Esame di Teoria dei Segnali -...

Esame di Teoria dei Segnali

3 Aprile 2003

Esercizio 1

Data una variabile aleatoriaX con densità di probabilità come in figura, determinare ladensità di probabiità e la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria ottenutamediante la seguente trasformazione:Y = 3X − 2.

2/3

f (x)X

X−1 0 1

1/3

Esercizio 2

Un processo aleatorioX(t), gaussiano, stazionario in senso lato e a media nulla,possiede una densità spettrale di potenza pari aSXX(f). Il processoX(t) passa at-traverso il sistema in figura.

Calcolare la densità spettrale di potenza e la potenza del processoY (t) e la mediadel processoZ(t).

−

k

−B Bf

S (f)XX

−B/2 B/2

H(f)

1

f

X(t)H(f)

RitardoT = 2 / B

Y(t)

W=X2 Z(t)W(t)

+

1

Y−5 −2 0 1

Y

f (y)Y

−5 −2 0 1

2/3

1/3 1/3

1

F (y)Y

Esercizio 3

Dato un canale binario simmetrico con probabilità d’errorep = 10−6, si abbia unacodifica di sorgente che per ogni bit emesso ne trasmetta cinque uguali (codifica aripetizione conn = 5). Supponendo che il sistema richieda una sola ritrasmissione se ibit differenti sono 1, 2, 3 o 4 e che in seconda trasmissione vi è errore se i bit sbagliatisono più di due, calcolare la probabilità d’errore totale del sistema.

Soluzioni

Esercizio 1

La densità di probabilità della variabile aleatoriaX è: fX(x) = 13rect(

x+1/21 ) +

23rect(

x−1/21 ). Si deve effettuare una trasformazioe secondo la legge:Y = 3X − 2.

Sfruttando la relazione tra le densità di probabilità:fY (y) = fX(x)|g′(x)|

∣∣∣x=g−1(y)

e

sapendo che:X = g−1(Y ) = Y+23 eg′(x) = 3, si ha:

fY (y) =fX(y+2

3 )3

=19rect(

y + 7/23

) +29rect(

y + 1/23

)

La distribuzione di probabilità diY vale quindi:

FY (y) =y + 5

9rect(

y + 7/23

) +2y + 7

9rect(

y + 1/23

)

Esercizio 2

La densità spettrale di potenza del processoX(t) è: SXX(f) = k(1 − |f |B )rect( f2B ).

All’uscita del filtro il processo è ancora gaussiano stazionario e a media nulla. La suadensità spettrale di potenza diventa:SY Y (f) = k(1 − |f |B )rect( fB ). La potenza delprocessoY (t) è quindi:

PY =∫ +∞

−∞SY Y (f)df =

∫ +B/2

−B/2k(1− |f |

B)df = 2

∫ +B/2

0

k(1− f

B)df =

34kB

La media del processoZ(t) è:

E[Z(t)] = E[W 2(t)] = E[(X(t− 2/B)−X(t))2] = E[X2(t− 2/B)] +E[X2(t)]−

2

2E[X(t)X(t− 2/B)] = 2Px − 2Rx(2/B) = 2kB − 2kB · sinc2(2) = 2kB

Esercizio 3

La probabilità d’errore in prima trasmissione è:P (E1) =(

55

)p5 = p5. La proba-

bilità di ritrasmissione è:

P (R) =(

51

)p1(1−p)4+

(52

)p2(1−p)3+

(53

)p3(1−p)2+

(54

)p4(1−p)

La probabilità d’errore in seconda trasmissione è:

P (E2) =(

53

)p3(1− p)2 +

(54

)p4(1− p) +

(55

)p5

.La probabilità d’errore totale vale:

P (E) = P (E1) + P (R)P (E2) = p5 + [5p(1− p)4 + 10p2(1− p)2 + 5p4(1− p)]·

·[10p3(1− p)2 + 5p4(1− p) + p5]

.In prima approssimazione l’errore vale:P (E) ≈ 50p4 = 5 · 10−23 10−6.

3


10 Aprile 2003

Esercizio 1

Una scatola contiene 12 palline bianche, 15 nere e 13 blu mescolate tra loro. Calcolarequal è la probabilità che su 8 pescate si siano prese meno di tre palline nere se le pescateavvengono con rimpiazzamento (dopo la pescata la pallina è rimescolata nella scatola).

Qual è inoltre la probabilità che vi siano esattamente 2 palline bianche su 3 pescatesenza rimpiazzamento ?

Esercizio 2

Il rumore termico prodotto da una resistenza daR = 100 kΩ alla temperatura assolutadi T = 300K è applicato al circuito in figura. Calcolare media e varianza del processoaleatorio in uscita (costante di Boltzmannk = 1.380662 · 10−23 J

K ).

B = 5 MHz

X(t) Z(t)Y(t)

R

Z

Y−B B

f

| H(f) |

0 0

Esercizio 3

Sia data una sorgente discreta che emette simboli in modo indipendente scelti da unalfabeto composto dai seguenti 6 possibili:A,B,C,D,E, F , con probabilità di emis-sione, rispettivamente:

pA = 0.45pB = 0.2pC = 0.15pD = 0.1pE = 0.05pF = 0.05

1

Effettuare una codifica alla Huffmann e calcolare il numero medio di bit emessidalla sorgente. Calcolare inoltre l’entropia della sorgente.

Soluzioni

Esercizio 1

SiaE1 l’evento di pescare meno di tre palline nere su8 pescate con rimpiazzamento.Sia inoltreE2 l’evento di pescare esattamente2 palline bianche su3 pescate senzarimpiazzamento.

DettapN la probabilità sulla singola pescata di prendere una pallina nera, la prob-abilità dell’eventoE1 è la probabilità che su8 pescate siano state prese o0 palline, o1pallina o2 palline nere, comunque disposte:

P (E1) =(

80

)p0N (1− pN )8 +

(81

)p1N (1− pN )7 +

(82

)p2N (1− pN )6 =

= (1− pN )8 + 8pN (1− pN )7 + 28p2N (1− pN )6 = (1− pN )6

[21p2

N + 6pN + 1]

Essendo la pescata con rimpiazzamento si ha:pN = 1540 = 3

8 , quindi:P (E1) ≈ 0.3697.Nel secondo evento la pescata è senza rimpiazzamento. Qundi si deve considerare

di volta in volta una differente probabilità di pescare le palline bianche, dato che ilnumero delle palline diminuisce di pescata in pescata, mentre il numero delle pallinebianche diminuisce solo se si pesca una pallina bianca. I tre casi che possono capitaresono:

• eventoE21: le prime due bianche, la terza non bianca;

• eventoE22: la prima bianca, la seconda non bianca, la terza bianca;

• eventoE23: la prima non bianca la seconda e la terza bianche.

I tre eventi sono mutuamente esclusivi quindi la probabilità diE2 è la somma delleprobabilità diE21, E22, E23. DettoM il numero di palline bianche totali (M = 12)edN = 40:

P (E21) =M

N· M − 1N − 1

· N −MN − 2

P (E22) =M

N· N −MN − 1

· M − 1N − 2

P (E23) =N −MN

· M

N − 1· M − 1N − 2

P (E2) = P (E21) + P (E22) + P (E23) = 3 · MN· M − 1N − 1

· N −MN − 2

=

=3 · 12 · 11 · 28

40 · 39 · 38=

2311235

≈ 0.187

2

Esercizio 2

La tesione di rumore prodotta da un resistore (e misurata inV olt) si può ritenere unprocesso stazionario in senso lato (SSL) con una densità di probabilità gaussiana econ densità spettrale di potenza costante (rumore bianco) e pari a:S(f) = kT

[WHz

].

All’uscita del sistema lineare e tempo invariante si ha ancora un processo gaussiano,

SSL e con densità spettrale di potenza pari a:SY Y (f) = kT · rect(f

2B

).

