Un campo elettrico uniforme di 1500 N/C orientato nella direzione positiva dellasse x. Si impone che il potenziale sia nullo allorigine. Si trovi il potenziale nei punti (a) x = 3m, (b) x = 5m, (c) x = 12 m e (d) x = -3 m.

y

E

xx1 x2

xx2

Variazione di energia potenziale = - (lavoro fatto dalle forze del campo)

x

x2

Consideriamo uno spostamento di modulo d :

x1

W2 - W1 = - (mg d cos 180) = mgd

x1

W1 W2 = - (mg d cos 0) = - mgd

EAnche nel caso elettrostatico la variazione di energia potenziale di una carica che si sposta in un campo elettrico definita allo stesso modo.La formula per calcolarla in funzione del campo elettrico la seguente:

(1) W2 - W1 = - Ex (x2 x1) q

qE

Consideriamo lo spostamento di una carica q negativa :

xx1 x2

Per definizione: W2 - W1 = - ( |q E | d cos 180) = |q E | d ( > 0)

qE

Usando la relazione (1) : W2 - W1 = - Ex (x2 x1) q = - | E | d q ( > 0)

La variazione di potenziale definita come variazione di energia potenziale per unit di carica:

V2 - V1 = (W2 - W1)/q = - Ex (x2 x1)

Il potenziale nel punto 2 possiamo definirlo a meno di una costante arbitraria (per esempio possiamo attribuire un valore a piacere al potenziale nel punto 1) :

V2 = - Ex (x2 x1) + V1 Nel nostro esercizio possiamo prendere il punto x = 0 come punto 1 (nel quale V = 0), mentre il punto 2 definito dalla x che ci interessa di volta in volta:

V(x) = - Ex (x 0) + V(0) = - Ex x

xEEx = 1500 N/C

y

V(x) = - Ex x

(a) V(3m) = - 1500 N/C 3m = - 4500 V

(b) V(5m) = - 1500 N/C 5m = - 7500 V(c) V(12m) = - 1500 N/C 12m = - 18000 V(d) V(-3m) = - 1500 N/C (-3m) = + 4500 V

Una carica di prova positiva q0 = 4 C, inizialmente ferma, viene lasciata libera di muoversi nel punto x = -3m nel campo elettrico uniforme dellesercizio precedente (considerare lenergia potenziale nulla nellorigine). Si trovi: (a) lenergia potenziale nel punto x = -3m; (b) lenergia cinetica quando raggiunge lorigine; (c) lenergia cinetica quando raggiunge il punto x = +3 m.

E

xx = - 3m

E

x = + 3m

W(x) = q0V(x) == - Ex x q0

x = 0

(a) W(-3m) = 4 C 4500 V = 1,8 10-2 J

EW(x) = q0V(x)

Applichiamo la conservazione dellenergia:

W(x) + mv2 = Etot = cost

xx = - 3m x = + 3mx = 0

(b) Ec(x=0) = Etot(-3) W(0) = Ec(-3) + W(-3) W(0) = = 0+ W(-3) 0= 1,8 10-2 J

(c) Ec(x=+3m) = Etot W(3) = Ec(-3) + W(-3) - W(3) = = 0 + 1,8 10-2 - (- 1,8 10-2 ) = 3,6 10-2 J

Esame di Fisica del 20/07/2004Esercizio n.2

Tra le due armature di un condensatore presente un campo elettrico di modulo E = 2000 V/m. Una particella di massa m = 10-8 kg e carica q = 1 C si stacca dallarmatura positiva in A con velocit iniziale nulla e viene attratta dallarmatura negativa in B. La distanza fra le due armature di 15 cm. Calcolare:

a) la variazione di energia potenziale elettrostatica della particella fra le armature A e B;

b) la velocit della particella in B;c) il tempo impiegato dalla particella a raggiungere larmatura negativa B.c) il tempo impiegato dalla particella a raggiungere larmatura negativa B.

