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Appunti di Matematica 5

- Equazioni differenziali -

229

Equazioni differenziali

Le equazioni differenziali sono equazioni in cui l’incognita è una funzione y(x) e in cui

compaiono le derivate della funzione stessa.

Per esempio l’equazione yy 2'= è un’equazione differenziale (del primo ordine perché compare

solo la derivata prima di y).

Come si risolve un’equazione differenziale ?

Risolvere un’equazione differenziale è piuttosto complesso e quindi tratteremo solo alcuni casi:

equazioni differenziali del primo ordine o particolari equazioni differenziali del secondo ordine (

dove cioè compare anche la derivata seconda).

Ma perché si studiano le equazioni differenziali?

Le equazioni differenziali sono una parte della matematica molto importante per le scienze

applicate quali la fisica e la biologia.

Infatti quando in un fenomeno c’è una variazione nel tempo di una quantità y(t) quale ad esempio

il numero di individui di una popolazione, la quantità di carica sulle armature di un condensatore,

la temperatura di un corpo, la velocità di un corpo, abbiamo una “velocità di variazione” di y(t)

cioè la derivata di y(t).

Se possiamo determinare una relazione tra y(t) e y’(t) oppure y’’(t) troviamo un’equazione

differenziale che, risolta, ci permette di determinare y(t).

Cercheremo quindi di presentare alcuni esempi di fenomeni il cui studio porta a dover risolvere

un’equazione differenziale.



230

Equazioni differenziali del primo ordine

Esempio 1: 2' += xy

E’ chiaro che in questo caso per trovare la funzione y basta integrare entrambi i membri (rispetto

alla variabile x).

( ) += dxxdxy 2'

(*) ℜ∈++= ccxx

y ,22

2

Abbiamo trovato quindi una famiglia di funzioni ( le primitive di 2)( += xxa ).

Se poi conosciamo il valore che la funzione y deve avere in un dato punto (chiamata “condizione

iniziale”), posso determinare una soluzione particolare dell’equazione.

Se per esempio nel nostro caso avessi anche la condizione

0)0( =y

sostituendo nella (*) abbiamo cy =)0( , e quindi confrontando con la condizione iniziale troviamo

0=c e la soluzione particolare risulta xx

y 22

2

+= .



231

Esempio 2: yy ⋅= 2'

Scriviamo la derivata come dx

dy e “separiamo” le variabili x e y spostando a sinistra la y e a

destra dx (supponiamo quindi 0≠y ):

dxy

dyy

dx

dy ⋅=⋅= 22

Integrando entrambi i membri abbiamo:

⋅±==+=⋅= + xccxeeyeycxydx

y

dy 222ln2

Poiché ce± rappresenta un qualsiasi numero reale diverso da zero, possiamo scrivere :

xeky 2⋅= con 0≠k

Considerando però l’equazione iniziale è chiaro che anche 0=y è una soluzione e quindi

possiamo dire che le soluzioni dell’equazione differenziale sono in conclusione

xeky 2⋅= , ℜ∈k

Nota

Possiamo verificare che le soluzioni

sono quelle trovate calcolando la

derivata:

abbiamo xeky 22' ⋅= e sostituendo

nell’equazione differenziale iniziale

otteniamo un’identità.

Naturalmente anche in questo caso se

abbiamo una condizione iniziale, per

esempio 1)0( =y , otteniamo 1=k e

quindi la soluzione particolare xey 2= .

E’ chiaro quindi che, con passaggi analoghi all’esempio, in generale l’equazione differenziale

ℜ∈⋅= ayay ,'

ha come soluzione generale

ℜ∈⋅= keky ax ,



232

Esempio 3: yxy ⋅= 2'

Procediamo come abbiamo fatto nel caso precedente separando le variabili:

=+=⋅=⋅=⋅= +cxeycxydxxy

dydxx

y

dyyx

dx

dy 22ln222

ℜ∈⋅=⋅±= kekyeey xxc ,22

(sempre osservando che nel procedimento si suppone 0≠y ma anche 0=y è soluzione e quindi

si può considerare ℜ∈k ).

Anche in questo caso possiamo, se vogliamo, verificare che le soluzioni trovate soddisfano

l’equazione differenziale assegnata.

Se poi abbiamo anche una condizione “iniziale”, per esempio 1)0( =y , otteniamo 1=k e quindi

la soluzione particolare è 2xey = .



