OPERATORI DIFFERENZIALI

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operatori differenziali campi scalari e campi vettoriali gradiente di un campo scalare divergenza di un campo vettoriale rotore di un campo vettoriale l’operatore “nabla” in coordinate cartesiane identità vettoriali operatori differenziali

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Page 1: OPERATORI DIFFERENZIALI

operatori differenziali

campi scalari e campi vettorialigradiente di un campo scalaredivergenza di un campo vettorialerotore di un campo vettorialel’operatore “nabla” in coordinate cartesianeidentità vettoriali

operatori differenziali

Page 2: OPERATORI DIFFERENZIALI

campo scalare

sia U una funzione scalare definita in una regione Ω dello spazio; l’insieme dei valoriassunti da U in ogni punto P di Ω costituisce un campo scalare (es. distribuzione ditemperatura in una regione Ω)

superfici/curve di livello: superfici/curve ad U costanterappresentazione grafica: in termini di superfici o curve di livello se per ogni punto del campo passa una e una sola superficie/curva di livello

campo vettoriale

sia A una funzione vettoriale definita in una regione Ω dello spazio; l’insieme dei valori assunti da A in ogni punto P di Ω costituisce un campo vettoriale (es. distrib. di velocità)

linee di flusso: curve tangenti in ogni loro punto al vettore Arappresentazione grafica: in termini di linee di flusso se per ogni punto del campo passa una e una sola linea di flusso

operatori differenziali

Page 3: OPERATORI DIFFERENZIALI

derivata direzionale di una funzione

sia U=U(P) una funzione scalare definita in una regione Ω dello spazio; lungo unagenerica direzione individuata dal versore r, nel passare dal punto Po al punto Po+ΔP lafunzione passa dal valore U(Po) al valore U(Po+ΔP)>U(Po)

derivata direzionale della funzione U nel punto Po lungo la direzione r

(se il limite esiste ed è finito)

operatori differenziali

r)P(U)PP(Ulim

rU oo

0r Po

∆∆

−+=

∂∂

U(Po)

r

U(Po+ΔP)

Page 4: OPERATORI DIFFERENZIALI

gradiente di una funzione

consideriamo la superficie So sulla quale la funzione U è costante e sia n il versore normalea So in Po orientato nel verso dei valori crescenti di U; si scelga il punto U(Po+ΔP) lungo ladirezione di n

il gradiente di U in Po è il vettore diretto lungo n che ha per modulo la derivata direzionale di U lungo n

effettuando l’operazione di gradiente in tutti i punti di Ω si definisce il campo vettoriale

operatori differenziali

oo

o PP

PU

nU)U(grad ∇=∂∂

= n

U=cost

So

n

Po

lnl=1Po+ΔP

U∇

Page 5: OPERATORI DIFFERENZIALI

proprietà del gradiente

il gradiente è un operatore differenziale che trasforma un campo scalare U(P) in un campo vettoriale

(α costante)

(linearità)

operatori differenziali

U∇

[ ] FFU )F(U );g(FF ∇∂∂

=∇=

)V()U()VU( ∇+∇=+∇

)U( )U ( ∇=∇ αα

Page 6: OPERATORI DIFFERENZIALI

proprietà del gradiente

noto il gradiente è possibile determinare la derivata direzionale lungo una qualsiasi direzione

il gradiente è un vettore diretto nella direzione di massima variazione della funzione U, ovvero la direzione lungo la quale è massima la derivata direzionale della funzione

operatori differenziali

α∆∆

∆∆ cos

n )P(U)PP(U

r )P(U)PP(U oooo −+=

−+

α∆∆ cosr n =

0n 0r lim ,lim→→ ∆∆

r⋅∇=∇=∂∂

=∂∂

→ UcosUcosnU

rU αα

α∆∆ cos/n r =→

0=α UnU

rU

rU

max

∇=∂∂

=∂∂

=∂∂

So

n

PoPo+ΔP

α r

lrl=1, lnl=1

n · r = cosα

Page 7: OPERATORI DIFFERENZIALI

funzioni potenziali

se il campo scalare U è il potenziale del campo vettoriale A

se il campo scalare U è un potenziale del campo vettoriale A ogni altro campo scalare G=U+Uo con Uo costante è un potenziale per A

