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適応符号化に適した高利得誤り訂正符号に関する研究

2009年 7月

岡村利彦

（千葉大学学位申請論文）

適応符号化に適した高利得誤り訂正符号に関する研究

2009年 7月

岡村利彦

目次 i

目次

1 序論 1

1.1 研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 研究問題の所在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 本論文の内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 LDPC符号、繰り返し復号、密度発展法 7

2.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Shannon限界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 LDPC符号と確率伝播法に基づく繰り返し復号 . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Sum-Productアルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Normalized Min-Sumアルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 密度発展法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 QC-LDPC符号の基本行列構成 16

3.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 基本行列, Protograph, Muti-Edge Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 実装性を考慮した基本行列構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 QC-LDPC符号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 符号化を考慮した基本行列設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 復号処理におけるメモリを考慮した基本行列設計 . . . . . . . . . . 24

3.4 最小距離上界を考慮したQC-LDPC符号の基本行列構成 . . . . . . . . . . 27

3.5 Multi-Stage構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 基本行列構成案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.7 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 QC-LDPC符号の巡回成分探索 39

4.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 (3, k)-regular QC-LDPC符号の巡回成分と最小距離 . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Girthを基準とする巡回成分探索 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 QC-LDPC符号のタナーグラフの girth . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.2 巡回成分探索における girthに基づく判定基準 . . . . . . . . . . . . 46

4.3.3 Girthを基準にした巡回成分探索と最小距離 . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 提案基本行列の巡回成分探索 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4.1 クリティカルパタン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.2 巡回成分探索手法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.3 シフト値共有によるパラメータ削減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.4 従来の LDPC符号、ターボ符号との比較 . . . . . . . . . . . . . . . 59

目次 ii

4.5 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 LDPC符号の短縮符号化と拡大符号化に基づくHybrid ARQ 63

5.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Normalized min-sumアルゴリズムの復号計算量 . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1 LDPC符号のパンクチャと復号計算量 . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 提案HARQ方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1 短縮符号化に基づくHARQ方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.2 提案HARQ方式に適した符号構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.3 拡大符号化の併用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 シミュレーション結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 LDPC符号/ターボ符号の復号諸元解析 78

6.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 復号スケジュールと収束速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3 Normalized min-sumアルゴリズムにおける量子化の影響評価 . . . . . . . 81

6.4 巡回置換処理の実現方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.5 ターボ符号のトレリス複雑度と最尤復号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5.1 線型符号のトレリス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5.2 ターボ符号とビット順序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5.3 インターリーバの inversion number . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.5.4 ターボ符号の state complexityの上界 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.5.5 最尤復号と繰り返し復号比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.6 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7 おわりに 98

A 提案 LDPC符号の具体例 100

1. 序論 1

1 序論

1.1 研究の背景

　誤り訂正符号は送信する情報に対してパリティを付加する符号化と呼ばれる処理と、

パリティの冗長性を利用して伝送路上で発生したエラーを訂正する復号と呼ばれる処理に

よってディジタル通信の信頼性を向上させる技術である。1948年に Shannon[Sha48]は誤

り訂正符号化によって実際に情報伝送における信頼性向上が可能であり、その限界である

通信路容量（Shannon限界）も示した。通信路容量を求めるために Shannonが用いた方

法は”ランダム符号化”と呼ばれる統計的な手法で、復号も計算量を無視した理想的な復

号法（最尤復号）を仮定していた。しかし、誤り訂正符号の実用を考える際には符号化と

復号処理の実装可能性が重要となる。1950年にはHammingによって非常に簡潔な代数的

な処理に基づく符号化と復号処理によって 1ビットの誤りを訂正可能なクラスの誤り訂正

符号が提案された [Ham50]。その後、多ビット誤りを訂正可能な代数的符号として BCH

符号 [BCH60]、Reed-Solomon符号 [RS60]が提案された。現在では非常に多くのディジタ

ル通信・記憶装置においてこれらの誤り訂正符号は利用されていて、効率的な信頼性向上

のための基本的な手段となっている。しかし、これらの符号の特性と Shannon限界との

差は大きく、例えばReed-Solomon符号の符号語に対して畳込み符号化を行う連接符号化

は衛星通信などでも利用されているが [CCSDS01]、Shannon限界にはまだ 3dB程度の差

がある。

　実用的な誤り訂正符号 (線形符号)化のためには次の 2点を同時に考える必要がある。

(a) 有限長で重み分布の優れた符号構成

(b) 効率が良く、かつ特性の良い復号アルゴリズム

重み分布の第 1指標は最小距離であり、BCH符号や Reed-Solomon符号は優れた最小距

離を達成する符号のクラスである。一般に重み分布は符号長を大きくするほど良いものが

期待できるが、符号長が大きくなると訂正シンボル数も大きくなる。BCH符号や Reed-

Solomon符号に対するユークリッド法などの復号アルゴリズムの計算量は訂正シンボル

数の 2乗のオーダーとなり、符号長を大きくしたときの復号計算量へのインパクトは大き

い。また、最近研究も進んできているが、軟判定復号の適用は複雑になるという課題も存

在する。

Shannon限界に迫る特性を実用化するためには重み分布が良く、最尤復号に近い特性

を符号長に対して線形オーダーの計算量で達成可能な復号アルゴリズムを持つような誤

り訂正符号のクラスが必要となる。1993年にBerrouらによって提案されたターボ符号は

Shannon限界まで 1dBまで迫る特性を達成できることを示し、誤り訂正符号の新たな潮

流を生んだ [BGT93]。ターボ符号の符号構成は再帰的畳込み符号とインターリーブを組み

合わせた並列連接化であり、符号長大で良好な重み分布を達成可能である [BGM97]。符

号構成以上に特徴的なのが復号法で、コンポーネントである畳込み符号の軟入力軟出力

1. 序論 2

（Soft-In Soft-Output, SISO）復号を繰り返すことで符号全体の復号を実現し、ターボ復

号と呼ばれるている。ターボ符号では符号長に依らずに繰り返し数も 10程度で十分であ

り、符号長の線形オーダーの計算量で実行できるために符号化率の低い、符号長大の符号

の復号も実行可能となる。また、ランダムに構成したインターリーブを用いた符号に対し

ても復号アルゴリズムは同様に適用できるという点も大きな特徴である。

ターボ符号に触発され、MacKayら [MN97]によってGallager[Gal63]の低密度パリティ

検査 (Low-Density Parity-Check, LDPC)符号の再発見がなされた。特に Gallager

による確率伝播法 (belief propagation)に基づく繰り返し復号はターボ復号も含む形で

一般化されている。Richardson and Urbanke[RU01-1]は確率伝播法を符号語の各ビットに

対して復号過程で生成される信頼度情報である”メッセージ”の (確率)密度発展 (density

evolution)という形で捉え、加法的白色ガウス雑音 (Additive White Gaussian Noise,

AWGN)通信路などに対してその解析手法を適用した。符号の構造と復号法が与えられた

ときに符号長→∞で誤り確率 0とすることが可能な信号対雑音比 (Signal-to-Noise Ratio,

SNR)の限界である反復閾値 (threshold)を密度発展法によって求めることができる。反

復閾値はエラーレート特性曲線のグラフにおいて特性が急激に改善するウォーターフォー

ル領域 (water fall region)の起点に実際に対応する。Richardsonら [RSU01]は反復閾値の

最適化において次数分布 (パリティ検査行列の行、列における 1の個数の分布) の非正則

(irregular)性が本質的な役割を果たすことを見出した。消失通信路に対する Lubyらの研

究 [LMSS01] と合わせて非正則次数分布の最適化とそれに基づく符号構成は LDPC符号

研究の大きなテーマとなった。この流れに沿って Chungら [CFRU01]は Shannon限界ま

で 0.045dBに迫る符号構成に成功した。このように LDPC符号は非常に高いパフォーマ

ンスを示すとともにその復号法も原理的には高並列化が可能であるため、ブロードバンド

時代の誤り訂正符号技術として大きく期待されてきている。

1.2 研究問題の所在

　

誤り訂正符号のパフォーマンスは符号化利得で評価され、LDPC符号の符号化利得は前

述の反復閾値とエラーフロア特性によって決定される。LDPC符号やターボ符号など一般

に Shannon限界に近い特性を達成する誤り訂正符号ではウォーターフォール領域の後に特

性改善が著しく鈍くなることがあり、このような現象をエラーフロアと呼ぶ。反復閾値は

高いビットエラーレート (BER)やフレームエラーレート (FER) における符号化利得を、

エラーフロア特性は低い BER/FERでの符号化利得を表す指標となる。図 1は LDPC符

号の復号後の BER/FERの典型例を示すグラフである。反復閾値とエラーフロア特性の

両者が優れた符号が理想的であるが、一般にはトレードオフが存在する。

無線アクセス系通信など、ユーザに応じて通信路の状態が大きく異なり、また、伝送す

るデータ量もまちまちの場合には符号長や符号化率を固定するのではなく、条件に合わせ

てこられの設定が可能な適応符号化 (adaptive coding)の技術が重要となる。実用的な

1. 序論 3

Signal to Noise Ratio (Eb/No)

Error Rate

uncoded

LDPC

threshold

error floor

e

coding gain at error rate e

図 1: LDPC符号の典型的なエラーレート (BER/FER)特性

適応符号化に想定される要件を以下に述べる。

(a) 符号化率設定に関しての自由度の高さ

通信路の状態に合わせて最適な符号化率 (coding rate, 単にレート (rate)と呼ぶ場合

もある)を設定する。適応変調と併せて使用されることが多く、適応変調と適応符号

化の組み合わせは AMC(Addaptive Modulation and Coding)と呼ばれる。通信路

の状態が良いときには高次変調と高符号化率の符号を使用して伝送速度を高くする。

(b) 符号長設定の自由度の高さ

送信する情報サイズに合わせて符号長選択を可能にすることで、パディングによる

情報伝送速度の劣化や符号化復号の処理量の増加などのオーバーヘッドを低減する

ことができる。

(c) 低複雑度

上記のような適応処理によるパラメータの自由度の拡大はそれに対応するために符

号化器や復号器のオーバーヘッドが一般には発生する。このトレードオフを改善す

るような統一的な符号器構成と復号器構成が適用可能なことが望ましい。符号の記

述量も実装上の重要なファクタとなる。少ないパラメータで広い範囲の符号化率や

符号長の符号を表すことができることが望ましい。

(c) 再送方式との整合性

通信路の状態が動的に変化する場合には誤り訂正符号と受信側からの復号結果の

フィードバックに基づく再送処理を組み合わせたプロトコルであるHARQ（Hybrid

Automatic Repeat reQuest）の適用が有効となる。物理層での誤り訂正符号を利用

したHARQによって通常のネットワーク層の再送プロトコル (TCP)と比較してス

ループットおよび遅延を改善することが可能となる。適応符号化における符号構成

もHARQと相性の良いことが望ましい。

モバイル通信では携帯電話の第 3世代と呼ばれるW-CDMAなどの方式から誤り訂正符

1. 序論 4

号としてターボ符号が採用され [3GPP99]、適応符号化にも対応している。現在 3.9世代と

呼ばれる 3GPP LTEの標準化までが完了しており、最大 100Mbpsを想定した仕様となっ

ている。しかし、IMT-Advanced等と呼ばれる第 4世代以降においては 1Gbpsクラスの

通信速度が要求されることが想定され、誤り訂正符号に対しても特性と実装性の両面にお

いての改良が望まれる。適応符号化においては通信路の状態が良いときに高符号化率の符

号を用いて高速伝送を図るオペレーションが行われるため、高符号化率の符号の復号処理

が容易なことが実装上は望ましいと考えられる。しかし、現状のターボ符号は基本的に符

号化率 1/3の低符号化率の符号をパンクチャすることによって高符号化率に対応している

ため、高符号化率における特性と復号時の計算量の改善の余地は大きい。LDPC符号はこ

れらの課題を克服するポテンシャルを持つ。

多くの符号長に対して統一的に符号構成を行うことが可能な LDPC符号クラスとして

擬似巡回 (Quasi-Cyclic, QC) LDPC符号が知られている。有限幾何 (finite geometry)な

ど代数的構成法から得られる LDPC符号も QC構造を持つものが多く、高符号化率の符

号で優れた特性が達成可能なことが示されている [KLF01, Kam04, CXDL04]。適応符号

化に適した QC-LDPC符号設計では次数分布を含めたパリティ検査行列の構造を与える

基本行列 (base matrix) のデザインの問題と、基本行列の成分を次数に応じた巡回行

列によって拡大して実際のパリティ検査行列を生成する、巡回成分探索の問題に分ける

ことができる。図 2はその模式図である。無線 LAN(Local Area Network)の標準であ

る IEEE802.11n[11n06]やモバイル無線MAN(Metropolitan Area Network)の標準である

IEEE802.16e[16e06]で採用された LDPC符号も基本行列に基づくQC構造である (ただし

これらの実際の製品の仕様となっているWiFiやmobile WiMAXでは LDPC符号は現在

のところオプション扱い)。

基本行列は反復閾値だけでなく、エラーフロアや符号化・復号器などの実装面に関して

も影響を与えるため、これらを総合的に考慮して設計する必要がある。巡回成分探索手法

は主にエラーフロア特性に影響するが、エラーフロア特性の指標となる最小距離などの評

価は一般には非常に困難である。そこで、エラーフロア特性の改善に関係する指標で計算

容易なものを見出して、その指標に基づいて巡回成分を選択する手法の適用が考えられる。

LDPC符号の探索的構成におけるこのような方向性の指標としてタナーグラフの girthや

それに類する特性量が利用されてきている [HEA01, TJVW04]。これらの探索的手法に関

しての有効性の評価や基本行列の構造を利用した効果的な探索手法の開発が必要となって

いる。

ターボ符号や LDPC符号の復号を高速化するためには基本的に復号処理内部における

高並列化が必要となる。しかし、符号長や符号化率が可変な場合にはメモリとプロセッサ

間のルーティングで発生するオーバーヘッドが大きくなる。また、受信値および復号処理

の途中で発生する各ビットの信頼度情報を扱うためのビット数は復号器規模に大きく影響

を与えるため、1Gbpsの高速通信に対応する並列度を実現するためにはこうしたパラメー

タも詳細に評価する必要がある。その一方で特性面においても最尤復号にさらに近い特性

を達成可能な方式が望まれる。

1. 序論 5

1 0 1 1 0 1 1 0 1 11 1 1 0 1

Base MatrixParity-Check Matrix

z

・threshold・error floor・encoding・decoding ・error floor

・encoding

cyclic component

zero-matrix

図 2: QC-LDPC符号の基本行列とパリティ検査行列

1.3 本論文の内容

本論文は適応符号化に適した高利得QC-LDPC符号の構成法とそれを利用した HARQ

方式および LDPC符号/ターボ符号の復号法に関する研究成果をまとめたものである。既

存の方式よりも優れた特性と実装容易性を両立することを目指している。特に符号構成で

は高速通信時に適用されることが想定される高符号化率の復号が効率的であることにプラ

イオリティをおいていて、高速通信に対応しながら復号器の小型化を狙っている。

以下、各章の内容を説明する。

2章では本論文の導入として Shannon限界、LDPC符号について主に復号に関する基本

事項と密度発展法による反復閾値の導出に関して説明する。

3章ではQC-LDPC符号のパリティ検査行列の構造を与える基本行列の特性および実装

性について論じ、基本行列の構成案を示す。最初に基本行列の指定によって反復閾値の精

密な評価が可能なことを示す。小さく簡潔な基本行列で優れた反復閾値を達成することが

目標となるが、高次数の列に対応するビットのパンクチャと次数 1の列を導入してこれを

実現するmulti-edge type構成について説明する。符号化実装に関しては多様な符号長に対

しても符号化を容易にするため、パリティ検査行列のパリティ部分にRepeat-Accumulate

(RA)構造を利用する一般的な形態を示す。復号時実装に関しては復号時の行処理や列処

理が出力するメッセージを格納するメモリの個数と基本行列の関係を示す。一方、小さな

基本行列のデメリットとして符号長とは無関係にその構造から決まるQC-LDPC符号の最

小距離上界の存在が挙げられる。この課題に対して、小さな基本行列から巡回成分による

拡大を多段に行ってパリティ検査行列を生成するmulti-stage構成によって基本行列の簡潔

性を失わずにこの最小距離上界を改善可能なことを示す。提案符号構成においては低レー

ト符号のパンクチャではなく、伸長 (lengthening)によって高符号化率符号を構成する。こ

のような構成によって高符号化率符号の実装性および特性を向上させることができる。

4章では基本行列から QC-LDPC符号のパリティ検査行列を構成する巡回行列成分の

探索的な決定方法を論じて、3章で提案した基本行列に対する巡回成分探索手法とその評

価を示す。前述のように最小距離を求めることは一般に非常に困難であるが、基本行列が

1. 序論 6

簡易で最小距離が小さい場合はこれが可能な場合がある。本論文では最も簡易な構造の

(3, k)-regular QC-LDPC符号に対してハミング重み 4, 6という小さな重みの符号語が発

生する際に巡回成分が満たす条件を導く。タナーグラフの girthに基づいて逐次的にパリ

ティ検査行列を構成するアルゴリズムは、QC-LDPC符号の巡回成分探索にもそのまま適

用できる。上記の (3, k)-regular QC-LDPC符号のハミング重み 4, 6の符号語存在の判定

条件を用いて girthに基づく巡回成分選択の有効性を確認する。3章における提案基本行

列は列次数が小さいためにエラーフロア特性は巡回成分の選択に大きく影響を受ける。提

案基本行列の構造を利用してその符号語のハミング重みが小さくなる可能性が高い情報系

列を特定し、girthに基づく汎用的な手法と組み合わせての巡回成分の効率的な探索方法

を提案する。実際に構成した符号と IEEE802.16e LDPC符号や 3GPP LTE ターボ符号

といった従来方式との特性比較をシミュレーションによって行う。

5章では前章までに構成したQC-LDPC符号を用いたHARQ方式を示す。符号化率が低

いmother codeのパンクチャに基づく従来の Incremental Redundancy HARQ(IR-HARQ)

は高速伝送時に利用される高符号化率での特性および復号計算量に関して改善の余地が大

きい。これに対して本論文では高符号化率のmother codeを利用して再送時には短縮符号

化を組織的に行って追加のパリティビットを生成する方式を提案する。この方式では再送

回数が進むにつれて特性の劣化が大きくなるが、通常の拡大符号化に基づくパリティ生成

を併用することでより広い SNRの領域で優れたスループットが達成する。前章までの提

案QC-LDPC符号は情報部分の次数分布が均質となるように設計されているため、この提

案HARQに非常にマッチした構造となっている。シミュレーションによって提案HARQ

は従来の IR-HARQと同程度のスループットを達成し、かつ復号計算量を大きく削減可能

となることを示す。

6章では LDPC符号/ターボ符号の復号諸元解析に関する研究成果について報告する。

LDPC符号の復号器実装に向けての計算量やメモリ・レジスタ量を削減するための主要検

討項目として復号スケジューリングと量子化精度の評価が挙げられる。本研究では密度発展

法を用いてこれらの解析を行う。量子化の影響評価は復号アルゴリズムとして normalized

min-sumアルゴリズムを用い、離散密度発展法 (discretized density evolution)を適用す

ることで精密な評価が可能となる。適応符号化で符号長の自由度を上げるためには多様な

サイズの巡回成分に対応する復号器を構成する必要がある。本研究では実用上有用な、一

定並列度で任意サイズの巡回置換処理を実行する回路構成に関して提案を行う。一方、復

号に関しては特性面においても今後も一層の向上が期待される。LDPC符号/ターボ符号

に対しての最尤復号適用可能性は興味ある問題であり、本論文ではターボ符号のトレリス

複雑度算出を通じて最尤復号 (Viterbi復号) 適用の困難さを示す。また、トレリス複雑度

が小さくなるケースに対して実際に最尤復号を適用し、繰り返し復号との比較を行う。

2. LDPC符号、繰り返し復号、密度発展法 7

2 LDPC符号、繰り返し復号、密度発展法

2.1 はじめに

本章では全体の準備として LDPC符号とその復号法および特性解析の主要ツールとな

る密度発展法について説明する。

2.2節では最初に符号化の理論的限界である通信路容量と Shannon限界について説明す

る。通信モデルとしては最も基本的な BPSK変調-AWGN通信路を想定する。

2.3節では LDPC符号に関して確率伝播法に基づく繰り返し復号を中心に説明する。ア

ルゴリズムとしてはGallager[Gal63]に由来する sum-productアルゴリズムとともに実用

上有用な normalized min-sumアルゴリズムを説明する。本論文で示すシミュレーション

結果は normalized min-sumアルゴリズムを用いて得られたものである。

2.4節ではタナーグラフが木 (tree)の場合の反復閾値を求める手法である密度発展法に

関して説明する。Chungら [CFRU01]によるGauss近似によってAWGN通信路における

sum-productアルゴリズムに対する密度発展法は大きく簡易化される。Normalized min-

sumアルゴリズムに対する密度発展法に関しては量子化の影響評価を行う 6.3節で取り上

げる。

2.2 Shannon限界

　情報理論では通信路は入力を表す確率変数X と出力を表す確率変数 Y との間の条件

付確率P (Y |X)としてモデル化される。X, Y を離散変数とした場合、相互情報量 I(X; Y )

が以下のように定義される。

I(X; Y ) =∑m,n

p(X = xm, Y = yn) logp(X = xm, Y = yn)

p(X = xm)p(Y = yn)

=∑m,n

p(X = xm, Y = yn) logp(Y = yn|X = xm)

p(Y = yn). (1)

ここで∑

m,nはX, Y の値域 {xm}, {yn}に対する和をとることを表す。相互情報量は Y

を受信することによって得られるX の情報量を表している。例えば通信路が完全にラン

ダムでXと Y が独立ならば I(X;Y ) = 0、逆にエラーが全くない通信路であれば I(X; Y )

はX のエントロピH(X)となる。I(X; Y )はX の確率 p(X)を変えることによって変化

するが、この最大値が誤り率 0での通信が可能になる最大の伝送レート（符号化率）を表

す通信路容量となる：

C = maxp(X)I(X; Y ). (2)

{xm} = {yn} = {0, 1}で、p(Y = 0|X = 0) = p(Y = 1|X = 1) = 1 − p, p(Y = 0|X =

1) = (Y = 1|X = 0) = p となる通信路モデルは誤り率 p の 2 元対称通信路 (Binary

Symetric Channel, BSC)と呼ばれる。このとき、p(X = 0) = p(X = 1) = 1/2のときに


相互情報量は最大となり、通信路容量は

C = 1 + p log2 p + (1− p) log2(1− p) = 1− h(p), (3)

となる。ここで hはエントロピ関数 h(p) = −p log2 p− (1− p) log2(1− p)である。

Y が連続変数としてモデル化される連続通信路では (1)の和を積分で置き換えることに

よって相互情報量を求めることができる。以下、本論文では 1ビット毎に’0’に対しては+1,

’1’に対しては-1の信号に変調を行う BPSK変調と、通信路でのノイズの発生をGauss変

数の加算でモデル化する加法的白色Gauss雑音 (AWGN)通信路を考える:

p(Y |X = 0) =1√

2πσ2exp(−|Y − 1|2

2σ2). (4)

p(Y |X = 1) =1√

2πσ2exp(−|Y + 1|2

2σ2). (5)

ここで Y の値域は実数全体であり、σ2 はノイズの分散である。このときも相互情報量

I(X; Y )は p(X = 0) = p(X = 1) = 1/2のときに最大となり、通信路容量は分散 σ2(SNR)

の関数として次のように表せる。

C = maxp(X=0)I(X; Y )

=1√

2πσ2

∫ ∞

−∞(exp(−(y − 1)2

2σ2) log

exp(− (y−1)2

2σ2 )12(exp(− (y−1)2

2σ2 ) + exp(− (y+1)2

2σ2 ))

+ exp(−(y + 1)2

2σ2) log

exp(− (y−1)2

2σ2 )12(exp(− (y−1)2

2σ2 ) + exp(− (y+1)2

2σ2 )))dy　 (6)

Shannon限界は符号化率に対して誤り確率 0でデータ伝送が可能となるノイズの限界で

あり、通信路容量の逆関数として与えられる。通信理論では σ2の代わりにN0/2 = σ2を

用いて、送信信号電力と雑音の分散の比である Signal to Noise Ratio(SNR)であるEs/N0

や、1 情報ビットあたりの送信電力に換算した Eb/N0 = (Es/r)/N0 における復号後の

エラーレートという形で誤り訂正符号の特性を表す (単位 dB)。図 3は通信路が AWGN,

変調方式が BPSKの場合の Shannon限界を示している。図で例えば符号化率 0.5のでは

Eb/N0 = 0.1dB付近が符号化によって誤り率 0となるための SNRの限界となる。

2.3 LDPC符号と確率伝播法に基づく繰り返し復号

符号長 nの（バイナリ）誤り訂正符号 C はサイズm × n(m ≤ n)のパリティ検査行列

H によって定義される:

C = {c = (c0, · · · , cn−1) ∈ GF (2)n : Hct = 0}. (7)

ここでGF (2)は位数 2の有限体, ctは cの転置を表す。C の次元を k(≥ n−m)とすると

HGt = 0となる rank kの k × n行列Gが存在する (k ≤ n −m)。Gを生成行列と呼ぶ。


��

��

�

�

�

�

�

��

rate

RequiredEb/N0(dB)

図 3: BPSK-AWGN通信路の Shannon限界

C はGを用いて次のように表すこともできる。

C = {vG : v ∈ GF (2)k}. (8)

LDPC符号は疎なHを持つ線形符号として特徴づけられる。H が疎であってもGは一般

には疎とはならない。

H に対してその行と列に対応するノードを考え、H の成分が 1となるノード間をエッ

ジで結ぶことによってH を 2部グラフで表現することができる。このようなグラフを符

号 C のタナーグラフと呼ぶ。LDPC符号ではタナーグラフも疎なエッジを持つグラフと

なる。図 4はパリティ検査行列のタナーグラフの例である。

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1

H =

Parity-Check Matrix Tanner Graph

図 4: パリティ検査行列とタナーグラフ

パリティ検査行列Hの列 (行)における 1の個数を列次数 (行次数)と呼ぶ。列次数 j, 行

次数 kで一定の LDPC符号を (j, k)-regular LDPC符号と呼ぶ。Regularではない LDPC

符号は irregular LDPC符号と呼ばれる。

2.3.1 Sum-Productアルゴリズム

Gallager[Gal63]による確率伝播法に基づく繰り返し復号はタナーグラフのノードとな

る列と行において局所的に符号語のビットの尤度に相当するメッセージの更新を行い、こ

れを隣接するノードに伝播することを繰り返すことによって実行される。行および列にお

けるメッセージ更新処理をそれぞれ行処理および列処理と呼ぶ。


符号語のビット ciに対しては最初に受信値 riによって ci = b と推定する確率 Pb(ri) :=

P (ci = b|ri) (b = 0, 1)が与えられる。この確率は ciの事前分布が与えられていない通常

の場合には尤度 P (ri|ci = b)に比例する値で、P0(ri) + P1(ri) = 1となるように正規化さ

れる。

H の (i, j)成分は 1であるとして、列 iに対応する列処理で生成される、行 j へのメッ

セージを τi,jとおく。τi,jは行 jに対応する行処理で使用する確率 Pb(τi,j) = P (ci = b|τi,j)

(b = 0, 1)を与える (P0(τi,u) + P1(τi,u) = 1)。同様に、行 j に対応する行処理で生成さ

れる、列 i へのメッセージを λj,i とおく。λj,i は列 i に対応する列処理で使用する確率

Pb(λj,i) = P (ci = b|λj,i) (b = 0, 1) を与える。

パリティ検査行列H において列 iで成分が 1である行の集合をM(i)で表す (|M(i)| =列 iの次数 di)。Hの (j, i)成分は 1であるとして、確率伝播法に基づく sum-productア

ルゴリズムは次のようにM(i)の行 jに対する Pb(τi,j)を決定する。

P0(τi,j)P1(τi,j)

=P0(ri)P1(ri)

∏

u∈M(i)\j

P0(λu,i)P1(λu,i)

. (9)

一方、行 j において 1 の立っている列の集合を N(j) で表す (N(j) = 行 j の次数 dj)。

Sum-productアルゴリズムの行処理においては次のように λj,i を決定する。

1− 2P0(λj,i)1− 2P1(λj,i)