233

Esempio 4: xyy +='

In questo caso non possiamo separare le variabili e procediamo nel seguente modo (metodo di

Lagrange o della “variazione della costante”):

• risolviamo l’equazione yy =' che ci dà come soluzioni xeky ⋅= ;

• consideriamo k non come una costante ma come una variabile , indichiamola con k(x) e

imponiamo che xexky ⋅= )( sia soluzione dell’equazione differenziale assegnata cioè

calcoliamo

xx exkexky ⋅+⋅= )()(''

e sostituendola nell’equazione differenziale ricaviamo )(' xk

xxxxx exxkxexkxexkexkexk −⋅==⋅+⋅=⋅+⋅ )(')(')()()('

Infine ricaviamo k(x) :

( ) ++⋅−=+−⋅−=+⋅−=⋅= −−−−−− cxeceexdxeexdxexxk xxxxxx 1)(

Quindi la soluzione dell’equazione differenziale risulta:

( ) ( ) xxx ecxyecxey ⋅++−=⋅++−= − 1]1[

NOTA

Non sempre è necessario applicare il metodo della variazione della costante per ricavare la

soluzione .

Se per esempio abbiamo 1' −= yy possiamo usare il metodo della “separazione” delle variabili:

+=−+=−=

−=

−−= cxeycxydx

y

dydx

y

dyy

dx

dy11ln

111

xxc ekyeey ⋅+=⋅±=− 11



234

Esempio 5

Consideriamo per esempio l’equazione ( )21' yxy +⋅=

Procediamo così:

( ) cx

arctgydxxy

dydxx

y

dyyx

dx

dy +=→⋅=+

→⋅=+

→+⋅= 2111

2

22

2

e quindi in conclusione

+= c

xtgy

2

2

Nota

Le equazioni del tipo )()(' ybxay ⋅= sono dette a “variabili separabili” perché per risolverle

si procede “separando” le variabili.

Quando dividiamo per )( yb dobbiamo porlo diverso da zero e poi considerare a parte le soluzioni

dell’equazione differenziale nel caso in cui sia 0)( =yb .

Nel nostro esempio poiché 01)( 2 ≠+= yyb non ci sono problemi e non dobbiamo aggiungere

nessuna soluzione alla soluzione generale trovata.

Esempio 6

Consideriamo l’equazione a variabili separabili 2' yxy ⋅=

+−=→+=−→⋅=→⋅=→⋅=

kxyc

x

ydxx

y

dydxx

y

dyyx

dx

dy2

2

22

2 2

2

1

In questo caso poiché per poter dividere per 2y supponiamo 0≠y dobbiamo poi controllare se

0=y è soluzione dell’equazione differenziale: in questo caso si verifica che 0=y è soluzione

dell’equazione differenziale e quindi va aggiunta alle soluzioni.

In conclusione allora le soluzioni dell’equazione differenziale sono

02

2=∪

+−= y

kxy



235

Equazioni differenziali del secondo ordine

Studieremo solo equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti ed omogenee

cioè un’equazione del tipo:

0''' =++ cybyay

Per risolverla supponiamo che zxey = ( )ℜ∈z sia soluzione: per determinare z calcoliamo y’ e

y’’ e sostituiamo nell’equazione differenziale.

zxezy ⋅=' ; zxezy ⋅= 2'' 00 22 =+⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅ czbzaecezbeza zxzxzx

L’equazione 02 =+⋅+⋅ czbza (detta equazione “caratteristica” associata all’equazione

differenziale) può avere:

• 0>∆ e quindi due soluzioni reali distinte 21 , zz e in questo caso si può verificare che la

soluzione dell’equazione differenziale è:

ℜ∈⋅+⋅= 2121 ,21 ccconececyxzxz

• 0=∆ e quindi due soluzioni reali coincidenti 21 zz = e in questo caso si può verificare

che la soluzione dell’equazione differenziale è:

ℜ∈⋅+⋅= 2121 ,)(1 ccconxcceyxz

• 0<∆ e quindi due soluzioni complesse coniugate βα iz ±=2,1 e in questo caso si può

verificare che la soluzione dell’equazione differenziale è:

ℜ∈⋅+⋅⋅= 2121 ,)cos( ccconxsencxceyx ββα

Esempi

1) 06'5'' =+− yyy

L’equazione caratteristica è in questo caso: 3,2065 21

2 ==→=+− zzzz

Quindi la soluzione è ),(, 21

2

2

3

1 ℜ∈⋅+⋅= ccececy xx

2) 04'4'' =+− yyy

L’equazione caratteristica è : ( ) 202044 21

22 ==→=−→=+− zzzzz

Quindi la soluzione è ( ) ),(, 2121

2 ℜ∈⋅+⋅= ccxccey x

3) 09'' =+ yy

L’equazione caratteristica è: izz 309 2,1

2 ±=→=+

Quindi la soluzione è ℜ∈⋅+⋅= 2121 ,,33cos ccxsencxcy



236

Problemi che si risolvono utilizzando un’equazione differenziale

Problema 1

Consideriamo una popolazione che vive in un ambiente isolato (non ci sono predatori), con risorse

illimitate e per la quale perciò si suppone che, indicando con N(t) il numero degli individui della

popolazione al tempo t e considerando un intervallo di tempo [ ]ttt ∆+, si abbia:

mortinnatintNttN °−°=−∆+ )()(

Se supponiamo che il numero degli individui nati nell’intervallo di tempo t∆ sia proporzionale a

ttN ∆⋅)( secondo una costante α e che il numero degli individui morti nello stesso intervallo di

tempo sia proporzionale a ttN ∆⋅)( secondo una costante β possiamo scrivere, ponendo

βα −=a ,

Abbiamo quindi ottenuto un’equazione differenziale in cui la funzione da determinare è N(t)

(funzione del tempo) e per quello che abbiamo visto avremo quindi che

atektN ⋅=)(

cioè la crescita (nel caso che βα > e quindi 0>a ) o la decrescita (se βα < e quindi 0<a )

della popolazione sarà di tipo “esponenziale”.

Se conosciamo una condizione “iniziale”, per esempio il numero degli individui della popolazione

al tempo t=0 (inizio dell’osservazione), possiamo ricavare la costante k: se per esempio

0)0( NN = avremo 0Nk = e quindi

ateNtN ⋅= 0)(

Se per esempio consideriamo 2,0=a abbiamo un grafico del tipo seguente( )0≥t :

)()(')()()(

)()()(0

tNatNtNat

tNttNttNatNttN

t

⋅=⋅=∆

−∆+∆⋅⋅=−∆+

→∆



237

NOTA

Questo modello di sviluppo di una popolazione non tiene conto del fatto che il numero degli

individui della popolazione dipende anche da vincoli esterni quali il cibo fornito dall’ambiente ( e

che generalmente non è illimitato). Questi fattori esterni frenano quindi la crescita.

Si può dimostrare che l’equazione differenziale che riflette una crescita più realistica è

(*)

−⋅⋅=b

tNtNatN

)(1)()('

in cui b rappresenta la “capacità” dell’ambiente.

Infatti se )(tN è piccolo 1)(

1 ≈−b

tN e la crescita è inizialmente simile a quella esponenziale, ma

quando 0)('0)(

1)( →→−→ tNb

tNbtN cioè la crescita si arresta.

E’ piuttosto difficile arrivare alla soluzione di questa equazione differenziale, ma possiamo

“verificare” che la soluzione è la seguente:

atek

btN −⋅+

=1

)(

e l’andamento sarà :



238

Problema 2

Consideriamo un paracadutista in caduta libera (prima che apra il paracadute): su di esso agisce la

forza peso mg (m la massa del paracadutista e dell’attrezzatura) ma anche una forza dovuta alla

resistenza dell’aria, opposta alla forza peso e direttamente proporzionale alla velocità.

Poiché 'vmvkmgamvkmgamF aaR ⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=

Abbiamo quindi trovato un’equazione differenziale in cui la funzione da determinare è la velocità

in funzione del tempo v(t).

Possiamo risolverla “separando” le variabili:

+=−−=−

=−

−=⋅ ctvm

kg

k

mdt

vm

kg

dvdt

vm

kg

dvvkmg

dt

dvm a

aa

a ln

Dopo alcuni passaggi otteniamo:

ℜ∈⋅+=−

ceck

mgtv

tm

k

a

a

,)(

Se poniamo che

−=−==

− tm

k

aa

a

ek

mgtv

k

mgcv 1)(0)0( .

L’andamento della velocità è il seguente

Quando ak

mgvt →∞→ (velocità limite)



239

Problema 3

Consideriamo un corpo di massa m attaccato ad una molla di costante elastica k ( e massa

trascurabile) che oscilla senza attrito su un piano orizzontale per effetto della forza elastica

→→

−= xkF

dove x(t) indica la posizione del corpo all’istante t rispetto ad un sistema di riferimento lungo

la direzione del moto.

