Amintas engenharia. Noções sobre Vetores Prof. Amintas Paiva Afonso.
DSOFT Amintas engenharia. Integração Numérica Unidade 8.
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DS
OF
T
AmintasAmintas
engenhariaengenharia
DS
OF
T
Integração Numérica
Unidade 8
DS
OF
TIntegração Numérica
Ementa:
8.1 – Introdução
8.2 – Regra dos trapézios
8.3 – Primeira Regra de Simpson
8.4 – Segunda Regra de Simpson
8.5 – Quadratura Gaussiana
DS
OF
TIntegração Numérica
8.1 – Introdução
Dada uma função f(x), integrável no intervalo [a,b], definimos a integral como sendo:
Onde F’(x)=f(x).
Mas quando a forma analítica de F(x) for de difícil obtenção, ou quando conhecermos somente valores discretos de f(x) (como uma tabela de dados), precisamos recorrer a métodos numéricos para a sua resolução.
)()()( aFbFdxxfb
a
DS
OF
TIntegração Numérica
8.2 – Regra dos trapézios
Esta regra aproxima pequenos trechos da curva y=f(x) por segmentos de reta igualmente espaçados no intervalo [a,b].
000 , yxP
111 , yxP
222 , yxP
ax 0 1x 2xx 1nx bxn
nnn yxP ,
111 , nnn yxP
xfy
x
y
DS
OF
TIntegração Numérica
A região entre a curva e o eixo x é aproximada por trapézios. Realizando a soma das áreas dos trapézios, encontramos a integral de f(x). De forma geral, a fórmula para obtenção da integral é:
Onde h é a largura do trapézio, geralmente dada através do número “n” de intervalos:
h=(b-a)/n
nn yyyyyh
T 1210 2222
DS
OF
TIntegração Numérica
Exemplo: Calcular a integral definida abaixo, utilizando a regra dos trapézios com:
a)n = 5 intervalos.
b)n= 10 intervalos.
4
1
1dx
x
DS
OF
TIntegração Numérica
Solução:
a) O método prático de cálculo envolve preencher uma tabela com os valores de x e y, bem como os coeficientes de y:
i x y c
0 1,0 1,000 1
1 1,6 0,625 2
2 2,2 0,454 2
3 2,8 0,357 2
4 3,4 0,294 2
5 4,0 0,250 1
xy
n
abh
1
6,05
14
DS
OF
TIntegração Numérica
Portanto, utilizando a regra do trapézio:
O valor exato desta integral é 1,3863.
413,1)71,4.(3,0
)250,0588,0714,0908,025,11.(3,0
25,0294,0.2357,0.2454,0.2625,0.212
6,0
22222 543210
T
T
T
yyyyyyh
T
DS
OF
TIntegração Numérica
b) Considerando agora 10 intervalos:i x y c
0 1,0 1,000 1
1 1,3 0,769 2
2 1,6 0,625 2
3 1,9 0,526 2
4 2,2 0,454 2
5 2,5 0,400 2
6 2,8 0,357 2
7 3,1 0,322 2
8 3,4 0,294 2
9 3,7 0,270 2
10 4,0 0,250 1
xy
n
abh
1
3,010
14
DS
OF
TIntegração Numérica
Levando os dados à equação dos trapézios:
Como pode-se notar, um maior número de pontos torna o resultado mais próximo do valor real.
393,1)288,9(2
3,0
2...2222 1093210
T
yyyyyyh
T
DS
OF
TIntegração Numérica
8.3 – Primeira Regra de Simpson
Também conhecida como regra do 1/3 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 2º grau. A equação geral para a primeira regra de Simpson é:
Onde os coeficientes ci são iguais a 1, para c0 e cn, 4 para os “i” ímpares e 2 para os “i” pares. Um detalhe importante:
O número de subintervalos “m” deve ser par.
m
iii yc
hI
02 ..
3
DS
OF
TIntegração Numérica
Exemplo:
Calcule a integral abaixo, utilizando m=4 intervalos.
Solução: Como temos m=4 intervalos, utilizamos n=m+1=5 pontos. Assim:
4
1
1dx
x
75,04
14
m
abh
DS
OF
TIntegração Numérica
De acordo com a primeira regra de Simpson:
i x y c c.y
0 1 1 1 1
1 1,75 0,571 4 2,285
2 2,5 0,4 2 0,8
3 3,25 0,308 4 1,230
4 4 0,25 1 0,25
3915,1)566,5.(25,0
)25,0.1308,0.44,0.2571,0.41.1.(3
75,0
......3
2
2
44332211002
I
I
ycycycycych
I
DS
OF
TIntegração Numérica
8.4 – Segunda Regra de Simpson
Também conhecida como regra dos 3/8 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 3º grau. A equação geral para a segunda regra de Simpson é:
Onde os ci são iguais a 1, para c0 e cn, 2 para os “i” múltiplos de 3 e, 3 para os demais.