+++++++

-

-

-

-

-

-

-

d = 15 cm

A B

a)

WB - WA = q(-Ed) =

+++++++

-

-

-

-

-

-

-

d = 15 cm

ERicordando la relazione:

W2 - W1 = - Ex (x2 x1) q

la variazione di energia potenziale elettrostatica della particella fra le armature A e B;

= -10-6 20001510-2 = - 0.3 10-3 J + -

A B

b) la velocit della particella in B;

Conservazione dellenergia:

WA + ECA = WB + ECB

+++++++

-

-

-

-

-

-

-

d = 15 cm

A BWA + 0 = WB + mv2

v = 245 m/s

mv2 = WA - WB = 0.3 10-3 J

v2 = (2 0.3 10-3 )/ 10-8

c) il tempo impiegato dalla particella a raggiungere larmatura negativa B.

Moto uniformemente accelerato:

d = at2

a = F/m = qE/m

+++++++

-

-

-

-

-

-

-

d = 15 cm

E

d = (qE/m) t2

t = (2md)/(qE) = 0.0012 s = 1.2 ms

+ -

A B

Una particella di massa m = 1mg e carica q = 6C inizialmente ferma su unarmatura di un condensatore carico positivamente. Il modulo del campo elettrico nel condensatore vale E1 = 2000 V/m e la distanza fra le armature vale d1 = 10 cm. La particella viene lasciata libera e, attratta dallarmatura opposta, fuoriesce dal condensatore attraverso un foro. Successivamente la particella entra in un secondo condensatore le cui armature distano d2 = 4 cm, come in figura. Ponendo uguale a zero il potenziale dellarmatura positiva del primo condensatore (V+ = 0), calcolare:

a) il potenziale della sua armatura negativa;a) il potenziale della sua armatura negativa;b) la velocit di uscita della particella dal primo condensatore;c) il modulo massimo del campo elettrico nel secondo condensatore per consentire alla particella di arrivare sulla sua armatura positiva.

++++++++

++++++++++

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

q

d1 = 10 cm d2 = 4 cm

xV+ V-

+++++++++

+++++++++

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

q

d1 = 10 cm d2 = 4 cm

V2 V1 = -Ex (x2 x1)In generale:

a) il potenziale della sua armatura negativa;

+++++

++++++

-

-

-

-

-

-

-

-

xV+ V-

V-

V+ = V- - 0 = -Ex (x2 x1) = - 2000 0.1 = -200 V

Ec1 ++ W1+ = Ec1-+ W1-

0 + qV+ = mv2 + qV-

b) la velocit di uscita della particella dal primo condensatoreConservazione dellenergia nel primo condensatore:

v = 48989 m/s

0 + 0 = mv2 1200 J

++++++++++

++++++++++

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

q

d1 = 10 cm d2 = 4 cm

c) il modulo massimo del campo elettrico nel secondo condensatore per consentire alla particella di arrivare sulla sua armatura positiva.

E = E

1. Lenergia cinetica con cui la particella entra nel condensatore 2 la stessa di quella con cui uscita dal condensatore 1

++++

++++

-

-

-

-

-

-

-

-

xV+ V-

Ec2- = W2+- W2-

Ec2- + W2- = 0 + W2+

Ec1- = Ec2-

Ec2- + W2- = Ec2+ + W2+2. Allinterno del secondo condensatore lenergia meccanica si conserva

-W2+- W2- = - E2 d2 q

3. Conosciamo lespressione della differenza di energia potenziale tra le armature in funzione di campo elettrico, distanza tra le armature stesse e carica:

Ec2- = W2+- W2-= - E2 d2 qQuindi dalle equazioni 2 e 3 otteniamo:

-

Ec2- = W2+- W2-= - E2 d2 q

Ec1- = - W1- = - E1 d1 qinoltre avevamo gi osservato che

Ec1- = Ec2-Ricordando che

qE1d1= qE2d2deduciamo che

E2 = E1d1/d2 = 5000 V/m

Esercizio n.3

Un fluido di densit 0000 = 1000 kg/m3 si trova tra le piastre di uncondensatore che generano un campo elettrico di modulo E =4000 V/m. Un cubo elettricamente carico di lato L = 0,1 m edensit = 2000 kg/m3 in equilibrio al centro del condensatore.Calcolare:

a) La spinta di Archimede sul cubo;b) La carica elettrica presente sul cuboc) L accelerazione del cubo dopo aver scaricato il condensatore.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

a) spinta di archimede sul cubo:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

SA

SA = 0 L3 g = 10 N

b) carica elettrica presente sul cubo:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

