Gestione dei Progetti - esercizi svolti

Esercizi e complementi di Ottimizzazione nella

Gestione dei Progetti

Marco Pranzo

16 Aprile 2009

1 Organizzazione concerto rock

I promotori di un evento rock devono svolgere le attivita (Tabella 1) per organizzare unconcerto. Si disegni la rete delle attivita (AoN) del progetto e si calcoli il minimo numerodi giorni necessari per organizzare un concerto, evidenziando le attivita critiche.

Che cosa succede se la tipografia consegnera i volantini pubblicitari in ritardo, facendoquindi incrementare la durata dellattivita C da 5 a 9 giorni?

1.1 Svolgimento

In Figura 1 e rappresentata la rete AoN che rappresenta il progetto. Si osservi comele attivita di inizio non e necessaria, essendo A la naturale attivita di inizio progetto.Mentre indichiamo con il nodo fine progetto. Le attivita riportate in Tabella 1 nonrispettano lordinamento topologico, quindi si deve applicare lalgoritmo di ordinamentotopologico. Lunica attivita senza predecessori e A, dopo la sua rimozione B, E ed F sonole attivita senza predecessori. Eliminando B rimangono senza predecessori le attivitaC, J e H. Eliminando E non si genera nessuna attivita senza predecessori. A seguitodella rimozione di F, lattivita I rimane senza predecessori. Eliminando C, J e H non si

Descrizione Indice Predecessori Durata (giorni)Individuazione del sito A Nessuno 3Assunzione personale B A 2

Stampa volantini C B 5Dettagli ultimo minuto D G 2

Contatti con agenti di vendita E A 3Affitto apparecchiature F A 3

Prove generali G H,I 2Preparazione dei trasporti H B 1

Istallazione impianto acustico I B,F 4Pubblicita radio e TV locale J B 2

Tabella 1: Dettaglio delle attivita

1

B

IF

A

C

H3

3

2

1

4

J

2

5

G D

*

2

E3

2

Figura 1: Rete AoN del progetto

Attivita EST LST TFA 0 0 0B 3 4 1E 3 11 8F 3 3 0C 5 9 4J 5 12 7H 5 9 4I 6 6 0G 10 10 0D 12 12 0 14 14 0

Tabella 2: Calcolo del cammino critico

causa nessuna attivita senza predecessori. La rimozione di I provoca lattivita G senzapredecessori. Lalgoritmo termina eliminando G, e infine lattivita D. Lordinamentotopologico ottenuto e A,B,E,F,C,J,H,I,G,D.

Individuato un ordinamento topologico si puo procedere con il calcolo della durata delprogetto e lindividuazione delle attivita critiche. Ci limitiamo a calcolare gli EST e LSTdi ogni attivita. I risultati sono mostrati in Tabella 2. Il concerto potra cominciare nonprima di 14 giorni e le attivita critiche sono A, F, I, G, D.

Nel caso in cui la stampa dei volantini (attivita C) duri 9 giorni invece di 5, alloralo slittamento (total float) dellattivita verra ridotto a zero. Il concerto potra comunquecominciare dopo 14 giorni, ma in questo caso vi saranno due cammini critici di ugualdurata (A,F,I,G,D) e (A,B,C).

2 Costruzione di una stanza (prima parte)

Ad una ditta edile e stata commissionata la costruzione di una nuova stanza in un edificioesistente. Le attivita per portare a termine il progetto sono rappresentate in Tabella

2

Descrizione Indice Predecessori Durata (giorni)Scavo delle fondamenta A Nessuno 4

Costruzione dei pilastri portanti B A 4Ordine (e consegna) delle finestre C Nessuno 11Costruzione delle mura esterne D B 3

Posa dellimpianto elettrico E D 4Posa delle tubature F D 3

Montaggio delle grondaie G D 4Posa delle pareti (interno) H E,F,G 3

Posa delle finestre I B,C 1Pittura e rifinitura J H 2

Tabella 3: Dettaglio delle attivita

A B

IC

0

FD

G0

11

4

4

4

1

33

E

03

H J

*

4 2


3. Sapendo che il committente vuole che i lavori siano terminati entro quindici giornilavorativi, il proprietario della ditta edile deve sapere quanti giorni saranno necessari perportare a termine il lavoro. Si calcoli la durata del progetto e le sue attivita critiche.Inoltre si calcoli per ogni attivita il total float, il free float ed il safety float.

2.1 Svolgimento

In Figura 2 e rappresentata la rete AoN che rappresenta il progetto, avendo indicato con0 il nodo inizio progetto e il nodo fine progetto. Le attivita riportate in Tabella 3rispettano lordinamento topologico, quindi si puo procedere con il calcolo della duratadel progetto e lindividuazione delle attivita critiche. I risultati sono mostrati in Tabella4.

E possibile concludere che la ditta edile terminera la costruzione della stanza nonprima di 20 giorni. Le attivita critiche saranno A, B, D, E, G, H, J. In particolare leattivita critiche saranno disposte su due cammini critici (A,B,D,E,H,J) e (A,B,D,G,H,J)di pari lunghezza.

3

Attivita EST LST TF FF SF0 0 0 0 0 -A 0 0 0 0 0B 4 4 0 0 0C 0 8 8 0 8D 8 8 0 0 0E 11 11 0 0 0F 11 12 1 1 1G 11 11 0 0 0H 15 15 0 0 0I 11 19 8 8 0J 18 18 0 0 0 20 20 0 - 0

Tabella 4: EST, LST, TF, FF e SF

Attivita Costo giornaliero Massima riduzione (giorni)A 150 2B 160 2C 80 4D 80 1E 160 2F 150 1G 130 2H 100 1I 70 0.5J 100 1

Tabella 5: Calcolo del cammino critico

3 Costruzione di una stanza (seconda parte)

Il proprietario della ditta edile sa che terminera la costruzione della stanza dopo 20 giornilavorativi. Sfortunatamente i lavori devono terminare entro 15 giorni lavorativi, quindie necessario riuscire a ridurre la durata dei lavori per rispettare le scadenze. Decidequindi di assumere un manovale aggiuntivo. Il proprietario riesce a stimare (Tabella5) i costi aggiuntivi giornalieri, e la massima riduzione possibile per ogni attivita. Peresempio, e possibile ridurre lattivita A da 4 a 3 giorni con un costo aggiuntivo di 150euro, oppure da 4 di 2 giorni pagando 300 euro. In che modo e possibile rispettare lascadenza minimizzando i costi aggiuntivi? Si rappresenti landamento dei costi aggiuntivialla diminuzione della durata del progetto.