Poiché →→

⋅= amF e )('')( txta = abbiamo l’equazione differenziale del secondo ordine:

Consideriamo l’equazione caratteristica im

kz

m

kz ±=→=+ 2,1

2 0

Quindi, ponendo m

k=ω , avremo che la soluzione generale dell’equazione è:

tsenctctx ωω ⋅+⋅= 21 cos)(

Nota: osserviamo che la soluzione tsenctctx ωω ⋅+⋅= 21 cos)( è equivalente a

( )ϕω +⋅= tktx cos)( equazione del moto armonico di un punto materiale.

Se conosciamo le condizioni “iniziali”, per esempio se Ax =)0( e 0)0(' =x (il corpo

all’istante iniziale si trova alla massima distanza dal centro di oscillazione ed ha velocità

nulla) , otteniamo: tAtxcAc ωcos)(0, 21 ⋅=→==

Abbiamo quindi un moto armonico di periodo ωπ2=T e ampiezza A come in figura:

0)()('')()('' =+→⋅−= txm

ktxtx

m

ktx



240

Problema 4

Se il corpo dell’esempio precedente è soggetto anche ad una forza di attrito viscoso

proporzionale, secondo una costante h , alla velocità )(')( txtv = del corpo allora abbiamo la

seguente equazione differenziale del secondo ordine:

0)()(')('')(')()('' =⋅+⋅+→⋅−⋅−=⋅ txm

ktx

m

htxtxhtxktxm

Se per esempio

s

kgh

m

NkKgm 2,5,1 ===

abbiamo 0)(5)('2)('' =⋅+⋅+ txtxtx

Se risolviamo l’equazione caratteristica associata 0522 =++ zz troviamo:

iz 215112,1 ±−=−±−=

Quindi la soluzione generale sarà: ( )tsenctcetx t 22cos)( 21 ⋅+⋅⋅= −

Se le condizioni iniziali sono 0)0(',)0( == xAx si trova

2

, 21

AcAc == e quindi ( )tsenteAtx t 25,02cos)( +⋅= −

che risulta avere un andamento come quello in figura (moto armonico smorzato).



241

Esercizi sulle equazioni differenziali

1. xxy += 2' ]23

[23

cxx

y ++=

2. 02' =+− senxxy ]cos[ 2 cxxy ++=

3. 0'=+ ytgx ]cosln[ cxy +=

4.

==

2)0(

3'

y

yy ]2[ 3xey ⋅=

5.

==−1)0(

02'

y

yy ][ 2xey =

6.

=⋅=1)0(

'

y

yxy ][ 2

2x

ey =

7.

=⋅=2)0(

' 2

y

yxy ]2[ 3

3x

ey ⋅=

8. x

yy

3'= ][ 3xky ⋅=

9.

=−=

1)1(

3'

y

yxy ( ) ]13[

1 xexy

−+−⋅=

10.

=

−=

0)1(

1'

y

x

yy

]2

1[

2

x

xy

−=

11. 6' += yy ]6[ −⋅= xecy

12. 93' += yy ]3[ 3 −⋅= xecy

13. xxyy += 2' ]2

1[

2

−⋅= xecy



242

14. x

yxy

−= 2' ][ x

x

cy +=

15. yey x +=' ( ) ][ xexcy ⋅+=

16. yey x 2' 3 =− ][23 xx

ecey ⋅+=

17. ( )ysenxy −⋅= 1' ]1[ cos xecy ⋅−=

18. y

xy

3

'= ]2

[4

cx

y +±=

19. senxyy ⋅−= 2' ]0cos

1[ =∪

+−= y

cxy

20. 1

'2

2

+=

x

yy ]0

1[ =∪

−= y

arctgxcy

21. yxey +=' ( )]log[x

ecy −−=

22. 06'5'' =−+ yyy ][ 6

21

xx ececy −⋅+⋅=

23. 03'2'' =−+ yyy ][ 3

21


24. 0'2'' =+ yy ][ 2

21

xeccy −⋅+=

25. 09'' =− yy ][ 3

2

3

1


26. 016'8'' =++ yyy ( )][ 21

4 xccey x +⋅= −

27. 09'6'' =+− yyy ( )][ 21

3 xccey x +⋅=

28. 05'4'' =++ yyy ( )]cos[ 21

2 senxcxcey x +⋅= −

29. 010'2'' =++ yyy ( )]33cos[ 21 xsencxcey x +⋅= −

30. { 05'6'' =+− yyy ][ 5

21

xx ececy ⋅+⋅=



243

Problemi

1. Una colonia di batteri cresce proporzionalmente al numero di batteri presenti nella colonia

secondo una costante hk /2,0= (h sta per ora).