=∏

t∈N(j)\i

1− 2P0(τt,j)1− 2P1(τt,j)

. (10)

ここで右辺の少なくとも 1個の tについて P0(τj,t) = P1(τj,t) = 1/2 となる場合には左辺

も P0(λj,i) = P1(λj,i) = 1/2とする。

LDPC符号復号の sum-productアルゴリズムは列処理 (9)と行処理 (10)をH のすべて

の列、行に対して行って繰り返し数 1とカウントする。復号開始時の初期値は P0(λj,i) =

P1(λj,i) = 1/2とする。十分に繰り返した後に、次の (11)の正負に従って ciの 0, 1の判定

を行う。P (ci = 0)P (ci = 1)

=P0(ri)P1(ri)

∏

u∈M(i)

P0(λi,u)P1(λi,u)

. (11)

列処理 (9)において Pb(τi,j)を求める際に Pb(λj,i) を使用していないことに注意する。

同様に行処理 (10)において Pb(λj,i)を求める際に Pb(τi,j) を使用していないことに注意す

る。この性質からタナーグラフが木であれば (9)と (10)を繰り返しても各ノードへの入力

となるメッセージは独立となる。このことから次の命題が成り立つ。

命題 2.1 [Gal63] 通信路が無記憶であり、タナーグラフが木であれば sum-productアル

ゴリズムは事後確率最大復号となる、つまり符号語C = (c0, c1, · · · , cn−1)とその受信系列

Y に対して、各 iについて arg maxb∈{0,1}P (ci = b|Y )を出力する復号法となる。

グラフにおけるサイクルの最小値を girthと呼ぶ。タナーグラフの girthが gであれば

sum-productアルゴリズムにおいて bg/4c未満の繰り返し数まではメッセージの独立性が


保証される。タナーグラフが木の場合には g = ∞であるとみなせる。g = 4の場合は繰

り返し数 1でメッセージの独立性が保証できなくなるために sum-productアルゴリズム

の特性が著しく劣化する場合が多く、LDPC符号の設計においては通常 g > 4を満たす

ことが必要条件となる。一方、符号長が十分大きい場合に大きな girthを持つ符号が構成

できるかという問題に関して、Gallager[Gal63]は列次数が J ,行次数が K で一定である

(J,K)-regular codeにおいて符号長 nが

　 n > ((J − 1)(K − 1))g/2 JK − J −K

2K, (12)

を満たせば girthが gより大きくなるようなパリティ検査行列が構成可能であることを示

した。しかし、例えば繰り返し数 4までのメッセージが独立となるためには g > 16となる

必要があり、これは符号長 1/2の (3, 6)-regular codeの場合であっても (12)は n > 108と

なり、現実的な符号長とはならない（本研究では n < 104程度の符号長を想定）。LDPC

符号復号への sum-productアルゴリズム適用では繰り返し数は通常 10以上が想定される

ため、このメッセージの独立性の観点から sum-prodcutアルゴリズムの特性を評価するこ

とは無理があるが、Richardson and Urbanke[RU01-1]は regular LDPC符号アンサンブ

ルに対して次の性質が成り立つことを示した。

[concentration] 誤り確率は n →∞のとき符号に依らずに一定の値に収束する。

[tree caseへの収束] 上記において誤り確率はタナーグラフが木の場合の値に収束する。

上記の性質は、符号長が十分に大きい場合には girthはそれほど大きくならなくても、同

一次数分布でタナーグラフが木の場合の特性がその符号の特性の良い指標となることを示

している。

BPSK-AWGN通信路に対しては sum-productアルゴリズム (9)(10)を簡潔な計算に帰

結することができる。符号器への受信値入力 ziは受信値の対数尤度比 (log-likelihoof ratio,

LLR) log P0(ri)P1(ri)

で表されているとする。Riは平均 1もしくは−1, 分散 2σ2のGauss変数

となる。信号電力 1, ノイズ分散 σ2の場合には受信値 riに対して ziは次のようになる:

zi =2σ2

ri. (13)

λj,tや τi,uも同様に対数尤度比で表すとする。

xi,j = logP0(τi,j)P1(τi,j)

. (14)

yj,i = logP0(λj,i)P1(λj,i)

. (15)

このとき (9)は (16)で表すことができる。

xi,j = zi +∑

u∈M(i)\jyi,u. (16)


一方、(9)は (17)(18)で表すことができる。

|yj,i| = 2 tanh−1(∏

t∈N(j)\itanh(|xj,t|/2)). (17)

sgn(yj,i) =∏

t∈N(j)\isgn(xj,t). (18)

ここで sgn(x)は

sgn(x) =

+1, if x ≥ 0,

−1, if x < 0.(19)

であり、xの硬判定 (+→ bit 0, −→ bit 1)に対応する。

2.3.2 Normalized Min-Sumアルゴリズム

(17)の右辺の積において、0 < tanh(x) < 1から、

∏

t

tanh(|xj,t|) ∼ mint tanh(|xj,t|) (20)

という近似を考えると行処理 (17)は次のようになる:

|yj,i| = mint∈N(j)\i

|xj,t|. (21)

sgn(yj,i) =∏

t∈N(j)\isgn(xj,t). (22)

Min-sumアルゴリズムは列処理は sum-productアルゴリズムと同一で、行処理を (21)と

(22)で実現する。Min-sumアルゴリズムと sum-productアルゴリズムの大きな差異は (21)

が xj,lの線形な演算になっていることである。このとき復号結果は σ2に依存しないため、

σ2を推定する必要がなく、また、行処理においては単に比較を行なうだけなので受信値お

よびメッセージを整数化して処理することも容易となる。さらに行処理 (21)においては

|xj,0|, · · · , |xj,dj−1| の中の最小値とそのインデックスおよび 2番目の最小値を求めること

に帰着されるため、実装上は非常に簡易になる。

Sum-productアルゴリズムとmin-sumアルゴリズムの行処理出力を比較すると (22)か

ら正負は同一で、絶対値は (20)の近似からmin-sumアルゴリズムの出力が常に大きくな

る [CF02]。つまり、min-sumアルゴリズムは sum-productアルゴリズムの楽観的な近似

を行っていることになるため、(21)に対しての補正を行う正規化 (normalized) min-sum

アルゴリズムが考えられる:

|yj,i| = α mint∈N(j)\i

|xj,t|. (23)

ここで αは 1以下の正の係数である。Normlized min-sumアルゴリズムはmin-sumアル

ゴリズムの特徴を保ったまま特性を大きく改善することが可能となる。最適な αは符号や

SNRによって異なるが 0.8付近となることが多い。αの精度の特性への影響は大きくはな


く、計算が容易な 3/4 = 1− 1/4や 13/16 = 1− 1/8− 1/16といった設定で十分となるこ

とが多い。また、irregular LDPC符号では列次数などに応じて αの設定を変えることで

エラーフロア特性を改善できる場合もある。特に次数 1, 2の列へのメッセージに対しては

α = 1（正規化なし）と設定することは効果的となる [Mar07]。本研究で実施しているシ

ミュレーションも特に断らない限り次数 1, 2の列に対するメッセージは α = 1, それ以外

の次数の列に対しては α = 13/16もしくは 3/4を用いている。

2.4 密度発展法

前述のように LDPC符号に sum-productアルゴリズムやmin-sumアルゴリズムを適用

して復号を行う場合にはタナーグラフを treeとみなして確率変数であるメッセージ xi,j ,

yj,iの確率（密度関数）を評価することでその特性を見積もることができる。復号の繰り返

しに伴いその確率が変化することからこのような解析は密度発展法 (density evolution)と

呼ばれている [Gal63, RU01-1]。行処理および列処理はそれぞれ行次数および列次数のみ

によって決定されるため、密度発展法も行次数および列次数が与えられれば実行すること

ができる。このときの復号後のビットエラーレートが 0（もしくは十分に小さい値）にな

るための SNRや入力ビットエラーレートの限界値を反復閾値 (threshold)と呼ぶ。AWGN

通信路などでは復号特性は送信符号語に依存しないため、以下、all 0の符号語が送信され

た状況での密度発展法を考える。

Chungら [CFRU01]は sum-productアルゴリズムにおいて xi,jや yj,iをGauss変数とみ

なしてその密度関数の発展を追う手法を提案した。一般にGauss変数は平均mと分散 σ2

を用いて表すことができるが、次の性質が成り立つときに”対称性”を満たすと言われる：

σ2 = 2m. (24)

(13)の ziは対称性を満たす。このとき、密度発展法においては平均値mj,iの変化を追えば

十分となる。すべてのmj,iが十分に大きくなるような SNRの限界によって反復閾値の近

似値を得ることができる。l回目の繰り返しにおける yj,iの平均値をm(l)j,i とおく。Chung

ら [CFRU01]は BPSK-AWGN通信路で次の関係が成り立つことを示した。

m(l)j,i = ψ−1(1−

∏

t∈Nj\i(1− ψ(m0 +

∑

u∈M(t)\jm

(l)t,u))). (25)

ここでm0は ziの平均値 2/σ2であり、

ψ(x) =

1− 1√4πx

∫∞−∞ tanh(u/2) exp(− (u−x)2

4x )du, if x > 0,

0, if x ≤ 0.　 (26)

Chung[CFRU01]は ψ(x)次の関数で精度良く近似できることを示した：

ψ(x) ∼ exp(−0.4527x0.84 + 0.0218).


表 1: [RSU01]の符号化率 1/2の irregular LDPC符号の反復閾値 (抜粋)

最大列次数 dM 4 6 8　 10 12

η2 0.38354 0.33241 0.30013 0.25105 0.24426

η3 0.04237 0.24632 0.28395 0.30398 0.25907

η4 0.57409 0.11014 0.00104 0.01054

η5 0.05510

η6 0.31112

η8 0.41592 0.01455

η10 0.43853 0.01275

η12 0.40373

ρ5 0.24128

ρ6 0.75877 0.76611 0.22919

ρ7 0.23389 0.77081 0.63676 0.25475

ρ8 0.36324 0.73438

ρ9 0.01087

反復閾値 (Eb/N0(dB)) 0.8085 0.6266 0.4483 0.3927 0.3727

行次数および列次数が一定の regular LDPC符号でタナーグラフが treeとなる場合には

y(l)j,i は同一の確率変数となる。この平均値をm(l)とおく。このとき、列次数 dv, 行次数 dr

の regular LDPC符号では (25)は次のように簡潔に表すことができる:

m(l) = ψ−1(1− (1− ψ(m0 + (dv − 1)m(l−1)))dr−1). (27)

Richardsonら [RSU01]は行次数と列次数の分布（次数分布）を考えて irregular LDPC

符号の密度発展法においてメッセージを平均化する手法を提案した。タナーグラフにおい

て列次数 iのエッジの割合を ηi, 行次数 jのエッジの割合を ρjとおく。このとき、メッセー

ジの平均値の発展は次のように表すことができる。

m(l) = ψ−1(1−∑

j

ρj(1− ψ(m0 +∑

i

ηi(i− 1)m(l−1)))j−1). (28)

[RSU01]における irregular LDPC符号の反復閾値の例を表 1に示す。符号化率 1/2の

符号の Shannon限界は 0.18dB付近のため、dM = 12で符号長→ ∞において Shannon

限界まで 0.2dB程度の特性を達成できる見込みとなる。Chungら [CFRU01]は最適化を

推し進めて dM = 8000で Shannon限界まで 0.0045dBの反復閾値となる次数分布を発見

することに成功した。

[RSU01]は優れた反復閾値を達成する次数分布において次のようなルールを見出した。

(a) 列次数は主に 2, 3, dM。


(b) (a)において η2は”stable condition” [RSU01]の限界に近い値 (次数 2の列の比率を

ある条件下で最大にする)。

(c) 行次数は ρj , ρj+1と隣接する次数に限定。

表 1はこのルールに従った結果で、反復閾値は最大列次数で制限される。Richardson and

Urbanke[RU04]は “multi-edge type”のコンセプトに基づき最大列次数を抑えて簡潔な符

号構成でかつ反復閾値が良いパリティ検査行列を構成可能なことを示した (3.2節参照)。

3. QC-LDPC符号の基本行列構成 16

3 QC-LDPC符号の基本行列構成

3.1 はじめに

本章ではQC-LDPC符号の基本行列について反復閾値、実装性、エラーフロアの観点か

ら検討を行い、適応符号化に適した基本行列案を示す。

基本行列が与えられたときには単に次数分布に基づくのではなく、その構造に合わせて

密度発展法を行うことで反復閾値をより正確に求めることができる。3.2節では最初に平均

としては同一の次数分布で基本行列の構成によって反復閾値が異なる例を示す [岡村 02-2]。

Richardson and Urbanke[RU04]や Kasai[KSS03]はmulti-edge type、もしくは detailed

degree distribution として次数分布をより詳細に与えることで反復閾値を改善することが

可能なことを示した。特にRichardsonらのmulti-edge typeは列次数の高いビットのパン

クチャと列次数 1のビットを導入することで最大列次数を抑えて優れた反復閾値を達成可能

なことを示した。これは優れた反復閾値を持つ簡潔な基本行列の構成につながる発見となっ

た。基本行列に対するタナーグラフはThorpeら [Tho03]における “protograph”に対応す

る。Divsalarらは彼らの考えてきたAccumulate-Repeat-Accumulate (ARA) code[AYD04]

が簡潔な protographで表せることを見出し、この protographを変形することで優れた特

性を持つ符号構成を行った [DJDT05]。

基本行列は反復閾値だけではなく実装性にも影響を与える。3.3節ではQC-LDPC符号

に続いてTanner[TSSFC04]による符号長の線形オーダーの計算量で符号化可能なRepeat-

Accumulate (RA) タイプのQC-LDPC符号のクラスについて説明する。一方、復号にお

いて基本行列はメモリ個数を決定する大きなファクターとなる。本節ではこのメモリ個数

を抑える基本行列の構成についても検討を行う [岡村 05]。

MacKay and Davey[MD99]は regular QC-LDPC符号で巡回成分の大きさに依存せず

に、基本行列の構造のみで決まるハミング重みを持つ符号語が存在することを示した。こ

の性質は零行列を含めた irregular QC-LDPC符号に関しても適用される [Kam04]。3.4節

ではこのような最小距離限界がエラーフロア特性を決定する例を示す [岡村 05]。

3.5節ではmulti-stage構成における符号化処理に関して最初に説明を行い、続いて前述

のQC-LDPC符号の最小距離限界のmulti-stage構成による改善効果を明らかにする。

3.6節では上記までの考察に基づき、適応符号化に適した multi-edge typeかつ multi-

stage構成を用いた基本行列の構成案を示す。

3.2 基本行列, Protograph, Muti-Edge Type

　次のようなパリティ検査行列H を考える：

H =

A0,0 A0,1 · · · A0,K−1

A1,0 A1,1 · · · A1,K−1

· · · · · ·AJ−1,0 AJ−1,1 · · · AJ−1,K−1

.　 (29)


ここでAj,kはサイズ z × zの正方行列で、Aj,kの各行、各列における 1の個数は一定であ

る。この 1の個数をAj,kの次数と呼び、wj,kで表す。wj,k = 0はAj,kが z× zの零行列で

あることを表し、wj,k = 1の場合は置換行列となる。符号長はKzであり, (K − J)/Kを

設計符号化率 (design rate)と呼ぶ。実際の符号化率は設計符号化率以上となる。サイズ z

に対して小さな次数を設定することでH は低密度となる。すべての wj,kが同一の場合は

regular LDPC符号となる。Gallager[Gal63]はwj,k = 1の regular LDPC符号でランダム

置換行列を用いてタナーグラフが与えられた girthを達成するための符号長の十分条件を

求めた。wj,k = 1の場合にはサイクルに関して次の命題が成り立つ。

命題 3.1 [Gal63, Fan00] (29)においてwj0,k0 = · · · = wjd−1,kd−1= 1となる (j0, k0), · · · , (jd−1, kd−1)

に対して次の正方行列Aを考える。

A =d−1∏

p=0

Ajp,kpA−1jp+1,kp

. (30)

jp 6= jp+1, kp 6= kp+1, jd = j0. (31)

このときタナーグラフにおいて (j0, k0) → (j1, k0) → (j1, k1) → · · · → (jd, kd−1) =

(j0, kd−1) → (j0, k0) に対応する経路の長さ 2dのサイクルと Aの不動点は 1対 1に対応

する。

HのAj,kをwj,kで置き換えた J×Kの整数行列を本論文ではHまたは符号Cの基本行

列と呼ぶ。パリティ検査行列に対するタナーグラフと同様に、基本行列を 2部グラフで表

すことができる。このグラフは基本行列の行と列に対応するノードを持ち、これらのノー

ドを wj,k個のエッジで結んで構成される。Thorpeら [Tho03]に倣ってこのようなグラフ

を protograph と呼ぶことにする。図 5は基本行列と protographの例である。

HB = 1 2 0 12 1 1 11 1 3 1

図 5: 基本行列と protograph

同一の基本行列を持つ LDPC符号の反復閾値は同一となるが、基本行列が与えられた

場合には表 1のように単純に次数分布が与えられた場合と比較して密度発展法の精密化を

図ることがことができる。Sum-productアルゴリズムを l回繰り返したときに (25)のよう

にAj,kに対応するエッジに対する行処理の出力メッセージの平均値を λ(l)j,kとおくと {λ(l)

j,k}は {λ(l−1)

j,k }を用いて次のように計算することができる。rk は Aj,k の受信値の対数尤度比

の平均値である。

λ(l)j,k = ψ−1(1− (1− ψ(rk + (wj,k − 1)λ(l−1)

j,k +∑

u6=j

wu,kλ(l−1)u,k ))wj,k−1　


·∏

t 6=k

(1− ψ(rt + (wj,t − 1)λ(l−1)j,t +

∑

u6=j

wu,tλ(l−1)u,t ))wj,t). (32)

Irregular LDPC符号では (28)のように次数分布で平均化して求めた反復閾値と (32)によって基本行列の構造を考慮して求めた反復閾値は異なってくる。例えば次の 2種類の基本行列を考える [岡村 02-2]。

HB1 =

1 1 0 0 1 1 1 1 0 01 1 0 1 0 1 1 0 1 01 1 1 0 1 0 0 1 0 11 1 1 1 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 0 0 0 0 1

, HB2 =

1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 0 0 01 1 1 0 1 1 0 1 0 01 1 1 1 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 0 0 0 0 1

HB1, HB2ともに次数 2, 3, 5の列がそれぞれ 2/5, 2/5, 1/5, 列次数はすべて 6となるため

に次数分布は同一である。しかし、(32)を用いて密度発展法 (Gauss近似)を実行すると反

復閾値はHB1では 0.896, HB2では 0.898となり、H2の方が良い結果となる。

(32)と同様に、Richardson and Urbanke[RU04]は次数分布をノードのクラス毎に詳細

に与える形で密度発展法を精密化する手法を提案し、このように次数分布を詳細に指定し

た LDPC符号をmulti-edge typeと呼んでいる。符号長のバリエーションや記述の簡易

さから小さな基本行列が望ましいが、一般には基本行列のサイズの制限は反復閾値を制限

することにつながる。Richardson and Urnbake[RU04]はmulti-edge type の検討の中か

ら高次数の列に対応するビットのパンクチャと次数 1の列の活用で最大列次数を抑えた比

較的小さな基本行列で優れた復号特性を達成可能なことを見出した。このような符号の統

一的なクラスとしてDivsalarらによるARA(Accumulate-Repeat-Accumulate) codeのク

ラスが知られている [AYD04, DDJ05]。

図 6にレート 1/2のAR3A codeの符号器を示す [AYD04]。Accumulator 1/(1 + D)を

2個備えていて、前段の accumulatorは precoderの役割となっている。”puncture X0”

と”puncture 0X”は相補的な 2 : 1のパンクチャを表している。πはインターリーバであ

る。インターリーバの前で 3重化 (repetition)の処理が行われている。図 7は図 6のARA

codeの protographであり、基本行列はレート 1/2の場合には次のようになる。

HB =

1 1 2 0 0

1 0 2 1 1

2 0 1 1 1

.

HBの右 3列がパリティに対応し、先頭列に対応するパリティはパンクチャされる。高レー

ト符号は図 7のように次数 3の列を伸長することによって得られる。


D

Puncture X0

Puncture 0X

�

�

�

�

�

�

MUX

D

Puncture 00X

図 6: 符号化率 1/3のAR3A codeの符号器

1/2

2/3

input

input

��

parity (punctured) parity

図 7: AR3A codeの protograph


3.3 実装性を考慮した基本行列構成

3.3.1 QC-LDPC符号

(29)に示したパリティ検査行列

H =

A0,0 A0,1 · · · A0,K−1

A1,0 A1,1 · · · A1,K−1

· · · · · ·AJ−1,0 AJ−1,1 · · · AJ−1,K−1

.　 (33)

においてAj,kを巡回行列 (零行列含む)に制限することで擬似巡回 (Quasi-Cyclic, QC)LDPC符号が構成される。Aj,kはwj,k個のシフト値（整数値）によって表すことができる。wj,k = 1の場合は巡回置換行列となり、サイズ zと行の右方向へのシフト値 aを用いてこれを I

(a)z

で表す。I(0)z は単位行列である。例えば I

(1)5 は次のようになる。

I(1)5 =

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 0

.

次の命題 3.2はQC-LDPC符号の定義から直接導くことができる。

命題 3.2 　 Aj,k のサイズを z × zとして、(33)の符号語を c = (c0, c1, · · · , cK−1), ci =

(ci,0, ci,1, · · · , ci,z−1)とおく。このとき c(p) = (c(p)0 , c

(p)1 , · · · , c(p)

K−1), c(p)i = (ci,p, ci,(p+1)mod z,

· · · , ci,(z−1+p)mod z)も符号語になる。

この性質を用いてQC-LDPC符号では低重み情報ビットに基づく巡回成分探索を効率化す

ることができる (4.4節)。

QC-LDPC符号のタナーグラフにおけるサイクルの存在は命題 3.1からAj,kのシフト値

を用いて判断することができる。

命題 3.3 [Fos04] 命題 3.1の (31)において wj0,i0 = · · · = wjd−1,id−1= 1 であるとして、

Ajp,ip = I(ajp)z とする。このとき、

d−1∑

p=0

(ajp,ip − ajp+1,ip) = 0 mod z, jp 6= jp+1, ip 6= ip+1, jd = j0, (34)

が成り立てばタナーグラフにおいて (j0, i0) → (j1, i0) → (j1, i1) → · · · → (jd, id−1) =

(j0, id−1) → (j0, i0) に対応する経路の長さ 2dのサイクルが z個存在する。

命題 3.1では置換Aの不動点とタナーグラフのサイクルが対応付けられたが、Aj,kが巡

回行列の場合は Aは単位行列の場合はすべて不動点で、そうでない場合は不動点を持た

ない。つまり、(j0, i0) → (j1, i0) → (j1, i1) → · · · → (jd, id−1) = (j0, id−1) → (j0, i0) は


(j0, i0)上のどの始点を選んでも同一のパスとなる。つまり、QC-LDPC符号では girthを

求める処理も効率的になる。

QC-LDPC符号は実装上次のような特徴を持つ：

(a) Aj,k は wj,k 個のシフト値で表現可能なため、H の記述が非常に簡潔になる。HB の

成分の和を Sとすると、HB と 0から z − 1までの高々S個の整数でH を記述する

ことが可能となる。

(b) LDPC符号の確率伝播法に基づく繰り返し復号は列処理や行処理の出力であるメッ

セージをメモリに格納し、それを反復的に列処理、行処理で更新することによって

行われる。このときQC符号ではアドレス生成などメモリアクセス処理が簡易化さ

れる。

(c) 複数の z、つまり複数の符号長に対しても統一的な符号器、復号器の構成が可能と

なる。

(d) シフトレジスタを用いた符号器が適用可能となる。

(b)(c)に関して、本論文では 3.3.3節で基本行列とメモリ個数の関係について、6.4節で適

応符号化 (z可変)と並列化の関係に関して論じる。(d)に関して、QC-LDPC符号のシフ

トレジスタを用いた一般的な符号器の構成が例えば [LCZLF06]に述べられているが、本

論文では適応符号化 (z可変)でも統一的に簡易な符号器が適用可能となるように、符号長

の線型オーダーの計算量で符号化処理が可能な符号クラスに関して 3.3.2節で論じる。

QC-LDPC符号のこれらの性質は実装上非常に有用である。各種標準で採用されている

LDPC符号も擬似巡回型である [DVB04, 16e06, CCSDS07]。代数的構成も多くの場合で

QC-LDPC符号として構成される [Fan00, CXDL04, Kam04]。

3.3.2 符号化を考慮した基本行列設計

Richardson and Urbanke[RU01-2]はLDPC符号符号化処理の一般的な手法を提案した。

パリティ検査行列の行、列の順序を入れ替えて下三角行列である T が大きくなるように変

形する:

H =

A C T

B D E

. (35)

(35)の成分はすべて疎な部分行列となる。(35)で列ブロック

A

B

が情報部分に対応す

るとする。情報系列を u、

C

D

と

T

E

に対応するパリティをそれぞれ p1, p2とおく。

このとき次のように p1, p2を求めることが可能である。

(a) y = (B + ET−1A)ut.


(b) pt1 = (D + ET−1C)−1y.

(c) pt2 = T−1(Aut + Cpt

1).

ここで’t’は転置を表す。

(b)においてH の冗長な行を取り除き、適切に列を入れ換えれば右辺の (D + ET−1C)

の逆元は常に存在する。T は三角行列のため、疎な T に対しては T−1の乗算の計算量は

符号長に対して線形オーダーで実行可能である。よって (b)の逆元の乗算を除き、この符

号化処理は符号長に対して線形オーダーの計算量である。(b)の右辺の正方行列のサイズ

|D|を gapと呼ぶ [RU01-2]。この符号化の計算量は符号長 nに対してO(n +C|D|2)(Cは定数)と表すことができる。(3, 6)-regular codeであれば |D| ∼ 0.06nとなることが知られ

ている [RU01-2]。符号器の実装において |D| > 1の場合はこの逆行列の演算を用意する必

要があり、適応符号化で多様な符号長に対して統一的な符号器で符号化を実行するために

は |D| = 0となる符号クラスが望ましい。

Regular QC-LDPC codeの場合、一般に |D| = 0となるのは (2, k)-regularの場合であ

る。次の命題が成り立つ (Tanner[TSSFC04]参照)。

命題 3.4

HRA =

I

(a0,0)z I

(a0,1)z

I(a1,0)z I

(a1,1)z

(36)

において、

gcd(a0,0 − a1,0 + a1,1 − a0,1, z) = 1 (37)

が成り立てばHpのタナーグラフの girthは 4z, rankは (2z − 1)となり、KerHpは all 1

のベクトルで張られる空間となる。

(証明) Hpの構造からHpのタナーグラフのサイクルの長さは 4の倍数であり、このタナー

グラフが長さ 4gの cycleを持つためには、命題 3.3から

g · (a0,0 − a1,0 + a1,1 − a0,1) ≡ 0 mod z,

が成り立つ必要がある。(37)の仮定から、この等式が成り立つためには g ≡ 0 mod zが成り立つ必要があり、これを満たす最小の g(> 0)は zである。よってHpのタナーグラフのgirthは 4zとなる。このとき長さ 4zのこの cycleに沿ってHP の行、列の順序をそれぞれ入れ替えると次に示すRepeat-Accumulate (RA)タイプの行列となる。

1 0 0 · · · 0 0 11 1 0 · · · 0 0 00 1 1 · · · 0 0 0· · · · · · · · ·0 0 0 · · · 1 1 00 0 0 · · · 0 1 1

. (38)

この行列の rankは明らかに 2z − 1(”full rank −1”)である。各行の次数は 2(偶数)のた

め、all 1のベクトルが 0でない唯一の kernelの元となることがわかる。 □


この命題を用いて |D| = 0となる一般的な基本行列として次のHB を導くことができる

（サイズを J ×K とする）。

HB =

w0,0 w0,1 · · · 1 0 · · · 0 0 0

w1,0 w1,1 · · · w1,K−J 1 · · · 0 0 0

· · · · · · · · · · 0 0 0

wJ−3,0 wJ−3,1 · · · wJ−3,K−J wJ−3,K−J+1 · · · 1 0 0

wJ−2,0 wJ−2,1 · · · wJ−2,K−J wJ−2,K−J+1 · · · wJ−2,K−3 1 1

wJ−1,0 wJ−1,1 · · · wJ−1,K−J wJ−1,K−J+1 · · · wJ−1,K−3 1 1

.

