1

ESERCIZI PROPOSTI

I) Calcolare gli integrali 1)−148), utilizzando le formule di integrazione immediata(cfr. ¶ 9. a)), dopo aver analizzato gli esempi a)−l), di seguito riportati:

a) 3 1

3 3 455 5 5

3 1 4x

x d x x dx c x c+

= = ⋅ + = ++∫ ∫

b)

21 5

3 323 32 53 32 5 51 33

x xx dx x dx c c x c+

= = + = + = ++∫ ∫

c)

21 3

5 52 5 3525 2 5

3 1 3 1 3 3 3 3 52 35 5 5 5 5 5 31 55

x xdx dx x dx c c x cx x

− +−= = = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + =

− +∫ ∫ ∫ 5 3x c= +

d)

1 11 1

2 21 12 21 1

1 11 12 2

x xx dx dx xdx x dx x dx cx x

− + +− − = − = − = − + =

− + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

312 2

32 22 21 3 3 32 2

x x c x x c x x x c= − + = − + = − +

e) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 2 2 3 2x x dx x x x dx x x dx− − = − − + = − + =∫ ∫ ∫

2 1 1 1 32 23

3 2 3 2 22 1 1 1 3 2x x x

x dx xdx dx x c x x c+ +

= − + = − ⋅ + + = − + ++ +∫ ∫ ∫

f) 33 3

33 3 3 3 3

2 2 2x x x x x x xdx dx x dx

xx x x x x

+ + = + + = + + = ∫ ∫ ∫

2 11 11 13 3 51 23 2 23 3 33 12 2 3

2 11 1 5 21 13 3

x x xx dx xdx x dx c x x x c+ − ++

−= + + = + + ⋅ + = + − + =++ − +∫ ∫ ∫

3 3 3 35 2 2 2 2 23 1 3 13 35 2 5 2

x x x c x x x x c= + − + = + − +

g) ( ) ( )( ) ( )

54 3 2

2

11

1R xx

dx Q x d x dx x x x x dxx P x

−= + = + + + + =

−∫ ∫ ∫ ∫

2

5 4 3 2

4 3 2

5 4 3 2x x x x

x dx x dx x dx xdx dx x c= + + + + = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ essendo ( ) 4 3 2 1Q x x x x x= + + + + ed ( ) 0R x = , dopo aver effettuato la divisione

classica tra polinomi

h) 2

2 2

3 22arctg

1 1x

dx dx dx x x cx x+

= + = + ++ +∫ ∫ ∫ ( ( ) 1Q x = ed ( ) 2R x = )

