~ 1 ~

บทนำ�ธรรมช�ตของฟสกส

ปรากฏการณตางๆ ทเกดขนในธรรมชาต เมอสงเกตจะพบวาปรากฏการณธรรมชาตทงหลายเหลานนลวนแตมปรศนา นาคนหาคำาตอบ เชน

-เหตใดทองฟาจงเปนสฟาในเวลากลางวน และเปนสดำาในตอนกลางคน

-เมอโยนกอนหนขนไปในอากาศ กอนหนจะตกลงสพน เหตใดกอนหนนนจงไมลอยคางอยเชนนน

มนษยสมยโบราณพยายามอธบายปรากฏการณทางธรรมชาตเหลานน โดยเชอวาเปนผลมาจากการกระทำาของเทพเจาหรอภตผปศาจ จากอดตสปจจบนไดมการพฒนาขนมาเรอยๆ โดยมการสงเกตการณบนทกขอมล และการวเคราะหขอมล เพอสรปเปนขอความรและความสมพนธของสงตางๆ ทเกยวของกน การศกษาอยางมลำาดบขนตอนเหลาน เรยกวา กระบวนการทางวทยาศาสตร ฟสกสเปนวทยาศาสตรแขนงหนง“ ”ของวชาวทยาศาสตรกายภาพ คำาวา ฟสกส(Physics) มาจากคำาวา Physis ในภาษากรกซงหมายถง ธรรมชาต(Nature) ดงนนคำาวา ฟสกส จงเปนคำาทใชศกษาปรากฏการณในธรรมชาตมาตลอด การพยายามหาคำามาอธบาย ทำานาย หรอลงขอสรปถงสาเหตของปรากฏการณตางๆเปนผลทำาใหเกดทฤษฎหรอกฎทางฟสกสและแขนงวชาอนๆมากมาย ดวยเหตน ฟสกส “ ”จงหมายถง วทยาศาสตรทศกษาองคประกอบและปฏสมพนธของสสารกบพลงงาน ตลอดจนความสมพนธของปรมาณตางๆ ในธรรมชาต เพอทำาความเขาใจ อธบายและคาดการณปรากฏการณตามธรรมชาต ตลอดจนนำาความรไปประยกตใชในการศกษาคนควาในศาสตรสาขาอนๆก�รคนห�คว�มรและขอบเขตของฟสกส

~ 2 ~

กลไกของฟสกส คอ การอธบายความสมพนธของปจจยหรอ ตวแปรทเกยวของกบปรากฏการณตางๆ ทเราตองการแสวงหาคำาตอบ แลวอธบายความสมพนธเหลานน ดวยหลกทางคณตศาสตร ความรทางฟสกสสวนหนงไดมาจากการสงเกตปรากฏการณธรรมชาต และจากการทดลองในหองปฏบตการแลวรวบรวมขอมลมาวเคราะห แปลความหมาย และสรปผล ขอสรปทไดนอาจนำาไปสทฤษฎ ถาทฤษฎนนสามารถทจะอธบายปรากฏการณทเกยวของไดทกครง ทฤษฎดงกลาวกจะพฒนาไปเปน กฎ นอกจากนความรทางฟสกสยงไดมาจากการจนตนาการ เชน การสรางแบบจำาลองทางความคดแลวใชหลกการของฟสกสมาอธบายแลวนำาไปสการสรปเปนทฤษฎ และมการทดลองเพอตรวจสอบทฤษฎนนๆ ขอมลทไดจากการศกษาฟสกสซงแบงเปน 2 ประเภท

1.ขอมลเชงคณภาพ(Qualitative data)เปนขอมลทไดจากการบรรยายสภาพของสงทสงเกตไดตามขอบเขตของการรบร เชน การระบลกษณะของรปทรง ลกษณะพนผว ส กลน รส ซงเปนขอมลทยงไมไดวดหรอวดไมได

2.ขอมลเชงปรมาณ(Quantitative data)เปนขอมลทไดจากการวดปรมาณตางๆ ของระบบทศกษาโดยใชเครองมอวดและวธการวดทถกตอง ทำาใหไดขอมลเชงตวเลข เชน ขอมลระยะทาง มวล เวลา และอณหภม

กระบวนการทางวทยาศาสตร(Science Process) เปนเครองมอในการคนหาความรทมาจากการสงเกต การลงความเหน การวด การคำานวณ การทำานาย การแปลความหมาย การจดจำาแนก การหาความสมพนธระหวาง space กบ space และ space กบ time ดงนนกระบวนการทางวทยาศาสตรจงประกอบดวย การตงปญหา การตงสมมตฐาน การออกแบบและทำาการทดลอง การวเคราะหขอมล และการสรปขอมล

~ 3 ~

วชาฟสกสแบงออกเปนหลายสาขา เชน กลศาสตร ความรอน เสยง แสง แมเหลก-ไฟฟา และฟสกสนวเคลยส หรออาจจะแบงออกเปนภาคใหญ คอ

1.ฟสกสยคเกา (Classical Physics)2.ฟสกสยคใหม (Modern Physics)แตในปจจบนศาสตรของฟสกสนนไดถกแบงออกเปนศาสตรหลกๆ

ดงนส�ข�ของฟสกส

1.กลศาสตร(Mechanics) 2.คลน(Waves) 3.ไฟฟา-แมเหลก(Electricity) 4.สมบตของสาร(Properties of Matter) 5.ฟสกสแผนใหม(Modern Physics)

บทท 1ก�รวดและก�รบนทกขอมล

ธรรมช�ตของก�รวดเครองมอวดทางวทยาศาสตร สวนใหญจะใหขอมลเชงปรมาณ การ

วดปรมาณตางๆ ประกอบดวย เครองมอ วธการวด และหนวยทเปนมาตรฐาน คาทอานไดจากเครองมอวดทกชนดทกแบบ ยงคงมความคลาดเคลอนเสมอ ดงนนขอมลทไดจะมความคลาดเคลอนมากนอยเพยงใดจงขนอยกบ

~ 4 ~

1. ผททำาการวด กลาวไดวา ผทำาการวดมความสำาคญมากในการเกบขอมลทางฟสกส ขอมลทรบจากการวดจะถกตองมากหรอนอยขนกบความรอบคอบของผวด ตลอดจนความชำานาญในการใชเครองมอวด

2. สภาพแวดลอมขณะทำาการวด เมอมการวดซำาๆหลายครง กจะไดคาทวดทมความแตกตางกน ซงกไมไดหมายความวาผททำาการวดทำาอะไรผด การทเกดเหตการณเชนนนเปนเรองของการแปรปรวนในขณะทำาการวด (ตวอยางเชน ขณะทผวดทำาการวดความเรวลมกลางแจง กจะพบวาคาทวดมความเปลยนแปลงอยตลอดเวลา) หรออาจเกดจากเครองมอวดทไมมความสมบรณตามทมนควรเปน ตวอยางเชน หากเราใชตลบเทปวดความยาวมนอาจจะยดออกขณะทวด ทำาใหเกดคาทวดแตกตางกนได ดงนนในการวดซำา และมคาทวดไดแตกตางกนขน วธทดทสด คอการอานคาซำาจำานวนมาก แลวหาคาเฉลย ซงคาเฉลยทคำานวณไดคอ คาจรง (True value)