(39)

(39)において (K − J)以降の J 個の列がパリティに対応する。このパリティに対応する

HB の部分行列において左上部の (J − 3) × (J − 3)部分行列は w0,K−J = w1,K−J+1 =

· · · = wJ−3,K−3 = 1を満たす三角行列となっている。パリティ検査行列H = (Aj,k)(Aj,k

のサイズは z)ではこの対角成分に対して一般性を失うことなく単位行列をアサインする

ことができる:

A0,K−J = A1,K−J+1 = · · · = AJ−3,K−3 = I(0)z .

一方、最後尾の列K − 2とK − 1に対応する部分行列は下位 2行以外は 0で、右下部は

wJ−2,K−2 = wJ−1,K−2 = wJ−1,K−1 = wJ−2,K−1 = 1となっている。この部分に対応する

パリティ検査行列

Hp =

I

(aJ−2,K−2)z I

(aJ−2,K−1)z

I(aJ−1,K−2)z I

(aJ−1,K−1)z

(40)

において命題 3.4の性質を満たすように aj,kを選択する。HB の最下位 2行の各列に関し

ては次の条件 (A)が成り立つように構成する:

　 (A) wJ−2,k + wJ−1,kは偶数である (k = 0, · · · ,K − 1)。

以上の準備の下、H = (Aj,k)に対しての符号化を次のように行なうことができる。情報

ビット列をブロック単位で順に u0, u1, · · · , uK−J−1, パリティビット列をブロック単位で順

に p0, p1, · · · , pJ−1で表す。

pt0 =

K−J−1∑

k=0

A0,kutk. (41)

ptj =

K−J−1∑

k=0

Aj,kutk +

j−1∑

k=0

Aj,K−J+kptk, for j = 1, · · · , J − 3. (42)

st1 :=

K−J−1∑

k=0

AJ−2,kutk +

J−3∑

k=0

AJ−2,K−J+kptk. (43)

st2 :=

K−J−1∑

k=0

AJ−1,kutk +

J−3∑

k=0

AJ−1,K−J+kptk. (44)

(pJ−2, pJ−1)t = H−1p (s1, s2)t. (45)


Aj,kによる積は単なるシフト演算であり、巡回的に情報ビットやパリティビットを読み

込むことで実現できるため、(41)-(44)は符号長Kzに対しての線型オーダの計算量で実現

できる。また、条件 (A)から長さ 2zのビット列 (s1, s2)のハミング重みは常に偶数になる

ことに注意する。このとき命題 3.4からHp(pJ−2, pJ−1)t = (s1, s2)tは解を持ち、(45)の

H−1p による演算は (38)の構造を用いて後退代入によって行うことができる。ここで命題

3.4から rank(Hp)= 2z − 1のために PJ−2, PJ−1の 1 bitに情報を割り当てることができ

るが、本論文ではこれを考慮せず、簡単のため design rate (K − J)/Kとして扱うことに

する。

以上のように (39)をパリティ検査行列に持つQC-LDPC符号に対して (41)-(45)によっ

て符号長Kzの線型オーダーの計算量でパリティp0, · · · , pJ−1を求めることができること

がわかる。

3.3.3 復号処理におけるメモリを考慮した基本行列設計

LDPC符号はサイズも大きいため、その復号処理を実現する回路は一般に図 8のように

受信値やメッセージをメモリに保持し、これを逐次読み出して列処理および行処理で更新

してまたメモリに書き込むといった処理を繰り返す構成となる。ここで処理速度を上げる

ためにはプロセッサで処理する受信値やメッセージをメモリから効率良く読み出すことが

必要であり、メモリアクセスの衝突が起こらないようにすることが望ましい。小さなメモ

リに分割すれば一般に衝突が起こらないようにはできるが、同一容量でもメモリの個数の

増加は復号装置全体に対して大きなインパクトとなり、なるべくメモリの個数を大きくせ

ずに衝突を回避できることが望ましい。本節では繰り返し復号でシリアルスケジュールを

適用した場合の受信値を格納するメモリの個数に注目する。

Memory of Messages

Memory of Received Values Column Processors

Row Processors

iteration

図 8: LDPC符号の復号器の基本構成

(29)で示した H においてすべての j, k について wj,k = 1 or 0である場合を考える。

wj,k = 1であるAj,k = I(aj,k)z の第 l列に対応するタナーグラフのエッジを ej,k,l (0 ≤ l < z)、

ej,k,l に対応する復号時の列処理の出力メッセージを xj,k,l, 行処理の出力メッセージを yj,k,l

で表す。また ej,k,lに対応する符号語ビットの受信値の対数尤度比を rk,lとおく。行ブロッ

ク jの次数を d(j)で表し、wj,k = 1となる kを k0, · · · , kd(j)−1とおく。シリアルスケジュー


ルにおいては 1 iterationは、j = 0 から J − 1の行ブロックに対して順に (a)(b)の処理を

行う:

(a) (列処理) 0 ≤ i < d(j), 0 ≤ l < zに対して

yki,l = rki,l +∑

j′ 6=j

xj′,ki,l (46)

を計算する。

(b)（行処理） 0 ≤ i < d(j), 0 ≤ l < zに対して

xj,ki,(aj,ki

+l) mod z= F (y

k0,(aj,k0+l) mod z, · · · , y

ki−1,(aj,ki−1+l) mod z,

yki+1,(aj,ki+1+l) mod z

, · · · , ykd(j)−1,(aj,kd(j)−1

+l) mod z). (47)

を計算する。ここで F は行処理を表す関数で、Aj,k = I(aj,k)z とする。

シリアルスケジュールは繰り返し復号の収束速度の点でメリットがあり、行処理全体と

列処理全体を交互に繰り返すパラレルスケジュールと比較してほぼ 1/2の繰り返し数（復

号計算量）で同一の特性を達成することができる（この解析については 6.2節で行う）。

シリアルスケジュールに基づく復号処理の実装においては

Yki,l = rki,l +∑

j′xj′,ki,l (48)

をメモリに保持し、(46)の処理は

yki,l = Yki,l − xj,ki,l (49)

とすることで簡易化できる。(47)で生成された xj,ki,lを用いて Yki,lは

Yki,l = yki,l + xj,ki,l (50)

と更新して、メモリに保持される。

図 9はH に対して行ブロック単位に処理を行うシリアルスケジュールの復号器アーキ

テクチャの概略である。図で”Memory Yk”が (48)の (Yk,0, · · · , Yk,z−1)を保持するメモリ

を、”Memory x”が xj,k,l を保持するメモリを表している。“Column Proc(−)’s”は (49)

を行うプロセッサ群で、“Column Proc(+)’s”は (50)を行うプロセッサ群である。”cyclic

shift Aj,k”はAj,kの巡回置換処理を実行する回路であり、”cyclic shift A−1j,k” はA−1

j,k に対

応する回路である。

Irregular LDPC符号のシリアルスケジュールでは各行ブロック毎に kiが異なることに

注意する。このとき、図 9で (b)の行処理の関数 F の入力数をK と設定して、wj,k = 0

となるブロックに対してはダミーの値（行処理に影響を与えない、十分大きな rj）を用い

ることで対処するか、“Memory Yi”群と”cyclic shift Ai,k”群の間でセレクタを用意して

行ブロック単位で制御を行うといった方法が考えられる [Hoc03]。


Memory YK-1

Memory Y1

Memory Y0

ColumnProc(-1) ‘s

Memory x

RowProcessors

ColumnProc(+) ’s

cyclicshiftAj,0

cyclicshiftAj,0-1

�

�

�

�

�

�

�

�

�

cyclicshiftAj,K-1

cyclicshiftAj,K-1-1

図 9: シリアルスケジュールに対する復号器アーキテクチャ

これに対し、同時に 1となる行が存在しない列 k, k′に対応する Yk,lと Yk′,lを同一メモ

リに保持してもシリアルスケジュールではアクセス時に collisionが発生しないことに注意

する。このときこうした性質を満たす基本行列内の列をグループ化し（その結果を”列グ

ループ”と呼ぶことにする）、列グループに対してメモリを割り当てることで独立なメモ

リの個数を小さくすることができる。このときメモリと復号器プロセッサ間の制御を簡易

化することも可能となる。逆に、シリアルスケジュールで復号器を実装する上では基本行

列の設計時点から列のグルーピングについて考慮することが効果的で、列グループの最小

値（最小列グループ数）を小さくする構成を行うことが望ましい。列グループを効率良く

生成するための一つの方法は基本行列の設計においても置換行列を並べて構成する方法で

ある。例えば次の 6× 12のRA構造を持つ基本行列 HB1 とHB2 で、HB1 は最小列ブロッ

ク数 8であるが、HB2 は次数 3の列ブロック (k = 2, 3, 4, 5)を 2× 2の置換行列を並べて

構成しており、最小列グループ数は 6となる。

HB1 =

11 1101 10000111 1010 11000011 0100 01100011 1001 00110011 0011 00011011 0110 000011

. HB2 =

11 0101 10000111 1010 11000011 0110 01100011 1001 00110011 0110 00011011 1001 000011

.


3.5節で述べるmulti-stage構成やKronecker積に基づく構成 [Oka03, 岡村 02-1]は列ブ

ロック数を考慮しての基本行列設計となっている。

3.4 最小距離上界を考慮したQC-LDPC符号の基本行列構成

QC-LDPC符号の場合には巡回行列の大きさ zに依存しない、基本行列によって決定さ

れる最小距離の上限が存在する。本節ではこの最小距離の上限を基準にした基本行列設計

について検討する。

零もしくは正の整数値を成分とする正方行列M = (mi,j)0≤i<n,0≤j<n に対してM から

整数への関数∆(M)を次のように定める:

∆(M) :=∑

σ∈Sn

m0,σ(0)m1,σ(1) · · ·mn−1,σ(n−1). (51)

ここで Sn は {0, 1, · · · , n − 1}に対する置換全体の集合である。mi,j がすべて 1の場合、

∆(M) = n!となる。

基本行列 HB = (wj,k)0≤j<J,0≤k<K の複数の列から成る sub matrixから all 0の行を

取り除いた sub matrixを active patternと呼ぶことにする。HB を基本行列として持つ

QC-LDPC符号ではHBのサイズ n× (n + 1)の active patternに対応して次の最小距離上

界が定まる。

命題 3.5 [MD99, Kam04] 　HB の n× (n + 1)の active pattern

M =

wj0,k0 · · · wj0,kn

· · · · · · · · ·wjn−1,k0 · · · wjn−1,kn

に対して、M から第 i列 (wj0,ki , · · · ,mjn−1,ki)t を除いた n × nの sub matrixをMi で表

す。このときHB をパリティ検査行列に持つQC-LDPC符号には (52)の ∆(M)以下のハ

ミング重みを持つ符号語が存在する:

∆(M) :=n∑

i=0

∆(Mi). (52)

系 3.1 すべての j, kについて wj,k = 1のとき、HB を基本行列として持つ QC-LDPC符

号の最小距離は (J + 1)!以下である。

(証明) 基本行列 HB に対する QC-LDPC符号のパリティ検査行列 H に対する符号語

を c = (c0, c1, · · · , cK−1) ∈ (GF (2)z)K , ck = (ck,0, ck,1, · · · , ck,z−1) ∈ GF (2)K と表す。

R := GF (2)[x]/(xz)とおく。ck に対して∑z−1

i=0 ck,ixi, I

(l)z に xl を対応させることによっ

て、Hct = 0という符号語の条件はRの演算としてHct = 0が成り立つことに一致する。

cのハミング重みはRの元としての項数に一致する。


M に対応するH の部分行列HM を考える。

HM =

Aj0,k0 · · · Aj0,kn

Aj1,k0 · · · Aj1,kn

· · · · · · · · ·Ajn−1,k0 · · · Ajn−1,kn

.

同様にMiに対して n×nブロックの部分行列HMi も考えることができる。Ajt,ku をRの

元とみなして ft,uとおく。このときHMi の行列式を fiで表し (Rの元)、f = (f0, · · · , fn)

とおく。このとき、HMf tの第 j行は

fj,0f0 + fj,1f1 + · · · fj,nfn = det

fj,0 fj,1 · · · fj,n

f0,0 f0,1 · · · f0,n

f1,0 f1,1 · · · f1,n

· · · · · · · · · · · ·fj,0 fj,1 · · · fj,n

· · · · · · · · · · · ·fn−1,0 fn−1,1 · · · fn−1,n

= 0

となる。つまり f はHの符号語となる。f の項数は (52)で抑えられることから、高々(52)

のハミング重みの符号語が存在することがわかる。 □

以下、命題 3.5についての考察を行う。

(i) 命題 3.5の active patternは行次数がすべて 2以上、つまり stopping setをなす列集

合に対して考えれば十分となる。

(ii) ∆(M)は大きな active patternに対しては一般に大きくなるので、基本行列設計では

小さい active pattern(n < 15程度)に対して ∆(M)を評価すれば命題 3.5の基準に

関しては十分である。　

(iii) 命題 3.2）から QC-LDPC符号の符号語 c = (c0, · · · , cK−1) ∈ (GF (2)z)K に対して

各 ck を巡回シフトして生成される z個のビット列も符号語となることに注意する。

Hにおいて ∆(M)の最小値を d(H)、∆(M) = d となる active pattern M の個数を

ndとしたとき、命題 3.5の符号語に起因するフレーム誤り率 (FER)はQ−function

を用いて次のように評価することができる:

∑

d≥d(H)

ndzQ((2dEs/N0)1/2).　 (53)

命題 3.5は最小距離の上限を示しているが、(53)を用いての基本行列の比較が有効な例


を示す。次の 6× 12のサイズの 2種類の基本行列を考える。

HB =

11 0101 10000111 1010 11000011 0110 01100011 1001 00110011 0110 00011011 1001 000011

. HC =

11 0101 11000011 1010 11000011 0110 00110011 1001 00110011 1010 00001111 0101 000011

.

HB とHC はともに列次数は 6, 3, 2, 行次数は 6であり、反復閾値も 0.905 (Gauss近似)

で同一である。最小列グループ数もどちらも 6である。しかし、命題 3.5の ∆(M)の最小

値はそれぞれ 20, 24となり、その分布は図 10に示すようになる（図 10には 30以下の分

布を示している）。これらの結果から大きな zに対してはHC の方がエラーフロア領域で

は良い特性を示すことが期待できる。図 11はこれを実証した、z = 500(符号長 6000)で

のシミュレーション結果である。図 11では同時に図 10の結果を用いて (53)で計算した

誤り率も示す。(53)はこの場合にはエラーフロア領域特性の良い評価になっていることが

分かる。

0000

5555

10101010

15151515

20202020

25252525

30303030

15151515 20202020 25252525 30303030

H_BH_BH_BH_BH_CH_CH_CH_C# A

Δ(A)~

0000

5555

10101010

15151515

20202020

25252525

30303030

15151515 20202020 25252525 30303030

H_BH_BH_BH_BH_CH_CH_CH_C# A

Δ(A)~

図 10: HB とHC における Prop.3.5の符号語の重み分布

Divsalarらは 3.2節で述べたARA codeに対しても次数 2の nodeの割合小さくすること

によって最小距離の改善を図り、これをARnJA (Accumulate Repeat Jagged Accumulate)

code と名付けた [DJDT05]。ここでARnJAの nは nはレート 1/2からの伸長時の列次数

を表す。図 12にAR4JA codeの protographと基本行列を示す。AR4JA codeも最小距離

を求めることは一般には非常に困難であるが、図 12に対応する各成分を一様とした場合の

最小距離の平均値 (アンサンブル平均)が求められている [Div06]。ARA codeのアンサン

ブル平均の最小距離は符号長に比例する最小距離を達成できないが、図 12のARJA code

ではレート 1/2でアンサンブル平均の最小距離の符号長に対する比は 0.015となることが

示されている [Div06]。これは (3, 6)-regular LDPC符号の 0.023よりは劣るが、反復閾値

に関してはレート 1/2のARJA codeはEb/N0 = 0.628dBであるのに対して (3, 6)-regular


1.E-061.E-061.E-061.E-061.E-051.E-051.E-051.E-051.E-041.E-041.E-041.E-041.E-031.E-031.E-031.E-031.E-021.E-021.E-021.E-021.E-011.E-011.E-011.E-01

1111 1.21.21.21.2 1.41.41.41.4 1.61.61.61.6 1.81.81.81.8 2222

H_BH_BH_BH_BH_CH_CH_CH_Cbound for H_Bbound for H_Bbound for H_Bbound for H_Bbound for H_Cbound for H_Cbound for H_Cbound for H_C

Eb/No (dB)

BLER

1.E-061.E-061.E-061.E-061.E-051.E-051.E-051.E-051.E-041.E-041.E-041.E-041.E-031.E-031.E-031.E-031.E-021.E-021.E-021.E-021.E-011.E-011.E-011.E-01

1111 1.21.21.21.2 1.41.41.41.4 1.61.61.61.6 1.81.81.81.8 2222

H_BH_BH_BH_BH_CH_CH_CH_Cbound for H_Bbound for H_Bbound for H_Bbound for H_Bbound for H_Cbound for H_Cbound for H_Cbound for H_C

Eb/No (dB)

BLER

図 11: HB and HC に対する FER特性シミュレーション結果

LDPC符号は 1.1dBである。このように ARJA codeによって (3, 6)-regular codeに対す

る反復閾値の大きな改善とARA codeに対するエラーフロアの改善を両立することができ

る。しかし、符号化時の gap |D|はARA codeとは異なりもはや 0ではなくなるために符

号化は複雑になる。[Per07]はARJA codeに対して巡回成分の取り方を工夫して符号化を

容易にする方法について考察している。

1/2

2/3

input

input

��

parity (punctured) parity

図 12: AR4JA codeの protograph


3.5 Multi-Stage構成

　本節では基本行列に対して巡回成分による拡大を多段に行なう QC-LDPC 符号の

multi-stage構成 [ADDT04]による最小距離上界 (3.4節)の改善効果を示す。

符号長の線形オーダーの計算量で符号化可能な (39) のタイプの基本行列 HB を考える

(行数 3)：

HB =

1 · · · 1 1 0 0

1 · · · 1 1 1 1

1 · · · 1 1 1 1

. (54)

HBの右 3列のパリティビットに対応する列には左から 0, 1, 2と indexを振る。一方、HB

の情報部分に対応する列に対しては右 (パリティ側)から 0, 1, 2, · · · ,と indexを割り振る。

Multi-stage構成では (54)に対して小さな巡回行列サイズ Lで

HB,L =

I(a0,k)L · · · I

(a0,2)L I

(a0,1)L I

(a0,0)L 0L 0L

I(a1,k)L · · · I

(a1,2)L I

(a1,1)L I

(a1,0)L I

(b1,1)L I

(b1,2)L

I(a2,k)L · · · I

(a2,2)L I

(a2,1)L I

(a2,0)L I

(b2,1)L I

(b2,2)L

. (55)

を最初に構成して (0 ≤ aj,i < L, 0 ≤ bj,i < L)、HB,Lを最終的な基本行列としてパリティ

検査行列を構成する。つまり、HB,Lの’1’の成分に z × zの巡回置換行列を、’0’の成分に

z× zの零行列をアサインして Lz×Lzのパリティ検査行列を生成する。Multi-stage構成

では巡回成分の個数はHB,LはHBのL倍となるが、3.3.3節の最小列ブロック数はそのま

まで、シリアルスケジュールの復号器実装においてメモリを効率良く使用することができ

る。さらに kL個のメモリを用意すればL行ブロックに対する並列処理実行も可能である。

HB,L の最下位 2行ブロックにおける各列ブロックの次数の和は 2で常に偶数である。

よって 3.3.2節の議論から、(55)の右端の次数 2のブロック (サイズ 2L× 2L)

　HRA =

　 I

(b1,1)L I

(b1,2)L

I(b2,1)L I

(b2,2)L

(56)

を巡回置換行列で拡大して得られる行列の rankが (2Lz − 1)を満たせば (45)と同一の処

理で符号化が可能となる。このためには最初に (56) は rank (2L− 1)(girth 4L)とする必

要がある。これは命題 3.4から

b1,2 = b2,1 = b2,2 = 0, b1,1 = 1,　 (57)

とすることで実現できる。次の命題が成り立つ。

命題 3.6 (56)のHRAは (57)で表される構成であるとする。このとき、HRAの巡回置換

行列による拡大において、4L個の’1’の成分の中の 1個のみを I(1)z , 残りの (4L− 1)個を

I(0)z として得られる行列を HRA とする。このとき HRAのタナーグラフの girthは 4Lzで、

rankは (2Lz − 1)となる。


(証明) HRAのタナーグラフの cycleは基本行列 (56)に対しても cycleとなっている必要が

ある。基本行列に対してその girthである 4Lの長さの cycleを考えるとその終点は、命題

の条件から HRAでは cycleの始点となる列と同一の列ブロックでmod zで 1だけ大きな

列に対応する。よって HRAのタナーグラフの girthは 4Lzとなる。補題 3.4と同様にこの

とき行、列をこの cycleに沿って入れ替えることで 2重対角行列となり、rankは 2Lz − 1

となる。 □命題 3.6において I

(b2,1)L (b2,1 = 0)の先頭成分を I

(1)z とする。このとき、HRAは次のよ

うになる:

HRA =　

0z I(0)z 0z · · · 0z 0z I

(0)z 0z 0z · · · 0z 0z

0z 0z I(0)z · · · 0z 0z 0z I

(0)z 0z · · · 0z 0z

· · · · · · · · · · · · · · ··0z 0z 0z · · · 0z I

(0)z 0z 0z 0z · · · I

(0)z 0z

I(0)z 0z 0z · · · 0z 0z 0z 0z 0z · · · 0z I

(0)z

I(1)z 0z · · · 0z 0z 0z I

(0)z 0z 0z · · · 0z 0z

0z I(0)z · · · 0z 0z 0z 0z I

(0)z 0z · · · 0z 0z

· · · · · · · · · · · · · · ··0z 0z 0z · · · I

(0)z 0z 0z 0z 0z · · · I

(0)z 0z

0z 0z 0z · · · 0z I(0)z 0z 0z 0z · · · 0z I

(0)z

. (58)

HBに対して命題 3.5から定まる最小距離の上界は 4列以上で 12になることが簡単な計

算によって分かる。Multi-stage構成によるこの最小距離上界の改善の効果は次の命題で

表すことができる。

命題 3.7 HB,Lにおいて、(56)のHRAは (57)のようにRA構造を持つとする。このとき

k > 0であればHB,Lを基本行列とするQC LDPC符号の最小距離は高々(4+8L) である。

(証明)　命題の条件の性質を満たす HRA に関しては、∆(HRA) = 2となることが容易

にわかる。また、このときHRAの任意の 1列を任意の次数 2の列で置き換えてもこの性

質は保たれる。k > 0であるならば HB,L には図 13に示すような、HRA を含むサイズ

(2L + 1)× (2L + 2)の active pattern M が存在する:

命題 3.5のようにM の i列 (0 ≤ i < 2L + 2)を除いた (2L + 1)× (2L + 1)行列をMiと

する。上記の∆(HRA)の性質から、i = 0, 1(次数 3の列)に対しては∆(Mi) = 2, その他の

iに対しては∆(Mi) = 4となることが容易にわかる。よって ∆(M) = 4 + 8Lとなり、命

題 3.5からこの値がHB,Lを基本行列と持つQC-LDPC符号の最小距離の上界となる。□

HB,L を基本行列として持つ QC-LDPC符号の最小距離上界は例えば L = 2, 3, 4に対

しては 20, 28, 36となり、Lに応じてmulti-stage構成によって改善されることがわかる。

もちろん、これは上界であって aj,kの選択によってはこの値以下の最小距離となる active

patternが発生する可能性がある。そこで、計算機による探索を行った。HB,Lの先頭行は zL × zLの単位行列 (a0,0 = · · · = a0,k−1 = 0)としても一般性を失わ


HRA1

1

1

1

1 1 0 �� 0

2L

2L2L+1

2L+2

図 13: HRA を含む active pattern M

ない。このとき、(54)に対して

Hk(x, y) =

I(0)L I

(0)L · · · I

(0)L I

(0)L I

(0)L 0L 0L

I(x)L I

(a1,k−1)L · · · I

(a1,2)L I

(a1,1)L I

(a1,0)L I

(1)L I

(0)L

I(y)L I

(a2,k−1)L · · · I

(a2,2)L I

(a2,1)L I

(a2,0)L I

(0)L I

(0)L

. (59)

とおく。ここで 0Lは L×Lの零行列である。(a1,0, a2,0), · · ·, (a1,k−1, a2,k−1)は既に決定

しているとして (a1,k, a2,k)を次のように決定する。

(1) 0 ≤ x, y < Lに対してHk(x, y)の active pattenに対する ∆の最小値を求める。

(2) (1)で ∆の最小値が最大となる (x, y)の集合Eを求める。

(3) Eからランダムに (x∗, y∗)を選択し、a1,k = x∗, a2,k = y∗とする。

この探索手法を用いて L = 2, 3, 4に対して得られた最小距離上界 (Hk(ak, bk)の active

patternに対する ∆の最小値)を表 2に示す。いずれの Lに対してもレート 2/3(k = 6)ま

では命題 3.7の最小距離上界を満たす (aj,k)が実際に得られていることがわかる。

表 2: 基本行列に付随する最小距離上界探索結果k 3 6 9

符号化率 1/2 2/3 3/4

L = 2 20 20 18

L = 3 28 28 26

L = 4 36 36 34

この探索によって L = 3, 4に対して得られたHB,3, HB,4の例を次に示す。

HB,3 =

I(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(0)3 03 03

I(1)3 I

(2)3 I

(2)3 I

(1)3 I

(0)3 I

(2)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(1)3 I

(1)3 I

(1)3 I

(0)3

I(0)3 I

(0)3 I

(0)3 I

(2)3 I

(1)3 I

(0)3 I

(2)3 I

(2)3 I

(1)3 I

(1)3 I

(0)3 I

(0)3

. (60)


HB,4 =

I(0)4 I

(0)4 I

(0)4 I

(0)4 I

(0)4 I

(0)4 I

(0)4 I

(0)4 I

(0)4 I

(0)4 04 04

I(0)4 I

(3)4 I

(0)4 I

(1)4 I

(0)4 I

(3)4 I

(1)4 I

(1)4 I

(2)4 I

(3)4 I

(1)4 I

(0)4

I(2)4 I

(1)4 I

(1)4 I

(2)4 I

(2)4 I

(0)4 I

(2)4 I

(0)4 I

(3)4 I

(1)4 I

(0)4 I

(0)4

. (61)

表 2はあくまで最小距離の上界であり、特に zが小さいときにはこれよりはるかに小さ

なハミング重みの符号語が存在する。4節の巡回成分探索の結果においてこの状況を報告

する。

3.6 基本行列構成案

適応符号化に適した高利得 LDPC符号の基本行列の要件を改めてまとめると次のよう

になる：

(1) 反復閾値良

(2) エラーフロア特性良

(3) 簡潔な構造を持つ

(4) 符号化容易性につながる

(5) 復号時のメモリの扱いが容易となる

(6) 広い符号化率、符号長に対応可能となる

3章のこれまでの議論を踏まえると、次のような基本行列の構成指針が考えられる:

(a) multi-edge type : (1)(3)(5)(6)に対処

(b) パリティ部分は (39)の構造 : (4)に対処

(c) Multi-stage構成 : (2)(3)(5)に対処

このような方針の下、本論文で提案する基本行列は次数分布に関しては (54)をコア部

分に持つ次に示す行列である:

HB =

1 1 · · · 1 1 0 0 0

1 1 · · · 1 1 1 1 0

1 1 · · · 1 1 1 1 0

0 0 · · · 0 3 e1 e2 1

. (62)

図 14に (62)の protographを表す。(62)で右 4列がパリティに対応し、各列に対応するパ

リティビットのブロックを順に p0, p1, p2, p3とする。p3の列次数は 1で、列次数 6の p0は


punctured

input

rate 1/2

��

�

p0

p1

p2

p3

e1

e2

図 14: 提案基本行列の protograph Protograph of the Proposed Base Matrix

パンクチャされる。情報部分の列数を kとすると、design rateは k/(k + 3)となる。e1, e2

は 0 or 1であり、3.4節のようにこの設定によって次数 2の列の調整を行なうことができる。

符号化に関して p0は (41)のように直接計算可能である。p1, p2は (58)のようにパリティ

検査行列においてRA構造となるブロックに対応するため、後退代入で求めることができ

る。また、e1 = e2 = 1の場合も p3は p0, p1, p2を用いて直接求めることができるため、符

号化における線形オーダーの計算量という性質は変わらない。

提案基本行列は高レート符号はパンクチャではなく、ARJA codeと同様に kを大きくす

る、つまり低レート符号を伸長 (lengthening）することによって対応する (高レート符号

を基準に考えると短縮 (shortening)することによって低レート符号に対応する)。このよう

に高レート”mother code”を利用する際の課題として、通常の Incremental Redundancy

HARQ(IR-HARQ)の適用が難しく、再送時のスループットの劣化が発生することが挙げ

られる。提案基本行列の大きな特徴は情報部分の次数分布が regularなことであり、この

性質は 5節で述べる短縮 (shortening)を基本とする HARQに非常に適した構造となって

いる。

一方、行次数は復号時の行処理の複雑さと 3.3.3節の復号器におけるメッセージのメモ

リ数を決定することから、最大の kの設定は実装性に影響することにも注意する必要があ

る。実用的には適切なK0を設定してK0までに対応するパリティ検査行列を用意し、符

号化率がK0/(K0 + 3)を越える場合にはパンクチャで対応することが考えられる。本研究

における LDPC符号構成ではK0 = 12(rate 4/5) までのパリティ検査行列を構成として、

それ以上の符号化率に関してはパンクチャによって対応する。このパンクチャは、(62)の

構造を鑑みて、符号語の末尾の次数 1のパリティである p3から順に行う。

表 3に (62)に対して 6.3節の normalized min-sumアルゴリズムの離散密度発展法を適

用して得られた反復閾値を示す。e0 = e1 = 0でAR3A codeとほぼ同一の反復閾値を達成

している。また、符号化率 3/4以上では e1 = 1のときの方が反復閾値も良い結果となっ

ている。シミュレーションによる特性比較は 4.4節で行う。

次数分布を表す (62)に対して 3.5節のmulti-stage構成のアルゴリズムを適用して得ら

れる行列が最終的な提案基本行列となる。e1 = e2 = 0の場合、(62)は次数 6のパリティの


表 3: 提案基本行列の反復閾値 (Eb/N0(dB), normalized min-sumアルゴリズム)符号化率 1/2 2/3 3/4 4/5

e1 = e2 = 0 0.81 1.59 2.20 2.63

e1 = 1, e2 = 0 1.09 1.71 2.17 2.56

e1 = e2 = 1 1.31 1.87 2.31 2.65

(3, k)-regular 1.29 1.93 2.43 2.81

AR3A code 0.81 1.64 2.22 2.65

列を除けば (54)と同一の構造のため、3.5節のQC-LDPC符号の最小距離上界を基準とし

たmulti-stage構成は提案基本行列に対しても有効である。L = 3, 4に対しての提案基本

行列の具体例H3,H4を (63), (64)に示す (I(aj,k)L のシフト値 (aj,k)のみを記している、’-’

は零行列)。

HB,3 =

(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) − − −(0) (1) (2) (1) (2) (2) (1) (0) (2) (0) (0) (1) (1) (1) (0) −(1) (2) (1) (0) (0) (0) (2) (1) (0) (2) (2) (1) (1) (0) (0) −− − − − − − − − − − − − T3 E1 E2 (0)

.