3.1 Svolgimento

In Figura 2 e rappresentata la rete AoN del progetto. Dallesercizio precedente sappi-amo che i due cammini critici sono (A,B,D,E,H,J) e (A,B,D,G,H,J). Lattivita con costo

4

14 18 2016

costo

tempo

80180280

580

Figura 3: Andamento dei costi aggiuntivi

giornaliero minore che giace sul cammino critico e D. D puo essere ridotta al piu di ungiorno con una spesa aggiuntiva di 80. Dopo la riduzione di D la durata del progetto sarapari a 19 giorni. Dopo di che le due attivita piu economiche da ridurre sono H e J (en-trambe con costo 100). Selezioniamo prima lattivita H riducendo la durata del progettodi 1 giorno (costo aggiuntivo 180 = 80+100, durata 18), e poi J (costo aggiuntivo 280= 180 + 100, durata 17). Si osservi come lordine della scelta di H o J sia indifferenteal fine sia della riduzione complessiva del progetto sia dellaumento dei costi. A questopunto lattivita critica con costo minore risulta essere G. Ma lattivita G e in parallelosul cammino critico con lattivita E, quindi volendo ridurre G e la durata del progettobisogna anche ridurre E dello stesso quantitativo, e quindi incorrere in un aumento deicosti (290 di costo giornaliero di riduzione). Per queste motivazioni risulta piu economicoridurre prima A (costo marignale 150, massima riduzione 2 giorni lavorativi). RiducendoA si ha un incremento di costo di 300 per la riduzione di 2 giorni lavorativi. Il progettodurera 15 giorni lavorativi (rispettando la data di consegna) con un costo aggiuntivo di580. Landamento dei costi aggiuntivi al diminuire della durata del progetto e mostratoin Figura 3.

4 Baseline dei costi

Dato il progetto in Tabella 6, si tracci landamento della spesa in corrispondenza degliEarliest Start Schedule e Latest Start Schedule supponendo che il costo di ogni attivitavenga sostenuto linearmente durante il suo svolgimento.

5

Attivita Durata Predecessore Costo1 0 - 02 7 1 703 6 1 1204 3 2 605 4 3,4 406 4 5,2 207 0 6 0

Tabella 6: Dati progetto

Attivita EST LST1 0 02 0 03 0 44 7 75 10 106 14 147 18 18

Tabella 7: Earliest and Latest Start Time

4.1 Svolgimento

Per prima cosa si devono calcolare lESS e il LSS (Tabella 7). Dopo di che la curva degliandamenti dei costi sostenuti durante lo svolgimento del progetto sar quella mostratain Figura 4, dove larea nera rappresenta i possibili andamenti dei costi a seconda delloschedule effettivamente realizzato. La curva si ottiene considerando lintervallo di ese-cuzione di ogni attivita in uno schedule, e incrementando i costi linearmente durante quelperiodo. Nel caso in cui piu attivita siano in svolgimento parallelo allora la pendenzadella baseline dei costi e ottenuta dalla somma dei costi delle attivia in svolgimento.

5 Baseline dei costi

Dato il progetto in Tabella 8, si tracci landamento della spesa in corrispondenza degliEarliest Start Schedule e Latest Start Schedule. Nella colonna Tipo viene specificataper ogni attivita come viene effettuato il suo pagamento: I sta per iniziale, tutto il costoviene sostenuto allinizio della attivita, F sta per pagamento finale, mentre L sta perpagamento lineare durante lo svolgimento della attivita. Nel caso in cui siano disponibilinon piu di 10 unita monetarie fino allistante 5, e possibile portare a termine il progettonel minimo tempo di completamento?

5.1 Svolgimento

Per prima cosa si devono calcolare lESS e il LSS (Tabella 9). Dopo di che la curva degliandamenti dei costi sostenuti durante lo svolgimento del progetto sar quella mostrata in

6

4 7 1810 14

LSS

ESS

6

costo

tempo

Figura 4: Possibili andamenti dei costi

Attivita Durata Predecessore Costo Tipo1 0 - - -2 4 1 2 I3 3 1 1 F4 2 3 6 L5 5 2,4 3 I6 5 3 5 I7 0 5,6 - -


7

Attivita EST LST1 0 02 0 13 0 04 3 35 5 56 3 57 10 10

Tabella 9: Earliest and Latest Start Time

Figura 5.Nel caso in cui siano disponibili solo 10 unita monetarie fino allistante 5 il progetto

puo ancora terminare in tempo visto che esistono schedule ammissibili, cioe che rimangonofuori dalla regione di inammissibilita (area compresa tra landamento ESS e LSS in Figura4).

6 Rete Activity On Arcs

A partire dalla rete AoN in Figura 6 si rappresenti lo stesso progetto utilizzando una reteAoA.

6.1 Svolgimento

Introducendo un arco per ogni attivita del progetto e collegandoli per mezzo di archi fittiziin modo da rispettare le precedenze si ottiene una rete AoA non minimale. La fase dicompattazione degli archi fittizi superflui porta alla eliminazione di quasi tutti gli archifittizi. Ne rimangono 4 che sono necessari per evitare la presenza di archi multipli. La reteActivity on Arcs del progetto equivalente alla rete AoN e rappresentata in Figura 7. Siosservi come la rappresentazione AoA risulti in questo caso leggermente piu compatta con12 archi (di cui 4 fittizi) e 9 nodi contro i 15 archi e 8 nodi richiesti dalla rappresentazioneAoN.

7 Relazione tra Total Float e Free/Safety Float

E possbile dimostrare che se una attivita e critica (total float nullo) allora sia il freefloat e sia il safety float sono nulli, ovvero TFi = 0 implica sia SFi = 0 che FFi = 0.Quando il total float di una attivita e nullo (TFi = 0) allora vale LSTi = ESTi, ericordando che LSTi = max{LFTk|i < k} ne consegue che esiste almeno una attivita jper cui vale LSTi = LFTj . Per definizione il safety float puo essere scritto come SFi =LSTi max LFTk, ma si puo riscrivere come SFi = LSTi LFTj = LSTi LSTi = 0.Analogamente un ragionamento simmetrico puo essere ripetuto per il free float FFi.

Dimostriamo ora che invece non vale il contrario. Ovvero che una attivita puo averecontemporaneamente SF = FF = 0 pur senza essere critica TF = 0. Basta considerare

8

3 10

LSS

ESS

5

costo

tempo23

89

14

17

Figura 5: Possibili andamenti dei costi e regione non ammissibile

B E

GD

A F H0

3

2

0

4

2

C3 7


9

5

6

7

8 9

E

G

H2

3

4

B

D

C1 FA

Figura 7: Rete AoA del progetto

Attivita durata predecessori1 0 -2 1 13 1 24 1 35 10 16 0 4,5


il seguente esempio (Tabella 10).