3. วธการวด 4. เครองมอวด ตลอดจนขดจำากดและประสทธภาพของเครองมอ

วดนนๆ เปนสำาคญ ซงการแสดงผลของการวดม 2 แบบ คอ แบบขดสเกลและแบบ

ตวเลข-การแสดงผลดวยขดสเกล เชน สเกลไมบรรทด สเกลของเครองชง

สเกลบนกระบอกตวง โวลตมเตอร แอมมเตอร เปนตน

ภ�พท 1 สเกลไมบรรทด ภ�พท 2 สเกลของเครองชง ภ�พท 3 สเกลบนกระบอกตวง

~ 5 ~

ภ�พท 4 สเกลของโวลตมเตอร ภ�พท 5 สเกลของเทอรโมมเตอรแบบขดสเกล

-การแสดงผลดวยตวเลข เชน นาฬกาขอมอแบบตวเลข เครองชงไฟฟา เทอรโมมเตอรแบบตวเลข

ภ�พท 6 นาฬกาขอมอทแสดงเวลาแบบตวเลข ภ�พท 7 เครองชงดจตอล

ภ�พท 8 เทอรโมมเตอรแบบตวเลขก�รบนทกขอมล

ขอมลทไดจากการศกษาฟสกสซงแบงเปน 2 ประเภท 1.ขอมลเชงคณภ�พ(Qualitative data)เปนขอมลทไดจากการ

บรรยายสภาพของสงทสงเกตไดตามขอบเขตของการรบร เชน การระบลกษณะของรปทรง ลกษณะพนผว ส กลน รส ซงเปนขอมลทยงไมไดวดหรอวดไมได

2.ขอมลเชงปรม�ณ(Quantitative data)เปนขอมลทไดจากการวดปรมาณตางๆ ของระบบทศกษาโดยใชเครองมอวดและวธการวดท

~ 6 ~

ถกตอง ทำาใหไดขอมลเชงตวเลข เชน ขอมลระยะทาง มวล เวลา และอณหภม

ซงการบนทกขอมลจากการทดลองนนจะตองเปนไปตามขนตอนของกระบวนการทางวทยาศาสตร(Science Process) อนเปนเครองมอในการคนหาความรทมาจากการสงเกต การลงความเหน การวด การคำานวณ การทำานาย การแปลความหมาย การจดจำาแนก การหาความสมพนธระหวาง space กบ space และ space กบ time ดงนนกระบวนการทางวทยาศาสตรจงประกอบดวย การตงปญหา การตงสมมตฐาน การออกแบบและทำาการทดลอง การวเคราะหขอมล และการสรปขอมล

หลกเกณฑในก�รบนทกตวเลขและก�รคำ�นวณ1.การบนทกตวเลขทเหมาะสม ขอบเขตของความละเอยดในการวด

ขนกบอปกรณทใชวด ดงนน ตวเลขทไดจากการวดสามารถบอกความละเอยดของอปกรณทใชวดได ตวเลขดงกลาวมความสำาคญมากในการวด จงเรยกวา เลขนยสำ�คญ(significant) อปกรณทใชวดตางกนกจะใหจำานวนตวเลขนยสำาคญตางกนดวย หรอกลาวอกอยางคอ จะใหความแมนยำาในการวดตางกน เชน

รป ก

012345

~ 7 ~

O C รป ข

รป ก อปกรณการวดมความละเอยดแคเซนตเมตร วดความยาว OC ได 3.7 cm และตวสดทายคอ 3 เปนตวเลขทเดาขน ถาไมแนใจคดวาผดไปไมเกน 0.1 ตองบนทกเปน 3.7 ± 0.1 หมายความวาอาจเปน 3.6 หรอ 3.8 กได ในกรณรป ก นไมควรบนทกเปน 3.75 ± 0.01 เพราะละเอยดเกนความจรง

รป ข อปกรณการวดมความละเอยดถงมลลเมตร วดความยาว OC ได 3.75 cm และตวสดทายคอ 5 เปนตวเลขทเดาขน ถาไมแนใจคดวาผดไปไมเกน 0.01 ตองบนทกเปน 3.75 ± 0.01 หมายความวาอาจเปน 3.74 หรอ 3.76 กไดสรป ก�รบนทกตวเลขจ�กก�รวด

1.ตวเลขสดทายเปนตวทเดาขนไมมสเกลบอกในอปกรณวด2.ตวเลขตวอนๆ ทไมใชตวเลขตวสดทายเปนตวทวดไดแนนอน

เพราะมสเกลบอกไว3.การบนทกมรปแบบดงน

คาแนนอน เดา คาดวาผดเลขนยสำ�คญ

012345

~ 8 ~

เลขนยสำาคญ คอ เลขทมความสำาคญหรอความหมายตอการวดหรอการทดลอง เพราะวาการทดลองในวทยาศาสตรยอมมการวดและตองอานคาจากเครองมอวดออกมาเปนตวเลขทบอกความหมาย ดงนนเลขนยสำาคญจะเปนตวชบงวาขอมลทวดได ละเอยดขนาดไหน หลกก�รนบเลขนยสำ�คญ

หลกในการพจารณาวาตวเลขจากการวดใดมเลขนยสำาคญกตวพจารณาดงน

1. ตวเลขทกตวทไมใชเลขศนย(0) เปนเลขทมนยสำาคญ เชน 3.2, 2.46, 1.326, 16, 162, 2342 มเลขนยสำาคญ 2, 3, 4, 2, 3, 4 ตว ตามลำาดบ2. เลขศนย (0) ทกตวทอยระหวางตวเลขนยสำาคญ เปนเลขนย

สำาคญ เชน 103 มเลขนยสำาคญ 3 ตว1002 มเลขนยสำาคญ 4 ตว1000.02 มเลขนยสำาคญ 6 ตว1.001234 มเลขนยสำาคญ 7 ตว

3. เลขศนย (0) เมออยปลายสดทางดานขวาโดยอยหลงจดทศนยมเปนเลขนยสำาคญ เชน

1.0 มเลขนยสำาคญ 2 ตว1.00 มเลขนยสำาคญ 3 ตว1.020 มเลขนยสำาคญ 4 ตว

ในบางกรณ เลขศนย (0) ทอยทางขวาของเลขจำานวนเตมใดๆ อาจบอกเปนเลขนยสำาคญไดไมชดเจนถาตองการยำาใหเกดความชดเจนควรเขยนใหอยในรปของเลขยกกำาลง เชน 3600 = 3.600 x 103 มเลขนยสำาคญ 4 ตว

~ 9 ~

3600 = 3.60 x 103  มเลขนยสำาคญ 3 ตว 3600 = 3.6 x 103 มเลขนยสำาคญ 2 ตวการพจารณาเลขนยสำาคญในขอน อาจกลาวไดวา เลขยกกำาลงไม

ถอวาเปนเลขนยสำาคญ4. เลขศนย (0) เมออยปลายซายมอไมเปนเลขนยสำาคญ เชน

0.10 มเลขนยสำาคญ 2 ตว00.120 มเลขนยสำาคญ 3 ตว0.1020 มเลขนยสำาคญ 4 ตว0.0002 มเลขนยสำาคญ 1 ตว0.00238 มเลขนยสำาคญ 3 ตว

เนองจากเลขนยสำาคญเปนเลขทไดจากการวด ดงนนจงเขยนใหอยในรปทศนยมเสมอ เชน แมวาใชไมบรรทดธรรมดาจะวดของทยาว 10 เซนตเมตร พอดกจะตองบนทกวายาว 10.00 เซนตเมตรก�รคำ�นวณเลขนยสำ�คญ

ก�รบวกและก�รลบเลขนยสำ�คญ ผลลพธจากการบวกลบเลขนยสำาคญจะตองมจำานวนตวเลขหลงจากจดทศนยมเทากบจำานวนตวเลขหลงจดทศนยมทนอยทสดของกลมตวเลขทนำามาบวก หรอลบกน ตวอยางเชน ตวอยางท 1 4.20 + 1.632 + 0.015 = 5.8403