se i campi scalari U e G sono potenziali del campo vettoriale A essi differiscono per una costante

operatori differenziali

U∇=A

A=∇=∇ UG

tcosUG 0)UG(UG =−→=−∇=∇−∇

Page 8: OPERATORI DIFFERENZIALI

flusso di un vettore attraverso una superficie aperta

A: campo vettoriale definito in Ω; S superficie aperta contenuta in Ω : assegnato un versosu C la normale (in ogni punto di S) n è orientata secondo la regola del cavatappi o dellavite destrogira (ruota nel verso di c ed avanza lungo n)

per un assegnato campo vettoriale A il segno di Φs dipende dall’orientamento di n

operatori differenziali

sd A sd S nS s ∫∫∫∫ =⋅= nAφ

S

nlnl=1

CC

c

Page 9: OPERATORI DIFFERENZIALI

flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa

S superficie chiusa contenuta in Ω: la normale n è uscente dal volume V

(flusso uscente dal volume V)

operatori differenziali

S

nlnl=1

V

∫∫∫∫ =⋅= S n Sv dsAds nAφ

Page 10: OPERATORI DIFFERENZIALI

campi conservativi per il flusso

Se un campo vettoriale A è conservativo, il flusso attraverso tutte le superfici aperte delimitate da una stessa curva chiusa C ha lo stesso valore

operatori differenziali

flusso il per voconservati è 0ds seS

AnA =⋅∫∫

∫∫∫∫ ⋅=⋅21 S 2S 1 ds ds nAnA

C

S1

S2

n2

n1

S

∫∫∫∫ =⋅+⋅S S 1 0ds ds

1

nAnA

∫∫∫∫ =⋅+⋅S S 2 0ds ds

2

nAnA

Page 11: OPERATORI DIFFERENZIALI

divergenza di un vettore

sia Po un punto di V

V →0 (collassando nel punto Po)

(flusso uscente dall’unità di volume)

considerando tutti i punti di Ω si ottiene il campo scalare

operatori differenziali

ooo

P

vS

0VPP dVd

V

ds lim)(div φ

=⋅

=⋅∇= ∫∫→

nAAA

S

nlnl=1

V

Po

A⋅∇

Page 12: OPERATORI DIFFERENZIALI

proprietà della divergenza

la divergenza è un operatore differenziale che trasforma un campo vettoriale in un campo scalare

(α costante)

(linearità)

operatori differenziali

BABA ⋅∇+⋅∇=+⋅∇ )(

AA ⋅∇=⋅∇ ) ( αα

Page 13: OPERATORI DIFFERENZIALI

teorema della divergenza o di Gauss

operatori differenziali

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅∇S V

ds dv nAA

S

nlnl=1

V

Page 14: OPERATORI DIFFERENZIALI

campi solenoidali

un campo è solenoidale se(linee di flusso chiuse)

un campo vettoriale A conservativo per il flusso è solenoidale

(conservativo)

(teorema della divergenza)

(solenoidale)

operatori differenziali

0ds S

=⋅∫∫ nA

0ds dv S V

=⋅=⋅∇ ∫∫∫∫∫ nAA

0=⋅∇ A

0=⋅∇ A

Page 15: OPERATORI DIFFERENZIALI

integrale curvilineo

A: campo vettoriale definito in Ω; C curva contenuta in Ω : assegnato un verso di percorrenza su C

operatori differenziali

dl IN

Ml ∫ ⋅= lA

C

N

M

l1l =

Page 16: OPERATORI DIFFERENZIALI

circuitazione di un vettore

operatori differenziali

∫∫ ⋅=⋅C

N

Mdl dl lAlA

|l|=1

CM≡N

l

Page 17: OPERATORI DIFFERENZIALI

circuitazione di un vettore

se U è un potenziale di A l’integrale curvilineo tra due punti M e N non dipende dalla particolare curva congiungente i due punti ma solo dal valore di U nei due punti

