Identificazione dei sistemi:modelli lineari e non lineari

Dai Dati alla Conoscenza

Nell’area dell’automatica il processo di identificazione ha come obiettivo la ricerca di modelli dinamici di un sistema (equazioni differenziali o alle differenze) che descrivono le interazioni tra variabili di ingresso e di uscita, a partire da dati osservati di ingresso-uscita

Sistema: oggetto (parte di realtà) in cui variabili di differente natura (ingressi e disturbi) interagiscono e producono effetti osservabili (uscite)

identificazione a scatola nera:si hanno a disposizione solo i dati I/O

le leggi che regolano i fenomeni sono sconosciute o molto complesse la struttura del modello viene descritta generalmente da equazioni

(differenziali o alle differenze) ingresso-uscita i parametri del modello non sono interpretabili fisicamente

identificazione a scatola grigia:si dispone di informazioni aggiuntive

alcune parti del sistema sono modellate secondo leggi fondamentali, altre come una scatola nera

alcuni parametri del modello possono essere interpretati fisicamente

identificazione a scatola trasparente:(modellistica)il sistema si può decomporre in sottosistemi di cui si conoscono le leggi fisiche ed i parametri (unione di più modelli)

Esempio di struttura Gray-Box

Supponiamo di voler identificare un modello per le variazioni della temperatura di una stanza al variare della tensione applicata ad una stufa elettrica

Le leggi fisiche da considerare coinvolgerebbero le equazioni relative alla potenza della stufa, la trasmissione del calore per conduzione e convezione, ecc…

Un modello Black-Box tra tensione e temperatura non dà risultati soddisfacenti ma…

…la fisica elementare ci dice che è la potenza della stufa piuttosto che la tensione che causa le variazioni di temperatura!!!

un modello tra il quadrato della tensione e la temperatura potrebbe quindi migliorare sensibilmente le prestazioni

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1

21

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Classificazione dei modelli in base agli obiettivi:

•Modelli interpretativi:Razionalizzano le informazioni disponibili sul comportamento di un sistema sostituendo i dati con il meccanismo che li ha generati, non è richiesta la capacità di generare altri set di dati, hanno quindi un range di validità limitato (econometria,

ecologia,fisica).

•Modelli predittivi:Sono sviluppati per predire il comportamento futuro del sistema(in genere vengono utilizzati per individuare azioni di controllo)

•Modelli per la stima dello stato:Consentono la stima di variabili interne a partire da misure I/Oaffette da rumore (monitoraggio di processi naturali o industriali)

•Modelli per la diagnosi:consentono di individuare situazioni di funzionamento anomale(guasti nei sensori o nei componenti del processo)

•Modelli per la simulazione:sostituiscono il sistema consentendo di valutare le prestazioni di politiche di controllo e di valutare l’effetto di operazioni pericoloseo costose(la possibilità di un effettivo utilizzo dipende fortemente dallaaccuratezza del modello)

A cosa serve un modello?

• Verifica immediata di ipotesi e teorie

• Predizione del comportamento futuro di un sistema

• Realizzazione di esperimenti altrimenti impossibili

• Risparmio di tempo, attrezzature, denaro

• Maggiore elasticità di progettazione

• Migliore comprensione dei fenomeni

• Correlazione tra teoria e sperimentazione

• Maggiore chiarezza nella presentazione dei risultati

• I modelli costituiscono in ogni caso una: ‘rappresentazione abbastanza buona di alcuni aspetti del sistema’ di cui devono essere stabiliti i limiti di validità

• Il grado di accuratezza richiesto al modello dipende dalla sua applicazione

• Il grado di accuratezza è limitato anche dal grado di complessità tollerabile, dal tempo a disposizione per sviluppare il modello, dalle informazioni contenute nei dati, dalle conoscenze a priori, dal grado di nonlinearità, dalla possibilità di effettuare esperimenti, dal costo delle misure, dalla precisione dei sensori, dal rumore di misura

Rasoio di Occam (1300): tra i modelli che descrivono lo stesso fenomeno si deve scegliere il modello più semplicePopper (1900): tra i modelli che rappresentano le osservazioni disponibili si deve scegliere quello che consente di spiegare ‘as little else is possible’ (most powerful unfalsified model)dim. matematica: se il modello è ricavato da dati incerti, all’aumentare della complessità del modello aumenta l’incertezza sui suoi parametri

Ipotesi:

Sistema tempo invariante a parametri concentrati

Modelli lineari o non lineari?

Tutti i sistemi reali sono, in misura più o meno accentuata, non lineari Se sono rispettate alcune condizioni : - variazioni delle grandezze piccole rispetto al punto di lavoro nominale - è sufficiente avere un modello approssimato del sistema

- è possibile ricorrere ad una approssimazione lineare del sistema, ricorrendo eventualmente a modelli diversi nei diversi punti di lavoro

in questo caso:la teoria è in grado di prevedere le prestazioni del modellole procedure numeriche sono più sempliciil progetto di un eventuale sistema di controllo è facilitato

Qualora tali approssimazioni non siano lecite è necessario ricorrere a strutture non lineari

(Quale struttura?)

ingredienti

• dati sperimentali

• insieme di modelli candidati (scelti utilizzando tutte le informazioni a priori disponibili: ordine del sistema, dinamiche lente o veloci, stabilità, presenza di ritardi, frequenza di campionamento, grado e tipo di non linearità)

