1) abbiamo:!"""#

"""$

x + y + z = 0

x + y = 0

x ! y = 0

x ! y = 0


&&&'

1 1 1 0

1 1 0 0

1 !1 0 0

1 !1 0 0

(

)))*$

%

&&&'

1 1 1 0

0 0 !1 0

0 !2 !1 0

0 !2 !1 0

(

)))*$

%

&&&'

1 1 1 0

0 !2 !1 0

0 0 !1 0

0 !2 !1 0

(

)))*$

%

&&&'

1 1 1 0

0 !2 !1 0

0 0 !1 0

0 0 0 0

(

)))*

si ha quindi un’unica soluzione: x = y = z = 0.• Per k = 2 il sistema (1) diventa: !

"""#

"""$

x + y + z = 0

x + y + 2 z = 2

x + y = 0

x + y + 2 z = 2


&&&'

1 1 1 0

1 1 2 2

1 1 0 0

1 1 2 2

(

)))* $

%

&&&'

1 1 1 0

0 0 1 2

0 0 !1 0

0 0 1 2

(

)))* $

%

&&&'

1 1 1 0

0 0 1 2

0 0 0 2

0 0 0 0

(

)))* % sistema impossibile

In definitiva abbiamo:+

se k "= 0 il sistema e impossibile;

se k = 0 il sistema ha un’unica soluzione (x, y, z)T = (0, 0, 0)T .

Si osservi che il caso k = 2 e compreso nel caso k "= 0.



Esercizio 5. Risolvere il seguente sistema lineare al variare dei parametri reali k, h:!"#

"$

x + 2 y ! 2 z = 0

x ! y ! z = !2 h

2 x + k y ! 2 z = !1

(1)


det

%

&'1 2 !2

1 !1 !1

2 k !2

(

)* = !k ! 2

e quindi si annulla per k = !2: il sistema ammette pertanto un’unica soluzione se e solo se k "= !2;con il metodo di Cramer si ricava

!""""""""#

""""""""$

x = !4(h k ! 2 h + 1)

k + 2

y =4 h ! 1

k + 2

z = !2 h k ! 8 h + 3

k + 2

(2)

Andiamo a studiare il caso k = !2: la matrice completa e

%

&'1 2 !2 0

1 !1 !1 !2 h

2 !2 !2 !1

(

)*, seguendo

l’algoritmo di Gauss troviamo:%

&'1 2 !2 0

1 !1 !1 !2 h

2 !2 !2 !1

(

)* #

%

&'1 2 !2 0

0 !3 1 !2 h

0 0 0 4 h ! 1

(

)*

il sistema ammette soluzioni se e solo se 4h! 1 = 0, ovvero se e solo se h =1

4. Con questo valore

di h il sistema ammette le soluzioni!"""#

"""$

x = 4 t ! 1

y = t

z = 3 t! 1

2

con t $ R . (3)

In definitiva abbiamo:!""""#

""""$

se k "= !2 il sistema ammette un’unica soluzione (si veda la (2));

se k = !2 % h =1

4il sistema ha &1 soluzioni (si veda la (3));

se k = !2 % h "= 1

4il sistema e impossibile .




"$

x ! 2 y = 0

2 x + 2 h y = 1

x + k y = 1

(1)


det

%

&'1 !2 0

2 2 h 1

1 k 1

(

)* = 2 h ! k + 2

se 2 h ! k + 2 "= 0 il sistema risulta impossibile (infatti la matrice dei coe!cienti ha rango # 2,mentre la matrice completa ha rango pari a 3).

Resta ora da analizzare il caso 2h ! k + 2 = 0: ricavando k abbiamo k = 2 h + 2, sostituendonella matrice completa ed e"ettuando due passaggi dell’algoritmo di Gauss si ha:

%

&'1 !2 0

2 2 h 1

1 2 h + 2 1

(

)* $

%

&'1 !2 0

0 2 h + 4 1

0 2 h + 4 1

(

)*

la terza equazione puo essere trascurata, quindi basta studiare la matrice

+1 !2 0

0 2 h + 4 1

,;

se h = !2 (da cui k = 2 · (!2) + 2 = !2) il sistema risulta impossibile;se h "= !2 il sistema ammette un’unica soluzione:

!""#

""$

x =1

h + 2

y =1

2(h + 2)

. (2)