(63)

HB,4 =

(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) − − −(1) (2) (3) (0) (3) (0) (1) (0) (3) (1) (1) (2) (3) (1) (0) −(3) (3) (0) (2) (1) (1) (2) (2) (0) (2) (0) (3) (1) (0) (0) −− − − − − − − − − − − − T4 E1 E2 (0)

.

(64)

(63),(64)は符号化率 4/5までの基本行列を記しているが、最初の 3列を除いた符号化

率 3/4までの成分はそれぞれ (3.5), (3.5)の値を用いている。T3, T4(次数 3)は次の通りで

ある、

T3 =

1 1 11 1 11 1 1

. T4 =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

.

E1, E2 は e1, e2 に対応する成分で、これらが 0の場合は零行列、1の場合は E1 = I(0)L ,

E2 = I(2)L とする。

(62)の e1, e2の影響を評価するため、モンテカルロシミュレーションによる特性評価を

行った。通信路はAWGNとする。図 15は L = 3, z = 36の場合にこのシミュレーション

で得られらFER特性を示している。復号法は normalized min-sumアルゴリズム、シリア

ルスケジュール (3.3.3節)を用いて復号繰り返し数 25で得られた結果である。情報長は符


号化率 1/2, 2/3, 3/4, 4/5でそれぞれ 432, 864, 1296, 1728 となる。基本行列として (63)を

用いて、巡回成分を次章 4.4節の方法で決定したパリティ検査行列を用いている。符号化

率 1/2, 2/3の FER= 10−1 10−2においては表 3の反復閾値を反映した特性となっていて、

例えば符号化率 1/2では”e1 = e2 = 0”, “e1 = 1, e2 = 0”, “e1 = e2 = 1”で 0.2dBずつの

特性の差となっている。一方、符号化率 3/4, 4/5では e1, e2はいずれの設定でも反復閾値

は 0.1dB程度の範囲内であり、次数 2の列の比率が高い e1 = e2 = 0の場合は SNRに対す

る FERの改善の速度が劣化しているために全体として特性が劣る結果となっている。エ

ラーフロアに関しても e1 = e2 = 0の設定では符号化率 1/2, 2/3では FER=10−4付近か

ら発生しているが、その他の設定ではエラーフロアは FER=10−5以下に抑えられている。

以上の考察から、e1, e2 を fixする場合は e1 = 1, e2 = 0 とすることが一つの解となる

と考えられる。また、FER=10−2 以上の特性を基準として符号化率に応じて e1, e2 の設

定を変化させる場合には符号化率 2/3以下では e1 = e2 = 0,それ以上の符号化率では

e1 = 1, e2 = 0と設定することが適切となる。

��

��

��

��

��

��

��

��

� � �

4/5

3/42/3

1/2

* e1 = 0, e2 = 0e1 = 1, e2 = 0e1 = 1, e2 = 1

Eb/No (dB)

FER

図 15: e1 and e2 の設定による特性比較

HB,3とHB,4の特性の比較はハミング重みの小さい入力に対する最小符号語重みに基づ

いて 4.4節で示す。


3.7 まとめ

本章では訂正能力と実装性を考慮したQC-LDPC符号の基本行列の検討を行い、適応符

号化に適した基本行列案を導いた。可変レートへの対応は短縮符号化（伸長符号化）に基

づく。提案基本行列はmutli-edge typeによる簡素な構成で優れた反復閾値を達成すると

ともにmulti-stage構成と次数 2の列の調節によって符号器や復号器の実装上の複雑さを

発生させずにエラーフロア特性の向上が可能となることを示した。

4. QC-LDPC符号の巡回成分探索 39

4 QC-LDPC符号の巡回成分探索

4.1 はじめに

本章では与えられた基本行列の非零の要素に対して巡回行列成分を探索してQC-LDPC

符号のパリティ検査行列を構成する手法について検討する。基本行列によって反復閾値は

決定されるので、巡回成分探索の研究はエラーフロア特性の改善が目的となる。

最小距離はエラーフロア特性に直接影響するため巡回成分探索においても最小距離を指

標とすることが理想的であるが、最小距離の評価は一般には非常に困難である。4.2節で

は最も基本的な (3, k)-regular QC-LDPC符号に対して、ハミング重み 4, 6という小さな

重みの符号語が発生する際に巡回成分が満たす必要十分条件を導く [Oka04]。これらの条

件を巡回成分探索時の判定法として利用して、最小距離 6もしくは 8以上の (3, k)-reuglar

codeを探索的に構成することができる。代数的な (3, k)-array code[Fan00]は巡回行列の

サイズ z が素数の場合に k = z まで最小距離 6となることを保証するが、この判定法に

よって探索的に構成することで zが素数でない場合でも kが zに近いところまで最小距離

6の符号を得ることができる。

2.3節で述べたようにタナーグラフの girthは sum-productアルゴリズムの列処理と行

処理の入力メッセージが独立となる復号繰り返し数の上限を定めるので、girthが大きな

符号を構成することは符号特性面に良い影響を与えると考えられる。Girthの最大化を基

準にパリティ検査行列を逐次的に構成する PEG(Progressive Edge-Growth)アルゴリズム

[HEA01]はQC-LDPC符号の巡回成分探索にも適用することができる [Oka03]。Andrews

ら [ADDT04]はこれを circulant-PEGアルゴリズムと呼んでいる。4.3.1節ではQC-LDPC

符号の girthの性質に関して述べる。一方、girthによって保証される最小距離は一般には

小さな値であるが [Tan81]、girthを大きくする、また short cycleの個数を小さくするこ

とは多くの場合で最小距離にも良い影響を与えることが想像される。4.3.2節では 4.2節の

(3, k)-regular QC-LDPC LDPC符号のハミング重み 4, 6の符号語の存在判定方法を用い

て girthに基づく巡回成分探索手法の有効性を最小距離の観点から評価することを試みる

[Oka04]。

4.4節では 3.6節の基本行列に対しての巡回成分探索手法を提案し、その適用結果を示

す。提案基本行列は次数 3, 2, 1と低次の列の比率が高いために最小距離には特に注意する

必要がある。4.4.1節では提案基本行列に対してハミング重みの小さな符号語が発生しや

すい情報系列であるクリティカルパタンを定める。4.4.2節では girthを判定基準とした巡

回成分候補の絞り込みと、前述のクリティカルパタンに対する符号語の重みを評価しての

巡回成分探索手法を提案し、その効果について検証する。4.4.3節では符号記述に必要な

パラメータ削減のため複数の巡回シフトサイズでシフト値を共有した場合の探索結果を示

す。4.4.4節では従来の LDPC符号やターボ符号との特性比較を行う。


4.2 (3, k)-regular QC-LDPC符号の巡回成分と最小距離

反復閾値の優れたLDPC符号を構成するためには基本的には行次数を小さくする必要があ

る。Regular LDPC符号で考えるとこのとき列次数も小さくする必要がある。Gallager[Gal63]

で既に考察されているように、(2, k)-regular codeではタナーグラフの cycleはそのまま符

号語となり、girthと同一の重みを持つ符号語が存在することになる。つまり、符号長に対

して logのオーダーの最小距離しか期待できない。一方、ランダムに生成した (3, k)-regular

LDPC符号の最小距離は符号長に対して線形オーダーとなる [Gal63]。反復閾値優先で符

号長大での特性向上を期待する場合には (3, k)-regular構造を元に符号構成を考えること

は自然なアプローチとなる。

(3,K)-regular QC-LDPC符号の中で最も簡潔な次のパリティ検査行列を考える:

H =

I(l0,0)z I

(l0,1)z · · · I

(l0,K−1)z

I(l1,0)z I

(l1,1)z · · · I

(l1,K−1)z

I(l2,0)z I

(l2,1)z · · · I

(l2,K−1)z

.　 (65)

ここで I(li,j)z は z× zの単位行列の各行を li,jだけ右に巡回シフトした行列である。符号長

はKzで”design rate”は (K− 3)/Kとなる。[I(lj,0)z , I

(lj,1)z , · · · , I(lj,K−1)

z ]を j-th row block

（行ブロック）, [I(l0,k)z , I

(l1,k)z , I

(l2,k)z ]tを k-th column block（列ブロック）と呼ぶ。

最初に多数決復号可能な符号クラスでよく知られた次の命題が成り立つことに注意する。

命題 4.1 (j, k)-regular符号で girth > 4であれば最小距離は (j + 1) 以上である。

この命題から girth > 4を満たす (3,K)-regular符号の最小距離は 4以上となる。本節

では (65)のパリティ検査行列を持つ (3, K)-regular LDPC符号が 4もしくは 6のハミング

重みの符号語を持つための条件を導く。

一般性を失うことなく 0-th row blockは単位行列とすることができる (l0,k = 0). H の

タナーグラフは girth > 4を満たすとする。このとき次の命題が成り立つ。

命題 4.2 パリティ検査行列 (65)を持つ (3, k)-regular LDPC符号にハミング重み 4の符

号語が存在するための必要十分条件は (66)を満たす相異なる列ブロック k0, k1, k2, k3が存

在することである。

l1,k0 − l1,k2 ≡ l1,k1 − l1,k3 ≡ l2,k0 − l2,k3 ≡ l2,k1 − l2,k2mod z. (66)

命題 4.3 パリティ検査行列 (65)を持つ (3, k)-regular LDPC符号にハミング重み 6の符

号語が存在するための必要十分条件は (67)と (68)を満たし、かつ (a),(b),(c),(d)のいず

れかの条件を満たす列ブロック k0, k1, k2, k3, k4, k5 が存在することである。

k0 6= k1, k2 6= k3, k4 6= k5, k0 6= k2, k1 6= k4, k3 6= k5, (67)

(l1,k0 − l1,k2)− (l1,k1 − l1,k4) + (l1,k3 − l1,k5) ≡ 0mod z. (68)


(a)

k0 6= k2, k1 6= k5, k3 6= k4.

l1,k0 − l1,k2 ≡ l2,k0 − l2,k3mod z,

l1,k1 − l1,k4 ≡ l2,k1 − l2,k5mod z,

l1,k3 − l1,k5 ≡ l2,k2 − l2,k4mod z,

(b)

k0 6= k2, k1 6= k5, k3 6= k4.

l1,k0 − l1,k2 ≡ l2,k1 − l2,k3mod z,

l1,k1 − l1,k4 ≡ l2,k0 − l2,k4mod z,

l1,k3 − l1,k5 ≡ l2,k2 − l2,k4mod z,

(c)

k0 6= k5, k1 6= k3, k2 6= k4.

l1,k0 − l1,k2 ≡ l2,k1 − l2,k3mod z,

l1,k1 − l1,k4 ≡ l2,k0 − l2,k5mod z,

l1,k3 − l1,k5 ≡ l2,k2 − l2,k4mod z,

(d)

k0 6= k5, k1 6= k2, k3 6= k4.

l1,k0 − l1,k2 ≡ l2,k1 − l2,k2mod z,

l1,k1 − l1,k4 ≡ l2,k0 − l2,k5mod z,

l1,k3 − l1,k5 ≡ l2,k3 − l2,k4mod z,

(3,K)-regular array codeは奇素数 z の (65) に対して (K ≤ z), l0,k = 0, l1,k = k,

l2,k = 2kの性質を持つ符号である [Fan00]。命題 4.2から次の系が成り立つ。

系 4.1 (3,K)-regular array codeの最小距離は 4より大きい。

(証明) [Fan00]より array codeの girthは 4より大である。Array codeに対して (66)は次

のようになる:

k0 − k2 ≡ k1 − k3 ≡ 2k0 − 2k3 ≡ 2k1 − 2k2mod z.

このとき k2 = k3および k0 = k1が成り立つ。これは命題 4.2の相異なる列ブロックとい

う条件を満たさない。 □


系 4.2 (3,K)-regular array codeは (67)を満たし、かつ次の条件を満たすk0, k1, k2, k3, k4, k5

が存在する場合にハミング重み 6の符号語が存在する。

k0 6= k5, k1 6= k3, k2 6= k4,

k0 ≡ 12k3 − k4 +

32k5mod z.

k1 ≡ k3 − k4 + k5mod z.

k2 ≡ 12k3 + k4 − 1

2k5mod z.

(証明) 命題 4.3の条件 (c)において l1,ki = ki, l2,ki = 2ki とすることによって系 4.2の条件

を導くことができる。このとき (68)の条件は常に満たされる。 □

系 4.1, 4.2は array codeでは良く知られた結果で、(4,K)-regularおよび (5, K)-regular

array codeに対しての最小距離評価も進んでいる [SK08]。

系 4.2は任意の zに対して、k3 = k4 = 1, k1 = k5 = 3, k0 = 4, andk2 = 0のとき成り立

つ。つまりK が小さい低レート符号でもハミング重み 6以下の符号語が存在してしまう

ことを示している。

本節では以下、命題 4.2, 4.3の証明を述べる。H の符号語 c = (c0, · · · , cKz−1)に対して、active pattern Hcを ci = 1の列からなる部

分行列からさらに全零の行を除いた部分行列として定義する。例えば

H =

1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 10 1 0 0 0 10 0 1 0 1 01 0 0 1 0 0

.

と c = (0, 1, 1, 0, 1, 1, )に対してHcは次のようになる。

Hc =

1 0 1 00 1 0 11 0 0 10 1 1 0

.

補題 4.1は I(lj,k)が置換行列であることから成り立つ。

補題 4.1 (65)の符号語 c に対する active pattern Hcにおいて、同一行で 1となる 2個の

列があるならばそれらの列は異なる列ブロックに属する。

ハミング重み 4の符号語の active patternは補題 4.2に示すようになることが容易にわかる:


補題 4.2 (65)(girth > 4)のハミング重み 4の符号語 cに対する active patternは適切な列の順序の下、次のようになる。

Hc =

1 1 0 00 0 1 11 0 1 00 1 0 11 0 0 10 1 1 0

. (69)

(命題 4.2の証明) 補題 4.1から補題 4.2の (69)の列はすべて異なる列ブロックに含まれる。

xiをHcの第 i列の列ブロック中でのポジションで表すとする。このとき (69)は次のよう

になる:

x0 = x1, x2 = x3,

x0 + l1,k0 ≡ x2 + l1,k2mod z.

x1 + l1,k1 ≡ x2 + l1,k3mod z.

x0 + l1,k0 ≡ x2 + l2,k3mod z.

x1 + l1,k1 ≡ x2 + l2,k2mod z.

これらの関係から命題 4.2の条件を導くことができる。 □

補題 4.3 (65)(girth > 4)のハミング重み 6の符号語 cに対する active pattern Hcは適切な列の順序の下、0-th row blockと 1-st row blockは次の (70)となり、

1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 00 0 0 0 1 11 0 1 0 0 00 1 0 0 1 00 0 0 1 0 1

, (70)

2-nd row blockは (a)(b)(c)(d)のいずれかに一致する。

(a)

1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 10 0 1 0 1 0

.

(b)

1 0 0 0 1 00 1 0 1 0 00 0 1 0 0 1

.

(c)

1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0

.


(d)

1 0 0 0 0 10 1 1 0 0 00 0 0 1 1 0

.

(証明) Row block構造と girth > 4からハミング重み 6の符号語 c に対するHcの各行は

2個の 1を持つ。このとき適切な列、行の順序ではHcの 0-th row blockと 1-st row block

は (70)のようになることが分かる。このとき、2-nd row blockは適切な行の順序で次の

ようになる。

1 0 0 x0 y0 z0

0 1 w1 x1 0 z1

0 0 w2 x2 y2 z2

. (71)

ただし、(71)は次の条件を満たす：

・各行は 2個の 1を持つ。

・各列は 1個の 1を持つ。

・yiと ziは同一行で同時に 1にはならない (girth> 4)。

・xiと ziは同一行で同時に 1にはならない (girth> 4)。

これらの条件から (a)(b)(c)(d)を導くことができる。 □

(命題 4.3の証明) Hcの i番目の列の属する列ブロックを kiとする。また、xiによって ki

列ブロックにおける 1の立っている位置を表す。このとき 0-th row blockにおいて l0,k = 0

から

x0 = x1, x2 = x3, x4 = x5　 (72)

が成り立つ。また 1-st row blockから

x0 + l1,k0 ≡ x2 + l1,k2mod z,

x1 + l1,k1 ≡ x4 + l1,k4mod z,

x3 + l1,k3 ≡ x5 + l1,k5mod z, (73)

が成り立つ。(72)と (73)は (68)と同値である。また補題 4.1と (70)から (67)を導くこと

ができる。補題 4.3の (a)から次の関係が得られる。

x0 + l2,k0 ≡ x3 + l2,k3mod z,

x1 + l2,k1 ≡ x5 + l2,k5mod z,

x2 + l2,k3 ≡ x4 + l2,k4mod z. (74)

(72)(73)と (74)から命題 4.3(a)を導くことができる。(b)(c)および (d)に関しても同様で

ある。 □

命題 4.2はO(K2), 命題 4.3はO(K3)の計算量によって与えられたパリティ検査行列が

その条件を満たすかチェックすることができる。Design rate 0.97でもK = 100であり、


これらの命題を用いて最小距離が 6より大きいことを保証する巡回成分を効率よく探索す

ることができる。

4.3 Girthを基準とする巡回成分探索

4.3.1 QC-LDPC符号のタナーグラフの girth

タナーグラフの girthを基準とする LDPC符号の構成においては girthが大きくなるよ

うにパリティ検査行列を構成することが基本方針となるが、QC-LDPC符号ではその構造

から girthの最大値は制限されることに注意する必要がある。例えば基本行列の 2行 3列で 1 1 1

1 1 1

というパタンが存在するとき、このパタンに対応するタナーグラフには巡回成分のサイズ

zに依存せずに長さ 12の cycleが存在する [Fos04]。つまり、QC-LDPC符号は girth→∞となる符号を構成するためには適切な構造ではない。しかし、比較的小さな符号長 ( 10000

程度)に対してはQC-LDPC符号を用いて同一符号長であれば大きな girthを達成するで

きる場合も多い。

PEG アルゴリズムは次数分布の制約下で girth が最大になるように edge-by-edge で

Tannaer graph(パリティ検査行列)を探索的に構成するアルゴリズムである [HEA05]。こ

のとき、サイズM × N の (J,K)-regular LDPC符号で達成される girth gは次のように

バウンドされることが示されている [HEA05]。

2(bt0c+ 2) ≤ g ≤ 4bt1c+ 4, (75)

ここで、t0, t1は次の値である、

t0 = log(MK −MK/J −M + 1)/ log((J − 1)(K − 1))− 1, (76)

t1 = log((M − 1)(1− J/(K(J − 1))) + 1)/ log((J − 1)(K − 1)). (77)

表 4に (3, 6)-regular codeで girth gを達成するための行数M の最小値（実験値）を示

す。表で “PEG(Max)”は (75)の左辺、つまり girth gを達成するために十分な大きさの

M を示している。”PEG[HEA05]”は [HEA05]に報告されている、edge-by-edgeで PEG

アルゴリズムによって符号構成を行った場合に girth gを達成するための行数M の最小値

である。“circulant PEG”はすべて 1の要素から成る 3×6の基本行列に対して次節の (c2)

を基準とした巡回成分探索で得られた、girth gを達成するための行数M の最小値である。

表から g ≤ 12の制約の中では QC-LDPC符号によって通常の PEGアルゴリズムと同程

度に小さなサイズのタナーグラフで与えられた girthを達成できていることがわかる。


表 4: Minimum number of rows M in order to achieve a given girth for (3, k)-regular

codes

g PEG(Max) PEG[HEA05] circulant PEG

6 33 20 21 (z = 7)

8 333 75 ≤ 57 (z = 19)

10 3333 430 ≤ 471 (z = 157)

12 33333 3000 ≤ 2100 (z = 700)

4.3.2 巡回成分探索における girthに基づく判定基準

基本行列 HB = (wj,k)0≤j<J,0≤k<K の成分は 1または 0とする。HB の wj,k = 1となる

(j, k)成分に対して k = 0, 1, 2, · · ·と伸長する形で巡回成分 I(lj,k)z 探索を行い、パリティ

検査行列を構成する方法を考える。HB における 0列から (k − 1)列まで巡回成分 I(lj,t)z

(0 ≤ j < J, 0 ≤ t < k )および k列の (j − 1)行までの巡回成分 I(lu,k)z (0 ≤ u < j) は決

定しているとする。これらの既に決定された巡回成分と wj,k = 1である (j, k)成分を I(l)z

とすることで生成されるパリティ検査行列をHj,k(l)とする。Hj,k(l)のタナーグラフにお

いてHB の第 k列に対応する列を始点とする cycleの最小値 (”local girth”) を gj,k(l)とお

く。このとき、girthに基づく lj,kの決定方法として次のような基準が考えられる:

(c1) ensure girth:

lj,k ∈ {l : gj,k(l) ≥ g0}, (78)

for a given g0.

(c2) maximize girth:

lj,k ∈ {l : gj,k(l) = gmax}, (79)

where gmax = maxlgj,k(l).

(c3) maximize girth and minimize its multiplicity:

lj,k ∈ {l : gj,k = gmax, nj,k(l) ≤ nj,k(l′), for l′s.t. gj,k(l′) = gmax}, (80)

where nj,k(l) denotes the number of cycles of length gj,k(l).

(78)(79)(80)において右辺が複数の l を含む場合にはその中からランダムに 1個選択し

て lj,kを決定する。また、各列で wj,k = 1となる最初の (j0, k)成分は girthに影響を与え

ないため一般性を失うことなく lj0,k = 0とおくことができる。(c1)において girthが 4の

場合には sum-productアルゴリズムの性能が著しく劣化することが多く、また girthが 6


以上であれば十分に良い復号性能が得られることも多いので g0 = 6と設定することが一般

的である。(c2)は circulant PEGアルゴリズムであり、(c3)は (c2)においてmultiplicity

までを考慮した基準で、short cycleの個数減少も狙った基準となっている [Oka03]。

gj,k(l)を求める処理はタナーグラフ上の木探索として実現することができるので、その

計算量は graph上の node数に対応して O((d − 1)kz)として評価することができる (dは

平均列次数)。(c2)と (c3)においてはすべての 0 ≤ l < zについて gj,k(l)を評価して lj,kを

決定する必要があるためにその計算量はO((d− 1)kz2)となる。これは kに対しては線形

オーダーであり、また zに対しても 2乗のオーダーのために、大きな k, zであってもこれ

らの判定基準を用いて比較的効率よく lj,kを決定することができる。

LDPC 符号の探索的な構成において girth に関連する指標として ACE(Approximate

cycle EMD(Extrinsic Message Degree))が知られている [TJVW04]。以下、ACEについ

て簡単に説明する。

LDPC符号の繰り返し復号は最尤復号ではないため、符号語以外のビットパタンに収束

する場合がある。2元消失通信路におけるこのようなビットパタンは stopping setと呼ば

れている。Stopping set Sに対してパリティ検査行列の Sに対応する列から成る部分行列

HS を考えると、SはHS が各行に 0個もしくは複数の’1’を持つようなビットパタンとし

て特徴づけられる（この”複数”がすべて偶数の場合に Sは符号語となる）。AWGN通信

路においても LDPC符号の繰り返し復号が収束するビットパタン S は stopping setもし

くはHSにおいて 1列のみ成分が’1’となる行の個数 eが小さいという性質を満たす傾向に

ある。Sに対して上記の eを EMDと呼ぶ。サイズの小さな Sに対しては EMDが大きく

なるようにパリティ検査行列を生成することがエラーフロア特性の優れた符号構成のため

の一つの方針となると考えられる。ただし、EMDの評価は最小距離の評価よりも困難で

あり、このままでは具体的な符号構成に結びつけることはできない。そこで [TJVW04]で

は EMDの近似値としてタナーグラフの cycleを生成する S = {ck0 , ck1 , · · · , ckn−1}に対して、f =

∑n−1i=0 (dki − 2)を ACE と呼び (dki は cki の列次数)、これを判定基準に PEGア

ルゴリズムと同様にパリティ検査行列を構成する手法を提案した。Sが単一の cycleを含

む場合は ACEは EMDと一致するが、一般には複数の cycleが複雑に絡んでいるために

ACEは EMDの上限となる。ACEは girthを求める処理と同様の手続きで計算可能であ

る。4.4節の提案基本行列に対する巡回成分探索においては local girthを達成する cycleの

ACEを基準に巡回成分の絞り込みを行う。

4.3.3 Girthを基準にした巡回成分探索と最小距離

本節では girthを基準にした巡回成分探索とエラーフロアに直接の影響を与える最小距

離の関係について考察を行う。タナーグラフの girthと最小距離には次の関係があること

が知られている。

命題 4.4 [Tan81] タナーグラフの girthが g である (J,K)-regular codeの最小距離 dmin


は次の不等式を満たす。

dmin ≥ 1 + J((J − 1)b(g−2)/4c − 1)/(J − 2). (81)

gが 4の倍数の場合には特に次の不等式が成り立つ。

dmin ≥ 1 + J((J − 1)b(g−2)/4c − 1)/(J − 2) + (J − 1)b(g−2)/4c. (82)

(3, k)−regular codeであれば (81)(82)から g = 6, 8, 10, 12に対して最小距離はそれぞれ

4, 6, 10, 14以上となることが保証されるが、実際の最小距離はそれ以上になっていること

が多い。以下、4.2節の (3, k)-regular codeに対する最小距離の命題を用いて前節の girth

に基づく巡回成分の選択基準と最小距離の関係について実験を通じて考察する。

(65)の

Hk =

I(l0,0)z I

(l0,1)z · · · I

(l0,k−1)z

I(l1,0)z I

(l1,1)z · · · I

(l1,k−1)z

I(l2,0)z I

(l2,1)z · · · I

(l2,k−1)z

.　