Il blocco successivo è non lineare e produce in uscita il processo di rumoreZ(t) =|Y (t)|. Calcoliamo soltanto quello che succede alla densità di probabilità del primoordine:

fZ(z) =fY (y)|1|

∣∣∣∣ Y = ZY = −Z

= fY (z) + fY (−z) = 2fY (z)|Z≥0

dato chefY (y) è gaussiana e quindi pari.La densità di probabilità del primo ordine del processoZ(t) è quindi:

fZ(z) = 21√

2πσYe− z2

2σ2Y · u(z)

Essendo il processoX(t) (e quindi ancheY (t)) a media nulla, il valore quadraticomedio della tensione di rumore diY (t) coincide con la sua varianza:σ2

Y = E[Y (t)2].Inoltre la varianza coincide anche con la potenza disponibile a meno del fattore diproporzionalità dovuto a quattro volte il valore della resistenza:

σ2Y = PY · 4R = 4R

∫ +∞

−∞kT · rect

(f

2B

)df = 4R

∫ +B

−BkTdf = 8kTBR

La media diZ(t) è:

E[Z(t)] =∫ +∞

−∞z·fZ(z)dz = 2

σY√2π·∫ +∞

0

z

σ2Y

e− z2

2σ2Y dz =

2σY√2π

= 4

√kTBR

π≈

≈ 1.027 · 10−4 V

Il valore quadratico medio è:

E[Z(t)2] =∫ +∞

−∞z2·fZ(z)dz = 2

∫ +∞

0

z2 1√2πσY

e− z2

2σ2Y · dz = 2

σ2Y

2= σ2

Y = 8kTBR

Infine la varianza vale:σ2Z = E[Z(t)2] − E2[Z(t)] = 8kTBR − 16kTBR

π =8kTBR ·

(1− 2

π

)≈ 6.020 · 10−9 V 2

Esercizio 3

Codifica di Huffmann:

3

D 1 1 1 1

A 0.45

B 0.2

C 0.15

D 0.10

E 0.05

F 0.05

1

0

1

0

0

1

0

1

0.1

0.2

0.35

0.55

1

0

A 0B 1 0C 1 1 0

E 1 1 1 0 1 F 1 1 1 0 0

Numero medio di bit:

n = 1 · 0.45 + 2 · 0.2 + 3 · 0.15 + 4 · 0.1 + 5 · 0.05 + 5 · 0.05 = 2.2bit

simbolo

Entropia:

H(S) = −0.45 · log2 0.45− 0.2 · log2 0.2− 0.15 · log2 0.15−

−0.10 · log2 0.10− 0.05 · log2 0.05− 0.05 · log2 0.05 ≈ 2.158bit

simbolo

4


10 Luglio 2003

Esercizio 1

Due variabili aleatorieX eY hanno la seguente densità di probabilità congiunta:

fXY (x, y) =k · (x− y + 4) (x, y) ∈ A

0 altrove

dove l’insiemeA ⊂ <2 è definito come in figura.

0

1

−1 1x

y

A

Valutare la densità di probabilità congiunta, le densità di probabilità marginali e dire sele due variabili aleatorie sono indipendenti

Esercizio 2

Nel sistema in figura,X(t) e Y (t) sono due processi aleatori.X(t) è un processogaussiano, stazionario in senso lato a media nulla e varianzaσ2, Y (t) è un processocon densità di probabilità del primo ordine di tipo uniforme nell’intervallo[−2, 2].

45°X(t)

Y(t)

Z(t)+

++1

−1

Valutare la densità di probabilità del primo ordine del processoZ(t), la sua mediae la sua varianza.

1

Esercizio 3

Nel circuito in figura gli interruttori sono azionati in modo casuale ed indipendente. Laprobabilità che uno degli interruttori sia chiuso èp. Calcolare la probabilità che tra idue terminaliA eB vi sia almeno un percorso chiuso (continuità elettrica).

Si supponga ora che i terminaliI1 ed I5 siano totalmente dipendenti tra loro:quando uno di essi è chiuso, l’altro è anch’esso chiuso. Come varia la probabilitàche via sia un percorso chiuso traA eB ?

B

A

I I I

I

I

4

5

1 2 3

Soluzioni

Esercizio 1

Per determinare la densità di probabilità congiunta deve essere verificata la seguenteproprietà: ∫ ∫

A

fXY (x, y)dxdy = 1

da cui si ottiene:∫ 1

0

dx

∫ 1−x

0

k(x− y + 4)dy +∫ 0

−1

dx

∫ 1+x

0

k(x− y + 4)dy =

=∫ 1

0

k

[xy − y2

2+ 4y

]1−x

0

dx+∫ 0

−1

k

[xy − y2

2+ 4y

]1+x

0

dx =

=∫ 1

0

k

[x(1− x)− (1− x)2

2+ 4(1− x)

]dx+

∫ 0

−1

k

[x(1 + x)− (1 + x)2

2+ 4(1 + x)

]dx =

=∫ 1

0

k

[−3

2x2 − 2x+

72

]dx+

∫ 1

0

k

[x2

2+ 4x+

72

]dx = k

113

Da cui si ottiene:k = 3/11. Quindi la densità di probabilità congiunta vale:

fXY (x, y) =

311 · (x− y + 4) (x, y) ∈ A

0 altrove

2

La densità di probabilità marginale della v.a.X:

fX(x) =∫ +∞

−∞fXY (x, y)dy =

∫ 1−|x|

0

311· (x− y + 4)dy =

=311

[xy − y2

2+ 4y

]1−|x|

0

=311

((x+ 4) · (1− |x|)− (1− |x|)2

2

)−1 ≤ x ≤ 1

La densità di probabilità marginale della v.a.Y :

fY (y) =∫ +∞

−∞fXY (x, y)dx =

∫ 1−y

−1+y

311· (x− y + 4)dy =

=311

[x2

2− xy + 4x

]1−y

−1+y

=611(y2 − 5y + 4

)0 ≤ y ≤ 1

Le due v.a. non sono indipendenti, dato che risulta:fXY (x, y) 6= fX(x) · fY (y).

Esercizio 2

Le due densità di probabilità di primo ordine dei processi aleatoriX(t) edY (t) sonorispettivamente:

fX(x) =1√2πσ

e−x2

2σ2

fY (y) =14rect

(y4

)Le proprietà del p.a.X(t) sono modificate nel passaggio attraverso lo squadratore adoppia semionda. In particolare la sua densità di probabilità di primo ordine diventa:

fW (w) =fX(x)|g′(x)|

∣∣∣∣w=±x

=

2fX(w) w ≥ 00 w < 0 =

2√2πσ

e−w2

2σ2 · u(w)

essendou(w) il gradino unitario.Anche le proprietà del p.a.Y (t) sono modificate nel passaggio attraverso il limitatore.In particolare la sua densità di probabilità di primo ordine diventa:

fV (v) = δ(v − 1) · P (Y ≥ 0) + δ(v + 1) · P (Y ≤ 0) =12

[δ(v − 1) + δ(v + 1)]

Il processo aleatorioZ(t) = W (t) + V (t), ha media:

E [Z(t)] = E [W (t)] + E [V (t)] =

=∫ +∞

0

2√2πσ

e−w2

2σ2 · wdw +∫ +∞

−∞

12

[δ(v − 1) + δ(v + 1)] · vdv =

√2π· σ

3

Il valore quadratico medio vale:E[Z(t)2

]= E

[W (t)2

]+E

[V (t)2

]+2E [W (t)V (t)] =

E[W (t)2

]+E

[V (t)2

]+2E [W (t)]E [V (t)], dato che i due processi si possono con-

siderare indipendenti . Poichè inoltre risulta:E [V (t)] = 0, si ha:

E[Z(t)2

]= E

[W (t)2

]+ E

[V (t)2

]=∫ +∞

0

2√2πσ

e−w2

2σ2 · w2dw+

+∫ +∞

−∞

12

[δ(v − 1) + δ(v + 1)] · v2dv = σ2 + 1

La varianza vale allora:var [Z(t)] = E[Z(t)2

]− E [Z(t)]2 = σ2 + 1 − 2

πσ2 =(

1− 2π

)σ2 + 1.

La densità di probabilità di primo ordine è infine la convoluzione delle due densitàdi probabilità, poichè i due processi aleatori che si sommano sono stati consideratiindipendenti:

fZ(z) = fW (w) ? fV (v) =1√2πσ

e−(z−1)2

2σ2 u(z − 1) +1√2πσ

e−(z+1)2

2σ2 u(z + 1)

Esercizio 3

DettoC il punto del circuito compreso tra l’interruttoreI5 e il parallelo dei tre rami infigura, si può ritenere che:

P (contattoA−B) = P (contattoA− C) · P (contattoC −B) =

[1− P (non contattoA− C)] · p =

[1− P (non contatto ramo1) · P (non contatto ramo2) · P (non contatto ramo2)]·p =

[1− (1− p2)(1− p)(1− p)

]p = 2p2 − 2p4 + p5

Se gli interruttoriI1 eI5 sono completamente indipendenti tra loro si ha cheI5 è chiusosolo se ancheI1 è chiuso e viceversa. Conseguentemente poichèP (cont.A − B) =P (cont.A − C) · P (I5 chiuso), cioè la probabilità di contatto traA eB dipende dalfatto cheI5 sia chiuso, si deve supporre che ancheI1 sia sempre chiuso. Quindi:

= [1− (1− p)(1− p)(1− p)] p = 3p2 − 3p3 + p4

4


28 Luglio 2003

Esercizio 1

Una variabile aleatoriaX gaussiana a media nulla e varianzaσ2 = 2, passa attraversoil sistema non lineare descritto dall’equazioney = g(x) in figura. Calcolare la dis-tribuzione di probabilità e la densità di probabilità della variabile aleatoria in uscitaY .

+1 x

y=g(x)

45°

45°−1 0

Esercizio 2

Sia dato un processo aleatorioX(t), stazionario in senso lato con densità spettrale dipotenzaSxx(f) descritta in figura 1. Il processo aleatorio passa attraverso il sistemarappresentato in figura 2. Calcolare la potenza e la funzione di autocorrelazione dellavariabile aleatoria in uscitaY (t).

figura 1

f

S (f)

−1/T 0 1/T

a

xx

X(t) Y(t)+

+

T

figura 2

Esercizio 3

Sia dato un canale binario simmetrico la cui probabilità d’errore su singola trasmissionedi bit èp. Il sistema di trasmissione adotta un codice a rivelazione d’errore a parità pari

1

su8 bit (compreso il bit di parità) e richiede la ritrasmissione una sola volta nell’ipotesid’errore rivelato. Se la sequenza è ancora errata il pacchetto è scartato.