จากตวเลขนยสำาคญ 5.8403 ควรตอบเปน 5.84 ตวอยางท 2 1.2 + 62.543 + 10.12 = 73.863

จากตวเลขนยสำาคญ 73.863 ควรตอบเปน 73.9

~ 10 ~

ตวอยางท 3 5.6732 + 3.12 - 4.6 - 3.802 = 0.3912 จากตวเลข 0.3910 ควรตอบเปน 0.4

หม�ยเหต หากพดใหเปนภาษาคำาพดกคอวา ตอบตามตำาแหนงของจดทศนยมทนอยทสดทนำาเลขมาบวกหรอ ลบกนก�รคณและก�รห�รเลขนยสำ�คญ ผลลพธจากการคณหรอการหารเลขนยสำาคญนน ควรมจำานวนตวเลขนยสำาคญเทากบตวเลขทมเลขนยสำาคญนอยทสดในกลมทนำามาคณหรอหารกนนน เชน

ตวอยางท 1 3.23 x 1.2 = 3.876 ควรตอบเปน3.9ตวอยางท 2 0.1342 ÷ 1.52 =

0.0882894736 ควรตอบเปน 0.0883กรณยกเวน เมอผลลพธไดเลขศนย (0) เปนเลขนยสำาคญกอนจะปดเลขอนทบขนไปอก 1 แทนทเลข 0 ไมตองปดเลขนนขนมาใหคงคำาตอบไวเกนจำานวนตวเลขนยสำาคญทนอยทสดในกลมทนำามาคณหรอหารกนได เชน

ตวอยางท 1 0.92 x 1.13 = 1.0396 ควรตอบ1.04ตวอยางท 2 9.84 ÷ 9.3 = 1.058064516 ควร

ตอบ 1.06ก�รปดเลขเลขตำากวา 5 ตดทง เชน 32.663 ตอบ 32.66

เลขมากกวา 5 ปดเปน 1 เชน 32.666 ตอบ 32.67

ถาเปนเลข 5 พอด จะปดเปน 1 ถาหากหนาเลข 5 เปนเลขค เชน 32.775 ตอบ 32.78 ถาหนาเลข 5 ถาเปนเลขคตดทง เชน 32.765 ตอบ 32.76

~ 11 ~

คว�มผดพล�ดหรอคว�มไมแนนอนของผลลพธ (% Error)%Error=|ค าท คำานวณหร อจากการทดลอง−ค าจร ง

ค าจร ง |×100เชน เสนรอบโลกขององคการนาซาวดไดจรงเทากบ 40,008 kmคาทวดไดจากการคำานวณจากการทดลองเทากบ 39,887 kmจงหาวา ความคลาดเคลอนทเกดขนจากการทดลองเปนกเปอรเซนตจ�กสตร

%Error=|ค าท คำานวณหร อจากการทดลอง−ค าจร งค าจร ง |×100

แทนค� %Error=|39887−4000840008 |×100 = 0.3 %ตวอย�งท 1 ตามรปควรบนทกความยาวของดนสอแทงน เปนเทาใด

วธทำ� พจารณาดสเกลการวดจะเหนวาความยาวของดนสอ นน มากกวา 3 และโดยประมาณแลว ถาเราแบงสเกลระหวาง 3 กบ 4 ออกเปน 10 ชอง จะเหนวาปลายสดของดนสอ มคาเกน 5 (โดยประมาณใหใกลเคยงทสด) ดงนน เราควรตอบหรอบนทกคาทไดเปน 3.6 ± 0.1ตวอย�งท 2 จงหาคาผลหารของเลขตอไปน

a. 2.0×102×5.13.45×4

=7×10

b. 9.89.3+2.12−1.125=2.045=2.04

012345

~ 12 ~

c. 23+5−1.00=4.666…=4.7=5

d. 0.005−1.52 + 43=0

ในขอนไมตอบเปนจำานวนเตมลบ (-2.078) เนองจากวา ใชการประมาณคา

1.52

=0.75≈1, 43=1.3333….≈1

ดงนนจะไดวา

0.005−1.52 + 43=0.005−1+1≈0

ตวอย�งท 3ทดลองวดความยาวของสงๆ หนงได 5.45 เซนตเมตร ถา

ผสงเกตเหนวาเลขตวสดทายของปรมาณนควรเปน 4 หรอ 6 เขาควรบนทกการวดอยางไร วธทำ�

เมอพจารณาตวสดทายเปน 4 จะได 5.44 เซนตเมตร (หรอ 5.45 – 0.01 ) และถาตวสดทายเปน 6 จะได 5.46 เซนตเมตร (หรอ 5.45 + 0.01 ) ดงนนควรบนทกเปน 5.45 ± 0.01

แบบฝกหดตวอย�ง1.0080 กโลกรม มเลขนยสำาคญ 5 ตว คอ 1, 0, 0, 8, 0

1. 454 กรม                     มเลขนยสำาคญ..........ตว คอ.......... .......... ..........2. 2.2 นวตน                   มเลขนยสำาคญ..........ตว คอ.......... .......... ..........3. 2.205 นวตน               มเลขนยสำาคญ..........ตว คอ..........

~ 13 ~

.......... ..........4. 0.3937 เมตร               มเลขนยสำาคญ..........ตว คอ.......... .......... ..........5. 1.6725 x 10-18      มเลขนยสำาคญ..........ตว คอ.......... .......... ..........6. 0.0353 เมตร               มเลขนยสำาคญ..........ตว คอ.......... .......... ..........7. 14.9 มลลเมตร             มเลขนยสำาคญ..........ตว คอ.......... .......... ..........8. 246500 เขยนเปนเลขนยสำาคญ 3 ตวได คอขอใด ก. 2.46500 x 105 ข. 2.4650 x 105 ค. 2.465 x 105 ง.  2.47 x 105

9. ขอใดตอไปนมเลขนยสำาคญ 3 ตว คอขอใด ก. 0.070 ข. 2.0 x 102 ค. 0.009 ง. 4.50 x 10-2 10. ผลลบของ 596.35 กบ 32.1 มคาเทาไร ก. 564.25 ข. 564.2 ค. 564.3 ง. 564

ตวอย�งท 1 จงเปลยนหนวย 72 km/hr มคาเทาใดในหนวย m/s

~ 14 ~

72 kmhr

=72x 103

60 x60=∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙m /s

ตวอย�งท 2 ความยาว 4.9 นาโนเมตร มคาเทาใดในหนวยกโลเมตรวธทำ� ให x เปนคาในหนวย kmจะได

x km = 4.9 nmx (103)m = 4.9(10-9)m

x = 4.9 x 10-12

ดงนน 4.9 nm = 4.9 x 10-12 km

ตวอย�งท 3 ความเรงของวตถหนงเทากบ 2 m/s2 จะมคาเทาใดในหนวยกโลเมตรตอชวโมง 2

วธทำ� ให x เปนคาในหนวย km/h2

จะไดx km

h2=2m

s2

ลองทำ�ดจงเปลยนหนวยจาก 20 m/s มคาเทาใดในหนวย km/hr (แสดง

วธทำาประกอบ)

บทท 2 ปรม�ณสเกล�รและ

ปรม�ณเวกเตอร

ปรม�ณท�งฟสกสปรม�ณสเกล�ร (Scalar Quantity) เปนปรมาณทบอก

เพยงขนาดอยางเดยวกสามารถทจะสอและเขาใจความหมายไดอยางสมบรณ เชน มวล(mass) ความยาว(length) เวลา(time)

~ 15 ~

ปรมาตร(volume) ความหนาแนน(density) อตราเรว(speed) เปนตน

ปรม�ณเวกเตอร (Vector Quantity) เปนปรมาณทตองบอกทงขนาดและทศทาง ตองบอกวามขนาดเทาใดและเคลอนทไปทางใด ใชเครองหมาย ( A ) อยเหนออกษร เชน ความเรว(velocity) แรง(force) ความเรง(acceleration) การขจดหรอการกระจด(displacement) โมเมนตม(momentum) เปนตน

เวกเตอร(vector)