1) 67x dx∫ 7x c +

2) 7 5

4

21dx

x∫ 7 223

x c +

3) 3 2

1

6dx

x∫ 312

x c +

4) 5

3dx

x∫ 3

12 cx

− +

5) ( )2x x dx+ +∫ 3 22 12

3 2x x x c + + +

6) 3 2

1 13 4x dx

x x + − + ∫

2

2

1 1 3 422x x c

xx − − − + +

7) ( )761

12x dx

−∫ 1

612

x c− − +

8) 3 22 4

1 34 3 1x x dx

x x − + − − ∫ 4 3

3

1 1x x x c

x x − − + − +

9) ( )( )2 3x x dx+ −∫ 3 21 16

3 2x x x c − − +

10) 3 2

3 2 3

1 2x dx

x x

+ −

∫ 3 5 33 43

5x x c

x

+ + +

11) ( )2 2 32x x x dx− −+ −∫ 3 1 213

x x x c− − − + +

3

12) ( )3 454x x dx−∫ 54 7 94 5

7 9x x c − +

13) ( )32 5x dx−∫ ( )412 5

20x c − − +

14) ( )313 5x x dx+∫ 5 333 5

4 8x x x x c + +

15) ( )322 1 2x x dx−∫ ( )4211 2

8x c − − +

16) 3 52 41 2 12

3 3x x x dx

x

− + +

∫ 3 52 46 2 102

5 9 27x x x x x x x c − + + +

17) 3 4 3

3 2 31 dx

x x x

− + −

∫ 3 2 494 12

2x x x x c − + − +

18) ( )27 2x dx+∫ ( )317 2

6x c + +

19) ( )33

dx

x−∫ ( )2

1

2 3c

x

+

−

20) ( )43 1

dx

x −∫ ( )3

1

9 3 1c

x

− +

−

21) 3

3 2

1x xdx

x

−∫ 3 2 333

5x x x c − +

22) ( )322 1x x dx−∫ ( )4212 1

16x c − +

23) ( )1 22 2x x dx+∫ 3 22 8 8

7 5 3x x x x x x c + + +

24) 42

1x x dx

x + − ∫ 41 4 2

5 3x x x x c

x − + − +

25) 2 3 3x x

dxx

+ +∫ 2 22 16

5 2x x x x c + + +

26)

233 1x x dx

x + + ∫ 5 2 39 1

3 2 2log5

x x x x x cx

− + + + + +

4

27) 22 3

1 13x x dx

x x − + − ∫ 3

2

2 1 13 2

x x x cx x

− − + +

28) ( )22 2 1x x dx+∫ 5 4 34 15 3

x x x c + + +

29) ( ) ( )21 1 2x x dx− +∫ 4 312

x x x c − + +

30) 5

34 3

2 1x dx

xx

+ −

∫ 3 25 45 38

6 2x x x x c + − +

31) ( )3 22 x x dx+ +∫ 3 23 22

5 3x x x x x c + + +

32) 5 3 3

43 2

1 5 38 4

2x x dx

xx

− + − +

∫ 5 43 33 35 3 15 42x

x x x x x x c − + − + +

33) ( )33 2x x dx−∫ 5 4 3 227 2712 4

5 2x x x x c − + − +

34) 3 2

1 1x dx

xx

+ +

∫ 3 23 2

3x x x x c + + +

35) 23 3 13

2 2 2x dx

x x

− + −

∫ 332

2x x x c − + +

36) ( ) ( )31 5 4x x dx− −∫ 5 4 3 219 179 4

4 2x x x x x c − + − + +

37) 3 32 2

13

xdx

x x

+ ∫ 3 5 318 3x x c + +

38) 3 4

6

1 3 3x x xdx

x− + −∫ 5 4 2

1 3 3 15 4 2

cxx x x

− − − + +

39) 2 3

dx

x +∫ 3x c + +

40) 3 1

4 2

23

1x x dxx

+ +∫ 6 5 31212 63

13 5x x x x c + + +

41) 23

2 1 1xx dx

xx− − − ∫

3

2

2 1 log32x x c

x x − + − − +

5

42) ( )36 2 3

dx

x +∫ ( )231

2 38

x c + +

43) ( ) ( )1 222 1x x dx+ −∫ 3 2 3 22 4 2 2

2 27 5 3 3

x x x x x x x x x c − + + − + +

44) ( )2

3

3 2

1 2 xdx

x

−

∫ 3 2 34 6 3x x x c − + +

45) 3 2

12

4 3x xdx

x

− +∫ 3 22 86

7 5x x x x x c − + +

46) 6

2

11

xdx

x x−

+ +∫ 5 4 21 1 15 4 2

x x x x c − + − +

47) ( ) ( )21

2

3

1 1x xdx

x

− −

∫ 3

22 2

2 2log3

x x x cx

− + + +

48) 2 1

1x x

dxx− +−∫ 21

log 12

x x c + − +

49) 21 x

dxx

+∫ 21log2

x x c + +

50) ( )

2

2

2

1

x xdx

x

+

+∫ 1

1x c

x + + +

51) ( )

2

2

2

1

x xdx

x

−

−∫ 1

1x c

x + + −

52) ( )

3 2

3

3 3

1

x x xdx

x

− +

−∫ ( )2

1

2 1x c

x

− +

−

53) ( )