Calcolare la probabilità di ritrasmissione, la probabilità di scartare il pacchetto e laprobabilità d’errore totale.

Soluzioni

Esercizio 1

La densità di probabilità diX è:

fX(x) =1√2πσ

e−x2

2σ2 =1

2√πe−

x24

essendoσ2 = 2. Per determinare la distribuzione di probabilità si procede analizzandola y = g(x) per intervalli.

y < 0 : FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X+1 ≤ y) = P (X ≤ y−1) = FX(y−1) = ΦN (y − 1√

2)

y = 0 : FY (0) = P (Y ≤ 0) = P (X ≤ 1) = FX(1) = ΦN (1√2

)

y > 0 : FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X−1 ≤ y) = P (X ≤ y+1) = FX(y+1) = ΦN (y + 1√

2)

essendoΦN (x) la distribuzione di probabilità della gaussiana standard (media zero evarianza1).

La densità di probabilità si ottiene per derivazione:

y < 0 : fY (y) =1√2

1√2πe−

( y−1√2

)2

2 =1

2√πe−

(y−1)2

4

y > 0 : fY (y) =1√2

1√2πe−

( y+1√2

)2

2 =1

2√πe−

(y+1)2

4

Pery = 0 si ha un impulso di ampiezza:ΦN ( 1√2)− ΦN (− 1√

2). Quindi:

fY (y) =1

2√πe−

(y−1)2

4 ·u(−y)+1

2√πe−

(y+1)2

4 ·u(y)+[ΦN (

1√2

)− ΦN (− 1√2

)]·δ(y)

Esercizio 2

Il processo aleatorio in uscita è ancora stazionario in senso lato, dato che il sistemacomplessivamente è lineare e tempo invariante. Il processo aleatorio in uscita è legatoa quello d’ingresso tramite la forma:Y (t) = X(t) + X(t − T ). La sua funzione diautocorrelazione vale quindi:

2

RY Y (τ) = E[Y (t+ τ)Y (t)] = E[(X(t+ τ)+X(t−T + τ)) · (X(t)+X(t−T ))] =

= E[X(t+τ)X(t)]+E[X(t+τ)X(t−T )]+E[X(t−T+τ)X(t)]+E[X(t−T+τ)X(t−T )] =

= RXX(τ) +RXX(τ + T ) +RXX(τ − T ) +RXX(τ) =

= 2RXX(τ) +RXX(τ + T ) +RXX(τ − T )

PoichèRXX(τ) = =−1 SXX(f) = aT

(sin(πτ/T )

(πτ/T )

)2

, si ha:

RY Y (τ) =a

T

[2(

sin(πτ/T )(πτ/T )

)2

+(

sin(π(τ − T )/T )(π(τ − T )/T )

)2

+(

sin(π(τ + T )/T )(π(τ + T )/T )

)2]

La potenza vale quindi:

PY = E[Y (τ)2] = RY Y (0) =2aT

Esercizio 3

La probabilità di ritrasmissione è la probabilità di accorgersi dell’errore, cioè che visiano un numero di bit sbagliati dispari, cioè:1, 3, 5, 7. La probabilità d’errore in primao in seconda trasmissione è la probabilità che vi siano un numero di bit sbagliati pari,cioè: 2, 4, 6, 8. La probabilità di scartare la sequenza è la probabilità che si richiedaritrasmissione e che in seconda trasmissione ci si accorga nuovamente dell’errore.

Si ha quindi:

P (Rt) =4∑k=1

(8

2k − 1

)p2k−1(1− p)8−(2k−1)

P (E1T ) = P (E2T ) =4∑k=1

(82k

)p2k(1− p)8−2k

P (Etot) = P (E1T ) + P (Rt) · P (E2T )

P (Sc) = P (Rt) · P (Rt)

3

Esame di Teoria dei Segnali 24 settembre 2003

Esercizio 1

La densità di probabilità di una variabile aleatoria ],[ +∞−∞∈X è del tipo: 22

1)(

xcxf X +

= .

Determinare il valore della costante c necessaria alla normalizzazione. Determinare inoltre la distribuzione e la densità di probabilità della v.a. Y che si ottiene dalla trasformazione di X con il blocco non lineare in figura. Esercizio 2 Un processo aleatorio X, stazionario in senso lato, possiede la seguente funzione di

autocorrelazione: ττ 2)( −⋅= ekRXX . Quanto vale la media del processo ? Si supponga ora che il processo passi attraverso un filtro con funzione di trasferimento come in figura. Determinare il valore della costante k necessaria affinchè la potenza del processo in uscita sia pari a 1. Esercizio 3 Vi sono 5 scatole con resistori. Le prime due hanno il 10% dei resistori guasti, la terza il 15%, la quarta il 20% e la quinta il 25%. Si pescano casualmente 5 resistori uno da ciascuna scatola. Qual è la probabilità che almeno due resistori dei cinque pescati siano guasti ? Supponendo poi che il resistore guasto sia uno solo sui 5 pescati, qual è la probabilità che appartenga alla terza scatola?

X Y - π

π+

X Y

-1/π +1/π

f

|H(f)|

1

pietro

Testo inserito

Soluzione esercizio 1

Per la normalizzazione si deve avere: ∫+∞

∞−

= 1)( dxxf X . Quindi risolvendo si ha:

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

=

+=

⋅=

+=

+ cccx

ac

dxcxc

dxxc

πππ22

1tan

1)/(1

1112222 da cui π=c .

Quindi: 22

1)(

xxf X +

=π

.

Determiniamo prima la distribuzione di probabilità della v.a. Y tratto per tratto della trasformazione non lineare. Per π−<y : 0)()( =−<≤= πyYPyFY

Per π−=y : )()()()( πππ −=−≤=−≤= XY FXPYPyF

Per ππ +<<− y : )()()()( yFyXPyYPyF XY =≤=≤=

Per π+≥y : 1)()()( =+∞<<−∞=≤= XPyYPyFY La densità di probabilità è quindi la derivata della distribuzione:

)())(1(2

)()()()( πδππ

πδπ −⋅−+

⋅++⋅−= yFy

rectxfyFyf XXXY ,


La media del processo si può determinare imponendo la relazione: 2)(lim XXXR µττ

=+∞→

, da cui si

ricava facilmente che 0=Xµ . La densità spettrale di potenza del processo X si ricava dalla trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione:

+∞+−

∞−

−+∞−−

∞−

−+∞

∞−

−−+∞

∞−

−

+−⋅+

−⋅=⋅+⋅=⋅=⋅ ∫∫∫∫

0

)1(20)1(2

0

220

22222

)1(2)1(2)(

fjek

fjek

deekdeekdeekdeRfjfj

fjfjfjfjXX ππ

ττττττπτπ

τπττπττπττπ

)1()1(22

)1(2)1(2 2222 fk

fk

fjk

fjk

ππππ +=

+=

++

−=

Poiché in uscita il processo Y è ancora stazionario in senso lato, la sua densità spettrale di potenza si

può ottenere come:

⋅

+=⋅=

2)1()()()( 22

2 frect

fk

fSfHfS XXYY

ππ

.

La potenza di questo processo vale:

( )244

tan)1(

)(/1

/1

/1

/122

ππππ

ππ

π

π

π

⋅=

+=⋅=

+= +

−

+

−

+∞

∞−∫∫ kkfakdf

fk

dffSYY .

Se si impone quindi che la potenza del processo in uscita Y sia unitaria si ha che la costante k vale:

π2=k .

Soluzione esercizio 3 La probabilità di pescare almeno due resistori guasti sui 5 è pari ad 1 meno la probabilità di non pescarne nessuno meno la probabilità di pescarne esattamente uno guasto. La probabilità di non pescare nessun resistore guasto è la probabilità di non pescare nessun resistore guasto dalla prima scatola, dalla seconda e così via, contemporaneamente:

4131.075.08.085.09.09.0)( 0 =⋅⋅⋅⋅=SP La probabilità di pescare esattamente un resistore guasto sui 5 pescati, uno da ciascuna scatola, è la probabilità di pescare il resistore guasto dalla prima scatola e non pescarne nessuno guasto dalle altre, oppure pescarne uno guasto dalla seconda senza pescarne nessuno guasto dalle altre e così via:

4057.025.08.085.09.09.075.02.085.09.09.075.08.015.09.09.075.08.085.09.01.02)( 1 =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=SP Quindi si ha in totale:

1812.0)()(1)( 102 =−−=≥ SPSPSP j La probabilità di pescare il resistore guasto dalla terza scatola, noto che se ne pescano 5 e che quello guasto sia uno solo vale:

0729.075.08.015.09.09.0)/( 31 =⋅⋅⋅⋅=ASP

TEORIA DEI SEGNALI

Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Esame scritto del 18 dicembre 2003

Esercizio 1

Siano date due variabili aleatorieX edY , indipendenti tra loro e con densità diprobabilità uniforme nell’intervallo[−1, 1]. Si determini la forma analitica delladensità di probabilità della variabile aleatoriaZ = X − Y .