SA

SA = 10 N

mg = (L3) g = 20 N mg

Fe

SA + Fe = mg

0L3g + qE = L3g

q = (L3g - 0L3g)E = 0,0025 C

mgPrima legge di Newton

c) Laccelerazione del cubo

F = mg - SA = 10 N = ma

a = 5 m/s2

Nel nostro caso

-+V

S

qx

RBqVm

Rx22

2 ==

v

Risolvendo questa espressione rispetto ad m si ottiene:

KgVqxB

m

25

219222

103863,3

10008

6254,1106022,108,0

8

=

=

==

Esercizio n.2

Una sfera di raggio R = 0,1 m e carica q = 1 C si muove in acqua (0 = 1000 kg/m3 ) con velocit orizzontale v = 20 m/s in presenza di un campo magnetico B = 1 T uscente dal foglio. Calcolare:

a) Modulo direzione e verso della forza di Lorentz;b) La spinta di archimede sulla sfera; c) La densit della sfera assumendo che continui a muoversi con velocit costante.

v

a) Modulo direzione e verso della forza di Lorentz;

v

FL = qVB = 1 20 1 = 20 N

FL

b) La spinta di archimede sulla sfera;

v

SA

SA = 0 pi R3 g = 41 N 43

c) La densit della sfera assumendo che continui a muoversi con velocit costante

v

SA

SA = FL + mg

FLmg

m = (SA - FL)/g = 2,22 kg

= m/V = 514 kg/m3

Un filo rettilineo di rame orizzontale percorso da una corrente i = 28 A. Qual lintensit del campo magnetico necessario a far galleggiare il filo cio a bilanciare la sua forza di gravit sapendo che la massa per unit di lunghezza del filo pari a 46,6 g/m?

BLiFM =L iLBiLBF

BLiF

M

M

==

=

90sinB

L B

FP

FM

FF

BLiFM=

=

Tig

Lm

Limg

B

mgiLB

FF PM

23

106,128

81,9106,46

=

=

==

=

=

Uno ione di carica q = 1,6022 10-19 C viene introdotto in uno spettrometro di massa dopo essere stato accelerato attraverso una differenza di potenziale V = 1000 V. Il un campo magnetico dello spettrometro vale in modulo B = 80 mT. La lastra fotografica viene impressionata ad una distanza x dalla fenditura di ingresso pari ad x = 1,6254 m. Determinare la massa dello ione considerato.

-+V

S

qx

R

v

Applichiamo il principio di conservazione dellenergia per determinare la velocit con cui lo ione penetra nel campo magnetico.

021

0)(2

=+

=+

mvqV

EW c

mqV

v2

=

-+V

S

qx

R

v

A questo punto sappiamo che la particella entrando nel campo magnetico uniforme con velocit vsubir una forza (di Lorentz)

Applichiamo il principio di conservazione dellenergia per determinare la velocit con cui lo ione penetra nel campo magnetico.

021

0)(2

=+

=+

mvqV

EW c

mqV

v2

=

B

-+V

S

qx

R

v

La forza di Lorentz tender, poich B ortogonale a v, a far percorrere alla particella una traiettoria circolare di raggio:

BqVm

mqV

qBm

qBmv

R122

===

Un gas perfetto perde calore a volume costante in modo che la sua pressione diminuisca da 2,2 atm a 1,4 atm. Poi il gas si espande a pressione costante, da un volume di 6,8 l a 9,3 l, dove la temperatura al suo valore iniziale. Calcolare (a) il lavoro totale compiuto dal gas nel processo; (b) la variazione dellenergia interna del gas da A a C; (c) il calore totale assorbito o ceduto dal gas.

P

A2,2 atm

V

A

B C

9,3 l6,8 l

1,4 atm

2,2 atm

VP

A

B C

9,3 l6,8 l

1,4 atm

2,2 atm

(a) il lavoro totale compiuto dal gas nel processo;

V9,3 l6,8 l

a) WABC = WAB + WBC W = PV

WAB = 0 WBC = PB (VC - VB)

WABC = 1,4 (9,3 6,8) = 3,5 latm = 3,5 10-3 105 = 3,5 102 J

PA

B C1,4 atm

2,2 atm

(b) la variazione dellenergia interna del gas;

V9,3 l6,8 l

b) Poich TC = TA, non c variazione di energia interna:

UAC = 0

VP

A

B C

9,3 l6,8 l

1,4 atm

2,2 atm

(c) il calore totale assorbito o ceduto dal gas.

