Equazioni differenziali lineari

e modelli per l’ecologia

xr'x 0xr'x

equazione differenziale lineare

te)t('F t2e)t("F

0cba 2 equazione caratteristicaequazione caratteristica

te)t(F integrale particolareintegrale particolare

0ecba t2

0xc'xb"xa t2e te te

0xb'ax 0xc'xb"xa

Crescita di batteri

Esercizio

Risolvere la seguente equazione differenziale:

0x6'x5"x Equazione caratteristica : 0652

2

242552,1

2

15

1= 2 , 2 = 3

F1(t) = e2t  , F2(t) =  e3t 

G(t) = c1e2t + c2 e

3t 

Teorema fondamentale dell’algebra Teorema fondamentale dell’algebra

Ogni equazione algebrica di grado n > 0

a coefficienti complessiha esattamente n soluzioni in C

Inoltre,se i coefficienti sono tutti reali,

allora le soluzioni sono coniugate a due a due.

i1 i1 i2 i2 RADICI COMPLESSE CONIUGATE RADICI COMPLESSE CONIUGATE

t)i(t)i( eBeA)t(G tittit eeBeeA )eBeA(e titit

)tsinit(cosB)tsinit(cosAe t

tsin)BA(itcos)BA(e t

tsinctcosce 21t

tsinctcosce 21t

esercizio

Esercizio

"xm

0xk'xb"xm

0xk'xb"xm

xr'x x)x(r'x

in un ambiente con risorse limitatein un ambiente con risorse limitate

integrale generale:integrale generale:

xE

xEa'x

tasso potenziale di crescita

taeK1

E)t(x

K1

Exo

ox

EK1

t = 0

1x

EK

o

condizione iniziale:

crescita di una popolazione isolatacrescita di una popolazione isolata

t

x

taKe1

E)t(x

curve logistiche

)y,x('y

)y,x('x

2

1

DUE POPOLAZIONI CONVIVENTIDUE POPOLAZIONI CONVIVENTI),( 21 22 RR :

integrale particolare :integrale particolare : )t(y,)t(x

campo vettoriale

x

y

(xo,yo)

condizioni iniziali :condizioni iniziali : x(0) = xo , y(0) = yo

orbitaorbita

(xo,yo)

)t(

piano delle fasi

punti di equilibrio:punti di equilibrio:

0)y,x(

0)y,x(

2

1

)t(y,)t(x)t( )y,x( ooorbita costante

0)t('y,0)t('x

)y,x('y

)y,x('x

2

1

DUE POPOLAZIONI CONVIVENTIDUE POPOLAZIONI CONVIVENTI),( 21 22 RR :

campo vettoriale

caso lineare

ydcx'y

byax'x

dc

baA

b

ax'xy

b

'ax"x'y

b

ax'xdcx

b

'ax"x

0x)bcad('x)da("x

0x)(Det'x)(Tr"x AA

0)(Det)(Tr2 AAautovalori diautovalori di AA

)0,0(0)(Det :equilibriodipuntounicoA

0ydcx

0byax

21realiautovalori t

2t

121 ecec)t(x

0e0 21

0e0 21 nodo repulsivo

nodo attrattivo

discordi21 e

b

)t(ax)t('x)t(y

punto di sella

i,i

:complessiautovalori

21

b

)t(ax)t('x)t(y

)tsinctcosc(e)t(x 21t

0 centrocentro

fuoco repulsivofuoco repulsivo0

fuoco attrattivofuoco attrattivo0

Esercizi a pag. 516 Esercizi a pag. 516

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di superficie,

di volume

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