Quanto vale la probabilità che la v.a.Z sia maggiore di1 ?

Esercizio 2

Ciascuna di 6 scatole contiene 12 palline tra bianche e nere: una ne contiene 7bianche, due ne contengono ciascuna 5 bianche e tre ne contengono ciascuna 4bianche. Si sceglie una scatola a caso e si estraggono 3 palline, una alla volta,rimettendole ogni volta nella stessa scatola e rimescolando. Esse sono 2 biancheed una nera.

Qual è la probabilità che la scatola scelta fosse una di quelle contenenti 4palline bianche ?

Esercizio 3

Sia dato una canale binario simmetrico con probabilità d’errorep = 10−6. Ilsistema di trasmissione adotta una codifica di sorgente a ripetizione di bit, conn = 5 (cioè per ogni bit da trasmettere ne invia 5 uguali). Inoltre richiede sino a 2ritrasmissioni se i bit sbagliati sono 2 o 3, altrimenti accetta il bit di maggioranza.Nell’ultima trasmissione accetta il bit di maggioranza.

Calcolare la probabilità d’errore totale del sistema e il numero medio di trasmis-sioni.

1


Le due v.a.X edY hanno densità di probabilità:

fX(x) =1

2rect

[x

2

]fY (y) =

1

2rect

[y

2

]La v.a.Z = g(X, Y ) = X − Y . Si ha quindi:

FZ(z) = P (g(X, Y ) ≤ z) =∫ ∫

R(Z)fXY (x, y)dxdy

doveR(Z) = x, y |x− y ≤ z = x ≤ y + z, y.

FZ(z) =∫ +∞

−∞

[∫ y+z

−∞fXY (x, y)dx

]dy →

fZ(z) =d

dzFZ(z) =

∫ +∞

−∞

[d

dz

∫ y+z

−∞fXY (x, y)dx

]dy =

∫ +∞

−∞fXY (y+ z, y)dy

Poichè le due v.a sono indipendenti tra loro si ha:fXY (x, y) = fX(x)fY (y).Quindi:

fZ(z) =∫ +∞

−∞fX(y + z)fY (y)dy

cioè la correlazione delle due v.a. Poichè si tratta di due rettangoli, la loro corre-lazione vale:

fZ(z) =1

2

(1− |z|

2

)· rect(z

4)

La probabilità cheZ sia≥ 1 è:

P (Z ≥ 1) =∫ +∞

1fZ(z)dz =

∫ 2

1

1

2

(1− z

2

)dz =

1

8


Poniamo i seguenti eventi:A1 =scelta di una scatola che contiene 7 palline bianche

2

A2 =scelta di una scatola che contiene 5 palline biancheA3 =scelta di una scatola che contiene 4 palline biancheB =estrazione delle 2 palline bianche ed una nera, con rimpiazzamentoChiaramente si ha:P (A1) = 1

6,P (A2) = 1

3, P (A3) = 1

2. Dal teorema di

Bayes si ricava la probabilità richiesta:

P (A3/B) =P (B/A3)P (A3)

P (B)

Si devono ricavare le probabilità:P (B/A3) eP (B). P (B/A3) è la probabilitàdi pescare 2 palline bianche ed una nera con rimpiazzamento da una scatola chene contiene 4 bianche e 8 nere:

P (B/A3) = 3 · 4

12· 4

12· 8

12=

2

3

Analogamente si può trovare che

P (B/A2) = 3 · 5

12· 5

12· 7

12=

175

576

P (B/A1) = 3 · 7

12· 7

12· 5

12=

245

576

P (B) si trova in base al teorema delle probabilità totali:

P (B) = P (B/A1)P (A1) + P (B/A2)P (A2) + P (B/A3)P (A3) =

=1

6· 245

576+

1

3· 175

576+

1

2· 2

3=

1747

3456' 0.5055

E quindi:P (A3/B) = 23· 1

2· 3456

1747' 0.6594.


La probabilità d’errore in prima trasmissione è:P (E1) =

(54

)p4(1 − p) +(

55

)p5 = p4(5(1 − p) + p) = p4(5 − 4p). La probabilità di richiedere la

3

prima ritrasmissione vale:P (R1) =

(52

)p2(1 − p)3 +

(53

)p3(1 − p)2 =

10p2(1 − p)2. La probabilità d’errore in seconda trasmissione è pari a quellad’errore in prima:P (E2) = P (E1), e così pure per la probabilità di richiedere laseconda ritrasmissione:P (R2) = P (R1).

La probabilità d’errore in terza trasmissione vale:P (E3) =

(53

)p3(1 −

p)2 +

(54

)p4(1− p) +

(55

)p5 = p3(6p2− 15p+ 10). La probabilità d’errore

totale vale:

P (E) = P (E1) + P (R1)P (E2) + P (R2)P (E3) ' 5 · 10−24

Il numero medio di trasmissioni vale:

nT = 1·[1−P (R1)]+2·P (R1)·[1−P (R2)]+3·P (R1)P (R2) = 1+P (R1)+P (R1)2

4

TEORIA DEI SEGNALI


Esame scritto del 1 aprile 2004

Esercizio 1

Sia data una variabile aleatoriaX, distribuita in modo uniforme nell’intervallo[0, 3]. Si calcoli la dis-tribuzione di probabilità e la densità di probabilità della variabile aleatoriaY che consegue dalla trasfor-mazioneY = g(X), essendoy = g(x) la funzione in figura 1.

Esercizio 2

SiaX(t) un processo aleatorio stazionario in senso lato, con media nulla e densità spettrale di potenzacome in figura 2.(a). Il processo passa attraverso un filtro con funzione di trasferimento come in figura2.(b).

Si determini la densità spettrale di potenza del processo aleatorioY (t) e la sua potenza. Inoltre, seaB = 1 quanto vale la funzione di autocorrelazione diX perτ = 2

3B?

Esercizio 3

Vi sia una scatola con 10 palline nere, 7 bianche e 4 rosse. Si effettuano, separatamente, i seguentiesperimenti:

1. si estraggono due palline, una dopo l’altra, senza rimettere la prima nella scatola (pesca senzarimpiazzamento).

2. si estraggono 3 palline, una dopo l’altra, ma ad ogni pescata la pallina estratta viene rimessa nellascatola (pesca con rimpiazzamento).

Calcolare qual è la probabilità che al primo esperimento le palline pescate fossero una bianca ed una nera.Calcolare inoltre qual è la probabilità che al secondo esperimento le palline pescate fossero una bianca edue rosse.

figura 1

x

y=g(x)

1/2 20

1

figura 2

f

0

S (f)x

a

B−B

B/2−B/2 0

f

| H(f) |

k X(t) Y(t)H(f)

(a)

(b)

1


La densità di probabilità della v.a.X è:

fX(x) =1

3rect

(x− 3/2

3

)Determiniamo la distribuzione di probabilità diY .

Pery < 0 : FY (y) = P (Y ≤ y < 0) = 0Pery = 0 FY (0) = P (Y ≤ 0) = P (X ≤ 1

2) = FX(1

2)

Per0 < y < 1 FY (y) = P (Y ≤ y) = P (23X − 1

3≤ y) = P (X ≤ 3

2y + 1

2) = FX(3y+1

2)

Pery ≥ 1 FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ 3) = 1In conclusione si ha:

FY (y) =

0 y < 0

FX(3y+12

) 0 ≤ y < 11 y ≥ 1

essendo:FX(x) = 13x·rect

(x−3/2

3

)+u(x−3). La densità di probabilità diY si ottiene per derivazione

di FY (y):

fY (y) =1

6δ(y) +

1

2rect(y − 1/2) +

1

3δ(y)


La densità spettrale di potenza del p.a.X(t) ha forma analitica:

Sx(f) = a

(1− |f |

B

)· rect

(f

2B

)Poichè la funzione di trasferimento del filtro vale:H(f) = k · rect

(fB

)la densità spettrale di potenza

del processoY (t) in uscita vale:

SY (f) = k2a(

1− |f |B

)· rect

(fB

)La potenza è l’area sottesa dalla densità spettrale di potenza:

PY =3

4k2aB

Infine, essendo la funzione di autocorrelazione l’antitrasformata della densità spettrale di potenza, peril processoX(t) vale:

Rx(τ) = aB · sinc(τB)

da cui, seaB = 1:

Rx(τ =2

3B) = aB · sinc2

(2

3BB

)= aB · sinc2

(2

3

)=

27

16π2aB =

27

16π2

2


E1 è l’evento: si pescano due palline, senza rimpiazzamento, una è bianca ed una nera. La probabilità ditale evento è la probabilità di pescare una pallina bianca tra le 21 totali e poi di pescare una nera tra le 20rimanenti, oppure di pescare prima una nera tra le 21 totali e poi una bianca tra le 20 rimanenti:

P (E1) =7

21· 10

20+

10

21· 7

20=

1

3

E2 è l’evento: si pescano tre palline con rimpiazzamento: una è bianca, due rosse. La probabilità ditale evento è la probabilità di pescare una pallina bianca, quindi una rossa, quindi ancora una rossa,ogni pescata avvenendo tra le 21 palline totali. L’ordine non è importante, quindi si possono avere trepossiblità:

P (E2) = 3 · 7

21· 4

21· 4

21=

16

441

3

Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni Esame scritto di Teoria dei segnali

16 aprile 2004 Esercizio 1 Sia data la coppia di v.a. (X,Y) con densità di probabilità congiunta:

∈+

=altrove

Ayxyxkyxf XY 0

),()(),(

con A il sottoinsieme di 2ℜ in figura. Calcolare il valore di k che normalizza la densità di probabilità e le densità di probabilità marginali. Dire infine se le v.a. sono indipendenti. Esercizio 2 Un processo aleatorio X(t) è stazionario in senso lato, a media nulla e con densità spettrale di potenza come in figura. Il p.a. X(t) è moltiplicato per un altro processo aleatorio )2cos()( 0 ϕπ += tfAtp p , con ϕ v.a. uniformemente

distribuita in [2,0[ π . Dire se il processo risultante è ancora SSL e qual è la sua media e la sua potenza (X(t) e p(t) si possono ritenere indipendenti). Il processo Y(t) passa quindi attraverso un filtro, come in figura. Rappresentare graficamente la densità spettrale del processo Z(t) e calcolare la sua potenza. Esercizio 3 Sia data una sorgente discreta che emette simboli in modo indipendente scelti da un alfabeto composto dai seguenti 5 possibili: A, B, C, D, E, con probabilità di emissione, rispettivamente:

===

==

025.0

025.0

1.0

15.0

7.0

E

D

C

B

A

p

p

p

p

p

Effettuare una codifica alla Huffmann e calcolare il numero medio di bit emessi dalla sorgente. Calcolare inoltre l’entropia della sorgente.

-B B 0 f

1 Sx(f)

-f0 f0

B

|H(f)|

f 0

X(t)

p(t)

Y(t) H(f) Z(t)

x

y

A

1

1

Soluzione esercizio 1 Il valore di k si trova imponendo che sull’insieme A la pdf abbia volume 1:

( )∫∫∫ ∫∫∫ =

−+−=

+=

+⇒=+

−− 1

0

21

0

21

0

1

0

1

0

)1(2

12

)(1)( dyyyy

kxyx

dykdxyxkdydxdyyxkyy

A

31362

1

0

3

=⇒==

−= k

kyyk

Le marginali:

( )∫− −

−=

+=+=

y y

Y yxyx

dxyxyf1

0

2

1

0

2

123

23)(3)( con 10 ≤≤ y

( )∫− −

−=

+=+=

x x

X xxyy

dyyxxf1

0

2

1

0

2

123

23)(3)( con 10 ≤≤ x

Le due v.a. non sono indipendenti, poiché: ),()()( yxfyfxf XYYX ≠⋅ Soluzione esercizio 2 Il processo X(t) ha potenza pari all’area della densità spettrale di potenza, quindi: BPx = . Il processo Y(t) risultante

dalla moltiplicazione dei due processi:

)2cos()()( 0 ϕπ +⋅= tfAtXtY p

La sua media, dato che i due processi sono indipendenti vale:

[ ] [ ] [ ] [ ] 0)2cos()()2cos()()( 00 =+⋅⋅=+⋅= ϕπϕπ tfEAtXEtfAtXEtYE pp

La sua varianza (che coincide con la potenza) vale:

[ ] [ ] [ ] [ ]22

1)2(cos)()2(cos)()(

22

0222

02222 p

pxpp

BAAPtfEAtXEtfAtXEtYE =⋅⋅=+⋅⋅=+⋅= ϕπϕπ

Il processo Y(t) è ancora SSL. Dopo il filtraggio la densità spettrale di potenza è quella in figura. La potenza del processo Z(t) è:

2

83

pz BAP =

-f0 f0

B Sz(f)

f 0

A p2 / 4

Soluzione esercizio 3 La codifica di Huffmann è la seguente: A B C D E A 1 B 01 C 001 D 0001 E 0000

Il numero medio di bit: 5.1025.04025.041.0315.027.01 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=n bit/simbolo L’entropia della sorgente:

369.1025.0log025.021.0log1.015.0log15.07.0log7.0)( 2222 =⋅⋅−⋅−⋅−⋅−=xH bit/simbolo

1

0

1

0

1

0

1

0

0.05

0.15

0.3

0.7

0.15

0.1

Teoria dei Segnali Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Esame scritto del 31 maggio 2004 Esercizio 1 Sia data una variabile aleatoria X con densità di probabilità gaussiana a media nulla e varianza 2σ . La variabile aleatoria subisce una trasformazione secondo lo schema in figura. Quanto vale la densità di probabilità della v.a. Y ? Quanto vale la densità di probabilità della v.a. Z ? Esercizio 2 Sia X(t) un processo aleatorio, stazionario in senso lato, con media nulla e funzione di autocorrelazione pari a:

⋅

−=

Trect

TRX 2

1)(ττ

τ

Il processo X(t) passa attraverso lo schema in figura. Quanto vale la densità spettrale di potenza del processo aleatorio Y(t) ? Esercizio 3 Lanciando un dado 10 volte qual è la probabilità che la faccia con il numero 6 appaia soltanto una volta ? Qual è invece la probabilità che la faccia con il numero 6 appaia solo al decimo lancio ? Qual è infine la probabilità che la faccia con il numero 6 appaia almeno 2 volte nei dieci lanci ?

+1

-1

+

+

X Y Z

X(t) Y(t) T

× 2

+

-

Teoria dei segnali Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Esame scritto del 31 maggio 2004


La v.a. X gaussiana, ha densità di probabilità: 2

2

2

2

1)( σ

σπ

x

X exf−

= . Passando attraverso il limitatore produce una

v.a. Y che ha densità di probabilità pari ad una coppia di impulsi di area ½ intorno a –1 ed a +1, dato che per i valori di x>0 l’uscita è sempre +1, mentre per i valori di x<0 l’uscita è sempre –1:

)1(21

)1(21

)( ++−= yyyf Y δδ

Infine Z=X+Y. Tuttavia la sua densità di probabilità non si può considerare la convoluzione delle densità di probabilità di partenza, dato che questo risultato vale solo se le v.a. di partenza sono indipendenti tra loro, cosa che in questo caso non si può ritenere vera. Conseguentemente è necessario determinare la densità di probabilità congiunta di X ed Y. Partiamo dalla semplice osservazione che

))(()/(/ xsignyxyf XY −=δ

allora si ha facilmente:

))((2

1)()/(),( 2

2

2/ xsignyexfxyfyxf

x

XXYXY −⋅=⋅=−

δσπ

σ

Ora per determinare )(zf Z si parta dalla sua distribuzione di probabilità:

∫ ∫+∞

∞−

−

∞−

⇒=−≤=≤+=≤=yz

XYZ yxdxfdyYzXPzYXPzZPzF ),()()()()(

∫+∞

∞−

−== dyyyzfzFdzd

zf XYZZ ),()()(

Sostituendo il valore di ),( yxf XY trovato in precedenza, si ottiene:

=+⋅+−⋅=−−⋅= ∫∫∫+∞ −−

∞−

−−+∞

∞−

−−dyyedyyedyyzsignyezf

z

yzz yzyz

Z )1(2

1)1(

2

1))((

2

1)( 2

2

2

2

2

2

2

)(

2

)(

2

)(

δσπ

δσπ

δσπ

σσσ

−≤

≥=

+−

−−

12

1

12

1

2

2

2

2

2

)1(

2

)1(

ze

ze

z

z

σ

σ

σπ

σπ

+1 -1

Z

fZ(z)

Soluzione esercizio 2 Per determinare la densità spettrale di potenza di Y(t) basta ricordare che vale la seguente relazione:

2)()()( fHfSfS XXYY ⋅= .

È quindi sufficiente determinare la funzione di trasferimento dello schema riportato in figura. [ ] )(2)()()()(2)( TtYTtXtYtYtYtX ritard −−−=⇒=−

nel dominio delle frequenze:

fTj

fTjfTjfTj

ee

fXfY

fHefYefXfYπ

πππ

2

222

21)()(

)()(2)()(−

−−−

+==⇒⋅−⋅=

Poiché interessa solo il modulo quadro:

( )( ) ( ) ( )fTfTfTfH

πππ 2cos451

2sin42cos211

)(22

2

+=

++=

( )fTcTRfS XXX2sin)()( =ℑ= τ

Si ha in conclusione:

( ) ( )fTfTcTfSYY π2cos45

1sin)( 2

+⋅=

Soluzione esercizio 3 Detti =1A l’evento in cui la faccia con il 6 si presenta una sola volta nei 10 lanci; =2A l’evento in cui la faccia con il

6 si presenta solo al decimo lancio; =3A l’evento il cui la faccia con il 6 compare almeno 2 volte, si ha:

0.32301165

6110)(

9

1 ≅

⋅⋅=AP

0.032301165

61)(

9

2 ≅

⋅=AP

0.51548365

61

1

10

65

1)(9110

3 ≅

−

−=AP

Il terzo evento si può infatti considerare come la certezza meno la probabilità che la faccia con il 6 non appaia mai o appaia soltanto una volta nei 10 lanci (=A1).