ปรมาณเวกเตอรนน เราจะแทนไดดวยสวนของเสนตรงทระบทศทาง ซงความยาวของสวนของเสนตรงจะแทนขนาด และใชหวลกศรเพอบอกทศทาง ดงภาพ

a u b

a คอ จดเรมตนb คอ จดสนสด

ดงนน ความยาว ab คอ ขนาดของเวกเตอร หรอเขยนแทนดวย ab หรอ u หรอ |ab| หรอ|u|

เวกเตอรทมขน�ดเท�กน(ไมสนใจทศท�ง)นย�ม x และ y มขนาดเทากน กตอเมอ แทนเวกเตอรทงสอง

ตวดวยสวนของเสนตรงทระบทศทาง แลวพบวาความยาวของสวนของเสนตรงทงสองนนเทากน

~ 16 ~

x y a หนวย a หนวย z a หนวย

จากรป พบวา |x|=|y|=|z|=a หนวยเวกเตอรทมทศท�งเดยวกน(ไมสนใจขน�ด)

นย�ม x และ y มทศทางเดยวกน กตอเมอ แทนเวกเตอรทงสองดวยสวนของเสนตรงทระบทศทาง แลวพบวาสวนของเสนตรองทงสองนนขนานกน หรออยในแนวเสนตรงเดยวกน และมหวลกศรไปทางเดยวกน y

θ

θ z x

จากรป x , y และ z มทศทางเดยวกนเวกเตอรทมทศท�งตรงข�มกน (ไมสนขน�ด)

นย�ม x และ y มทศทางตรงขามกน กตอเมอ แทนเวกเตอรทงสองดวยสวนของเสนตรงทระบทศทาง แลวพบวา สวนของเสนตรงทงสองนนขนานกน หรออยในแนวเสนตรงเดยวกน แตหวลกศรไปทางตรงขามกน z

θ

θ y x

จากรป x และ y มทศทางตรงขามกน

~ 17 ~

z และ y มทศทางตรงขามกนเวกเตอรทขน�นกน (ไมสนขน�ด)

นย�ม x และ y ขนานกนกตอเมอ เวกเตอรทงสองมทศทางเดยวกนหรอทศทางตรงขามกน y

θ x

θ b a

θ d c จากรป x ⁄ ⁄ y ⁄ ⁄ a ⁄ ⁄ b ⁄ ⁄ c ⁄ ⁄ d ก�รเท�กนของเวกเตอร

นย�ม x เทากบ y กตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากน และมทศทางเดยวกน แตไมจำาเปนตองทบกนสนท (ไมวาจะเคลอนยายไปไหนไดตราบทขนาดยงเทาเดม และทศทางไมเปลยนแปลง ซงยงคงเปนเวกเตอรเดมอย)

นเสธของเวกเตอรนยาม นเสธของ u คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบขนาดของ u

และมทศทางตรงขามกน ซงนเสธของ u ถกเขยนแทนดวย −u b

~ 18 ~

u

a −u

b aจากรป u กบ −u คอ เวกเตอรทมขนาดเทากน แตมทศทาง

ตรงขามกน เวกเตอรศนย

นยาม เวกเตอรศนย คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบศนย หรอ เวกเตอรทมจดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกน เขยนแทนดวย 0 (.)ก�รกระทำ�กนของเวกเตอร(Operations of Vector)

ก�รบวกเวกเตอร การรวมเวกเตอรโดยวธการเขยนรป มขนตอนดงน1. เขยนลกศรแทนเวกเตอรตวแรกตามขนาดและทศทางทกำาหนด2. นำาหางลกศรแทนเวกเตอรตวทสอง ตอกบหวลกศรเวกเตอรตว

แรก โดยมขนาดและทศทางตามทกำาหนด3. ถามเวกเตอรยอยหลายๆ ตวใหทำาเหมอนขอ 2 จนครบทกตว4. เวกเตอรลพธ หาไดจากลากลกศรจากหางเวกเตอรแรก ไปยงหว

ลกศรของเวกเตอรตวสดทายตวอย�งท 1 กำาหนดเวกเตอร a , b , c , d∧e

a b c d e

a b a+ c c

~ 19 ~

a+ b a a+ d

d

d+a∨a+ d a

จากรป a+ b , a+ c , a+ d , d+a เปนเวกเตอรลพธ ทเกดขนจากการกระทำากนโดยการบวก โดยทวไปนยมใชสญลกษณ Rกรณ ก�รห�เวกเตอรลพธจ�กก�รตอเวกเตอรใหไดสเหลยมด�นขน�น

ถามเวกเตอร 2 เวกเตอรใดๆ ในระนาบ อาจหาผลบวกของเวกเตอรทงสอง โดยการใชหางของเวกเตอรทงสองตอกน แลวสรางสเหลยมดานขนานทมเวกเตอรทงสองเปนดาน จะไดเวกเตอรผลลพธ คอ เสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานทลากจากจดหางของเวกเตอรทงสองตอกนไปยงมมตรงขาม ซงจะแทนเวกเตอรผลลพธทงขนาดและทศทาง ดงรป d a+ d

a

สมบตของก�รบวกเวกเตอรกำาหนดให a , b , c เปนเวกเตอรใดๆ ในระนาบ

1. พบวา เมอนำา a+ b ยงคงเปนเวกเตอรในระนาบเดมอย กลาวคอ เวกเตอรมสมบตปดของการบวก

2. a+ b= b+a แสดงวาเวกเตอรมสมบตการสลบทของการบวก3. a+ (b+c )=(a+b )+c ¿ a+ b+c

แสดงวามสมบตการเปลยนกลม

~ 20 ~

4. เวกเตอรมสมบตการมเอกลกษณการบวกดวย คอ 0เนองจาก a+ 0= a=0+ a

5. สำาหรบทก a ใดๆ ในระนาบ จะมคของมนเสมอคอ −a ททำาให −a+ a=0=a+(−a )

นนแสดงวา เวกเตอรมสมบตการมอนเวอรสการบวก6. ถา a=b แลว a+ c=b+ c

แสดงวา มสมบตการบวกดวยเวกเตอรทเทากน7. ถา a+ c=b+ c แลว a=b

แสดงวา มสมบตการตดออกของการบวกก�รลบเวกเตอร นยาม

1.เวกเตอรใดๆ สามารถลบกนไดเสมอและยงคงเปนเวกเตอรอย2.กำาหนดให a และ d เปนเวกเตอรใดๆ ในระนาบ ผลลบเวก

เตอร a ดวย dเขยนแทนดวย a−d และ a−d= a+(−d )

จาก a−d= a+(−d )

จะไดวา a−d= a บวกกบนเสธของ d ดงภาพ a

d a−d −d

a ขอสงเกต a −a

a a−d −d d− a d

~ 21 ~

d

จ�กรป จะเหนวา a−d ≠ d−a ถงขนาดจะเทากนแตทศทางตรงขามกนสรป

ถามเวกเตอร 2 เวกเตอรใดๆ ในระนาบ แลวสรางสเหลยมดานขนานทมเวกเตอรทงสองเปนดานและจะพบวาผลบวกกบผลลบตางกเปนดงรป

a+ d d− a

d

a a−d

ปรม�ณขจด(ก�รกระจด) หมายถง การเปลยนตำาแหนงจากจดหนงไปยงอกจดหนง ปรมาณขจดนจะแทนดวย เสนตรงทล�กจ�กจดตงตนไปยงจดสดท�ยของก�รเปลยนตำ�แหนง โดยไมตองคำานงถงแนวทางเดนของการเปลยนตำาแหนงนนเลย

B จากภาพ จะเหนวา การเปลยนตำาแหนงจากจด A ไปยงจด B

ตามเสนทาง 3 เสน คอ (1), (2) และ (3) ซงการเปลยน

(2) (3) ตำาแหนงทง 3 เสนทางน จะใหระยะขจดทเทากน คอ เทากบ

เสนตรงทลากจากจด A ไปยงจด B (1)