7.1 Svolgimento

Il risultato e mostrato in Tabella 11. Si osservi come lattivita 3 non sia critica TF3 = 7nonstante abbia safety e free float pari a zero (SF3 = FF3 = 0).

Attivita EST LST TF SF FF1 0 0 0 0 02 0 7 7 7 03 1 8 7 0 04 2 9 7 0 75 0 0 0 0 06 10 10 0 0 0

Tabella 11: Calcolo dei float

10

2 5

64

1

7

80

1

2

2

4 1

2

9

*

2

33

0

SSmin=0

SSmin=0

SSmin=0

SSmin=0

FFmin=2

SSmax=3FFmax=1

FFmin=8

FSmax=0

FSmin=3

FSmin=3 SSmin=1

FFmin=1

SFmin=4

SFmax=3FSmin=0

Figura 8: Grafo delle precedenze

2 5

64

1

7

8

9

*

3

0

0

0

0

2

-3-2

7

-1

5

4 1

3

2

-11

Figura 9: Grafo dei vincoli

8 Relazioni di precedenze generalizzate ed Earliest

Start Schedule

Dato il progetto in Figura 8 rappresentato come grafo delle precedenze, effettuare latrasformazione in un grafo dei vincoli, e calcolare ESS (Earliest Start Schedule), appli-cando lalgortimo di Ford-Bellman. Si discuta che cosa succede se la durata della attivita3 viene ridotta di una unita.

8.1 Svolgimento

Ricordando le regole di trasformazione delle precedenze generalizzate e possibile ottenereil grafo dei vincoli, come mostrato in Figura 9.

Considerando che la rete cos ottenuta potrebbe presentare cicli (sia di peso positivo sianegativo), per calcolare lEarliest Start Schedule applichiamo lalgoritmo di Ford-Bellman.

11

Nodo Iter0 Iter1 Iter2 Iter31 0 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 05 2 2 26 7 7 77 7 7 78 10 10 109 9 9 910 10 12 12

Tabella 12: Esecuzione dellalgoritmo di Ford-Bellman

5

3

2 6

7

1 2 43 9 10 11 127

4

9 8

Figura 10: Diagramma di Gantt dellEarliest Start Schedule

Scegliamo il seguente ordinamento degli archi (1,2), (1,3), (1,4), (2,5), (3,6), (3,4), (4,6),(5,3), (5,7), (6,8), (6,9), (7,10), (8,7), (8,9), (8,10), (9,10). Alla terza iterazione lalgortimodi Ford-Bellman termina (Tabella 12), restituendo il vettore degli istanti di inizio delleoperazioni. Gli archi attraversati dal cammino critico sono (1,3), (3,6), (6,8), (8,7) e(7,10). In Figura 10 viene mostrato il diagramma di Gantt dellESS.

Riducendo lattivita 3 di una unita il costo degli archi (5,3) e (3,6) diventa rispettiva-mente -1 e 6. Il cammino critico non viene modificato, anche se viene ridotto di uno cosicome lo start time delle attivita 6, 7, 8, 9 e 10 diminuisce di uno. Il makespan ora e paria 11.

9 Relazioni di precedenza generalizzate e Latest Start

Schedule

Dato il progetto in Figura 11 rappresentato come grafo delle precedenze, effettuare latrasformazione in un grafo dei vincoli, e calcolare LSS (Latest Start Schedule) fissando ladeadline a 12. Indicare il cammino critico.

12

2 5

74

1

8

60

3

2

1

4 1

1

9

10

1

31

0

SSmin=0

SSmin=0

SSmin=0

FSmin=0

SSmin=5SFmin=5

FFmin=5

FSmin=2

SFmin=9 SSmin=3

SSmin=1

FSmin=1FSmin=1

Figura 11: Grafo delle precedenze

2 5

74

1

8

6

0

3 9

10

3

2

54

2

3

5

1

22

0

0

Figura 12: Grafo dei vincoli

9.1 Svolgimento

Il grafo dei vincoli e mostrato in Figura 11.Il massimo istante di inzio e definito come lultimo istante utile in cui e possibile

iniziare una attivita senza violare il vincolo di deadline. In altre parole e pari al valore delladeadline d a cui bisogna sottrarre la lunghezza del cammino piu lungo sul grafo dei vincolidal nodo i al nodo n. Quindi, per calcolare il Latest Start Schedule utilizzando lalgoritmoFord-Bellman e necessario modificare leggermente lalgoritmo (in maniera analoga a comee stato fatto per il calcolo del LST nel caso di grafi aciclici).Per prima cosa osserviamo che per il calcolo degli LSTi deve necessariamente essere fornitauna deadline d del progetto. Nel caso in cui questa deadline non fosse forinta si puoprocedere calcolando prima i minimi istanti di inizio (e la durata del progetto ovveroCmax, e poi porre la deadline iniziale pari al makespan (d = Cmax). In particolare lemodifiche riguardano la fase di inizializzazione degli start time che vanno posti a sn = d

13

Nodo Iter0 Iter1 Iter21 + 0 02 + 0 03 + 5 54 + 2 25 + 8 86 + 4 47 + 7 78 + 9 99 + 10 1010 12 12 12

Tabella 13: Esecuzione dellalgoritmo di Ford-Bellman

3

725 128 9 10

6

5 94

8

4

3

Figura 13: Diagramma di Gantt dellLatest Start Schedule

e si = + (nella versione originale erano posti a s1 = 0 e si = ). Laltra modificariguarda il controllo di ammissibilita che viene effettuato nella valutazione di ogni arco:if ek = (i, j) e tale che sj < si + lij

sj = si + lijche diviene:if ek = (i, j) e tale che si > sj lij

si = sj lijSi noti, come, lalgortimo ora percorrera gli archi in maniera inversa cercando di abbassareil valore del massimo istante di inizio delle attivita.

Fissando la deadline a 12 si puo scegliere, ad esempio, come ordinamento degli archi(8,10), (9,10), (6,9), (7,9), (4,7), (3,7), (1,4), (1,3), (6,8), (5,8), (2,6), (2,5), (1,2). Allaseconda iterazione lalgoritmo di Ford-Bellman si arresta ottenendo gli LST di tutte leattivita (Tabella 13). Il cammino critico attraversa gli archi (1,2), (2,6), (6,8) e (8,10). InFigura 13 viene mostrato il diagramma di Gantt dellLatest Start Schedule.