3 2

3

3 3

1

x x xdx

x

+ +

−∫ ( )2

1

2 1x c

x

+ +

+

54) ( )31

xdx

x +∫ ( )2

1 11 2 1

cx x

− + +

+ +

55) 3 8

2x

dxx

−−∫ 3 21

43

x x x c + + +

6

56) ( )

2

2

1

1

xdx

x

+

−∫ ( )2 2log 1

1x x c

x + − − + −

57) 3 2

2

2 51

x xdx

x+ −

+∫ 2 21 12 log 1 7arctg

2 2x x x x c + − + − +

58) 4 2

2

2 2 11

x x xdx

x− + +

−∫ 3 21log 1

3x x x c − + − +

59) 2

2

2 1 1

1

xdx

x

− +

−∫ [ ]2 arcsinx x c+ +

60) 2 3 4

3

1 31

x x x xdx

x− + − +

−∫ 2 31log 1

2x x x c − + − +

61) ( )2

3

3

2 3 xdx

x

−

∫ 3 23276 12

4x x x x c + − +

62) 2 3 4

2

2 12 9 313 4x x x x

dxx x

− + + ++ +∫ 3 2 21 1 1

log 4 133 2 2

x x x x c − + + + +

63) ( )31x x dx−−∫ 4 22

1 3 13log

4 2 2x x x c

x − + + +

64) 4 3 2

2

11

x x x xdx

x+ + + +

+∫ 3 21 1arctg

3 2x x x c + + +

65) 1x

xe dxe

+ ∫ x xe e c− − +

66) 3

2

1 41 4

x xdx

x+ +

+∫ 21 1arctg2

2 2x x c + +

67) 2

3

62 1

xdx

x −∫ 3log 2 1x c − +

68) 2

3 2

3 63 1

x xdx

x x−

− −∫ 3 2log 3 1x x c − − +

69) 4

5 2

410 1

x xdx

x x−

− +∫ 5 21log 10 1

5x x c − + +

70) 2

131

2 4

xdx

x x

−

− +∫ 21 3log

2 4x x c

− + +

7

71) 3

4 2 12

3

x xdx

x x

−

− −∫ 4 21 1log 2

4 3x x c

− − +

72) 1

dx

x +∫ 2 1x c + +

73) 1 1 1

3 2dx

x x x

+ +

+ − ∫ 2 3 2 2 2x x x c + + − + +

74) 1 1

1 3 1dx

x x

+

+ − ∫ 2

2 1 13

x x c + + − +

75) 2

8 3

4 3

xdx

x x

−

−∫ 22 4 3x x c − +

76) 2 21 1

x xdx

x x

+ + − ∫ 2 21 1x x c + − − +

77) 3 2

4 3

4 9 2

3 2

x xdx

x x x

− +

− +∫ 4 32 3 2x x x c − + +

78) 2

112 42

xdx

x x

−

− +∫ 21 12 42 2

x x c

− + +

79) 2

2 313 9 2

xdx

x x

−

− +∫ 22 13 93 2

x x c

− + +

80) ( )223 2

xdx

x −∫ 3 232

2x c − +

81) ( )23

6 5

13 5 2

xdx

x x

−

− +∫ 2313 3 52

x x c

− + +

82) ( )5 14 2

dx

x −∫ 55 144 2

x c

− +

83) sin cosx xdx∫ 21sin