In definitiva:!"#

"$

se k "= 2 h + 2 il sistema e impossibile;

se h = !2 % k = !2 il sistema e impossibile;

se h "= !2 % k = 2 h + 2 il sistema ammette un’unica soluzione (si veda la (2))




"$

x + h y + k z = k

k x + z = 0

x + h y + z = 2

(1)

Soluzione. Il determinante della matrice dei coe!cienti e:

det

%

&'1 h k

k 0 1

1 h 1

(

)* = k h (k ! 1) ;

se k "= 0 # k "= 1 # h "= 0 il sistema ammette un’unica soluzione:!""""""""#

""""""""$

x =k ! 2

k(1 ! k)

y =k + 2

k h

z =k ! 2

k ! 1

(2)

Analizziamo ora i tre casi particolari.Caso k = 0: sostituendo nella matrice completa e seguendo l’algoritmo di Gauss si ottiene:

%

&'1 h 0 0

0 0 1 0

1 h 1 2

(

)* $

%

&'1 h 0 0

0 0 1 0

0 0 0 2

(

)*

dalla terza riga segue che il sistema e impossibile.Caso k = 1: sostituendo nella matrice completa e seguendo l’algoritmo di Gauss si ottiene:

%

&'1 h 1 1

1 0 1 0

1 h 1 2

(

)* $

%

&'1 h 1 1

0 !h 0 !1

0 0 0 1

(

)*

dalla terza riga segue che il sistema e impossibile.Caso h = 0: sostituendo nella matrice completa e seguendo due passaggi dell’algoritmo di Gauss

si ottiene:%

&'1 0 k k

k 0 1 0

1 0 1 2

(

)* $

%

&'1 0 k k

0 0 1 ! k2 !k2

0 0 1 ! k 2 ! k

(

)* $

%

&'1 0 k k

0 0 1 ! k 2 ! k

0 0 1 ! k2 !k2

(

)*

1

a questo punto, supponendo k "= 1 (il caso k = 1 e stato gia studiato), possiamo e"ettuare l’ultimopassaggio dell’algoritmo di Gauss:

%

&'1 0 k k

0 0 1 ! k 2 ! k

0 0 1 ! k2 !k2

(

)* $

%

&'1 0 k k

0 0 1 ! k 2 ! k

0 0 0 !k ! 2

(

)*

si hanno soluzioni se !k ! 2 = 0, ovvero se k = !2 ; in tal caso le soluzioni sono le seguenti:!""""""#

""""""$

x =2

3

y = t

z =4

3

con t % R (3)

In definitiva:!"""""""""#

"""""""""$

se k "= 0 # k "= 1 # h "= 0 il sistema ammette un’unica soluzione data dalla (2) ;



se h = 0 # k = !2 il sistema ammette &1 soluzioni, fornite dalla (3);

se h = 0 # k "= !2 il sistema e impossibile.

2

Risoluzione di un quesito presentato all’Esame di Maturità Indirizzo Scientifico P.N.I., riguardante i sistemi lineari parametrici

Durante una normale lezione curricolare in una classe quarta ad indirizzo sperimentale P.N.I. si è affrontato un quesito riguardante un sistema lineare di equazioni parametriche. Siccome tale quesito presenta caratteristiche interessanti, che permettono anche una visione geometrica del problema, mi è parso utile proporlo in questo svolgimento. Esame di Maturità P.N.I. sessione ordinaria 1998, quesito n° 2. Consideriamo il seguente sistema lineare

1

00

( 1) 1 02 1

2 1

k x ykx yx y h

! " " #$% " " #&% ! ! ! #'

Consideriamo il determinante della matrice completa del sistema 1 1 1

2 1 12 1 1

kk

h

! "( # "

" " sottraendo alla prima riga la seconda si ottiene

) *) * ) *1 0 02 1 1 1 1 1 12 1 1

kk k h

h

" "( # " # " ! " # "

" "h k

1

0

.

Per il rango della matrice completa è uguale a tre; questo comporta che il sistema è impossibile in quanto il rango della matrice incompleta è pari a due (teorema di Rouché - Capelli).

0h k+ , +

Passiamo adesso ad un’analisi geometrica del sistema. La prima equazione del sistema rappresenta un fascio di rette le cui generatrici sono:

ed il cui centro è 1

2

: 1: 0

r x yr x

" " ##

1(0; 1)C " .

