EQUILIBRIO DE CUERPOS 1
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERUµ
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRONICA Y MECATRONICA
Ing. Jaime D. Sandoval Ballarte
LIMA - PERÚ
2011
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Para que un partícula se encuentre en equilibrio estáticoes necesario que las fuerzas se encuentren balanceadasde tal manera que no puedan impartir traslación.
La condición necesaria y suficiente para que una partículase se encuentre en equilibrio estático es que la resultantede fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero
Descomponiendo cada una de las fuerzas y momentos seobtiene seis ecuaciones escalares
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Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es
necesario que las fuerzas y momentos externos se encuentren
balanceados de tal manera que no puedan impartir traslación
ni rotación.
La condición necesaria y suficiente para que un cuerpo seencuentre en equilibrio estático es que la resultante de
FUERZAS y MOMENTOS de todas las fuerzas externas
formen un sistema equivalente a cero
Descomponiendo cada una de las fuerzas y momentos se
obtiene seis ecuaciones escalares § § !§ v!! 00 F r M F O
TTTT
§ !§ !§ !
§ !§ !§ !
000
000
z y x
z y x
M M M
F F F
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1. El primer paso en el análisis de equilibrioestático de un cuerpo es identificar todas lasfuerzas que actúan sobre el cuerpo (Diagramade cuerpo libre).
2. Seleccionar el sólido separándolo de su base deapoyo y se desliga de cualquier otro cuerpo. Acontinuación se grafica el contorno.
3. Indicar el punto de aplicación, magnitud ydirección de las fuerzas externas, incluyendo elpeso.
4. Las fuerzas externas desconocidas consistennormalmente en reacciones. Las que se ejercenen los puntos en que el sólido esta apoyado ounido a otros cuerpos.
5. El DCL debe incluir también dimensiones , las
que permiten calcular momentos de fuerzas
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Reacción
equivalente auna fuerza de
magnitud y
dirección
desconocidas
Reacción
equivalente auna fuerza y
una cupla
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Para todas las fuerzas y momentosactuando sobre una estructura
bidimensional
Las seis ecuaciones de equilibrio se
reducen a:
donde A es un punto en el plano de la
estructura.
Estas tres ecuaciones se resuelven
para determinar las cantidades
desconocidas
O z y x z M M M M F !!!! 00
§ § § !!! 000 A y x M F F
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Debido a que solo se
disponen de tres ecuaciones
y existen más incógnitas el
problema es estáticamente
indeterminado
Aquí existen menos
incógnitas que ecuaciones
(estructura parcialmente
ligada)
Igual número de
reacciones desconocidas
pero impropiamente
ligadas
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Trace el DCL de la viga
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Trace el DCL de la palanca
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La arena más la tolva D del volquete pesan 5000lb. Si es
soportado por un pin en A y un cilindro hidráulico BC. Trace
el DCL de la tolva y la arena
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La viga y el cable (con la
polea de rozamiento
despreciable) soportan
una carga de 80 kg en el
punto C. Trace el DL de laviga indicando cuantas
fuerzas son
desconocidas.
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Despreciando la fricción trace el diagrama decuerpo libre de la viga
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Despreciando la fricción trace el diagrama decuerpo libre de la viga
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Una grúa tiene una masa
de 1000 kg y se utiliza para
elevar el cajón de 2400 kg.
Esta sujeta mediante unaarticulación en A y un
balancín en B. El centro de
gravedad de la grúa esta
situada en G. Determinelas componentes de las
reacciones en A y B.
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DCL de la grúa.
La reacción en B se determina
resolviendo la ecuación de
momentos en A
La reacción en A sedetermina aplicando la
suma de componentes
horizontales y verticales.
0m6kN5.23
m2kN81.9m5.1:0
!
§ ! B M A
kN1.107! B
0:0 !!§ B A F x x
kN1.107! x A
0kN5.23kN81.9:0 !!§ y y A F
kN3.33! y A
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Una vagoneta se encuentra
en reposo sobre una vía que
forma 25° con la vertical. La
masa total de la vagoneta
más su carga es55
00 lb y sucentro de gravedad se
encuentra en el plano medio
y a 30 pulgadas del carril.
Determine la tensión en elcable y la reacción en cada
par de ruedas
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DCL de la vagoneta más su
carga.
Las reacciones en las ruedas son
La tensión en cable es
lb2320
25sinlb5500
lb4980
25coslb5500
!
!
!
!
Q
Q
y
x
W
W
00in.5
in.6lb9804in.25lb2320:0
2 !
!§
R
M A
lb17582
! R
00in.5
in.6lb9804in.25lb2320:0
1 !
!§
R
M B
lb5621 ! R
0Tlb4980:0 !!§ x F
lb4980!
T
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Si dos fuerzas actúan sobre un
cuerpo, para el equilibrio estas
deben ser colineales
Considere a una placa sometida a
dos fuerzas.