に対して (78)-(80) で表される (c1)-(c3) の判定基準を用いて k = 1, 2, · · · と逐次的にH1,H2, · · · を構成することを考える。この際に Hk が命題 4.2 もしくは命題 4.3 を満た

すかどうかを確認することによって最小距離 6以下となるかを効率よく判定することがで

きるため、これらの判定基準に従ってランダムにHkを多数生成して、最小距離が 6以下

となるHkの発生確率を比較することができる。図 16(a)は (c1)-(c3)の判定基準を用いて

z = 50の場合にランダムにHkを 1000回生成する試行を行ったときに、各試行で初めて最

小距離 6以下となった kである k0の頻度を示したグラフである。(c1)は g0 = 6と設定し

たときの結果である。また、図 16(b)は (a)に対してその累積相対頻度を表している。例え

ば (c1)を用いた場合には k = 10で 0.1程度の確率で最小距離 6以下となる符号が発生した

ことを示している。図 16から (c2)や (c3)の基準によって最小距離 6以下となる符号が生

成される確率を改善できていることがわかる。例えば k = 15(design rate 4/5)以下で最小

距離が 6以下となる確率は (c1)(c3)(c3)でそれぞれ 0.68, 0.63, 0.52程度となる。一方、図

16は girthを基準にした巡回成分探索に関しての限界も示している。例えば k = 9(design

rate 2/3)以下であっても (c1)で 0.04, (c2)(c3)で 0.02の確率で最小距離が 6以下となる

巡回成分を選択してしまっていることを示している。

4.4 提案基本行列の巡回成分探索

本節では 3.6節で提案した基本行列に対しての巡回成分探索方法について検討する。提

案基本行列は (3, k)-regular構造を基本とするので、前節の考察から girthとは異なる評価

基準も適用して巡回成分探索を行うことが望ましい。また、次数 1, 2のパリティも存在す

るために最小距離には一層注意して巡回成分探索を行う必要がある。


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

k

(c3)

(c2)

(c1)

n k

0

0

k0

f k 0

(a)

(b)

(c3)

(c2)

(c1)

図 16: z = 50で (c1),(c2),(c3)に基づいて (3, k)-regular QC-LDPC符号をランダムに 1000回生成したときに、各試行で最小距離 6以下となった最初 kである k0 のヒストグラム (a)とその累積頻度 (b)。


(62)のmulti-stage構成に基づく 4L × (K + 4)L 基本行列で、e1 = e2 = 0の場合を考える。

HB,L =

I(0)L I

(0)L · · · I

(0)L I

(0)L I

(0)L 0L 0L 0L

I(a1,K)L I

(a1,K−1)L · · · I

(a1,2)L I

(a1,1)L I

(a1,0)L I

(1)L I

(0)L 0L

I(a2,K)L I

(a2,K−1)L · · · I

(a2,2)L I

(a2,1)L I

(a2,0)L I

(0)L I

(0)L 0L

0L 0L · · · 0L 0L TL 0L 0L I(0)L

. (83)

情報部分の列ブロックはパリティ側から k = 1, · · · ,Kとインデックスを振っている。TL

は次数 3のブロックである。右 4列ブロックがパリティのブロックである。k = 0の列ブロックはパンクチャされる次数 6のパリティに対応する。HB,Lを基本行列としてサイズ zの巡回成分で生成されるパリティ検査行列をHとする。その符号語において、対応するパリティビットのブロックを左から順に p0(列次数 6)、p1(列次数 2), p2(列次数 2), p3(列次数1)とおく。各 piは Lzビットの長さである。HB,Lの先頭 (0-th)行ブロックの成分 1には一般性を失うことなく単位行列 I

(0)z をアサインすることができる。また、p1, p2に対応す

るパリティの列次数 2のブロック

I

(1)L I

(0)L

I(0)L I

(0)L

は (58)のようなRA構造 HRA になるよ

うに巡回成分を割り当てる。TLに対応する 3L個の巡回成分も予め決めておくとすると、提案基本行列に対する巡回成分探索においてはパリティp0および情報に対応するHB,Lの第 1, 2行ブロックの 2(K + 1)L個の巡回成分の決定方法が本質的な問題となる。(83)の列ブロック tに対応するH の部分行列 (巡回成分のサイズ z)は、例えば L = 3, a1,k = 1,a2,k = 2の場合には次のようになる ( 0zは z × zの零行列、all 0の最後の行ブロックは除いている):

I(0)z 0z 0z

0z I(0)z 0z

0z 0z I(0)z

0z I(l1,k,1)z 0z

0z 0z I(l1,k,0)z

I(l1,k,2)z 0z 0z

0z 0z I(l2,k,0)z

I(l2,k,2)z 0z 0z

0z I(l2,k,1)z 0z

. (84)

巡回成分探索において列ブロックに関しては k = 0, 1, 2, ..., K, ブロック内においては

(84)の (l1,k,0, l2,k,0), (l1,k,1, l2,k,1), ..., (l1,k,L−1, l2,k,L−1) と伸長する形で巡回成分を逐次的

に決定する。(l1,k,i, l2,k,i)の探索時にそれまでに決定した巡回成分と (l1,k,i, l2,k,i) = (l1, l2)

とおいた巡回成分から構成される行列をHk,i(l1, l2)とする。例えば (63)のHB,3に対する

H1,1(l1, l2)は次のようになる:

H1,1(l1, l2) =


0z 0z I(0)z 0z 0z 0z0z0z 0z0z0z 0z0z0z

I(0)z 0z 0z I

(0)z 0z 0z0z0z 0z0z0z 0z0z0z

0z I(0)z 0z 0z I

(0)z 0z0z0z 0z0z0z 0z0z0z

I(l1)z 0z 0z I

(l1,0,1)z 0z 0zI

(0)z 0z I

(0)z 0z0z 0z0z0z

0z I(l1,1,0)z 0z 0z I

(l1,0,0)z 0z0zI

(0)z 0zI

(0)z 0z 0z0z0z

0z 0z I(l1,0,2)z 0z 0z I

(0)z 0z0z 0z0zI

(0)z 0z0z0z

I(l2)z 0z 0z I

(l2,0,1)z 0z I

(1)z 0z0z I

(0)z 0z0z 0z0z0z

0z I(l2,1,0)z 0z 0z I

(l2,0,0)z 0zI

(0)z 0z 0zI

(0)z 0z 0z0z0z

0z 0z I(l2,0,2)z 0z 0z 0z0zI

(0)z 0z0zI

(0)z 0z0z0z

0z 0z I(m0,0)z I

(m0,1)z I

(m0,2)z 0z0z0z 0z0z0z I

(0)z 0z0z

0z 0z I(m1,0)z I

(m1,1)z I

(m1,2)z 0z0z0z 0z0z0z 0zI

(0)z 0z

0z 0z I(m2,0)z I

(m2,1)z I

(m2,2)z 0z0z0z 0z0z0z 0z0zI

(0)z

. (85)

(85)では TLに対応する巡回成分を I(mj,i)z (0 ≤ j < L, i ≤ i < 3) と表している。

4.4.1 クリティカルパタン

情報部分、p0, p1, p2, p3のハミング重みをそれぞれwI , w0, w1, w2, w3とする。p0はパン

クチャされるため、符号語全体のハミング重み wは次のようになる。

　 w = wI + w1 + w2 + w3. (86)

最小距離を基準にした場合には wI が小さい情報パタンに対するパリティのハミング重

み w1 + w2 + w3 が大きくなるように巡回成分を決定することが基本となる。しかし、

ハミング重み wI までの情報系列の個数は (l1,k,i, l2,k,i) の探索時にはその時点の情報長

M = ((k− 1)L+ i)zに対してO(MwI−1)のオーダーとなる。この個数はwI = 4で既に情

報長に対する 3乗のオーダとなり、M が 1000程度の場合でも非常に大きな値となる。そ

こで、符号語のハミング重みが小さくなる可能性が高い情報ビットのパタン（“クリティ

カルパタン”と呼ぶ）に絞って効率良く符号語のハミング重みの評価を行う必要がある。

p0, p1, p2は (41)(45)を用いて求めることができる。p3は p0のみによって決定される。

TLの次数は 3なので w0が小さいときには

w3 ∼ 3w0 (87)

となることが期待でき、w0の差は増幅される形で (86)のwに影響を与える。一方、命題

3.6のように HRAを長さ 4Lzの cycleに沿って行、列を入れ替えて 2重対角行列になるよ

うにしたとき、情報部分と p0から決まる”シンドローム”である (43)(44)の s := (s1, s2)

に対しても同様の行の置換を施して得られる bit列を s′とおく。Hにおいては sにおける

1の個数は偶数になり、これを 2dで表す。s′ において’1’となる位置を順に b0, · · · , b2d−1

とする。このとき、2重対角行列の構造から (w1 + w2)は次のように表すことができる:

w1 + w2 =d−1∑

i=0

(b2i+1 − b2i), or 2Lz −d−1∑

i=0

(b2i+1 − b2i). (88)

明らかに

w1 + w2 ≥ d, (89)


が成り立ち、sのハミング重み dが大きいときには (86)のw1 + w2も大きくなることが期

待できる。

以上の考察から、提案基本行列に対する巡回成分探索においてはwI , w0が小さいときに

w1 + w2が大きくなるような巡回成分を求めていくことが一つの方針となる。本研究では

wI ≤ 6に対して次のようにクリティカルパタンを定める。考慮するハミング重みの上限の

設定によってクリティカルパタンの個数は大きく異なるが、本節ではwとして 15程度まで

を目安にする。このとき、(l1,k,i, l2,k,i)を決定するフェーズにおいて (l1,k,i, l2,k,i) = (l1, l2)

とおいた、(85)の Hk,i(l1, l2)に対して次のように wI ≤ 6に対してクリティカルパタン

(c0, c1, · · · , cwI−1)(ciは 1となる情報ビットの位置)を定める。

(1) wI = 1:

すべてのパタンをクリティカルパタンとするが、命題 3.2から (l1,k,i, l2,k,i)に対応す

る情報部分の任意の 1点 c0で 1となる情報系列を 1個選択すれば十分となる。

(2) wI = 2:

すべてのパタンをクリティカルパタンとする。wI = 1の c0に対して c1は任意の位

置を試す必要がある。よって、このクリティカルパタンの個数のオーダーはO(kLz)

となる。

(3) wI = 3:

w0 = 1 or 3となるが、w0 = 3のときは (89) (86)からw > 3 + 3 + 9 = 15となるこ

とが期待できる。よってw0 = 1となる場合のみをクリティカルパタンとする。この

とき wI = 2のクリティカルパタン (c0, c1)に対して c0もしくは c1と先頭行ブロッ

クにおいて同一行で 1となるように c2を選ぶことになるため、c2はほぼ 2k通りと

なるためクリティカルパタンの個数のオーダーはO(k2Lz)となる。

(4) wI = 4:

w0 = 0, 2, 4となるが、w0 = 2のときは d = 4で (89) (86)から w ≥ 4 + 4 + 6 = 14

となることが期待でき、w0 = 4のときはハミング重みはそれ以上となることが期待

できる。そこで w0 = 0となる場合のみをクリティカルパタンとする。wI = 3のク

リティカルパタン (c0, c1, c2)は 2ポジションに対応する列は先頭行ブロックにおい

て同一行で 1となっており、w0 = 0の制約から c3は残りの 1ポジションと先頭行ブ

ロックで同一行で 1となるように選ぶことになる。よってクリティカルパタンの個

数のオーダーはO(k3Lz)となる。

(5) wI = 5:

wI = 3のときと同様に w0 = 1となる場合のみを考え、更に (89)の d < 6を満

たすものをクリティカルパタンとする。このとき、wI = 4のクリティカルパタン

(c0, · · · , c3) に対して、c4に対応するHt,iの列は c0, · · · , c3に対応する列において 1

となるいずれかの行で 1となるように選択することになり、その個数は 8k程度とな

る。よってクリティカルパタンの個数のオーダはO(k4Lz)となる。


(6) wI = 6:

wI = 4のときと同様、w0 = 0かつ d < 6を満たすものをクリティカルパタンとす

る。このとき、wI = 5のクリティカルパタン (c0, · · · , c4)に対して c5は wI = 0の

制約からその個数は k程度となり、クリティカルパタンの個数のオーダはO(k5Lz)

となる。

4.4.2 巡回成分探索手法

クリティカルパタンの個数は kの 5乗のオーダで大きくなるため、kが大きくなる、つ

まり符号化率が高くなるとともにその評価に必要な計算量も非常に大きくなる。本研究で

は次のような方針で巡回成分の探索範囲を小さな計算量で判定可能な基準で逐次絞り込む

ことによって探索処理の効率化を図った。

(s1) girth/ACE基準による巡回成分の絞り込み

(s2) wI = 1, 2の情報パタンに対する符号語のハミング重み評価による巡回成分の絞り

込み

(s3) wI = 6までのクリティカルパタンに対する符号語の重み評価に基づく巡回成分の

決定

以下、上記プロセスの説明を行う。

シフト値を 0 · · · z − 1から選択する場合、(l1,k,i, l2,k,i)の候補の総数は z2となる。(s1)

においては 0 ≤ l1, l2 < z に対して (l1,k,i, l2,k,i) = (l1, l2)と設定した Hk,i(l1, l2) の local

girth gと、長さが gとなる cycleに対する ACE aを計算する。この (g, a)の辞書式順序

で順位が高い上位 n1個の (l1, l2)の集合をQ1とする。

(s2)においてはHk,i(l1, l2) ((l1, l2) ∈ Q1)に対して wI = 1, 2のクリティカルパタンの

w ((86))を計算し、wの最小値で比較して上位 n2個の (l1, l2)の集合をQ2とする。

(s3)においてはHk,i(l1, l2) ((l1, l2) ∈ Q2)に対して wI = 6までのクリティカルパタン

の w (86)を計算し、wの最小値で比較して最上位となる (l1, l2)からランダムに 1個選択

し、(l1,t,i, l2,t,i) = (l1, l2)を決定する。

この巡回成分探索プロセスを用いて (3.5), (3.5)の提案基本行列 (L = 3, 4) に対して巡

回成分を求めたときのクリティカルパタンに対するwmin := min{wI + w1 + w2 + 3w0}を図 17に示す。(s1)(s2)での候補の絞り込みに関しては n1 = 128, n2 = 32と設定した。図

の凡例における ()内の数字は Lzを表している。例えば (Lz) = (192)の場合には符号化

率 1/2(k = 3), 2/3(k = 6), 3/4(k = 9)に応じて情報長 572, 1144, 1716となる。命題 3.7の

最小距離上界 (L = 3で 28, L = 4で 36)がクリティカルパタンによって k = 2で達成され

ていることがわかる (図では Lz ≥ 192のとき)。この差から符号化率小 (k小)かつ zが大

の場合には L = 4の方が高い wminを達成可能となっている。


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k

wmin

図 17: L = 3と 4に対する wmin


図 17における L = 3, 4で wminの差が大きい符号化率 1/2で実際に生成した符号を用

いて FER評価を行った結果を図 18に示す。符号長 N は L = 3で 7992（情報長 3996,

z = 444), L = 4で 7968(情報長 3984, z = 332)と十分大きくしている。この結果から、

本節のように巡回成分を注意深く選べば L = 3, 4で FERに関してはほぼ同一の結果であ

り、(e1, e2) = (0, 0)でのエラーフロアも一致している。また、このエラーフロア領域にお

いても誤訂正（復号結果が異なる符号語となる事象）は今回のシミュレーションでは発生

しなかった。つまり、命題 3.7の最小距離上界とは異なる要因でエラーフロアが発生して

いて、L ≥ 5としてもこのエラーフロア改善には効果がないと予想することができる。図

からわかるように e1 = 1とすることが反復閾値の劣化を伴うが (0.2dB)、エラーフロア改

善には効果的となることがわかる。

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Eb/No (dB)

FER

図 18: L = 3と 4の FER特性比較 (符号化率 1/2, 符号長 8000)

携帯電話の標準である 3GPP LTE(Long Term Evolution)の QPP(Quadratic Permu-

tation Polynomial) interleaver[Tak06]を用いたターボ符号はエラーフロア特性が良いこ

とで知られている。Mother codeとなる符号化率 1/3の符号の最小距離は各符号長に対し

て [NBCB08]において評価されている。他の符号化率の符号はmother codeのパリティを

パンクチャすることによって得られるが、このときの最小距離を符号語間のパリティ部分

のハミング距離が単純にパンクチャしたビットの比率に比例して小さくなるとして計算し

たときの最小距離の近似値をmin′で表す。符号化率 1/3のmother codeにおいて最小距


離 dを達成する符号語間の情報部分のハミング距離を dI とすると、符号化率 rに対する

min′は次のように計算される。

min′ = mindI

(dI + ((d− dI)/2)(1/r − 1).　 (90)

図 19に、図 17の L = 4の場合と対比する形で、[NBCB08]の最小距離 dに対して (90)

で dI = 6として計算したターボ符号のmin′を示す。横軸は符号化率 rで表していて、図

17の L = 4で z = 12, 24, 48, 96のグラフはそれぞれ符号長 N = 144/(1 − r), 288/(1 −r), 576/(1 − r), 1152/(1 − r) のグラフに対応する。wmin, min′ともに、楽観的な見積も

りではあるが、符号長が大きいとき (N = 576/(1 − r), 1152/(1 − r))には提案 LDPC符

号によって最小距離の改善が期待できることがわかる。

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LDPC N=144/(1-r)LDPC N=288/(1-r)LDPC N=576/(1-r)LDPC N=1152/(1-r)T urbo N=144/(1-r)T urbo N=288/(1-r)T urbo N=576/(1-r)T urbo N=1152/(1-r)

rate r

wmin/ min’

図 19: L = 4の基本行列に対する提案 LDPC符号のwminと LTEターボ符号に対するmin’wmin

of proposed LDPC codes with L = 4 and min′ of LTE Turbo codes

4.4.3 シフト値共有によるパラメータ削減

適応的符号化に適した符号構成のためにはなるべく少ないパラメータで広範囲の符号長

や符号化率に対応可能なことが望ましい。提案基本行列 (83)に対して zに応じて特定する

必要がある巡回成分の個数は情報部分の l1,k,i, l2,k,iに対する 2kL個、パリティの b1,0, b2,0

に対する 2L個、および TLに対する 3L個となる。k = 12(符号化率 4/5)までを考えると、


合計で 2 × 12 × L + 2L + 3L = 29L となる。本研究では IEEE 802.16e[16e06]と同様に

次の方針に従って多様な符号長に対応し、かつ巡回成分の個数の削減を図った。

(i) zを定数 aの倍数に限定

(ii) 複数の zで共通の巡回成分を利用

(i)において aが大きい場合は巡回成分の個数の削減ととともに装置実装において高並

列化が容易となる。ただし、情報長は kLaのステップで大きくなるため、任意の情報長と

符号化率に対応するためには情報部分の短縮とパリティのパンクチャで調節をする必要が

ある。aの大きくなるとともに、このときパンクチャされるパリティの最大の比率の大き

くなり、特性面での劣化も大きくなる。本研究においては 802.16eと同様に a = 4として

巡回成分の決定を行った。

一方、(ii)に関しては (i)の複数の zに対して同時に前節の巡回成分探索を行い、平均的

に優れた girth/ACE基準およびwminを達成した巡回成分を決定することによって実行す

ることができる。zの範囲と符号の特性とは一般にはトレードオフとなるが、zが小さい

ときには特に顕著となる。そこで、1個の巡回成分のセットで表す zの範囲をその大きさ

に合わせて変えることが自然なアプローチとなる。

本研究では符号長 512 − 4000程度までを想定して次の 6個の zの領域に分割して、各

領域における巡回成分の探索を行った。

(a) z = 12, 16 (k ≤ 12)

(b) z = 20− 32 (k ≤ 12)

(c) z = 36− 64 (k ≤ 12)

(d) z = 68− 128 (k ≤ 9)

(e) z = 132− 192 (k ≤ 6)

(f) z = 196− 256 (k ≤ 3)

本研究では各 zに対してのシフト値は単純に lj,k,i mod zとする。(l1,k,i, l2,k,i)に対して領

域内の各 zに対して 4.4.2節の手順で girth/ACE基準 (g(z), a(z))および wmin(z)の最小

値を計算して、zの大きさで重みをつけてこれらの最小値を最大化する基準で巡回成分探

索を実行した。

図 20, 21はそれぞれ上記の領域 (a),(b)の z に対して巡回成分探索を行った際に得ら

れた、各 z に対する wmin を表している。各 z に対しての wmin の最小値が大きくなる

ように巡回成分を選択している効果で深刻に wmin が劣化する z は発生しておらず、ま

た、zが大きくなるにつれて wminも大きくなる傾向になっていることがわかる。図にお

いて”z=24(proper)”, ”z=48(proper)”はそれぞれ z = 24, 48と限定して、巡回成分探索を

行った際に得られた wminである。これらは領域内のすべての zの wminの最小値を基準


にした場合の z = 24, 48に対しての wminと比較すると確かに良い値となっているが、そ

の差は 2 ∼ 4程度であり、本節のように限られたサイズの zの領域であれば、シフト値を

本節のように注意深く選べば同一シフト値をアサインしても大きな劣化は避けることがで

きる。

Appendixに L = 4の基本行列 (3.5) の場合の領域 (a)-(f)に対して求めた巡回成分の具

体的な値を提示する。

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Min* w

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図 20:“ z-range (2): z = 20, 24, 28, 32”に対する wmin

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Min* w

k

図 21:“ z-range (3): z = 32− 64(step 4)”に対する wmin


4.4.4 従来の LDPC符号、ターボ符号との比較

本節のシミュレーション条件は特に断らない限り復号アルゴリズムは normalized min-

sumで、シリアルスケジュールを用いて繰り返し数 25で得られたFERである。提案LDPC

符号はAppendixの符号構成を用いている (L = 4, (e1, e2) = (1, 0))。

(A) IEEE 802.16e LDPC符号との比較

IEEE 802.16e[16e06]のQC-LDPC符号は 1/2, 2/3, 3/4, 5/6の 4種類の符号化率に対し

てそれぞれ異なる基本行列を用意している (符号化率 2/3, 3/4は (A)(B)の 2種類)。基本行

列の列数はいずれも 24で、行数は 1/2, 2/3, 3/4, 5/6に対してそれぞれ 12, 8, 6, 4となる。

パリティ部分はRA構造の変形で、符号長に対する線形オーダでの符号化が可能になって

いる。パリティ検査行列を生成する際の zは 24から 96までで (ステップ 4)、符号長は 576

から 2304までが設定されている。符号化率 5/6の提案 LDPC符号は符号化率 4/5からの

パンクチャによって構成する。

図 22-25から提案 LDPC符号によって符号化率 2/3 以上では良い特性が得られていて、

符号化率 5/6, 3/4は 0.2dB程度の符号化利得の改善となっている。一方、符号化率 1/2に

おいても同等の特性を得ることができている。

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Eb/No (dB)

FER

図 22: 提案 LDPC符号と IEEE802.16e LDPC符号特性比較（符号化率 5/6）


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Eb/No (dB)

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FER

Eb/No (dB)



1.E-05

1.E-04

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1.E+00

0.5 1 1.5 2 2.5 3

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FER

Eb/No (dB)



(B) 3GPP LTE ターボ符号との比較

図 26に提案 LDPC符号と 3GPP LTE ターボ符号 [NBCB08]で得られた FERを示す。

ターボ符号の結果は (normalized) max-log-map アルゴリズムを適用し、繰り返し数 8で

得られた FER(情報部分のみ)である。提案 LDPC符号は符号化率 1/2では 0.2dB程度の

劣っているが、符号化率 2/3以上では全般に渡って良い特性を示していることがわかる。

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FER

Eb/No (dB)

図 26: 提案 LDPC符号と 3GPP LTEターボ符号特性比較

4.5 まとめ

本章では QC-LDPC符号の構成において、与えられた基本行列に対して巡回成分を決

定する方法についての検討を行なった。(3, k)-regular QC-LDPC符号の最小距離および

girthに基づく巡回成分探索に関して論じて、前章の提案基本行列に対しての巡回成分探

索手法を検討した。ハミング重みの小さい符号語が発生しやすい情報系列であるクリティ

カルパタンを定め、girthに基づく判定基準とクリティカルパタンに対する符号語のハミン

グ重みに基づく段階的な巡回成分の決定手法を提案した。また、この手法によって複数の

zに対して巡回成分を共有するパラメータ数削減を図っても特性劣化を抑えることができ

ることを示した。提案符号は IEEE 802.16eの LDPC符号や 3GPP LTEのターボ符号と

比較しても同等以上の特性を達成可能であることをモンテカルロシミュレーションによっ

て示した。

5. LDPC符号の短縮符号化と拡大符号化に基づく Hybrid ARQ 63

5 LDPC符号の短縮符号化と拡大符号化に基づくHybrid ARQ

5.1 はじめに

ARQ(Automatic Repeat reQuest)は受信側から送信側への feedback channelを持つ通

信システムにおいて、情報をCRC(Cyclic Redundancy Check)などの誤り検出符号を付加

したパケット単位で送信することで通信の信頼性を高める方式である [Wic95]。受信側では

エラー検出を行い、エラーがないと判定された場合にはACK(acknowledgement)、エラー

が検出された場合には NACK(not acknowledgement) を feedback channelを通じて送信

側に通知する。送信側ではACK/NACKに応じて次のパケットを送信、またはパケットの

再送を行う。ARQが適用されている通信プロトコルとしてインターネットのTrnsmission

Control Protocol(TCP)などが良く知られている。Hybrid ARQ (HARQ)は誤り訂正符号

と ARQを組み合わせた方式である。本研究で検討する HARQは物理層の誤り訂正符号

を用いたHARQであり、TCPなどの上位層での再送制御と比較して遅延短縮と高効率化

を実現することができる。

HARQのパフォーマンスの指標はスループットであり、送信する情報サイズと再送を含め

て送信したビット数の比の平均値として定義される。HARQの多くの研究は広範囲の SNR

に対して高いスループットを達成することを目標としている。Incremental Redundancy

HARQ (IR-HARQ)は低符号化率の”mother code”からパンクチャによって生成された高

符号化率の符号を最初に送信し、再送要求（NACK）の際にはパンクチャされたパリティ

の送信を順次行う。パンクチャによって広範囲の符号化率で良い特性が達成できれば、そ

れを用いた IR-HARQも広範囲の SNRにおいて高いスループットが期待できる。ターボ

符号や LDPC符号はパンクチャによる可変レート対応も可能で、高スループットを目指

した IR-HARQにおける誤り訂正符号の候補となる。携帯電話の 3GPPにおいては既に

ターボ符号を用いた IR-HARQが採用されている [3GPP99]。

復号計算量は HARQ方式のもう一つの評価基準となる。準静的な通信路においては適

応変調と適応符号化によって通信路の状態に合わせて変調方式と符号化率が設定され、再

送は過渡的な状態遷移のときのみに実行されると考えられる。これは HARQの適用を想

定する際にも最初の送受信における計算量が通信システムの効率を考える上で重要である

ことを意味する。LDPC符号やターボ符号のパンクチャに基づく IR-HARQ方式の欠点

の一つは最初の送信時の高符号化率の符号を受信側で復号する際の計算量である。パンク

チャによって生成された高符号化率の符号は、予めその符号化率をターゲットにデザイン

された符号と比較して、大きな復号計算量を必要とする傾向にある。

スループットと復号計算量を考慮して、Li and Narayanan[LN02]はパンクチャと符号

の拡大 (extension)の組み合わせに基づく可変レート対応 LDPC符号を用いた IR-HARQ

方式を提案した。同様のアプローチとして、Yazdani and Banihashemi [YB04], Yue et

al.[YWM06]が挙げられる。しかし、例えば符号化率 3/4でデザインされた符号を用いて

拡大によって符号化率 1/2で特性の良い符号を構成することは難しい。そこで、これらの


研究においても符号化率 1/2から 2/3の間のmother codeを用いてそれよりも高い符号化

率の符号はパンクチャによって構成している。

本章では、符号の短縮符号化 (shortening)(もしくは伸長符号化 (lengthening))による可

変レート対応 LDPC符号を用いた HARQ方式を提案する [Oka08]。従来のパンクチャに

基づく符号構成と比較して高符号化率をターゲットにデザインされた符号を最初の送信で

使用できるため、このときのスループットと計算量を改善することができる。再送時には

短縮符号のパリティビットを送信する。受信側における復号は最初にこの短縮符号の復号

を行い、復号結果である情報ビットを fixする。このことによって最初に送信されたパリ

ティビットと残りの情報ビットから別の短縮符号を構成することが可能で、この構造を用

いて残りの情報ビットを復号を行うことが可能となる。この短縮符号化を再送が進むにし

たがって情報ブロックを順次小さくするように組織的に行うことが提案方式のポイントと

なる。LDPC符号の短縮符号化を利用した HARQは Dammer et al.[DNSS04]や Zesong

et al.[ZMJ06]にも報告されているが、提案手法のように組織的に短縮符号を段階的に構

成する方式にはなっておらず、広範囲の SNRに対して優れたスループットを達成する方

式になっていない。

短縮符号化に基づく HARQでは再送時には受信側では複数の短縮符号を復号すること

になるが、このときこれられの短縮符号の誤り率が同程度となるように短縮符号を構成し

ていくことが望ましい。3章のように情報部分が均質な次数分布を持つパリティ検査行列

を持つ LDPC符号を用いることによってこの短縮符号構成のプロセスを容易にすること

ができる。

一方、短縮符号化に基づく HARQ方式では再送が深くなるほど短縮符号の符号長が小

さくなり、復号する短縮符号の個数も大きくなる。また、符号化率 1/2未満では短縮符号

化によって優れた特性を持つ LDPC符号を構成することも難しくなる。そこで、予め決め

られた再送回数を越えた場合にはその時点でのすべての短縮符号に対して通常の符号の拡

大を適用した低符号化率の符号に基づいてパリティを生成する手法を提案する [Oka09]。

以下、5.2節では LDPC符号の復号計算量についての考察を行う。5.2.1節ではパンク

チャによる高レート符号の復号計算量をシミュレーション結果も用いて評価する。5.3節

では短縮符号に基づく提案 HARQ方式を述べ、5.3.2節では提案 HARQ方式に適した符

号構成についての考察を行う。5.3.3節では短縮符号に基づくHARQ方式に対して、拡大

符号化の併用手法とそのときの符号構成を述べる。5.4節ではスループットおよび復号計

算量のシミュレーション結果を通常の IR-HARQ方式と比較する形で行う。

5.2 Normalized min-sumアルゴリズムの復号計算量

LDPC符号の繰り返し復号において、ある列 (次数 d)に対応する bitの受信値（対数尤

度比）を r、λ0,· · ·,λd−1 を対応する列処理の入力とする。Min-sumアルゴリズムの列処理


は (91)と (92)に従って出力 τ0, · · · , τd−1を生成する。

Λ := r +d−1∑

j=0

λj . (91)