2x c +

84) sin3xdx∫ 1

cos33

x c − +

8

85) 3sin cosx xdx∫ 41sin

4x c +

86) ( )2 cos sin4x x x dx− +∫ 31 1sin cos4

3 4x x x c − − +

87) 1

2 cos2 sin2

x x x dx + − ∫ 2 1 1sin2 2cos

2 2x x x c + + +

88) 2cos cos3x

x x dx + ∫ 213sin sin

3 2x

x c + +

89) cos2

sin cosx

dxx x+∫ [ ]cos sinx x c+ +

90) cos2

cos sinx

dxx x−∫ [ ]sin cosx x c− +

91) 2sec xdx∫ [ ]tgx c+

92) 2cosec xdx∫ [ ]ctgx c− +

93) 2tg xdx∫ [ ]tgx x c− +

94) 2ctg xdx∫ [ ]ctgx x c− − +

95) ( )3cos2 2sin2x x dx+∫ 3

sin2 cos22

x x c − +

96) 2 2sin cosdxx x∫ [ ]tg ctgx x c− +

97) 2

43

sindx

x + ∫ [ ]3 4ctgx x c− +

98) 2 2

2 2sin cos

dxx x

+ ∫ [ ]4ctg2x c− +

99) ( )2 2tg ctgx xdx−∫ [ ]tg ctgx x c+ +

9

100) 2sin xdx∫ 1

sin22 4x

x c − +

101) 2cos xdx∫ 1

sin22 4x

x c + +

102) ( )2 23sin 2cosx x dx+∫ 5 1

sin22 4

x x c − +

103) 2

1sin5 cos4

cos 3x x dx

x + + ∫

1 1 1cos5 sin4 tg3

5 4 3x x x c − + + +

104) 2

1sin cos

2 3 sin 2x x

dxx

− + ∫ 1

2cos 3sin ctg22 3 2x x

x c − + + +

105) tgxdx∫ log cos x c− +

106) 4tg3x

dx∫ 12logcos3x

c − +

107) 3sin cos3 2x x

dx − ∫ 9cos 2sin3 2x x

c − + +

108) ( )21 cos x dx−∫ 3 1

2sin sin22 4

x x x c − + +

109) ( )21 sin x dx−∫ 3 1

2cos sin22 4

x x x c + − +

110) 1 cos1 cos

xdx

x−+∫ 2 tg

2 2x x

c − +

111) 1 cos1 cos

xdx

x+−∫ 2 ctg

2 2x x

c − + +

112) 1 cos41 cos4

xdx

x−+∫ ( )1

tg2 22

x x c − +

113) 24

dx

x−∫ arcsin2x

c +

114) 225

dx

x−∫ arccos5x

c − +

10

115) 2 2

dx

a x−∫ arcsin

arccos

xc

ax ca

+ − +

116) ( )22

2

1 1

xdx

x+ +∫ ( )

( )

2

2

arctg 1

arcctg 1

x c

x c

+ + − + +

117) sin

1 cosx

dxx+∫ log1 cos x c− + +

118) 2

x

x

edx

e+∫ log 2 xe c + +

119)

1

1

xx

xx

ee dx

ee

−

+∫ log x xe e c− + +

Si calcolino ora i seguenti integrali utilizzando le seguenti formule di Werner:

( ) ( )1sin cos sin sin

2α β α β α β= + + −

( ) ( )1cos sin sin sin

2α β α β α β= + − −

( ) ( )1cos cos cos cos

2α β α β α β= + + −

( ) ( )1sin sin cos cos

2α β α β α β= − − +

120) cos6 cos2x xdx∫ 1 1

sin8 sin48 2

x x c + +

121) sin5 sinx xdx∫ 1 1 1

sin4 sin64 2 3

x x c − +

122) cos4 sinx xdx∫ 1 1 1

cos3 cos52 3 5

x x c − +

123) sin4 cos2x xdx∫ 1 1

cos6 cos24 3

x x c − + +

124) cos3 sin2x xdx∫ 1 1

cos cos52 5

x x c − +

11

125) cos2 sin4x xdx∫ 1 1

cos2 cos64 3

x x c − + +

126) sin4 sin3x xdx∫ 1 1

sin sin72 7

x x c − +

127) cos3 cos2x xdx∫ 1 1

sin sin52 10

x x c + +

128) cos5 cos3x xdx∫ 1 1

sin2 sin84 4

x x c + +

129) sin5 sin2x xdx∫ 1 1 1

sin3 sin72 3 7

x x c − +

130) sin7 cos3x xdx∫ 1 1 1

cos10 cos44 5 2

x x c − + +

131) cos6 sin2x xdx∫ 1 1

cos4 cos88 2

x x c − +

132) cos4 cosx xdx∫ 1 1 1

sin5 sin32 5 3

x x c + +

133) ( )22 cos 2cosx x dx+ −∫ 1

sin sin22

x x x c + − +

134) cos1 cos

xdxx+∫ tg

2x

x c − +

135) 25 9dx

x+∫ 1 3

arctg3 5 5

xc

+

136) 23 16dx

x+∫ 1 4

arctg4 3 3

xc

+

137) 22 25dx

x+∫ 1 5

arctg5 2 2

xc +

138) 2 22 2

x xdx

x x

− +− + − ∫ 22 4 x c − +

139) b x b x

dxb x b x

− +− + − ∫ 2 22 b x c − +

12

140) 1 cos xdx−∫ 2 2cos2x

c − +

141) 1 cos xdx+∫ 2 2sin2x

c +

142) 2

2 xxe dx∫ 2xe c +

143) sin cosxe xdx∫ sin xe c +

144) cos sinxe xdx∫ cos xe c − +

145) 2

53 3

x

x

e dxe+∫

5arctg

3xe c +

146) ( )13 x

e dx+∫

13 xe e c +

147) log x

dxx∫ 21

log2

x c +

148) 1

logxe x dxx

+ ∫ logxe x c +

II) Calcolare i seguenti integrali utilizzando il metodo di sostituzione e tenendo inconsiderazione gli esempi riportati nella teoria (cfr. ¶ 9. c)):

1) 2sin cosx xdx∫ 31sin

3x c +

2) 2cos sinx xdx∫ 31cos

3x c − +

3) sin cosn x xdx∫ 11sin

1n x c

n+ + +

4) cos sinn x xdx∫ 11cos

1n x c

n+ − + +

5) ( )2

1 sin

cos

xdx

x

+

−∫ 1

cosc

x x + −

13

6) 4 3sin cosx xdx∫ 5 71 1sin sin

5 7x x c − +

7) 2

sin1 cos

xdx

x+∫ ( )

( )arctg cos

arctg cos

x c

x c

− + +

8) 4 3cos sinx xdx∫ 7 51 1cos cos

7 5x x c − +

9) 1 cos

dxx+∫ tg

2x

c +

10) 2 3sin cosx xdx∫ 3 51 1sin sin

3 5x x c − +

11) ( ) ( )32 log 2

dxx x− −∫

( )2

1 12 log 2

cx

− +

−

12) 3sin cosx xdx∫ 3 21 12 cos cos

7 3x x c

− +

13) cos

2 3sinxdx

x+∫ 1

log 2 3sin3

x c + +

14) 2

sin21 cos 2

xdx

x+∫ ( )1arctg cos2

2x c − +

15) ( )3

1 sin

cos

xdx

x x

+

−∫ ( )2

1 12 cos

cx x

− +

−

16) 2

cos31 sin 3

xdx

x+∫ ( )1arctg sin3

3x c +

17) ( )4

sin cos

cos sin

x xdx

x x

+

−∫ ( )3

1 13 cos sin

cx x

+

−

18) 2

sin2cos

xdx

x∫ ( )2log sec x c +

19) 2cos 1sin2x xdx+∫ ( )322cos 1

3x c − + +

20) 2tg sindx

x x∫ 21ctg

2x c − +

14

21) 3

2

1 tgcos

xdx

x+∫ ( )43

31 tg

4x c + +

22) 32 3xx e dx−∫

3 313

xe c− +

23) ( )sin 1 x

dxx

−

∫ ( )2cos 1 x c − +

24) ( )4 43 x xx e e dx−−∫ ( )4 414

x xe e c− + +

25) 2

23

x

x

edx

e+∫ 2log 3xe c + +

26) ( ) 12 2xe x dx−+∫ 22 xe c+ +

27) sinlog x

dxx∫ ( )cos log x c− +

28) 2

2

sin2cos2

x

x

x edx

x e+−∫ 2log cos2xe x c − − +

III) Calcolare i seguenti integrali utilizzando il metodo di integrazione per parti ,tenendo in considerazione gli esempi riportati in ¶ 9. b) della teoria:

1) log xdx∫ [ ]logx x x c− +

2) sin3x xdx∫ ( )1sin3 3 cos3

9x x x c − +

3) 2 sinx xdx∫ 2 cos 2 sin 2cosx x x x x c − + + +

4) logx xdx∫ ( )2

2log 14x x c

− +

5) 2 cos2x xdx∫ ( )212 1 sin2 2 cos2

4x x x x c − + +

6) 2cosxdx

x∫ tg logcosx x x c + +

15

7) xxe dx∫ ( )1 xx e c − +

8) ( )2sin 3 1x dx+∫ ( )1 1sin 6 2

2 12x x c − + +

9) cosxe xdx∫ ( )1sin cos

2xe x x c + +

10) 3xxe dx∫ ( )313 1

9xe x c − +

11) 4cos2x

dx∫ 3 1 1

sin sin28 2 16

x x x c + + +

12) sinxe xdx∫ ( )1sin cos

2xe x x c − +

13) ( )2 1 xx e dx−∫ ( )21 xx e c − +

14) arctgx xdx∫ ( )211 arctg

2x x x c − + + +

15) 2

arcsin

1

xdx

x−∫ 21 arcsinx x x c − − +

16) 1

2 logx xdx∫ ( )23log 2

9x x x c − +

17) arcsin xdx∫ 2arcsin 1x x x c + − +

18) arctgbxdx∫ 2 21arctg log1

2x bx b x c

b − + +

19) 2sin xdx∫ 1 1

sin22 2

x x c − +

20) 2log xdx∫ 2log 2 log 2x x x x x c − + +

21) 2cos xdx∫ 1 1

sin22 2

x x c + +

16

22) 2 sinxe xdx∫ ( )212sin cos

5xe x x c − +

23) 3cos xdx∫ 21sin 1 sin

3x x c

− +

24) cos3xe xdx∫ ( )13sin3 cos3

10xe x x c + +

25) 3sin xdx∫ 21cos cos 1

3x x c

− +

26) ( )log 3 2x dx+∫ ( ) ( )13 2 log 3 2 3

3x x x c + + − +

27) ( )sin log x dx∫ ( ) ( )sin log cos log2x

x x c − +

28) ( ) 41 xx e dx++∫ 4xxe c+ +

29) ( )cos log x dx∫ ( ) ( )cos log sin log2x

x x c + +

30) arctg5xdx∫ 21arctg5 log1 25

10x x x c − + +

31) ( )log 1x dx+∫ ( ) ( ) ( )1 log 1 1x x x c+ + − + +

32) 4cos xdx∫ ( )31 3sin cos sin cos

4 8x x x x x c + + +

IV) Calcolare gli integrali definiti 1)−71) (cfr. ¶ 8.), dopo aver analizzato gli esempia)−c) di seguito riportati:

a) ( ) ( )2

20

0

sin cos cos cos0 cos cos0 12 2

xdx x

π

π π π= − = − − − = − + =∫b)

1 11 1 1

4 4 4 4 4

0 0 00 0

1 1 1 14 4 4 16

x x x x xxe dx xe e dx xe e = − = − = ∫ ∫

17

( )4 4 0 4 4 41 1 1 1 1 1 1 10 3 1

4 4 16 16 4 16 16 16e e e e e e = − ⋅ − − ⋅ = − + = +

avendo applicato la formula di integrazione per parti con:

( )

( ) 4

' 114

x

f x

g x e

=

=

⇒ ( )