14

Attivita Predecessori Durata Risorse1 - 0 02 1 3 23 1 2 24 1 4 45 2 3 26 2 2 17 6,5 5 18 6 3 39 3,4,7,8 0 0


Attivita EST LST1 0 02 0 03 0 94 0 75 3 36 3 47 6 68 5 89 11 11

Tabella 15: Calcolo dellEST e LST

10 RCPSP (Greedy seriale)

A partire dal progetto di Tabella 14, in cui sono disponibili a = 4 unita di risorsa, siapplichi leuristica greedy seriale ordinando le attivita in ordine LST non decrecente.

10.1 Svolgimento

Per prima cosa bisogna individuare lordinamento delle attivita. Per calcolare lordinamentoLST non decrescente, essendo lordinamento dei nodi gia un ordinamento topologico, sipuo applicare lalgoritmo per il calcolo delle EST (Tabella 15 colonna 1) e una volta notala durata del progetto si procede al calcolo dei LST (colonna 2 di Tabella 15).

Lordinamento risulta essere = (1, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 3, 9).

1. Attivita 1. Istante di inizio 0, durata 0, risorse richieste 0.

2. Attivita 2. Istante di inizio 0, durata 3, risorse richieste 2.

3. Attivita 5. Istante di inizio 3, durata 3, risorse richieste 2. Lattivita 5 inizia dopoil termine della attivita 2 che la precede.

4. Attivita 6. Istante di inizio 3, durata 2, risorse richieste 1. Anche lattivita 6 puoiniziare allistante 2.

15

6

27

83

4

R

t

4

3 6 9 12 15

5

Figura 14: Diagramma di Gantt (finale) della greedy seriale

5. Attivita 7. Istante di inizio 6, durata 5, risorse richieste 1. Questa attivita inizia altermine delle attivita 5 e 6 che la precedono.

6. Attivita 4. Istante di inizio 11, durata 4, risorse richieste 4. Questa attivita potrebbecominciare allistante 0 (non avendo predecessori diretti), ma il suo inizio deve essereritardato fino allistante 11 perche richiede ben 4 risorse e quindi non puo essereeseguita in parallelo con nessuna altra attivita.

7. Attivita 8. Istante di inizio 6, durata 3, risorse richieste 3. Questa attivita potrebbeiniziare dopo lattivita 6, ma deve essere ritardata di una unita per avere risorsedisponbili.

8. Attivita 3. Istante di inizio 0, durata 2, risorse richieste 2. Questa attivita iniziaallistante 0.

Il diagramma di Gantt cos ottenuto e mostrato in Figura 14.

11 RCPSP (Greedy parallela)

A partire dal progetto dellesercizio precedente (Tabella 14 in cui sono disponibili a = 4unita di risorsa, si applichi leuristica greedy parallela a partire dallordinamento =(1, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 3, 9) (ordinamento LST non decrecenti).

11.1 Svolgimento

t = 0, W1 = {1, 2, 3, 4}, ordinamento = (1, 2, 4, 3). Vengono eseguite le attivita

1, 2 e 3.

t = 2, W2 = {4}. Lattivita 4 non viene eseguita essendo diponibili solo 3 risorse.

t = 3, W3 = {4, 5, 6}, ordinamento = (5, 6, 4). Vengono eseguite le attivita 5 e 6.

t = 5, W4 = {4, 8}, ordinamento = (8, 4). Non viene eseguita ne lattivita 8 e ne

attivita 4.

16

Attivita Istante di inizio1 02 03 04 115 36 37 68 69 15

Tabella 16: Start time ottenuti dalla greedy parallela

Attivita Predecessori Durata Risorse1 - 0 02 1 5 43 1 2 14 1 4 45 2 5 36 3 3 29 4,5,6 0 0


t = 6, W5 = {4, 7, 8}, ordinamento = (7, 8, 4). Vengono eseguite lattivita 7 e la

8.

t = 9, W6 = {4}. Lattivita 4 non viene eseguita essendo diponibili solo 3 risorse.

t = 11, W7 = {4}. Lattivita 4 viene eseguita essendo (finalmenete) diponibili tuttee 4 le risorse necessarie per il suo svolgimento.

t = 15, W8 = {9}.

Il diagramma di Gantt cos ottenuto e identico a quello in Figura 14, ed in Tabella 16vengono mostrati gli istanti di inizio di tutte le operazioni.

12 RCPSP (Greedy seriale)

A partire dal progetto di Tabella 17 si applichi leuristica greedy seriale ordinando leattivita in ordine LST non decrecente. Partendo da a = 10 si determini il massimo valoredi a tale che la durata del progetto non ecceda le 10 unita.

12.1 Svolgimento

Per prima cosa bisogna individuare lordinamento delle attivita. Per calcolare lordinamentoLST non decrescente, essendo lordinamento dei nodi gia un ordinamento topologico, si

17

Attivita EST LST1 0 02 0 03 0 54 0 65 5 56 2 77 10 10

Tabella 18: Calcolo dellEST e LST

6

2

4

R

t54 10

5

3

6

10

Figura 15: Diagramma di Gantt (a = 10) della greedy seriale

puo applicare lalgoritmo per il calcolo delle EST (Tabella 18 colonna 1) e una volta notala durata del progetto si procede al calcolo dei LST (colonna 2 di Tabella 18).

Lordinamento risulta essere = (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7).Calcolando il diagramma di Gantt (Figura 15) associato agli Earliest Start Times

(trascurando il vincolo sulle risorse) si puo osservare come se il numero massimo di risorsea utilizzate sia pari a 10 in corrsipondenza dello svolgimento contemporaneo delle attivita2,4 e 6. La durata del progetto e pari a 10.

Ponendo a = 9 si ottiene il seguente diagramma di Gantt (Figura 16) in cui si eritardato linizio della attivita 6 al termine della attivita 4. Il progetto ha ancora una

6

2

4

R

t54 10

5

3

9


18

6

2

4

R

t54 10

5

3

8


46

2

R

t54 10

5

3

7


durata pari a 10.Ponendo a = 8 lattivita 4 deve attendere il termine dellattivita 3, mentre lattivita

6 potra iniziare non appena 4 e finita. Il progetto dura ancora 10 (Figura 17).Se le risorse disponibili sono a = 7 il progetto dura ancora 10 (Figura 18). Infatti

lattivita 4 inizia solo al termine di 2, mentre lattivita 6 puo iniziare addirittura al terminedel suo diretto predecessore, lattivita 3.

Con a = 6 lattivita 4 puo iniziare solo al termine dellattivita 5 provocando unincremento della durata del progetto di 4 (Figura 19).