V9,3 l6,8 l

c) I principio della termodinamica: U = Q - W

QABC = WABC + UAC UAC = 0WABC = 3,5 102 J

QABC = WABC + UAC = 3,5 102 J (assorbito dal sistema)

Una mole di un gas perfetto monoatomico si trova a 273 K e a 1 atm. Si trovino lenergia interna iniziale e quella finale e il lavoro compiuto dal gas, se ad esso si forniscono 500 J di calore (a) a pressione costante e (b) a volume costante.

Per un gas perfetto monoatomico: U = 3/2 nRT

Calcoliamo lenergia interna iniziale:

a)

Calcoliamo lenergia interna iniziale:

Ui = 3/2 nRTi = 3/2 0,08206 273 = 33,6 latm = 3,4 kJ

L energia interna finale sar:

Uf = 3/2 nRTf Tf ?

I principio della termodinamica: Q = W + U

Q = P (Vf - Vi) + 3/2 nRTf - 3/2 nRTi

Gas perfetti: PV = nRT

Q = nRTf - nRTi + 3/2 nRTf - 3/2 nRTi

Q = 5/2 nR (Tf - Ti)

Tf = + Ti = 297 K2Q5 nR

Uf = 3/2 nRTf = 3,7 kJ U = 300 J

I principio della termodinamica: W = Q - U

W = 500 300 = 200 J

b)

I principio della termodinamica: U = Q - W

In una trasformazione a volume costante il lavoro nullo: W = 0

Quindi:

a volume costante.

U = Q = 500 J

Visto che Ui = 3,4 kJ, si avr:

Uf = 3400 + 500 = 3,9 kJ

Inoltre: Uf = 3/2 nRTf Tf = 312,7 K

Un gas perfetto inizialmente alla pressione di 4 atm e ha il volume di 1 l. Esso si espande isotermicamente finch la sua pressione non diventata 1atm e il suo volume non diventato 4 l. Calcolare il lavoro compiuto.

P

P1

V

P2

V2V1

W isotermico = nRT lnV2V1

PP2

P1

VV2V1

Gas perfetti: PV = nRT

Gas perfetti e trasformazione isoterma: nRT = P1V1 = P2V2

nRT = P1V1 = 4 atm 1 l = 400000 Pa 0,001 m3 = 400 J

W isotermico = nRT ln = 400 ln = 554,5 J V2V1

4

1

Se 200 cm3 di t alla temperatura di 95C vengono versati in una tazza di vetro di massa pari a mT = 150g che si trova alla temperatura iniziale di 25C, quale sar la temperatura finale del t e della tazza quando viene raggiunto lequilibrio termico assumendo che non fluisca calore dallambiente.Si assuma che i calori specifici di tazza e t valgano rispettivamente ct = 4186 J/kgC e ctazza = 840 J/kgC

Un cubetto di ghiaccio viene preso dal freezer a 8,5 C e posto in un calorimetro di alluminio da 100 g riempito con 300 g di acqua alla temperatura di 20 C. Si osserva che la miscela finale solo acqua liquida a 17 C. Quale era la massa del cubetto di ghiaccio?

alluminio

ghiaccioacqua

La quantit di calore assorbita dal ghiaccio uguale alla quantit dicalore ceduta dal calorimetro e dallacqua:

Qg = Qal + Qacqua

Ghiaccio a 8,5 C

Ghiaccio a 0 C

Q1 = cgmT1 = cgm(0+ 8,5)

Q2 = fgm

Acqua a 0 C

Q3 = cH2OmT2 = cH2Om(17- 0)Acqua a 0 C

Acqua a 17 C

Qg = Q1 + Q2 + Q3

Qal = calmalT = calmal(17- 20)

QH2O = cH2OmH2OT = cH2OmH2O (17- 20)

cgm(8,5) + fgm + cH2Om(17) = calmal(3) +cH2OmH2O (3)

m = calmal(3) +cH2OmH2O (3)cg (8,5) + fg + cH2O (17)