TEORIA DEI SEGNALI


Esame scritto del 6 luglio 2004

Esercizio 1

Sia data una variabile aleatoria gaussianaX, con media0 e varianzaσ2. La v.a. passa attraverso il sistemanon lineare in figura.

Determinare la densità di probabilità e la distribuzione di probabilità della v.a.Y in uscita.

2 X

Y

2

1

1

Esercizio 2

SiaX(t) un processo aleatorio parametrico ottenuto mediante la relazione:X(t) = A · sin (2πfot+ Φ),conΦ variabile aleatoria distribuita tra[−π, π] come in figura.

Determinare la media del processo aleatorio e la varianza.Il processo aleatorio è stazionario ?

f

π−πΦ

1

TEORIA DEI SEGNALI


Esame scritto del 16 luglio 2004

Esercizio 1

Sia data una coppia di v.a.(X,Y ) con densità di probabilità congiunta:

fXY (x, y) =

k(x2 + y2) x, y ∈ A

0 altrove

doveA è l’insieme rappresentato in figura.Determinare il valore dik, le densità di probabilità marginali e dire se le due v.a. sono indipendenti.

A

X

Y

Esercizio 2

SiaX(t) un processo aleatorio, gaussiano, stazionario in senso lato e con media nulla. La sua densitàspettrale di potenza è quella rappresentata in figuraSXX(f).

Determinare: la potenza del processo aleatorioY (t), la densità spettrale di potenza e la funzione diautocorrelazione dei processi aleatoriY (t) eZ(t).

ritardo

S (f)XX

B−B

k

f

−B/2 B/2

1

f

|H(f)|

X(t) Y(t)

Z(t)

H(f)

1/B

1

TEORIA DEI SEGNALI Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Scritto del 20 dicembre 2004 Esercizio 1 Sia X una variabile aleatoria distribuita in modo esponenziale con parametro λ . Si determini la funzione di densità di probabilità della variabile aleatoria Y derivante dalla seguente trasformazione: XY = . Esercizio 2 Sia dato un treno di forme d’onda rettangolari larghe DT e di periodo DR TT 2> . Si consideri ora un altro treno di forme d’onda rettangolari uguale al primo, ma la cui posizione temporale è una variabile aleatoria T . Supponendo tale variabile aleatoria distribuita in modo uniforme, qual è la probabilità che tra i rettangoli dei due treni vi sia una sovrapposizione superiore al 10% di DT ? Esercizio 3 Sia )(tX un processo stazionario gaussiano e bianco con densità spettrale di potenza bilatera

nXX hfS =)( . Il processo passi attraverso un filtro la cui risposta all’impulso è: ( ) ( )tfBtcth 02cossin)( π⋅= (B , nh ed 0f siano parametri generici, ma con 2/0 Bf > ).

Si determini la densità spettrale di potenza e la potenza del processo aleatorio )(tY in uscita dal filtro.

t 0

t 0

sovrapposizione

TR

TD

Soluzione Esercizio 1 La densità di probabilità di X sia )(1)( / xuexf x

Xλ

λ−= . Poiché la funzione xxgy == )( è monotona

strettamente crescente nel suo intervallo di definizione ( [,0[ +∞ ), allora si può determinare direttamente la densità di probabilità della variabile aleatoria Y:

)(2)()2/(1

1

))(('))(()(

22 /

1

1

yuey

yuy

e

yggygf

yfy

y

XY

λ

λ

λλ −

−

−

−

===

che è una v.a. di Rayleigh con parametro 2λσ = .

Soluzione Esercizio 2 La probabilità di sovrapposizione è data dall’intergale di tutte le possibili probabilità di successo pesate per la probabilità che tali probabilità hanno di presentarsi. Le probabilità di successo sono dovute alla possibilità che il rettangolo non si allontani dal primo di al più DT)1( α− , dove 1.0=α oppure che si avvicini al successivo (distante

TR) di almeno DT)1( α− :

∫∫−−

−

−=+=R

DR

D T

TT R

D

R

T

Rs T

Tdt

Tdt

TP

)1(

)1(

0

2)1(11

α

α

α

Soluzione Esercizio 3 Per determinare la densità spettrale di potenza del processo Y(t) è necessario determinare la funzione di trasferimento del filtro come trasformata di Fourier della risposta all’impulso.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ℑ=

Bff

rectBB

ffrect

Bffff

Bf

rectB

thfH 0000 2

121)(

21)(

21*1)()( δδ

Perciò la d.s.p. di Y(t) è:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅=Bff

rectBh

Bff

rectBh

fHfSfS nnXXYY

02

02

2

44)()()(

La potenza vale:

Bh

BBh

dffSP nnYYY 24

2)( 2 === ∫+∞

∞−


Scritto del 6 aprile 2005 Esercizio 1 Sia X una variabile aleatoria esponenziale con parametro λ>0. Tale variabile aleatoria subisce una trasformazione per effetto della legge xexgy α== )( , con 0≥x , α>0. Si determini la densità di probabilità della variabile aleatoria Y conseguente dalla trasformazione

)(XgY = . Si determini inoltre la media della v.a. Y. Si dica infine quali sono le condizioni alle quali deve soddisfare il prodotto λα affinchè il problema sia ben posto. Esercizio 2 Sia X un processo aleatorio, stazionario in senso lato con densità spettrale di potenza

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅=

BfrectkfkfSx 21 )()( δ , con B=4Hz.

Quanto valgono k1 e k2 se X(t) ha una statistica del primo ordine di tipo uniforme tra [ ]2,1− ? Quanto valgono k1 e k2 se X(t) ha una statistica del primo ordine di tipo gaussiano con 0=Xµ e

42 =Xσ ? In quale dei due casi la potenza del processo è maggiore ?


)()( xuexgy x ⋅== α , )()(' xuexg x ⋅= αα , yygx ln1)(1

α== −

)(1)( xuexfx

X ⋅=−λ

λ

Poiché la legge y=g(x) è strettamente monotona, si può applicare direttamente:

)(111

)(')()(

1

ln

ln1)(1

yuyy

e

e

e

xgxfyf

y

yx

x

x

ygx

XY ⋅⋅====

+−

−

=

−

= −

λαλαλα

α

α

λ

λααλ

αλ , 1≥y e valida solo se 0>λα .

La media si può calcolare con il teorema del valor medio:

[ ] [ ]λαλλ

µ λλα

λα

−=⋅=⋅=== ∫∫

+∞ −+∞−

1111)(

0

1

0

dxedxeeXgEYEx

xY , se 10 << λα , altrimenti la media

tende a divergere. Quindi se si vuole evitare che la v.a. abbia una media divergente si deve imporre la condizione

10 << λα . La normalizzazione della v.a. Y invece non impone alcuna condizione al prodotto λα . Soluzione esercizio 2 Per il processo aleatorio si può calcolare la potenza complessiva e la funzione di autocorrelazione, dalla quale dedurre la media del processo:

BkkdffSP XX 21)( +== ∫+∞

∞−

e ( )ττ BcBkkfSR XX sin)()( 211 ⋅+=ℑ= − , 1

2)(lim kR XX ==+∞→

µττ

Nel primo caso il processo aleatorio ha una pdf uniforme del tipo: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=3

2/131)( xrectxf X , con

media: 21

=Xµ e potenza: [ ] ∫−

=⋅==2

1

22 131)( dxxtXEPX .

Quindi si può dedurre che: 412

1 == Xk µ e 163

44/111

2 =−

=−

=B

kPk X

Nel secondo caso (pdf gaussiana) la media 0=Xµ e la potenza coincide con la varianza:

[ ] 4)( 22 === XX tXEP σ .

Quindi si può dedurre che: 021 == Xk µ e 1

4041

2 =−

=−

=B

kPk X

La potenza è maggiore nel secondo caso, essendo 14 12 =>= XX PP


Scritto del 12 aprile 2005 Esercizio 1 Un processo aleatorio X(t), stazionario in senso lato e con funzione di autocorrelazione

)(sin2)( 2 ττ BcRX = , passa attraverso il sistema in figura. Sia )2cos()( 0 Θ+= tftP π un processo aleatorio con Θ v.a. uniformemente distribuita tra [2,0[ π ed

Bf >>0 . Sia inoltre H(f) un filtro passa banda centrato attorno ad 0f e di banda larga B. Si determini la densità spettrale di potenza e la potenza di Y(t). Esercizio 2 Un lotto di lampadine tutte uguali possiede un tasso medio di guasto pari a 0.01 lampadine / ora. Se si accendono nello stesso istante 10 lampadine, qual è la probabilità che dopo 1000 ore siano tutte bruciate ? Qual è invece la probabilità che dopo 500 ore ne siano accese (e quindi ancora funzionanti) almeno 1? (Suggerimento: si consideri la v.a. di Poisson) Esercizio 3 Sia dato un canale binario simmetrico con probabilità d’errore p. Il sistema di trasmissione adotta una codifica a parità pari con n=6 bit (ogni 5 bit di informazione ne trasmette anche uno di parità) e richiede al più una ritrasmissione in caso di rivelazione d’errore sul pacchetto di 6 bit. Se la sequenza risulta ancora errata il pacchetto è scartato. Si calcoli la probabilità d’errore totale, la probabilità di scartare il pacchetto, il numero medio di trasmissioni.