13 Microsoft Project

Il Professor Agnetis vuole scrivere delle dispense per il corso di Gestione Progetti. Decidequindi di pianificare il progetto Dispense. La fase di preparazione individua le seguentiattivita che devono essere svolte (Tabella 19).

Dopo limmissione delle attivita, con relative durate e relazioni di precedenza, si ottieneil seguente diagramma di Gantt (Figura 20) che evidenzia anche le attivita coinvolte nelcammino critico, si noti come le varie attivita non siano assegnate a nessuna risorsa.

A questo punto bisogna inserire le risorse che verranno utilizzate nel progetto Dispense.Per ora il professore si limita ad inserire solamente se stesso (come risorsa uomo), con

19

4

6

2

R

t54 10

5

3

6


Attivita Descrizione Durata (giorni)A Scelta degli argomenti del corso 2B Scrittura del primo Capitolo 4C Scrittura del secondo Capitolo 6D Correzione del primo Capitolo 4E Correzione del secondo Capitolo 3F Revisione e dettagli finali 4

Tabella 19: Elenco attivita

Figura 20: Diagramma di Gantt con cammino critico (1)

20

Figura 21: Diagramma di Gantt (2)

orario di lavoro standard (912 e 1418) a tempo pieno. Dopo aver inserito le risorseviene stabilito lassegnamento, come mostrato in Figura 21. Sfortunatamente questoassegnamento non risulta essere ammissibile in quanto la risorsa Prof A. Agnetis risultaessere sovrassegnata in vari giorni, dovendo lavorare contemporaneamente a tempo pienosulla stesura di entrambi i capitoli (Figura 22).

Bisogna quindi procedere al livellamento delle risorse, ottenendo il diagramma di Ganttin Figura 23, ed una soluzione ammissibile (ovvero senza uso eccessivo delle risorse as-segnate). Ma, a questa soluzione ammissibile corrisponde ad una maggior durata delprogetto (dal 27 maggio al 6 giugno).

Volendo ora visualizzare il cammino critico ci si sarebbe aspettati di vedere coinvoltetutte le attivita del progetto (visto che nessuna operazione viene eseguita in serie), inveceil cammino critico evidenziato dal programma viene mostrato in Figura 24. Si osservicome in figura venga anche evidenziato il ritardo introdotto dalla fase di livellamento.

Supponiamo ora che il Prof. A. Agnetis si faccia aiutare da M. Pranzo nella stesuradelle dispense. Entrambi possono lavorare nella fase di scelta del programma e di rifinitura.Inoltre decidono di dividersi la parte di scrittura (che viene assegnata a Pranzo), mentrela parte di correzione viene eseguita dal Prof. Agnetis. Il diagramma di Gantt risultantedopo il livellamento e quello di Figura 25 ed il progetto terminera il 27 maggio.

Si osservi come una divisione alternativa del lavoro (Pranzo scrittura dei capitoli 1 e 3,e correzione del capitolo 2, Prof. Agnetis scrittura del capitolo 2 e correzione dei capitoli1 e 3) possa portare ad una miglior divisione del lavoro ed ad una riduzione dei tempi dicompletamento anticipando il termine del progetto al 23 maggio (Figura 26).

Uno strumento utile durante lo svolgimento di un progetto e la possibilita di effettuareverifiche sullo stato di avanzamento dei lavori, ovvero verificare se tutto sta procedendosecondo i piani preventivati o meno. Infatti e possibile verificare, immettendo manual-mente i dati di avanzamento delle varie attivita, se alcune attivita risultano essere inritardo e prendere provvedimenti di conseguenza. Supponiamo che la scrittura del sec-ondo capitolo sia leggermente in ritardo (Figura 27 si osservi come venga indicata lattivitain ritardo e la linea di avanzamento del progetto), e possibile riaggiornare il diagrammadi Gantt del progetto in modo che si tenga conto dellimprevisto ritardo (Figura 28).

Tra i numerosi report generati da Microsoft Project e possibile visualizzare anche lusodelle risorse in modo da sapere chi e quando deve eseguire una data attivita (Figura 29),o avere dei report sulla gestione dei costi, preventivi e flussi di cassa.

Con Microsoft Project e possibile generare una gran quantita di report per la gestione

21

Figura 22: Assegnamento Risorse (1)


Figura 24: Diagramma di Gantt con cammino critico (2)

22


Figura 26: Diagramma di Gantt (assegnamento alternativo)

Figura 27: Diagramma di Gantt (avanzamento progetto)

Figura 28: Diagramma di Gantt (avanzamento progetto aggiornato)

23

Figura 29: Diagramma di uso delle risorse

pratica di un progetto. Questa caratteristica (oltre alla facilita duso ed il costo noneccessivo) lo rende uno strumento utile ed utilizzato da Project Managers, anche se none uno strumento di ottimizzazione.

14 Appello Marzo 2005

Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle attivita in Tabella 14

Si rappresenti il progetto come AoN.

Si calcoli la durata del progetto.

Quali attivita devono essere ridotte e di quanto per poter ridurre la durata delprogetto di 4 unita? Si tracci la curva con landamento costo-tempo.

Attivita Durata Predecessore Massima riduzione Costo unitarioA 20 B 2 30B 15 - 2 20C 11 A 1 5D 8 A 4 10


Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle attivita in Tabella 15. Dove il costorappresenta il costo da sostenere per svolgere lattivita, mentre il tipo rappresenta latipologia di costo che puo essere lineare durante lo svolgimento della attivita (Lineare),da sostenere tutta allinizio della attivita (Inzio), oppure tutta al termine della attivita(Fine).

24


Si stabilisca la durata minima del progetto ed il total float di tutte le attivita

Si tracci landamento dei costi durante lo svolgimento del progetto in relazioneallESS e il LSS.

Attivita Predecessore Durata Costo Tipo1 - - 0 -2 1 5 10 I3 1 3 15 L4 2 5 10 F5 1 2 20 L6 5 3 10 I7 3,4 - - 0 -


Dato il progetto nella Tabella 16, si utilizzi la greedy seriale per calcolare lo scheduleassociato alla permutazione {1, 2, 4, 3, 5, 6} sapendo che la disponibilita di risorse e 7.

Attivita Predecessore Durata Risorse1 - 3 42 1 2 33 2 4 54 1 3 25 2 5 16 3,4,5 1 1

17 Appello 4 Aprile 2005

Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle attivita in Tabella 17.



Si tracci la curva con landamento costo-tempo allaumentare della riduzione delladurata del progetto.