τj = Λ− λj for j = 0, · · · , d− 1. (92)

Degree-dの列処理の計算量は 2d回の加算処理と見積もることができる。

一方、τ0, · · ·, τe−1を次数 eの行に対応する行処理に対する入力とする。このときmin-sum

アルゴリズムの行処理は (93),(94),(95)に従って出力 λ0, · · · , λe−1を生成する。

min1 = |τi| = min{|τ0|, · · · , |τe−1|}. (93)

min2 = min{|τ0|, · · · , |τi−1|, |τi+1|, · · · , |τe−1|}. (94)

λj =

bjmin1 for j 6= i,

bjmin2 for j = i.(95)

ここで bj =∏

k 6=j sgn(τk)であり、sgn(τk) = +1 (τk ≥ 0), sgn(τk) = −1 (τk < 0)である。

(93), (94)と (95)はそれぞれ e回の比較演算の処理である。一方、(95)の bjの処理は相対

的に複雑度は小さいため、次数 eの行処理の計算量は 3e回の比較演算と見積もることが

できる。

Normalizationはmin1とmin2に 1より小さい定数 α を乗ずる処理である。αの精度

はあまり重要ではなく、前章で用いた α = 0.8125 = 1− 1/4 + 1/16の乗算は 2回の加算

（減算）となる。よって normalizationの計算量は各行に対して 4回の加算と見積もること

ができる。表 5は normalized min-sumアルゴリズムの各処理の計算量をまとめたもので

ある。

表 5: The number of additions and comparisons in each processing of the normalized

min-sum algorithm.process var. (deg. d) check (deg. e) norm. per row

addition 2d 0 4

comparison 0 3e 0

以下、加算と比較のコストは同一と仮定して、加算と比較の回数で計算量を評価する。

LDPC符号復号における計算量は復号スケジュールにも依存する。次章で示すように、

計算量の観点から行処理に合わせて列処理を行うシリアルスケジュールが望ましい。シリ

アルスケジュールが適用される際には最大行次数に対応する行処理プロセッサによって行

処理はすべて対応する実装方法が考えられる。この場、1 iterationあたりの復号計算量は

表 5を用いて

C = (5dc + 4)M, (96)


となる。ここでM はパリティ検査行列の行数で、dcは最大行次数である。

異なるHARQ方式の比較のためには情報 1 bitあたりの復号計算量 Cbが適切な指標と

なる:

Cb = C/N, (97)

ここでN は情報長である。繰り返し復号は硬判定結果がパリティ検査行列のすべての行

が満たされたときには即座に停止するとして、平均繰り返し回数を tで表す。このとき情

報 1 bitあたりのトータルの復号計算量は次の Cbで評価することができる。

Cb = tCb, (98)

実際の復号器実装においては並列化のための routing cost (置換処理)が全体の複雑度に

大きな影響を与える。しかし、いずれの HARQにおいてもこの問題は発生するため、本

章ではこのコストは考慮しない。

5.2.1 LDPC符号のパンクチャと復号計算量

パンクチャによって得られる高レート LDPC符号の復号はパンクチャされたビットの受

信値を軟判定値で 0 (bit 0, 1等確率)として低レートmother codeの復号を行うことで実

行される。以下、本節では情報部分の列次数が 4(regular), パリティ部分の列次数 (regular)

が 2の RA構造の LDPC符号においてパンクチャリングによって得られた符号とその符

号化率にデザインされた符号との復号計算量の比較を行う。符号化率 1/2, 2/3, 3/4にデザ

インされたこの符号の行次数は 6, 10, 14となり、Cbはそれぞれ 32, 26, 24 となる。符号化

率 1/2からパンクチャされた符号化率 2/3, 3/4の符号の Cbは符号化率 1/2のときと同一

で 32である。図 27は FER < 10−2を達成するための平均繰り返し数 tのシミュレーショ

ン結果をプロットしたグラフである。また、図 28はそのときの (98)の Cbをプロットした

グラフである。符号化率 2/3, 3/4にデザインされた符号は符号化率 1/2からパンクチャに

よって得られた同一符号化率の符号の 1/2, 1/3の復号計算量となっていることがわかる。

5.3 提案HARQ方式

5.3.1 短縮符号化に基づくHARQ方式

長さN の情報ビット列 U を送信する状況を考える。U は最初に高レートmother code

で符号化を行って送信する。r = 0, 1, 2, ... で再送処理のインデックスを表す。Mother

codeは r = 0-th transmissionに対応する。U(p)で U の p-th bitを表す (0 ≤ p < N).

I ⊆ {0, 1, ..., N − 1}に対して長さN の bit列 UI を次のように定める:

UI(p) =

U(p), if p ∈ I,

0, otherwise(99)


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2.5 3 3.5 4 4.5

2/3 Punctured from 1/22/3 Non-Puncturing3/4 Punctured from 1/23/4 Punctured from 2/33/4 Non-Puncturing

Eb/No (dB)

AverageIterationTimes

図 27: 符号化率 2/3および 3/4のRA構造 LDPC符号によって FER < 0.01を達成するための平均復号繰り返し数実験結果（normalized min-sumアルゴリズム）。(“Punctured from r”)は符号化率 rのmother codeからパンクチャによって生成した符号を表し、(“Non-Puncturing”)はその符号化率にデザインされた符号を表す。through simulation with LDPC codes of rate-2/3 and 3/4punctured from rate-r mother codes Code structure is RA-type, and information length is 480.

0

100

200

300

400

500

600

700

2.5 3 3.5 4 4.5

2/3 Punctured from 1/22/3 Non-Puncturing3/4 Punctured from 1/23/4 Punctured from 2/33/4 Non-Puncturing

Eb/No (dB)

Cb

図 28: 符号化率 2/3および 3/4のRA構造 LDPC符号によって FER < 0.01を達成するための復号計算量 Cbの実験結果（normalized min-sumアルゴリズム）。(“Punctured from r”)は符号化率rの mother codeからパンクチャによって生成した符号を表し、(“Non-Puncturing”)はその符号化率にデザインされた符号を表す。

UI をmother codeの符号器で符号化することによって I に対応する短縮符号の符号語を

生成することができる。

I(0, 0) = {0, 1, ..., N − 1} とする。短縮符号に基づく提案 HARQ 方式の r 回目の再

送においては {0, 1, ..., N − 1}を (r + 1)個の subset I(0, r), I(1, r), · · · , I(r, r) に分割し

て、UI(0,r) に対応する短縮符号のパリティを送信する。(r + 1) 回目の再送においては

I(0, r), I(1, r), · · · , I(r, r)のそれぞれ一部を集めて I(0, r+1)を生成し、I(j, r)の I(0, r+1)


に対する補集合を I(j + 1, r + 1)とする:

Ij+1,r+1 = I(j, r)\I0,r+1, for j = 0, 1, · · · , r.

I(j, r)の構造は送信側と復号側で共有しているとして、短縮符号に基づく提案 HARQの

送信者処理をまとめると次のようになる:

Sender’s procedure

S1: Let r be 0 and transmit the information bits U .

S2: Generate parity bits P (r) by encoding UI(0,r) with an encoder of the mother code

and transmit P (r).

S3: If the feedback is an acknowledgment (ACK), then finish the current transmission;

otherwise r ← r + 1 and go to S2.

UI(j,r)と P (r)でそれぞれUI(j,r)とP (r)を送信したときの受信値を表す。UI(0,0)は最初

に送信されているため、受信者はその部分系列である任意の UI(j,r)を復号に使用すること

ができる。一方、パリティに関しては r回目の再送においては P (j)(j = 0 to r)を復号に

使用することができる。P (r − j)は UI(0,r), · · ·, UI(j,r)によって決定されることに注意す

る. UI(0,r), ..., UI(j−1,r)が既に復号されているとすると, UI(0,r), ..., UI(j−1,r)の復号ビッ

トを fixすることによって受信者は UI(j,r)を UI(0,r−j) and P (r − j)から成る符号の短縮

符号として受信値 UI(j,r)と P (r− j)を用いて復号することが可能となる。提案HARQ方

式における受信者の復号手順を以下に示す。

Receiver’s decoding procedure

R1: Let r be 0 and set UI(0,0) to the decoder.

R2: Set P (r) to the decoder.

R3: Let the index of information-bit sub-blocks j be 0.

R4: Decode UI(j,r) with the received values UI(j,r) and P (r − j) as a shortened code of

the code which consists of I(0, r − j) and P (r − j).

R5: If R4 results in success, then go to R6; otherwise go to R9.

R6: If j = r, then transmit an ACK and terminate the current decoding process; other-

wise go to R7.

R7: Fix the decoded bits on I(j, r).

R8: j ← j + 1, and go to R4.

R9: r ← r + 1, and transmit a request and go to R2.

R5において, 復号の成功は復号結果のパリティ検査行列でのチェックや CRCなどの

外符号を付加することで検証することができる。また R7における復号ビットの固定は


signatureを保ったまま絶対値が最大になるように受信値を設定することによっても実現

可能である。

pj,r を r回目の再送における UI(j,r)の復号に失敗する確率とする。r回目の再送で受信

側でパケット受理に失敗する確率を qrとすると、Pj,kが独立であれば

1− qr =r∏

j=0

(1− pj,r) (100)

が成り立つ。成功確率 (1−qr)は pj,rが同一のときに最大となることが期待できる。そこで、

r回目の再送では (r+1)の短縮符号が同一符号化率になるように I(j, r)(j = 0, · · · , r)を構成することが一つの方針となる。これは I(j, r)(j = 0, · · · , r)が同一の長さとなることを意味し、これらの短縮符号の符号化率は、LをP (r)の長さとして、(N/(r+1))/(N/(r+1)+L) =

N/(N + (r + 1)L)となる。この符号化率はトータルの送信 bit数と情報ビット数の比、つ

まり r回目の再送で送信成功の場合のスループットに一致している。また、rと (r + 1)回

目の再送における符号化率の差は (1− 1/((N/L) + (r + 1)))となる。これはmother code

の符号化率 L/(N + L)と rが小さいときに大きくなり、これらの場合には再送によるス

ループットの gapが大きくなる。

図 29は r = 3における提案 HARQ方式に対応するパリティ検査行列を表している。

図において Hi は HP の部分行列で、HR(α)i (HL(α)

i ) は Hi の右 (左) alpha の比率の列

から成る部分行列を示している。’0’ は適切なサイズの零行列である。0番目の行ブロッ

ク (H0H1H2H3HP) は mother codeのパリティ検査行列であり、r 番目の行ブロックは

I(0, r)のパリティ検査行列となる。図 29からわかるように、提案HARQ方式は extension

に基づく方式の一種と考えることもできるが、提案 HARQ方式においてはmother code

の decoderのみがあれば本質的に十分となる。UI(0,j) は I(0, l)(l > j)の復号済み bitと

I(i, j)(i > 0)における短縮 bitを fixして、mother codeの復号器で復号することが可能と

なる。

T をmother code復号の繰り返し数の最大値とする。短縮符号の復号にもmother code

の復号器を適用する場合、r回目の再送においては (r + 1)個の短縮符号の復号の繰り返し

数の和が T 以下という条件が発生することが予想される。この繰り返し数の最大値が再送

時に制限されるという事実は提案 HARQ方式の欠点となるが、通常の extendingに基づ

く IR-HARQ方式でも同様に発生する。また、各短縮符号の復号における繰り返し数の最

大値を T/(r + 1)にするのではなく、シンドロームを確認して復号を即座に止めることに

よって繰り返し数の和を T 以下に抑えることによってスループットを改善することができ

る（統計的多重の効果）。このとき, 通常の IR-HARQ方式と同様に、提案HARQ方式の

復号計算量 Cbは次のようになる：

Cb = (rT + tr)Cb, (101)

ここで trは r回目の再送における復号の繰り返し数の和の平均値である。


P(1)

P(3)

0 0 0 0 0HP0 0H2 L(2/3)R(2/3)

H1

0 0

H1L(1/3)

0 R(2/3)H2 0 0 0 HP0

0 0 0 0 0HPH0 H1

0 0 0HPH0 H1 H2 H3

I(1, 3)I(2, 3) I(3, 3)I(0, 3)

I(2, 2)I(0, 2)I(1, 2)

I(0, 1) I(1, 1)

I(0,0) P(0)

P(2)

図 29: 短縮符号に基づく HARQ方式におけるパリティ検査行列の模式図 (r = 3)。I(j, r)情報ビットの subblockを表し、P (r)はパリティビットを表す。

5.3.2 提案HARQ方式に適した符号構成

短縮符号に基づく可変レート対応LDPC符号構成は前述のAR4A codes[DJDT05, CCSDS01]

などでも提案されている。しかし、短縮符号に基づく提案HARQ方式ではUI(0,r), · · · , UI(r,r)

のすべての短縮符号の特性 (反復閾値)が良い場合に優れたスループットを達成することが

可能となる。3.6節の符号構造は情報部分の次数分布が均質であり、UI(0,j)を単に同一サ

イズに分割することによって同一次数分布を持つ、つまり同一反復閾値を持つ短縮符号が

生成されることが期待できる。

図 30は提案符号構成 (83)(k = 12, mother codeのレート 4/5)を用いた場合のUI(0,r)の

模式図である。12個の列ブロック (サイズ Lz)に対して、r = 1, 2, 3回目の再送時にはそ

れぞれ 6, 4, 3個の列ブロックで構成されるUI(0,r)に対するパリティを送信する。この場合

には I(0, r), · · · , I(r, r)に対応する短縮符号の次数分布は完全に一致する。

5.3.3 拡大符号化の併用

短縮符号に基づく提案HARQ方式においては再送回数 rが大きくなる、つまり短縮符号

が低レート符号になるにつれて符号長も小さくなる。スループットは (100)の qk = 10−1、

つまり pj,r 10−2 付近の符号化利得で決定されるために符号長の影響は比較的小さいが、


P(0)

� = 0(mother code)

4/5

I(0, 1)

column blocks of information (k = 12)

� = 1 4/6 = 2/3 P(1)

I(0, 2)� = 2 4/7 P(2)

� = 3 4/8 = 1/2

I(0, 3)

P(3)

図 30: 提案 LDPC符号に対する提案 HARQ方式における短縮符号の構造

あまりに短い符号長はスループットにも深刻な影響を与える。さらに rが大きくなると同

一 pj,rであっても (100)の右辺∏

j = 0r(1− pj,r)の積は小さくなるためスループットの劣

化が予想される。

そこで、短縮符号に基づく提案 HARQ方式においても低レート符号対応には通常の拡

大符号 (extension)に基づく符号構成を併用して追加のパリティを送信することが有効に

なると考えられる。予め決められたRに対して、R回目の再送までは短縮符号化、(R+1)

回目の再送からは拡大符号化に基づくパリティ生成を行うとすると、(R + 1)回目の再送

では I(j, R) (0 ≤ j ≤ R)の (R + 1)個の短縮符号すべてに対する拡大を考えて、このパ

リティを均等に送信することが自然なアプローチとなる。前節の Sender’s procedure S3

はこの修正によって次のような S3 ’と S4で置き換えられる。

S3’: If the feedback is an ACK, then finish the current transmission; otherwise r ← r+1,

and if r > R, then go to S4; otherwise go to S2.

S4: Generate additional parity bits P (k)j of the shortened code corresponding to I(j, R)

(0 ≤ j ≤ R) by extension, and transmit P (r) = P (r)0|| · · · ||P (r)R, where ’||’ denotes

concatenation.

図 31は図 29のパリティ検査行列に対して、R = 3(r ≤ 7)でこの拡大符号に基づくパリ

ティ生成を行う場合のパリティ検査行列を表している。HE, HP1 とHP2は拡大符号に基づ

くパリティを決定する。これらの部分行列は I(j, R)に対応する短縮符号の拡大符号とな

るように配置されている。

短縮符号の行数M は拡大符号適用の再送時 (r > R)においては (M + (r −R)L/R)と

なる。拡大符号で付加される行の次数は十分に小さいので、r回目 (r > R)の再送時の復


0 0 0 0 0HP0 0H2

L(2/3)R(2/3)H1

0 0

H1L(1/3)

0 R(2/3)H2 0 0 0 0

0 0 0 0 0HPH0 H1

0 0 0HPH0 H1 H2 H3

0 0HP10 0 0 HE HP2

0 0 0 0HP1HE 000 HP2

0 0 0 0 0 0 HP2HE

0 00 0 HP1

0 0 0 R(2/3)HE 0 0 0 0

HEL(1/3)

0 0 00 0 0

0HP

HP2HP1

0 00 0

0 00 0

00

00

0 00 0

00

P(0) P(1) P(2) P(3)

P(4)0P(5)0P(6)0P(7)0P(4)1P(5)1P(6)1P(7)1

P(4)2P(5)2P(6)2P(7)2P(4)3P(5)3P(6)3P(7)3

図 31: 図 29における I(0, 3),...,I(3, 3) の短縮符号に拡大符号化を適用したときのパリティ検査行列 (r = 7)

号計算量は次のようになる。

Cb,r−R = ((M + (r −R)L/R)/M)Cb, (102)

ここで Cbは (101)のmother codeの復号計算量である。このとき繰り返し数の最大値も

(M/(M +(r−R)L/R))T となる。また、提案方式で r回目の再送 (r > R)において I(j, R)

に対応する短縮符号までの復号が完了している場合、I(0, R), · · · , I(j, R)までに対応する

情報ビットの復号結果を保持しておけば (r + 1)回目の再送では I(j + 1, R)の復号から開

始することができる。

本研究では拡大符号化を行うRとして、再送時の短縮符号の符号化率が 1/2以下の場合

とする。つまり、図 30のmother codeの符号化率 4/5(K = 12)の場合であればR = 3と

なる。(e1, e2) = (0, 0)である提案基本行列 (83)に対して、符号化率 1/2の符号を拡大す

る形での符号化率 1/3までの具体的な基本行列案を (103)に示す。

[H3 HP 0HE HP1 HP2

]


=

I(0)L I

(0)L I

(0)L I

(0)L 0 0 0 0 0 0

I(a1,3)L I

(a1,2)L I

(a1,1)L I

(a1,0)L I

(1)L I

(0)L 0 0 0 0

I(a2,3)L I

(a2,2)L I

(a2,1)L I

(b2,0)L I

(0)L I

(0)L 0 0 0 0

0 0 0 TL 0 0 I(0)L 0 0 0

0 0 I(a4,1)L I

(a4,0)L I

(0)L 0 0 I

(0)L 0 0

0 I(a5,2)L 0 I

(a5,0)L 0 0 0 0 I

(0)L 0

I(a6,3)L 0 0 I

(a6,0)L 0 0 0 0 0 I

(0)L

. (103)

表 6に (83)および (103)の基本行列に対する反復閾値を示す。符号化率 1/3における提

案基本行列の反復閾値とSannon限界との差はnormalized min-sumアルゴリズムで 0.8dB,

Gauss近似で 0.6dBと符号化率 1/2の場合と比較して 0.2dB程度差は大きくなっている

が、AR4A code[DJDT05]と比較して同程度であり、良好な反復閾値を持つ符号が得られ

ていることがわかる。

表 6: Threshold of the codes with H and AR4A codes in [DJDT05] (Eb/N0 (dB)). “Shannon”denotes the Shannon limit. “H (min-sum)” is calculated with discrete density evolution on thebasis of normalized min-sum algorithm. “H (gauss)” denotes Gaussian approximation results.“AR4A” is from the table in [DJDT05].

rate Shannon H(min-sum) H (gauss) AR4A

2/3 1.1 1.6 1.4 1.4

1/2 0.2 0.8 0.6 0.6

1/3 -0.5 0.3 0.1 0.0

5.4 シミュレーション結果

提案HARQ方式のスループットと復号計算量をシミュレーションによって評価した。提

案HARQ方式で用いた符号は、5.3.2,5.3.3節で述べたように、前章で提案した LDPC符

号構成 ((e1, e2) = (0, 0))とその低レート符号構成を用いている。Mother codeの符号化

率は 4/5 (K = 12)である。Mother codeのパリティの長さ LはN/4であり、再送時は L

bitsの追加のパリティが送信される。I(j, r)は図 29に示したように構成している。R = 3

回目の再送までは短縮符号 (符号化率 1/2となる)、それ以上の再送繰り返しでは 5.3.3節

の拡大符号に基づくパリティを送信する。

同一シミュレーションによる比較の対象として、LDPC符号の IR-HARQ方式の典型

例であり、具体的な符号構成も示されていることから 3GPP LTE 標準化で提案された

[ZTE06]の方式を選んだ。この方式はmother codeとして符号化率 1/2の irregular Repeat-

Accumulate タイプのQC-LDPC符号を用いていて、最大列次数は 16, 行次数の平均値は

8である。高レート符号はQC構造のブロック単位でのパンクチャを行って構成している。

(A) スループット


0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Shannon LimitFrom [YB04][ZTE06]Proposed (N=1080)Proposed (N=2160)

SNR (dB)

Throughput

図 32: 十分な復号繰り返し数でのスループットシミュレーション結果。IR-HARQ[ZTE06](N =1024)の再送時の送信パリティビット数は L/2と設定。[YB04] (N = 1024)の値も表記。

図 32は復号における繰り返し数が十分な場合のシミュレーション結果を示している。

“Yazdani”は [YB04]で示されている数値で、従来の最良の結果と思われるものの一つで

ある。[ZTE06]における再送時の送信パリティbit数は L/8としているが、これは今回ス

ループットの観点からは十分に小さい設定となっている。

提案方式は Lで再送時のビット数が固定されているため、図 32 において 1回目の再送

が発生する 1dBと 2dBの間でスループットの gapが現れている。しかし、提案方式は高

レート符号での特性が優れていることからこの領域においても [YB04]や [ZTE06]との差

は限定的となっている。また、スループット < 0.5においても、提案方式と [YB04]との

差は 0.5dB程度である。提案方式は短縮符号の符号長や個数などで再送回数が進んだとき

の特性の劣化が懸念されたものの、拡大符号の併用の効果もありスループット 0.3程度ま

では深刻なスループットの劣化は見られない結果となった。また、提案方式においても符

号長は 1000程度で十分なスループットが得られていることがわかる。

図 33は復号時の itertion数の最大値 T を 30, [ZTE06]においても再送時のパリティビッ

ト数 LをN/4としたときのシミュレーション結果である（符号長は 2160）。提案方式に

ついては T = 100の結果も示している。図 34は図 33において r回目の再送でのの失敗確

率 qr((100)参照)を示している。図 34の r = 0の結果からわかるように Lが同一であれ

ば SNRの 1 2dBの領域では提案方式の方が優れたスループットを図 33において達成し

ている。一方、図 34の r = 3から、提案方式の T = 100, 30で q3 = 0.1を達成する SNR

は [ZTE06]と比較して 0.2, 0.5dB程度劣る結果となり、それがそのまま図 33におけるス

ループット = 0.5を達成するための SNRの差となっている。このように提案方式の方が

T の制限の影響を強く受けるが、図 33からスループット < 0.5でも T = 30の場合でも大


きな劣化はみられない。提案HARQ方式によって、最良とはいえないが、広範囲の SNR

で良好なスループットを達成できているといえる。

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Shannon Limit[ZTE06], T=30Proposed, T=100Proposed, T=30

SNR (dB)

Throughput

図 33: 再送時の送信パリティサイズ L、復号繰り返し数 T = 30におけるスループットシミュレーション結果。提案方式に関しては T = 100の結果も示している。

(B) Computational Complexity

提案 LDPC符号における符号化率 4/5(k = 12)の場合の最大列次数は 15であるため、

表 5から 1 iterationの 1情報ビットあたりの復号計算量 Cb(101)は 25.66となる。一方、

[ZTE06]の LDPC符号の Cbは 42である。5.3.3節の低レート符号構成のための拡大符号

化において、復号計算量 Cb,l (102)は l = 1から 4に対応して 32.08, 38.5, 44.9, 51.3とな

る。こららのCbとシミュレーションによって得られた繰り返し数を用いて、再送全体での

1情報ビットあたりの平均復号計算量 Cbを計算した結果を図 35に示す。シミュレーショ

ンの条件は図 33と同一である。

図 35から提案HARQ方式は全般にわたって [ZTE06]よりも復号計算量の改善が達成で

きていることがわかる。SNR=2dB付近の復号計算量はほぼmother codeの復号計算量と

なるが、提案方式の復号計算量は [ZTE06]のほぼ 1/4となっている。SNR = −1.5dB以

下であっても、提案方式は [ZTE06]の 30%以下の復号計算量を達成している。

5.5 まとめ

本章においては初期伝送時の復号計算量の削減を目的に、前章までにおける提案 LDPC

符号構成を利用しての短縮符号化による rate compatibilityを利用するHARQ方式を提案

した。また、提案方式の低レート符号対応として拡大符号化を併用する方法も示した。シ


1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

-3 -2 -1 0 1 2 3

k=0k=1

k=2

k=3qk

SNR (dB)

Proposed, T=30* Proposed, T=100

IR-HARQ, T=30

図 34: r回目の再送におけるパケット受理の失敗確率 qr

ミュレーションによって提案HARQ方式は従来の LDPC符号を用いた IR-HARQ方式と

比較してスループットの劣化を抑えて復号計算量を広い SNRで改善可能なことを示した。

提案 HARQ方式は再送時のパリティビット数が一定という、柔軟性面でのデメリットを

持つが携帯機器など受信側のリソースが制限され復号計算量がクリティカルなアプリケー

ションにおいては有力な方式となると考えられる。


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

[ZTE06], T=30

Proposed, T=30

SNR (dB)