P(t)

X(t) Z(t) Y(t)

H(f)

1


)()()( tPtXtZ ⋅= [ ] [ ] [ ] 0)()()()()( =⋅=⋅= tPEtXEtPtXEtZµ , dato che i due processi sono indipendenti e che la

media del processo P(t) è 0. Per gli stessi motivi si può far vedere che:

[ ] )2cos(21)()()()()()( 0τπττττ fRtPtPtXtXER XZ ⋅=−−=

Quindi il processo Z(t) è anch’esso SSL e così pure Y(t) essendo il filtro un sistema lineare t-i. La funzione di autocorrelazione di Z(t) vale:

)2cos()(sin)2cos(21)(sin2)( 0

20

2 τπττπττ fBcfBcRZ ⋅==

La sua densità spettrale di potenza:

=⋅ℑ=ℑ= )2cos()(sin)()( 02 τπττ fBcRfS ZZ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅=

Bffrect

Bff

Bffrect

Bff

B 21

21

21 0000

Infine si ha:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅=⋅=

Bffrect

Bff

Bffrect

Bff

BfHfSfS ZY

00002 1121)()()(

La potenza del processo Y(t) è l’area della densità spettrale di potenza:

43

21

432 =⋅⋅=

BBPY

-f0 f0 2B

f

SZ(f)

1/2B

-f0 f0

B

f

SY(f)

1/2B

Soluzione esercizio 2 Se si considera il guasto di ogni singola lampadina una variabile aleatoria indipendente dalle altre, il fenomeno nel suo complesso è ben modellato da un esperimento di Poisson. Il conteggio del numero di eventi nell’unità di tempo è quindi governato dalla v.a. di Poisson:

Λ−⋅Λ

== ek

kXPXk

!)(:

dove Λ è il valor medio della v.a., ma è anche il numero di eventi che si verificano nell’unità di tempo. Nel nostro caso rappresenta il tasso di guasto: Λ=0.01 guasti/ora. Si vuole determinare la probabilità che il numero di guasti sia pari a 10 (le lampadine in totale considerate) dopo 1000 ore:

( ) ( ) 125.0!10

100001.0!

)( 100001.010

≅⋅⋅

=⋅Λ

== ⋅−Λ− eekTkXP T

k

Nel secondo caso, detto E l’evento richiesto (“ne sopravvive almeno 1”), la sua probabilità si può calcolare come:

( ) ( ) 982.0!10

50001.01!

1)10(1)( 50001.010

1 1 ≅⋅⋅

−=⋅Λ

−==−= ⋅−Λ− eekTXPEP T

k

Soluzione esercizio 3 La probabilità d’errore su singola trasmissione è la probabilità di non rivelare sequenze errate (numero di bit sbagliati nel pacchetto: pari):

∑=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

1

262 )1(26

)(k

kks pp

kEP

La probabilità di ritrasmissione è invece la probabilità di rivelare sequenze errate (numero di bit sbagliati nel pacchetto: dispari):

∑=

+−− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=3

1

12612 )1(12

6)(

k

kk ppk

RtP

La probabilità di trasmissione corretta su singola trasmissione è: 6)1()( pCP s −=

La probabilità d’errore totale vale quindi:

)()()()( ssTOT EPRtPEPEP ⋅+= La probabilità di scartare la sequenza:

)()()( RtPRtPScP ⋅= Infine il numero medio di trasmissioni vale:

( ) )(1)(2)(11 RtPRtPRtPnT +=⋅+−⋅=


Scritto del 7 luglio 2005 Esercizio 1 Sia data una coppia di variabili aleatorie (X,Y) con densità di probabilità congiunta:

( )⎩⎨⎧ ≤≤++⋅

=altrove

yxyxyxkyxf XY 0

1,0),(

22

Determinare il valore della costante k, le densità di probabilità marginali e dire se le v.a. sono indipendenti. Determinare infine la probabilità dell’evento A, indicato nella regione di 2ℜ in figura. Esercizio 2 Sia dato un processo aleatorio stazionario in senso lato, X(t), con funzione di autocorrelazione:

TXX ekR

τ

τ−

⋅=)( , T2≤τ Determinare la potenza del processo X(t), la funzione di autocorrelazione e la potenza del processo Y(t).

X(t) Y(t) +

+

ritardo T

0 1

1

1/2

A

Soluzione esercizio 1 La condizione di normalizzazione impone che:

∫ ∫ ∫ ∫ ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++=++=++

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

232

1

0

32222 1

1211

343)

31

2()

32()( kxxxkdxxxkdxyyxyxkdxdyyxyxk

da cui si ricava che 1112

=k .

Le densità di probabilità marginali sono perfettamente simmetriche (basta scambiare la x con la y):

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++= ∫ 3

1211

123211

121112)( 2

1

0

322

1

0

22 xxyyxyxdyyxyxxfX , 10 ≤≤ x

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++= ∫ 3

1211

123211

121112)( 2

1

0

322

1

0

22 yyxxyxydxyxyxyfY , 10 ≤≤ y

Le v.a. non sono indipendenti. Infine, il calcolo della probabilità dell’evento A è il calcolo del seguente intergale:

∫ ∫∫ ∫ =++=++1

2/1 0

221

2/1 0

22 )(1112)(

xx

dyyxyxdxdxdyyxyxkdx

∫∫∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

1

2/1

1

2/1

43

1

2/1

333

1

2/1 0

322

3215

22

321112

321112 xdxxxxxdxyxyyxdx

x

Soluzione esercizio 2 La potenza del processo X(t) è il valore della funzione di autocorrelazione in 0=τ :

kRP XXX == )0( La funzione di autocorrelazione del processo Y(t) si può determinare dalla considerazione:

)()()( TtXtXtY −+=

[ ] ( )( )[ ] =−−+−−+=−= )()()()()()()( ττττ TtXtXTtXtXEtYtYERYY

)()()(2 TRTRR XXXXXX −+++= τττ La potenza del processo Y(t) vale infine:

122 −⋅+= ekkPY


Scritto del 14 luglio 2005 Esercizio 1 Sia data una coppia di variabili aleatorie X, Y entrambe con densità di probabilità esponenziale con parametro λ . Si calcoli la densità di probabilità e la distribuzione di probabilità della v.a. Z e la densità di probabilità della v.a. W, ottenute dalle seguenti composizioni:

⎩⎨⎧

+=+=

XZWYXZ

Esercizio 2 Sia dato un processo aleatorio, gaussiano e stazionario in senso lato, )(tX , con funzione di autocorrelazione:

1)( +=−

TXX eR

τ

τ Determinare l’espressione analitica della densità di probabilità del primo ordine di )(tX . Determinare inoltre qual è la potenza del processo in uscita dal filtro in figura.

X(t) Y(t)

1/T

1

Soluzione esercizio 1 La densità di probabilità di una v.a. esponenziale è: 0,)( ≥= − xexf x

Xλλ .

La densità di probabilità di una v.a. somma è la convoluzione delle densità di probabilità:

YXZ +=

0,)()()(0

2)(2 ≥⋅⋅=⋅=∗= ∫ −−−− zezdeezfzfzfz

zzYXZ

λαλλα λαλ

Analogamente per la v.a. W:

XZW +=

0,2

)()()(0

23)(3 ≥⋅⋅=⋅⋅⋅=∗= ∫ −−−− wewdeewfwfwf

www

XZWλαλλα λααλ

Infine la distribuzione di probabilità di Z vale:

∫ −−− ⋅−−=⋅⋅=z

zzZ ezedezF

0

2 1)( λλλα λααλ 0≥z

Soluzione esercizio 2 Poiché si ha: 2)(lim XXR µτ

τ=

∞→, si ottiene che 1=Xµ .

Inoltre: 2)0( == XX RP , quindi:

( ) 112][][ 222 =−=−= XEXEXσ

Si ha: 2)1( 2

21)(

−−

=x

X exfπ

La densità spettrale di potenza del processo X(t) vale:

∫+∞

∞−

−−

++=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 222

2

412)(1)(

fTTfdeefS fjT

X πδττπ

τ

Da cui, la potenza del processo Y(t) vale:

( )πππ

δ 22141

2)()(/1

/1222 arctgdf

fTTffS

T

TX +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+= ∫+

−


Scritto del 20 settembre 2005 Esercizio 1 Sia data una variabile aleatoria X con densità di probabilità esponenziale con parametro λ :

0,)( ≥⋅= − xexf xX

λλ . Detta )(xFX la sua distribuzione di probabilità (o cumulativa), si calcoli la densità di probabilità della variabile aleatoria Y derivante dalle seguenti trasformazioni:

)(XFY X= , )(XfY X= .