( ) 4' x

f x xg x e

= =

c)

1

2

0

1 x dx+∫Per calcolare il corrispondente integrale indefinito occorre applicare il metodo diintegrazione per sostituzione, ponendo:

21 x x t+ = + ( )0x t+ > ⇒ ( )22 2 21 2x x t x xt t+ = + = + + ⇒

⇒ 21

2txt

−= ⇒ 2 2 2 2

2 1 1 2 112 2 2

t t t tx x t tt t t

− − + ++ = + = + = = ⇒

⇒ ( ) ( )2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 1 4 2 2 2 2 14 4 4 2

t t t t t t tdx dt dt dt dtt t t t

− − − − − + − − += = = = −

Bisogna ora analizzare i valori assunti dalla nuova variabile t, quando x varia tra 0 ed 1:

0x = ⇒ 21 0

2txt

−= = ⇒ 21 0t− = ⇒ 2 1 0t − = ⇒ 1t = ±

ovvero:0x = ⇒ 1t = + dovendo risultare 0x t+ > ⇒ t x> − ⇒ 0t >

1x = ⇒ 21 1

2txt

−= = ⇒ 21 2t t− = ⇒ 2 2 1 0t t+ − = ⇒ 1 2t = − ±

ovvero:1x = ⇒ 1 2t = − +

Quindi si può scrivere:

( )1 2 1 2 1 2 1222 2 4 2

22 3 3

0 1 1 1

11 1 1 1 2 112 4 42

tt t t tx dx dt dt dtt t t t

− − −

+ + + + ++ = ⋅ − = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 14 2

3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

1 1 2 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 2 4

t tdt dt dt tdt dt dttt t t t

− − − − − −

= − − − = − − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 1 2 1 2 12

21 11

1 1 1 1log4 2 2 4 2

t tt

− − −−= − ⋅ − ⋅ − ⋅ =

18

( )( )

2

2

1 1 1 1 12 1 2log 2 1

4 2 2 22 2 1

= − − + − − + − =

−

( )( )

( )2

2

1 1 1 12 1 2log 2 1 2 log 2 1

4 2 22 2 1

= − − − − + = − − = −

( )12 log 2 1

2 = + +

1) ( )

2

2

0

1 x dx+∫ 263

2) ( )

3

1

2 1x dx−∫ [ ]6

3) ( )3

2

1

3 1x dx+∫ [ ]32

4) ( )2

2

1

3 1x x dx+ −∫ 152

5) ( )

3

1

13 1

2x dx

−

−∫ [ ]4

6) ( )3

2

2

1

5 1x x dx

−

− +∫ 56

7)

1

2

1

13 1

2x x dx

−

− + ∫ [ ]4

8) ( )3

2

2

5 2x dx

−

−∫ 145

3

19

9) ( )1

3 2

0

3 2 3x x x dx− + +∫ 134

10) ( )

2

0

3 1x x dx+∫ [ ]54

11) ( )1

2

2

0

2 3x dx−∫ 1712

−

12)

2

0

1 1

2 2dx

x x

+

+ ∫ 6 2 2 −

13)

1

2 3

1

3 12

4 2x x dx

−

− − ∫ 72

−

14) ( )2

2

0

2 3 2x x dx− −∫ 143

−

15) ( )4

3 2 2

1

3x x x x dx− −− + −∫ 5627

96 −

16) ( )1

2 3

2

3 2x x x dx− −

−

+ −∫ 214

−

17)

2

2

2

1 12

2 4x x dx

−

+ − ∫ 53

18)

1

2

11

xdx

x−

+∫ [ ]0

19) ( )2

0

3sin2x dx

π

∫ [ ]3

20

20) ( )( )

1

2

3

2 1x x dx

−

− −∫ 2563

−

21) ( )

2

2

1

1

2 3

x dx

x x

−

− +∫ 3 2 −

22) ( )2

2

2sin cosx x dx

π

π−

−∫ [ ]2−

23)