Cb

図 35: 図 33 (T = 30)における提案方式と IR-HARQ[ZTE06]の復号計算量 Cb 比較。

6. LDPC符号/ターボ符号の復号諸元解析 78

6 LDPC符号/ターボ符号の復号諸元解析

6.1 はじめに

本章では LDPC符号の繰り返し復号の実装時の主要事項となる復号スケジューリング、

量子化およびメッセージの巡回置換処理に関しての検討結果と、最尤復号の困難さの評価

を目的としたターボ符号のトレリスに関しての研究成果を報告する。

2.3節で述べたように LDPC符号の確率伝播法に基づく繰り返し復号はパリティ検査行

列の各列に対応する列処理と各行に対応する行処理の 2種類のプロセスで構成される。こ

れらの処理の順序には任意性があり、列処理全体と行処理全体を交互に行う処理順序をパ

ラレルスケジューリング、行処理に合わせて列処理を部分的に行う処理順序をシリアルス

ケジューリングと呼ぶ。シリアルスケジューリングによって収束速度が改善可能なことは

消失通信路の場合には Luby et al.[LMSS01]に報告されているが、6.2節は密度発展法を用

いた解析によって定量的に評価を行い、シリアルスケジュールによって収束速度がほぼ 2

倍になることを示す [岡村 01-2]。シリアルスケジュールはMansour and Shanbhag[MS03]

では turbo decoding message processing, Hocevar[Hoc03]では layered schedulingと呼ば

れていている。

受信値や復号の途中で生成される各ビットの信頼度情報を量子化することで密度発展法に

付随する解析的な問題を回避する手法はChung et al.[CFRU01]に示されており、離散密度

発展法と呼ばれている。[CFRU01]はこれを sum-productアルゴリズムに適用してShannon

限界に迫る符号設計に利用したのに対して、6.3節ではこの手法を normalized min-sumア

ルゴリズムに適用し、量子化ビット数による反復閾値への影響を評価する。Normalized

min-sumアルゴリズムでは sum-productアルゴリズムと異なって tanhと tanh−1の変換

テーブルも必要ないために量子化の影響評価も簡潔になる。

3.3.3節では LDPC符号の基本行列の構造とシリアルスケジューリングの復号器におけ

るメッセージを格納するメモリの個数について論じた。このとき、複数の行に対して並列

に処理を行う場合にはメッセージを格納するメモリとプロセッサ群の間のルーティングも

実装上の課題となる。QC-LDPC符号ではこの処理は巡回シフト処理になるために比較的

簡易にはなるが、高並列で適応符号化に由来する多様なサイズの巡回成分に対応するため

にはオーバーヘッドが大きくなるという課題がある。6.4節では一定並列度（プロセッサ

数）で効率的に任意の巡回成分に対応するための手法を提案する [岡村 06]。シリアルスケ

ジューリングを利用した先読みによる置換処理の省略と併せて柔軟かつ複雑度の小さい装

置構成とすることができる。

誤り訂正符号の最尤復号の計算量は一般に情報長の指数オーダーとなるが、畳込み符

号のようにトレリス表現が簡易になる場合は Viterbi復号を用いて効率化を図ることがで

きる。Berrou et al.[BGT93]のターボ復号は要素符号である畳込み符号の軟入力軟出力

復号を繰り返し復号法であり、アルゴリズムや実装上の簡易化に関する研究も進んでいる

[RVH97, 岡村 01, 岡村 01-1]。一方、符号全体のトレリス表現が実際には簡易になるので


あれば、それを利用して直接 Viterbi復号を適用することも考えられる。ターボ符号のト

レリス表現に関してはBenedetto et al.[BGM97] においてブロックインターリーバの場合

にビット順序によっては state complexityが非常に小さくなる場合があることが報告され

ている。6.5節ではターボ符号トレリスの state complexityを決定するインターリーバの指

標およびインターリーバとビット順序の関係を明らかにする [岡村 98, Oka99]。また、ト

レリス表現が簡易となるインターリーバを持つターボ符号に対して実際に最尤復号を適用

し、繰り返し復号との比較を行う。

6.2 復号スケジュールと収束速度

　密度発展法の応用の一つとして、LDPC符号復号における復号スケジュールと収束

速度の関係を評価する。LDPC符号の繰り返し復号はパリティ検査行列のすべての列、行

に対して列処理、行処理を行い、これを 1 iterationとしてカウントする。このとき列処

理、行処理を行う順序には任意性があり、これを復号スケジュールと呼ぶ。

LDPC符号のパリティ検査行列Hを β個の行ブロックに分割し、H0, · · · ,Hβ−1とおく。

繰り返し復号における復号スケジュール Sβ を次のように定義する。

復号スケジュール Sβ

次の処理を繰り返す:

For j = 0 to β − 1,

(a) すべての列においてHj へのメッセージを計算する列処理を実行する。

(b) Hj のすべての行で行処理を実行する。

β = 1の場合のS1は並列スケジュールやflooding scheduleと呼ばれる [LMSS01]。Sβ(β 6=1)を本研究ではシリアルスケジュールと呼ぶことにする。一般にはHj における列次数が

高々1の場合に Sβ はシリアルスケジュールや layered schedule[Hoc03]と呼ばれることが

多い。シリアルスケジュールは行処理で更新されたメッセージを迅速に次の処理で利用す

るため、収束速度の改善が期待できる。この改善効果を密度発展法によって見積もること

ができる。

簡単のため regular LDPC符号を考えて、Hj の各列は α個の 1を含むとする。このと

き列次数は αβである。例えばQC-LDPC符号は自然にこの性質を満たすようにHj を設

定することができる。

Sβ においては便宜上 (a)(b)の処理で 1 iterationとカウントすることにする。つまり、

通常の sum-productアルゴリズムの 1 iterationの処理は Sβ の β iterationである。

補題 6.1 (αβ, d)-regular LDPC符号の復号スケジュール Sβの l-th iterationの処理 (a)に

おいて、(αβ − 1)個の入力メッセージの中で (l − k)-th iteration (k = 1, · · · , β − 1)で生

成されたものはそれぞれ α個であり、(l − β)-th iterationで生成されたものは (α − 1)個

である。


Sβ において処理 (a)(b)で 1-iterationとカウントするとする。β-iterationで通常のパラ

レルスケジュールの 1 iteratioの計算量に対応する。この補題から次の命題が成り立つ。

命題 6.1 (αβ, γ)-regular LDPC符号の sum-product復号における Sβ の l-th iterationに

おけるHj の行処理の出力メッセージ yの平均値をm(l)で表す。このとき Sβ の密度発展

法は (26)の ψを用いて次の漸化式で表される。

m(l) = ψ−1(1− (1− ψ(m0 + αβ−1∑

k=1

m(l−k) + (α− 1)m(l−β)))d−1). (104)

図 36に (4, 8)-regular codeのm(l/β)の lに伴う発展の様子を示す。α = 1のシリアルス

ケジュールの場合は α = β = 4の並列スケジュールと比較して 1/2の繰り返し回数で同

一のmの値となっていることがわかる。つまり、シリアルスケジュールによって並列ス

ケジュールと比較して 1/2の繰り返し回数 (計算量)で同一特性を達成することができる。

また、α = 2の場合の特性は α = 1に近い値となっている。

1.0E-011.0E-011.0E-011.0E-01

1.0E+001.0E+001.0E+001.0E+00

1.0E+011.0E+011.0E+011.0E+01

1.0E+021.0E+021.0E+021.0E+02

0000 5555 10101010 15151515 20202020 25252525 30303030

l/β

m(l/β)

β = 4

β = 1

β = 2

図 36: (4, 8)−regular code に対する密度発展法によるメッセージ平均値 (Gauss 近似), σ =0.82(Eb/N0 = 1.7dB).

ターボ符号の繰り返し復号でもシリアルスケジュール、パラレルスケジュールを考える

ことができ、同様の性質が成り立つ [岡村 01-2]。


6.3 Normalized min-sumアルゴリズムにおける量子化の影響評価

本節では noramlized min-sumアルゴリズムを対象に AWGN通信路からの受信値およ

び繰り返し復号のメッセージの量子化の影響を考察する。ここでは受信値およびメッセー

ジを量子化した状態で密度発展法を適用して、反復閾値に基づきその影響を評価するアプ

ローチをとる。メッセージが量子化してあることで、その確率の遷移を計算機を用いて直

接に計算する離散密度発展法 [CFRU01]が適用可能となる。以下、離散密度発展法につい

て説明を行い、提案基本行列に対して量子化ビット数を評価した結果を示す。量子化したメッセージの集合サイズをM とすると、normalized min-sumアルゴリズ

ムにおける次数 dの行処理では入力の集合サイズはMd−1 となる。しかし、normalizedmin-sumアルゴリズムでは行処理は min演算によって実行され、sum-productアルゴリズムと同様に結合法則が成り立つ。故に次数 dの行処理を

yj = Ψ(x0, · · · , xj−1, xj+1, · · · , xd−1)

と表すと (j = 0, 1, · · · , d− 1)、yj は 2入力のΨの繰り返しとして

yj = Ψ(x0, · · · , Ψ(xj−1, Ψ(xj+1, · · · ,Ψ(xd−2, xd−1))) (105)

と計算することができる。これを利用して

f0 = x0, fj = Ψ(x0, Ψ(x1, · · · ,Ψ(xj−1, xj))),

gd−1 = xd−1, gj = Ψ(xd−1,Ψ(xd−2, · · · , Ψ(xj+1, xj)))

を計算しておくと (j = 1, · · · , d− 2)、yj は

y0 = g1, yd−1 = fd−2,

yj = Ψ(fj−1, gj+1), for 0 < j < d− 1,

として計算することができる。つまり、2入力のΨの演算をほぼ 3d回繰り返して次数 d

の行処理を実行することができる。

2入力に対してのΨの出力の確率の計算を繰り返すことによって密度発展法も実行する

ことができる。メッセージのビット数をQ1として、その値域を 2Q1 個の連続する整数値

{−2Q1−1,−2Q1−1 + 1, · · · ,−1, 0, 1, · · · , 2Q1−1 − 2, 2Q1−1 − 1}とする。Min-sumアルゴリ

ズムの 2入力の行処理における出力メッセージ yの確率を、入力メッセージ x1, x2の確率

を用いて次のように計算することができる。

P (y) =∑

(x1,x2):sgn(x1)sgn(x2)=sgn(y),|y|=min (|x1|,|x2|)P (x1)P (x2). (106)

係数 αによる正規化処理による確率の変化は次のように計算することができる。

P (y) =∑

y′:y=round(αy′)

P (y′). (107)

ここで round()は丸め処理を表す。


一方、2入力の列処理の出力メッセージ xの確率は次のように畳込みの形で表される。

加算結果が値域を越える場合は最大値もしくは最小値に置き換える。

P (x) =

∑(y1,y2):min(y1+y2,2Q1−1−1)=x P (y1)P (y2), if x ≥ 0,

∑(y1,y2):max(y1+y2,−2Q1−1)=x P (y1)P (y2), if x < 0.

(108)

All 0の符号語が送信されたと仮定して、初期設定として受信値 rの確率を設定した後

に (106)(107) (108)を繰り返してメッセージの確率を更新することで離散密度発展法を実

行することができる。受信値のビット数をQとする。良い復号特性を得るためにはQ1は

Q ≤ Q1 を満たす必要がある。以下、AWGN通信路で符号化率 1/2の提案基本行列

HB =

1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 00 0 0 3 0 0 1

に対して離散密度発展法を用いてQ,Q1と復号特性の関係を解析した結果を示す。(107)

の正規化係数 αについては次数 3以上の列に対しては α = 13/16、次数 1, 2の列に対して

は α = 1とする [Mar07]。パンクチャされる列次数 6のパリティビットに対しての受信値

の確率は P (r = 0) = 1と初期設定を行う。図 37に示すように量子化によるエラーフロア

の発生もあるため、以下の反復閾値は並列スケジュール 100 iterationで情報ビットの誤り

率< 10−7を達成する最小の SNRとして求めた結果を示している。

(i) Q = 1(硬判定)の場合

受信値 rに対しての量子化は r ≥ 0であれば A ∈ {1, 2, · · · , 2Q1−1 − 1}, r < 0であれ

ば−Aをアサインする処理を行うとする。つまり、受信値を硬判定した場合の誤り確率 p

を用いて受信値の確率を P (r = A) = 1 − p, P (r = −A) = pと初期設定する。Aを大き

くすることでメッセージの精度を上げることができるが、必要な Q1も大きくなる。表 7

にAに対して最良の反復閾値を達成する最小のQ1およびそのときの反復閾値を示す。ま

た、図 37に A = 4の場合のQ1と情報ビットの誤り率の関係を示す。表 7から Aに対し

て 4倍程度の値域を持つようにQ1を設定することが望ましいことがわかる。図 37をみる

とQ1が表 7のQ1 = 5よりも小さい場合には特性が大きく劣化している。一方、図 37で

Q1 = 5の反復閾値はQ1 = 6と変わらないが BER= 10−10付近で顕著なエラーフロアが

発生しており、Q1 = 6とすることでこのエラーフロアが改善可能となることが示されて

いる。メッセージの量子化を決める際にはターゲットとする BERに応じてこのエラーフ

ロアへの影響も考慮する必要がある。

(ii) Q > 1(軟判定)の場合受信値に対しては一様量子化を適用する。つまり、適切なAに対して受信値を量子化し

た値の集合を次のように 2Aステップで設定する;

{−2A · 2Q−1 + A, · · · ,−3A,−A,A, 3A, · · · , 2A · 2Q−1 −A}. (109)

AWGN通信路に対しては平均値 1のGauss分布を (109)にマッピングすることになるが、

硬判定のときの考察からメッセージの範囲は [−4, 4]に設定することが妥当となる。この


表 7: Q = 1（硬判定）における量子化パラメータと反復閾値

A 1 2 4 8

Q1 3 4 5 6

threshold (Eb/No(dB)) 3.0 2.7 2.4 2.4

��

��

��

��

��

��

��

� ��

Q1=3Q1=4Q1=5Q1=6

BER

Eb/No (dB)

図 37: 硬判定入力 (Q = 1), A = 4に対して離散密度発展法によって得られた BER特性。Q1 はメッセージのビット数。

とき (109)の最大値 2A · 2Q−1−Aは受信値 r = 4(2A · 2Q−1−A)/2Q1 に対応する。Q,Q1

が与えられたとき、Aは 1 ≤ r < 2を満たすように設定する。

表 8にQに対して最良の反復閾値を達成する最小のQ1およびそのときのAと反復閾値

を記す。表 8から受信値の量子化はQ = 3でほぼ十分となることがわかる。これは畳込み

符号の Viterbi復号の場合と同様の結果である。一方、Qを小さくしても必要なQ1はあ

まり変わらないことに注意する。つまり、受信値の量子化を 3ビットよりも粗くしても、

そのときの復号特性を最良にすることを考えた場合には復号器の装置規模はあまり変わら

ないことになる。

表 8: Q > 1（軟判定）における量子化パラメータと反復閾値

Q 1 2 3 4

Q1 5 6 6 6

A 4 4 2 1

threshold (Eb/No(dB)) 2.4 1.3 0.9 0.8


6.4 巡回置換処理の実現方法

　 3章の図 9のシリアルスケジューリングの復号器アーキテクチャからわかるように、

QC-LDPC符号の復号器の主要部分の一つはメッセージの並びの巡回置換処理を実現する

回路である。適応符号化に対応するためには多様なサイズおよびシフト値に対応する巡回

置換処理を実現する回路が必要となる。シリアルにシフト処理を行うのであれば全く問題

はないが、ハードウェアでの高速化のためには複数メッセージの入出力をパラレルに行う

巡回置換処理を実現する必要がある。

固定のサイズ z に対して任意のシフト値に対応可能な巡回置換を 1サイクルで実現す

る”barrale shift回路”は恒等変換もしくは 2i mod zの巡回シフト処理を行うスイッチの

dlog2 ze段のレイヤでの構成することができる（例えば [BCK00]参照）。各レイヤは z個

の 2×1スイッチで実現することが可能である。シフト値によって各レイヤにおけるスイッ

チの制御が行われる。図 38は z = 8の barresl shift回路の構成を表している。

0 or 2 cyclic shift

0 or 4 cyclic shift

0 or 1 cyclic shift

1

Cyclic Shift

Data Input

Data Output

0 1

Shift Value

図 38: Barrel shift回路 (z = 8)

zが可変の場合にはすべての zに対してそれぞれ barrel shift回路を用意することが単純

な方式であるが、zの種類が多いときは非常に装置規模が大きくなる。4節の提案符号構

成を考えると 30個以上の zに対応する巡回置換処理を用意する必要がある。一方、実用

上は z個のメッセージの巡回置換を 1サイクルで行う barrel shift処理が必ずしも必要で

はなく、列処理や行処理のプロセッサ数 aに合致した並列度の入出力で巡回置換処理を実

現できれば十分となる状況が多いと考えられる。この処理を並列度 aの巡回置換処理とよ

ぶことにする。例えば z = 12, a = 4でメモリ上にメッセージm0, · · · ,m11が

0 m0 m1 m2 m3

1 m4 m5 m6 m7

2 m8 m9 m10 m11

と格納されているとする (0, 1, 2はメモリのアドレス)。メモリからは a = 4のレコード単

位でデータを読み込む。並列度 aの巡回置換処理はシフト値 l = 5に対してはメモリから

データを読み出して (m5,m6,m7,m8), (m9,m10,m11,m0),(m1,m2,m3,m4) という a個

のレコード単位に並べ変えてデータを出力する。


並列度aの巡回置換処理の実現方法として、zがaの倍数のときにはメモリから読み出した

隣接する 2個レコードから a個の要素を取り出す方法が知られている [Hoc03]。図 39はこれ

を実現する回路の例である。図でMはメモリ、R0, R1はレジスタであり、S0, T0, · · · , Ta−1

はスイッチ、“shift1”, “shift2”はメッセージ (W ビットとする)をそれぞれ左、右にシフト

する回路である。“conrol”はシフト値やスイッチなどの情報を設定する回路である。この

とき、次のように巡回置換処理を実行することができる。pはメモリのアドレスでシフト値

を lとする。D := dz/aeはメモリの深さである。M(p)はメモリ上のアドレス pのレコー

ドを示す。ここでRetrieved(A, B)はAの右 (a−d)個の要素、Bの左 d個の要素を連接し

た a個のメッセージから成るレコードを出力する処理を表し、図 39では”shift1”,”shift2”

とスイッチ T0, · · · , Ta−1で実現している。レジスタR1は先頭レコードを保持しておくた

めに使用される。

(1) p ← bl/ac. d ← l mod a.

(2) R0 = R1 ← M(p). p ← (p + 1) mod D.

(3) For t = 0 to D − 1,

If t 6= D − 1, then

Retrieved(R0,M(p)). R0 ← M(p). p ← (p + 1) mod D.

else

Retrieved(R0, R1).

end if.

shift 1

��

��

R0

shift 2

S1

control

To Ta-1

W �a

WWWW

R1

W �a

m0 m1 m2 �� ma-1 address �

M

Retrieve

S2

図 39: zが aの倍数の場合の並列度 aの巡回置換処理回路の例


zが aの倍数ではない場合は上記の並列度 aの巡回置換処理をそのまま適用することは

できないが、z ≥ 2aの場合には aの倍数になるようにメッセージを巡回的に展開しておく

ことによって同様な処理を実現することができる [岡村 06]。例えば z = 10, a = 4の場合

にメモリ上にメッセージm0, · · · ,m9 を次のように格納する。

0 m0 m1 m2 m3

1 m4 m5 m6 m7

2 m8 m9 m0 m1

この場合にも連接する 2個のレコードから出力する 1レコードを生成することができるが、

アドレス 2と 0のレコードの要素の間には”ギャップ”が存在するため、これを考慮した

制御を行う必要がある。

ここで図 9のシリアルスケジュールの回路では巡回置換したメッセージに列処理 (VNU),

行処理 (CNU)で処理を行い、逆置換を行ってメモリに書き込んでいることに注意する。そ

こでメモリへの書き込み処理における巡回置換と次の読み出し時の巡回置換を合成した置

換を行ってから書き込み処理を行うことで読み出し時の巡回置換処理を省略することがで

きる。このような改良は一般に可能であるが、zが aの倍数と限らない場合の並列度 aの

巡回置換処理のように複雑度が増す場合には一層効果的となる。図 40は一般の zに対し

ての並列度 aの巡回置換処理を実現する回路の例である。”ギャップ”に対処するためにレ

ジスタの制御のシフト値に応じた変更（R1は先頭レコードもしくはギャップ発生時のレ

コードを保持する）、”Retrieve”のスイッチの設定をギャップが発生するポジションで切

り替える制御、および次にメモリから読み出す先頭レコードを記憶しておく必要がある。

shift 1

��

��

R0

shift 2

S1

control

To Ta-1

W �a

WWWW

R1

W �a

S2

m2 m3 �� ma ma+1

address �M

Retrieve

�m0 m1 m2 �� ma-1��ma ma+1 ma+2 �� m2a-1�

��

�

��

�

S0

図 40: 　 z ≥ 2aに対応する並列度 aの巡回置換処理回路の例　　


6.5 ターボ符号のトレリス複雑度と最尤復号

Viterbi復号は畳込み符号の最尤復号アルゴリズムとして知られているが、トレリス表

現を通じて一般の誤り訂正符号への適用も原理的には可能となる。この Viterbi復号の適

用の現実性はトレリスの複雑度 (trellis complexity)によって決定される。本節ではター

ボ符号の最小トレリス (minimal trellis)について検討を行ない、インターリーバの特性量

とトレリスの複雑度の関係を見出す。この結果によってBenedetto[BGM97]で指摘された

ターボ符号のビット順序とトレリスの複雑度の関係に明確な説明を与えることができる。

また、Viterbi復号が可能になるような簡易なインターリーバを持つターボ符号に対して

最尤復号を実際に適用し、繰り返し復号との比較を行う。

6.5.1 線型符号のトレリス

線型符号Cのトレリスはノードとして始点 Sと終点 T を持ち、Sから T へのパス (エッ

ジの連接)のラベルが符号語に対応するような有向グラフである。エッジが符号語の 1 bit

に対応するようなトレリスを考えると、符号長 nの C におけるノード全体は始点 Sから

のステップ数に応じて Σ0 = {S}, Σ1, · · ·, Σn−1, Σn = {T}と (n + 1)個の集合で構成

される。ρi = log2 Σiを時点 iでの state space dimensionと呼ぶ。また、max0≤i≤n ρi

をトレリスの state complexityと呼ぶ。符号 C に対して ρi が各 iで最小となるトレ

リスを最小トレリスと呼ぶ。最小トレリスは任意の C に対して存在し、ρiは一意に定ま

る [LKFF98, McE96]。Viterbi復号の計算量は state complexityに比例するため、state

complexityによってCへのViterbi復号適用可能性の判断を行うことができる。以下、最

小トレリスの state complexityの考察を行う。

State complexityはビット順序にも大きな影響を受ける。簡単な例を図 41に示す。2元

(n, k)線型符号 C は k × nの生成行列Gによって表すことができる:

C = {uG : u ∈ GF (2)k}.

図 41は生成行列G =

1 0 0 0 1 1 1

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0

で表される符号の最小トレリスを表して

いる。このトレリスの state complexityは 3であるが、符号語の i = 2, 3に対応するビッ

ト, つまり、Gの 2列目と 3列目を交換することによって state complexityを 2にするこ

とができる。

6.5.2 ターボ符号とビット順序

ターボ符号は組織的かつ再帰的な畳込み符号器 E をインターリーバ πを介して並列連

接した構造を持つ。情報系列を u1, u2, · · · , = c0,1, c0,2, · · ·としてEの出力であるパリティ


State Space Dimension �i 0 1 2 2 2 2 1 0State Complexity = 2

0

1

00

000 11

0 1 1 1

101

S

T

0 01

1100 0

111

0

01

00 0 0

00

11

0 11 0 11 0

0 0 0 1 1 11

1 101 0

1

1

0

S T

State Complexity = 3

Minimal Trellis 001

101

001

110

100

010

001

G =

001

101

001

100

110

010

001

G’ =

Minimal Trellis

State Space Dimension �i 0 1 2 3 2 2 1 0

exchange

図 41: トレリス表現の state complexityとビット順序


ビットを c1,1, c1,2, · · ·, πで置換を行った後のEの出力のパリティを c2,1, c2,2, · · ·とおく。トレリス表現を考えるにあたり、図 42の 3種類のビット順序を自然に考えることができる。

bit order (A) c0,1, c1,1, c2,1, c0,2, c1,2, c2,2, · · ·

bit order (B) c0,1, c1,1, c2,π−1(1), c0,2, c1,2, c2,π−1(2), · · ·

bit order (C) c0,π(1), c1,π(1), c2,1, c0,π(2), c1,π(2), c2,2, · · ·

�bit order (A) =

�bit order (B) =

�bit order (C) =

E�

E

E�

E �

-1

E�

E

�

�

Encoderfor bit order (A)

Encoderfor bit order (B)

Encoderfor bit order (C)

...2,22,12,01,21,11,0 cccccc

...

21uu

...

)2()1( ππuu

...2,01,0 cc

...2,11,1 cc

...2,21,2 cc

...)2(,22,12,0)1(,21,11,0 11 −−

ππcccccc

...

21uu

...

)2()1( ππuu

...2,01,0 cc

...2,11,1 cc

...

)2(,2)1(,2 11 −−

ππcc

...2,2)2(,1)2(,01,2)1(,1)1(,0 ccccccππππ

...21uu

...)2()1( ππuu

...

)2(,0)1(,0 ππcc

...

)2(,1)1(,1 ππcc

...2,21,2 cc

図 42: ターボ符号のビット順序と付随する符号器

トレリス表現のもう一つの重要な因子として sectinalizationがある。これは複数時点を連

結することによってトレリス表現の簡易化を図る手法である。上記のビット順序 (A)(B)(C)

に対しては 3時点で 1 sectionを考えることが自然となる（図 43）。以下、ρ3i の考察を

行う。


bit order(A)

bit order(B)

bit order(C)

�

�

0 3 6 3(k-1) 3k

....

....

....