(U funzione potenziale)

se U è un potenziale di A, la circuitazione di A lungo una qualsiasi curva chiusa è nulla

operatori differenziali

)N(U)M(UdU dl dl

dU

dl U dl

N

M

N

M

N

M

N

M

−==⋅

=⋅∇=⋅

∫∫

∫∫ll

llA

U∇=A

0dl dl :NMC

N

M=⋅→⋅≡ ∫∫ lAlA

M

N

Page 18: OPERATORI DIFFERENZIALI

rotore di un campo vettoriale

si faccia tendere So a zero facendola contrarre in P mantenendo fissa la normale n a So in P

si considerino tutte le direzioni orientate n (ovvero tutte le superfici orientate delimitate dacurve passanti per P): i valori di Rn al variare di n corrispondono alle componenti secondon di una vettore che prende il nome di rotore del campo vettoriale A nel punto P

Il rotore è quindi il vettore che lungo la generica direzione n ha componente

operatori differenziali

S

dl lim)(rot C

0Snn∫ ⋅

=×∇=→

lAAA

Co

So

n,1=n 1l = l

Po

C

S

dl R o

∫ ⋅=

lA

o

C

0Sn S

dl limR o

o

∫ ⋅=

lA

AA ×∇=)(rot

Page 19: OPERATORI DIFFERENZIALI

proprietà del rotore

il rotore è un operatore differenziale che trasforma un campo vettoriale in un campo vettoriale

(α costante)

(linearità)

operatori differenziali

BABA ×∇+×∇=+×∇ )(

AA ×∇=×∇ ) ( αα

Page 20: OPERATORI DIFFERENZIALI

teorema di Stokes

operatori differenziali

CS

n

,1=n 1l = l

∫∫∫ ⋅×∇=⋅ SC

ds )(dl nAlA

Page 21: OPERATORI DIFFERENZIALI

campi irrotazionali

un campo è irrotazionale se

i campi che ammettono potenziale sono irrotazionali

(se il campo ammette potenziale)

(Stokes)

deve valere quale che sia S:

operatori differenziali

0ds )( S

=⋅×∇∫∫ nA

0=×∇ A

0dl C

=⋅∫ lA

0=×∇ A

Page 22: OPERATORI DIFFERENZIALI

teorema di scomposizione

un campo vettoriale A può essere scomposto nella somma di un campo vettoriale solenoidale e di un campo vettoriale irrotazionale

operatori differenziali

0i =×∇ A

0s =⋅∇ A

is AAA +=

Page 23: OPERATORI DIFFERENZIALI

coordinate cartesiane

in coordinate cartesiane, posto

l’operatore “nabla” può essere trattato come un vettore

operatori differenziali

)z,y,x(A z)z,y,x(Ay)z,y,x(A x)z,y,x( zyx ++=A

z z

yy

x x

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

zU z

yUy

xU xU)U(grad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=

zA z

yA

yxA )(div zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇= AA

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂−

∂∂

=×∇=yA

xA

zxA

zAy

zA

yAx)(rot xyzxyzAA

Page 24: OPERATORI DIFFERENZIALI

coordinate cartesiane

in coordinate cartesiane, posto

l’operatore “nabla” può essere trattato come un vettore*

_______________________________________________________________________* diverso dai vettori ordinari

operatori differenziali

)z,y,x(A z)z,y,x(Ay)z,y,x(A x)z,y,x( zyx ++=A

z z

yy

x x

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

zU z

yUy

xU xU)U(grad

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=z

A zy

Ay

xA )(div zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇= AA

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂−

∂∂

=×∇=yA

xA

zxA

zAy

zA

yAx)(rot xyzxyzAA

ABBAABBA

⋅=⋅×−=×

definito) (non definito) (non

∇⋅−≠⋅∇∇×−≠×∇

AAAA

Page 25: OPERATORI DIFFERENZIALI

identità vettoriali

operatori differenziali

LAPLACIANO z

yx 2

2

2

2

2

22

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇AAA 2)()( ∇−⋅∇∇=×∇×∇

)( 0)( ∇⊥×∇≡×∇⋅∇ AA )||U( 0)U( ∇∇≡∇×∇

)(U)U()U( AAA ⋅∇+∇⋅=⋅∇

(scalare) )U( zU

yU

xU U 2

2

2

2

2

22 ∇⋅∇≡

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

(vettore) z

yx

2

2

2

2

2

22

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇AAAA

)V(U)U(V)UV( ∇+∇=∇

)()()( BAABBA ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇)(UU)U( AAA ×∇+×∇=×∇

zB

yB

xB

zz

yy

xx)BzByBx()( zyxzyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅++=∇⋅AAAAAB