O número de subintervalos “m” deve ser múltiplo de 3.
m
iii yc
hI
13 ..
8
.3
DS
OF
TIntegração Numérica
Exemplo:
Calcule a integral abaixo, utilizando m=6 intervalos.
Solução: Colocamos os dados em forma de tabela, para facilitar a interpretação:
4
1
1dx
x
5,06
14
m
abh
DS
OF
TIntegração Numérica
i x y c c.y
0 1 1 1 1
1 1,5 0,667 3 2,001
2 2,0 0,500 3 1,500
3 2,5 0,400 2 0,800
4 3,0 0,333 3 0,999
5 3,5 0,286 3 0,858
6 4,0 0,250 1 0,25
DS
OF
TIntegração Numérica
De acordo com a primeira regra de Simpson:
Como pôde-se ver, este método aproxima ainda mais o valor real da integral.
3890,1)408,7.(1875,0
)25,0858,0999,08,05,1001,21.(1875,0
)25,0.1
286,0.3333,0.34,0.25,0.3667,0.31.1.(8
5,0.3
........8
.3
3
3
3
665544332211003
I
I
I
ycycycycycycych
I
DS
OF
TIntegração Numérica
8.5 – Quadratura Gaussiana
Os métodos mostrados até aqui necessitam de valores de x igualmente espaçados escolhidos por quem está trabalhando no método. Na quadratura Gaussiana, a escolha segue um padrão bem definido.
Este método tem como desvantagem a necessidade de se conhecer a forma analítica da função f(x). Sua principal vantagem é oferecer resultados exatos para polinômios de ordem até n-1.
DS
OF
TIntegração Numérica
Este método consiste em transformar a integral definida:
Em outra integral, na seguinte forma:
Através de uma troca de variáveis, vista a seguir.
b
a
dxxfI )(
1
1
)( dttFI
DS
OF
TIntegração Numérica
Trocamos a variável x por:
Então, a função F(t) será:
).(2
1)..(
2
1abtabx
).(
2
1)..(
2
1)..(
2
1)( abtabfabtF
DS
OF
TIntegração Numérica
Com isso, a equação geral da Quadratura Gaussiana será:
Onde:
n= número de pontos (escolhido)
Ai = coeficientes (tabela)
ti = raízes (tabela)
A tabela a seguir mostra alguns valores dos coeficientes e raízes.
1
0
1
1
)(.)(n
iii tFAdttFI
DS
OF
TIntegração Numérica
n i ti Ai
1 0 0 2
20 -0,57735027 1
1 0,57735027 1
3
0 0,77459667 5/9=0,555556
1 -0,77459667 5/9=0,555556
2 0 8/9=0,888889
4
0 0,86113631 0,34785484
1 -0,86113631 0,34785484
2 0,33998104 0,65214516
3 -0,33998104 0,65214516
DS
OF
TIntegração Numérica
Exemplo:
Calcule a integral abaixo, utilizando n=3 pontos.
Solução:
Inicialmente, fazemos a substituição da variável x por t:
4
1
1dx
x
DS
OF
TIntegração Numérica
Portanto, F(t) será:
5,2.5,1
)14.(2
1).14.(
2
1
).(2
1)..(
2
1
tx
tx
abtabx
5,2.5,1
5,1
5,2.5,1
1.5,15,2.5,1).14.(
2
1)(
).(2
1)..(
2
1)..(
2
1)(
tttftF
abtabfabtF
DS
OF
TIntegração Numérica
Para n=3, temos os seguintes valores tabelados:
Assim, temos a seguinte equação Gaussiana:
n i ti Ai
3
0 0,77459667 5/9=0,555556
1 -0,77459667 5/9=0,555556
2 0 8/9=0,888889
2
0
1
0 5,2.5,1
5,1.)(.
i ii
n
iii t
AtFAI
DS
OF
TIntegração Numérica
Assim:
38367,1
5333334,06227717,02275690,0
5,20.5,1
5,1.888889,0
5,2)77459667,0.(5,1
5,1.555556,0
5,277459667,0.5,1
5,1.555556,0
5,2.5,1
5,1.