La seconda equazione del sistema rappresenta un fascio di rette le cui generatrici sono:

ed il cui centro è . 1

2

: 1: 0

s ys x" " ##

0

1

2(0; 1)C "

Le prime due equazioni del sistema sono due fasci con lo stesso centro. La terza equazione è un fascio improprio di rette

: 2ft y x h# " " " ; qual è la retta del fascio che passa per il centro degli altri due fasci? Imponiamo che la retta t passi per (0; 1)C " ed otteniamo 0h # e : 2t y x 1# " "

Sistema che non ammette soluzioni

Sistema determinato

2

Pertanto, quando il sistema è determinato qualunque sia il valore di . La soluzione del

sistema è

0h # k01

xy#$

& # "'Osserviamo, inoltre, che quando 0h #

1. per il valore di tale che cioè k 1k ! # "2 3k # " otteniamo il sistema 2 16 1

2 1

x yx yx y

" " " #$%" " " #&% ! ! #'

00

0 in cui la prima e la terza equazione coincidono, graficamente equivale a:

2. per il valore di tale che cioè k 2k # "2 1k # " otteniamo il sistema 1 0

2 12 1

yx yx y

" " #$%" " " #&% ! ! #'

00

in cui la seconda e la terza equazione coincidono, graficamente equivale a:

3

3. per il valore di tale che cioè k 1 2k k! # 1k # otteniamo il sistema

2 12 12 1

x yx yx y

" " #$% " " #&% ! ! #'

000

in cui la prima e la seconda equazione coincidono, graficamente equivale a:

4

Le tre rette formeranno un triangolo nel piano quando

10 1

3

kh k

k

+$%+ , + "&% + "'

5

SISTEMI LINEARI Nedo Checcaglini, January 2005

x =

!!!!8 - 4m !310 + m 1

!!!!!!!!

2 !33 1

!!!!

, y =

!!!!2 8! 4m3 10 + m

!!!!!!!!

2 !33 1

!!!!

, z = z ,

con z che puo assumere valori arbitrari.d) Risolvere il sistema:

"2x + 3y + z = 44x + 6y + 2z = 9.

ove m (equazioni) < n (incognite).Si puo facilmente verificare (considerando le sottomatrici quadrate di

ordine 2) che il rango della matrice incompleta#

2 3 14 6 2

$e uguale a 1,

mentre il rango della matrice completa#

2 3 1 44 6 2 9

$e uguale a 2. Non

essendo uguali i due ranghi, il sistema e incompatibile (non ha soluzioni).

1.3 Sistemi lineari parametrici

Particolare importanza, specialmente per l’esame di stato, assume la risolu-zione di sistemi parametrici; seguono esempi con uno, due e tre parametririspettivamente.

Esempi:a) Risolvere e discutere, al variare del parametro k il seguente sistema

lineare:%&

'

x + y ! z = 12x + 3y + kz = 3x + ky + 3z = 2

Per quanto riguarda la matrice incompleta si ha:!!!!!!

1 1 !12 3 k1 k 3

!!!!!!= !k2 + k + 6.

Tale determinante e "= 0, e quindi il sistema e crameriano (cioe ammetteuna ed una sola soluzione) per k "= 2 # k "= !3.

Per k = 2 si ha ovviamente:

!!!!!!

1 1 !12 3 21 2 3

!!!!!!= 0, per cui il rango della

matrice incompleta non e 3 (ed e 2 come si puo facilmente verificare), ed ilsistema o e indeterminato o e impossibile.

7


Presa in considerazione la matrice completa

!!!!!!

1 1 !1 12 3 2 31 2 3 2

!!!!!!, per gli altri

minori che si possono estrarre si osserva che:!!!!!!

1 1 12 3 31 2 2

!!!!!!= 0,

!!!!!!

1 !1 13 2 32 3 2

!!!!!!= 0,

!!!!!!

1 !1 13 2 31 3 2

!!!!!!= 0

e quindi anche la matrice completa non ha rango 3 (e quindi ovviamentedue) per cui, per il teorema di Rouche-Capelli il sistema e compatibile edammette $n!k =$3!2 =$1 soluzioni.

Per k = !3 si ha ovviamente:

!!!!!!

1 1 !12 3 !31 !3 3

!!!!!!= 0, (e quindi il rango della

incompleta non e 3), ma poiche dalla matrice completa

!!!!!!

1 1 !1 12 3 !3 31 !3 3 2

!!!!!!

si puo estrarre un minore

!!!!!!