A ตวอย�งท 1 สนามวงกลมแหงหนงมขนาดเสนผานศนยกลาง 14 เมตร เดกคนหนงเดนไปตามขอบสนาม เมอเดนไปได

7 m

7 m

~ 22 ~

ระยะ 1 ใน 4 ของรอบ จะไดระยะทางเทาไร และมระยะขจดเทาไร A

ระยะทาง คอ ระยะทางตามแนวเสนโคง OA O ¿ 14 (2πR )

¿ 14 (2 x 22

7x 7)=11m

ระยะขจด คอ ระยะทางตามแนวเสนตรง OA

¿√72+72 = 9.898 เมตรก�รรวมปรม�ณเวกเตอร

1.การสรางรปแบบหวตอหาง เหมอนหวขอการบวก การลบขางตนทไดกลาวมาแลว

2.โดยวธการคำานวณ ซงในกรณทเวกเตอรตอกนเปนมมฉากพอด การหาเวกเตอรลพธ หรอการขจดลพธ จะใชทฤษฎบทสามเหลยมมมฉากของปทาโกรส แตสำาหรบเวกเตอร 2 ปรมาณ P และ Q ททำามมกนเปนมม θ จะไดเวกเตอรลพธ R ตามกฎของโคไซน

R=√P2+Q2+2 PQcosθ

R Q และทำามม α โดย θ α P α=tan−1( Q sin θ

P+Q cosθ ) ก�รแยกเวกเตอร y

F Fx = FcosθFy Fy = Fsinθ

กลาวคอ

~ 23 ~

θ F = Fsinθ + FcosθFx x

หาแรงลพธไดจากR2=(∑ F x )2+(∑ F y)

2

หามมทแรงลพธ R กระทำากบแนวแกน x ไดจาก

tan α=∑ F y

∑ F x

ตวอย�ง 1 แรง 500 นวตน กระทำากบวตถในทศทำามม 37 องศา กบแนวระดบ จงหาขนาดของเวกเตอรยอยในแนวราบและแนวดง

แบบฝกหด

1. กำาหนดภาพดงตอไปน ใหนกเรยนแตกแรงโดยอาศยวธการทางเวกเตอร พรอมทงหาผลรวมของแรงในแนวแกน x และแนวแกน y (ใหนกเรยนแสดงวธการคำานวณหาแรงลพธ มมทแรงลพธนนกระทำา) F5 = 300 N y F1 = 200 N

F4 = 400 N x F2 = 100 N F3 = 50 N

~ 24 ~

2. จงหาขนาดของเวกเตอรลพธ และทศทางของเวกเตอรลพธ จากภาพตอไปน

A = 2 หนวย B = 3 หนวย C = 1 หนวย

45ο 60ο

3. แรงขนาด 10 และ 20 นวตน กระทำารวมกนทจด ๆ หนง เปนมม 53ο ตอกน จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ

~ 25 ~

4. อาจารยฟสกสหนาตาดทานหนงขบรถไปทางทศตะวนออก 5 กโลเมตร จากนนลงใต 4 กโลเมตร เลยวและขบตอไปทางทศตะวนตกอก 2 กโลเมตร จงหาขนาดและทศทางของระยะกระจดลพธ

5. แรง 2 แรงเมอกระทำาตอกนเปนมม 60ο จะมแรงลพธเทากบ √37 นวตน เมอกระทำากนเปนมม 120ο จะเกดแรงลพธเทากบ √13 นวตน จงหาขนาดของแรงทง 2 นวามคาเทาใด

~ 26 ~

6. จากภาพ จงหาแรงยอยของแรง 300 N มทศชลงไปทางขวามอ ม slope = 2/3 [Fx = 249 N, Fy = -166 N]

y

x

2

3 F = 100 N

บทท 3เวล�

เวล�(Time)เวลา ในมมมองหนงกลาววา เวลาเปนองคประกอบพนฐานหนงของ

จกรวาล ใหเหตการณตาง ๆ ดำาเนนอยในนน ซงเปนแนวคดของไอแซก นวตน อกมมมองหนงกลาววา เวลาเปนสงสมมตเชนเดยวกบพนท (สเปซ - space) และตวเลข มเหตการณตาง ๆ เกดขนเปนลำาดบ แตไมไดหมายความวาเวลากบเหตการณเหลานนจะรวมอยดวยกน ซงเปนแนวคดของอมมานเอล คานต และกอตฟรด ไลบนซ

~ 27 ~

ไอนสไตนเชอวา เวลามความสมพทธกบความเรวแสง กลาวคอ หากแสงเดนทางชาลงกจะไปดงเวลาใหเดนเรวขน เพอชดเชยกบความเรวแสงทสญเสยไป ทำาใหแสงเดนทางดวยความเรวคงทอยตลอดเวลา โดยปจจยททำาใหแสงเดนทางชาลงเชน แรงโนมถวงคอ ในทๆไมมแรงโนมถวงเวลาจะเดนเรวกวาในททมแรงโนมถวง ซงจากทฤษฎของไอนสไตนทำาใหพบวา การสงดาวเทยมขนไปนอกโลกเพอรายงานผลกลบมายงพนโลกนน ตองหกคาความตางของเวลาออกไป เพอใหขอมลทสงมาเปนขอมลทเปนจรงทวากอตฟรด ไลบนซ เชอวา เวลากบพนทเปนเพยงสงสมมตเทานน ซงเราใชอธบายความสมพนธระหวางเหตการณตาง ๆ รอบตวเรา

ในวชาจตวทยา เชอวา คนหลาย ๆ คนมมมมองตอระยะของเวลาทแตกตางกน เชน เวลาอนยาวนานอาจดแสนสนเหลอเกนสำาหรบบางคน แตอาจยดยาวเสยจนทนไมไดสำาหรบคนบางคน เมอคนเราแกตวมากขน อาจมองวาเวลาชางผานไปเรวเหลอเกน แทนทจะคดวาเวลาผานมานานแลว แอลเบรต ไอนสไตน เคยกลาววา เมอเรานงใกลผหญงทหนาตานารกสกชวโมง เรากคดวานแคนาทเดยว ถาเราองมอใกลเตารอน ๆ สกนาท เรากคดวานมนผานมาหนงชวโมงแลว

บางท มมมองทงสองเกยวกบเวลากยงนาสบสนอย จงมการนยามโดยการปฏบต (operational definition) ซงมกใชการเคลอนทหรอการเปลยนแปลงแบบเปนคาบของวตถเปนตววดเวลา เชน ดถ (ขางขนขางแรม) ของดวงจนทร การแกวงของลกตม การขนและตกของดวงอาทตย

สำาหรบความหมายของเวลาในทางวทยาศาสตร กไมมความหมายหรอคำาจำากดความงาย ๆ เพยงหนงเดยว ทเขาใจและใชตรงกนในวงการวทยาศาสตรโลก

~ 28 ~

โดยทว ๆ ไป ความหมายหรอคำาจำากดความหนงของเวลา ในทางวทยาศาสตรทใชกนบอย คอ เวลาเปนหนงในสมตของ Space - Time (ตำาแหนง - เวลา) ทจำาเปน เพอทจะสามารถระบการเกดหรอการดำารงอยของเหตการณบางอยางทเกดขน ใหเขาใจไดตรงกนสำาหรบผสงเกตทกคน โดยทอกสามมตของตำาแหนง คอ กวาง , ยาว, สง หรอ x, y, z สวนเวลา กมกเขยนเปน t ตวอยางเชน ถาจะระบเหตการณเกดอบตเหตรถยนตชนกบรถไฟ กตองระบวา อบตเหตเกดทไหน และ วน - เวลาอะไร จงจะเขาใจไดตรงกน