5,2.5,1
5,1.
5,2.5,1
5,1.
5,2.5,1
5,1.
22
11
00
2
0
I
I
I
tA
tA
tAI
tAI
i ii
DS
OF
T Integração NuméricaFórmula de Newton-Cotes
Regra dos Trapézios
Amintas Paiva Afonao
CÁLCULO NUMÉRICO
DS
OF
TIntegração Numérica
• Introdução
• Fórmulas de Newton-Cotes– Regra dos Trapézios– Regra dos Trapézios Repetida– Regra de Simpson– Regra de Simpson Repetida
• Quadratura Gaussiana
DS
OF
T• Os métodos mais utilizados são classificados em
dois grupos:– Fórmulas de Newton-Cotes – empregam
valores de f(x), onde os valores de x são igualmente espaçados
– Fórmulas de Quadratura Gaussiana – utilizam pontos diferentemente espaçados, onde este espaçamento é determinado por certas propriedades de polinômios ortogonais
Integração Numérica
DS
OF
TIntegração Numérica
Interpretação geométrica da integralO valor numérico da integral
b
a
dxxf )(
é igual à área entre a função e o eixo x no
intervalo [a, b].Para calcular a integral
divide-se o intervalo [a, b] em N sub-intervalos iguais
e escreve-se
N
abx
)(
1
00
)(lim)(N
nn
Nx
b
a
xxfdxxf
DS
OF
TIntegração Numérica
Interpretação geométrica da integralNumericamente, toma-se x pequeno o suficiente para que o erro do cálculo seja inferior a um certo valor pré-determinado
o que é equivalente à soma de áreas de retângulos, como diagramado na figura ao lado.
xffff
xxfdxxf
N
N
nn
b
a
)(
)()(
1210
1
0
DS
OF
TIntegração Numérica
Interpretação geométrica da integral• É evidente na figura que, a não ser que tomemos x muito
pequeno, os erros serão grandes:
– as “quinas” que sobram do retângulo
• O erro pode ser minimizado, sem diminuir o tamanho de x:
– escolhendo uma figura geométrica mais adequada para calcular a área sob a função, como um trapézio, por exemplo.
• É interessante observar que aproximar a área sob a função pela soma de áreas de trapézios é o equivalente a:
– realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os pontos {xn, yn} com retas.
DS
OF
TFórmulas de Newton-Cotes
Regra dos TrapéziosSe usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos:
dxxfh
xxxf
h
xxdxxpdxxf
x
x
xb
xa
b
a
1
0
1
0
)()(
)()(
)()( 10
01
1
DS
OF
TFórmulas de Newton-Cotes
Regra dos TrapéziosAssim
,que é a área do trapézio de altura h = x1 – x0 e bases
f(x0) e f(x1).
,)()(2 10 xfxfh
IT
a = x0 b = x1
P0
f(x)
p1(x)f(x1)
f(x0)
DS
OF
TFórmulas de Newton-Cotes
Regra dos Trapézios Repetida• Este método de integração numérica consiste em:
– dividir a área sob a função em trapézios e
– somar a área dos trapézios individuais.
• Então, para intervalos x iguais:
xff
xff
xff
xff
dxxf nnb
a
2222)( 1322110
2
2222)( 13210
xffffffdxxf nn
b
a
DS
OF
T
37
Exemplo
Calcular
2
0 1 x
dxI usando a regra dos trapézios, usando
5
.1
1)(
xxf
sub-intervalos.
Um possível procedimento é o indicado na tabela ao lado.
Nesta tabela,
x f(x) p pf(x)
0,00
1,0000
1 1,0000
0,40
0,7143
2 1,4286
0,80
0,5556
2 1,1111
1,20
0,4545
2 0,9091
1,60
0,3846
2 0,7692
2,00
0,3333
1 0,3333
5513,5)(xpf
p é o número pelo qual f(xn) é multiplicada na expressão da
integral e p f(x) indica a soma dos termos entre colchetes, na
mesma expressão.
;4,05
02
x
1103,12
4,05513,5
2)(x
xpfI
A função a ser integrada é, então,
2
2222)( 13210
xffffffdxxf nn
b
a
DS
OF
TEstimativa para o Erro
Há duas maneiras de estimar incertezas no uso da regra dos trapézios:
•quando se conhece f(x): ),('')(12
2 fxab
onde é o valor para o qual a derivada segunda de f(x) é máxima no intervalo a ≤ ≤ b.