25

Attivita Durata Predecessore Massima riduzione Costo unitarioA 3 - 2 5B 4 - 2 10C 5 - 2 7D 6 A,B,C 3 15E 2 D 1 4




Si stabilisca la durata minima del progetto ed il Total Float di tutte le attivita

Si calcoli di quanto puo essere ritardata lattivita 4 senza che si modifichi il minimoistante di inizio dei sui successori?

Attivita Predecessore Durata1 - -2 1 63 2 94 2 35 3,4 26 3,4,5 -


Dato il progetto in Tabella 19, si utilizzi la greedy parallela per calcolare lo scheduleassociato alla permutazione {1, 4, 5, 3, 2, 6} sapendo che la disponibilita di risorse e 4.

Attivita Predecessore Durata Risorse1 - 3 42 - 4 23 - 3 34 1 6 15 4 2 26 - 5 2



26




Attivita Durata Predecessore Massima riduzione Costo unitarioA 9 - 5 5B 4 A,C 2 8C 6 - 1 5D 2 B 0 -E 3 B 2 4


Si consideri il seguente progetto rappresentato come rete di precedenze generalizzate carat-terizzato dalle attivita mostrate in Tabella 21 e dalle seguenti relazioni di precedenzageneralizzate: FSmin

1,2 (5), FSmin1,3 (5), SS

min2,4 (4), FF

max2,5 (5), FS

min3,5 (3), SS

max4,6 (3), SS

min4,7 (2),

SSmin5,6 (2), FS

min6,8 (4), FS

min7,8 (3).

Si rappresenti il progetto come rete dei vincoli.

Si calcoli lEarliest Start Schedule.

Attivita Durata1 02 33 44 25 36 57 28 0


Dato il progetto nella Tabella 22, si utilizzi la greedy seriale per calcolare lo scheduleassociato alla regola LST sapendo che la disponibilita di risorse e 4.

27

Attivita Predecessore Durata Risorse1 - 5 22 - 2 13 1 6 34 1 4 35 2 3 2

Attivita Durata Predecessore Massima riduzione Costo unitarioA 4 E 2 15B 2 E 1 10C 0 F,D 0 -D 6 A,B 4 4E 5 - 3 16F 2 A 1 6

23 Appello 24 Marzo 2006

Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle seguenti attivita





Si consideri il progetto caratterizzato dalle seguenti attivita

Attivita Durata1 -2 53 34 25 -

Con le seguenti relazioni di precedenza generalizzate:

Si rappresenti il progetto come Constraint Digraph.

Si stabilisca la durata minima del progetto

Si calcoli il Total Float di tutte le attivita

28

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(5)1 3 FSmin(3)2 3 SFmin(0)2 3 SFmax(0)2 4 SSmin(4)3 4 FFmax(0)3 5 FSmin(2)4 5 FSmin(6)


Dato il progetto nella seguente tabella, si utilizzi la greedy parallela e la greedy serialeper calcolare lo schedule associato alla permutazione {1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 8, 9} sapendo che ladisponibilita di risorse e 6.

Attivita Predecessore Durata Risorse1 - - -2 1 2 13 1 5 34 1 1 25 2 3 26 2 5 17 3 3 38 4 6 29 3,. . .,8 - -


Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle attivita in Tabella 26, dove il costorappresenta il costo da sostenere per svolgere lattivita, mentre il tipo rappresenta la tipolo-gia di costo, che puo essere lineare durante lo svolgimento dellattivita (L), da sosteneretutto allinizio della attivita (I), oppure tutto al termine dellattivita (F).

Attivita Durata Predecessore Costo TipoA 1 C,E,F 5 IB 2 D 2 LC 4 D 1 FD 2 - 4 IE 4 D 4 LF 4 B 1 I


29


Si tracci landamento dei costi durante lo svolgimento del progetto in relazioneallESS e il LSS.





Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(2)1 3 FSmin(2)2 3 SSmin(4)2 3 SSmax(4)3 5 FSmin(2)4 5 FSmin(0)4 5 FSmax(2)





Dato il progetto nella seguente tabella, si utilizzino le euristiche greedy seriale e greedyparallela per calcolare lo schedule associato alla permutazione = {1, 3, 2, 5, 4, 6}, sup-ponendo che la quantita di risorsa disponibile sia pari a 5, 7 e 9.


Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle seguenti attivita:


30

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 4 53 1 2 44 2 1 15 3 4 26 4,5 - -

Attivita Durata Predecessore Costo unitario Massima riduzioneA 4 - 10 2B 2 A - 0C 5 A 5 3D 6 - 7 4E 2 D 14 1F 4 E 1 2G 3 B,C,F - 0


Si tracci landamento dei costi in funzione della riduzione della durata del progetto.


Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle seguenti attivita:

Attivita Durata PredecessoreA 5 -B 2 AC 4 BD 1 CE 6 BF 3 CG 3 D,E,F


Si stabilisca la durata minima del progetto ed il Total Float di tutte le attivita.

Si calcoli di quanto puo essere ritardata lattivita D senza che si modifichi il minimoistante di inizio dei sui successori.


Si consideri il progetto caratterizzato dalle seguenti attivita:

31


Sapendo che la fine dellattivita 1 precede linizio delle attivita 2 e 3, mentre liniziodellattivita 2 precede linizio dellattivita 4 di almeno 2 istanti di tempo. Inoltre, lafine dellattivita 2 e la fine dellattivita 3 deve avvenire in contemporanea, mentre liniziodellattivita 5 puo accadere solo dopo la fine dellattivita 3 e 4.





Dato il progetto nella seguente tabella:

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 4 53 2 2 24 1 1 15 4 4 16 3,5 3 57 6 - -

Si utilizzi leuristica greedy seriale per calcolare lo schedule associato alla permu-tazione = {1, 4, 2, 3, 5, 6, 7}, supponendo che la quantita di risorsa disponibile siapari a 5, 7 e 9.

Si tracci landamento della durata del progetto alla diminuzione delle risorse disponi-bili.

33 Appello 20 Luglio 2006

Si consideri il seguente progetto caratterizzato dalle seguenti attivita


32

Attivita Durata Predecessore Durata minima Costo unitarioA 3 D 2 5B 3 E 2 10C 3 F 2 7D 1 - 1 -E 4 D 4 -F 2 E 1 13G 6 F 1 5





Attivita Durata1 -2 13 64 25 46 -


Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(0)1 3 FSmin(0)2 4 SSmin(2)3 5 FFmin(0)4 5 SSmax(4)4 6 FSmin(1)5 6 FSmin(1)




33


Dato il progetto nella seguente tabella, si utilizzino le euristiche greedy seriale e greedyparallela per calcolare lo schedule associato alla permutazione = {1, 3, 2, 5, 6, 4, 7}, sup-ponendo che la quantita di risorsa disponibile sia pari a 11, 7 e 6.