ทวา ในทางวทยาศาสตร กมการใหคำาจำากดความของเวลาทเปนอยางอน แตจรง ๆ แลว กมความหมายลก ๆ เหมอนกน เชน เวลา เปนมตหนงทจำาเปน เพอแยกแยะเหตการณสองเหตการณ ซงเกด ณ ตำาแหนงเดยวกน แตตางวาระกน เชน การเกดอบตเหตรถยนตชนกบรถไฟในตวอยางทแลว ถาเกดสองครง ณ ตำาแหนงเดยวกน แตตางวนและเวลากน กจำาเปนจะตองระบมตของเวลาวา อบตเหตนน เกดขนครงแรก และครงทสอง วน - เวลาใด จงจะแยกสองเหตการณนนออก

~ 29 ~

บทท 4แรงและสภ�พสมดลย

จะกลาวไดวา วตถชนหนงเมอมแรงมากระทำา อยในภาวะสมดล กตอเมอมนหยดนงหรอเคลอนทดวยความเรวสมำาเสมอ และไมหมน เหตทมนหยดนงหรอเคลอนทดวยความเรวสมำาเสมอนน แสดงวาแรงลพธทมากระทำาตอวตถนนเปนศนย และทไมหมนกเพราะโมเมนตลพธทเกดจากแรงทมากระทำาเหลานนเปนศนยดวย

ดงนนเมอวตถอยในภาวะสมดล จะไดวา1. ΣFx = 02. ΣFy = 03. ΣM = 0

ΣFx = 0 คอ ผลบวกทางพชคณตของแรงในแนวแกน x เปนศนย โดยใหแรงทแตกไปทางขวาเปนบวก(+) ทางซายเปนลบ(-) ΣFx = 0 อาจสรปไดวา แรงท�งซ�ยเท�กบแรงท�งขว�

ΣFy = 0 คอ ผลบวกทางพชคณตของแรงในแนวแกน y เปนศนย หรอ แรงขนเท�กบแรงลง

ΣM = 0 คอ ผลบวกทางพชคณตของโมเมนตรอบจดใดๆ เปนศนย

~ 30 ~

ขอสงเกต แกน x และ แกน y ไมจำาเปนตองอยแนวระดบและแนวดงเสมอไป แตแกน x และแกน y ตองตงฉากกน

สมดลของแรงเมอแรงเหล�นนกระทำ�ทจดเดยวกนเมอเราคดทจดทแรงตางๆ ผาน โมเมนตทเกดจากแรงแตละแรง

เปนศนย เพราะฉะนนสมการทใชจะมสมการของ และ เทานนก. สมดลของแรง 2 แรงแรงสมดลสองแรงจะอยในภาวะสมดลเมอมขนาดเทากน แตม

ทศทางตรงกนขามกน

P Q

สมดลเมอ P = Q

ข. สมดลของแรงมากกวา 2 แรง [ΣFx = 0, ΣFy = 0] P ΣFx = Qcosβ – S –

Rsinθ

S ΣFy = P – Qsinβ – Rcosθ

β θ Q

Rสมดลของแรงหล�ยแรงเมอไมไดกระทำ�ทจดเดยวกน

จะเกดการสมดล เมอแรงเหลานนอยในเงอนไขทสอดคลองทง 3 สมการ ดงกลาวขางตน กลาวคอ ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0

ลองพจารณาวตถทมแรง P, Q, R, S มากระทำากนดงรป ถาให d1 เปนระยะทางจากแรง P มาทจด O d2 เปนระยะทางจากแรง Q

~ 31 ~

ไปยงจด O และ d3 เปนระยะทางจากแรง R ไปยงจด O d4 เปนระยะจากแรง S ไปยงจด 0

P

S

β Q

R θ

{ ΣFx = 0} ΣFx = Psinθ – Rcosβ – S{ ΣFx = 0} ΣFy = P – Qcosθ – Rsinβ{ ΣM0 = 0} ΣM = Pd1 – Qd2 + Rd3 + Sd4

สำาหรบตวอกษรทหอยทายตว M เปนจดทบอกใหทราบวาเราคดโมเมนตตรงจดไหน เชน ΣM0 จะหมายถง โมเมนตลพธทเกดขนรอบจด A

เมอวตถอยในสภาวะสมดล การใชสมการทง 3 คอ ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 แกโจทยปญหาตางๆ นน จำาเปนอยางยงทเราตองคดแรงทกแรงทมากระทำาตอวตถ การผดพลาดในการคำานวณจะเกดขนถาลมแรงใดแรงหนงไป ในการวเคราะหแรงทกระทำาตอเทหวตถ เราตองอาศย Free body diagram

Free body diagram(FBD)เปนแผนผงทแสดงใหทราบวา วตถชนหนง มแรงภายนอกอะไรมาก

ระทำาบาง มขนาดและทศทางอยางไร ในการเขยน FBD ของวตถทมวตถอนแตะหรอสมผสอย ใหเอาวตถเหลานนออก พจารณาแตเพยงแรงทมวตถนนกระทำาตอวตถเทานน หลกก�รเขยน Free body diagram(FBD)

~ 32 ~

1. เขยนทศทางของแรงททราบแลวใหถกตอง แรงใดถาทราบแนวแรง แตไมทราบทศทางทแนนอน เชน ทราบวา แนวของแรงอยในแนวระดบ แตไมทราบวาทศทางไปทางซายหรอทางขวา เรากสมมตทศทางของแรงขนกอน ในการคำานวณ ถาไดคาของแรงนนเปนบวก(+) แสดงวา ทศทางของแรงทสมมตถกตอง ถาออกมาตดลบ(-) แสดงวา ทศทางทเปนจรงของแรงนนอยตรงขามกบทศทางทสมมต

2. กรณทไมทราบทศทางของแรงทตองการหา ใหแตกแรงนนออกตามแกน x และแกน y เสยกอน หลงจากทคำานวณไดขนาดของแรงนนทแตกในแนวแกน x และ y แลว แรงทตองการแรงนนจะเปนแรงลพธของแรงยอยทงสอง

3. นำาหนกของเทหวตถเปนแรงทโลกดงดดไว ดงนนทศทางของนำาหนกจะมทศทางลงตามแนวดง

4. แรงปฏกรยาทกระทำาตอผวทรงกลม เมอไมมแรงเสยดทานจะมทศทางผานจดศนยกลางของวงกลม

5. แรงตงของเสนเชอกของ Free body diagram(FBD) ใดๆ จะมทศทางพงออกจาก Free body diagram(FBD) นนๆ

6. แรงปฏกรยาทพนผวสมผสใดๆ จะมทศทางพงเขาหาผวสมผส และแรงปฏกรยาระหวางพนคสมผสใดๆ ยอมมขนาดเทากน

7. รอกหรอวตถททำาหนาทคลายรอก จะมหนาทเปลยนแปลงทศทางของแรงตงของเสนเชอกเทานน ดงนนแรงตงของเสนเชอกเสนเดยวกบทคลองผานรอกจะมคาเทากนตลอดทงเสน ทงนรอกตองไมมความฝด

ตวอย�งก�รเขยน Free body diagram(FBD)

~ 33 ~

ตวอย�งท 1 ทรงกลม B หนก W วางอยบนระนาบผวเกลยง โดยมดานหนงแตะอยกบกำาแพงผวเกลยง ทจดศนยกลางมเชอก ผกอยโดยปลายขางหนงผกตดกบกำาแพง จงเขยน Free body

diagram(FBD)ของทรงกลม A T

RC

C D w

ตวอย�งท 2 จากภาพลงตวหนงหนก w1 ยนอยบนกระเชาหนก w2 ซงมเชอกผกคลองผานรอกดงแสดงในภาพ จงเขยน Free body

diagram(FBD) ของ1. ลงและกระเชาเปน Free body

2. ของลง3. ของกระเชา T1

T2

1. ลงและกระเชา2. ของลง T1

w1 w2

3. ของกระเชา T2

R N w1

RD

~ 34 ~

w2

ทฤษฎชวยคำ�นวณสมดล 3 แรงก. ทฤษฎของล�ม หรอ กฎของไซน“เมอมแรง 3 แรง กระทำาตอวตถโดยแนวแรงทงสามตดกน วตถ