Esercizio 2 Sia dato un processo aleatorio, con densità di probabilità uniforme compresa tra [-2,2] stazionario in senso lato, )(tX , e con funzione di autocorrelazione )(τXXR . Determinare la media e la varianza del processo aleatorio )(tY in uscita dal sistema istantaneo non lineare in figura. Si può dire se il processo )(tY risultante sarà stazionario in senso lato oppure no? Data la densità spettrale di potenza del processo )(tX , è possibile determinare, con i dati a disposizione la densità spettrale di potenza del processo )(tY ? Perché? Esercizio 3 Sia dato una canale binario simmetrico con probabilità d’errore p . Il sistema di trasmissione adotta una codifica di sorgente a parità dispari con n = 8 (sette bit di informazione, uno di parità). Inoltre richiede una ritrasmissione se rivela errore sull’ottetto, altrimenti accetta l’ottetto di bit. Calcolare la probabilità d’errore totale del sistema, la probabilità di ritrasmissione e la probabilità di errore su singolo bit.

X(t) Y(t) 45°

Soluzione esercizio 1 La densità di probabilità di una v.a. esponenziale è: 0,)( ≥= − xexf x

Xλλ . La sua distribuzione di

probabilità vale: 0,1)( ≥−= − xexF xX

λ . Queste due leggi vanno applicate come se fossero delle funzioni, alla v.a. X per trasformarla nella v.a. Y. Distinguiamo i due casi. a) )(XFY = Poiché F è una funzione strettamente crescente si può applicare direttamente la formula:

)(1)(')()(

xgy

XY yg

yfyf−=

= , dove in questo caso si ha:

)()( xFxgy == )()(')(' xfxFxgy === .

Quindi si ha, abbastanza facilmente:

1))(())(()( 1

1

== −

−

yFfyFfyf X

Y 10 ≤≤ y

b) )(XfY = Poiché F è una funzione strettamente decrescente si può applicare direttamente la formula:

)(1)(')()(

xgy

XY yg

yfyf−=

= , dove in questo caso si ha:

)()( xfxgy == xexfxgy λλ −⋅−=== 2)(')('

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−== −

λλyygx log1)(1

Quindi si ha, abbastanza facilmente:

λλ

λ

λλλ

λλλ

1))(('))(()(

log12

log1

1

1

=

⋅

⋅==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−

−

−

y

y

XY

e

eyffyffyf λ≤≤ y0

Soluzione esercizio 2 Poiché la legge di trasformazione del processo aleatorio )(tX nel p.a. )(tY è non lineare (cioè non è esprimibile con un sistema lineare tempo invariante – filtro), in generale non vi sarà alcun legame tra le statistiche di )(tX e quelle di )(tY , né tanto meno tra I parametri statistici. La statistica del primo ordine di )(tX è:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

441)(:)( xrectxftX X , con media, varianza e potenza:

34,0 22 === XXX mσµ .

La trasformazione non lineare dà luogo ad un p.a. )(tY con statistica del primo ordine che si può calcolare a partire da quella di )(tX :

)()()()()()(:0 yFyFyXyPyXPyYPyFy XXY −−=≤≤−=≤=≤=≥

.20,2

121)(2)()()(:)( ≤≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==−+= yyrectyfyfyfyftY XXXY

La media, varianza e potenza di )(tY valgono:

34,

31,1 22 === YYY mσµ

Il processo di uscita )(tY è non stazionario, dato che si può fare il seguente ragionamento:

[ ] [ ]⎩⎨⎧

<−−>−

=−⋅=−=0)()()(0)()()(

)()()()(),(ττττ

τττtXtXseRtXtXseR

tXtXEtYtYEtRX

XY

e quindi la funzione di autocorrelazione ),( τtRY dipende da entrambi τ,t . Poiché il processo non è stazionario insenso lato non ha senso neanche chiedersi se si può determinare la densità spettrale di potenza del processo )(tY . Soluzione esercizio 3 La probabilità d’errore su singola trasmissione è la probabilità che il numero di bit sbagliati per ottetto sia 2, 4, 6, 8. La probabilità di ritrasmissione è la probabilità che su singola trasmissione il numero di bit sbagliati per ottetto sia 1, 3, 5 o 7. La probablità di trasmissione corretta è la probabilità che su singola trasmissione il numero di bit sbagliati per ottetto sia 0.

( )81)( pCP −=

∑=

−−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4

1

282 )1(28

)(n

nns pp

nEP

∑=

+−− −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=4

1

12812 )1(12

8)(

n

nnt pp

nRP

La probabilità d’errore totale del sistema vale:

)()()()( ststot EPRPEPEP ⋅+= La probabilità d’errore su singolo bit è la probabilità d’errore totale del sistema diviso il numero di bit di informazione che sono trasmessi ad ogni singolo ottetto:

7/)()( totbit EPEP =


Scritto del 19 dicembre 2005 Esercizio 1 Sia data una variabile aleatoria X definita come in figura. Determinare K. Determinare la densità di probabilità e la distribuzione di probabilità (cumulativa) della v.a. Y ottenuta dal passaggio di X attraverso la non linearità senza memoria in figura. Esercizio 2 Sia dato un processo aleatorio, )(tX , gaussiano, stazionario in senso lato ed a media nulla. Tale

processo abbia una funzione di autocorrelazione pari a: τα

ατ −= eRXX

1)( .

Determinare la densità spettrale di potenza del processo e la potenza complessiva del processo. Il processo passa attraverso un sistema lineare tempo-invariante con funzione di trasferimento data in figura. Determinare il valore della banda monolatera del filtro B (in funzione di α ) tale per cui la potenza del processo in uscita valga la metà della potenza del processo in ingresso. Esercizio 3 Sia dato un contenitore con 1000 resistori dei quali 25 guasti. Qual è la probabilità che prendendone 3 (con rimpiazzamento) almeno uno sia guasto? Qual è la probabilità che prendendone 3 (senza rimpiazzamento) almeno uno sia guasto?

1 2

K

x

fX(x)

1 2

1

x

y

f

|H(f)|

X(t) Y(t)

B

1

Soluzione esercizio 1 Il valore di K si determina imponendo che l’area sotto la curva che rappresenta la densità di probabilità sia unitaria. Quindi:

321

211 =⇒=⋅+⋅ KKK

Per determinare la densità di probabilità di Y partiamo dalla sua cumulativa. Si possono distinguere vari casi:

0)0()(:0 =<≤=< yYPyFy Y )()())(()()(:10 yFyXPyXgPyYPyFy XY =≤=≤=≤=<≤

1)1()(:1 =≤== YPyFy Y 1)()(:1 =≤=> yYPyFy Y

Serve anche la cumulativa di X. Scriviamo prima analiticamente la densità di probabilità di X:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤−⋅≤≤

=altrove

xxx

xf X

02123/2103/2

)(

0)(:0 =< xFx X

xxFx X 32)(:10 =<≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=−+=≤≤ ∫ 3

134)2(

32

32)(:21

2

1

xxdttxFxx

X

1)(:2 =≥ xFx X Quindi la cumulativa di Y risulta pari a:

0)(:0 =< yFy Y

yyFyFy XY 32)()(:10 ==<≤

1)(:1 == yFy Y E la densità di probabilità:

)1(31

12/1

32)( −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= yyrectyfY δ

Soluzione esercizio 2 La densità spettrale di potenza del processo è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione, essendo il processo stazionario in senso lato.

22222

421)()(

fdeedeRfS fjfj

XXXX πατ

αττ τπτατπ

+=== ∫∫

+∞

∞−

−−+∞

∞−

−

La potenza complessiva del processo è pari al valore della funzione di autocorrelazione valutata in 0=τ :

ατ

τ

1)(0==

=XXX RP

Dopo il filtraggio il processo )(tY ha densità spettrale di potenza:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

+=

Bfrect

ffS XX 24

2)( 222 πα

1 2

2/3

1

y

FY(y)

1

2/3

1/3

y

fY(y)

E quindi la potenza vale:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+= −

−∫ απ

παπαBdf

fP

B

BY

2tan242 1

222

Se imponiamo che αα

ππα 2

12tan221 1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇔= − BPP XY

πα

αππ

απ

212

42tan 1 =⇒=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− BBB

Soluzione esercizio 3 Prendere tre resistori con rimpiazzamento equivale ad eseguire l’esperimento di prendere un resistore dalla scatola per tre volte, con le tre pescate indipendenti tra loro. Quindi la probabilità che almeno uno sia guasto (evento A1) è il complementare ad 1 della probabilità che nessuno dei tre resistori presi sia guasto (evento C complessivo, formato dai tre eventi disgiunti C1, C2, C3):

0731.01000

2510001)()()(1)(1)(3

3211 ≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−=−= CPCPCPCPAP

La probabilità di prendere almeno uno guasto su tre presi di seguito (evento A2) si deve calcolare facendo tutte le possibili ipotesi di prendere i tre resistori con almeno uno guasto. Oppure si può calcolare, come sopra, come il complementare ad 1 della probabilità che i tre resistori presi siano tutti corretti (eventi Ci):

0732.0998

25998999

259991000

2510001)998/()999/()1000/(1)'(1)( 3212 ≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−=−= CPCPCPCPAP

Come si vede, per bassi valori del rapporto tra elementi guasti su elementi buoni, le probabilità di scegliere con o senza rimpiazzamento sono praticamente uguali tra loro.

Esame di Teoria dei Segnali -...

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