= 0,0096 kg

fg= 3,33 105 J/kg cg=2100 J/kg CcH2O= 4186 J/kg C cal= 900 J/kg C

Siano R1 = 100 , R2 = 200 , le resistenze nel circuito mostrato in figura, con f.e.m. = 80 V. La resistenza R2 immersa in una massa di acqua (calore specifico = 4180 J kg-1 K-1 ) pari a 1 kg, contenuta in un recipiente a pareti isolanti. Si calcoli:a) La corrente che circola in R2. b) La potenza dissipata in R2 per effetto Joule.c) La variazione di temperatura subita dallacqua dopo 3 minuti.

R1

R2

f.e.m. = 80 V

a) corrente che circola in R2 :

I = f.e.m./R2 = 80/200 A = 0.4 A

R1

R2

f.e.m. = 80 V

P = I2R2 = 0.4 0.4 200 W = 32 W

b) potenza dissipata in R2 per effetto Joule:

P = I fem=fem2/R2 = 32 W

c) variazione di temperatura subita dallacqua dopo 3 minuti:

E = Pt = 32 3 60 = 5760 J

Energia dissipata dalla resistenza e assorbita dallacqua nei 3 minuti:

Dalla definizione di calore specifico abbiamo:

Q = c m T

R1

R2

f.e.m. = 80 VE = Pt = 32 3 60 = 5760 J

quindi:

T = E/(c m) = 5760/4180 = 1.4 K

Siano R1 = 100 , R2 = 200 , le resistenze nel circuito mostrato in figura, con f.e.m. = 80 V. La resistenza R2 immersa in una massa di acqua (calore specifico = 4180 J kg-1 K-1 ) pari a 1 kg, contenuta in un recipiente a pareti isolanti. Si calcoli:a) La corrente che circola in R2. b) La potenza dissipata in R2 per effetto Joule.c) La variazione di temperatura subita dallacqua dopo 3 minuti.

R1

R2

f.e.m. = 80 V

Una mole di un gas perfetto si trova allequilibriotermodinamico, contenuta in un cilindro con una parete mobileposto alla base del recipiente in figura. Ad un certo punto nelrecipiente versata acqua (densit 0 = 1000 Kg/m3) fino adunaltezza h=10 m. Nellipotesi che la temperatura del gas resticostante e pari a 300 K, calcolare (si prenda la pressioneatmosferica P0 = 105 Pa e la costante dei gas R = 8,314 J K-1mole-1):a) Il volume occupato dal gas prima che venga versata lacqua;a) Il volume occupato dal gas prima che venga versata lacqua;

h

Gas perfetti: PV = nRT

Prima che venga versata lacqua: P1V1 = nRT

a) volume occupato dal gas prima che venga versata lacqua:

V1 =nRT

P1=

8,314 300

100000= 0.025 m3

b) la pressione alla base del recipiente dopo aver versato lacqua;

h

P = P0 + 0gh =

= 100000 Pa + 1000 10 10 Pa

= 200000 Pa

c) Il volume occupato dal gas dopo aver versato lacqua.

h

Dopo aver versato lacqua: P2V2 = nRT

con P2 = 200000 Pa

V2 =nRT

P2=

8,314 300

200000= 0.0125 m3

Siano R1 = 250 , R2 = 50 , R3 = 300 , R4 = 100 le resistenze nel circuito mostrato in figura. Sia V = 40 V. Si calcoli:

a) La resistenza equivalente di tutto il circuito. b) La corrente I che fluisce nel circuito.c) Lenergia dissipata in R4 in mezzora.

R1

R2

R4

R3

V = 40 V

I

R23 = R2 + R3 = 350

a)

R1

R2

R4

R3

V = 40 V

I

R23 = R2 + R3 = 350

R1

R4

R23

1/R123 = 1/R23 + 1/R1

a)

= (1/350 + 1/250) 1

R1

R4

R23

R123

R123 = 145.8

= 0.0068 1I

R4V = 40 V

R123

R123 = 145.8

R1234 = R123 + R4 = 245.8

I

R4

R123

V = 40 VV = 40 V

I R1234

V = 40 V

b)