Para que la placa se encuentre en
equilibrio estático, la suma de
momentos alrededor de A debe ser
cero. El momento de F2 será cero si
su línea de acción pasa por A.
Similarmente la línea de acción de
F1 debe pasar por B para que la
suma de momentos respecto a B sea
nulo.
Por tanto para que un cuerposometido dos fuerzas se encuentre
en equilibrio, las fuerzas deben ser
de igual módulo, y de sentido
opuesto.
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Considere a un cuerpo sometido a tres fuerzas
actuando en A, B y C.
Asumiendo que sus líneas de acción se
intersecan el momento de F1 y F2 respecto al
punto D es nulo. Puesto que el cuerpo rígido esta en equilibrio
la suma de los momentos de F1, F2 y F3
alrededor de cualquier eje puede ser cero. Es
decir la línea de acción de F3 también debe
pasar por D. Por tanto las líneas de acción de las tres
fuerzas deben ser concurrentes
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Un hombre levanta una
vigueta de 10 kg y 4 m de
longitud, tirando de una
cuerda. Determine: (a) latensión en la cuerda y (b)
la fuerza de reacción en A.
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En la figura se muestra el
DCL de la viga
Se determina la dirección de R
636.1414.1
313.2tan
m2.313m515.0828.2
m515.020tanm414.1)2045cot(
m414.1
m828.245cosm445cos
21
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
AE
CE
BD B F CE
CD BD
A F AE CD
AB A F
E
Q6.58!E
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Aplicando la ley de senos altriangulo de fuerzas se tiene
Entonces las fuerzas desconocidasson
N8.147
N9.81
!
!
R
T
QQQ 38.6sin N1.98
110sin4.31sin!! RT
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Para mostrar el equilibrio de un CR en el espacio es necesario
del conocimiento de seis ecuaciones escalares. Es decir,
Estas ecuaciones son resueltas para determinar seis cantidades
desconocidas que pueden ser las reacciones en lo soportes.
A veces es más útil aplicar la forma vectorial de las ecuacionesesto es.
§ !§ !§ !
§ !§ !§ !
000
000
z y x
z y x
M M M
F F F
§ § !§ v!! 00 F r M F O
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El letrero de densidad
uniforme de 5 pie por 8 pie
pesa 270 lb y esta
soportado por una rótula en A y por dos cables .
Determine la tensión en los
cables y la reacción en A
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0lb1080571.2667.2:
0714.1333.5:
0lb270ft4
0:
0lb270:
0:
0lb270
72
32
73
31
76
32
!
!
!vvv!§
!
!
!
!§ !
EC BD
EC BD
EC E BD B A
EC BD z
EC BD y
EC BD x
EC BD
T T k
T T j
jiT r T r M
T T Ak
T T A j
T T Ai
jT T A F
T
T
TTTTTTT
T
T
T
TTTTT
k ji A
T T EC BDTTXT
lb22.5lb101.2lb338
lb315lb3.101
!
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Los cilindros lisos A y B tienen masas de 100 y 30 kg,
respectivamente. (a) calcule todas las fuerzas que actúan
sobre A cuando la magnitud de la fuerza P = 2000 N, (b)
Calcule el valor máximo de la magnitud de la fuerza P queno separa al cuerpo A del suelo.
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Tres cilindros homogéneos lisos A, B y C están apilados
dentro de una caja como se ve en la figura. Cada cilindro tiene un
diámetro de 250 mm y una masa de 245 kg. Determine: (a) la fuerza que
el cilindro B ejerce sobre el cilindro A; (b) Las fuerzas que sobre elcilindro B ejercen, en D y E, las superficies horizontal y vertical
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Se utiliza un cable continuo para soportar los bloques A y B
como se indica en la figura. El bloque A pende de una
ruedita que puede girar libremente sobre el cable.
Determine el desplazamiento y del bloque A en el equilibriosi los bloques A y B pesan 250 N. y 375 N, respectivamente
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Considere que en el sistema mostrado en la figura se
desprecia el rozamiento. Determine la fuerza necesaria
para sostener al peso
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Una viga es mantenida en la posición mostrada en la figuramediante la acción de las fuerzas y momentos. Determine lareacción en el soporteA
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Una viga es sometida a la carga F = 400N y es mantenida enposición horizontal mediante el cable y las superficies lisa A y B.Determine las magnitudes de las reacciones en a y B
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Un cilindro está sostenido por
una barra de masa depreciable
y un cable, tal como se muestra
en la figura. El cilindro tiene unamasa de 75 k g y un radio de 100
mm. Determine: (a) la tensión
en el cable; (b) Las reacciones
en A y B
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Determine las reacciones en los soportes A y D para que laestructura se mantenga en equilibrio
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Una viga de mas m = 6 kg y longitud L = 20 m sometida a una carga
distribuida y a una tensión como se indica en la figura. La distribución
de carga es lineal con un máximo de 24 N/m. Determine: (a) la
reacción en A, (b) la tensión en el cable.