•quando não se conhece f(x):
. e 12
1 nnnnnn ffffff
,12
2fab
e de médio valor do módulo o é 22nffonde
DS
OF
T
39
ExemploTomando o exemplo anterior,
x f(x) f 2f
0,0 1,0000
0,4 0,7143
-0,285
7
0,8 0,5556
-0,158
7
0,1270
1,2 0,4545
-0,101
1
0,0576
1,6 0,3846
-0,069
9
0,0312
2,0 0,3333
-0,051
3
0,0186
0,0586
Então,
.01,0
0586,012
0,00,212
2
fab
Então, a maneira correta de expressar o resultado da integração numérica do exemplo anterior é
01,01103,101,02
4,05513,5
2)( xxpfI
f2
12
1
nnn
nnn
fff
fffnff 22 de médio valor do módulo -
DS
OF
T
40
Calcular a integral da função tabelada abaixo, usando a regra dos trapézios, e estimar o erro.
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
f(x) 0,000 0,164 0,268 0,329 0,359 0,368
Exercício
DS
OF
T
41
Integração NuméricaQuadratura Gaussiana
Amintas Paiva Afonso
CÁLCULO NUMÉRICO
DS
OF
T
42
Integração Numérica
• Introdução
• Fórmulas de Newton-Cotes– Regra dos Trapézios– Regra dos Trapézios Repetida– Regra 1/3 de Simpson– Regra 1/3 de Simpson Repetida
• Quadratura Gaussiana
DS
OF
T
43
Polinômios OrtogonaisAo lado das fórmulas de Newton-Cotes para integração
numérica, as fórmulas de Quadratura de Gauss se destacam por fornecerem resultados altamente precisos.
Tais fórmulas, baseiam-se em propriedades de polinômios ortogonais.
.ortogonais dizem se ...,)( ,)( ),( polinômios os então
0, para ,0))( ),((
j,i para ,0))( ),(( Se
. . . 2, 1, 0, grausde polinômios de família uma ...,,)( ,)( ),(
210
iii
ji
210
xxx
xx
xx
xxxSejam
DS
OF
T
44
Polinômios OrtogonaisNeste estudo, estamos considerando o produto escalar:
peso. função a é w(x)onde b], [a, em contínua e 0 w(x) com
,)()()(),( dxxgxfxwgfb
a
:seguinte doatravés obtidos ser podem ., . . 2, 1, 0, i ),( polinômios Os i x
:por definidos ., . . 2, 1, 0,graus de ...,,)( ,)( ),( polinômios os Sejam :Teorema 210 xxx
,))()()( x)(3,... 2, 1, k para e,
1,(1,1)
(x,1)x)(
))(),0((
))0(),0(()(
,1)(
1-kkk1k
000
001
0
xxxx
xx
xxx
x
kk
DS
OF
T
45
Polinômios Ortogonaisonde:
satisfazem é, isto ,ortogonais dois a dois sãodefinidos, assim ...,,)( ,)( ),( polinômios Os 210 xxx
.))(),((
))(),(( ;
))(),((
))(),((
1-k1-k
kk
kk
kk
xx
xx
xx
xxxkk
0. para ,0))( ),((j,i para ,0))( ),((
iii
ji
xxxx
DS
OF
T
46
Principais Polinômios Ortogonais
• A seqüência de polinômios 0(x), 1(x), 2(x),...,
evidentemente, depende do produto escalar adotado.
• Os mais conhecidos (inclusive já tabelados) e com os quais trabalharemos são os seguintes:
– Polinômios de Legendre
– Polinômios de Tchebyshev
– Polinômios de Laguerre
– Polinômios de Hermite
DS
OF
T
47
Principais Polinômios Ortogonais•Polinômios de Legendre
Os polinômios de Legendre P0(x), P1(x),..., são obtidos segundo o produto escalar:
, )()(),(1
1
dxxgxfgf
isto é, com w(x)=1, a = -1, b = 1. •Polinômios de Tchebyshev
O produto escalar para obter os polinômios de Tchebyshev T0(x), T1(x),..., é dado por:
, )()(1
1),(
1
12
dxxgxfx
gf
1. b e 1- a ,1
1 w(x)seja, ou
2
x
DS
OF
T
48
Principais Polinômios Ortogonais
•Polinômios de Laguerre
Os polinômios de Laguerre L0(x), L1(x),..., são obtidos segundo o produto escalar:
, )()(),(0
dxxgxfegf x
•Polinômios de HermiteO produto escalar para obter os polinômios de
Hermite H0(x), H1(x),..., é dado por:
. b e 0 a , w(x)portanto, xe
, )()(),(2
dxxgxfegf x
. b e - a , w(x)é, isto2
xe
DS
OF
T
49
ExemploPara obter os polinômios
de Legendre, devemos utilizar o teorema dos polinômios ortogonais e o produto escalar definido pelo mesmo. Assim:
1)(0 xP
xxPx
xx
dx
dxxx
xxxP
)(
2
1)1,1(
)1,()(
1
1
1
2
1
1
1
1
1
3
11
3
10)(
3
1
2
323
))(),((
))(),((
03
4
))(),((
))(),((
)()()()(
222
1
1
3
1
1
1
1
2
00
111
1
1
3
4
1
1
2
1
1
3
11
111
011112
xxxxP
x
x
dx
dxx
xPxP
xPxP
x
x
dxx
dxx
xPxP
xPxxP
xPxPxxPxP
Obter os primeiros polinômios de Legendre.