อยในสภาพสมดล แลวอตราสวนระหวางแรงกบคา sin ของมมทอยตรงขามกบแรงยอมเทากนทง 3 ค”

F1

θ F2 F1sin α

=F2

sin β=

F3

sin θ

β α

F3

บทแทรกของทฤษฎบทของล�ม“เมอมแรง 3 แรงมากระทำารวมกนทวตถหนงโดยแนวแรงทงสาม

ผานจดเดยวกน และเกดสภาพสมดลแลว รปสามเหลยมใดกตามทมดานทงสามตงฉากกบแนวทศของแรงทงสามนนตามลำาดบ แลวอตราสวนของแรงตอดานของสามเหลยมทตงฉากกบแรงนนมคาเทากน”

Q B

C P PAB

= QBC

= SCA

S Aข. ทฤษฎส�มเหลยมแทนแรง“เมอมแรง 3 แรง กระทำาตอวตถ โดยแนวแรงผานจดเดยว แลว

วตถอยในสภาพสมดล ขนาดและทศทางของแรงทงสามแทนไดดวยดานทงสามของสามเหลยมทมดานทงสามขนานกบแนวแรงทงสามตามลำาดบ”

Q C

~ 35 ~

P PAB

= QBC

= SCA

A

S B

บทท 5ก�รเคลอนทแนวตรง

ก�รเคลอนทการเคลอนท(motion) หมายถง การทวตถเปลยนลกษณะการ

วางตว หรอมการเปลยนตำาแหนง สามารถแบงประเภทของการเคลอนทไดดงน

การเลอนตำาแหนง เชน การเคลอนทเปนแนวเสนตรงหรอเปนแนวโคง

การหมน เชน การหมนรอบตวของโลก การหมนของลกขางการสน เชน การสนของไมบรรทดเมอถกดด การแกวงไปมาของ

ลกตมนาฬกาอตร�เรวและคว�มเรว

เครองเคาะสญญาณเวลาเปนอปกรณทใชในการหาอตราเรวของแถบกระดาษ โดยการทำางานของเครองอาศยความถของกระแสไฟฟาขนาด 50 รอบตอวนาท จะทำาใหตะปเขมซงเปนตวเคาะทำาใหเกดจดบนแถบกระดาษเคาะ 50 ครง ในเวลา 1 วนาท ซงชวงเวลาการเคาะแตละครงจะหางกน 1/50 วนาท

ดงนน ระยะเวลา 1 ชวงจด เทากบ 1/50 วนาท

~ 36 ~

รปท 2a ตวอยางของชวงจด

รปท 2b ระยะเวลาของ 1 ชวงจดซงจะหางกน 1 ใน 50 วนาท

S1 S2

S3

รปท 2c ตวอยางแถบกระดาษทถกดงผานเครองเคาะสญญาณเวลา

รปบนแสดงลกษณะของเครองเคาะสญญาณเวลา และตวอยางแถบกระดาษทถกดงผานเครองเคาะสญญาณเวลา จะเหนวาในแตละชวงคอ AB หรอ BC จะใชเวลาชวงละ 3 ชวงจด มเพยงชวง CD จะใชเวลาชวงละ 4 ชวงจด

ดงนน tAB = tBC = 3(1/50) วนาท และ tCD = 4(1/50) วนาท

จาก Vav = s/tดงนน อตราเรวเฉลยชวง AB คอ V AB=

s1t AB

=s1

3( 150 )

อตราเรวเฉลยชวง BC คอ V BC=s2−s1

tBC=

s2−s1

3( 150 )

อตราเรวเฉลยชวง CD คอ V CD=s3−s2

tCD=

s3−s2

4 ( 150 )

~ 37 ~

สำาหรบการคำานวณหาคว�มเรงจากการเคลอนทกคออตราเรวทเปลยนไปในหนงหนวยเวลาของแตละชวงของการเคลอนทของวตถมหนวยเปน เมตรตอวนาท2 ซงหาไดจากสตร

aav = v/t (m/s2)ก�รเคลอนทในแนวเสนตรงทมคว�มเรงคงท

ถามวตถเคลอนทดวยความเรวตน ความเรง เมอเวลาผานไปเปนเวลา จะมความเรว และเคลอนทไดระยะทาง โดยทปรมาณตางๆ มความสมพนธกนดงน

สมการการเคลอนทแนวเสนตรงดวยความเรงคงทv=u+at

s=( u+v2 )t

s=ut+ 12

a t 2

v2=u2+2as

เมอ u คอ ความเรวตน (t = 0) v คอ ความเรวปลาย (ทเวลา t ใดๆ)

a คอ ความเรง (เปนความเรงขณะใดๆ)

t คอ เวลาในการเคลอนท

s คอ การกระจด (ระยะทาง)ขอสงเกต :

1. ใหทศทางของความเรวตน (u) เปนบวก ปรมาณใดมทศทาง

ตรงขามแทนเปนลบ ยกเวนเวลา (t) เปนปรมาณสเกลารใชคาเปนบวกเสมอ

2. ใชกบการเคลอนทในแนวเสนตรง และมความเรง a คงทเทานน ถาความเรงไมคงทใหแบงเปนชวงๆ โดยความเรวปลายชวงทหนงเทากบความเรวตนในชวงถดไป

~ 38 ~

3 .การเคลอนทของวตถในแนวดงภายใตแรงโนมถวงของโลก โดยไมคดแรงตานของอากาศ วตถจะเคลอนทดวยความเรงเทากบความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก (a=g=9.8m /s2)

ขอสงเกตเกยวกบก�รเคลอนทในแนวดงภ�ยใตคว�มเรงเนองจ�กแรงโนมถวงของโลก1. จดทสงสดของความเรวของวตถมคาเปนศนย (v = 0)2. ทระดบเดยวกนในการเคลอนทขาขนและขาลง

2.1 ความเรวเทากน แตทศทางตรงกนขาม2.2 เวลาทใชในการเคลอนทขาขนและขาลงเทากน2.3 การกระจดมคาเปนศนย แตระยะทางไมเทากบศนย

3. กรณปลอยวตถจ�กบอลลน ความเรวตนของวตถเทากบความเรวของบอลลนขณะปลอยวตถนนกร�ฟก�รเคลอนทแนวตรงก. กราฟระหวางการกระจด (s) กบเวลา (t) เชน กรณรถเรมวงซง

ระยะทางแปรผนกบเวลา

s

t 0 1 s 2 s 3 s 10 m

20 m

30 m

~ 39 ~

เชน กรณรถเรมวงซงระยะทางแปรผนกบเวลา แสดงวาวตถเคลอนทดวยความเรวคงท (ความเรว หาไดจากความชนของกราฟ) s s t tกราฟนแสดงวาวตถเคลอนทดวยความเรวคงตว กราฟนแสดงวาวตถเคลอนทโดยความเรวกำาลงเพมขน(วตถหยดนง ความเรวเปนศนย) (มความเรง)

s

t กราฟนแสดงวาวตถเคลอนทโดยความเรวกำาลงลดลง (มความหนวง)

ข. กราฟระหวางความเรว (v) กบเวลา (t)v v

t t วตถมความเรวคงตว 5 m/s วตถมความเรวเพมขน t=0 1 s 2 s 3 s t=0 1 s 2 s 3 s v=5 m/s 5 m/s 5 m/s 5 m/s v=0 3 m/s 6 m/s 9 m/s

