1 Amintas engenharia. 2 Cálculo Numérico Amintas Paiva Afonso 1. Introdução.
Ensino Superior 1.4. Integral por Decomposição de Frações Parciais Amintas Paiva Afonso Cálculo...
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Ensino Superior
1.4. Integral por Decomposição de Frações Parciais
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Integral Indefinida
O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo:
2x
A
Determinar
dx3)2)(x(x
920x16x4x3x22
234
EXEMPLO 01
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias
Integral Indefinida
Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos:
222 3)(x
EDx
3x
CBx
Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
22222
234
3)(x
EDx
3x
CBx
2x
A
3)2)(x(x
920x16x4x3x
Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
2222
222
2222
23422
3)(x
EDx3)2)(x(x
3x
CBx3)2)(x(x
2x
A3)2)(x(x
3)2)(x(x
920x16x4x3x3)2)(x(x
Integral Indefinida
que resulta:
E)2)(Dx(x
C)3)(Bx2)(x(xA3)(x920x16x4x3x 222234
Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:
E)29A(6C
xE)2D3C(6B
xD)2C3B(6A
xC)(2BxB)(A920x16x4x3x2
34234
Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:
Integral Indefinida
9E26C9A
20E2D3C6B
16D2C3B6A
4C2B
3BA
A solução deste sistema resulta:
0E4D0C2B1A
Portanto:
22222
234
3)(x
4x
3x
2x
2x
1
3)2)(x(x
920x16x4x3x
Integral IndefinidaLogo:
dx3)(x
4xdx
3x
2xdx
2x
1dx
3)2)(x(x
920x16x4x3x22222
234
C2xlnCulnduu
1dx
2x
1
dxdu1dx
du
2xu
dx3)(x
x4dx
3x
2xdx
2x
1222
C3xlnCulnduu
1dx
3x
2x
dx2xdu2xdx
du
3xu
22
2
Integral Indefinida
C3)2(x
1
2u
1
12
u
2
1duu
2
1dxx3)(x
dxx2
dudx2x du3xu
dx3)(xxdx3)(x
x
2
12222
2
2222
dx3)(x
x4dx
3x
2xdx
2x
1222
E, finalmente:
C3x
23xln2xlndx
3)2)(x(x
920x16x4x3x2
222
234
Integral Indefinida
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
EXEMPLO 02
Determinar
dxxx
13x9x23
3
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer aparecer frações próprias.
13x9x
9 9x9x
xx13xx09x
2
23
2323
23
2
23
3
xx
13x9x9
xx
13x9x
fração própria
Integral Indefinida
dx
xx
13x9x9dx
xx
13x9x23
2
23
3
dxxx
13x9xdx 9
23
2
dx)1(xx
13x9xdx 9
2
2
)1(x
C
x
B
x
A
)1(xx
13x9x22
2
)1(x
C)1(xx
x
B)1(xx
x
A)1(xx
)1(xx
13x9x)1(xx 2
222
2
22
BxB)A(xC)(A13x9x 22
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
Integral Indefinida
1B
3BA
9 CA
A = 2 B = – 1 C = 7
dx)1(x
7
x
1
x
2dx 9
2
dx)1(xx
13x9xdx 9
2
2
dx)1(x
7dx
x
1dx
x
2dx 9
2
C1xln7x
1xln2x9
Integral Indefinida
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
EXEMPLO 03
Determinar dx
2xxx
123
2)1)(x(xx
1
2)x(xx
1
2xxx
1223
2)(x
C
1)(x
B
x
A
2)1)(x(xx
1
2AxC)2B(AxC)B(A1 2
Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e rearranjando resulta:
Integral Indefinida
12A
0C2BA
0CBA
Portanto:
6
1C
3
1B
2
1A
2)6(x
1
1)3(x
1
2x
1
2)1)(x(xx
1
E, finalmente:
Logo:
dx2x
1
6
1dx
1x
1
3
1dx
x
1
2
1dx
2xxx
123
C2xln6
11xln
3
1xln
2
1dx
2xxx
123
Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person
Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.
São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.
Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
Integral Indefinida