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Una viga de masa despreciable y longitud L = 8 m es
sometida a una carga distribuida y a una cable como
se indica en la figura. La distribución de carga es
lineal con un máximo de 100 N/m. Determine: (a) la
reacción en A, (b) la masa del bloque m.
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La carga de 100 lb es soportada por una varilla doblada, la cual se
encuentra apoyada sobre una superficie lisa inclinada en B y por un
collar en A. Si el collar es libre de deslizar sobre la otra barra fija,
determine: (a) la reacción en A y (b) la reacción en B
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En la figura semuestra el DCL
Resolviendo estas ecuaciones, se tiene
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En la estructuradetermine las fuerzasde reacción en los
puntos A y F si el pesodel rodillo es 75 lb y lospesos de las varillasson despreciables
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Una barra uniforme de acero pesa 1,75 lb y se dobla para
formar aun arco de 20 pulgadas de radio como se muestra enla figura. La barra se sostiene mediante un pasador puesto en
A y una cuerda BC. Determine: (a) la tensión en el cable. (b) lareacción en A.
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El alambre homogéneo ABCD está doblado como
se indica en la figura y se sostiene mediante un pasador puestoen B. Si l = 200 mm, determine el ángulo para el que el tramo
BC del alambre se mantiene horizontal.
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Un cilindro que pesa
2000 N está alojadosimétricamente entre
dos pares de piezascruzadas de pesodespreciable como semuestra en la figura.
Encuentre la tensión enla cuerda AB. (AD y BCson barras continuasambas).
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En el bastidor mostrado en la figura, los miembros están
articulados y sus pesos pueden despreciarse. En el punto C seaplica al perno una fuerza de 42 kN. Halle las reacciones sobre el
bastidor enA yenE.
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Dos vigas están cargadas y apoyadas según se indica en la
figura. Determine las reacciones en los apoyos A, B y C .Desprecie los pesos de las vigas.
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La varilla delgada AB de longitud l
= 600 mm está unida a unacorredera B y se apoya sobre unapequeña rueda situada a una
distancia horizontal a = 80 mm dela guía vertical de la corredera.Sabiendo que el coeficiente derozamiento estático entre lacorredera y su guía es 0,25 y
despreciando el radio de la rueda,determine para que intervalo devalores de P se conserva elequilibrio cuando Q = 100 N y =30 º
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En la figura mostrada, determine: (a) la fuerza ejercida por el
perno C y (b) La fuerza enA y B.
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La barra ABCD mostrada enla figura pesa 600 N.
Determine: (a) La fuerza queel tirante CE ejerce sobre labarra y las fuerzas que sobre
ésta se ejercen en los puntosde contacto B y D. Todas lassuperficies son lisas, (b) Lareacción en el apoyo F
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Un soporte está cargado y apoyado según se indica en la figura.
Determine las reacciones en los apoyos A, B y C. Desprecie elpeso del soporte
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La varilla uniforme de 50 kg está atornillada en A y en B a la
rueda de 80 kg como se muestra en la figura. La varilla descansaen C sobre el suelo liso, y la rueda descansa en D. Determine las
reacciones en C y en D.
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Un viga y un cable, ambos de masa despreciable sustentan un
cilindro de masa m = 500 kg y radio R = 0,3 m. determine: (a) Lareacción en el punto A de la viga, (b) la fuerzas que el cilindroejerce sobre la viga y (c) la tensión en el cable
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En la figura el disco A está atornillado a la barra en forma de ángulo
recto B; los cuerpos pesan 20 N y 30 N, respectivamente. El cuerpo B
tiene su centro de masa en el punto C y uno de sus extremos descansa
en la superficie curva lisa. Determine: (a) La fuerza P necesaria para el
equilibrio del sistema, (b) las fuerzas en los puntos de contacto con lassuperficies.
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La losa de concretoreforzado de 500 Nmostrada en la figura estásiendo bajada lentamente
por un gancho en elextremo del cable C. Loscables A, B y D están fijos ala losa y al gancho.Encuentre las fuerzas en
cada uno de los cable si ladistancia del gancho a lasuperficie de la losa es de 2m.
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Determine la fuerzasque actúan en lospuntos E Y F Si la
estructura seencuentra sometido auna carga vertical de
2400 N
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Los elementos mostrados en la figura se
encuentran en equilibrio estático bajo las cargasque se indican. Determine : (a) La fuerza en la
barraAC y (b) La fuerza en la articulación B
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La varilla uniforme de longitud L y peso W es
soportada por dos planos lisos como se muestraen al figura. Determine la posición para el
equilibrio. Desprecie el espesor de la barra