1,21,11,0 ccc 2,22,12,0 ccc 3,23,13,0 ccc

)1(,21,11,0 1−πccc

)2(,22,12,0 1−πccc

)3(,23,13,0 1−πccc

1,2)1(,1)1(,0 cccππ 2,2)2(,1)2(,0 ccc

ππ 3,2)3(,1)3(,0 cccππ

図 43: ターボ符号の sectionalizationとビット順序

6.5.3 インターリーバの inversion number

{1, 2, · · · , k}上の置換であるインターリーバ π（サイズ k）に対して、次の集合を考える:

Pi(π) = {j : 1 ≤ j ≤ i, π(j) > i}.Qi(π) = {j : i < j ≤ n, π(j) ≤ i}. (110)

|Pi(π)| = |Qi(π)|が成り立つ。これらの集合は [BGM97]の Lemma 1で考えられている集

合と同一である。νπ,i = |Pi(π)|を時点 iでの πの inversion number (A)と呼ぶ。

系列 Sπ = (π(1), π(2), · · · , π(k))を考える。0 ≤ i ≤ kに対して Sπを次の (111)と (112)

のどちらかの条件を満たす部分系列 (π(j), π(j + 1), · · · , π(j′))に分割する。

πj, π(j + 1), · · · , π(j′) ≤ i. (111)

πj, π(j + 1), · · · , π(j′) > i. (112)

(111)を満たす部分系列で極大なものを順にB−π,i,1, B

−π,i,2, · · · , B−

π,i,aとする。同様に、(112)

を満たす部分系列で極大なものを順に B+π,i,1, B

+π,i,2, · · · , B+

π,i,b とする。B−π,i,a が B+

π,i,b よ

りも前にある場合には (απ,i, βπ,i) = (a, b − 1), B+π,i,b が B−

π,i,a よりも前にある場合には

(απ,i, βπ,i) = (a− 1, b)とおき、(απ,i, βπ,i)を時点 iでの πの inversion number (B)と

呼ぶ。

[例 1] 次の長さ 16のインターリーバ πを考える。

i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

π(i) : 7 11 3 10 14 9 1 12 6 8 15 2 4 5 16 13


i = 4に注目すると Pπ,4 = {1, 2, 4}, Qπ,4 = {7, 12, 13}であり、inversion number (A)は

νπ,4＝ 4となる。一方、inversion number (B)に関しては

S = 7 11 3 10 14 9 1 12 6 8 15 2 4 5 16 13

B+π,4,1 B−

π,4,1 B+π,4,2 B−

π,4,2 B+π,4,3 B−

π,4,3 B+π,4,4

となるため、(απ,4, βπ,4) = (3, 3)となる。

ブロックインターリーバ πa×bは 0, 1, 2, · · · , ab− 1に対して

πa×b(i) = (i mod a) · b + bi/ac, (113)

で定義されるインターリーバである。例えば π4×3は次のようになる:

i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

π4×3(i) : 0 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 11

π−1a×b = πb×aが成り立つ。

ランダムなインターリーバについては一般に i ∼ k/2で

νπ,k/2, απ,k/2, βπ,k/2 ∼ k/4. (114)

が成り立つ [岡村 98, Oka99]。ブロックインターリーバに関しては inversion number (A)

はランダムな場合と同様であるが、inversion number (B)は次の性質を満たす。

補題 6.2 For k = ab,

απa×b,i ≤ a, βπa×b,i ≤ a− 1. (115)

6.5.4 ターボ符号の state complexityの上界

ターボ符号のインターリーバを π, その要素となる畳込み符号器のメモリ数をmとする。

ターボ符号の state complexity ρ3iは inversion numberを用いて次のように評価される。

命題 6.2 ビット順序 (A)に対して,

ρ3i ≤ 2νπ,i + 3m. (116)

命題 6.3 ビット順序 (B)に対して,

ρ3i ≤αi∑

t=1

fm(B−π,i,t) +

βi∑

t=1

fm(B+π,i,t) + m, (117)

where fm(S) = min(l(S),m). (l(S)は系列 Sの長さ)　

系 6.1 ビット順序 (B)に対して,

ρ3i ≤ (απ,i + βπ,i + 1)m. (118)


系 6.2 ビット順序 (C)に対して,

ρ3i ≤αi∑

t=1

fm(B−π−1,i,t) +

βi∑

t=1

fm(B+π−1,i,t) + m. (119)

系 6.3 ビット順序 (C)に対して,

ρ3i ≤ (απ−1,i + βπ−1,i + 1)m. (120)

図 44に示すように、ビット順序 (C)は π−1でインターリーブした情報系列を考えるこ

とによって本質的に π−1を用いたビット順序 (B)と一致することから系 6.2と 6.3を導く

ことができる。

E�

E

�

� E�

-1

E

�

equivalent

図 44: ビット順序 (C)の符号器構成

以下、本節では命題 6.2,6.3を導く。系 6.1は 6.3から明らかである。

C の生成行列Gを i-th row, 3i-th columnで 4個の領域に分割する。

G =[Gp

3iGf3i

] Gp,i−

3i Gf,i−3i

Gp,i+3i Gf,i+

3i

. (121)

一般に線型符号の state space dimensionに関して次の補題が成り立つ。

補題 6.3 [LKFF98, McE96]

ρ3i = rank(Gp3i) + rank(Gf

3i)− k. (122)

ターボ符号の要素符号である組織的な再帰的畳込み符号は例えば次のような生成多項式

表示で表される（メモリ数 2の場合、Dは遅延演算子）。

g0(D) = [1, (1 + D2)/(1 + D + D2)].


この畳込み符号の生成行列G0は次のように表すことができる。

G0 =

1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 · · ·0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 · · ·0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 · · ·0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 · · ·0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 · · ·

· · ·

. (123)

上記のような畳込み符号はGp,i−0,2i , Gp,i+

0,2i , Gf,i−0,2i , Gf,i+

0,2i と自然に 4分割される。

補題 6.4 メモリ数m, 符号化率 1/2の畳込み符号に対して次の関係が成り立つ。

rank(Gp,i−0,2i ) = i, rank(Gf,i−

0,2i ) = m, (124)

rank(Gp,i+0,2i ) = 0, rank(Gf,i+

0,2i ) = k − i. (125)

特に rank(Gf,i−0,2i ) = mの一部の行 (もしくは列)から成る部分系列の rankもm以下となる。

ビット順序 (A),(B),(C)のターボ符号に対して次の補題が成り立つ。

補題 6.5

ρ3i = rank(Gp,i+3i ) + rank(Gf,i−

3i ). (126)

(証明) ターボ符号の組織部の列を考えると rank(Gp,i−3i ) = i, Gf,i+

3i = k − iが成り立つこ

とがわかる。またGp,i+3i の組織部の列は 0のため、Gp,i−

3i と線型独立となる。同様にGf,i−3i

とGf,i+3i は線型独立となる。よって補題 6.3から命題が成り立つ。 □

Gp,i+3i の組織部とパリティc1,j に対応する列から成る部分行列をGp,i+

3i,(1), パリティc2,j に

対応する列から成る部分行列をGp,i+3i,(2)とする。同様にGf,i−

3i の組織部とパリティc1,j に対

応する列から成る部分行列をGf,i−3i,(1), パリティc2,jに対応する列から成る部分行列をGf,i−

3i,(2)

とする。Gp,i+3i,(1), Gf,i−

3i,(1)は補題 6.4から rank(Gf,i−3i,(1)) ≤ m, Gp,i+

3i,(1)は零行列となる。よって

次の補題が成り立つ。

補題 6.6

ρ3i = rank(Gp,i+3i,(2)) + rank(Gf,i−

3i,(2)) + m. (127)

(命題 6.2の証明) Gf,i−3i,(2))の行 j = 0, i + 1, · · · , i− 1は Pπ,iの元でない hに対する π(h)

に対応する行と h ∈ Qπ,iに対する π(h)に対応する行とに 2分される。前者の部分行列の

rankは補題 6.4からm以下となる。後者の部分行列は行数 νpi,i のため、rankも νpi,i以下

である。よって rank(Gf,i−3i,(2)) ≤ νpi,i + mが成り立つ。rank(Gp,i+

3i,(2))についても同様の評

価が成り立つため、補題 6.6から命題 6.2 が成り立つ。 □

(命題 6.3の証明) Bit order (B)においてGf,i−3i,(2))はB−

π,i,j に対応して分割することがで

きる。各部分行列の rankは補題 6.4から fm(B−π,i,j)以下となる。Gp,i+

3i,(2))においてもB+π,i,j

に対応して同様の性質が成り立つ。よって補題 6.6から命題 6.3 が成り立つ。 □


ランダムなインターリーバにおいては (114)のように inversion numberは評価される。

このときは命題 6.2が最も小さな上界を示し、ρ3i ≤ k/2 + 3mとなる。図 45はm = 2,

k = 100の s-randomインターリーバで構成されるターボ符号の state space dimension

を実際に計算した結果を示している。Bit order (A)が bit order (B)よりも小さい state

complexityを与えていて、その値は上記のように k/2+3m付近となっている。また、命題

6.2が tightな評価となっていることがわかる。Viterbi復号が実際に適用できるのは state

complexityで 20程度までであり、k = 100ではもはや適用困難となる。

�

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

� ��

time i

�3i

bit order (B)

bit order (A)

図 45: S-randomインターリーバのターボ符号 (m = 2, k = 100)の state complexity

補題 6.2,系 6.1から απ,i, βπ,i が aで抑えられる πa×b はビット順序 (B)によって state

complexityを小さくできる。図 46は π4×25を持つターボ符号の state space dimensionを

表している (k = 100,m = 2)。

互いに疎な k, cを用いて

θk,c(i) = (ci)mod k

と表されるインタリーバを巡回インターリーバと呼ぶことにする。θ−1k,c = θk,c−1mod kとな

る。また、ブロックインターリーバと同様にαθk,c,i, βθk,c,i ≤ cが成り立つ。図 47は θ100,89を

インターリーバに持つターボ符号の state space dimensionを表している。89−1mod 100 = 9

となるため、系 6.3からビット順序 (C)で state complexityを小さくすることが可能となる。


�

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

� ��

bit order (B)

bit order (A)

time i

�3i

図 46: ブロックインターリーバ π4×25 のターボ符号 (m = 2, k = 100)の state complexity

�

��

��

��

��

��

��

��

�

�

��

� ��

bit order (B)

bit order (A)�

3i

bit order (C)

time i

図 47: 巡回インターリーバ θ100,89 のターボ符号 (m = 2,k = 100)の state complexity


6.5.5 最尤復号と繰り返し復号比較

図 48は前述の trellis表現を用いて実際にViterbi復号を適用したときの特性と通常の繰

り返し復号の特性を表している。要素符号の畳込み符号のメモリ数mは 2である。最尤復

号によって 0.2dB程度全般に符号化利得改善が可能となっている。ただし、π2×50, θ100,3

のビット順序 (B)の state complexityは 10, 14となり、それぞれ通常の繰り返し復号の 10

倍、100倍以上の復号計算量が必要となる。

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

FER

ML

Iterative

(State Complexity = 6)

ML

Iterative(State Complexity = 13)

Eb/No(dB)

�

�

50�2

100, 3

図 48: ブロックインターリーバ π2×50 および巡回インターリーバ θ100,3 のターボ符号 (m = 2,k = 100)に対するターボ復号と最尤復号特性比較


6.6 まとめ

本章では最初に LDPC符号復号における密度発展法を利用しての復号スケジュールと

量子化ビット数の解析結果を示した。シリアルスケジュールは繰り返し数を 1/2にするこ

とができるため、実用上は主流となっていくと考えられる。Normalized min-sumアルゴ

リズムに対する量子化パラメータ評価では離散密度発展法によって反復閾値の復号特性劣

化がないような受信値とメッセージの最小ビット数を求めた。必要な受信値ビット数は畳

込み符号のViterbi復号と同様となったが、量子化精度を落としてもその設定で復号特性

を最適化しようとした場合にはメッセージに必要なビット数はあまり小さくならない点に

注意する必要がある。また、メッセージビット数が小さいとエラーフロアが発生する場合

があることにも注意する必要がある。LDPC符号復号器実装における並列化で課題となる

メモリとプロセッサ群の間の置換処理のオーバーヘッド改善に関しては一定並列度で多様

なサイズの巡回置換に対応する方法を提案した。最後にターボ符号のトレリスの複雑度と

ビット順序およびインターリーバの特性量の関係を明らかにして、ターボ符号の最尤復号

適用の困難さを定量的に評価した。

7. おわりに 98

7 おわりに

本論文では適応符号化に適した実用的な高利得符号提案に向けて LDPC符号構成、提

案 LDPC符号を利用したHARQ（再送方式）、復号時の諸問題の解析の一連の話題を検討

してきた。

適応符号化では高速伝送時には高符号化率の符号が利用されることから、高符号化率に

おける復号計算量が小さいことが実装上望ましい。本論文ではこの条件にプライオリティを

おきながら、広範囲な符号化率で優れた特性を達成可能な、簡潔な構造を持つQC-LDPC

符号を示した。提案 LDPC符号は IEEE802.16eの LDPC符号や 3GPP LTEのターボ符

号を上回る特性を達成することをシミュレーションによって確認した。

提案LDPC符号のように高符号化率の符号を用いた場合の課題として IR-HARQへの対

応があるが、本論文では提案符号構成を利用した短縮符号化に基づく HARQ方式を提案

し、広範囲の SNRにおいて従来の LDPC符号を用いた IR-HARQと同程度のスループッ

トと大幅な復号計算量削減を実現した。

復号器実装は高速伝送対応のためには今後も最も大きな課題である。本論文ではまず復

号スケジュール、量子化ビット数といった復号処理に関わる基本的な事項の評価が密度発

展法を用いて定量的に行えることを示した。一定並列度で多様なサイズの巡回置換に対応

するための処理は、適応符号化に起因する並列化オーバーヘッド削減の観点から今後一層

重要になると考えられる。

次に今後の展望を述べる。

本研究で導いた適応的符号化に適した LDPC符号の構成手法は他の制約条件にも広く対

応できるが、より低いエラーフロア特性の保証のためには基本行列と擬似符号語の関係に

踏み込んだ洞察と、巡回成分探索における効率的な最小距離および擬似符号語のハミング

重み評価の手法が必要になる。実用面について、1Gbpsを越えるような情報伝送速度を達

成するためには本研究の提案 LDPC符号を用いたとしても復号器を非常に高い並列度で実

現する必要があり、携帯端末などへの実装を考えた場合にはまだまだ高い実装コストとな

る。そこで、並列化に基づく高速対応とは異なる、本質的に計算量削減につながる復号ア

ルゴリズムが望まれる。線型計画法に基づく LDPC符号の復号法 [FWK05]などの発展が

期待される。また、誤り訂正符号だけではなくMIMO(Multiple-Input Multiple-Output)

などの復調処理を含めた通信システム全体で特性向上と処理低減を目指すことも自然なア

プローチである。復調処理と誤り訂正符号の復号の間に確率伝播法を適用するターボ等化

(Turbo equalization)は 90年代から研究されてきたが、実用のためには遅延増大などの影

響がまだまだ大きい。これに対して、[和田山 08]で述べられている、復号と復調を一つの

最適化問題として定式化して凸計画法などを適用する手法は理論と実用の両面から今後注

目していく必要がある。

7. おわりに 99

謝辞本論文の主任研究指導教員（副査）の千葉大学理学部中村勝洋教授には終始激励および

ご指導頂きました。謹んで感謝申し上げます。中村教授には筆者が NEC入社後、符号理

論に関連する研究を始める機会も与えて頂きました、改めて感謝いたします。また、本論

文の審査を通じてご助言を賜りました主査の千葉大学種村秀紀教授、副査の千葉大学渚勝

教授および汪金芳准教授、外部審査員の電気通信大学山口和彦准教授に深謝いたします。

本研究はNECにおける筆者の LDPC符号研究を核としており、日頃からご指導を頂い

ている中田登志之氏、岩本真治氏、角尾幸保氏、谷幹也氏をはじめとする NEC共通基盤

ソフトウェア研究所の皆様に深く感謝致します。中でも研究分野全般にわたり日頃から有

益な御討論を頂いている神谷典史氏に深く感謝致します。本テーマの研究推進に御協力頂

いた NEC誘導光電事業部穴田啓晃氏に深謝致します。上記の他にも NEC入社以来お世

話になってきた皆様、特にNECシステムプラットフォーム研究所丸次夫氏ならびに本研

究を支援して頂いてきた田上勝巳氏をはじめとする NECモバイル RAN事業部の関係各

位に深謝致します。

最後に、妻真由美をはじめとする家族全員に対して改めて感謝致します。

A. 提案 LDPC符号の具体例 100

A 提案LDPC符号の具体例

提案基本行列HB,4の (64) を用いて (e1 = 1, e2 = 0)、4.4.3節の (a)-(f)の zの各領域に

対して巡回成分を求めて得られたパリティ検査行列の具体的な構成例を図 49,50,51 に示

す。図で各成分はサイズ zの巡回置換行列のシフト値を表していて、成分’a’に対しては

I(a mod z)z を対応させてパリティ検査行列を構成する。‘ -1’は z × zの零行列を表す。色

つきの部分が 4.4.3節の巡回成分探索で求めたシフト値である。情報部分の最終行ブロッ

クである all 0の行ブロックは省略している。


0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1

6 -1

-1-1

-11

-1 -1

-1-1

5 5

-1 -1

-1-1

-1-1

10 1

4 -1

-1-1

-111

-1 -1

12 -1

-1-1

-1-1

-19

-1 1

2 -1

-1-1

2 -1

-1-1

-110

-1

-1 -1

13 -1

-1-1

-14

8 -1

-1-1

-115

-1 -1

14 -1

-1-1

-14

-1 -1

-1-1

7 -1

-110

-1 -1

7 -1

-1-1

-1-1

6 -1

-1-1

1 -1

-1-1

-113

-1

-1-1

3 5

-1 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-111

-1 -1

10 -1

-1-1

-114

-1 -1

-1-1

15 -1

-18

-1 -1

13 -1

-1-1

-1-1

1 -1

-1-1

8 2

-1 -1

-10

-1 -1

-1-1

11 -1

-1-1

-16

-1 -1

-1-1

10 -1

-13

-1 -1

-1-1

12

2 -1

-1-1

-1-1

-19

-1 -1

10 -1

7

-1 -1

-110

-1 -1

-1-1

10 -1

-1-1

-1-1

2 -1

-1-1

12

9 -1

-1-1

-1-1

14 -1

-114

-1 -1

-11

-1 -1

-1-1

0 -1

-1-1

6 -1

13

-1 -1

-1-1

-15

-1

2 -1

-1-1

-1-1

-15

12 -1

-1-1

3 -1

-1-1

-110

-1 -1

-1-1

-19

-1 -1

8 -1

-1-1

9 -1

-1-1

-13

-1 -1

-112

-1

5 -1

-1-1

-1-1

7 -1

6

-1 -1

4 -1

-1-1

-1

4 -1

-1-1

3 -1

-1-1

-112

-1 1

2 -1

-1-1

-1-1

-114

-1 -1

-11

13 -1

-1-1

9 -1

-1-1

-1-1

3 -1

3

-1 -1

-1-1

-14

-1 -1

8 -1

-1-1

-115

-1 -1

-12

-1 -1

-1-1

3 -1

6

-1 -1

8 -1

-1-1

11 -1

-1-1

-111

-1 -1

-15

-1 -1

-1-1

-14

-1 1

5 -1

-1-1

-1-1

7 -1

-10

-1

(a) z

= 12, 1

6 (k = 1

2)

(b) z

= 20 –

32 (k =

12)

0 -1

-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

0

-1 -1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1 -

10

-1 -

1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1 -

1-1

0 -1

-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1 -1

-115

-1

0 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-16

-1 -1

-1-1

-10

-1 -

10

-1 -

1-1

-1-1

-1-1

9

-1 -1

-1-1

-10

-1 -1

0 -1

-1-1

-1-1

-1 -1

11 -1

0

-1 -1

-1-1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

15

-1 -1

1 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

-1 -1

3 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-1 -1

-110

-1 -1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

15 -1

-1-1

-1-1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1 1

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8

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

0 -1

-1-1

14 -1

5

9 -1

0

-1 -1

-1-1

-1-1

-10

-1 -1

13 1

6 -1

3

-1 -1

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

0 -1

19

21

12 -1

-1-1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-10

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

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-10

-1 -1

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-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

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-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1

9 -1

-1-1

-116

-1 -1

-1-1

15 2

6 -1

-1-1

-1-1

-128

5

-1 -1

-1-1

25 -1

-17

-1 -1

-1-1

-1-1

9 -1

6

-1 -1

-123

-1 -1

-1-1

4 -1

-1

-18

-1 -1

-1-1

18 2

1 -1

-1-1

-15

-1 -1

4 -1

-1-1

-115

-1 -1

-1-1

26 -1

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-1 -1

30 -1

-1-1

-1-1

27 -1

-1-1

9 -1

-1-1

-120

-1

-1-1

7 1

-1 -1

-1-1

1 -1

-1-1

-13

-1 -1

5 -1

-1-1

-121

-1 -1

-1-1

19 -1

-17

-1 -1

14 -1

-1-1

-1-1

16 -1

-1-1

12

4 -1

-1-1

19 -1

-1-1

-121

-1 -1

-1-1

5 -1

-1-1

-113

-1 -1

30 -1

-1-1

-126

12

-1 -1

-1-1

-1-1

11 -1

-118

-1

9 -1

-1-1

22 -1

-1-1

-127

-1 -1

-1 -1

-122

-1 -1

-11

11 -1

-1-1

-1-1

14 -1

-126

-1 -1

-110

-1 -1

-1-1

18 -1

-1-1

5 -1

24

-1 -1

-1-1

-112

-1 1

9 -1

-1-1

-1-1

-14

0 -1

-1-1

14 -1

-1-1

-122

-1 -1

-1-1

-117

-1 -1

1 -1

-1-1

17 -1

-1-1

-111

-1 -1

-11

-1 1

9 -1

-1-1

-1-1

22 -1

13

-1 -1

11 -1

-1-1

-1 3

1 -1

-1-1

16 -1

-1-1

-119

-1 2

2 -1

-1-1

-1-1

-114

-1 -1

-130

24

-1 -1

-119

-1 -1

-1-1

-114

-1 1

5 -1

-1-1

-1-1

15 -1

-126

-1 -1

-1 -1

11 -1

-1-1

13 -1

-1-1

-124

-1 1

0 -1

-115

-1 -1

-129

-1 -1

-1-1

16 -1

-1-1

28 -1

-1-1

-1-1

29 -1

18

-1 -1

-1-1

-110

-1 -1

22 -1

0 -1

-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

0

-1 -1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1 -

10

-1 -

1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1 -

1-1

0 -1

-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1 -1

-17

-1

0 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-117

-1 -1

-1-1

-10

-1 -1

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

22

-1 -1

-1-1

-10

-1 -1

0 -1

-1-1

-1-1

-1 -1

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0

-1 -1

-1-1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

31

-1 -1

1 -1

-1-1

0 -1

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-1-1

-1-1

-1 -1

6 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-1 -1

-111

-1 -1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

14 -1

-1-1

-1-1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1 1

0 6

8

0 -1

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-1-1

-1-1

0 -1

-1-1

14 -1

5

9 -1

0

-1 -1

-1-1

-1-1

-10

-1 -1

13 1

6 -1

3

-1 -1

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

0 -1

19

21

12 -1

-1-1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-10

図 49: z-region (a) and (b)に対する提案 LDPC符号のパリティ検査行列構成例


0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1

0 -1

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-1-1

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-10

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-1-1

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-1-1

-1-1

0 -1

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-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

27 -1

0

-1 -1

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

31 -1

-1-1

-1-1

0 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

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1 -1

-1-1

-1-1

0 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-158

-1

0 -1

-1-1

-1-1

-10

-1 -1

-1-1

-1 3

1 -1

-11

-1 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-1-1

-146

-1 -1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

10 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-1-1

-140

-1 -1

-1-1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

10

6 8

0

-1 -1

-1-1

-1-1

-10

-1 -1

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-1 5

9 -1

0

-1 -1

-1-1

-1-1

-10

-1 -1

13 1

6 -1

3 -1

-10

-1 -1

-1-1

-1-1

-10

-1

19 2

1 12

-1 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1-1

-1-1

0

(d) z

= 68 -

128 (k

= 9)

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

0 -1

-1-1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 -1

-10

-1 2

3 -1

-1-1

-132

-1 -1

-1-1

10

0 -1

-1-1

-1-1

-12

26 -1

-1-1

-120

-1 -1

8 -1

-1-1

-1-1

-120

-1 1

1 -1

-1-1

17 -1

-1-1

-125

-1

-1 -1

25 -1

-1-1

-135

33

-1 -1

-1-1

35 -1

-159

-1 -1

-1-1

55 -1

-1-1

-147

-1 -1

39 -1

-155

-1 -1

-1-1

-135

-1 -1

-139

-1 -1

-1-1

5 -1

-1-1

25

6 -1

-1-1

-127

-1 -1

-1-1

46 -1

-144

-1 -1

-1-1

8 -1

-1-1

-139

-1 -1

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-153

-1 -1

-1-1

-12

-1 -1

-131

56

-1 -1

-134

-1 -1

-1-1

24 -1

-1-1

-137

-1 -1

-1-1

12 -1

-128

-1 -1

-1-1

10 3

0 -1

-1-1

-1-1

-128

-1 -1

57 -1

42

-1 -1

-128

-1 -1

-1-1

13 -1

-1-1

-1-1

6 -1

-1-1

41 1

6 -1

-1-1

-1-1

16 -1

-139

-1 -1

-144

-1 -1

-1-1

33 -1

-1-1

4 -1

23

-1 -1

-1-1

-113

-1 2

5 -1

-1-1

-1-1

-152

47

-1 -1

-146

-1 -1

-1-1

63 -1

-1-1

-1-1

37 -1

-120

-1 -1

-128

-1 -1

-1-1

55 -1

-1-1

36 -1

30

-1 -1

-1-1

-130

-1 4

6 -1

-139

-1 -1

-1-1

56

-1 -1

-143

-1 -1

-1-1

30 -1

14

-1 -1

-1-1

-1-1

15 -1

-1-1

6 36

-1 -1

-129

-1 -1

-1-1

-142

-1 1

8 -1

-1-1

-1-1

41 -1

-122

-1 -1

-1 -1

45 -1

-1-1

26 -1

-1-1

-115

-1 2

1 -1

-152

-1 -1

-144

-1 -1

-1-1

26 -1

-1-1

34 -1

-1-1

-1-1

13 -1

36

-1 -1

-1-1

-118

-1 -1

53 -1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-1-1

0

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1

-1-1

-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

-1 -

1-1

0 -1

-1

-10

25 -

1 -1

-1-1

-1-1

4 1

8 -1

-1

-1-1

49 -

1 -1

9 -1

-1

-1-1

-1-1

36 -

1 10

4 -1

-1

-184

-1

-1-1

-111

5 -1

-1

56

-1 -

162

-1

-1-1

-137

-1

-1-1

-154

-1

-133

-1

-149

-1

-1-1

-1-1

78 -

1 -1

-188

-1

-1-1

-196

-1

-1

92 -

1 -1

79 -

1 -1

-1-1

74 -

1 -1

-1-1

53 -

1 -1

94 -

1 -1

105

-1 -

1-1

-1-1

93 -

1 -1

-188

60

-1 -

1-1

-1 -

1-1

39 -

1 -1

18 -

1 -1

-1-1

63 3

1 -1

-1

-1-1

-1-1

65 -

1 -1

79 -

1 2

0 -1

-1

-119

-1

-1-1

-175

-1

-1-1

-1

60 -

1 -1

96 -

1 -1

-168

-1

-1-1

-167

-1

-1-1

46 -

1 7

1 -1

-1

-1-1

-196

-1

26

-1 -

1-1

-1-1

-110

7 -1

-1

-119

-1

-137

-1

-1-1

21 -

1 -1

-1-1

38 -

1 -1

-113

-1

70

-1 -

1-1

-1-1

46 -

1 10

7 -1

-1

34 -

1 -1

-167

-1

-1-1

-1-1

-182

-1

-1-1

77 9

9 -1

-1

-163

-1

-1-1

-1-1

70 -

1 4

2 -1

-1

-1-1

-111

8 -1

-1

80 -

1 -1

-1 9

3 -1

-1

84 -

1 -1

-190

-1

-1-1

-173

-1

-1-1

97 -

1 -1

-1-1

-175

-1

118

-1 -

1-1

-1-1

71 -

1 -1

121

-1

0 -1

-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

0

-1 -

1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1

0 -1

-1

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7 -1

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31 -

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10

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1-1

84 -

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75 -

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10

6

8 0

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5

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0

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1-1

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13 1

6 -1

3

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10

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1-1

-1-1

-1-1

0 -1

19

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12

-1 -

1-1

-10

-1 -

1-1

-1-1

-1-1

0

(c) z

= 36 -

64 (k

= 12)

図 50: z-region (c) and (d)に対する提案 LDPC符号のパリティ検査行列構成例


0 -

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0 -

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0 -

1 -

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1 -

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-195

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40

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3 -

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9 -

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9 -1

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58

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7 -

1 -

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35

-1

-1

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-1

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-163

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67

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-1

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0

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0 -

1 -

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6

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0 -

1 19

21

12

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0 -

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0

(e)

z = 68

-12

8 (k =

6)

0 -

1 -

1-1

0 -

1 -

1-1

0 -

1 -

1-1

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0

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0 -

1 -

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0 -

1 -

1-1

-1

0 -

1 -

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0 -

1 -

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0 -

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-1

-10

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-10

-1

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-1 1

16

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105

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1 -

1 -

1-1

59

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-124

-1

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-1

12

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34

-1

-1-1

50

-1

59

-1

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8 -

1 -

1-1

76

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-1-1

-1-1

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-1

-194

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-1 1

02

-1

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-1-1

56

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0 -

1 -

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0

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1 -

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1 -

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6 -

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10

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04

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0

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-1-1

0 -

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18

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1 -

1-1

0 -

1 -

1-1

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0 -

1 -

1-1

0 -

1 -

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-1-1

-1-1

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-129

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0 -

1 -

1-1

0 -

1 -

1-1

-1-1

31

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-1

-1

-10

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-1

-1-1

-1

10

6

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0

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1 -

1-1

14

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0

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1 -

113

16

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3

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1-1

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0 -

1 19

21

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-1

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0 -

1 -

1-1

-1-1

-1-1

0

(f) z

= 13

2 -19

2 (k =

3)

図 51: z-region (e) and (f)に対する提案 LDPC符号のパリティ検査行列構成例

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