• regola con la quale determinare il modello nella classe dei candidati sfruttando le informazioni contenute nei dati

• criterio per la valutazione della qualità del modello ottenuto

Le Fasi del Processo di Identificazione

(L. Ljung, 1999)

Progettodegli

Esperimenti

Ottenimento edPreprocessamento

dei Dati Sperimentali

Selezione dellaStruttura del

Modello

Selezione delCriterio

Stima del Modello

Validazione del Modello

OK

Not OK

Conoscenza A Priori

Cause di fallimento

• la procedura numerica non ha trovato il modello migliore tra i candidati secondo il criterio scelto

(minimi locali nelle procedure di ottimizzazione, malcondizionamento)

• il criterio non è adeguato• la classe dei modelli non è adeguata• i dati non contengono abbastanza informazioni (pochi

esperimenti, troppo rumore)

Scelta delle variabili di ingresso

Si può fare in base a:

Conoscenze sulla fisica del processo

Conoscenze empiriche degli operatori

Indici di correlazione

Trial and error

Scelta dei dati ed esperimenti

Lo scopo degli esperimenti è quello di collezionare dati in grado di rappresentare l’intera dinamica del sistema

I modelli ottenuti non possono fornire più informazioni di quante non ne siano contenute nei dati!!!

Progetto degli Esperimenti

Selezione del tipo di ingressi con i quali si ecciterà il sistema. Devono essere sufficientemente ricchi al fine di sollecitare tutti i modi del sistema (persistenza dell’eccitazione)

Solo i modi osservabili e controllabili del sistema possono essere identificati

Tipi comuni di ingressi: rumore bianco, pseudo-random binary sequence, treni di gradini/impulsi, sinusoidi, forme tipiche relative al processo in esame

Scelta del tempo di campionamento • I segnali (di ingresso e di uscita di un processo) possono essere pensati come la sovrapposizione di segnali elementari (sinusoidi).• ‘L’insieme’ di tali sinusoidi costituisce lo ’spettro del segnale’’ (determinabile utilizzando opportuni strumenti: analizzatore di spettro).

Lo spettro del segnale di uscita di un sistema dipende dal corrispondente spettro del segnale in ingresso e dalle ‘proprietà filtranti’ del sistema

Tutti i sistemi reali possono generare in uscita segnali che non si estendono oltre una certa frequenza massima (banda passante del sistema)

onda quadra spettro

Teorema del campionamento

Se si campiona un segnale a frequenza almeno doppia rispetto alla massima frequenza contenuta nel segnale, è possibile ricostruire, senza perdita di informazione in segnale originale

se il teorema non viene rispettato si può incorrere in problemi di aliasing e non è possibile ricostruire il segnale originario partendo dai dati campionati

Sinusoide campionata a diverse frequenze

Non rispetta il teorema

di Shannon

Lo spettro di un segnale campionato è costituito da repliche dello spettro del segnale originario, che si ripetono a un intervallo di frequenza costante e pari alla frequenza di campionamento.Se non è rispettato il teorema di Shannon tali repliche si sovrappongono (Aliasing) e non è possibile risalire, a seguito di una operazione di filtraggio allo spettro del segnale originario.

Spettro del segnale

Frequenza di campionamento

Campionamento

Spettro del segnale campionato

Spettro del segnale

Frequenza di campionamento

Campionamento

Spettro del segnale campionato

Altri criteri per la scelta del tempo di campionamento

Il segnale campionato deve rappresentare la dinamica del sistema

Sistema di primo ordinePolo: -10

Costante di tempo 1/10=0.1

Tempo di salita 3* 0.1

T=0.01100 campioni

T=0.05 =ts/6 20 campioni

T=0.110 campioni

Sistema del secondo ordine

ts=1 sec ta=5 sec

T=0.2 =ts/5 40 campioni

T=0.1 80 campioni

T=1 8 campioni

T=0.1 sec

Sistema del quarto ordine

T=0.2 sec=ts/6

T=4 sec T=1 sec

Criteri generali :

ts/5 < T < ts/10

ta/10 < T < ta/50

T < della più piccola costante di tempo

f=1/T > 2* fmax

Se T è troppo piccolo:

• occorre manipolare un numero eccessivo di dati senza migliorare l’informazione che contengono

• si rischia di campionare il rumore

• dati troppo simili tra loro creano problemi numerici agli algoritmi

• il tempo di elaborazione aumenta

•Il costo di acquisizione aumenta

• Se si hanno dubbi sulla correttezza del campionamento, si può calcolare lo spettro del segnale campionato:

Se questo mantiene valori elevati a tutte le frequenze (nel discreto le frequenze vanno da zero a 0.5 volte la frequenza di campionamento) è ragionevole supporre che sia stata scelta una frequenza di campionamento troppo bassa.

Se la banda occupata dallo spettro è una frazione piccola dell’intervallo a disposizione è stata utilizzata una frequenza di campionamento inutilmente elevata.Può essere opportuno in tale caso procedere ad un filtraggio digitale dei dati. Ciò permette di risparmiare risorse e elimina rumore (di misura) a frequenze elevate.

Come è possibile verificare se è stato rispettato il Teorema del Campionamento?

Adeguatezza del Tempo di Campionamento

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2003

3.5

4

4.5

5

5.5

6

5 10 15 20 25 30 35 40 45 503

3.5

4

4.5

5

5.5

6

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 50 100 150 200 250 300 3500

10

20

30

40

50

60

Tc adeguato Tc troppo grande