DS
OF
T
50
Propriedades dos Polinômios Ortogonais
Vejamos algumas das propriedades dos polinômios ortogonais que serão importantes para a obtenção das fórmulas de Quadratura de Gauss.
).( ,...,)( ),( de linear combinaçãocomo escrito ser pode n a igual ou menor grau de polinômio
qualquer Então, qualquer. escalar produto um segundo nulos, não,ortogonais polinômios ),...,( ,)( ),( Sejam - 1 ePropriedad
n10
210
xxx
xxx
n. que menor grau deQ(x) polinômio qualquer a ortogonal é )( Então 1. epropriedad da
condições nas )( ...,,)( ),( Sejam - 2 ePropriedad
n
n10
xxxx
DS
OF
T
51
b]. [a, em distintas (reais) raízes n possui (x) Entãob]. [a, em contínua e 0 w(x)
,)()()(),(
:escalar produto o segundoortogonais polinômios ),...,( ,)( ),( - 3 ePropriedad
n
210
com
dxxgxfxwgf
xxxSejam
b
a
.)()( onde ),()()(
:então 1, 2n a igual ou menor grau de polinômio um é f(x) Se.)( de raízes as x,...,x, xSejam 3. epropriedad
da condições nas ),...,( ,)( ),( - 4 ePropriedad
0
1nn10
210
dxxxwAxfAdxxfxw
xxxxSejam
b
a
kk
n
kkk
b
a
Propriedades dos Polinômios Ortogonais
DS
OF
T
52
Quadratura Gaussiana
• Consideraremos integrais da forma: ,)()( dxxfxwb
a
onde w(x) 0 e contínua em [a, b].• A função w(x) é chamada função peso e é
igual a zero somente num número finito de pontos.
• Usaremos Fórmulas de Quadratura para aproximar a integral.
• Fórmulas de quadratura são aquelas que aproximam a integral usando combinação
linear dos valores da função, isto é:
n
kkk
b
a
xfAdxxfxw0
),()()(
DS
OF
T
53
Fórmulas de Quadratura de Gauss
• São fórmulas usadas para se calcular:
,)()( dxxfxwb
a
• Calculamos o valor aproximado da integral usando:
n
kkk
b
a
xfAdxxfxw0
),()()(
• onde
).( de x,,x,x
raízes as sobre Lagrange de polinômios os são )(
1nn10 x
xe k
dxxxwAb
a
kk )()(
DS
OF
T
54
Assim, o procedimento para se calcular uma integral usando Quadratura de Gauss, é o seguinte:
b]. [a, intervalo no e w(x)peso função a com é, isto e,convenient escalarproduto o segundo ,)( ortogonal polinômio o determinar ) 1n xa
).( de x,,x, xraízes as calcular ) 1nn10 xb
.b) em obtidos x,,x, xpontos os
usando n, 1,..., 0, k ,)( Lagrange de polinômios os determinar )
n10 xc k
n. 1,..., 0, k ,)()( calcular ) dxxxwAdb
a
kk
.x,,x, xem f(x) de valor o calcular ) n10 e
,finalmente calcular, )f
n
kkk
b
a
xfAdxxfxw0
),()()(
Fórmulas de Quadratura de Gauss
DS
OF
T
55
Exemplo
Usando quadratura de Gauss, calcular: . )5(1
1
3 dxxx
• Na integral, vemos que: a = −1, b = 1, w(x) = 1, e f(x) = x3 − 5x.