I = V/R1234 = 0.16 AI R1234

V = 40 V

PR4 = I2R4 = 2.56 W

ER4 = PR4 t = 2.56 60 30 = 4608 J

c)

R1

R2

R4

R3

I

In un condotto a sezione circolare condiametro DI = DIII = 5 cm, DII = 3cm (vedifigura) scorre acqua con velocit vI = 1 m/s.Calcolare:

III

DIII = 5 cm

III

DII = 3 cm

III

DI = 5 cmvI

a) la velocit nel tratto II;

AIVI = AII VII VII = AIVI / AII

VII = pirI2VI /pirII2 = 2.77 m/s

III

DIII = 5 cm

DII = 3 cm

III

DI = 5 cm vI

b) la differenza di pressione fra i tratti I, II;

PI + gyI + VI2 = PII + gyII + VII2

PI + 0 + VI2 = PII + 0 + VII2

PI - PII = (VII2 - VI2) = 3358 Pa

III

DIII = 5 cm

DII = 3 cmDI = 5 cmvI

c) la differenza di pressione fra i tratti II e III, sapendo che il tratto III si trova ad unaltezza di 15 cm rispetto al tratto II.

PII + gyII + VII2 = PIII + gyIII + VIII2

PII + 0 + VII2 = PIII + gyIII + VIII2

PII - PIII = (VIII2 - VII2) + gyIIIPII - PIII = (VIII2 - VII2) + gyIII= -3358 Pa + 1000 10 0.15 Pa

= -1858 Pa III

DIII = 5 cm

DII = 3 cmDI = 5 cmvI

Esercizio n.1

Un corpo di massa m1 = 6 kg si muove con velocit v1 = 4m/s su un piano privo diattrito ed urta in modo completamente anelastico un corpo di massa m2 = 2 kginizialmente fermo. Dopo lurto i due corpi restano attaccati e passano su un pianoruvido con coefficiente di attrito dinamico d2 = 0.2 e lunghezza S =1 m. Inseguito proseguono su un piano privo di attrito e poi su un secondo piano conattrito (d2 = 0.4 ) fino a fermarsi. Calcolare:a) La perdita di energia cinetica del sistema dovuta allurto;b) Lenergia cinetica del sistema dopo aver attraversato il primo piano con attrito;b) Lenergia cinetica del sistema dopo aver attraversato il primo piano con attrito;c ) La distanza percorsa sul secondo piano con attrito prima di fermarsi.

v1

S

m1 m2

Pi

Vfm1V1

=

a) Conservazione della quantit di moto:

Pf

+ m2 )(m1=

Vf = 3 m/s

La variazione di energia cinetica nellurto sar:

Ec = (m1 + m2)vf2 mv12 =

= 36 J 48 J = -12 J

b) Variazione di energia meccanica a causa dellattrito:

Ec = (m1 + m2)vf22 (m1 + m2) vf2 =

= - d(m1 + m2) g S

(m1 + m2)vf22 = (m1 + m2) vf2 - d(m1 + m2) g S

(m1 + m2)vf22 = 36 16 = 20 J

(m1 + m2)vf22 = d2(m1 + m2) g S2

S2 = 0,625 m

c) Distanza percorsa prima di fermarsi:

S2 = 0,625 m

Un corpo di massa m1 = 4 kg entra con velocit v1 = 8 m/s su un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico = 0.2. Dopo aver percorso un tratto di lunghezza S1 = 1.3 m, esso urta in modo totalmente anelastico un corpo di massa m2 = 1 kg inizialmente fermo nel punto B. I due corpi proseguono attaccati lungo un tratto orizzontale privo di attrito di lunghezza S2 = 1 m. Nellistante in cui avviene lurto in B, si lascia cadere un corpo di massa m3 da unaltezza H nel punto indicato in figura.nel punto indicato in figura.

a) la velocit di m1 nel punto B (immediatamente prima dellurto);

Ecin = EB EA = La = - m1gS1

E = E - m gS = m V 2 - m gS = 117,6 J

Teorema dellenergia cinetica:

EB = EA - m1gS1 = m1VA2 - m1gS1 = 117,6 J

VB = 7.7 m/s

Quindi: m1VB2 = 117,6 J

b) la velocit comune dei due corpi m1 e m2 dopo lurto.Conservazione della quantit di moto:

Pi = Pf

Vfm1VB + m2 )(m1=

Vf = 6.2 m/s

c) Laltezza H dalla quale bisogna lasciar cadere il corpo m3affinch arrivi nel punto C contemporaneamente agli altri due corpi.