1 1 12 3 31 !3 2

!!!!!!= 5 "= 0, il rango della matrice

completa e 3 ed il sistema e impossibile.b) Si stabiliscano le relazioni cui debbono soddisfare a e b a!nche il

sistema di equazioni:

%&

'

ax + y + bz = 1x + y + az = 1x + ay + bz = 1

ammetta un’unica soluzione o

infinite soluzioni o nessuna soluzione.A!nche il sistema ammetta una e una soluzione e necessario che il

determinante della matrice incompleta sia diverso da zero. Si ha:!!!!!!

a 1 b1 1 a1 a b

!!!!!!= ab + ab + a ! (b + a3 + b) = 2b(a ! 1) ! a(a2 ! 1) =

(a! 1)[2b! a(a + 1)] e quindi il sistema ammette una ed una soluzione per

(a! 1)[2b! a(a + 1)] "= 0 e cioe per a "= 1 # b "= a(a + 1)2

.Si hanno inoltre i seguenti casi:i) a! 1 = 0 # 2b! a(a + 1) "= 0ii) a! 1 = 0 # 2b! a(a + 1) = 0iii) a! 1 "= 0 # 2b! a(a + 1) = 0

i) a = 1#b "= 1% per la matrice incompleta

!!!!!!

1 1 b1 1 11 1 b

!!!!!!= 0, ma anche la

matrice completa

(

)1 1 b 11 1 1 11 1 b 1

*

+ non puo avere rango tre poiche la prima e

la terza riga sono uguali e, per le proprieta dei determinanti, tutte le matricidel terzo ordine hanno determinante nullo % il sistema e indeterminato

8


o impossibile. Poiche si e posto b "= 1 entrambe le matrici, completa eincompleta, hanno rango 2 e quindi il sistema e compatibile ed ammette$n!k =$3!2 =$1 soluzioni.

ii) a = 1 # b = 1% per la matrice incompleta

!!!!!!

1 1 11 1 11 1 1

!!!!!!= 0, ma anche

la matrice completa

(

)1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

*

+ non ha rango 3 ed entrambe, come si

puo facilmente vedere hanno rango 1 % il sistema e compatibile (teoremadi Rouche-Capelli) ed ammette $n!k = $3!2 =$1 soluzioni.

iii) a "= 1 # b =a(a + 1)

2% la matrice incompleta

(

,)a 1 a2+a

21 1 a

1 a a2+a2

*

-+ ha

rango 2 (ovviamente non 3) e la matrice completa

(

,)a 1 a2+a

2 11 1 a 11 a a2+a

2 1

*

-+ ha

almeno un minore di ordine 3 diverso da zero; infatti si ha:!!!!!!

a 1 11 1 11 a 1

!!!!!!= 2a! 1! a2 = !(a! 1)2che e diverso da zero per a "= 1 %

la matrice completa ha rango 3 per cui il sistema e impossibile.c) Determinare la condizione necessaria e su!ciente, con h, k, l para-

metri reali, per l’esistenza di soluzioni (una o infinite) del sistema:%&

'

x + y + 2z = h4x! z = kx! 3y ! 7z = l

Poiche

!!!!!!

1 1 24 0 !11 !3 !7

!!!!!!= 0!1!24!(0!28+3) = 0, il rango della matrice

incompleta non e 3 (ma e 2 come si puo facilmente verificare). Allora,a!nche il sistema abbia soluzioni, anche la matrice completa deve avererango 2, per cui tutti i minori di ordine tre che si possono estrarre dallamatrice devono essere nulli.

Si ha, considerando ovviamente solo gli altri tre minori:!!!!!!

1 2 h0 !1 k!3 !7 l

!!!!!!= !l + k ! 3h;

!!!!!!

1 1 h4 0 k1 !3 l

!!!!!!= !4l + 4k ! 12h e

9


!!!!!!

1 2 h4 !1 k1 !7 l

!!!!!!= !9l + 9k! 27h, per cui in ogni caso, ponendoli uguali a

zero, si ha la relazione cercata: l + 3h! k = 0.

Indice

1 SISTEMI LINEARI 11.1 Sistemi di n equazioni in n incognite . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sistemi di m equazioni in n incognite . . . . . . . . . . . . . 51.3 Sistemi lineari parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

10

Esercizi svolti sui sistemi lineari - Matematica Di...

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