3

1

2 1x dx+∫ ( )1343 3 3

3 −

24)

2

2

0

sin cosx xdx

π

∫ 13

25)

2

cos3xdx

π

π∫

13

26)

8

1

3 1x dx+∫ [ ]26

27)

4

2

0

2sin xdx

π

∫ 1

4 2π −

28)

0

cos2cos sin

xdx

x x

π

−∫ [ ]2

29)

2

2 2

a

a

xdx

x a−∫ 3a

30) ( )0

2sin 3cosx x dx

π

−∫ [ ]4

21

31)

3

2

log xdx∫ [ ]log27 colog4 1+ −

32) ( )0

2sin 5cosx x dx

π

+∫ [ ]4

33)

3

2

4

11

sindx

x

π

π

− ∫

3112 3π

− +

34)

2

3

xxe dx∫ ( )2 1 2e e −

35)

2

2

2

sin cosx xdx

π

π−

∫ 23

36)

3

2 2

4

3 2cos sin

dxx x

π

π

− ∫ ( )1

11 3 153

−

37)

2

0

sinx xdx

π

∫ [ ]1

38)

0

cos2cos sin

xdx

x x

π

+∫ [ ]2−

39)

1

0

arcsin xdx∫ 12π −

40)

3

0

sin cosx xdx

π

∫ 38

22

41)

2

2

cos1 cos

xdx

x

π

π−

+∫ [ ]2π −

42)

4

0

tgxdx

π

∫ log 2

43) 3

4 4

a

a

x dx

a x

+

−−∫ [ ]0

44)

2

4

ctgxdx

π

π∫ log 2

45)

2

2

0

cos 1sin2x xdx

π

+∫ ( )22 2 1

3 −

46)

2 2

2

01

xdx

x+∫ [ ]2

47) ( )

42

2

4

1 tgcos

xdx

x

π

π−

+∫ 83

48)

2

1

log xdx

x∫ 21log 2

2

49)

3

4

sinxe xdx

π

π∫ ( ) 3

13 1

4e

π −

50)

2

2

2

2

cos2

xtgdx

x

π

π−

∫ [ ]0

23

51)

3

6

cosxe xdx

π

π∫ ( )( )3 6

13 1

4e e

π π + −

52)

3

12

12 3

dxx +∫

3log

2

53) ( )2

0

5sin 4cosx x dx

π

+∫ [ ]9

54) ( )

3

4

sin cos 1cos

x xdx

x

π

π

+∫ ( )12 1 log2

2 − +

55)

32

2

0

sin cos 1cosx x dx

x

π

+∫ 1

32

+

56) ( )2

3

6

cos cosx x dx

π

π

−∫ 7

24

57) ( )4

2

0

sec 3x dx

π

+∫ 3

14

π +

58) ( )3

2 2

6

sec cosecx c dx

π

π

+∫ 4

33

59)

4

0

cos sincos sin

x x dxx x

π

−+∫ log 2

60) 2

0

cos1 sin

xdx

x

π

+∫ [ ]2π −

24

61)

42 2

2

0

sin cos 3cos 1cos

x x x dxx

π

+ +∫ 2 2 +

62)

2

0

cos 1 sinx xdx

π

+∫ ( )22 2 1

3 −

63)

1

0

arctgx xdx∫ 1

12 2

π −

64)

2

0

cosx xdx

π

∫ 2

2π −

65)

2

3

0

sin xdx

π

∫ 23

66)

3

2 4

1

2x x dx+∫ 11

11 33

−

67)

1

0

2

x

x

edx

e +∫ 2

log3

e+

68)

32

1

3x x xdx

x

+ +∫ ( )148 3 12

5 −

69)

log2

0

1x xe e dx−∫ 23

70)

2

1

log xdx∫ [ ]log4 1−

71)

2

1

2

x

x

edx

e+∫ 22log

2ee

+ +