Leggi orarie:

H = g(tm3)2S2 = vf tm12

tm12 = S2/vf = 0.16 s tm3 = V2H/gImponiamo tm12 = tm3 : V2H/g = 0.16 s

Risulta H = 0.13 m

Esercizio n. 1

Un proiettile di massa m = 100g viene sparato con velocit v1 = 400 m/s dauna distanza S1 = 20m contro una sfera di legno di massa M=2kginizialmente in equilibrio appesa ad un filo. Contemporaneamente vienesparato un secondo proiettile di massa m = 100g e velocit v2 = 300 m/s dauna distanza S2 in modo che colpisca la sfera contemporaneamente al primo.Dopo lurto i proiettili restano conficcati nella sfera che oscilla verso destra.

Esame di Fisica del 20/02/2007

Calcolare:

S2S1

v1 v2H

a) La distanza S2 dalla quale deve essere sparato il secondo proiettile affinchcolpisca la sfera contemporaneamente al primo:

S2S1

v1 v2H

t1 = S1/v1 t2 = S2/v2

S2 = S1V2/V1 = 15 m

Imponiamo t1 = t2 : S1/v1 = S2/v2

b) La perdita di energia cinetica del sistema dovuta allurto dei proiettili conla sfera (urto totalmente anelastico).

v1 v2H

x

Pi =Conservazione della quantit di moto: Pf

Vfm mV1 V2+ + m + M )(m=Vfxm mV1x V2x- + m + M )(m=

0,1 400 - 0,1 300 = 2,2 Vfx Vfx = 4,54 m/s

La variazione di energia meccanica nellurto sar:

Ec = (2m + M)vfx2 mv12 mv22 =

= 22,7 J 12500 J = -12477,3 J

c) La massima altezza H raggiunta dai tre corpi dopo lurto.

S2S1

v1 v2H

(2m + M)vfx2 = (2m + M)gH

H = vfx2 /2g = 1,05 m

Un proiettile, la cui massa m = 5 Kg, viene sparato verso lalto, in direzione verticale, con velocit iniziale vo = 4 m/s.Raggiunta la massima quota, il proiettile esplode dividendosi in due pezzi, di massa m1 ed m2 incognite, che vengono lanciati in direzione orizzontale rispettivamente con velocit orizzontali v1 e v2, anchesse incognite. I due pezzi cadono verso il suolo. Allimpatto con il suolo, le loro gittate sono rispettivamente G1 = 7 m e G2 = 9 m. Calcolare: Calcolare:

a) Il tempo necessario al proiettile a raggiungere la massima quota;b) Le velocit orizzontali v1 e v2 delle due masse immediatamente dopo lesplosione;c) I valori delle masse m1 ed m2.

m2

v1v2

m

m1

v0

m m1m2

G2 G1

v1 2

v = vo + at

0 = vo gt t = vo/g = 4/9.81 = 0.41 s

Alternativamente :

a) Il tempo necessario al proiettile a raggiungerela massima quota;

gv

HmgHmv oo 221 22

==

gv

tg

vgtH oo ===

22

1 22

G1 = v1 * t v1= G1/t = 7/0.41 = 17.1 m/s

G2 = v2 * t v2= G2/t = 9/0.41 = 21.9 m/s

b) Le velocit orizzontali v1 e v2 delle due masse immediatamente dopo lesplosione;

22110 vmvm =

mmm =+ 21 21 mmm =

c) I valori delle due masse m1 ed m2.

Conservazione della quantit di moto lungo la direzione orizzontale e conservazione della massa :

( ) 2212 vmvmm =

Kgvv

mvm 19.2

9.211.17

1.175

21

12 =+

=

+=

Kgmmm 81,219,2521 ===

Le due masse M e m riportate in figura si trovano in equilibrio su un piano inclinato (=30). Calcolare il valore di M in assenza di attrito quando m=80g;Calcolare il coefficiente di attrito statico se lequilibrio si realizza con M=50g e m=80g in presenza di attrito tra m e il piano inclinato.