Misurando il tempo t in ore e indicando con N(t) il numero di batteri presenti al tempo t,

determina N(t) supponendo che al tempo t=0 nella colonia ci siano 100 batteri.

Disegna il grafico di N(t).

Dopo quanto tempo il numero dei batteri è raddoppiato?

]5,3,100)([ 2,0 htetN t ≅⋅= ⋅

2. La velocità di raffreddamento di un corpo è direttamente proporzionale, secondo una costante

k, alla differenza di temperatura tra la temperatura dell’ambiente (supposta costante) e la

temperatura del corpo T(t) al tempo t.

Se supponiamo che hk /5,0= (h sta per ora) , la temperatura dell’ambiente 20°C, la

temperatura iniziale del corpo 50°C, determina la temperatura T(t) del corpo (il tempo t

misurato in ore) e disegnane l’andamento.

tetT ⋅−⋅+= 5,03020)([ ]

3. Il carbonio 14 ( simbolo 14C ) è presente in tutte le sostanze organiche ma decade, cioè si

trasforma in un altro elemento, quando l’organismo muore.

La variazione del numero degli atomi di 14C è direttamente proporzionale al numero N(t) di

atomi presenti al tempo t : se indichiamo con α la costante di proporzionalità possiamo quindi

dire che )()(' tNtN ⋅−= α .

Indicando con 0N il numero degli atomi di 14C presenti al tempo t=0 in cui l’organismo è

morto, determina N(t) e tracciane un grafico indicativo.

Se si indica con dt il “tempo di dimezzamento” cioè il tempo impiegato dal 14C (come da

qualsiasi altra sostanza radioattiva) a dimezzarsi, trova la relazione tra α e dt .

(Il tempo di dimezzamento per il 14C è di circa 5730 anni ).

Nota: misurando la quantità di 14C ancora presente in un fossile si può datare il fossile, cioè

determinare quanto tempo è passato dalla morte dell’organismo.

]2ln

,)([ 0 αα =⋅= −

d

tteNtN



244

4. Considera un circuito in cui è inserito un generatore di f.e.m. costante 0VV =∆ , una resistenza

R e un condensatore di capacità C (vedi figura).

Alla chiusura dell’interruttore il generatore carica il condensatore: indica con q(t) la quantità di

carica presente sulle armature del condensatore all’istante t ponendo t=0 l’istante di chiusura

dell’interruttore (quindi q(0)=0 ) e con )()((' titq = la corrente che circola nel circuito.

Poiché quando sulle armature c’è una carica q(t) tra le armature c’è una d.d.p. C

tqtVC

)()( = si

ha:

Scrivi l’equazione differenziale corrispondente e determina q(t). Traccia il grafico di q(t).

)1()([

1

0

tRCeCVtq

−−⋅⋅= ]

5. Considera un circuito in cui è inserito un generatore di f.e.m. costante 0VV =∆ , una bobina di

resistenza R e induttanza L (vedi figura).

Alla chiusura dell’interruttore inizia a circolare corrente e si sviluppa nell’induttanza una f.e.m.

autoindotta dt

diL ⋅ . Quindi abbiamo:

dt

diLtiRV ⋅+⋅= )(0

Risolvi l’equazione differenziale e ricava i(t) con la condizione iniziale che i(0)=0.

Traccia il grafico di i(t).

)]1()([ 0t

L

R

eR

Vti

−−⋅=

C

tqtiRV

)()(0 +⋅=



245

6. Considera un circuito con una bobina di induttanza L (resistenza trascurabile) e un

condensatore inizialmente carico di capacità C.

Alla chiusura dell’interruttore il condensatore si scarica ma per il fenomeno dell’autoinduzione

dovuto alla presenza dell’induttanza la corrente continua a circolare ricaricando di segno

opposto le piastre del condensatore e il processo di scarica riprende ma con una corrente di

verso opposto (si parla di circuito “oscillante” ed è analogo al sistema massa-molla).

S

Se indichiamo con q(t) la carica presente al tempo t sulle armature del condensatore avremo:

0)( =⋅+

dt

diL

C

tq

Risolvi l’equazione differenziale corrispondente considerando come condizioni 0)0( Qq = e

0)0(')0( == qi e determina q(t).

Traccia il grafico corrispondente.

Come risulta la corrente che circola nel circuito? Qual è la sua frequenza?

Cosa accade se la resistenza non è trascurabile?

]2

1,

1)(,

1cos)([ 0

0LC

ftLC

senLC

Qtit

LCQtq

π=⋅−=⋅=

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