• Assim f(x) é um polinômio de grau 3, e pela propriedade 4, temos que: se f(x) é um
polinômio de grau 2n + 1, o resultado da integral é exato (a menos de erros de
arredondamento).• Portanto, fazendo 2n + 1 = 3, obtemos que n =
1. :será (x), obter para escalar, produto O integral. a resolverpara (x), (x) de zeros os utilizar devemos Assim,
2
21n
. )()(1
1
dxxgxf
DS
OF
T
56
Exemplo
• Logo o polinômio procurado é x2 − 1/3.• Portanto, fazendo x2 − 1/3 = 0, obtemos x0 = −0.57735 e x1 =
0.57735 , (que são os zeros de 2(x) em [−1, 1]).• Temos que:
12
2
)(2)(
1)(
)(
1
)(
)()(
1
1
1
1
1
2
10
1
1
110
1
1 10
11
1
00
x
x
xxx
xxdxxx
xx
dxxx
xxdxxA
e portant
o,
,)(
)()(,
)(
)()(
01
01
10
10 xx
xxx
xx
xxx
.02
e que desde1
1
2
10
xxx
DS
OF
T
57
• Do mesmo modo:
12
2
)(2)(
1
)()(
1
)(
)()(
0
0
1
1
0
2
01
1
1
001
1
1 01
01
1
11
x
x
xxx
xx
dxxxxx
dxxx
xxdxxA
• Agora, calculamos a f nos zeros de 2(x). Assim: f(x0) = f(−0.57735) = (−0.57735)3 −
5(−0.57735) f(x1) = f(0.57735) = (0.57735)3 − 5(0.57735)
• Finalmente, podemos calcular a integral, isto
é:
0]5(0.57735) - (0.57735)[1
)]5(-0.57735 - (-0.57735)[1
)()( )5(
3
3
1100
1
1
3
xfAxfAdxxx
Exemplo
DS
OF
T
58
Fórmulas de Gauss•Fórmula de Gauss-Legendre•Para utilizar a fórmula de Gauss-Legendre a integral a ser calculada deve ter
a função peso w(x) = 1 , a = −1 e b = 1. Caso o intervalo de integração não coincida com o intervalo [−1, 1], devemos fazer uma mudança de variável.
•Fórmula de Gauss-Tchebyshev•Para utilizar as fórmulas de Gauss-Tchebyshev
a integral a ser calculada deve ter a função peso
1. b e 1- a ,1
1w(x)
2
x
•Novamente, caso o intervalo de integração não coincida com o intervalo [−1, 1], devemos
fazer uma mudança de variável.
DS
OF
T
59
•Fórmula de Gauss-Laguerre
•Para utilizar a fórmula de Gauss-Laguerre a integral a ser calculada deve ter a função peso w(x) = e-x, a = 0 e b =.
•Novamente, caso o intervalo de integração não coincida com o intervalo [0, ], devemos fazer uma mudança de variável.
•Fórmula de Gauss-Hermite•Para utilizar as fórmulas de Gauss-Hermite a
integral a ser calculada deve ter a função peso w(x) = e-x2, a = - e b =.
•Neste caso, se o intervalo de integração não coincidir com o intervalo [-, ], não podemos
utilizar a fórmula de Gauss-Hermite.
Fórmulas de Gauss
DS
OF
T
60
Erro nas Fórmulas de Gauss
• Quando f(x) é um polinômio, sabemos que as fórmulas de quadratura fornecem um resultado exato a menos, é claro, dos erros de arredondamento.
• Na maioria das situações reais, f(x) não é um polinômio e, portanto, sua integral é aproximada quando calculada através das fórmulas de quadratura.
• Exibiremos algumas expressões do termo do resto (ou erro de truncamento) para as várias fórmulas apresentadas.
• Não nos preocuparemos com a dedução de tais expressões por ser extremamente trabalhosa e sem nenhum interesse prático.
DS
OF
T
61
Fórmula de Gauss-Legendre
)()!22(
])!1[(E )22(
2
n
nfn
n
Fórmula de Gauss-Tchebyshev
)(])!22)[(32(
])!1[(2E )22(
3
432
n
nn
fnn
n
Fórmula de Gauss-Laguerre
Fórmula de Gauss-Hermite
)()!22(2
)!1(E )22(
1n
nn
fn
n
)()!22(
2E )22(
)22(n
nn
fne
b) ,a(
Erro nas Fórmulas de Gauss
DS
OF
T
62
Usando quadratura de Gauss, calcular
:
e estimar o erro.
Exercício
1
121dx
x
senx
DS
OF
T
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