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 5 23 1 3 34 1 3 25 1 1 66 2 4 36 3,4,5,6 - -



Attivita Durata PredecessoreA 1 F,GB 4 EC 2 BD 4 EE 1 -F 3 D,BG 5 C



Si trasformi la rete AoN in una rete AoA minimale.

Si calcoli il Total Float, Safety Float e Free Float per ogni attivita.

Si rappresenti nel diagramma di Gantt il Latest Start Schedule.


Dato il progetto descritto in Tabella 21 si calcoli di quanto si puo ridurre la durata delprogetto sapendo che tutte le attivita presentano un trade-off durate/costi lineare.

34

Attivita Predecessore ui li ci1 - - - -2 1 5 2 83 2 4 2 24 3 6 2 105 1 7 3 46 5 3 3 17 4,6 - - -






Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(0)1 3 FSmin(1)2 5 SSmin(1)3 4 FSmax(0)3 5 SSmin(2)4 6 FSmin(1)5 4 FFmin(4)5 6 FSmin(1)


Si stabilisca il latest start schedule sapendo che la deadline T del progetto e pari a9.


Dato il progetto nella seguente tabella, si calcolino i lower bound LB0, LBr e LBr sup-ponendo che la quantita di risorsa disponibile sia pari a 5, 7 e 9. Si discuta la soluzionetrovata.

35

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 3 53 2 2 34 3 6 15 1 3 26 5 2 57 4,6 - -



Attivita Durata PredecessoreA 4 EB 5 AC 2 DD 5 AE 8 -F 3 B,CG 7 -



Si trasformi la rete AoN in una rete AoA minimale.

Si calcoli la durata minima del progetto

Si calcoli il cammino critico.





36

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(2)1 3 FSmin(0)1 4 SSmin(4)2 5 SSmin(4)3 5 SFmin(2)4 5 FFmin(0)5 2 SSmax(4)5 6 FSmin(0)




Dato il progetto nella seguente tabella, e supponendo che la quantita di risorsa disponibilesia pari a 7, si esegua lalgoritmo di branch and bound limitato al nodo radice. Si calcolino ilower bound LB0, LBr e LBr. Per il calcolo dellupper bound si utilizzi leuristica greedyseriale (con ordinamento EST ) e la greedy parallela con ordinamenento RD (ri di)decrescente. Si discuta la soluzione trovata.

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 4 53 1 2 24 2 1 15 3 4 46 1 3 47 4,5,6 - -






Si rappresenti nel diagramma di Gantt lEarliest Start Schedule.

37

Attivita Durata PredecessoreA 2 DB 4 CC 2 -D 5 -E 2 GF 1 -G 6 F




Attivita ui li Predecessore ci1 2 1 3 62 2 1 1 -3 4 2 - 44 4 3 - 15 5 1 6 26 4 2 - 47 2 1 - 6








38

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(0)1 3 FSmin(2)1 4 FSmin(2)2 5 FSmin(3)2 5 FSmax(3)3 5 SSmin(0)4 6 FSmin(0)5 6 FSmin(1)


Dato il progetto nella seguente tabella, e supponendo che la quantita di risorsa disponibilesia pari a 8, si esegua lalgoritmo di branch and bound limitato al nodo radice. Si calcolino ilower bound LB0, LBr e LBr. Per il calcolo dellupper bound si utilizzi leuristica greedyseriale e parallela entrambe con ordinamento EST crescente. Si discuta la soluzionetrovata.

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 3 23 1 2 44 1 3 15 2,3 5 26 4 2 37 5,6 - -



Attivita Durata PredecessoreA 6 DB 1 CC 4 -D 2 -E 6 GF 2 -G 4 F



39



Si rappresenti nel diagramma di Gantt il Latest Start Schedule.



Attivita ui li Predecessore ci1 6 4 3 82 1 1 1 -3 4 1 - 54 4 1 - 25 5 2 6 16 6 2 - 57 10 1 - 10









Dato il progetto nella seguente tabella, e supponendo che la quantita di risorsa disponibilesia pari a 5, si esegua lalgoritmo di branch and bound limitato al nodo radice. Si calcolino

40

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(0)1 3 FSmin(0)1 4 FSmin(4)2 5 FSmin(4)2 5 FSmax(4)3 5 SSmin(0)4 6 FSmin(2)5 6 FSmin(3)

i lower bound LB0, LBr e LBr. Per il calcolo dellupper bound si utilizzi leuristica greedyseriale (con ordinamento EST crescente) e la greedy parallela con ordinamenento LSTdecrescente. Si discuta la soluzione trovata.

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 4 43 1 5 34 1 2 25 2,3 6 16 4 1 47 5,6 - -



Attivita Durata PredecessoreA 4 CB 9 -C 5 -D 2 GE 3 A,B,DF 4 BG 1 -



Si trasformi la rete AoN in una rete AoA.


Si calcoli il cammino critico.

41


Si consideri il progetto caratterizzato dalle seguenti attivita (Tabella ??) e con le relazionidi precedenza generalizzate in Tabella 29:


Tabella 28: Lista attivita


Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(0)1 5 FSmin(1)2 3 SSmin(6)2 4 SSmin(4)3 6 FSmin(2)4 2 SSmax(4)4 6 FSmin(0)5 6 FSmin(0)

Tabella 29: Relazioni di precedenza generalizzate




Dato il progetto nella seguente tabella, e supponendo che la quantita di risorsa disponibilesia pari a 6, si esegua lalgoritmo di branch and bound limitato al nodo radice. Si calcolino ilower bound LB0, LBr e LBr. Per il calcolo dellupper bound si utilizzi leuristica greedyseriale (con ordinamento EST ) e la greedy parallela con ordinamenento RD (ri di)decrescente. Si discuta la soluzione trovata.



42


Attivita Durata PredecessoreA 2 DB 6 -C 4 -D 2 -E 1 B,CF 3 B


Si rappresenti il progetto come rete AoN e come rete AoA.

Si calcoli il Total Float, Safety Float e Free Float per ogni attivita e si evidenzi ilcammino critico.

Si rappresenti il diagramma di Gantt del Latest Start Schedule.


Si consideri il progetto caratterizzato dalle seguenti attivita (Tabella 31) e con le relazionidi precedenza generalizzate in Tabella 32:

Attivita Durata1 -2 43 24 15 36 27 -

Tabella 31: Lista delle attivita


Si stabilisca la durata minima del progetto evidenziandone il cammino critico.