~ 40 ~

(a = 0) วตถมความเรงคงท (ความเรง หาจากความชนของกราฟ)v v

t t

วตถเคลอนทมความเรวลดลง วตถเคลอนทมความเรวเพมแบบไมคงทโดยมความหนวงคงท (-a) โดยความเรงกำาลงเพมขน

v วตถเคลอนทมความเรวเพมแบบไมคงท

t โดยความเรงกำาลงลดลง

ค. กราฟระหวางความเรง (a) กบเวลา (t)a

t1v1 t2v2 t

ตวอย�งท 1 วตถมวล 2 กโลกรม เคลอนทในแนวตรงจากหยดนงดวยความเรงคงท 3 เมตรตอวนาท2 เมอผานจดสงเกตมอตราเรว 12 m/s ขณะทวตถมอตราเรว 24 เมตรตอวนาท วตถอยหางจดสงเกตกเมตร

~ 41 ~

วธทำ� จ�กสตร v2=u2+2as

ตวอย�งท 2 บงไฟลำาหนงทะยานขนจากพนโลกในแนวดง ดวยความเรง 15 เมตรตอวนาท2 เมอเวลาผานไป 60 วนาท บงไฟลำานจะอยสงจากพนโลกกเมตร

วธทำ� จ�กสตร s=ut+ 12

a t 2

ตวอย�งท 3 รถยนตคนหนงวงดวยความเรวคงท 10 m/s ขณะทอยหางสงกดขวางเปนระยะทาง 35 เมตร คนขบตดสนใจหามลอรถโดยเสยเวลา 1 วนาท กอนทหามลอจะทำางาน เมอหามลอทำางานแลวรถจะตองลดความเรวในอตราเรงเทาใด จงจะทำาใหรถหยดพอดเมอถงสงกดขวางนนวธทำ�จากโจทย ทบอกวาคนขบตดสนในหามลอรถโดยเสยเวลา 1 วนาท กอนทหามลอจะทำางาน นนแสดงวา จะตองหาระยะทางทรถยนตคนนวงไปได ตงแตเขาขบไปจนกระทงหามลอใหรถหยด

จ�กสตรs=ut+ 12

a t 2

s=ut+0(ความเรวคงท แสดงวา a = 0) ¿10 (1 ) s=10m

แสดงว� ถาหามลอทำางาน แลวรถจะตองหยดในระยะทาง 35 – 10 = 25 mหาความหนวงเมอหามลอทำางานแลวจ�กสตรv2=u2+2as

~ 42 ~

ก�รเคลอนทของวตถทตกแบบเสรในแนวดง เนองจ�กแรงดงดดของโลก

การเคลอนทของวตถทตกแบบเสรในแนวดง เนองจากแรงดงดดของโลก หมายถง การทวตถเคลอนทในแนวดงภายใตแรงดงดดของโลกเพยงแรงเดยว

การคำานวณ ใหคดเหมอนกบวตถเคลอนทในแนวเสนตรงดวยความเรงคงตว โดยเปลยนสญลกษณ จาก a เปน g ดงน

v=u+g t

s=( u+v2 )t

s=ut+ 12

g t2

v2=u2+2g s

ขอสงเกตเกยวกบก�รเคลอนทในแนวดงภ�ยใตคว�มเรงเนองจ�กแรงโนมถวงของโลก1. จดทสงสดของความเรวของวตถมคาเปนศนย (v = 0) นนหมายความวา จดทวตถขนไปไดสงสด จะมความเรวเปนศนย (จดวกกลบวตถจะหยดนง)2. ทความสงระดบเดยวกนในการเคลอนทขาขนและขาลง

2.1 พบวา อตราเรวขาขน เทากบ อตราเรวขาลง2.2 พบวา เวลาทใชในการเคลอนทขาขน เทากบ เวลาทใชใน

การเคลอนทขาลง2.3 การกระจดมคาเปนศนย แตระยะทางไมเทากบศนย

3. กรณปลอยวตถจ�กบอลลน ความเรวตนของวตถตองเทากบความเรวของบอลลนขณะปลอยวตถนน

~ 43 ~

ตวอย�งท 1 ลงตวหนงนงเหมออยขอบหนาผาแลวโยนแอปเป ลขนไปในแนวดงดวยอตราเรว 20 เมตรตอวนาท ขนาดของการกระจดเมอสนวนาทท 5 มคากเมตรวธทำ� จากโจทย กำาหนดแอปเป ลทโยนขนมทศเปนบวก (ตามความเรวของ u)

จะไดวา u = 20 m/s, a = -g = -9.8 m/s2 , t = 5

จากสตร s=ut+ 12

g t2

ตวอย�งท 2 ถาความเรวตนของนำาทฉดขนในแนวดงมคาเทากบ 8 m/s จงหาความสงของนำาทพงขนไปในอากาศวธทำ� (วาดไดอแกรม)จ�กสตร v2=u2+2g s

เทคนคก�รใชสตรก�รเคลอนทแนวดงอย�งอสระ(ใหทศของ u เปนบวก)

1.วตถดงลง ใหใชสตรทง 4 คำานวณ ทกคาเปนบวกหมด(เพราะเราใหทศลงเปนบวก)

u

~ 44 ~

2.วตถดงขน(พงขน) ใชสตรทง 4 คำานวณ ทกคาเปนบวกหมด(ตามการเคลอนทของ u ) ยกเวนคา g

u

3. วตถดงขนและลง ใชสตรทง 4 คำานวณ v = 0

พจาณา

คว�มเรว ทศขนเปนบวก u

ทศลงเปนลบ แกนอางอง

ก�รกระจด เหนอแกนอางองเปนบวก คา g เปนลบ เสมอ

ใตแกนอางองเปนลบ

อยทระดบอางองเปนศนย

~ 45 ~

เฉลยแบบฝกหดขอท 5

5. แรง 2 แรงเมอกระทำาตอกนเปนมม 60ο จะมแรงลพธเทากบ √37 นวตน เมอกระทำากนเปนมม 120ο จะเกดแรงลพธเทากบ √13 นวตน จงหาขนาดของแรงทง 2 นวามคาเทาใดวธทำา 1. วาดรปตามโจทยบอก 2. เขยนเปนสมการทางคณตศาสตร ไดวาจาก R2=P2+Q2+2 PQcosθ จากโจทย จะไดวา (√37 )2=P2+Q2+2 PQcos60 ………………..(1) (√13 )2=P2+Q2+2 PQcos120 ……………….(2)เราพบวา Cos60˚ = 1/2 และ Cos120˚ = -1/2 จะไดวา

(√37 )2=P2+Q2+2 PQ (12 ) (√13 )2=P2+Q2+2 PQ(−12 )ดงนน (√37 )2=P2+Q2+PQ ………………..(1) (√13 )2=P2+Q2−PQ ……………….(2)นำาสมการท (1) - (2) จะได ( P2+Q2+PQ )−( P2+Q2−PQ )=37−13

~ 46 ~

P2+Q2+PQ−P2−Q2+PQ=24 2 PQ=24 PQ=12 ……………….(3)

นำาสมการท (1) + (3) จะได ( P2+Q2+PQ )+( PQ )=37+12 ( P2+Q2+2PQ )=49 ( P2+2PQ+Q2 )=49 ( P+Q )2=(7 )2

หรอ P+Q=7 ……………….(4)นำาสมการท (2) – (3) จะได ( P2+Q2−PQ )− (PQ )=13−12

( P2+Q2−2 PQ )=1 ( P2−2 PQ+Q2 )=1 ( P−Q )2=(1 )2

หรอ P−Q=1 ……………….(5)นำาสมการท (4) + (5) จะได ( P+Q )+( P−Q )=7+1

2 P=8 P=4 #หา Q โดยแทนคา P = 4 ในสมการท (5) จะได P−Q=1

4−Q=1 Q=3 #

~ 47 ~

ธรรมช�ตของฟสกสและก�รวด

โดย

อ�จ�รยปยะพงษ ทวพงษกลมส�ระก�รเรยนรวทย�ศ�สตร

โรงเรยนส�ธตมห�วทย�ลยร�ชภฏสวนสนนท