43

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(0)1 4 FSmin(1)1 5 SSmin(2)2 3 FFmin(5)3 6 FSmin(3)4 6 SSmin(0)4 6 SSmax(2)5 6 FSmin(0)6 7 FSmin(1)



Dato il progetto in Tabella 33, e sapendo che la quantita di risorsa disponibile e 8, siesegua lalgoritmo di branch and bound limitato al nodo radice.

Si calcolino i lower bound LB0 e LBr

Per il calcolo dellupper bound si utilizzino le euristiche greedy seriale e parallelaentrambe con ordinamento topologico rompendo le parita secondo la regola LPT

Si discuta la soluzione trovata.

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 2 33 2 4 24 1 1 65 1 5 26 1 3 37 3,4,5,6 - -

Tabella 33: RCPS


Dato il progetto descritto in Tabella 34 si calcoli di quanto si puo ridurre la durata delprogetto e a che costo aggiuntivo sapendo che tutte le attivita presentano un trade-offdurate/costi lineare.


Si consideri il progetto caratterizzato dalle seguenti attivita (Tabella 35) e dalle relazionidi precedenza generalizzate di Tabella 36.

44

Attivita ui li Predecessore ci1 - - - -2 2 1 1 43 5 2 2 24 10 4 1 85 3 2 1 16 6 3 5 67 - - 3,4,6 -





Si stabilisca la durata minima del progetto evidenziandone il cammino critico.




Per il calcolo dellupper bound si utilizzino le euristiche greedy seriale e parallelaentrambe con ordinamento topologico rompendo le parita secondo la regola SPT


60 Appello 19 marzo 2009


45

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(1)1 3 FSmin(0)1 5 SSmin(0)2 4 FFmin(1)3 4 SSmin(4)3 4 SSmax(4)4 2 SFmax(0)4 6 SSmin(0)5 6 FSmin(0)



Tabella 37: RCPS


Si consideri il progetto caratterizzato dalle seguenti attivita (Tabella 39), con le relazionidi precedenza generalizzate in Tabella 40:


Si stabilisca la durata minima del progetto applicando lalgoritmo di Ford-Bellman.




Per il calcolo dellupper bound si utilizzino le euristiche greedy seriale e parallelaentrambe con ordinamento topologico rompendo le parita secondo la regola LPT


46

Attivita li ui Predecessore ciA 1 5 D 20B 3 8 D 40C 1 3 B 10D - - - -E - - G,E,C -F 2 6 B 10G 1 5 A 20






64 Appello 16 aprile 2009

Dato il progetto descritto in Tabella 43.

Si rappresenti il progetto come rete AoA minimale.

si calcoli di quanto si puo ridurre la durata del progetto e a che costo aggiuntivosapendo che tutte le attivita presentano un trade-off durate/costi lineare.


Si consideri il progetto caratterizzato dalle seguenti attivita (Tabella 44), con le relazionidi precedenza generalizzate in Tabella 45:


Si stabilisca lEarliest Start Schedule applicando lalgoritmo di Ford-Bellman.

Si evidenzi il cammino critico nel Constraint Digraph.

47

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(0)1 4 FSmin(1)2 3 FFmin(2)3 5 FFmax(0)3 6 FSmin(3)4 3 SSmin(2)4 5 SSmin(2)5 4 FSmin(0)5 6 FSmin(0)


Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 2 33 1 4 24 2 2 15 2 5 16 3 2 27 3 3 48 4,5,6,7 - -

Tabella 41: RCPS


Dato il progetto in Tabella 46, con una quantita di risorsa disponibile e pari a 12.

Si calcolino i lower bound LB0 e LBr.

Si utilizzi la greedy parallela con ordinamento topologico rompendo le parita dandola priorita alle attivita con minor numero di archi uscenti.

48

Attivita li ui Predecessore ciA 2 6 D 2B 3 5 D 4C 4 12 D 1D - - - -E 2 6 B 5F - - G,E,C -G 1 8 A 2


Attivita ui li Predecessore ci1 - - - -2 10 2 1 13 6 1 2 54 7 2 1 45 4 1 1 26 8 2 4,5 17 - - 3,6 -



Tabella 44: Lista attivita

Predecessore Successore Tipo1 2 FSmin(4)1 3 FSmin(0)1 4 FSmin(2)2 6 FSmin(1)3 4 SSmin(0)3 5 SSmin(0)4 5 FFmin(4)4 6 FSmin(0)5 4 FFmax(4)5 6 FSmin(0)


49

Attivita Predecessore Durata Q.ta di risorsa1 - - -2 1 1 63 1 3 64 2 5 85 2,3 4 46 3 6 27 4,6 2 88 5,7 - -

Tabella 46: RCPS

50

Gestione dei Progetti - esercizi svolti

Documents

Transcript of Gestione dei Progetti - esercizi svolti

Esercizi Svolti Di Analisi Numerica

Esercizi Svolti Datawarehouse

Serie numeriche: esercizi svolti - calvino.polito.itcalvino.polito.it/~nicola/analisi-II/Esercizi svolti e Temi d'esame... · Serie numeriche: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati

Esercizi Svolti di Fisica

Integrali di superﬂcie: esercizi svolticalvino.polito.it/~nicola/analisi-II/Esercizi svolti e Temi d'esame... · Integrali di superﬂcie: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati

ECONOMIA POLITICA ESERCIZI SVOLTI - DidatticaWEB

Esercizi Svolti

Esercizi Svolti Meccanica Computaz.

Fisica Generale Esercizi Svolti - Michelotti

Esercizi svolti di ﬁsica - energiazero.org Svolti Di Fisica.pdf · 3 Scheda1. Prospetto degli esercizi Esercizio campo argomenti difﬁcoltà esercizi simili minuti assegnabili

Integrali tripli: esercizi svolti - Portalelectroportalelectro.altervista.org/Esercizi/Analisi2/Svolti/... · 2020. 5. 31. · 4 Integrali tripli: esercizi svolti Osserviamo che ›

Esercizi Svolti Programmazione in C

Integrali doppi: esercizi svolti - DISMA Dipartimento di ...calvino.polito.it/~nicola/analisi-II/Esercizi svolti e Temi d'esame... · Integrali doppi: esercizi svolti Gli esercizi

Esercizi svolti di ﬁsica

esercizi svolti statistica

Esercizi Svolti - Derivate

ESERCIZI SVOLTI di RICERCA OPERATIVA

019-Esercizi svolti analisi matematica uno 1 I-sistemi ...svolgimentotracceesame.altervista.org/019-Esercizi svolti analisi... · Title: 019-Esercizi svolti analisi matematica uno

Polito - Esercizi Svolti Di Elettrotecnica

Esercizi Trifase Svolti Elettrotecnica